3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi

lim f (x) = L

x→c

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

x

1. Jika

mendekati

makin dekat pula 2. Nilai-nilai

f (x)

c maka f (x) mendekati L, f (x) kepada L.

adalah dekat dengan

Pada pernyataan pertama, dekatnya

x

f (x)

untuk

x

terhadap

x

dekat dengan

L

kepada

c

se-

c.

disebabkan oleh dekatnya

x1 lebih dekat dengan c daripada x2 maka f (x1 ) lebih dekat dengan L daripada f (x2 ). Konsekuensinya, jika x = c maka f (x) = L. Pernyataan ini banyak diambil sebagai kepada

c.

L

semakin dekat

Pada pernyataan ini, jika ada dua bilangan

x1

dan

x2

di mana

pengertian limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis.

Padahal

pengertian limit secara formal tidak demikian. Sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit.

Pada perny-

f (x) terhadap L x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekat dengan mengakibatkan nilai f (x) dekat dengan L.

ataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya memberikan kriteria dekatnya

c

dalam kriteria ini

Sebelum masuk ke denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian

cluster point ) suatu himpunan.

titik limit (

Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R. Sebuah titik c ∈ R dikatakan titik limit A jika setiap persekitaran Vδ (c) := (c − δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota

A

selain

c,

atau

(c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} = 6 ∅, ∀δ > 0.

1

(3.1)

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

A

Titik limit anggota

A

boleh jadi anggota

A

atau bukan anggota

dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit

A. A.

Sebaliknya, suatu

Sebelum diberikan contoh, diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam

A

yang konvergen ke titik limit

A.

Teorema ini dapat dijadikan sebagai

kriteria titik limit.

Teorema 3.1. Sebuah bilangan c ∈ A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (an ) dalam A dengan an 6= c untuk setiap n ∈ N sehingga lim(an ) = c. titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bangun persekitaran dengan 1 1 1 radius δ := , yaitu V 1 (c) = (c − , c + ). Berdasarkan denisi c titik limit, n n n n 1 selalu ada an ∈ A∩V 1 dengan an 6= c (lihat 3.1). Karena berlaku |an −c| < n n

Bukti. Misalkan

c

lim(an ) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan (an ) dalam A, an 6= c dan lim(an ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(an ) = c maka berdasarkan denisi limit barisan, untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga |an − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK 6= c dan aK ∈ Vδ yaitu A ∩ Vδ \ {c} = 6 ∅. Terbukti c titik limit A. maka disimpulkan

Contoh 3.1.

Diberikan himpunan

A

yang didenisikan sebagai

A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}. A.

Tentukan himpunan semua titik limit

x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x − δ, x + δ) ∩ A \ {x} 6= ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imit A. 1 Diperhatikan x = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 (misalnya δ1 = ) 2 sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A = {−1}. Akibatnya, (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A \ {−1} = ∅. Disimpulkan x = −1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1].

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap

Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan A. Sebaliknya 2 ∈ A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A.

Diperhatikan pada contoh ini,

1 ∈ / A

tetapi

1

titik limit

Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: 1. Himpunan

A

yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik

limit. Kita dapat mengambil

δ

bilangan positif yang lebih kecil dari jarak

antara ketiga bilangan yang berdekatan. Untuk menunjukkan

c

bukan titik

limit, misalkan ketiga bilangan yang berdekatan tersebut adalah x1 , c dan x2 1 min{|x1 − c|, |c − x2 |}. Maka pasti berlaku dengan x1 < c < x2 . Ambil δ := 2

(c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} = ∅. 2. Himpunan bilangan asli

N

tidak mempunyai titik limit.

2


diberikan V (L) L+ |f(x) -L|<

L L-

terdapat V (c)

c c+

c+

Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi 3. Himpunan bilangan rasional

Q

mempunyai titik limit semua bilangan real.

Hal ini disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam 4. Himpunan

A=

1

:n∈N A

n ini tidak satupun anggota

hanya mempunyai titik limit

0.

R. Dalam kasus

menjadi titik limitnya.

Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.

Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c titik limit A. Bilangan

L

dikatakan limit fungsi

f

di

c,

ditulis

L = lim f (x)

(3.2)

x→c

adalah bilamana diberikan

>0

terdapat

δ>0

sehingga berlaku

0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| < .

yang diberikan sehingga δ = δ() untuk menunjukkan ketergantungan δ pada yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f (x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f (x) terhadap L diberikan oleh , dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ . Pada ekspresi (3.4) kita dapat membuat f (x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Pada denisi ini, nilai

δ

(3.3)

biasanya bergantung pada nilai

kadang-kadang ditulis sebagai

Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2.

c| < δ

pada (3.4) menunjukkan bahwa untuk berlakunya

memperhitungkan

x = c dibolongi.

x

yang sama dengan

c.

0 < |x − |f (x) − L| < tidak

Pernyataan

Diperhatikan pada gambar tersebut

f (c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak denisi limit menggunakan dot ◦” di titik x = c.

Contoh 3.2.

Artinya pada denisi limit, nilai

Prosedur menghitung limit berikut sering dilakukan pada pelajaran

kalkulus atau sewaktu di SMA dulu.

(x − 2)(x + 2) x2 − 4 = lim = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4. x→2 x→2 x→2 x − 2 (x − 2) lim

3


diberikan V (f(c)) f(c)+ |f(x) -f(c)|<

f(c) f(c) -

terdapat V (c)

c c+

c+

Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f

c

kontinu di

Ada 2 hal kritis yang jarang dipedulikan oleh mahasiswa, yaitu

*

Pada langkah kedua terjadi proses pencoretan atau kanselasi pembagian dua bilangan yang sama yaitu

(x − 2).

Padahal secara teoritis pencoretan

ini tidak berlaku untuk bilangan bernilai nol. tidak masalah karena notasi tidaklah berarti

x = 2.

x → 2

Dalam kasus limit, hal ini

dipahami atau dibaca

x

mendekati

2

Hal ini ditegaskan pada denisi yang menyatakan

0 < |x − 2| < δ . *

Di sini

x2 −4 . Faktanya f (2) tidak ada karena terjadinya pembagian x−2 Tetapi limit f (x) untuk x → 2 ada, yaitu 4. Jadi walaupun

f (x) =

dengan nol.

nilai fungsi di titik tersebut tidak ada, namun nilai limitnya dapat saja ada. Antara nilai fungsi dan nilai limit tidak mempunyai hubungan implikasi. Dalam kasus keduanya ada dan nilainya sama maka fungsi tersebut bersifat kontinu. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di

x = c,

seperti diungkapkan

berikut ini.

Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A . Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku

|x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < . Kontinu pada himpunan

A

berarti kontinu di setiap

Berdasarkan denisi ini, syarat perlu agar fungsi

f

(3.4)

c ∈ A.

kontinu di

c

adalah

f (c)

harus

ada atau terdenisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di di

c

dapat saja ada walaupun nilai

c diberikan pada Gambar 3.3.

f (c)

tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu

Perhatikan pada gambar ini

x = c tidak dibolongi

alias masuk dalam interval domain syarat. Dalam kasus

c∈A

dan

c

titik limit

A

maka kedua pengertian limit dan kekontin-

uan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

4


Teorema 3.2. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. 1.

f

c

2.

limx→c f (x) = f (c)

kontinu di

Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut

E1 := {x ∈ A : 0 < |x − c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x − c| < δ}. E2 ⊂ E1 . Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < . x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (3.3) berlaku dengan L = f (c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f (x) − f (c)| = |f (c) − f (c)| = 0 < sehingga (3.3) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f (x) = f (c). Sebaliknya, diketahui limx→c f (x) = f (c) yaitu x ∈ E1 → |f (x) − f (c)| < . Karena E2 ⊂ E1 maka berlaku x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < , yaitu f kontinu di c.

Jadi

Misalkan

Berpijak dari teorema ini kita dapatkan syarat cukup dan perlu sebuah fungsi kontinu di

* f (c)

x=c

ada tiga syarat, yaitu

ada

* limx→c f (x) *

nilai keduanya harus sama.

Contoh 3.3. tiap

ada

x ∈ R.

Misalkan

f

fungsi konstan pada

c ∈ R,

Buktikan untuk sebarang

f

simpulkan bahwa

kontinu di

Penyelesaian. Diberikan

R,

f (x) = b untuk selimx→c b = b. Kemudian

katakan

berlaku

c.

>0

sebarang, ambil

δ := 1

maka diperoleh

0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |b − b| = 0 < . Jadi terbukti

limx→c f (x) = f (c).

dengan teorema 3.2 disimpulkan Pengambilan

δ

c ∈ R merupakan c.

p→q

p→q

di mana

q

1, bahkan berapa pun boleh.

sudah dipastikan benar maka

disimpulkan benar.

Contoh 3.4. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, limx→c x = c. bahwa

f (x) := x

titik limit maka

kontinu di

pada pembuktian di atas dapat selain

Pembuktian ini menggunakan pola pernyataan

Karena

f

kontinu di

Kemudian simpulkan

c.

Penyelesaian. Untuk setiap

>0

yang diberikan, ambil

δ := .

Diperoleh

0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |x − c| < δ = . limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f (x) = f (c) disimpulkan f kontinu di c.

Karena itu terbukti titik limit maka

Contoh 3.5.

Misalkan

f (x) = x2 , x ∈ R.

5

Buktikan

f

kontinu pada

R.

dan

c


c∈R

Bukti. Misalkan

sebarang. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut

|f (x) − f (c)| = |x2 − c2 | = |x + c||x − c|. Karena sudah ada suku suku

|x + c|.

|x − c|

maka kita perlu melakukan estimasi pada

|x − c| < 1,

Untuk itu diasumsikan dulu

maka berlaku

||x| − |c|| ≤ |x − c| < 1 → −1 < |x| − |c| ≤ 1 → |x| ≤ |c| + 1. | {z } |x + c|,

Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada

yaitu

|x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + 1. Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f (x) − f (c)| = |x + c||x − c| < (2|c| + 1) |x − c|. (∗) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari

|x − c| < Agar kedua

|x − c| < 1

dan

maka haruslah

. (∗∗) 2|c| + 1

|x − c| <

dipenuhi maka diambil 2|c|+1

δ = δ() := min 1,

2|c| + 1

.

0 < |x − c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f (x)−f (c)| < . Jadi, limx→c f (x) = f (c), dan terbukti f kontinu di c.

Jadi jika

Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik terdenisi di

c, yaitu f (c) tidak ada.

c

dikarenakan ia tidak

Tetapi, asalkan limitnya di

c ada maka fungsi

tersebut dapat diperluas menjadi fungsi kontinu.

Contoh 3.6.

Diberikan fungsi

f (x) =

x2 −1 ,x x−1

6= 0

tidak kontinu di

1

karena

f (1)

tidak ada. Namun, berlaku

x2 − 1 = lim (x + 1) = 2. x→1 x→1 x − 1

lim f (x) = lim

x→1

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada

( fe(x) = fe dibaca f

x2 −1 x−1

R

sebagai berikut

6 0 = x = 0.

untukx

2

untuk

tilde merupakan perluasan kontinu fungsi

f.

3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.

6


Teorema 3.3. Misalkan f : A −→ R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. 1.

limx→c f (x) = L (xn )

2. Untuk setiap barisan setiap

n ∈ N,

→(2).

di dalam

maka barisan

(f (xn ))

A

yang konvergen ke

konvergen ke

c, xn 6= c

untuk

L.

> 0 sebarang. Karena diketahui limx→c f (x) = L, δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ berlaku |f (x) − L| < . Misalkan lim(xn ) = c, xn 6= c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya terdapat K ∈ N sehingga |xn − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Karena xn 6= c maka dapat ditulis 0 < |xn − c| < δ , sehingga berlaku |f (xn )−L| < untuk setiap n ≥ K . Ini menunjukkan bahwa barisan (f (xn )) konvergen ke L. (2)→(1). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limx→c f (x) 6= L, berarti ada 0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat xδ ∈ A, 0 < |x − xδ | < δ 1 >0 tetapi |f (x) − xδ | ≥ 0 . Bila para δ > 0 tersebut diambil sebagai δ := n untuk setiap n ∈ N maka terbentuk barisan (xn ) dengan sifat 0 < |xn − c| < 1 , xn ∈ A tetapi |f (xn ) − L| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Ini berarti barisan n (f (xn )) tidak mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn ) dalam A, xn 6= c tetapi (f (xn )) tidak konvergen ke L. Pernyataan (2) salah. Bukti teorema selesai.

Bukti. (1)

Diberikan

maka terdapat

Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:

* limx→c f (x) 6= L bila hanya bila ada barisan (xn ) dalam A (xn ) konvergen ke c tetapi barisan lim (f (xn )) 6= L. * limx→c f (x) tidak ada xn 6= c, (xn ) konvergen

bila hanya bila ada barisan

c

ke

tetapi barisan

* limx→c f (x) tidak ada bila A dengan xn , yn 6= c, (xn ) lim (f (yn )).

Contoh 3.7.

Buktikan

limx→0

f (xn )

(xn )

(yn )

xn 6= c,

A

dengan

dalam

tidak konvergen.

hanya bila ada dua barisan dan

dengan

konvergen ke

c

(xn ), (yn ) dalam lim (f (xn )) 6=

tetapi

1 tidak ada. x

f (x) = x1 . Ambil barisan (xn ) dengan xn := konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan

Bukti. Di sini kita mempunyai

1 . Jelas barisan ini n 1 (f (xn )) = 1/n = (n)

= (1, 2, 3, · · · )

tidak konvergen. Berdasarkan kriteria

kedua maka terbukti limitnya tidak ada.

Contoh 3.8.

Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut

  +1 sgn(x) : = 0   −1 Buktikan

limx→0 sgn(x)

untuk untuk untuk

x > 0, x = 0, x < 0.

tidak ada.

Bukti. Ambil dua barisan

(xn )

(yn ) dengan xn := n1 dan yn := − n1 . ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang

dan

kedua barisan ini konvergen

7

Jelas sama

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Gambar 3.4: Grak fungsi f (x) = sin(1/x) dengan

0.

(sgn(xn )) = sgn n1 = (1) = (1, 1, · · · ) (sgn(yn )) = sgn(− n1 ) = (−1) = (−1, −1, · · · ) kon-

Diperhatikan barisan

1, −1.

konvergen ke

tetapi

vergen ke

Berdasarkan kriteria ketiga maka terbukti limitnya tidak

ada.

Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x)

=

x untuk |x|

x 6= 0.

(−1)n gan mengambil xn := maka barisan (xn ) konvergen ke 0, xn n n (sgn(xn )) = sgn (−1) = (−1)n = (−1, +1, −1, · · · ) divergen. n

Contoh 3.9.

Buktikan

lim sin x1

(yn )

dengan

Tetapi

tidak ada.

f (x) = sin x1 , x 6= 0. Ambil 1 1 xn := nπ , yn := (π/2+2πn) . Maka jelas

Bukti. Di sini kita mempunyai

dan

6= 0.

Den-

dua barisan

(xn )

kedua barisan ini

konvergen ke nol dan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan

(f (xn )) = (sin nπ) = (1, 1, · · · ) → 1 (f (yn )) = (sin (π/2 + 2πn)) = (0, 0, · · · ) → 0 sehingga berdasarkan kriteria ketiga maka disimpulkan limitnya tidak ada.

f (x) = sin x1 diberikan pada Gambar 3.4. Pada gambar ini terlihat jelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [−1, 1], semakin dekat x kepada 0 semakin cepat osilasinya tetapi nilai f (x) tidak menuju titik

Ilustrasi grak fungsi

mana pun.

Teorema 3.4. Misalkan f : A −→ R dan c ∈ A. Maka kedua pernyataan berikut

ekuivalen. 1.

f

kontinu di

c

2. Untuk setiap barisan

(f (xn ))

konvergen ke

(xn ) f (c).

di dalam

8

A

yang konvergen ke

c,

maka barisan

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Bukti. Gunakan fakta

L := f (c).

f

kontinu di

c bila hanya bila limx→c f (x) = f (c) dan ambil

Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit.

Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut: kontinu di ke

c

tetapi

f

tidak

c jika hanya jika terdapat barisan (xn ) dalam A sehingga (xn ) konvergen (f (xn )) tidak konvergen ke f (c).

Contoh 3.10. *

fungsi

Fungsi

Beberapa fungsi tidak kontinu

ϕ(x) := 1/x tidak kontinu di 0 sebab ϕ(0) tidak ada. 0.

Juga, fungsi ini

tidak mempunyai limit di

*

Fungsi

s(x) :=

sgn(x) tidak kontinu di

0,

karena

limx→0 s(x)

tidak ada,

seperti telah dibahas sebelumnya. Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada

Contoh 3.11.

Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut

( 1 f (x) := 0 Buktikan

f

R.

bila bila

x x

rasional irrasional.

tidak kontinu dimana-mana.

Bukti. Misalkan

c bilangan real sebarang.

Ditunjukan

f

tidak kontinu di

c.

Bila

c

bilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu ter-

(xn ) yang konvergen ke c. Jadi lim(xn ) = c, tetapi barisan (f (xn )) = (0, 0, 0, · · · ) sehingga lim (f (xn )) = 0 6= f (c) = 1. Sebaliknya bila c bilangan irrasional maka terdapat barisan bilangan rasional (yn ) yang konvergen ke c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperoleh lim (f (xn )) = 1 6= f (c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c ∈ R. dapat barisan bilangan irrasional

3.3 Sifat-sifat Limit Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatas tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Sifat yang sama berlaku pada fungsi

yang mempunyai limit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal.

Denisi 3.4. Misalkan f : A −→ R, dan c ∈ R titik limit A. Fungsi f dikatakan terbatas lokal di c jika terdapat persekitaran Vδ (c) dan konstanta M > 0 sehingga |f (x)| ≤ M

untuk setiap

x ∈ A ∩ Vδ (c).

Teorema 3.5. Bila f : A −→ R mempunyai limit di c ∈ R maka f terbatas lokal

di c.

L := limx→c f (x), maka berdasarkan denisi untuk = 1, terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ A dengan 0 < |x − c| < δ berlaku |f (x) − L| < 1, yang berakibat |f (x)| < |L| + 1. Sedangkan untuk x = c maka |f (x)| = |f (c)|. Dengan mengambil M := sup {|f (c)|, |L| + 1} maka diperoleh |f (x)| ≤ M untuk setiap x ∈ A ∩ Vδ (c).

Bukti. Misalkan

9

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi didenisikan sebagai berikut

f (x) f (x) := (f + g) (x) := f (x)+g(x), (f g) (x) := f (x)g(x), (αf ) (x) := αf (x), h h(x) di mana domain fungsi-fungsi tersebut sama. Khusus untuk pembagian, disyaratkan

h(x) 6= 0

untuk setiap

x.

Teorema 3.6. Misalkan f, g : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila f dan g

mempunyai limit di c, katakan limx→c f (x) = F dan limx→c g(x) = G maka berlaku 1.

limx→c (f ± g) (x) = F ± G

2.

limx→c (f g) (x) = F G

3.

limx→c (αf ) (x) = αF untuk suatu konstanta α. F limx→c fg (x) = G asalkan G 6= 0 dan g(x) 6= 0

4.

untuk setiap

x.

Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan denisi limit fungsi,

tetapi lebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. Misalkan suatu barisan dalam

A

dimana

xn 6= c

lim (f (xn )) = F,

dan

dan

lim(xn ) = c,

(xn )

maka berlaku

lim (g(xn )) = G.

Diperoleh

lim ((f ± g) (xn )) = lim (f (xn ) ± g(xn )) = lim (f (xn )) ± lim (g(xn )) = F ± G. Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini mem-

limx→c (f ± g) (x) = F ± G,

berikan kesimpulan bahwa pernyataan (i).

yang membuktikan

Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara

yang sama.

Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi

f1 , f2 , · · · , fn

limx→c fk (x) = Fk maka berlaku lim (f1 f2 · · · fn ) (x) = lim f1 (x) lim fk (x) · · · lim fn (x) = F1 F2 · · · Fn .

dengan masing-masing

x→c

x→c

Lebih khusus, jika

x→c

f1 = f2 = · · · = fn := f maka diperoleh n lim (f (x))n = lim f (x) = F n . x→c

Jika

p

x→c

suatu polinomial pada

x→c

R,

yaitu

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

maka dengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh

lim p(x) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 = p(c).

x→c Selanjutnya, jika

p(x)

dan

q(x)

polinomial dan jika

q(c) 6= 0

maka berlaku

p(c) p(x) = . x→c q(x) q(c) lim

Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi suatu interval, maka begitu juga nilai limitnya.

10

f (x) terbatas dalam


Teorema 3.7. Misalkan f : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila a ≤ f (x) ≤ b untuk semua x ∈ A, x 6= 0 dan limx→c f (x) ada maka a ≤ lim f (x) ≤ b. x→c

(xn ) suatu barisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn ) = c maka berlaku lim (f (xn )) = limx→c f (x). Karena a ≤ f (xn ) ≤ b untuk setiap n ∈ N maka a ≤ limx→c (f (xn )) ≤ b. Jadi, a ≤ limx→c (f (x)) ≤ b.

Bukti. Misalkan

Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A −→ R dan c ∈ R titik limit A. Bila diketahui f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk setiap x ∈ A, x 6= c dan limx→c f (x) = L = limx→c h(x) maka limx→c g(x) = L. Bukti. Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya

menggunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan

(xn )

dalam

A

xn 6= c

dimana

dan

lim(xn ) = c,

maka berlaku

f (xn ) ≤ g(xn ) ≤ h(xn ). Dengan memandang

(f (xn )) , (g(xn )) dan (h(xn )) sebagai tiga barisan bilan-

gan real maka berlaku

lim (g(xn )) = lim (f (xn )) = lim (h(xn )) = L, sehingga disimpulkan

limx→c g(x) = L.

Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dan dari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama. Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang sering muncul sebagai rumus limit. Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatas yang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus.

* −x ≤ sin x ≤ x

untuk setiap

* 1−

x2 2

≤ cos x ≤ 1untuk

* x−

x3 6

≤ sin x ≤ x

x ≥ 0.

setiap

x ≥ 0.

untuk setiap

x ≥ 0.

Kali ini fakta tersebut tidak dibuktikan secara analitik, namun diberikan ilustrasi grasnya seperti diberikan pada Gambar 3.5.

Pada gambar ini terlihat urutan

ketinggian grak yang menunjukkan ketidaksamaan tersebut dipenuhi.

Contoh 3.12.

Buktikan limit sebagai berikut :

1.

limx→0 sin x = 0,

2.

limx→0 cos x = 1, limx→0 cos xx−1 = 0, limx→0 sinx x = 1,

3. 4.

11


Gambar 3.5: Ilustrasi ketidaksamaan melalui grak fungsi 5.

limx→0 x sin

1 x

= 0.

Bukti. Teorema squezee untuk limit fungsi memainkan peran sentral pada pem-

buktian berikut. 1. Karena berlaku

limx→0 x = 0

−x ≤ sin x ≤ x

untuk setiap

x ≥ 0

limx→0 (−x) =

dan

maka dengan teorema squeeze di peroleh

0 = lim −x ≤ lim sin x ≤ lim x = 0 x→0

sehingga terbukti

x→0

x→0

limx→0 sin x = 0. 2

limx→0 cos x = 1, gunakan fakta 1 − x2 ≤ cos x ≤ 1. 2 limx→0 (1 − x2 ) = limx→0 1 = 1 maka diperoleh limx→0 cos x = 1.

2. Untuk membuktikan Karena

3. Selanjutnya, dengan mengurangi ketiga ruas fakta ini dengan

1

maka diper-

oleh

−

x2 ≤ cos x − 1 ≤ 0, 2

Selanjutnya bagi ketiga ruang dengan

− dan untuk

x<0

untuk

x 6= 0.

x≥0

Untuk

x>0

berlaku

x cos x − 1 ≤ ≤0 2 x

diperoleh

0≤ Bila diambil fungsi

f

dan

( − x2 f (x) : = 0

h

cos x − 1 x ≤ . x 2

sebagai berikut

untuk untuk

x≥0 , x<0

12

( h(x) :=

0 − x2

untuk untuk

x≥0 x<0

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN maka untuk

x 6= 0

berlaku

f (x) ≤ Karena

cos x − 1 ≤ h(x). x

limx→0 f (x) = limx→0 h(x) = 0

maka disimpulkan

limx→0

cos x−1 x

=

0. 3

x − x6 ≤ sin x ≤ x untuk x ≥ 0. Bagi ketiga x2 ruas dengan x 6= 0. Untuk x > 0 diperoleh 1 − ≤ sinx x ≤ 1. Untuk x < 0, 6 2 x x bagi ketiga ruas dengan−x > 0, berlaku −1 + ≤ sin ≤ −1. Ketiga ruas 6 −x sin x x2 dikalikan −1 diperoleh 1 ≤ ≤ 1 − 6 . Denisikan x ( ( 2 1 − x2 untuk x ≥ 0 1 untuk x ≥ 0 f (x) : = , h(x) := x2 1 untuk x < 0 1 − 2 untuk x < 0

4. Untuk soal 4 gunakan fakta

Sehingga berlaku

sin x f (x) ≤ ≤ h(x). x x2 Karena limx→0 f (x) = limx→0 1 − = limx→0 h(x) = 1 maka disimpulkan 6 limx→0 sinx x = 1. 5. Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa −1 ≤ sin z ≤ 1 untuk semua 1 bilanga real z . Dengan mengganti z = , x 6= 0 maka diperoleh x

−1 ≤ sin

1 ≤ 1. x

Gunakan denisi nilai mutlak. Kalikan ketiga ruas bnetuk terakhir ini dengan

x>0

diperoleh

−|x| = −x ≤ x sin Bila dikalikan dengan

x<0

diperoleh

1 ≥ x = −|x| x

|x| = −x ≥ x sin Jadi untuk setiap

x∈R

dan

x 6= 0

berlaku

−|x| ≤ x sin limx→0 −|x| = limx→0 |x| = 0

Karena

0. Fungsi

x sin x1

1 ≤ x = |x|. x

berosilasi seperti fungsi

sin x1

1 ≤ |x|. x

maka disimpulkan

limx→0 x sin

1 x

=

sebelumnya tetapi ia semakin dekat

kepada nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis

y=x

dan

y = −x.

Pola ini ditunjukkan pada Gambar 3.6.

13

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN 0.4

0.3

0.2

0.1

0

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4 −0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Gambar 3.6: Grak fungsi y = x sin

0.4

1 x

3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi.

Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk

fungsi kontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkan fungsi penyebutnya tidak pernah nol.

Sifat aljabar fungsi kontinu

Teorema 3.9. Misalkan f, g : A −→ R, c ∈ A. Bila f dan g kontinu di c maka 1. Fungsi-fungsi 2. Bila

f ± g, f g

dan

h : A −→ R

fungsi

kontinu di f kontinu di c. h

αf

kontinu di

c∈A

dan

c.

h(x) 6= 0

untuk semua

x∈A

maka

Bukti. Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri.

nakan fakta

f (c) 6= 0

limx→c f (x) = f (c),

dan

limx→c h(x) = h(c).

Karena

c∈A

Gudan

maka berlaku

f f (c) limx→c f (x) f (c) = = = lim (x) h h(c) limx→c h(x) x→c h sehingga disimpulkan

Contoh 3.13.

bilangan real

p(x)

c.

Beberapa bentuk fungsi kontinu :

1. Fungsi polinomial

2. Bila

f kontinu di g

dan

p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0

kontinu di setiap

c. q(x)

fungsi rasional dan

rasional

c

yang

akar

p(x) ,x∈ / {α1 , α2 , · · · , αm } q(x) bukan akar q(x).

r(x) = kontinu di setiap

α1 , α2 , · · · , αm

14

q(x)

maka fungsi

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN 3. Fungsi

s(x) = sin x

c(x) = cos x

4. Fungsi

tan x, cot x, sec x

dan

dan

csc x

kontinu pada

R.

kontinu di mana mereka terdenisi.

Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar

Teorema 3.10. Misalkan f : A −→ R, kemudian didenisikan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar sebagai berikut

|f |(x) := |f (x)|, dan 1. Bila

f

2. Bila

f (x) ≥ 0

kontinu pada dan

Bukti. Gunakan sifat

f

A

p p f (x) := f (x).

maka demikian juga dengan

kontinu pada

A

maka

√

||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L|

f

|f |.

kontinu pada

A.

untuk menunjukkan berlaku

lim |f |(x) = | lim f (x)|.

x→c

x→c

limx→c f (x) = L maka untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |f (x) − L| < ε untuk 0 < |x − c| < δ . Untuk x dengan syarat ini berlaku Misalkan

||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L| < ε limx→c |f | (x) = |limx→c f (x)| = |f (c)| Jadi p = |f |(c). √ |f | kontinu di c. Untuk fungsi akar, gunakan hubungan f (x) − L = p √ 1 √ |f (x) − L| ≤ √1 |f (x)−L| untuk menunjukkan bahwa limx→c f (x) = L pf (x)+ L √ lim f (x) . Selanjutnya, dengan fakta ini dapat ditunjukkan limx→c f (x) = x→c p p √ limx→c f (x) = f (c) =: f (c). sehingga disimpulkan

Kekontinuan fungsi komposisi

Berikut diberikan syarat agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu.

Teorema 3.11. Bila A, B ⊆ R, f : A −→ R dan g : B −→ R. Bila f kontinu di

c ∈ A, g kontinu f (c) dan f (A) ⊆ B maka komposisi g ◦ f : A −→ R kontinu di c. Bukti. Diberikan

>0

sebarang. Karena

g

kontinu di

f (c)

maka terdapat

δ1 > 0

sehingga

y∈B Karena

f

dan

kontinu di

x∈A

|y − f (c)| < δ1 → |g(y) − g(f (c))| < . (∗)

c

maka untuk

dan

δ1 > 0

di atas, terdapat

δ>0

|x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < δ1 . (∗∗)

f (A) ⊆ f (B) maka f (x) ∈ B sehingga y = f (x). Jadi ruas kanan (∗) berlaku, yaitu

Karena

ruas kiri

(∗∗)

dipenuhi oleh

|g(f (x) − g(f (c))| = |g ◦ f (x) − g ◦ f (c)| < . >0

Kesimpulannya, setiap

x∈A yakni

g◦f

dan

kontinu di

sehingga

terdapat

δ>0

sehingga

|x − c| < δ −→ |g ◦ f (x) − g ◦ f (c)| < ,

c.

15


Contoh 3.14.

Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan

fungsi nilai mutlak dan fungsi akar kontinu. 1. Dengan mendensikan bahwa

g1

kontinu pada

g1 := |x| maka dengan mudah dapat ditunjukkan A, yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga

|g1 (x) − g1 (c)| = ||x| − |c|| ≤ |x − c|. f :A→R pada A.

Bila

sebarang fungsi kontinu pada

2. Dengan mengambil

c ≥ 0,

di setiap

g2 (x) :=

√

x, x ≥ 0

maka

A

g2

maka

g1 ◦ f = |f |

kontinu

dapat ditunjukkan kontinu

yaitu dengan menggunakan hubungan

√ √ x−c 1 1 x − c = √ x + √c = √x + √c |x − c| ≤ √c |x − c| . f :√ A → R, dengan f (x) ≥ 0 g2 ◦ f = f kontinu pada A. Bila

Bila syarat

f (A) ⊆ B

g

atau

sebarang fungsi kontinu pada

f (c)

kontinu di

A

maka

tidak terpenuhi maka ada kemungk-

inan komposisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Contoh 3.15.

Misal diberikan fungsi

( 0 g(x) := 2 Buktikan

g

dan

f

bila bila

kontinu di

0

f

dan

x=1 , x 6= 1

yang didenisikan sebagai berikut

f (x) := x + 1, x ∈ R.

g◦f

tetapi

g

tidak kontinu di

0.

Apakah hasil ini

bertentangan dengan teorema sebelumnya? Bukti. Untuk fungsi

Karena

f

kontinu di

g , limx→0 g(x) = limx→0 2 = 2 = g(0)

yakni

g

kontinu di

0.

berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti

0.

Sekarang bentuk komposisi

( 0 (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2

bila bila

g◦f

sebagai berikut

f (x) = 1 = f (x) 6= 1

( 0 2

bila bila

x=0 . x 6= 0

Uji kekontinuan sebagai berikut

lim g ◦ f (x) = lim 2 = 2 6= g ◦ f (0) = 0,

x→0 sehingga disimpulkan

x→0

g ◦f

tidak kontinu di

0.

Diperhatikan salah satu syarat

g kontinu di f (c) tidak dipenuhi. Alasannya f (0) = 1 dan limx→1 g(x) = 2 6= g(1) = 0 maka g tidak kontinu di f (0) = 1. Karena

teorema adalah

ada syarat pada teorema tidak dipenuhi maka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema.

16

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Eksistensi ekstrim mutlak

Eksitensi atau jaminan adanya ekstrem merupakan salah satu sifat penting pada fungsi konitnu. Eksistensi nilai maksimum dan minimum ini sangat banyak digunakan dalam teori optimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyak digunakan dalam bidang terapan karena sangat banyak masalah terapan yang berupa masalah optimasi. Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dan kaitannya dengan fungsi kontinu.

Denisi 3.5. konstanta

Sebuah fungsi

M >0

f : A −→ R

dikatakan terbatas pada

A

jika terdapat

sehingga

|f (x)| ≤ M Dengan kata lain, fungsi

f

untuk semua

x ∈ A.

image ) merupakan

terbatas jika rentang bayangannya (

himpunan terbatas.

Contoh 3.16.

1 kontinu pada A := (0, ∞) tetapi tidak terbatas x 1 pada A karena setiap bilangan real α > 0 terdapat x ∈ A, misalnya x = α+1 sehingga |f (x)| > α. Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas Fungsi

f (x) :=

B := (1, ∞) yaitu dengan mengambil M = 1. f kontinu tetapi tidak terbatas.

Pada himpunan terbatas

C = (0, 1],

fungsi

Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebut terbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.12. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I −→ R kontinu maka f terbatas pada I . f tidak terbatas pada I . Maka, untuk sebarang n ∈ N terdapat bilangan xn ∈ I sehingga |f (xn )| > n. Karena I terbatas maka ia memuat 0 barisan bagian X = (xnr ) dari X = (xn ) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema Bolzano-Wierestrass). Karena I tertutup dan xnr ∈ I maka x ∈ I . Karena f kontinu di setiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f (xnr )) konvergen ke f (x). Jadi, (f (xnr )) barisan terbatas. Padahal

Bukti. Andai

berlaku

|f (xnr )| > n ≥ nr

untuk setiap

r∈N

(f (xnr )) tidak terbatas. Diperoleh suatu kontradiksi. Jadi, pengandaian f tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti. yang menyatakan bahwa

Denisi 3.6.

Misalkan

mum mutlak (

f : A −→ R.

absolute maximum ) pada A f (x∗ ) ≥ f (x)

Dikatakan

f

Kita katakan

f

mempunyai sebuah maksi∗ jika terdapat titik x ∈ A sehingga

untuk semua

mempunyai minimum mutlak pada

x ∈ A. A

jika terdapat titik

x∗ ∈ A

sehingga

f (x∗ ) ≤ f (x) Selanjutnya, titik

untuk setiap

x ∈ A.

x∗ disebut titik maksimum mutlak dan x∗ disebut titik minimum

mutlak.

17

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN maksimum global

x* x*

minimum global

Gambar 3.7: Ilustrasi ekstrem global Gambar 3.8: Ilustrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16 Contoh 3.17.

f (x) := x1 tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlak pada domain A = (0, ∞), tetapi pada domain B = [1, 2] mempunyai ∗ maksimum mutlak dan minimum mutlak dengan titik maksimum x = 1 dan titik 2 minimum x∗ = 2. Fungsi g(x) := x mempunyai dua maksimum mutlak pada ∗ domain C := [−1, 1] yaitu x = ±1 dan satu minimum mutlak dengan x∗ = 0. Fungsi

Perhatikan Gambar

Teorema 3.13. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I −→ R kontinu maka f mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I . Bukti. Karena

f

f (I) := {f (x) : x ∈ I}

terbatas maka range

merupakan him-

punan terbatas. Berarti ia mempunyai supremum dan inmum, katakan s∗ = sup f (I) dan s∗ = inf f (I). Kita tunjukkan terdapat x∗ , x∗ ∈ I se∗ ∗ ∗ hingga f (x ) = s dan f (x∗ ) = s∗ . Karena s = sup f (I) maka untuk setiap

n ∈ N,

terdapat

xn ∈ I

sehingga

s∗ − Karena

I

1 < f (xn ) ≤ s∗ . (#) n

terbatas maka barisan X := (xn ) terbatas, sehingga ia memuat 0 = (xnr ) yang konvergen ke suatu x∗ ∈ I . Jadi f kontinu lim(f (xnr )) = f (x∗ ). Mengikuti (#), diperoleh

barisan bagian X ∗ di x . Akibatnya,

s∗ − Karena

lim(s∗ −

1 ) nr

1 < f (xnr ) ≤ s∗ nr = lim(s∗ ) = s

untuk setiap

r ∈ N.

maka dengan teorema squeeze, disim-

pulkan bahwa

lim (f (xnr )) = f (x∗ ) = s∗ . Untuk eksistensi titik minimum

x∗

dibuktikan sejalan.

3.5 Limit Satu Sisi Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di jika domainnya dibatasi pada interval

(0, ∞)

18

0

tidak ada. Tetapi

maka limitnya ada yaitu bernilai

1.

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN diberikan

diberikan

L+

L+ L

L-

|f(x) -L|<

L

|f(x) -L|< L-

terdapat

terdapat

c-

c

c c+

Gambar 3.9: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan) Juga, bila domainnya hanya dibatasi pada interval ada yaitu

−1.

(−∞, 0)

maka limitnya juga

Kasus seperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri

yang dimodikasi langsung dari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satu sisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi.

Denisi 3.7. 1. Bila

Misalkan

c∈R

dan

f : A −→ R.

A ∩ (c, ∞) = {x ∈ A : x > c}, kanan f di c, ditulis

titik limit

limit

dikatakan

A⊆R

maka bilangan real

L

L = lim+ f (x) x→c

> 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga 0 < x < c + δ maka berlaku |f (x) − L| < .

adalah jika diberikan

x∈A 2. Bila

dengan

c∈R

dikatakan

titik limit

A ∩ (−∞, c) = {x ∈ A : x < c}, di c, ditulis

limit kiri f

untuk semua

maka bilangan real

L

L = lim− f (x) x→c

> 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga c − δ < x < 0 maka berlaku |f (x) − L| < .

adalah jika diberikan

x∈A

dengan

Biasanya notasi

c

L = limx→c+ f (x) dibaca L adalah limit fungsi f

untuk semua

untuk

x mendekati

dari kanan. Analog untuk limit kiri.

Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.9 . kedua denisi ini, adanya nilai

f (c)

Pada

tetap tidak disyaratkan.

Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi, seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.14. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, maka berlaku pernyataan

berikut:

limx→c+ f (x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn ) yang konvergen ke c dimana xn ∈ A dan xn > c berakibat barisan (f (xn )) konvergen ke L ∈ R. limx→c− f (x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn ) yang konvergen ke c dimana xn ∈ A dan xn < c berakibat barisan (f (xn )) konvergen ke L ∈ R.

19

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Bukti. Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit

dua sisi.

Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi :

limx→c f (x) = L

Contoh 3.18.

bila hanya bila

limx→c− f (x) = limx→c+ f (x) = L

Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh

lim

x→0+

sgn(x)

= 1,

lim

x→0−

sgn(x)

= −1.

Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya

limx→0 sgn(x)

tidak ada.

Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada.

Sebagai ilustrasi

amati contoh berikut.

Contoh 3.19.

g(x) := e1/x , x 6= 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi 1 limit kirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1/x , x 6= 0 mempunyai limit e +1 kiri di 0 yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why ???). Karena limit kiri dan Fungsi

kanan tidak sama maka limit dua sisinya tidak ada.

3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz

20

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Recommend Documents