LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM
Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya 1000} Terdapat bilangan x mendekati 0 dari kiri/bawah/negatif Terdapat Bilangan x mendekati 0 dari kanan/atas/positif Terdapat Bilangan x menuju tidak berhingga atau x naik tidak berhingga Terdapat bilangan x menuju minus tidak berhingga atau turun minus tidak berhingga
Bilangan tidak tertentu = bilangan yang diberi hasil apa saja akan bernilai benar Bilangan tidak tertentu dimunculkan sebab sering dikacaukan antara bilangan tertentu dan tidak tertentu pada operasi hitung untuk bilangan 0, 1, dan ∞ 0 , ∞ , ∞ - ∞ , 0. ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ 0 ∞
Definisi • f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk x x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif d sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < d berlaku |f(x) – L| < h. • Pernyataan 0 < |x – x0| < d berarti untuk semua x yang memenuhi x0 – d < x < x0 + d.
Ilustrasi
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi x 1 2
f (x)
x 1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berben 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01 1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2.0001 2.001 2.01 2.1
x
7
Secara grafik Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
f(x) 2 f(x)
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
º
x 1
x
lim
x
2
1
x 1
x1
x
2
1
Dibaca “ limit dari x 1 1 adalah 2
2
untuk x mendekati
lim f ( x ) L Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berar x c bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L 8
Contoh
1. 2. 3. 4.
lim 3 x 5 8 x1
lim
2x
2
3x 2 x 2
x 2
x9
lim
x 9
x 3
( 2 x 1 )( x 2 )
lim
x 2
x 2
lim
x 9
x9
lim 2 x 1 5 x 2
x 3
x 3
lim
x 3
( x 9 )(
x 3)
lim
x 9
x9
x 9
x 3 6
lim sin( 1 / x ) x 0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x sin( 1 / x )
2 /
2 / 2
1
0
2 / 3
-1
2 / 4
0
2 / 5
2 / 6
1
0
2 / 7
-1
2 / 8
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada 9
Limit Kiri dan Limit Kanan x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi
c
lim x c
c
f (x)
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi
x
lim
x c
f (x)
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) lim f ( x ) L x c
Jika
lim x c
lim x c
f (x)
lim x c
f ( x ) L dan
lim x c
f (x) L
f ( x ) maka lim f ( x ) x c
tidak ada 10
Contoh Diketahui x , x 0 f (x) x , 0 x 1 2 x2 , x 1 2
1.
a. Hitunglim
x 0
f (x)
b. Hitung) lim x1
c. Hitung lim
x 2
f (x)
Jika ada
f (x)
d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0 11
lim x 0
lim x 0
f ( x ) lim x
2
x 0
0 lim f ( x ) 0 x 0
f ( x ) lim x 0 x 0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1 lim f ( x ) lim x 1 x1
lim f ( x ) x1
x1
lim 2 x
Karena lim f ( x ) lim 3
2
x1
x1
x1
lim f ( x ) Tidak x1
ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari kiri dan limit kanan di x=2 lim f ( x ) x 2
lim 2 x 6 2
x 2
12
d.
3
di x=1 limit tidak ada º
f (x) 2 x
2
1
Untuk x 0 f (x) x
2
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
Untuk
0
f(x)=x Grafik:garis lurus
Grafik: parabola 13
2. Tentukan konstanta c agar fungsi 3 cx , x 1 f (x) 2 x c, x 1
mempunyai limit di x=-1
Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan lim x 1
lim x 1
f (x)
lim 3 cx 3 c x 1
Agar limit ada
3+c=1-c
f ( x ) lim x 2 c 1 c x 1
C=-1 14
Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
1.
lim
x 3
f (x)
2. lim f ( x ) x 1
3.
lim f ( x )
4.
lim f ( x )
5.
lim f ( x ) x1
6. f(-3) 7. f(-1)
x1
x1
8.
f(1)
15
Soal Latihan B.
x 1, x 1 1. Diketahui : f ( x ) 2 x x 2, x 1 2
a.Hitung lim x1
f (x)
dan
lim x 1
b. Selidiki apakah lim
f (x)
f (x)
ada, jika ada hitung limitnya
x 1
2. Diketahui g ( x ) x 2 3 x , hitung ( bila ada ) :
a. lim x 2
g(x)
3. Diketahui
a. lim x 2
b. lim x 2
f (x) f (x)
x 2
g(x)
c. lim g ( x ) x 2
, hitung ( bila ada )
x 2
b. lim x 2
f (x)
c. lim
f (x)
x 2 16
Sifat limit fungsi Misal (limit dari f , g ada dan berhingga)
lim f ( x ) L dan lim g ( x ) G x a
x a
maka 1.
lim
f (x)
2.
lim
f ( x ) g ( x )
3. 4. 5.
x a
x a
f (x)
lim
x a
g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) L G x a
g (x)
lim ( f ( x ))
x a
n
x a
x a
x a
lim g ( x ) x a
n
x a
lim
lim f ( x ) lim g ( x ) LG
lim f ( x )
f (x)
x a
L
, bila G 0
G
( lim f ( x ))
,n bilangan bulat positif
n
x a
n
lim f ( x ) x a
n
L
bila n genap L harus positif 17
Prinsip Apit Misal f ( x ) g ( x ) h ( x )
untuk x disekitar c dan
lim f ( x ) L serta
maka
lim h ( x ) L
x c
x c
lim g ( x ) L x c
Contoh Hitung lim ( x 1 ) 2 sin ( x 1 ) ( x 1 ) sin 2
Karena
2
x 1 1 x 1
1 sin(
( x 1)
1 x 1
2
2
x1
x 1
) 1
dan lim ( x 1 )
1
0
, lim ( x 1 ) 0 2
x1
maka lim ( x 1 ) sin 2
x1
1 x 1
0 18
Limit Fungsi Trigonometri 1 . lim
sin x
x 0
1
x
2 . lim cos x 1 x 0
3 . lim
tan x
x 0
1
x
Contoh
lim
x 0
3 x sin 4 x 5 x tan 2 x
3 lim
x 0
5
sin 4 x 4x tan 2 x
3 lim
.4
5 lim
.2
x 0
2x 3 lim
4 x 0
5 lim
2 x 0
sin 4 x 4x tan 2 x
x 0
4x tan 2 x
.4 .2
2x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
.4 .2
sin 4 x
7 3
2x 19
Soal Latihan Hitung
1.
lim
2.
lim
3.
t 0
t 0
lim
t 0
4.
lim
5.
lim
t 0
x 0
tan
2
3t
2t cot t sin t 2 sec t
cos
2
t
1 sin t sin 3 t 4 t t sec t
tan x sin 2 x
20
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga Misal
lim f ( x ) L 0 dan lim g ( x ) 0 , maka x a
lim
x a
x a
( i ) , jika
L 0 dan g ( x ) 0 dari arah
atas
( ii ) , jika
L 0 dan g ( x ) 0 dari arah
bawah
( iii ) , jika
L 0 dan g ( x ) 0 dari arah
( iv ) , jika
L 0 dan g ( x ) 0 dari arah
f (x)
g (x)
bawah atas
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x negatif. 21
Contoh Hitung
a.
x
lim x1
2
1
b. lim
x 1
x
x 1
x
2 2
1
c. lim
1
x
x
sin x
Jawab a.
lim x x1
2
Sehingga lim lim x 1
x 1 2
x1
b.
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
1 2 0
x 1
akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadr kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positi x 1
g (x) x 1
x 1 2 0
2
2
2
Sehingga
x 1 2
lim x 1
x 1 2
22
c.
Karena
f(x)=sinx
dan
lim x 0 x
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif) sehingga lim x
x
sin x
23
Limit di Tak Hingga a.
jika
lim f ( x ) L x
0 M 0 x M | f (x) L |
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh Hitung lim
x
x
2x 5
2
2x
2
4
Jawab lim
x
x
2
2x 5
2x
2
4
x (1 2
lim
x
2 x
x (2 2
5 x
4 x
2
2
)
)
1 lim
x
2
5
x 2
x 4 x
2
2
= 1/2 24
b.
lim
x
f (x) L
jika
0 M 0 x M | f (x) L |
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L
x Contoh Hitung lim
x
2x 5 2x
2
4
Jawab lim
x
2x 5 2x
2
4
x ( 2x 2
lim
x
x (2 2
5 x
2
4 x
)
2 )
lim
x
( 2x (2
5 x
2
4 x
2
)
=0
) 25
Contoh Hitung lim
x
x
Jawab : Jika x lim
x
2
x3 x
, limit diatas adalah bentuk (
x x 3 x lim 2
x
x
x
2
| x |
x x3 x( 2
lim
x
)
x x3 x 2
x x3 x
2
x x3 x 2
x (1
lim
x
x x3 x 2
2
lim
)
x (1 2
1 ( 1
1 x
1 x
3 x
x
2
x
2
x x3 x 2
) x xlim
3 x
x
) 3
3
x3
lim
1)
x (1 x 1
1 x
3 x
) 3 x
2
x
1 2 26
Soal Latihan
Hitung 1. 2.
3 x lim x 3
lim x 2
3 x .
3 x2 4
3. lim ( x 1 x
x)
x
4. 5.
lim
x 1 x
x lim x
2
2
x
x1
x 1 2
6. lim
x
x 1
27
Contoh
Kontinuitas
Kontinuitas • Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama. • Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif d sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < d atau x0 – d < x < x0 + d.
