3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
1
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi
x2 −1 f ( x) = x −1 Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
2
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
2
Secara grafik Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
f(x) 2 f(x)
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
º
x
1
x
x2 −1 lim =2 x →1 x − 1 x2 −1 Dibaca “ limit dari untuk x mendekati x −1 1 adalah 2
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim f ( x) = L berarti x→c bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L 3
Contoh 1. lim 3x + 5 = 8 x →1
2 x 2 − 3x − 2 (2 x + 1)( x − 2) lim = lim 2. x→2 x →2 x−2 x−2
3.
lim x →9
x−9 x −3
= lim
x−9
= lim 2 x + 1 = 5 x→2
x +3
( x − 9)( x + 3) = lim x + 3 = 6 x →9 x − 3 x + 3 = lim x →9 x−9
x →9
4. lim sin(1 / x) x→0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x
2/π
sin(1 / x) 1
2 / 2π
2 / 3π
2 / 4π
2 / 5π
2 / 6π
0
-1
0
1
0
2 / 7π
-1
2 / 8π
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada 4
Definisi limit
lim f ( x) = L jika ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ∍ 0 < | x − c | < δ ⇒ | f ( x) − L | < ε x→c ε ε
L
º
L
º c
c
δ δ
Untuk setiap ε > 0 L
º
c −δ c c +δ
0 <| x − c |< δ
Terdapat δ > 0 sedemikian sehingga L+ε L −ε
L
º c
| f ( x) − L |< ε 5
Limit Kiri dan Limit Kanan x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi
c
lim− f ( x)
x→c
c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi
x
lim f ( x)
x→c +
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = L dan lim+ f ( x) = L x→c
Jika
x→c
x→c
lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) maka lim f ( x) tidak ada
x→c
x→c
x→c
6
Contoh Diketahui 1.
⎧ x 2 , x ≤ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x , 0 < x < 1 ⎪2 + x 2 , x ≥ 1 ⎩
a. Hitung lim f ( x) x→0
b. Hitung lim f ( x)
Jika ada
x→1
c. Hitung lim f ( x) x→2
d. Gambarkan grafik f(x) Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
7
lim− f ( x) = lim x 2 = 0
x→0
x →0 −
lim f ( x) = 0 x →0
lim+ f ( x) = lim+ x = 0
x→0
x→0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
lim− f ( x) = lim− x = 1
x →1
x →1
lim+ f ( x) = lim+ 2 + x = 3 2
x →1
Karena lim f ( x) ≠ lim f ( x) − + x→1
x→1
lim f ( x) Tidak ada x→1
x →1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
lim f ( x) = lim 2 + x 2 = 6 x→2
x →2
8
Grafik f(x)
3
di x=1 limit tidak ada º 1
Untuk x
≤0
f ( x) = x 2 Grafik: parabola
Untuk 0<x<1 f(x)=x Grafik:garis lurus
Untuk x
≥ 1
f ( x) = 2 + x 2 Grafik: parabola 9
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
⎧3 − cx, x < −1 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − c, x ≥ −1 mempunyai limit di x=-1 Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan
lim− f ( x) = lim− 3 − cx = 3 + c
x→−1
x→−1
lim+ f ( x) = lim x 2 − c = 1 − c x→−1
Agar limit ada
3+ c=1-c
x →−1+
C=-1 10
Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f ( x) 1. xlim →−3 2.
lim f ( x)
x →−1
f ( x) 3. lim x→1 4. lim− f ( x) x →1
5.
lim f ( x)
x →1+
6.
f(-3)
7.
f(-1)
8.
f(1) 11
Soal Latihan B. ⎧ x 2 + 1, x ≤ 1 1. Diketahui : f ( x) = ⎨ 2
⎩ x − x + 2, x > 1
a. Hitung
lim f ( x) dan lim+ f ( x) x →1−
x →1
b. Selidiki apakah lim f ( x ) ada, jika ada hitung limitnya x →1
2. Diketahui g ( x) = x − 2 − 3x , hitung ( bila ada ) : a.
lim
x →2 −
g( x)
b. lim g( x ) x →2 +
c.
lim
g( x )
x→2
x − 2 , hitung ( bila ada ) 3. Diketahui f ( x) = x−2 a. lim f ( x) f ( x) f ( x) lim c. lim b. − x→ 2
x→ 2+
x →2
12
Sifat limit fungsi Misal
lim f ( x) = L dan lim g ( x) = G (limit dari f , g ada dan berhingga) x→a x→a maka 1.
lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = L ± G x→a
x→a
x→a
2. lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = LG x→a
x→a
x→a
f ( x) L f ( x) lim x→a 3. lim = = , bila G ≠ 0 x→a g ( x) lim g ( x) G x→a
4.
lim( f ( x))n = (lim f ( x))n ,n bilangan bulat positif x →a
x →a
5. lim n f ( x) = n lim f ( x) = n L x →a
x →a
bila n genap L harus positif
13
Prinsip Apit Misal f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) untuk x disekitar c dan
lim f ( x) = L serta lim h( x) = L maka
x→c
x→c
lim g ( x) = L x →c
Contoh Hitung
lim( x − 1) 2 sin x →1
Karena dan
1 − 1 ≤ sin( ) ≤1 x −1 lim− ( x − 1) 2 = 0 x →1
maka
lim( x − 1) 2 sin x →1
1 x −1 − ( x − 1) 2 ≤ ( x − 1) 2 sin
1 ≤ ( x − 1) 2 x −1
, lim( x − 1) 2 = 0 x →1
1 =0 x −1
14
Limit Fungsi Trigonometri
sin x 1. lim =1 x →0 x
2. lim cos x = 1 x→0
tan x =1 x →0 x
3. lim
Contoh sin 4 x sin 4 x .4 3 + lim .4 3x + sin 4 x x →0 4 x 4 x lim = lim = x →0 5 x − tan 2 x x →0 tan 2 x tan 2 x 5− .2 5 − lim .2 x →0 2x 2x x à 0 ekivalen dgn 4x à 0 sin 4 x 3 + lim .4 7 4 x →0 4x = = tan 2 x 5 − lim .2 3 2 x →0 2x 3+
15
Soal Latihan Hitung 1.
tan 2 3t lim t →0 2t
2.
lim
3.
cos 2 t lim t →0 1 + sin t
4.
lim
5.
tan x lim x →0 sin 2 x
t →0
t →0
cot π t sin t 2 sec t
sin 3t + 4t t sec t
16
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga
f ( x) = Misal lim f ( x) = L ≠ 0 dan lim g ( x) = 0 , maka lim x → a g ( x) x→ a x→ a (i) + ∞ , jika L > 0 dan g ( x) → 0 dari arah atas (ii) − ∞ , jika L > 0 dan g ( x) → 0 dari arah bawah
(iii ) + ∞ , jika L < 0 dan g ( x) → 0 dari arah bawah (iv) − ∞, jika L < 0 dan g ( x) → 0 dari arah atas Ctt :
g(x) à 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif. g(x) à 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif. 17
Contoh Hitung 2 x a. lim− + 1 x →1 x − 1
x2 +1 b. lim− 2 x →−1 x − 1
c. lim+ x →π
x sin x
Jawab a. lim− x 2 + 1 = 2 > 0 x →1
Sehingga
x2 +1 lim− = −∞ x →1 x − 1
2 b. lim− x + 1 = 2 > 0 x →−1
Sehingga
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x à 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
g ( x) = x 2 − 1akan menuju 0 dari arah atas, karena x à -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga x 2 − 1 bernilai positif
x2 +1 lim− 2 = +∞ x →−1 x − 1
18
c.
Karena
f(x)=sinx
lim+ x = π > 0
x→π
dan
π
x
Jika x menuju π dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif) sehingga
x lim+ = −∞ x →π sin x
19
Limit di Tak Hingga a. lim f ( x) = L x→∞
∀ε > 0 ∃ M > 0 ∍ x > M ⇒ | f ( x) − L | < ε
jika
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh Hitung x 2 + 2x + 5 lim x →∞ 2x 2 + 4
Jawab
2 5 + 2 2 x ( 1 + + ) x + 2x + 5 x x = lim = lim lim x →∞ 4 x →∞ x →∞ 2x 2 + 4 x 2 (2 + x42 ) 2+ 2 x 2
2 x
5 x2
1+
= 1/2 20
b.
lim f ( x) = L
x→−∞
jika
∀ε > 0 ∃ M < 0 ∍ x < M ⇒ | f ( x) − L | < ε
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L x Contoh Hitung 2x + 5 x →−∞ 2 x 2 + 4 Jawab lim
x 2 ( 2x + x52 )
2x + 5 lim 2 = lim 2 x →−∞ 2 x + 4 x →−∞ x (2 +
4 x2
)
= lim
x → −∞
( 2x + x52 ) (2 +
4 x2
)
=0 21
Contoh Hitung
x2 + x + 3 + x
lim
x → −∞
Jawab : Jika x à
lim
x →−∞
∞
, limit diatas adalah bentuk ( ∞ − ∞ )
2
x + x + 3 + x = lim x 2 + x + 3 + x ( x →−∞
x2 + x + 3 − x2
= lim 2
x =| x |
x2 + x + 3 − x x(1 + 3x )
x → −∞
= lim
x →−∞
= lim
x → −∞
x2 + x + 3 − x 2
x + x+3 − x
= lim
x → −∞
x+3 x2 + x + 3 − x
x 2 (1 + 1x + x32 ) − x = xlim → −∞ 1 + 3x
− ( 1 + 1x + x32
1 =− 2 + 1)
)
x(1 + 3x ) − x 1 + 1x +
3 x2
−x
22
Soal Latihan Hitung
3+ x 1. lim+ 3 − x x→ 3 3 lim 2. 2 x→ 2+ x − 4
.
3.
lim ( x − 1 − x ) x →∞ x 4. lim x→∞ 1 + x 2 x2 + x 5. lim x + 1 x→∞
x2 +1 6. lim x →−∞ x − 1 23
Kekontinuan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada x→a
(iii) lim f ( x) = f (a) x→a
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a (i) º a
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a 24
(ii) L2 L1
a
Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
f(a)
●
L
º
f(a) ada
lim f ( x) ada x→a
a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a 25
f(a) ada
(iv)
lim f ( x) ada x→a
f(a)
lim f ( x) = f (a) x→a
a f(x) kontinu di x=a Ketakkontinuan terhapus º a
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
26
contoh Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya ⎧ x 2 − 4 ⎧ x + 1, x < 2 x2 − 4 ⎪ , x ≠ 2 f ( x ) = a. f ( x) = b. f ( x) = ⎨ x − 2 c. ⎨ 2 x−2 ⎩ x − 1, x ≥ 2 ⎪⎩ 3 ,x = 2 Jawab : a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu di x=2
b. f(2) = 3
x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) lim = lim = lim x + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2 x →2 ( x − 2)
lim f ( x) ≠ f (2) x→2
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di x=2 27
c.
- f (2) = 2 2 − 1 = 3 -
lim− f ( x) = lim− x + 1 = 3
x→2
x→2
2
lim+ f ( x) = lim+ x − 1 = 3
x →2
lim f ( x) = 3 x→2
x →2
- lim f ( x) = f (2) x→2
Karena semua syarat dipenuhi à f(x) kontinu di x=2
28
Kontinu kiri dan kontinu kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
lim− f ( x) = f (a)
x→a
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
lim f ( x) = f (a)
x→a +
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi ⎧ x + a, x < 2 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ax − 1, x ≥ 2
Kontinu di x=2
29
Jawab : Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2
lim− f ( x) = f (2)
x→2
lim− f ( x) = lim− x + a = 2 + a
x→2
x→2
f (2) = a 2 2 − 1 = 4a − 1
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a=1 f kontinu kanan di x=2
lim+ f ( x) = f (2)
x→2
f (2) = a 2 2 − 1 = 4a − 1
lim+ f ( x) = lim+ ax 2 − 1 = 4a − 1
x →2
Selalu dipenuhi
x →2
30
Soal Latihan
⎧ x 2 − 1, x ≤ −1 1. Diketahui f ( x) = ⎨ ⎩2 x + 2, x > −1 selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 2. Agar fungsi
⎧ x + 1, x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ax + b,1 ≤ x < 2 ⎪ 3x, x ≥ 2 ⎩ kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ? 3. Tentukan a dan b agar fungsi
⎧ ax 2 + bx − 4 ⎪ f ( x) = ⎨ x − 2 , x < 2 ⎪⎩ 2 − 4 x, x≥2 kontinu di x = 2 31
Kekontinuan pada interval n
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
n
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f(x) kontinu pada ( a,b ) 2.
f(x) kontinu kanan di x = a
3.
f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ). 32
n n n n
Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan f ( x) = n x , maka ¨ f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil ¨ f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap. Contoh : tentukan selang kekontinuan f ( x) = x − 4 Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4. lim f ( x) = lim+ x − 4 = 0 = f (4)
x →4+
x →4
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, ∞ ) 33
Soal Latihan A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
x 2 + 3x 1. f ( x ) = x+3 2. f ( x ) =
x−2 3. f ( x ) = | x|−2
x2 − 4 x3 − 8
B. Tentukan dimana f(x) kontinu 1. f ( x) = 2. f ( x) =
x −1 4 − x2 − 9
4x − x2
34
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi n
Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika lim g ( x) = L dan f(x) kontinu di L, maka x →a
lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L) x→a
n
x→a
Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi ( f ! g )( x) kontinu di a. Bukti lim( f ! g )(x) = lim f ( g ( x)) x →a
x →a
= f (lim g ( x)) x→a = f(g(a)) = (fog)(a)
karena f kontinu di g(a) karena g kontinu di a
35
Contoh Tentukan dimana fungsi
⎛ x 4 − 3x + 1 ⎞ ⎟⎟ f ( x) = cos⎜⎜ 2 ⎝ x + 3x − 4 ⎠ kontinu Jawab : Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
f ( x) = ( g ! h)( x) dengan
x 4 − 3x + 1 h( x ) = 2 x + 3x − 4
dan g(x) = cos x
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
36
