LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut: a) Himpunan bilangan asli:

 1, 2,3, 4,5,... .

b) Himpunan bilangan bulat:

 ..., 2, 1,0,1, 2,... .

c) Himpunan bilangan rasional:

p    | p, q  , q  0  . q 

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan . Dari sini akan kita peroleh bahwa:







.

Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real.

A. Notasi interval: Misalkan diberikan a, b 

, maka:

1.  a, b   x  | a  x  b

5. (a, )  x  | a  x

2.  a, b  x  | a  x  b

6. [a, )   x  | a  x

3. [a, b)  x  | a  x  b

4. (a, b]  x  | a  x  b

7.  , b   x  | x  b

8. (, b]  x  | x  b

B. Persekitaran dan titik limit Definisi: Jika

p

(himpunan semua bilangan real) dan bilangan

  0 , himpunan

N ( p )   p   , p     x 

p   x  p 

 x 

  x  p  

 x 

x  p  

Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini persekitaran tersebut.



disebut jari-jari (radius)

Contoh: 1.

p  1,  

2 2 . Persekitaran 1 dengan radius adalah 5 5 2 5 2 5 2  2 N 2 (1)  1  , 1      ,   5 5 5 5 5  5 5

.

3 7 3 7    ,   x  x  5 5 5 5  1 1 2. p  2,   . Persekitaran 2 dengan radius adalah 2 2 1 1 2 1 2 1  N 1 (2)   2  , 2      ,   2 2 2 2 2 2  2 1 3    ,   x  2 2  3.

1 3 x  2 2

p  3,   1 . Persekitaran 3 dengan radius 1 adalah N1 (3)   3  1, 3  1   2, 4    x 

4.

2  x  4

p  5,   4 . Persekitaran 5 dengan radius 4 adalah N4 (5)   5  4, 5  4   1, 9   x 

5.

.

p

1  x  9

ab ba ab ba ,  . Persekitaran dengan radius adalah 2 2 2 2  ab N ( p )  N b  a   2  2 

 ab ba ab ba    ,   2 2 2   2   a, b   x 

a  x  b

Definisi: Diketahui

A  , p  .

Titik

disebut

p

titik

limit

A,

jika

  0

berlaku

N ( p)  A   p   atau  N ( p)   p  A   . Dengan kata lain: Titik

p disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik p memuat x  A dengan x  p .

Catatan: Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut. Contoh : 1. Diberikan

A   2, 3  7,8 . Perhatikan bahwa:

a) Setiap titik

p   2, 3  x  | 2  x  3  ..., 1,...,0,...,1,..., 2,...,3 merupakan titik

limit himpunan A, sebab untuk setiap

 0

berlaku

N ( p)  A   p   .

b) Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun 2  A . Dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval tertutup [-2,3] adalah titik limit himpunan A. c) Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun

  0 , misal  

7, 8  A karena ada

1 sehingga 5

   1 1   N 1 (7)  A   7    7  , 7    A   7 5 5    5   4 1      6 , 7   A   7  5 5    1 1     ..., 7, 7 , 7 ,...  A   7 7 6     7  7   dan

   1 1   N 1 (8)  A   8    8  ,8    A   8 5  5   5   4 1      7 ,8   A   8  5 5  

.

 1 1     ...,8,8 ,8 ,...  A   8 7 6     8  8   2. Diberikan

1  1 1 1 1   1 1 1  B   | n     , , , ,....  1, , , ,.... . Perhatikan bahwa: n  1 2 3 4   2 3 4 

x  B bukan merupakan titik limit himpunan B karena jika diambil suatu persekitaran 1 1 1   1   dari titik p  1 maka 2 2 4

a) Setiap

   1 1   N 1 1  B   1   1  ,1    B   1 4  4   4   3 5      ,   B   1  4 4    4     ..., ,...  B   1  4  

.

 ...,1,...  B   1  1  1  

b) Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun

0  B . Jelas bahwa

1  inf  n  N   0 dan untuk setiap bilangan   0 berlaku N (0)  B  0   . n  Latihan: Semesta pembicaraan untuk soal-soal berikut adalah himpunan semua bilangan real 1. Tentukan persekitaran dari titik 9 dengan a) Jari-jari 1 b) Jari-jari 3 c) Jari-jari 5 d) Jari-jari 7 e) Jari-jari 9 2. Tentukan persekitaran dari titik -3 dengan a) Jari-jari 2 b) Jari-jari 4 c) Jari-jari 6 d) Jari-jari 8 e) Jari-jari 10 3. Tentukan titik limit dari himpunan: a) A = (1,7] b) B = (2,5) c) C = [0,1) d) D = [0,1)  {2}

p    | p, q  , q  0  q   1, 2,3, 4,5,...

e) Himpunan semua bilangan rasional f)

Himpunan semua bilangan asli

.

C. Limit Fungsi Definisi Diketahui Fungsi

 

dan dua fungsi

 f , f  g , fg , dan

f : D f     dan g : Dg     dengan D f  Dg   .

f berturut-turut didefinisikan sebagai berikut : g

 f  x    . f  x  untuk setiap x  D f . (ii).  f  g  x   f  x   g  x  untuk setiap x  D f  Dg . (iii).  fg  x   f  x  .g  x  untuk setiap x  D f  Dg . f  x f (iv). untuk setiap x  D f  Dg   x  Dg : g  x   0 .  x  g g  x (i).

Definisi Diketahui fungsi

f : D f     dan c titik limit D f . Bilangan L  disebut limit fungsi f di

c ditulis lim f ( x)  L , jika untuk setiap   0 terdapat   0 sedemikian sehingga jika x  D f x c

dan

0  x  c   maka f  x   L   .

Dengan kata lain : Jika

x  D f  N  c  dan x  c berakibat f  x   N  L  dikatakan f  x  berlimit L untuk

x  c dan ditulis lim f ( x)  L . x c

Ilustrasi:

Sumber gambar: wikipedia Catatan :

Limit fungsi

f di c dapat didefinisikan hanya untuk c yang merupakan titik limit D f .

Perhatikan :

x  D f  N  c  dan x  c  x  D f , c    x  c   , x  c .

(i). (ii).

f  x   N ( L )  f  x   L   .

Sehingga diperoleh Teorema berikut Teorema Diberikan fungsi

f : A  D f     dengan c titik limit D f .

lim f ( x)  L    0,    0  x  D f dan 0  x  c   x c

f  x  L   .

berakibat

Definisi Diketahui fungsi

f : D f     dan a titik limit D f .

(i) Jika ada bilangan real sehingga berlaku

f  x   k   untuk setiap x   a, a     D f maka dikatakan f  x 

mempunyai limit kanan (ii) Jika ada bilangan real sehingga berlaku

k sehingga untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan   0 k untuk x  a dan dituliskan dengan lim f ( x)  k . x a

l sehingga untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan   0

f  x   l   untuk setiap x   a   , a   D f maka dikatakan f  x 

mempunyai limit kiri

k untuk x  a dan dituliskan dengan lim f ( x)  l . x a

Teorema Diberikan fungsi

f : D f     dengan a titik limit D f .

lim f ( x)  l (ada)  lim f ( x)  lim f ( x)  l . x a

x a

x a

Contoh: 1. Tunjukkan bahwa

lim  3x  4   10 ! x 2

Penyelesaian:

  0 . Kita akan menentukan   0 0  x  2   maka berlaku  3x  4   10   .

Misalkan diberikan sebarang

sedemikian sehingga jika

Perhatikan bahwa:

 3x  4 10  3x  6  3  x  2  3  x  2    akan berlaku jika

 x  2 

 3

, sehingga kita pilih



 3

 0.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hingga

jika

0 x2 

maka

berlaku

 0

terdapat

 3x  4  10   ,



atau

 3

 0 sedemikian

terbukti

bahwa

lim  3x  4   10 . x 2

2. Tunjukkan bahwa

1  1! x 1 x

lim

Penyelesaian:

  0 . Kita akan menentukan   0 1 0  x  1   maka berlaku  1   . x

Misalkan diberikan sebarang

sedemikian sehingga jika

Perhatikan bahwa:

1 1 1 1 x x 1 1 1      x 1 x x 1 x x x 1 1 3 Apa yang akan kita lakukan pada x? Jika kita putuskan x  1  maka berlaku x 2 2 2 1 sehingga  2 . Oleh karena itu x 1 1 1  x 1  2 x 1 x x sehingga kita pilih

 1    min  ,   0 . 3 2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hingga jika

0  x  1   maka berlaku

 0

terdapat

 0

sedemikian

1 1  1   , atau terbukti bahwa lim  1 . x 1 x x

Latihan: 1. Buktikan bahwa

lim x  1 ! x 1

2. Buktikan bahwa

lim 2 x  2 !

3. Buktikan bahwa

lim  x  1  3 !

4. Buktikan bahwa

lim  x  1  2 !

5. Buktikan bahwa 6. Buktikan bahwa

x 1

x 2

x 3

lim  3x  4   1 !

x 1

2  1! x 2 x

lim

6  2! x 1 1  ! 8. Buktikan bahwa lim x 2 2 x 4 2 1  ! 9. Buktikan bahwa lim x 2 3 x 3 2 10. Buktikan bahwa lim x  1 ! 7. Buktikan bahwa

lim x 3

x 1

D. Teorema Yang Ada Pada Limit Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada limit suatu fungsi: 

Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, x a

dengan k konstanta, k dan a  real 

Jika f(x) = x, maka lim f(x) =a



lim {f(x)  g(x)} = lim f(x)  lim g(x)



lim k.f(x) = k. lim f(x), k konstanta



lim {f(x).g(x)} = lim f(x) . lim g(x) x a

x a



lim

f(x) f(x) lim  x a , lim g(x)  0 g(x) lim g(x)

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a







lim {f(x)} n = lim f(x) x a

x a

n

E. Limit Aljabar

0   Di sini kita akan membahas bentuk-bentuk tak tentu  , ,     dari nilai suatu limit, yang 0   nantinya akan diubah fungsinya atau menggunakan bantuan L’Hospital sedemikian rupa sehingga memiliki nilai dan limit fungsinya ada. 0 1. Bentuk 0 Dengan aturan L’Hospital diperoleh: lim x a

F(x) F '(x) F '(a)  lim  x  a G(x) G'(x) G'(a)

Contoh: 1.

lim x 1

x2  1  ... x 1

Jawab: Karena jika disubstitusi menghasilkan bentuk diperoleh:

0 maka digunakan aturan L’Hospital sehingga 0

x 2  1  turunannya  2x;

x  1  turunannya

1 2 x

Selanjutnya diperoleh: lim x 1

x2  1 x 1

 lim x 1

2x 1 2 x

 lim4x x  4 x 1

Cara lain:

lim x 1

 x  1  x  1 x  1 x2  1 x 2  12  lim  lim  lim x 1 x  1 x 1 x  1 x 1 x 1





x 1

  1  11  1  4

x 1

x 1

x  4  2x  1  ... x 3 2. Jawab: lim x 3

x  4  2x  1 0  , maka digunakan dalil L’Hospital, sehingga didapat: x 3 0

Karena lim x 3

lim 2

1 x4

lim

2 2x 1

1

x 3

3.

2

48  3x 2

5  x2  9 Jawab: x 4



1 2 1   7 14 2 7 2 7

 ...







48  3x 2 5  x 2  9 48  3x 2 5  x 2  9  48  3x 2 5  x 2  9  lim    lim   lim 2 2 2 x 4  x4  x 4 25   x 2  9  5 x 9 5 x 9  52  x 2  9



 lim

4.



48  3x 2 5  x 2  9 16  x

x 4







3 5 4 9 2

1

2

  3 5 

1

  lim 3 5  x 4

25

x2  9





1

  3 5  5  30 1

2x  2  2  ... 3x  3 Jawab: lim x 3

2 1 2x  2  2 0 2 2x  2  2 1  , maka digunakan dalil L’Hospital: lim Karena lim x 3 x 3 3 3 0 3x  3 6 2 3x x3  8 adalah ... x  2 x 2  2x Jawab:

5. Nilai lim

3x 2 34 x3  8 0 , maka digunakan dalil L’Hospital: lim  6  x  2 2x  2 x 2 x 2  2x 42 0

Karena lim

6.

t 2  ... t4 Jawab: lim x 4

t 2 t 2 1 1  lim  lim  x  4 ( t  2)( t  2) x 4 ( t  2) t4 4

lim x 4

7.

a a b b  ... a b Jawab: lim a b

lim a b

8.

a a b b ( a  b)(a  a  b  b)  lim  lim(a  a  b  b)  2b  b2  3b a b a b a b ( a  b)

x2  3  x  1  ... x 1 1 x2 Jawab: lim

2x 1 1 1 2 1 x2  3  x  1 0 2 x 3  2  Karena lim  , maka digunakan dalil L’Hospital: lim 2 x  1 x 1 2x 2 4 1 x 0 9.

f(a  x)  f(a)  ... x Jawab: f(a  x)  f(a) f(a  0)  f(a) 0 Karena lim  lim  , maka digunakan dalil L’Hospital x 0 x  0 x 0 0 lim x 0

lim x 0

f '(a  x)  (1)  f '(a  0)(1)  f '(a) 1

x 2n  x  ... x 1 1  x

10. lim

Jawab:

2nx 2n1  1 2n  1 x 2n  x 0   1  2n  , maka digunakan dalil L’Hospital: lim x 1 x 1 1  x 1 1 0

Karena lim 2.

Bentuk tak tentu

 

ax n  bx n1  ...  c L x  px m  qx m1  ...  r

lim Maka:

 Untuk n = m  L 

a p

 Untuk n > m  L    Untuk n < m  L  0 Contoh: 1.

2x 3  x 2  5  ... x  x 3  5x  6 Jawab: lim

2x 3  x 2  5 2  2 x  x 3  5x  6 1

lim

2

x  ... 1 x  1 x Jawab: x  lim   digunakan dalil L’Hospital, sehingga: x  1  x  1  x  lim x 

lim x 

1 1 1  2 1 x 2 1 x

 lim x 

1 1 1  2 1 x 2 1 x

1 1 1  2 2 1 

3.

Bentuk tak tentu    Rumus cepat:

lim x 





ax 2  bx  c  ax 2  px  q 

bp 2 a

Contoh:

1.

lim 4x 2  3x  2  4x 2  2x  4  ... x 

Jawab: Cara Cepat:

lim 4x 2  3x  2  4x 2  2x  4 x 

32 2 4 5  4 Cara Biasa: 

 4x 2  3x  2  4x 2  2x  4  lim 4x 2  3x  2  4x 2  2x  4  lim  4x 2  3x  2  4x 2  2x  4 x  x    4x 2  3x  2  4x 2  2x  4 

  lim

4x 2  3x  2

  2

4x 2  2x  4

4x 2  3x  2   4x 2  2x  4 

 lim

4x 2  3x  2  4x 2  2x  4 5x  6

x 

 lim

4x 2  3x  2  4x 2  2x  4 5x 6  x x  lim x  4x 2 3x 2 4x 2 2x 4  2  2   2  2 2 2 4x 4x 4x 4x 4x 4x 6 5 x  lim x  3 2 2 4 4  2  4  2 x x x x 50  400  400 5  4 4 5  4 x 

lim x 





x(4x  5)  4x 2  3  ...

Jawab: Catatan:

lim ax 2  bx  c  ax 2  px  r  x 

lim x 

3.





bp 2 a

x(4x  5)  4x 2  3  lim 4x 2  5x  4x 2  0x  3 



x 



lim x  x 2  2x  ... x 

Jawab:





lim x  x 2  2x  lim x 

4.

lim x 



x 





x 2  x 2  2x 



2x 2  5x  8  2x 2  2x  1  ...

Jawab:

2

4x 2  3x  2  4x 2  2x  4

x 

2.



    

0  (2) 1 2 1

50 5  2 4 4

lim x 





2x 2  5x  8  2x 2  2x  1 

dengan menggunakan cara cepat diperoleh: 

bq 52 3 3    2 2 a 2 2 2 2 4

Latihan: hitunglah!

x2  x  6  ... x 2 x2 x6 2. lim  ... x 4 8 x 2 1.

lim

x 2  3x  2  ... x 2 x2  4 x 1 4. lim  ... x 1 x 1 3.

lim

x3  8  ... 5. lim 4 x 2 x  16 x 3 6. lim  ... x 3 12  x  3 2 x 2  72  ... x 6 x6 x 2  16  ... 8. lim x 4 2 8  x  4 7.

lim

4x2  4 x  8  ... 9. lim x 2 x2 x 2  3x  4  ... 10. lim x 4 x 2  16 4x  ... 11. lim x 0 4 x  4 x

x3  8  ... x 2 3 x  6 4x2 13. lim  ... x 0 x 1  x  x 1  x 12.

14. 15. 16. 17.

lim

7 x3  x 2  6 x lim 3  ... x 0 x  4 x 2  3 x x 2  2 x  35 lim  ... x 7 x 2  49 x6 lim  ... x 6 3x  2  2 x  4 1   2 x lim  2    ... x 2 x  4 x2 

18.

1  1 2   2  ...  2  x  2 2 x  2  2 x  x  3 x  x  

19.

lim

20.

lim

lim

x 0

x2 1  1  x2

 ...

2 x 2  2 x  12  ... x 3 1  5 x  1

F. Limit Trigonometri

sin x 1 x tgx lim 1 x 0 x lim x 0

lim x 0

x 1 sin x x lim 1 x  0 tg x

lim x 0

sin mx m sin m(x-a) m  ; lim  nx n x a n(x-a) n

Beberapa rumus bantu: 1. 2.

sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x

3.

cos 2x = cos 2 x - sin 2 x

4.

1 - cos 2x = 2 sin 2 x

5.

1 + cos2x = 2cos 2 x

Contoh:

sin2x  ... 3x Jawab:

1. lim x 0

lim x 0

2. lim x 0

sin2x sin2x 2 2 2  sin2x 2   sin2x 2   lim  .   lim  .   lim .lim  1.  x 0  3x 3x 2  x 0  2x 3  x 0 2x x 0 3 3 3 1  cos 2x  ... 3x 2

Jawab:

1  cos2x 2 sin2 x 2 sin x sin x 2 sin x sin x 2 2  lim  lim  lim .lim  .1.1  2 x 0 x 0 x 0 3x 3x 2 3x.x 3 x 0 x x 0 x 3 3

lim

3.

lim  x 4

1  sin2x  ... cos2 2x

Jawab: 1  sin2x 1  sin2x (1  sin2x) 1 1 1 1 lim  lim  lim  lim      cos2 2x  1  sin2 2x  (1  sin2x)(1  sin2x)  (1  sin2x) 1  sin 2 1  1 2 x x x x 4

4

1 1   sin  1   cos  1   x x     ... 4. lim  x 1 (x  1) Jawab:

4

4

1 1  1 1 1     2 sin  1    cos  1   sin  1   cos  1   2  x x  x   x   lim  lim x 1 x 1 (x  1) (x  1) 1 1  1   x  1  sin2  1    sin2   2  2  1  x   x  1  lim  lim  lim   2    1 x 1 x  1 x  1 (x  1) (x  1) x 2

5.

x(cos2 6x  1)  ... x  0 sin3x  tan2 2x

lim

Jawab:

x(cos2 6x  1) x( sin2 6x) 1 (1)  (6)2 36  lim    3 x 0 sin3x  tan2 2x x 0 sin3x  tan2 2x 3  (2)2 12

lim

6.

cot x  ... cot 2x Jawab: lim x 0

1 cot x tan2x 2  lim tan1 x  lim  2 x 0 cot 2x x 0 x 0 tan x 1 tan2x

lim

7.

lim x 1

(x  1)(x  3)sin(x  1)

(x  1)(x  2)2

 ...

Jawab: (x  1)(x  3)sin(x  1) x  3 sin(x  1) 2 2 lim  lim   1   2 x 1 x 1 (x  2)2 (x  1 ) 9 9 (x  1)(x  2)

 tan2x  tan3x  8. Nilai lim   adalah ... x 0  5x 2  Jawab: tan2x tan3x  tan2x  tan3x  lim   lim   lim x 0  x  0 x  0 5x 2 x 5x  2 3   1 5 6  5 9.

x 2  sin x tan x ... x 0 1  cos 2x Jawab: Dengan L’Hospital: 4x 4 lim  x  0 2 sin2x 22 1 Cara lain: lim

 x2 x 2  sin x tan x x 2  sin x tan x x 2  sin x tan x sin x tan x  1 1  lim  lim  lim      1 2 x 0 x 0 1  1  2 sin2 x x 0 x 0 2 sin2 x 1  cos2x 2 sin x 2 sin2 x  2 2   

lim

10. Nilai dari lim x 0

1  cos x adalah ... x sin 2x

Jawab:

lim x 0

1  cos x 2 sin2 21 x sin 21 x sin 21 x 1 1 1  lim  lim 2    2   x sin 2x x 0 x sin 2x x 0 x sin2x 2 4 4

Latihan: Hitunglah! 1. 2. 3. 4. 5.

6.

sin 5 x  ... x 0 tan 3 x sin 7 x lim  ... x 0 2x sin 5 x lim  ... x 0 x 3x lim  ... x 0 2sin 2 x x lim  ... x 0 sin 4 x   sin  x   2  lim  ... lim

x

7.

8. 9. 10.



2

x



2

  3sin  x   2  lim  ...    x 2 tan  x   2  3sin 5 x  3sin 3x lim  ... x 0 3x sin10 x  sin 4 x lim  ... x 0 x cos10 x  cos 2 x lim  ... x 0 5x2

cos x  cos 3x  ... x 0 2 x2 1  cos  2 x    12. lim  ...    x 2  4 x  2  sin  x   2  11.

lim

13.

lim x

14.

2

lim x

15.





8

lim 

x 16

2  2cos  x     ...  2 x  2  sin  x    cos 4 x  ... cos 2 x  sin 2 x 3cos8 x  ... cos 4 x  sin 4 x

1  cos 2 x  ... 1 x tan x 2 sin 3x  sin 3x cos 2 x 17. lim  ... x 0 3x3 1  cos 2  x  2   ... 18. lim x 0 3 x 2  12 x  12 cos 3x  cos x  ... 19. lim  sin 2 x cos 2 x x 16.

lim x 0

2

20.

lim x 0

sin 2 x  ... 3  2x  9

G. Kontinuitas Perhatikan gambar fungsi pada himpunan bilangan real berikut!

Fungsi f  x  

x2  4 seperti pada gambar grafik di atas, untuk x = 2 akan diperoleh bahwa x2

0 (bentuk tak tentu) sehingga grafiknya terputus di x = 2. Dalam hal ini dikatakan bahwa 0 fungsi f(x) diskontinu di x = 2. Sedangkan untuk interval  x  | x  2 dan  x  | x  2 f  2 

grafiknya berkesinambungan, dan dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi f(x) kontinu di

x  2.

Selanjutnya, secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di titik x = c, jika dipenuhi: a)

lim f  x  ada x c

b) Nilai f  c  ada c)

lim f  x   f  c  x c

Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di titik x = c dan dapat dibuat sedemikian hingga

lim f  x   f  c  , maka dikatakan bahwa diskontinuitas di titik x = c ini dapat dihapuskan. x c

Contoh: Tentukan dikontinuitas fungsi bilangan real berikut: a)

f  x 

x3  8 x2  4

b)

f  x 

x3  1 x2 1

Penyelesaian: a) Fungsi rasional f  x   bahwa

x3  8 akan diskontinu jika penyebutnya adalah nol. Perhatikan x2  4

x2  4  0   x  2  x  2   0  x  2  x  2 sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -2 atau x = 2. Selanjutnya, perhatikan bahwa:

 x  2  x2  2x  4 x3  8 lim 2  lim x2 x  4 x2  x  2  x  2 

x  lim

2

 2x  4

 x  2

x 2

12 4 3 

yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi f(2) = 3. Di lain pihak, untuk x = -2 dapat diperoleh bahwa:

 x  2  x2  2x  4 x3  8 lim 2  lim x2 x  4 x2  x  2  x  2 

x  lim

2

x 2

 2x  4

 x  2

4 0  

 2   8  16 f  2   2  2   4 0 3

sedangkan

tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -

2 tidak dapat dihapuskan. b) Analog dengan a) di atas, fungsi rasional f  x  

x3  1 akan diskontinu jika penyebutnya x2 1

adalah nol. Perhatikan bahwa

x2  1  0   x  1 x  1  0  x  1  x  1 sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -1 atau x = 1. Selanjutnya, perhatikan bahwa:

lim x2

 x  1  x 2  x  1 x3  1  lim x 2  1 x 2  x  1 x  1

x  lim x 2



2

 x  1

 x  1

3 2

yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 1 dapat dihapuskan dengan menetapkan definisi

3 f 1  . Di lain pihak, untuk x = -1 dapat diperoleh bahwa: 2

 x  1  x 2  x  1 x3  1 lim  lim x 1 x 2  1 x 1  x  1 x  1

x  lim x 1

2

 x  1

 x  1

1 0  

 1  1  2 f  1  2  1  1 0 3

sedangkan

tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -1

tidak dapat dihapuskan. Latihan: Selidikilah sifat kontinuitas fungsi-fungsi berikut ini: 1. f(x) = x2 + x di titik x = -1 2. f(x) = 4x2 - 2x +12 di titik x = 2 3.

f  x 

x di titik x = -1 x 1

4.

f  x 

x2 di titik x = 2 x2

5.

f  x 

6x  9 di titik x = 3 x 3

6.

f  x    32,x 3, xx22

7. Di mana saja titik

f  x 

8. Di mana saja titik f  x  

di titik x = 2

5x  4 diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya! x  3x  10 2

x3  27 diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya! x2  9

9. Tentukan di titik mana saja diskontinuitas fungsi berikut dapat dihapuskan atau tidak dapat dihapuskan beserta alasannya! a) b)

x3  64 x 2  16 x3  1 f  x  2 x  3x  2

f  x 

c) d) e)

x3  8 x2  x  2 x3  27 f  x  2 x  2x  3 x3  125 f  x  2 x  4x  5

f  x 

10. Dengan grafik, di titik mana saja (jika ada) fungsi berikut diskontinu: x

untuk x < 0

x untuk 0  x  1 2–x untuk x > 1 11. Tentukan nilai a dan b agar fungsi f(x) =

f(x) =

2

x2 – x + 3

untuk x < 0

a bx + 1

untuk 0  x  1 untuk x > 1

SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN

1.

x 2  (3  a)x  3a  ... x a x a Jawab: lim

x 2  (3  a)x  3a x a x a

Akan dicari nilai lim

Turunkan pembilang dan penyebutnya, maka didapat hasil:

lim x a

2x  3  a  2a  3  a  a  3 1

2. Jika f(x) 

1 f(x  t)  f(x) , maka lim adalah ... 2 t  0 2x t

Jawab: Diketahui f(x) 

lim t 0

3.

1 f(x  t)  f(x) , akan dicari nilai lim , maka: 2 t 0 2x t

f(x  t)  f(x) 1  f '(x)  x 3   3 t x

 2x 2  8 x 2  2x  lim     ... x 2 2x  4   x2 Jawab:

 2x 2  8 x 2  2x   2(x  2)(x  2) x(x  2)  x  lim      lim  2(x  2)    8  1  9    lim x 2 x 2 x 2  x  2 2x  4 x  2 2(x  2) 2     

4.

x 2  sin x tan x ... x 0 1  cos 2x Jawab: lim

Karena merupakan bentuk

0 , maka dengan L’Hospital dapat kita peroleh: 0

4x 4  2 sin2x 2  2 1 Cara lain: lim x 0

 x2 x 2  sin x tan x x 2  sin x tan x x 2  sin x tan x sin x tan x  1 1  lim  lim  lim      1 2 2 x 0 x 0 1  1  2 sin x x 0 x 0 2 sin2 x 1  cos2x 2 sin x 2 sin2 x  2 2   

lim

5.

lim x 3

x 3  ... x 3

Jawab:

x 3  lim x 0 x 3

lim x 3

6. Nilai lim

1 x  2





x 3

x 3





x 3





1 2 3



3 6

2x  1  ... 2  4x  6

Jawab:

lim

1 x  2

2x  1 2  lim  2 2  4x  6 x  21 0   4x  6

7. Nilai lim x 0

2 2



2  2 1

 1 4    6  2

1  cos x  ... 5x 2

Jawab: Digunakan dalil L’Hospital:

lim x 0

8.

1  cos x sin x 1  lim  2 x  0 5x 10x 10

lim x 











(2x  1)(x  2)  x 2  1  ...

Jawab:

lim x 



(2x  1)(x  2)  x 2  1  lim x 





2x 2  3x  2  2x 2  2 2x  1

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:

bq 32 2   2 a 2 2

9.

 2  3  2

2 4 3  2 1 4 4

sinax  ... sinbx Jawab: sinax a lim  x 0 sinbx b lim x 0

10. lim x ~

 x  a  x  b   x = ...

Jawab:

lim x 

 x  a  x  b  x  lim x 

x 2  (a  b)x  ab  x 2

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh: 

b  p (a  b)  0 a  b   2 2 a 2 1

SOAL LATIHAN TAMBAHAN

1.

Jika f(x) 

2.

lim

3.

lim

 2x  3

1 x 2  x2  3



x 1

 x  1

x 1

x

x 

maka limf(x)  … x 1

 …

x 1

2

1 19. lim ctg2x   cos 4x  cos2x   ... x 0 x

sama dengan ...

x x x

7. 8.

lim

7x 2  sin2x 2  ... x 0 tg 2 2x  sin x  tg5x

lim

x 

x 





x 0

x k

2x  2k … sin2(x  k)  4k  4x

sin3x  tg2 5x … x  0 5x 2  tg3x

22. lim

5x  1  4x … x2  1 lim

24.

x 2

t3  8 t t6 2

= ...

 2x 2  8 x 2  2x   25. lim   = ... x 2 2x  4   x2 x2 26. Nilai lim = ... 2 x 2  x  x  6 x x = ... x x tan x 28. lim 2 = ... x  0 x  2x

4x 2  4x  5  (2x  3)  …

12. Nilai lim

21. lim

x 1

p(x  1)  q  3 3   maka nilai 9. Agar lim x 1 x 1 2 p + 2q = … xtg5x 10. lim … x 0 cos 2x  cos7x 11. lim

ax 2  3x  1  9x 2  3x  1

4x 2  2x  2  4ax 2  2x  2 maka nilai a sama dengan

23. lim

2x 2  1 … 5x  3

lim

20. lim x 

32x  9 … x 1 2  3x  6 sin2x  tg3x 5. lim sama dengan ... x 0 1  cos 2x  cos 4x 1  cos3x 6. lim  ... x 0 1  cos 4x 4.

sin8x  sin6x  ... x 0 4x cos8x

18. lim

27. lim x 0

1  cos2x … 1 xtg x 2

x2  x  6 … 13. Nilai lim x 3 4  5x  1

29. lim

3x 2  5x  12 = ... x2  9

x  2x  1  ... 14. lim x 1 x 1 15. Nilai dari

30. lim

 4  5x  2  x  = ...  2  x 1  x 

lim x 



x ~



2x 2  3x  1  2x 2  2x  5  ... xtgx  ... x 0 1  cos 2x

16. Nilai dari lim

4t4  4t  72  t 2 t  2    t2  3t  2 

17. lim

x 3

1 ,