Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM

Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM Sukiswo [email protected]

Medan Elektromagnetik. Sukiswo

1

Dasar-dasar Vektor  A x , y, z   A x x , y, z a x  A y x , y, z a y  A z x , y, z a z

Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial

 A a or aˆ  A

Konvensi:

vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya

magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y  A  Ax2  Ay2  Az2






1 2

2

Penjumlahan vektor  C  A x  B x a x  (A y  B y )a y  (A z  B z )a z

Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)


3

Vektor posisi dan vektor jarak  R 1  x1a x  y1a y  z1a z  R 2  x 2a x  y2a y  z 2a z Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

 d  R 12



   R 12  R 2  R 1

 x 2  x 1 a x   y 2  y1 a y  z 2  z 1 a z

 x 2  x1 2  y 2  y1 2  z 2  z1 2



12


4

Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az


5

Perkalian titik (perkalian skalar)     A  B  A B cos AB 

• • • •

Selalu menghasilkan bilangan skalar A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: xˆ  yˆ  0 A·A=|A|2=A2


6

Perkalian titik (perkalian skalar)     A  B  A B cosθ AB   A  A1a x  A 2 a y  A 3a z  B  B1a x  B2 a y  B3a z   A  B  A1B1  A 2 B2  A 3 B3


7

Perkalian silang (perkalian vektor) Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.

!!!!PENTING!!! Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil


8

Perkalian silang (ljt) ax

ay

az

Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

ax  ay  az az  ax  ay a x  a z  a y

ax   A  B  Ax

ay

az

Ay

Az

Bx

By

Bz


9

Triple Products Hasil operasi lain yang penting: Scalar triple product











         A B C  B  C  A  C  A B



Menghasilkan skalar

Vector triple product (aturan bac-cab)



 

 

         A B C  B AC  C A B




Menghasilkan vektor

10

VECTOR REPRESENTATION

3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: • RECTANGULAR • CYLINDRICAL • SPHERICAL

Choice is based on symmetry of problem

Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL Medan Elektromagnetik. Sukiswo

11

Sistem Koord. Kartesian (x, y, z)

Kuantitas diferensial: dV, dS and d!

x

y

dv  dx dy dz  d l  dx aˆ x  dy aˆ y  dz aˆ z  d s  dx dy aˆ z  dy dz aˆ x  dx dz aˆ y

z

aˆ z

aˆ x

aˆ y


12

Sistem Koord. Kartesian

dv  dx dy dz  d l  dx aˆ x  dy aˆ y  dz aˆ z  d s  dx dy aˆ z  dy dz aˆ x  dx dz aˆ y Medan Elektromagnetik. Sukiswo

13

Sistem Koord. Tabung atau Silindris (, , z)

Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d!

z 

y 

 d l  d aˆ    d aˆ   dz aˆ z  d s   d dz aˆ  dv   d d dz

x

aˆ z aˆ 

aˆ  Medan Elektromagnetik. Sukiswo

14

Sistem Koord. Tabung atau Silindris

 d l  d aˆ    d aˆ   dz aˆ z  d s   d dz aˆ  dv   d d dz Medan Elektromagnetik. Sukiswo

15

Sistem Koordinat Bola (r, , ) Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d!

z r  y 

dv  r 2 sinθ dr dθ d

aˆ 

x

 d l  dr aˆ r  r dθ aˆ θ  r sinθ d aˆ   2 ds  r sinθ dθ d aˆ r

aˆ r

aˆ 

nb : harga  adalah 0 sampai  , bukan 0 sampai 2 Medan Elektromagnetik. Sukiswo

16

Sistem Koordinat Bola

 d l  dr aˆ r  r dθ aˆ θ  r sinθ d aˆ   d s  r 2 sinθ dθ d aˆ r dv  r 2 sinθ dr dθ d Medan Elektromagnetik. Sukiswo

17

Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :

A r  A x sin  cos   A y sin  sin   A z cos  A   A x cos  cos   A y cos  sin   A z sin  A    A x sin   A y cos  Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan


18

Soal2 1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : – – –

Vektor dari A ke C Vektor satuan dari B ke A Jarak dari B ke C

•-ax+8ay-4az •0,762ax-0,127ay-0,635az •12,45 Medan Elektromagnetik. Sukiswo

19

Soal2 Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az Cari : 2.

– – –

Besar medan di P(2,-3,4) Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan

• 53,4 • -0,899ax-0,412ay+0,150az • +- 0,455 Medan Elektromagnetik. Sukiswo

20

Soal2 3. Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az Cari : – – – –

F.G Sudut antara F dan G Panjang proyeksi F pada G Proyeksi vektor F pada G

• • • •

-27,0 130,8 o -4,38 -2,13ax-3,55ay-1,42az Medan Elektromagnetik. Sukiswo

21

Soal2 4. Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az Cari : – – – –

FxG ax (ay x F) (ay x ax ) x F Vektor satuan yang tegak lurus F pada G

• • • •

215ax+190ay-145az -45ay -70ax-45ay +- (0,669ax+0,591ay-0,451az) Medan Elektromagnetik. Sukiswo

22

Soal2 Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)

5.

Cari : – – –

Jarak dari P ke titik asal Q tegak lurus pada sumbu z P ke Q

• 6,71 • 3,16 • 11,20 Medan Elektromagnetik. Sukiswo

23

Soal2 6.

a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya e  z 2   3 cos 2   2

• 240+z2 –ρ2 sin 2φ • 8,66


24

Soal2 7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ aρ

• ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ •

   x  xax  yay  2 2  x  y  


25

Operator Del =      a x  a y  a z Cartesian  x y z     a   a   a z Tabung    z      ar  a  a  Bola  r r  r sin 


26

Grad, Div dan Curl Ketiganya adalah operator diferensial dan merupakan hal yang sangat mendasar dalam teori medan EM      Gradien   ax  ay  az x y z Grad : beroperasi pada fungsi skalar untuk menghasilkan vektor A x A y A z   A  Divergensi A    x y z Div : beroperasi pada vektor untuk menghasilkan skalar ax ay az      A  Curl A  x y z Ax Ay Az Curl : beroperasi pada vektor untuk menghasilkan vektor Medan Elektromagnetik. Sukiswo

27

Gradien dari medan skalar Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad  atau  Adalah vektor menurut aturan berikut:

     Grad  ax  ay  az x y z

dibaca “del phi”

Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permukaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor.


28

Contoh gradien   x, y, z   x 2 y  xe z

Maka    2 x  e z  xˆ  x 2 yˆ  xe z zˆ

Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan

  P   5 xˆ  4 yˆ  2 zˆ Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya 28 adalah turunan   P   21

berarah


29

Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg  dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber medan seragam

Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan tak seragam


30

Divergensi Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika:

E x E y E z   E  Divergensi E    x y z Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.


31

Contoh divergensi  E  3x 2 xˆ  2zyˆ  x 2 zzˆ    E  6x  0  x 2  x 2  6x

Di titik (2,-2,0)

 E

 2 , 2 , 0 

 16

Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink. Medan Elektromagnetik. Sukiswo

32

Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.

Medan B seragam, curl-nya nol.


33

Perhitungan curl ax    B  Curl B  x Bx

ay  y By

az  z Bz

Cartesian 

Untuk sistem koordinat lain bisa ditemukan pada teksbook


34

Operator penting lainnya     A    A    A     0     A   0 2

Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembahasan mendatang.

2A  2A x  2A y  2A z  V 2

 V 2

x

2



 V 2

y

2



 V 2

z

2


Operator Laplacian

35

Operator Laplacian (1) Ingat:

     xˆ  yˆ  zˆ x y z  Ax xˆ  Ay yˆ  Az zˆ

Ay Az  A x Sekarang         x y z  2  2  2  2  2  2 x y y

baca “del kuadrat”

Untuk praktisnya ditulis:  2      


36

Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor Jika Maka,

 ˆ x  yE ˆ y  zE ˆ z E  xE

  2 2 2    E  2  2  2 E y   x y  xˆ 2 Ex  yˆ 2 E y  zˆ 2 Ez 2

Dapat juga ditunjukkan bahwa:    2  E    E  E



“curl curl dari E”




37

Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl Ax Ay Az      xˆ  yˆ  zˆ   A    x y z x y z xˆ   A  x Ax

yˆ  y Ay


zˆ  z Az

38

Teorema integral       E dv    E  dS v

(teorema divergensi)

S

Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan.

 S

      B  dS    B  dl



(teorema Stokes)

C

Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup


39

Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke

 S

      B  dS    B  dl



(teorema Stoke)

C

Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.

Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.

nˆ  rˆ


40

Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: •Syarat batas jenis Dirichlet •Syarat batas jenis Neumann •Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)


41

Syarat batas jenis Dirichlet Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . V g

 S

Persyaratan V = g pada  disebut sbg syarat batas Dirichlet.


42

Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas dV diberikan pada batasnya, mis, pada .  f dn

dV  f dn

 S

Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.


43

Contoh (1) batas bidang (planar) y

Hr Er

r

i

Hi

Ei

incident

reflected

11 22

x transmitted Ht

t Et

Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita meneruskan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0).


44

Contoh (2): bumbung gelombang  2  2  2  2  kc2  H z x, y   0 y  x 

2  2  2    k c E z x , y   0  x 2 y 2   

Y b

,  X a

Perlu Ez=0 pada semua dinding  syarat batas Dirichlet

H z x

dan

H z 0 y

perlu pada dinding.  syarat batas Neumann


45

Syarat batas dalam EM 111

Et1

111

n

222

Ht1

n

222

Et2 E tangensial kontinyu

Ht2 n × (H1-H2)=Js

Ekivalen 111 222

Bn1 n

Bn2 B normal kontinyu

111

D1n

n

D2n 222 n·(D1-D2)=s Medan Elektromagnetik. Sukiswo

46

Lihat contoh berikut 111 222

Et1

n

Et2 E tangensial kontinyu

Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E.

 Jika kita punya: E  xE ˆ x  yE ˆ y  zE ˆ z  Maka, nˆ  E secara otomatis memilih komponen tangensial!


47

Dan satu contoh lagi 111 222

Ht1

n

Ht2

n × (H1-H2) = Js

Ini berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan.

Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi:

  nˆ  H1  J s


“permukaan”

48

Contoh: 0 d

Ei atau Er

Et

z

 ˆ i e  j 0 z  Ei  xE   memenuhi  j 0 z ˆ re Er  xE   ˆ t e  j d z memenuhi Et  xE



2



2



2 0





2 d

 E0



 E0

Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu.

Ei  Er  Et Et 1  Ei  Er   Z0 Zd Medan Elektromagnetik. Sukiswo

49

Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untuk Medan dan Gelombang EM

Recommend Documents