MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA



TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikenal bahwa X1 , X2 ....Xn sampel random dari distribusi P x¯−µ 2 normal dengan mean µ dan variansi σ , maka σ/√n atau √xni −nµ σ secara eksak berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1. Ada pertanyaan yang mendasar, bagaimana bila asumsi normalitas dihilangkan. Jawaban dari pertanyaan tersebut dituangkan dalam teori besar bahkan ada yang menyebutkan sebagai revolusi pertama dalam statistika yaitu dengan apa yang kita kenal sebagai teorema limit pusat atau the central limit theorem di bawah.


Teorema Bila Xi independen dan berdistribusi identik dengan mean µ dan variansi σ 2 , maka ¯ −µ d X √ − → N(0, 1) σ/ n


Teorema Limit Pusat mempunyai dua penafsiran. I. Bentuk

x¯−µ d √ − → σ/ n

N(0, 1) mempunyai implikasi bahwa kita bisa

menghampiri distribusi dari x¯ apapun bentuk distribusi dari populasi . Dalam hal ini ! x¯ − µ b−µ a−µ P (a 6 x¯ 6 b) ≈ P σ√ 6 σ√ 6 σ√ n n n ! a−µ b−µ = P σ√ 6 z 6 σ√ n n ! ! b−µ a−µ = Φ σ√ − Φ σ√ n n


II. Karena, x¯ − µ σ√ n

P

= =

xi n

−µ σ√ n P x − nµ √i nσ

maka bila suatu variabel random bisa ditulis sebagai jumlahan n variabel random yang saling independen dan berdistribusi identik seperti distribusi binomial yang merupakan jumlahan distribusi Bernoulli yang saling independen, maka distribusi variabel random tersebut bisa dihampiri dengan distribusi normal.


P Jadi, bila kita ingin menghitung P (a 6 xi 6 b), maka besaran tersebut bisa dihampiri melalui P X a − nµ xi − nµ b − nµ xi 6 b ≈ P √ 6 √ 6 √ P a6 nσ nσ nσ b − nµ a − nµ ≈ Φ √ −Φ √ nσ nσ


Contoh a. Bila x¯ menyatakan sampel random berukuran n = 15 dari distribusi dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x) = 32 x 2 , −1 < x < 1 yang berarti µ = 0 dan σ 2 = 35 , maka   0.03 − 0 x¯ − 0 0.15 − 0  . 6p . P(0.03 6 x¯ 6 0.15) = P p . 6 p 3/5 15 3/5 15 3/5 15 = P(0.15 6 z 6 0.75) = Φ(0.75) − Φ(0.15) = 0.7734 − 0.5596


b. Misalkan X1 , X2 ....X20 menyatakan sampel random ukuran 20 dari distribusi seragam U(0, 1). Dalam hal ini E (Xi ) = 21 dan 20 P Var (Xi ) = 12 , i = 1, 2, ...20. Bila y = yi , maka i=1

 P(y 6 9.1) = P 

y

− (20)( 12 ) q



9.1 − 10  6 q 20/ 12

20/ 12 = P(z 6 −0.697) = Φ(−0.697) = 0.2423


Selain itu, 



8.5 − 10 y − 10 11.7 − 10 − 10  q P(8.5 6 y 6 11.7) = P  q 6 q 6 5/ 5/ 5/ 3 3 3 = P(−1.162 6 z 6 1.317) = Φ(1.317) − Φ(−1.162) = 0.9061 − 0.1226 = 0.7835


c. Misalkan x¯ menyatakan mean sampel ukuran 25 dari distribusi 3 dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x) = x4 , 0 < x < 2, yang 8 berarti µ = 58 = 1, 6 dan σ 2 = 75 , maka x¯ − 1.6 1.5 − 1.6 .√ 6 p .√ P(1.5 6 x¯ 6 1.65) = P( p 8/75 25 8/75 25 1.65 − 1.6 .√ ) 6p 8/75 25 = P(−1.531 6 z 6 0.765) = Φ(0.765) − Φ(−1.531) = 0.7779 − 0.0629 = 0.7150


Pendekatan binomial dengan distribusi normal Misalkan X ∼binomial (n, θ), maka X bisa ditulis sebagai n P jumlahan Xi dengan Xi i.i.d. Bernouli (1, θ). Karena i=1

Xi ∼Bernoulli (θ), maka E (xi ) = θ Var (xi ) = θ(1 − θ) Menurut teorema limit pusat X − nθ d p − → N(0, 1) nθ(1 − θ)


Akibatnya, P(a 6 x 6 b) ≈ P

a − nθ b − nθ p 6z 6 p nθ(1 − θ) nθ(1 − θ)

!

Karena X variabel random diskrit, maka perlu adanya koreksi kontinuitas ! a − nθ − 0.5 b − nθ + 0.5 P(a 6 x 6 b) ≈ P p 6z 6 p nθ(1 − θ) nθ(1 − θ)


Contoh a. Misalkan n = 200, θ = 0.5 dan kita ingin menentukan hampiran P[95 ≤ x ≤ 105]. 95 − 0.5 − (100)(0.5) p 200(0.5)(0.5) 105 + 0.5 − (200)(0.5) p 6z 6 200(0.5)(0.5) −5.5 5.5 = P √ 6z 6 √ 50 50 = P(−0.7778 6 z 6 0.7778)

P[95 6 x 6 105] = P[

= 2Φ(0.77781) − 1 = 0.56331


1 b. Misalkan X ∼ binomial (500; 10 ) dan kita ingin menentukan hampiran dari P(50 ≤ x ≤ 55).

50 − 0.5 − (500)(0.1) p 200(0.5)(0.5) 55 + 0.5 − (500)(0.1) p 6z 6 500(0.1)(0.9) −0.5 5.5 = P √ 6z 6 √ = 0.32756 45 45

P(50 6 x 6 55) = P(


Pendekatan distribusi Poisson dengan distribusi normal Misalkan X ∼ Poisson (n), maka X bisa ditulis sebagai X =

n P i=1

dengan Xi i.i.d. Poisson (1). Karena Xi i.i.d. Poisson (1), maka E (Xi ) = 1 dan Var (Xi) = 1. Menurut teorema limit pusat X −n d √ − → N(0, 1) n Sehingga P(a 6 x 6 b) = P

a−n b−n √ 6z 6 √ n n


Dengan menggunakan koreksi kontinuitas a − 0.5 − n b + 0.5 − n √ √ P(a 6 x 6 b) ≈ P 6z 6 n n b + 0.5 − n a − 0.5 − n √ √ = Φ −Φ n n

Xi


Pendekatan distribusi khi-kuadrat dengan distribusi normal 2 , maka X bisa ditulis sebagai X = Misalkan X ∼ X(n)

n P

Xi dengan

i=1

2 , maka E (x ) = 1 dan Var (X ) = 2. Menurut Xi i.i.d. X ∼ X(1) i i teorema limit pusat X −n d √ − → N(0, 1) 2n


Akibatnya,

a−n b−n P(a 6 x 6 b) ≈ P √ 6z 6 √ 2n 2n b−n a−n = Φ √ −Φ √ 2n 2n Kita sudah mengenal bila X mempunyai distribusi f (x) maka kita bisa menentukan distribusi dari y = g (x). Sekarang, akan kita lihat analoginya untuk bentuk asimtotis yang dinyatakan dalam usefull theorem, di bawah. Teorema √ d Misalkan n(xn − θ) − → N(0, σ 2 ) dan g (x) fungsi dengan g 0 (x) ada dan kontinu sekitar θ, maka √ d n(g (xn ) − g (θ)) − → N(0, [g 0 (θ)]2 σ 2 )


Contoh X1 , X2 , ... i.i.d. dengan fungsi kepadatan probabilitas √ x −µ) d x µ−1 e −x √ f (x|µ) = Γ(µ) , x > 0, 0 < µ < ∞, maka n(¯ − → N(0, 1). x¯ Contoh Misalkan X1 , X2 , ... saling independen dan berdistribusi identik dengan mean µ, variansi σ 2 , dan µ4 = E (X1 − µ)4 = α4 σ 4 dengan P 2 (Xi −X¯ ) 2 α4 > 1. Bila Sn−1 = akan kita buktikan. n−1 √

d 2 n Sn−1 − σ2 − → N 0, (α4 − 1) σ 4


Misalkan yi = (xi − µ)2 , i = 1, 2, 3... maka yi saling independen, berdistribusi identik dengan E (yi ) = σ 2 dan Var (yi ) = (α4 − 1)σ 4 . Bila n P (xi − µ)2 Sn2∗ = i=1 n maka menurut teorema limit pusat √

d n Sn2∗ − σ 2 − → N 0, (α4 − 1) σ 4


Sekarang, kita hitung ! n 2 X √ √ (xi − x¯) n Sn2∗ − σ − n − σ2 n i=1 ! n 2 1 2 X √ √ (xi − x¯) 2 2∗ = n Sn − = n (¯ x − µ) = n 4 (¯ x − µ) n 2

i=1

1 4

Karena n (¯ x n → ∞, dan

1

√

− µ) = σn12 (¯x −µ) = σ1 σ n4 n4 √ n(¯ x −µ) d − → N(0, 1), maka σ √

n(¯ x −µ) σ , 1 σ n4

→ 0 untuk

menurut lemma Slutsky

√ P n Sn∗2 − σ 2 − n Sn2 − σ 2 − →0


Sekarang kita akan mencari limit distribusi dari Sn−1 yang merupakan estimator dari σ. Bila kita melakukan transformasi √ g (x) = x, maka 1 g 0 (x) = √ 2 x

dan

g 0 (x)

2

=

1 4x

Menggunakan teorema di atas kita akan mendapatkan d √ 2 2 0 2 2 4 n g Sn−1 − g σ − → N 0, g σ (α4−1 ) σ


atau √

n

2 Sn−1

−σ

2

1 σ2 4 − → N 0, 2 (α4−1 ) σ = N 0, (α4−1 ) 4σ 4 d

Untuk kejadian khusus, Xi independen dan berdistribusi identik N(µ, σ 2 ) didapat d √ σ2 n Sn−1 − σ − → N 0, . 2

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA

Recommend Documents