Aplikasi turunan dan integral dalam persoalan ekonomi
Fungsi Produksi
Fungsi q = f ( K , L ) menghubungkan input (kapital dan tenaga kerja) dengan output. Karena tidak dibatasi oleh spesifikasi tertentu, maka teori ini dapat diaplikasikan secara luas. Asumsi:
Fungsinya kontinu Fungsinya increasing
Analisa faktor
Fungsi produksi q = q K , L ( )
Partial derivatives: Produksi marginal Peningkatan output akibat penambahan capital dengan jumlah tenaga kerja tetap (PM tenaga kerja) ∂q
qK =
∂K
Peningkatan output akibat penambahan tenaga kerja dengan jumlah kapital tetap (PM kapital)
∂q qL ( K , L ) = ∂L
Elastisitas Produksi
%∆q ∆q q ∆q x = = %∆x ∆x x ∆x q ∂q x PM = ∂x q PR
Perubahan Total (Perubahan proporsional pada harga dan pendapatan)
Misalkan, seorang konsumen mempunyai kemampuan membeli (purchasing power) sebesar B (budget), dengan 2 pilihan barang (x dan y) yang akan dipilihnya untuk memaksimalkan utilitasnya;
U = U(x,y) Subject to xPx + yPy =B
(Ux, Uy)>0
Naik turunnya harga kedua barang tersebut ditentukan pasar.
Berbeda dengan analisa perubahan parsial, dalam analisa total, interpretasi tidak akan menggunakan asumsi cateris paribus. Misalnya, petanyaannya adalah bagaimana perubahan konsumsi x dan y jika kedua harga barang dan budget konsumen berubah dalam proporsi yang sama.
jB – jxPx – jyPy = 0
Dalam hal ini, j dapat dihapus dari setiap bagian dengan tidak merubah hasilnya. Dengan demikian, constraint yang baru ini akan mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk awalnya yaitu
B – xPx – yPy = 0
Dengan demikian, jumlah konsumsi x dan y akan sama dengan jumlah konsumsi pada saat ekuilibrium yang lama. Dengan kata lain, dalam kasus ini perubahan yang proporsional pada harga barang dan pendapatan tidak akan berpengaruh pada tingkat konsumsi.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa konsumen sama sekali tidak terpengaruh oleh “money illusion”
Fungsi Homogen
f ( tx1 ,..., txn ) = t k f ( x1 ,..., xn ) untuk semua x1 ,..., xn dan umumnya t > 0
Sebuah fungsi disebut homogen dengan tingkat (degree) k jika perkalian semua unsur variabel independentnya dengan konstanta t akan merubah nilai fungsi tersebut secara proporsional k sebesar t
Contoh dan latihan
Misal :
f ( x ) = ax k
k ( ) ( ) f jx = a jx
( )
f ( jx ) = aj k x k = j k ax k = j k ( f ( x ))
Maka dapat dikatakan bahwa f (x) homogen dengan degree k Latihan: Apakah fungsi berikut homogen, jika ya pada degree berapa? 3 k1 k2 k3
z = ax1 x2 x3
y = x + 3x 2
Contoh
Fungsi produksi dengan 2 input produksi modal (K) dan tenaga kerja (L)
q = 96 K 0.3 L0.7 ln q = ln 96 + 0.3ln K + 0.7 ln L
Produksi Marginal
PM K = 96(0.3) K −0.7 L0.7 PM L = 96(0.7) K 0.3 L−0.3
Contoh
Elastisitas EK = EL =
96 ( 0.3) K −0.7 L0.7
= 0.3
0.3 −0.3
= 0.7
96 K L 96 ( 0.7 ) K 0.3 L−0.3
Return to scale
Efisiensi
a
−0.7 0.7
96 K L
∑k
Fungsi komposit R = P.q; P = P ( Q ) q = q ( K , L) R (Q ) C = rK + wL = C ( r , w, q )
→ π = π ( r , w, q )
Optimisasi: Maksimisasi keuntungan
Maksimisasi keuntungan; R = R (Q )
π = π (Q )
C = C (Q )
dπ =0 dQ
→ π = π (Q ) = R (Q ) − C (Q ) dπ ≡ π ′ ( Q ) = R′ ( Q ) − C ′ ( Q ) = 0 dQ R′ ( Q ) = C ′ ( Q )
MR = MC
marginal revenue = marginal cost
C = C (Q )
R, C R = R (Q ) Q2
0
Q1
Q4
Q3
Q
MC ≡ C ′ ( Q ) MR, MC
MR ≡ R′ ( Q )
0
Q1
Q3
Q
Contoh R ( Q ) = 1200Q − 2Q 2 C ( Q ) = Q 3 − 61.25Q 2 + 1528.5Q + 2000
π (Q ) = R (Q ) − C (Q )
= −Q 3 + 59.25Q 2 − 328.5Q − 2000 dπ = −3Q 2 + 118.5Q − 328.5 = 0 dQ
Q1 = 3
Q2 = 36.5
Solusi d 2π = −6Q + 118.5 2 dQ d 2π Q =3→ >0 2 dQ d 2π <0 Q = 36.5 → 2 dQ
Keseimbangan Pasar
Kesediaan membayar demand f (x ) Kesediaan menerima harga supply g ( x ) Ekuilibrium demand = supply
f
(x ) =
g (x )
Contoh: Keseimbangan Supply dan Demand
Kondisi ekuilibrium:
QS = QD = QE ; PS = PD = PE
Misal : supplier : petani
Jumlah yang ditawarkan QF ; harga yang diterima PF Fungsi penawaran: PF = b + βQF Harga yang diterima petani tergantung pada jumlah yang ditawarkan (inverse supply), karena biasanya jumlah yang diproduksi tidak fleksibel, sangat tergantung pada mussim misalnya. Di samping itu, produk tidak bisa ditahan ketika harga jatuh karena bersifat perishable.
pembeli: pedagang
Jumlah yang diminta QR ; harga yang diterima PR Fungsi permintaan: QR = a - αPR
Kondisi keseimbangan
QS = QD = Q atau PS = PD = P PF = b + βQF → QF =( PF- b)/β QS = QD a – αP = ( P- b)/β β(a – αP) = P- b → βa – βαP = P- b Βa+b = P+βαP → Βa+b = (1+βα)P P= Βa+b / (1+βα) Q= a – αP atau Q=( P- b)/β Q= a – αP → Q= a – α (Βa+b / (1+βα))
Surplus Konsumen dan Surplus Produsen
Surplus Konsumen adalah kesediaan membayar – pengeluaran sebenarnya
Surplus Produsen adalah kesediaan menerima harga –penerimaan sebenarnya
Pengeluaran/ Penerimaan sebenarnya adalah pada saat ekuilibrium
Surplus Konsumen dan Surplus Produsen P S
CS Pe PS D 0
Qe
Q
Contoh: Surplus Konsumen
Dari soal terdahulu diketahui jumlah dan harga keseimbangan: P= Βa+b / (1+βα) dan Q= a – α (Βa+b/(1+βα)) Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu harga adalah pada saat QR = 0 → QR = a – αPR = 0 a = αPR → PR =a/α Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu jumlah adalah pada saat PR = 0 → QR = a Titik perpotongan kurva supply dengan sumbu harga adalah pada saat QR = 0 → PF = b Titik perpotongan kurva demand dengan sumbu jumlah adalah pada saat PF = 0 → PF = b + βQF = 0 b = - βQF → QF = -b/β
Grafik hasil perhitungan contoh P
a
α
S
CS Pe PS
b
−
b
β
D 0
Qe
a Q
Cara I P
a
α
S
CS Pe
b D −
b
β
0
Qe
a Q
Perhitungan cara I
∫ (D(Q ) − P )dQ E
∫ D(Q )dQ − ∫ P
E
dQ
E ( ) D Q dQ − P ∫ ∫ dQ
Aturan integral
Aturan penambahan/ pengurangan
∫ f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
Aturan eksponensial y = ln x ⇔ x = e y ∂y 1 y' = = ∂x x ∂x = x → ∂x = x∂y ∂y y ∂ x = x ∂ y = e ∫ ∫ ∫ ∂y = x + c
Cara II Q a
S A
B
QE CS D b −
b
β
PE
a
α
P
Perhitungan cara II a
a
α
α
∫ D(P )dP = ∫ (a − αP )dP PE a
α
PE a
α
∫ adP − ∫ αPd PE
PE
=aP]
a
α
PE
α −
a
2
α
P 2
PE
2 a α a α E E = a − aP − − P α 2 α 2
( )
2
