TUGAS APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN TEKNIK. Disusun Oleh :

TUGAS APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN TEKNIK Disusun Oleh : Nama

:Ikhda Nikmatul Mukharromah

NIM

:125100301111048

Fak/Jurusan

:FTP/ Teknologi Industri Pertanian

No. Absen

: 12 / P

Integral digunakan dalam analisis ekonomi dengan berbagai cara. Kita akan menggambarkan beberapa aplikasi dalam bagian sekarang dan kemudian menunjukkan aplikasi untuk model pertumbuhan Domar. Dari Fungsi Marginal ke Fungsi Total Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini sebaliknya, akan memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu. Contoh 1 : Jika biaya marjinal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C2Q’(Q) = 2e0,2Q, jika biaya tetap adalah CF = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan mengintegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapat bahwa 𝟏

 2e0,2Q dQ = 𝟐 𝟎,𝟐 e 0,2Q + c = 10e0,2Q + c Hasil ini dapat digunakan sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta arbitrer c, jawabannya timbul tanpa ditentukan untungnya, informasi bahwa CF = 90 dapat digunakan sebagai kondisi awaluntuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya Chanya

akan terdiri dari CF. Oleh karena itu, dengan menetapkan Q = 0 dalam hasil kita dapatkan nilai 90; yaitu  10e0,2Q + c = 90. Tetapi ini akan beerarti bahwa c = 90 – 10 = 80. Jadi, fungsi total biaya adalah C (Q) =  10e0,2Q + 80 Contoh 2 : Jika kecenderungan menabung marjinal – Marginal Propensity to Save = (MPS) – merupakan fungsi pendapatan berikut, S’(Y) = 0,3 – 0,1Y1/2, dan jika tabungan agregat (aggregate saving) S adalah nol bila pendapatan Y adalah 81, carilah fungsi tabungan S(Y). Karena MPS merupakan derivative

dari fungsi S, masalahnya sekarang adalah mencari integrasi dari S’(Y) : S(Y) =  (0,3 - 0,1Y-1/2) dY = 0,3Y - 0,1Y1/2 + c Nilai spesifik konstanta c dapat diperoleh dari kenyataan bahwa S = 0 bila Y = 81. Meskipun diatakan secara tegas bahwa hal ini bukanlah kondisi awal ( tidak berhubungan dengan Y = 0), mensubtitusikan informasi ini ke dalam integral sebelumnya akan membantu untuk menentukan c. Karena

0 = 0,3 (81) – 0,2 (9) + c  c = -22,5 Fungsi tabungan yang diinginkan adalah S(Y) =  (0,3Y – 0,2Y1/2 – 22,5 Teknik yang digambarkan dalam contoh 1 dan 2 dapat diperluas secara langsung ke persoalan lain yang melibatkan pencarian fungsi total (seperti total pendapatan, total konsumsi) dari fungsi marjinal tertentu. Dapat juga diulang kembali bahwa dalam persoalan jenis ini validitas jawaban (suatu integral) selalu dapat dicek dengan diferensiasi.

Investasi Dan Pembentukan Modal Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, kita bisa menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu, K(t), dan menggunakan derivative dK / dt untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal.* Tetapi tingkat pembentukan modal pada waktu t

adalah identik dengan arus investasi netto (net investment) pada waktu t, yang ditujukkan dengan I(t). jadi persediaan modal K dan investasi netto I dihubungkan dengan dua persamaan berikut :

𝒅𝑲 = 𝑰 (𝒕) 𝒅𝒕

*Dalam hal notasi, derivative, dari suatu variabel yang berhubungan dengan waktu juga sering ditunjukkan denga n titik tang ditetapkan di tas variabel, seperti K = dK / dt. Dalam analisis dinamis, di mana derevatif yang berhubungan dengan waktu terlalu sering terjadi, symbol yang lebih singkat dapat memberikan bantuan yang besar dalam penyederhanaan notasi. Akan tetapi, suatu titik, merupakan tanda kecil, mudah tak terlihat atau salah tempat; jadi perlu hati – hati dalam menggunakan symbol ini.

K(t) =  I(t) dt = 

dan

𝒅𝑲 𝒅𝒕

𝒅𝒕 =  dK

Persamaan pertama pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara investasi netto dan pertambahan modal. Karena I(t) adalah derevatif dari K(t), maka beralasan bahwa K(t) merupakan integral atau antiderevaif dari I(t), seperti yang ditunjukkan dalam persamaan kedua. Transformasi integral dalam persamaan yang terakhir juga mudah dipahami : Peralihan daro I ke dK / dt adalah menurut definisi, dan transformasi selanjutnya adalah dengan pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi. Kadang – kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan I g dan investasi netto dengan I, kita dapat menghubungkan satu sama lain dengan persamaan Ig = I + K dimana  menggambarkan tingkat penyusutan modal dan K pengkat investasi penggnti (replacement investment).dsb

Nilai Sekarang Dari Arus Kas

Pembahasan kita sebelumnya tentang pendiskontoan dan nilai sekarang, yang dibatasi pada kasus nilai masa depan tunggal V, memberikan kita rumus pendiskontoan

dan

A = V(1 + i) -1

[kasus diskret]

A = Ve –rt

[kasus kontinu]

Sekarang misalkan kita mempunyai aliran atau arus nilai masa depan – yaitu serangkaian pendapatan piutang pada berbagai waktu atau pengeluaran biaya hutang pada berbagai waktu. Bagaimana kita menghitung nilai sekarang dari seluruh aliran kas atau arus kas? Dalam kasus diskret, jika kita anggap tiga angka pendapatan di masa mendatang Rt (t = 1, 2, 3) tersedia pada akhir tahun ke – t dan juga mengansumsikan suku bunga i per tahun, nilai sekarang Rt masing – masing akan menjadi

𝐼 I = I(t)

𝒕𝟎 𝟎

𝑰 𝒕 𝒅𝒕 = K(t0) - K(0)

0

t0

R1 ( 1 + i) -2

𝑡

R2 (1 + 1) -2

R3 ( 1 + i)-3

Jadi total nilai sekarang merupakan jumlah =

𝟑 𝒕=𝟏

Rt (1 + i) -1

(14.11)

( dalam kasus di atas adalah huruf Yunani pi, yang menunjukkan waktu sekarang). Perbedaaan hal ini dengan rumus nilai tungal hanya terletak dalam penggantian V dan Rt dan dalam penyisipan tanda .

Konsep penjumlahan tersebut berlanjut ke kasus arus kas yang kontinu, tetapi dalam konteks yang belakangan symbol

 tentunya harus dihilangkan dan diganti dengan tanda

integral definit. Pertimbangkan aliran pendapatan yang kontinu pada tingkat R(t) dollar per tahun. Ini berarti bahwa pada t = t 1 tingkat arus adalah R(t 1) dollar per tahun, tetapi pada titik waktu lain t = t2 tingkatannya akan menjadi R( t2 ) dollar per tahun-dengan t dianggap sebagai variabel kontinu.Pada setiap titik waktu, jumlah pendapatan selama interval [t, t + dt] dapat ditulis sebagai R(t) dt [lihat pembahasan terdahulu atas dK  l(t) dt]. Bila didiskontokan secara kontinu pada tingkat r per tahun, nilai sekarangnya akan menjadi R(t)e–rt dt. Bila permasalahannya sekarang adalah mencari total nilai sekarang dari aliran tiga tahun, jawaban kita akan diperoleh dalam integral defining berikut: =

𝟑 𝑹(𝒕) e–rt 𝟎

(14.11’)

dt

Ekspresi ini, yang merupakan versi kontinu dari jumlah (14.11), hanya berbeda dengan rumus nilai tunggal dalam penggatian V dengan R(t) dan dalam pembubuhan tanda integral devinit.* Contoh 1 Berapakah nilai sekarang dari arus pendapatan kontinu yang berlangsung selama y tahun pada tingkat yang konstan sebesar D dolar per tahun dan didiskontokan pada tingkat r per tahun? Menurut (14.11’), kita punya = =

𝒚 𝑫e–rt 𝟎

−𝑫 𝒓

dt = 𝑫

e–rtt = 0t = y =

𝒚 𝟎

−𝑫 𝒓

−𝟏

e–rt dt = D  𝒓 e–rtoy

e–ry – 1) =

𝑫 𝒓

( 1 -e–ry)

Jadi  tergantung pada D, r, dan y. Bila D = $3.000, r = 0,06, dan y = 2, misalnya kita memperoleh =

𝟑.𝟎𝟎𝟎 𝟎,𝟎𝟔

( 1 – e-0,12) = 50.000 ( 1- 0,8869) = $5.655

[aproksomasi]

Nilai  biasanya selalu positif, ini sesuai dengan positivitas D dan r serta ( 1 – e-ry). Bilangan e yang mempunyai pangkat negative akan selalu memberikan nilai pecahan yang positif,

*Perlu dicatat bahwa, walaupun penjumlahan indeks atas dan limit integrasi atas identik pada 3, penjumlahan indeks 1 bahwa berbeda dari limit integrasi bahwa 0. Ini karena pendapatan pertama dalam aliran diskret, menurut asumsi, tidak akan terjadi sampai t = 1 (akhir tahun pertama), tetapi arus pendapatan dalam kasus kontinu diasumsikan terjadi segera setelah t = 0.

Nilai Sekarang dari Arus Perpetual Jika arus kas berlangsung selamanya-suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti tanahnilai sekarang dari arus kas akan menjadi =

 𝟎

𝑹(𝒕) e–rt dt

yang merupakan integral tak wajar (improper integral) Contoh 1 Carilah nilai sekarang dari aliran pendapatan perpetual yang mengalir pada tingkat yang seragam sebesar D dollar per tahun, bila tinkat diskonto kontinu adalah r. Karena, dalam mengevaluasi integral tak wajar, kita cukup mengambil limit integral yang wajar, hasil dalam (14.12) masih dapat membantu kita. Secara khusus, kita dapat menulis =

 𝟎

𝑫𝒆–rt dt = 𝐥𝐢𝐦𝒀→∞

𝒀 𝑫𝒆–rt 𝟎

dt =𝐥𝐢𝐦𝒀→∞

𝑫 𝒓

( 1 - e–ry) =

𝑫 𝒓

Perhatikan bahwa parameter Y (jumlah tahun) telah hilang dari jawaban akhir. Hal ini memang seharusnya terjadi, karena di sini kita menghadapi arus perpetual. Anda juga bisa mengamati bahwa hasil kita ( nilai sekarang = tingkat arus pendapatan + tingkat diskonto). Secara tepat berhubungan dengan rumus yang lazim disebut “Kapitalisasi” dari suatu aktiva dengan hasil perpetual. (Bab 14 Dinamika Ekonomi dan Kalkulus Integral)

Pemakaian Integral Tak Tentu Buat sebarang fungsi y = f (x) maka fungsi rata – rata 𝑦=

𝑓(𝑥) 𝑥

dan fungsi marjinal 𝑑𝑦

𝑦 = 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥)

Sebaliknya bila fungsi marjinal y’ = f’ (x) diketahui maka fungsi y diperoleh dengan pengintegralan y =  f’ (x) dx – f (x) + c Tetapan pengintegralan C diperoleh dari syarat batas. Fungsi y dapat fungsi biaya, fungsi penerimaan, fungsi pendapatan, fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dll. 1. Bila y’ f’ (x) = biaya marjinal maka fungsi biaya y =  y’ dx = f (x) + C dan biaya rata – 𝑦 rata 𝑦= 𝑥 2. Bila y’ f’ (x) = penerimaan marjinal, maka fungsi penerimaan y =  y’ dx = f (x) + C dan penerimaan rata – rata yang sama dengan harga per satuan dan sama dengan fungsi permintaan. 𝑦

𝑦=𝑥 =𝑝 3. Pendapatan nasional x adalah konsumsi nasional c ditambah tabungan nasional s atau x=c+s 𝑑𝑐

l = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑐

𝑑𝑠 𝑑𝑥

= 𝑐 ′ + 𝑠′ 𝑑𝑐

c’ = 𝑑𝑥 = 𝑕𝑎𝑠𝑟𝑎𝑡 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙, s’ = 𝑑𝑥 = 𝑕𝑎𝑠𝑟𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 Fungsi konsumsi c dapat diperoleh dengan mengintegralkan hasrat konsumsi marginal dan fungsi tabungan s dapat diperoleh dengan pengintegralan hasrat tabungan marginal. c =  c’ dx = f(x) + C s =  s’ dx = g (x) + C Tetapan pengintegralan diperoleh dari syarat batas. Contoh:

Hasrat konsumsi marginal c’ = 0,7 + 0,1x -1/2 Ditanyakan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan bila pada konsumsi c sama dengan pendapatan x, maka x = 64 c =  ( 0,7 + 0,1x -1/2) dx = 0,7x + 0,2x ½ + C Buat y = 64, maka x = 64 64 = 0,7.64 + 0,2.8 + C C = 17,6 Fungsi Konsumsi c = 0,7x + 0,2x ½ + 17,6

Tabungan marginal s’ = 1 – c’ = 0,3 – 0,1x -1/2 s’ =  (0,3 – 0,1x -1/2) dx = 0,3x – 0,2x -1/2 + C1 Pada pendapatan x = 64, maka konsumsi c = 64 dan tabungan s = 0 s = 0,3.64 -0,2.8 + C1 C1 = -17,6 Fungsi tabungan s = 0,3x - 0,2x -1/2 – 17,6 yang juga segera dapat diperoleh dari s=x–c = 0,3x - 0,2x -1/2 – 17,6

Surplus konsumen Fungsi permintaan y = f (x) menunjkkan jatah x sesuatu barang yang hendak dibeli orang bila harganya y. Fungsi ini suatu fungsi menurun karena bila harga barang turun, maka permintaaan akan bertambah. Misalkan pada harga yo permintaan xo , maka semua orang yang bersedia membayar lebih dari harga pasaran y0 itu untung bahwa harga barang itu hanya yo. Keuntungan ini dengan pemisalan bahwa utilitas maerginal uang tetap dan bahwa semua orang mempunyai fungsi utilitas yang sama dapat diukur dengan x 𝟎

𝟎

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 – xo yo

yng dinamakan keuntungan utilitas ataupun surplus konsumen. Surplus konsumen ditunjukkan dengan luas di bawah liku permintaan dikurangi penerimaan total x0 y0 ataupun luas di bawah liku permintaan sampai garis y = y0 Bila fungsi permintaan diucapkan dengan x = g (y), maka surplus konsumen dihitung dengan 𝑌𝑜

𝑔 𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝑜

dimana Yo = ordinat titik potong liku permintaan dengan sumbu y. Surplus konsumen SK =

𝑿𝒐 𝒇 𝟎

𝒙 𝒅𝒙 – xo yo =

𝒀𝒐 𝒈 𝒚𝒐

𝒚 𝒅𝒚

(6.22)

Aplikasi Integral Dalam Ilmu Keteknikan Teknik – teknik pengintegralan memungkinkan kita : 1. 2. 3. 4. 5.

menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar, menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan, memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu, memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkan serangga jantan yang mandul

Ringkasan Formula Integral Tertentu



Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelum dapat menggunakan teknik integral tertentu



Beberapa teknik manipulasi aljabar o

Melengkapi kuadrat

o

Menambahkan “0”

o

Mengalikan “1”

o

Subtitusi merasionalkan

Subtitusi Merasionalkan Integran yang melibatkan bentuk akar

𝑛

𝑎𝑥 + 𝑏 seringkali dapat dibuat menjadi bentuk

rasional dengan mengambil subtitusi

Integral Parsial  Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik subtitusi ganda.  Banya digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi transeden (logaritma, eksponensial, trigonometri, beserta inversnya) o Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi) Contoh :

ln 𝑥 𝑑𝑥,

𝑠𝑖𝑛−1 ,

cos(ln 𝑥) 𝑑𝑥

o Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsi transenden)

Contoh :

𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥,

Penentuan u dan dv

𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥,

𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

Dekomposisi Pecahan Integral 

Masalah : pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsi polinomial) sejati.

 dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < deajat q (x),. 

Bila derajat p (x) ≥ derajat q (x), lakukan pembagian sehingga diperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.



Metode pengintegralan Dekomposisi Pecahan Parsial dengan cara menguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x) menjadi jumlah fungsi – fungsi rasional sejati yang sederhana.

Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

1. The probability distribution for a continous random variable X is given by a probability density function (pdf) such that the probability that X takes on values between a and b is the area under the curve between a and b. f (x) = 0

if x <0

33−3𝑥

if x ≥ 0

(1) Find the probability the part lasts for at least 4 years. (2) Suppose the part lasts for 4 years, find the probability it lasts for at leasts another 4 years.

2. (FDWK) Find a formula for the area A (x) of the cross sections of the solid perpendicular to the x axis. Find the volume of the resulting solid. The solid lies between planes perpendicular to the x axis at = 1 and x = 1. In each case, the cross sections perpendicular o the r axis between these planes run from the semicircle y =  1 − 𝑥𝑟 2 to the semicircle y = 1 − 𝑥 2 . (a) The cross sections are circular disk with diameters in the xy plane.

(b) The cross section are squares with bases in the xy plane.

(c) The cross sections are squares with diagonals in the xy plane. (The length of a square’s diagonal is 2 times the length of its sides).

(d) The cross sections are equilateral triangles with bases xy palne.

3. (ETS) A 3 – dimensional object has square base, defined by 1 ≤ 𝑥 ≤ 7 and 0 ≤ 𝑦 ≤ 6. The height of the object at any point (x,y) in the base is given by h (x) = 𝑥 2 + 1. (a) Approximate the volume of this object by dividing the base into 3 strips of width 2 and using the height at the left edge of each strip. (b) Write a Riemann sum that approximate the volume of the object, dividing the base into n strips of width ∆𝑥 =

7−1 𝑛

and using the height at the left edge of each strip.

(c) Write an integral for the volume of the object. (d) Find the volume of the object.

4. (Stewart) A high - tech company purchases a new computing system whose initial value is V . The system will depreciate at the rate f = f(t) and will accumulate maintenance

costs at the rate of g = g(t), where t is measured in months. The company wants to determine the optimum time to replace the system. a. Let 1

C (t) = 𝑡

𝑡 0

𝑓 𝑠 + 𝑔 𝑠 𝑑𝑠

b. Suppose that f (t) =

𝑉

𝑉𝑡 2

𝑉

- 450 𝑡 0 < 𝑡 ≤ 30

15

0

and g(t) = 12900 , 𝑡 , 0

t > 30

Determine the length of tme T for the total depreciation D(t) =

𝑡 0

𝑓 𝑠 𝑑𝑠 to equal

the intial value V. c. Determine the absolute minimum of C on (0,T) d. Sketch the graph of C and f + g on the some coordinate system.Verify the result in part (a) 5. (Hughes - Hallett) The density of oil in a circular oil slick on the surface of the ocean at a distance r meters from the center of the slick is given by ½(r) = 50=(1 + r) kg/m2. (a) If the slick extends from r = 0 to r = 10000 m, find a Riemann sum approximating the total mass of oil in the slick. (b) Find the exact value of the mass of oil in the slick. (c) Within what distance r is half the oil of the slick contained?

6. (Stewart) The hydrogen atom is composed of one proton in the nucleus and one electron, which moves about the nucleus. In the quantum theory of atomic structure, it is assumed that the electron does not move in a well definet orbit. Instead, it occupies a state known as an orbital, which may be thought of as a cloud of negative charge surrounding the nucleus. At the state of lowest energy, called the ground state, or 1s orbital, the shape of this cloud is assumed to be a sphere centered at the nucleus. This sphere is described in terms of the probability density function 4

p (r) = 𝑎 3 𝑟 2 𝑒 −2𝑟/𝑎 0 0

r≥ 0

where 𝑎0 is the Bohr radius (a = ≈ 5.59 x 10-11 m). The integral

P (r)

𝑟 4 0 𝑎 03

𝑠 2 𝑒 −2𝑠/𝑎 0 𝑑𝑠

gives the probability that the electron will be found within the sphere of radius r meters centered at the nucleus (a) Sketch the graph of the probability density function p. (b) Determine the probability that the electron will be within the sphere of radius 4𝑎0 centered at the nucleus. (c) The most problable distance (expected value) of the electron from the nucleus in the ground state of the hydrogen atom is given by E= Find the value of E.

∞ 0

𝑟𝑝 𝑟 𝑑𝑟

DAFTAR PUSTAKA Daper, Jean E. danKlingman Jean S. 1964.Mathematical Analysis, Business and Economic Application Bab 4. New York:Harper and Row. Marsigit, M.A, Himmawati, P.L, Karyati, Sugiman. 2008. MatematikaKelas XII program IPA. Quadra. Kanginan, Marthen. 2005. MatmatikaKelas XII jilid 5. Bandung: Grafindo Media Pratama.