ANALISA PERBANDINGAN PERHITUNGAN ELEMEN HINGGA DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN SEGITIGA (CONSTANT STRAIN TRIANGLE) DAN ELEMEN SEGIEMPAT (BILINEAR QUADRILATERAL)
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil
Disusun oleh :
SADVENT M PURBA NIM : 08 0404 046
SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
LEMBAR PENGESAHAN
ANALISA PERBANDINGAN PERHITUNGAN ELEMEN HINGGA DENGAN MENGGUNAKAN ELEMEN SEGITIGA (CONSTANT STRAIN TRIANGLE) DAN ELEMEN SEGIEMPAT (BILINEAR QUADRILATERAL) TUGAS AKHIR Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil Disusun oleh :
SADVENT M PURBA NIM : 08 0404 046 Pembimbing
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP : 19561224 198103 1 002 Penguji I
Penguji II
Penguji III
Ir. Besman Surbakti
Ir. Daniel Rumbi Teruna
Ir. Torang Sitorus
NIP:19541012 198003 1 004
NIP:19590707 198710 1 001
NIP:19571002 198601 1 001
Mengesahkan : Ketua Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan NIP : 19561224 198103 1 002 SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara
ΑΒSTRAK
Penyusunan tugas akhir ini, merupakan pencarian nilai lendutan daripada balok dengan Metode Elemen Hingga, yakni dengan elemen segitiga dan elemen segiempat serta dibandingkan dengan nilai yang diperoleh secara eksak. Nilai matriks kekakuan disusun secara analitis dengan bantuan Microsoft Exel 2007. Dalam Tugas Akhir ini, disajikan teori-teori dasar tentang Metode Elemen Hingga juga elemen segitiga dan elemen segiempat serta penurunan rumus untuk mencari lendutan. Pada akhir penulisan Tugas Akhir ini akan terlihat bagaimana perbandingan nilai lendutan yang diperoleh antara elemen segitiga, elemen segiempat dan secara eksak.
Kata Kunci : Balok, Lendutan, Metode elemen hingga, Elemen segitiga, segiempat
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena limpahan kasih karunia-Nya maka penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul “Analisa Perbandingan Perhitungan Elemen Hingga Dengan Menggunakan Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) Dan Elemen Segiempat (Bilinear Quadrilateral)”. Tugas akhir ini ditulis dan disusun sedemikian rupa sebagai syarat dalam ujian sarjana Teknik Sipil bidang studi Struktur pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan penulis. Sehingga untuk penyempurnaanya maka penulis menerima saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta dari rekan-rekan mahasiswa. Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan semangat dari berbagai pihak tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Sehingga dengan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Jurusan Departemen Tekik Sipil Universitas Sumatera Utara, dan juga selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Bapak Ir. Syahrizal, MT, selaku Sekretaris Jurusan Departemen Tekik Sipil Universitas Sumatera Utara. 3. Bapak Ir. Syahril Dulman, selaku dosen wali sekaligus dosen pengajar saya selama saya menempuh studi. 4. Bapak/Ibu dosen pengajar Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara. 5. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan baantuan dalam kemudahan penyelesaian adminiatrasi.
Universitas Sumatera Utara
6. Kedua orangtuaku terkasih M. Purba dan R. br Silaban, yang telah mengasihi saya dengan segenap hati, yang telah membentuk saya dengan nasehat dan kasihnya, yang telah memberikan segala sesuatu yang ada pada dirinya demi anak-anaknya tercinta. Serta abang dan kakakku yang sangat kukasihi dan kubanggakan, Kak Hemia, Kak Anci, Lae Situmorang, Bang Pahala, Kak Ahon, Kak Perdian, Lae Barutu, Bang Saur, Kak Mangidup, Kak Ardi, Lae Tobing, Kak Deora dan Lae Siahaan yang telah menjadi pendorong semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini kupersembahkan untuk untuk keluargaku yang sangat aku banggakan. 7. Pemimpin kelompok kecilku “Biji Sesawi” Bang Adrianto dan kawan kelompok kecilku yang telah banyak memberi bimbingan dan dorongan semangat untuk terus berjuang dan berkarya sehingga saya tetap berdiri teguh dan bersemnagat untuk terus berkarya buat Tuhan 8. Teman kebaktian kelompok sel gereja, Kak Henny dan teman-teman yang selalu berdoa dan memberi dukungan semangat. Terimakasih atas doa-doa yang selama ini sangat memberkati. Semoga kita semua sama-sama bertumbuh di dalam Tuhan. 9. Rekan-rekan mahasiswa Departeman Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara angkatan ‟08 khusunya ; Sahabatku Dapot, Sumanro, Ahmad, Arif yang selalu memberi support. Buat Handiman, Agus, Felix, Dini, Rosiva, Ayu, anak-anak struktur. Juga buat orang-orang yang selalu menjadi teman-teman belajar di silvia‟s room , yang telah memberikan dukungan pada penulis dalam meyelesaikan tugas akhir ini. 10. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara dari seluruh angkatan yang telah banyak membantu baik dalam perkuliahan maupun memberikan masukan dalam tugas akhir ini.
Universitas Sumatera Utara
Dengan kesadaran dalam keterbatasan dari ketidaksempurnaan bahwa tugas akhir ini tidak luput dari kesalahan baik dalam penulisan atau penyusunannya, maka dengan hati yang tulus mengucapkan maaf. Akhir kata penulis berharap tugas akhir ini berguna bagi semua pihak yang memerlukan.
Medan,
Juli 2012
Sadvent M Purba 08 0404 046
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Lembar Pengesahan ............................................................................................... Abstrak ....................................................................................................................
i
Kata Pengantar .......................................................................................................
ii
Daftar Isi ................................................................................................................
v
Daftar Gambar ....................................................................................................... viii Daftar Notasi ...........................................................................................................
x
BAB
1
I Pendahuluan .......................................................................................... I.1.
Umum ..........................................................................................
1
I.2.
Latar Belakang Masalah ...............................................................
4
I.3.
Tujuan .........................................................................................
6
I.4.
Pembatasan Masalah ....................................................................
6
I.5.
Metodologi ...................................................................................
6
I.6.
Sistematika Pembahasana .............................................................
7
BAB II Tinjauan Pustaka ...................................................................................
8
II.1. Umum ..........................................................................................
8
II.2. Konsep Elemen Hingga ................................................................
8
II.3. Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga ......................................
12
II.4. Dasar-dasar Metode Elemen Hingga ............................................
13
II.4.1. Matriks dan Persamaan Penting .........................................
13
II.4.2. Teori Elastisitas ..................................................................
16
II.4.3. Metode Elemen Hingga Rayleigh-Ritz ..............................
17
Universitas Sumatera Utara
II.4.4. Interpolasi Polinomial ........................................................
20
II.4.4.1. Elemen Simpleks satu dimensi ..................................
21
II.4.4.2. Elemen Simpleks dua dimensi ..................................
22
II.4.4.3. Elemen Simpleks tiga dimensi ..................................
25
BAB III METODE ANALISA & APLIKASI ....................................................
27
III.1. Elemen Segitiga Isoparametrik dengan Tiga Node . ....................
27
III.1.1. Elemen Segitiga dengan Tiga Node ..................................
27
III.1.2. Elemen Segitiga dalam Sistem Koordinat Lokal ..............
43
III.1.3. Transformasi Koordinat Lokal ke Global .........................
46
III.1.4. Gabungan/ Assemblage Elemen .......................................
48
III.1.5. Elemen Segitiga dalam Koordinat Natural .......................
49
III.2. Elemen Quadrilateral Empat Node Isoparametrik ........................
55
III.2.1. Koordinat Natural dari Elemen .........................................
55
III.2.2. Strain Elemen-Matriks Displacement ...............................
57
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................
65
III.1. Umum ...........................................................................................
65
III.2. Elemen Segitiga (Constant Strain Triangle) ................................
67
III.3. Elemen Segiempat (Linera Quadrilateral) ....................................
73
III.4. Perhitungan Secara Eksak .............................................................
82
III.5. Grafik dan Perbandingan ..............................................................
84
Universitas Sumatera Utara
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................
85
V.1. Kesimpulan .....................................................................................
85
V.2. Saran ...............................................................................................
87
Daftar Pustaka ........................................................................................................ xii Lampiran ................................................................................................................ xiii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR Gambar.1.1
: Elemen segitiga regangan konstan. ............................................
3
Gambar.1.2
: Elemen segiempat .......................................................................
3
Gambar.1.3
: Gambar sketsa ............................................................................
4
Gambar.1.4
: Pengerjaan dengan Elemen segitiga regangan konstan. .............
5
Gambar.1.5
: Pengerjaan dengan Elemen segiempat. ......................................
5
Gambar.2.1a : Struktur bidang dengan bentuk sembarang ................................
9
Gambar.2.1b : Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut ......
9
Gambar.2.1c : elemen segiempat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul phi dan qhi. Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3 ................................................... Gambar.2.2
Gambar.2.3
9
: 2 Fungsi kombinasi dan elemen tipikal yang dapat digunakan untuk mendekatinya ..............................................................................
10
: Elemen balok ............................................................................
14
Gambar.2.4a : Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3). “Elemen hingga” disini adalah pegas linier dengan kekakuan k1,k2,k3 ................
15
Gambar.2.4b : Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i 3 .......
15
Gambar.2.5
: Tegangan dan gaya benda persatuan volume yang bekerja pada elemen bidang yang sangat kecil, yang mempunyai tebal konstan t . Notasi koma menunjukkan turunan parsial ............................................
16
Gambar.2.6
: Pemodelan Ritz ...........................................................................
19
Gambar.2.7
: Pemodelan dengan FEM .............................................................
19
.................................................................................................... Gambar.2.8
:
Elemen simpleks satu dimensi ...................................................
21
Universitas Sumatera Utara
Gambar.2.9
: Elemen Simpleks Dua Dimensi ..................................................
22
Gambar.2.10 : Elemen Simpleks Tiga Dimensi (Tetrahedron) ..........................
25
Gambar.3.1
:
Elemen segitiga dengan penomoran Lokal ................................
27
Gambar.3.2
:
Tensile Stress pada bidang x dalam arah sumbu x .....................
34
Gambar.3.3
:
Normal stress dan shear stress pada bidang x dan y ..................
34
Gambar.3.4
: Stress pada satu titik dalam kasus plane Strain ..........................
35
Gambar.3.5
: Contoh Stress Traksi...................................................................
40
Gambar.3.6
:
Elemen Segitiga Dalam Sistem Koordinat Lokal ......................
43
Gambar.3.7
: Penggabungan 2 buah Elemen Segitiga......................................
48
Gambar.3.8
: Elemen Segitiga dalam Koordinat Global dan Koordinat Natural .................................................................................................... 50
Gambar.3.9
:
Elemen Quadrilateral .................................................................
55
Gambar.3.10
:
Koordinat Natural untuk Elemen Quadrilateral ........................
56
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR NOTASI
A
= Luas Penampang
[B]
= Matriks dalam perhitungan
Cx
= Kosinus arah x suatu batang
Cy
= Kosinus arah y suatu batang
Cz
= Kosinus arah z suatu batang
{d}
= Vektor dari perpindahan (displacement)
du
= Perpindahan sejauh u
dv
= Perpindahan sejauh v
dx
= Perpindahan titik kumpul arah x
dy
= Perpindahan titik kumpul arah y
dz
= Perpindahan titik kumpul arah z
E
= Modulus elastisitas
[E]
= Modulus Elastisitas
{f}
=Vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul
F
= Gaya Luar
Fx
= Gaya sejajar sumbu x
Fy
= Gaya sejajar sumbu y
Fz
= Gaya sejajar sumbu z
h
= tebal elemen
i
= Vektor satuan dalam arah sumbu x
j
= Vektor satuan dalam arah sumbu y
k
= Vektor satuan dalam arah sumbu z
[K]
= Matriks Kekakuan
Universitas Sumatera Utara
k
= koefisien kekakuan pegas
k
= Vektor satuan dalam arah sumbu z
L
= Panjang elemen
M
= Momen lentur
P
= Gaya batang
Rx
= Reaksi perletakan dalam arah sumbu x
Ry
= Reaksi perletakan dalam arah sumbu y
Rz
= Reaksi perletakan dalam arah sumbu z
T
= Torsi pada batang
U
= Energi
V
= Potensial dari gaya luar
v
= poison ratio dari material
= Energi Potensial Total
i
= Suatu fungsi
= Tegangan Normal
= Tegangan Geser
= Regangan Normal
= Regangan Geser
{}
= vektor stress (tegangan)
{}
= vektor strain (regangan)
Universitas Sumatera Utara
