TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL

Matematika

TUGAS KELOMPOK “TURUNAN DAN INTEGRAL”

DISUSUN OLEH NAMA

1. LUKMANUDIN

D07090135

2. YUYU YUMIARSIH

D07090191

3. SERLI WIJAYA

D07090138

PROGRAM STUDY

: PEND. MATEMATIKA

MATA KULIAH

: ANALISA VEKTOR

DOSEN

: ABDUL KARIM, M.Pd

FALKUTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS MATHLA’UL ANWAR BANTEN 2012

1

Turunan dan Integral

Matematika

BAB

TURUNAN 1.1

Definisi Turunan Fungsi.

pada bab limit, kita telah mempelajari limit fungsi yang mengarah pada konsep turunan, yaitu :

lim  h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Pada bentuk limit diatas merupakan turunan pertama dari y = f(x) dan di tulis sebagai f’(x). berarti ( ) ( ) ( )

1.2

Notasi Turunan.

Diberikan y = f(x), maka notasi turunannya adalah:

( )

( )

( )

( )

Semuanya menyatakan notasi turunan dari f terhadap x. Notasi , = (dibaca de f(x) de x ) Contoh 1.1 Andaikan f(x) = 14x + 6. Tentukan f ‘(x). Jawab. ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( )

2


( )

(dibaca “de y de x”), dan

( ( ))

Matematika 1.3

Turunan Fungsi

a. Turunan identitas Jika f(x) = x, maka turunan f(x) terhadap x adalah :

𝒅 (𝒙) 𝒅𝒙

𝟏

Contoh : 1.2 Jika f(x) = x maka f ‘(x) = 1 b. Turunan Fungsi Konstan. Jika c adalah suatu konstan, maka turunan f(x) = c ,

𝒅 (𝒄) 𝒅𝒙

𝟎

Bukti: (

( ) (

( )

)

( )

)

( )

c. Turunan Fungsi Bentuk Pangkat. Penentuan turunan fungsi pangkat, f(x) = xn Dapat diuraikan berdasarkan perhitungan limit berikut ini

( )

(

)

( )

Binomial newton:

x  hn

 C0n X n  C1n X n1h  C2n X n2 h 2  ..... Cnn h n

Turunan fungsi pangkat. ( )

 lim h0

3

(

)

C0n X n  C1n X n1h  .....  Cnn h n  x n h


Matematika

 lim h0

 lim h0

x

n



 C1n X n1h  .....  Cnn h n  x n h



h C1n X n1  C2n x n2 h  .....  Cnn h n1 h

f ' ( x)  C1n x n1



f ' ( x)  nx n1

Turunan fungsi bentuk pangkat 𝑥 𝑛 , dengan n bilangan – bilangan bulat positif dan maka 𝑓′(𝑥)

Jika 𝑓(𝑥)

𝒅𝒇 𝒅𝒙

𝑛𝑥 𝑛−1

𝒏𝒙𝒏−𝟏

Contoh 1.3 Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut a. F(x) = x3 b. F(x) = x4 Jawab ( ) a. ( ) b.

d. Turunan Perkalian Konstan Dengan Fungsi. Jika g(x) = kf(x) dengan f(x) suatu fungsi yang dideferensialkn, dan k suatu konstan, g’ (x) = kf’(x), yaitu : 𝒅 𝒅 𝒌𝒇(𝒙) 𝒌 𝒇(𝒙) 𝒌𝒇′(𝒙) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

Bukti Andaikan g(x) = kf(x),maka g’(x) = lim h0

g x  h   g x  k . f x  h   k. f x   lim h  0 h h

lim k h0

f x  h   f x  f x  h  f x   k lim h0 h h

= kf x  terbukti

4


Matematika

Contoh 1.4 Tentukan turunan g(x) = 3x5 Jawab g’(x) = 3.5x5-1 = 15x4

e. Turunan Dari Jumlah / Selisih Dua Fungsi. 1. Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x)= f(x) + g(x) maka: 𝒅 𝒉(𝒙) 𝒅𝒙

𝒅 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝒅 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙

Jika f(x) dan g (x) fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, dan h(x)= f(x) - g(x) maka: 𝒅 𝒉(𝒙) 𝒅𝒙

𝒅 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝒅 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙

Contoh 1.5 Jika f (x) = 2x3 + 3 √ , maka tentukan f ‘(x)! Jawab ( )

( )

= 6x2 + x-2/3 ( )=

1 √

f. Turunan Hasil Kali. Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi yang dapat di diferensialkan dan h(x) = f(x).g(x) maka :

𝒉 (𝒙)

𝒇(𝒙) 𝒈 (𝒙)

bukti Contoh 1.6 Carilah turunan dari f(x) = (x3 + 2x) (x2 – 3)! Jawab Misalkan g(x) = (x3 + 2x) dan h(x) = (x2 – 3) maka

5


𝒇 (𝒙) 𝒈(𝒙)

Matematika f ' ( x )  g ( x ) h' ( x )  h ( x ) g ' ( x )  ( x 3  2 x)(2 x)  ( x 2  3)(3x 2  2)  (2 x 4  4 x 2  3x 4  2 x 2  9 x 2  6)

f ' ( x)  5 x 4  3 x 2  6

g. Turunan hasil bagi. Jika f(x) dan g(x) terdiferensialkan dan 𝒉(𝒙) 𝒉 (𝒙)

𝒇(𝒙) ,g(x) 𝒈(𝒙)

≠ 0 maka :

𝒈(𝒙)𝒇 (𝒙) 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) (𝒈(𝒙))𝟐

Contoh 1.7 Carilah turunan dari f ( x)  Jawab

f ' ( x) =

=

f ' ( x) 

x2 1 2x  3

2 x  32 x   x 2  12 2 x  32

4 x

2

 4x  2x 2  2

2 x  3



2

2x 2  6x  2

2 x  32

h. Turunan Sinus Dan Kosinus. Jika f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya terdiperensialkan, maka f’(x) = cos x dan g‘(x) = - sin x

6

1.

𝒅 (𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙

2.

𝒅 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒙

5.

𝒅 (𝒔𝒆𝒄𝒙) 𝒅𝒙

3.

𝒅 (𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝒅𝒙

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

6.

𝒅 (𝒔𝒆𝒄𝒙) 𝒅𝒙

𝒄𝒐𝒔 𝒙


𝒅

4. 𝒅𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙)

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙

Matematika

Contoh 1.8 Tentukan turunan f(x) = sin x – cos x Jawab f ’(x) = cos x – (- sin x) f ’(x) = cos x + sin x

i. Turunan Aturan Rantai. (𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) Jika g Misalnya y = f(u) dan u = g(x) menentukan komposit 𝑦 𝑓 𝑔(𝑥) terdiferensialkan di x dan f terdiperensialkan di u = g(x), maka 𝑓 𝜊 𝑔 terdiferensialkan midi x dan (𝒇 𝝄 𝒈)′(𝒙)

𝒇′(𝒈(𝒙)𝒈′(𝒙) atau

𝒅𝒚

𝒅𝒚 𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝒅𝒖 𝒅𝒙

contoh 1.9 tentukan turunan dari y = (x2 – 3x + 1)10 Jawab Misalnya u = x2 – 3x + 1, maka y = u10 akibatnya, Sehingga = 10 u9. 2x – 3 = 10(x2 – 3x + 1).(2x – 3)

7


= 2x – 3 dan

= 10u9 = 10(x2 – 3x + 1)

Matematika

Uji Kompetensi 1

Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut ini 1. f(x) = 4sinxcosx . . . . 2. f(x) = 11x4 – 3x + 9 3. f(x) = √ . . . . 4. g(x) =

....

√ 7

5. h(x) = x + x5 – 5x + 7 . . . . 6. g(t) = √ .... 3 7. jika f(x)= x + 6x2 + 2x + 5, maka f’(x) – 2 . . . . 8. f(x) =

.... 2

9. f(x) = (3x – 5)(2x + 4) . . . . 10. jika y = 3u2 – 2u + 5 dan u = x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . . 11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . . 12. y =

, √

...

13. y = sin(x2 – 1) 14. jika y = sin3x tentkan y’! 15. Turunan tan x = sec2x . .

8


Matematika

BAB

INTEGRAL 1.1.

Pengertian Integral.

Misalkan diketahui : ( ) Maka turunanya adalah ( ) Perhatikan dibawah ini : ( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

( ) ( ) Proses pengerjaan dari f(x) ke f’(x) merupakan operasi pendeferensialkan yang udah dijelaskan bab 1, sedangkan proses pengerjaan dari f’(x) ke f(x) merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan, atau dinamakan anti diferensialaan atau dikenal dengan pengitegralan. Perhatikan bahwa masing – msaing fungsi f(x) diatas yang berbeda hanya suku tetap saja, sedangkan suku lainya slalu sama yaitu 3x2 dan 4x. ini berarti bahwa semua fungsi hasil pengintegralan f’(x) = 6x + 4 dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x2 + 4x + c, dengan C adalah konstan dan C ϵ R

1.2.

Notasi integral.

Jika f suatu turunan dari F, maka notasinya adalah F’(x) = f(x) atau dapat juga di tuliskan sebagai d(F(x))= f(x)dx. Sebaliknya F adalah anti turunan dari f dan notasi atau symbol untuk operasi pengintegralan adalah . Kita tuliskan :

( )

( )

Dengan : F(x) = adalah fungsi integral umum yang bersifatnya F’(x) = f(x), f(x) disebut fungsi integral, C adalah konstan real sembarang. Pengintegralan fungsi f terhadap x seperti tertulis diatas dinamakan integral tak tentu dari fungsi f terhadap x

9


Matematika

Contoh 2.1

(

)

1.3. Interal Tak Tentu Dari Fungsi Aljabar. Telah disebutkan di atas bahwa untuk menentukan integral tak tentu dari aturan turunan digunakan ( ) ( ) Ini berarti bahwa untuk menentukan hasil suatu integral tak tentu ( ) adalah mencari fungsi F(x). RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR. Perhatikan ilustrasi berikut ini : Jika F(x) =

1

maka F’(x) = f(x) = x

1

Berati

1

Jika ( )

maka F’(x) = f(x) = x2

1

Berarti

Dari ilustrasi diatas kita dapatkan pola keteraturanya, sehingga kita dapat disimpulkan rumus umum integral tak tentu aljabar adalah : 1

∫ Berlaku untuk semua n bilangan real kecuali n ≠ 1

Misalkan k konstan real sembarang, f(x) dan g(x) masing – masing merupakan fungsi integral yang dapat ditentukan fungsi integral umunya, maka :

33

a.

𝑑𝑥

b.

𝑘𝑑𝑥

𝑥

𝐶 𝑘𝑥

𝐶

1

c.

𝑥 𝑛 𝑑𝑥

d.

𝑘𝑥 𝑛 𝑑𝑥

e.

𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥

f. g.

𝑑𝑥 𝑥 𝐶 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑔(𝑥)𝑑 𝑥

𝐹(𝑥)

𝐺(𝑥)

𝐶

h.

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑔(𝑥)𝑑 𝑥

𝐹(𝑥)

𝐺(𝑥)

𝐶

𝑛 1

1

𝑘 𝑥𝑛 1 𝑛 1


𝐶, dengan n bilangan rasional, n ≠ 1 𝐶, dengan n bilangan rasional, n ≠ 1

𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Contoh 2.2 Tentukan anti turunan 1. x5

10

𝑥𝑛

𝑘(𝐹(𝑥)

𝐶)

Matematika

2.

1

3. √ 4. ( Jawab

) 1

1. 1

= 2.

1

x

3

1 1

dx   x 3 dx 

1 1 1 x 31  c   x 2  c   2  c  3 1 2 2x

4 3

4 1 3

4

1

7

7

1 3 7 x  c  x 3  c  x 3  c  3 x7  c 3.  x dx   x dx  4 7 7 3 1 3 3 3 2 5 4.  3x 7  4 x 5  5 x 3  6dx  x 8  x 6  x 4  3x 2  c 8 3 4 3

1.4. Integral Tentu. a. Mengenal Pengertian Integral Tentu. b

Rumus  f x dx  Fx a  Fb   Fa  b

a

Disebut integral tentu, sebab hasil integral tersebut bernilai tertentu. Pada rumus diatas, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integrasi. Interval [a,b] disebut interval integrasi. b. Menentukan Nilai Suatu Integral Tentu.

Contoh 2.3

 x



3

a. Carilah

2

 x dx

1

Penyelesaian

 3

1

3



1  1 x  x dx   x 3  x 2  2 1 3 2

1 1 1  1    (3) 3  (3) 2    (1) 3  (1) 2  2 2 3  3  1  1 1    9  4      2  3 2   4

11

2 3


Matematika

2

b. Hitunglah

 3x  2

2

dx

1

Penyelesaian 2 2  3x  2 dx   9 x  12 x  4dx 2

2

1

1

2

12 9    x 3  x 2  4 2 3  1





2

 3x 3  6 x 2  4 1



 



 32  62  4  3 1  6 1  4 3

2

3

 24  24  4   3  6  4  21

c. Menentukan sifat – sifat integral tentu. Sifat – sifat integral tertentu adalah sebagai berikut : b

I.



c

c

b

a

f x dx   f x dx   f x dx

a

bukti b



c

f x dx   f x dx  F b   F a   F (c)  F b 

a

b

 F c   F a  c

  F x dx

terbukti 

a

II.

b

b

a

a

 kf x dx  k  f x dx ; k bilangan konstan Bukti b

 kf x dx  kf x 

b a

a

 kFb  kFa 

 k F b  F a  b

 k  F x dx

(terbukti)

a

III.

12

b

b

b

a

a

a

 f x  g xdx   f ( x)dx   g ( x)dx Turunan dan Integral

2

Matematika

Bukti b

 f x   g xdx  F x   g x

b a

a

 F b  Gb  F a   Ga   F b  F a   Gb  Ga  b

b

a

a

  f x dx   g x dx terbukti IV.

b

a

a

b

 f x dx   f x dx Bukti b

 f x dx  F b  F a  a

 F a   F b a

   F x dx

terbukti

b

Contoh 2.4

 4 x 2

Hitunglah

3



3





 6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx

1

2

Penyelesaian

 4 x 2

1

3



3





3





 6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx   4 x 3  6 x 2 dx 2

1

3

6  4 =  x 4  x3  3 1 4



= x 4  2x 3



3

1 3

= [(3)4 – 2(3) ] – [(1)4 – 2(1)3] = (81 – 54) – (1 – 2) = 28

1.5. Integral Tak Tentu Dari Fungsi Trigonometri. Sebagiman rumus dasar integral tak tentu dari fungsi aljabar, rumus – rumus dasar untuk fungsi trigonometri pun kita rancang dari aturan rumus turunan untuk trigonometri. Untuk itu, diingat kembali aturan turunan untuk fungsi trigonometri berikut :

13


Matematika

F(x) = sin x

F’(x) = cos x

F(x) = cot x

F’(x) = - cosec x

F(x) = cos x

F’(x) = - sin x

F(x) = cot x

F’(x) = tan x sec x

F(x) = tan x

F’(x) = sec 2 x

F(x) = cot x

F’(x) = - cot x cos x

( ) ( ) Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang bersifat F’(x) = f(x), maka kita peroleh rumus – rumus dasar integral tak tentu untuk fungsi trigonometri sebagai berikut

1.

cos 𝑥 𝑑𝑥

s n𝑥

2.

s n 𝑥 𝑑𝑥

cos 𝑥

3.

sec 𝑥 𝑑𝑥

tan 𝑥

𝑐

4. cosec 𝑥 𝑑𝑥

cot 𝑥

𝑐

𝑐

5. tan 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥

sec 𝑥

𝑐

𝑐

6. cot 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠 ec 𝑥

𝑐

Sekarang perhatikan turunan dari fungsi –fungsi trigonometri dengan sudut berbentuk (ax + b):

F(x) = sin (ax + b) F(x) = cos (ax + b) F(x) = tan (ax + b) F(x) = cot (ax + b) F(x) = sec (ax + b) F(x) = cosec (ax + b)

F’(x) = acos (ax + b) F’(x) = - asin (ax + b) F’(x) = asec2 (ax + b) F’(x) = - asec2 (ax + b) F’(x) = a tan(ax + a).sec (ax + b) F’(x) = - a cot (ax + b).cosec (ax + b)

Dengan demikian, kita dapat merumuskan aturan integral tak tentu dari fungsi trigonometri yang sudutnya berbentuk (ax +b) sebagai berikut :

14


Matematika

𝟏

𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙

𝒃)𝒅𝒙

2. 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙

𝒃)𝒅𝒙

3. 𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝒂𝒙

𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 𝒂

𝒃)𝒅𝒙

4. 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝒂𝒙

𝒃)

𝒄

𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 𝒂

𝒃)

𝒄

𝟏 𝒕𝒂𝒏(𝒂𝒙 𝒂

𝒃)

𝒄

𝟏 𝒄𝒐𝒕(𝒂𝒙 𝒂

𝒃)𝒅𝒙

5. 𝐭𝐚𝐧(𝒂𝒙

𝒃) 𝐬𝐞𝐜(𝒂𝒙

6. 𝐜𝐨𝐭(𝒂𝒙

𝒃)𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙

𝒃)𝒅𝒙

𝒃)

𝒄

𝟏 𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙 𝒂

𝒃)𝒅𝒙

𝒃)

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒂𝒙 𝒂

𝒄 𝒃)

Contoh 2.5 Tentukan integral tak tentu a. b.

 5x  cos xdx  2 cos x  3 sin xdx Penyelesaian a.

 5x  cos xdx   5xdx   cos xdx 1 2

= 5. x 2  sin x  c b.

 2 cos x  3sin xdx   2 cos xdx   3sin xdx = 2 sin x  3 cos x  c

Contoh 2.6 Tentukan integral dari a. b.

 cos2x   dx  5 tan3x.sec3xdx Penyelesian a.

 cos2 x   dx  2 sin2 x     c

b.

 5 tan3x.sec3xdx  5 tan(3x) sec(3x)dx  3 sec 3x  c

15

1

5


𝒄

Matematika

Contoh 2.7 1  6

Hitung integral tertentu dari

 sin 3xdx 0

Penyelesaian 1  6

1

 1 6 0 sin 3xdx   3 cos 3x 0



1   1  1    cos     cos 0 3   3  3 

 1  3

= 0 -  

=

1.6.

1 3

Pengintegralan Dengan Subtitusi. Ada pengintegralan fungsi – fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentuk atau dengan memisalkan u = f(x) menjadi bentuk

Contoh 2.8 Carilah  sin x cos 5 xdx Penyelesaian Misal u = cos x dan du/dx = - sin x maka du = - sin x dx

 sin x cos

5

xdx   u 5

1   u6  c 6

16

1    cos 6 x  c 6


Matematika 1.7. pengintegral Dengan Parsial Anda akan sering menjumpai suatu integral yang dapat di pecahkan dengan metode integral parsial. Dalam hitungan differensial telah diketahui bahwa :

d uv   udv  vdu  udv  d uv  vdu

Maka dengan pengintegralan dengan kedua ruas didapat bentuk integral parsial :

 udv  uv   vdu Contoh 2.9



Tentukan 2 xsin xdx Penyelesaian Misal u = 2x dan du = 2 dx



dv = sin x dx maka v = sin xdx   cos x

 x cos 2xdx  uv   vdu

= 2 x  cos x  

  cos x2dx

= - 2x cos x + 2sin x + c Jadi

17

 2 xsin xdx = - 2x cos x + 2sin x + c


Matematika

Kompetensi 2 Tentukan integral berikut ini

1

1.

 10 dx

2.

6

3.

   6 x

x dx



2

2 4  3 dx x x 



4. Tentukan f(x) bila f ‘(x) = 3x2 – 4x + 5 dan f(1) = 6

 4 x



2

5.

3

 3x 2  2 x  1 dx

2 4





6. Hitunglah  2 x  5 x x  1

4 dx x2 





7. Carilah 3 sin xdx 0

 4

 sin

8. Hitunglah

3

2 x cos 2 xdx

0

 x

9. Selesaikan

2

 4 x



 2 x  3 2 x  2dx 6

4

10. Tentukan

2



 x dx

2

1

11. Hitunglah

 2 x dx 2

0

 2

12. Hitunglah

 x  cos x dx 0

 4



13. Hitunglah sin 2 xdx 0

14. Hitunglah 15. hitunglah

18

dx

x



3

3

z dz


Matematika Jawaban Kompetensi 1 1. f(x) = 4sinxcosx . . . . f(x) = 4sinx cos x f’(x) = - 4sinx sinx + 4cos x.cos x = - 4sin2x + 4cos2x 2. f(x) = 11x4 – 3x + 9 f’(x) = 44x3 – 3 3. f(x) = √ . . . . 1

1

f’(x) = x 2  4. g(x) = g(x) =

1 2 1 x  2 2 x

....

√

2 x

1 2

 2x



1 2

1

 g ' ( x)   x 2

 g ' ( x)   x 5. h(x) = x7 + x5 – 5x + 7 . . . . h’(x) = 7x6 + 5x4 – 5 6. g(t) = √ 1

.... 2

1 3 t 3 3 1  g ' x   3 33 x 2

g(t) = t 3  3t  g ' ( x) 

7. jika f(x)= x3 + 6x2 + 2x + 5, maka f’(x) – 2 . . . . f’(x) = 3x2 + 12x + 2 f’(x) – 2 = 3x2 + 12x + 2 – 2 f’(x) – 2 = 3x2 + 12x 8. f(x) =

....

5 2 x3 x  2 x 4  3 9 10 1 f '  x    x 3  8 x 5  x 2 3 3

f ( x) 

19


Matematika

f ' x   

10 8 1  5  x2 3 3 3x x

9. f(x) = (3x2 – 5)(2x + 4) . . . . misalkan g(x) = (3x2 – 5) dan h(x) = (2x + 4), maka f’(x) = g(x)h’(x) + h(x)g’(x) = (3x2 – 5)(2) + (2x + 4)(6x) = (6x2 – 10) + (12x2 + 24x) = 18x2 + 24x – 10 10. jika y = 3u2 – 2u + 5 dan u = x2 – 6 ,tentukan dy/dx. . . . menurut aturan rantai , untuk y = f(x) dan u = g(x), berlaku

dy dy du  . dx du dx d d   3u 2  2u  5 x 2  6  6u  22 x  du dx Dengan mensubtitusikan u = x2 – 6, diperoleh





dy  6x 2  6  2 2 x  dx  6 x 2  382 x   12 x 3  76 x 11. carilah f ‘ (x) dari 3cos x – 2sin x . . . f’(x) = - 3sin x – 2 cos x 12. y =

,

...

√

anda ubah dahulu y bentuk axn agar dapat menggunakan aturan hasil kali konstan dengan fungsi

y

0,25 5

x2



0,25 x

2 5

2

 0,25 x 5

Dari bentuk tersebut, anda dapat menggunakan aturan hasil kali kon-stan dengan fungsi. 7   2  52 1  0,1 5 y '  0,25 x   0,1x   5 7 x  5 

13. y = sin(x2 – 1) jika y = sin u dan u = x2 – 1 maka

dy dy du  .  cos u 2 x   2 x cosx 2  1 dx du dx

14. jika y = sin3x tentkan y’! penyelesaian

20


Matematika jika y = u3 dan u = sin x

dy dy du  .  3u 2 cos x   3 sin 2 cos x dx du dx

maka

15. Turunan tan x = sec2x . .

f ' x   

d  sin x    dx  cos x 

cos x.Dsin x   sin xDcos x 

cos x 

2

cos x  sin 2 x  cos 2 x 2



cos x. cos x  sin x sin x  cos 2 x



1  sec 2 x terbukti 2 cos x

Jawaban kompetensi 2 1.

1

x

10

dx   x 10dx 

1 x 101  c  10  1

1 1   x 9  c   9  c 9 9x   1  1 1 1  2.  6 x dx  6 x 2 dx  6 x2  c  1 1    2  3 2 3   6 x 2  c   4 x 2  c  4 x x  c 3 

3.



   6 x

2



2 4 2 4  3 dx    6 x 2 dx   dx  3 dx x x x  x 1

 6   x 3   2 x 2 dx   4 x 3 dx 3

1 2





 2 x  4 x   2 x 2  c 3

 2 x 3  4 x 

2 c x2

4. Tentukan f(x) bila f ‘(x) = 3x2 – 4x + 5 dan f(1) = 6

 f ' xdx   3x

2



 4 x  5 dx

f ( x)  x 3  2 x 2  5 x  c f (1)  1  21  51  c 3

2

6  4c C  2

21


Matematika Jadi f(x) = x3 – 2x2 + 5x + 2

 4 x

5.

3





2



2

 3x 2  2 x  1 dx  x 4  x 3  x 2  x 2

2

= (24 – 23 + 22 + 2) – (24 – 23 + 22 + 2) =0

4 4  1  2 x  5x x  x 2 dx  1 2 xdx  1 5x xdx  1 x 2 dx 4

6.

4

4

4

4

  4 4 5  2 2   5 2   4 1  =  x   x   x   2 1  5    1 1  2 1

   2 x

= x

2 4 1



2



4

4 x 1    x 1 4

 



4 4   4 1

= 4 2  12  2.4 2 4  2.12 1   = 15 – 62 + 3

- 44



7.

  3sin xdx   3cos x  3cos   3cos 0  3  3  6 0

0

 4

8.

 sin

3

2 x cos 2 xdx

0

Misal u = sin 2x maka du = 2cos 2x dx 





 1  1 4  4 14 3 sin 2 x cos 2 x dx  u du   2  4 u  0 2 0  0   4

3



 sin 2 x  4    8 0 4

9.

 x

2



 2 x  3 2 x  2dx 6

Misal u = x2 + 2x + 3 maka du = 2x + 2dx

 x 22

2

 2 x  3 2 x  2dx   u 6 du  6


1 61 u c 6 1

Matematika 6 1 1  u 7  c  x 2  2 x  3  c 7 7

 4 x 4

10.

2

2

4  x dx   x 3

4

3



1  4 3 1 2  4 3 1 2   x 2    4  4    2  2  2 2 3 2 2  3 

 256   32  206  8    2   3  3   3  1

2 3  2 3  2 2 0 2 x dx   3 x  0   3 1  0   3 1

11.





2 1 2  2 1        1  12.  x  cos x dx   x  sin x       sin     0 2  sin 0 2  0  2  2   2   2  0 2



2

1 0  1

8

2 8

 4

13.

 sin

2

xdx solusi soal ini pertam ubah dulu sin2x menjadi

0





4



1  cos 2 x 14 dx   1  cos 2 x dx 2 20 0 4

2  sin xdx   0





1  1 1  4  1 4 x  sin 2 x     x  sin 2 x  2 2 4  0  2 0   2   1 1 1 1   1  sin     0  sin 0    4  2 4 2 4 4  8 4  4

 sin 0

14.



15.



23

2

xdx 

 8



1 4

dx 1 1   x 3 dx   x 2  c   2  c 3 2 x 2x 1

3

z dz   z 3 dz 

4

3 3 z c 4


1  cos 2 x 2

Matematika

Daftar Pustaka Sukino. 2007. Matematika XIB, Jakata : Erlangga Purwanto,Heri dkk. 2005.kalkulus 1, Jakarta : PT Ercontara rajawali Suharto dkk. 1996. Matematika 3B smu, Surakarta : PT Pabelan. Putra, matematika 3A, Jakarta : PT Grasindo, 2004 Edwin J. Purcell, kalkulus dan Geometri Analitis. Erlangga, edisi kelima: Jakarta, 1994 Kuntarti, sulistiyono, Sri kuningsing, matematika SMA dan MA 3a. Erlangga : Jakarta, 2007 Kainginan,Marthen. Cerdas belajar matematika XIb. Grafindo media Prtama : Jakarta, 2005 Sri Setyaningsih, Embay Rohaeti. Matematika dasar 2. Pusat komputasi : Bogor, 2005

24


TUGAS KELOMPOK TURUNAN DAN INTEGRAL

Recommend Documents