NAMA
: SISKA NUKE ENI PRADITA
NIM
: 125100301111044
KELAS
:P
TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN
A. APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI
Diartikan geometris dari "kemiringan" dengan turunan dari fungsi
.
Sebaliknya, jika kita memiliki integral dari fungsi, katakanlah, ∫ maka kita memiliki kurva yang kemiringannya di titik-titik nilai
pada titik-titik. Misalnya, jika
adalah nilai-
, maka
∫ Untuk setiap pilihan c, kita memiliki kurva yang diberikan oleh persamaan f (x) = x2 + c, dan 2x adalah kemiringan kurva ini pada titik Contoh 1. Kurva A memiliki kemiringan di setiap titik sama dengan dua kali koordinat x-pada saat itu. Titik (-1,3) terletak pada kurva. Tentukan persamaan kurva. Jika
= kemiringan pada titik (x, y) = 2x
maka y = ∫ jika (-1,3) terletak pada kurva,
dan c = 2. Oleh karena itu kurva
B. APLIKASI INTEGRAL DIBIDANG KETEKNIKAN
Luas Antara Kurva Menggunakan integral untuk mencari luas daerah yang terletak di antara grafik dua fungsi. Perhatikan daerah S yang terletak di antara dua kurva, dan
dan di antara dua garis tegak, x = a dan x = b, dengan f dan g
merupakan fungsi kontinu,
untuk semua x dalam selang [a, b]. (lihat
Gambar 1) y = f(x)
S Gambar 1. S = |
a
|
|
y = g(x)
Bagi S menjadi n irisan dengan lebar yang sama dan selanjutnya kita hampiri irisan ke-i mengunakan persegi panjang beralas . Maka, secara intuitif, jumlah Riemann berikut
dan tinggi
∑
Merupakan hampiran dari luas S. Hampiran tampaknya menjadi semakin baik seraya
. Oleh karena
itu, didefinisikan bahwa Luas A dari S sebagai nilai limit dari jumlah luas persegi panjang penghampir ini ∑
1)
Diketahui limit (1) sebagai integral tentu f – g. Oleh karena itu, rumus untuk menghitung luas, yaitu : 2)
Luas A suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), dan garis x = a, x = b, dengan f dan g kontinu dan
untuk semua
x pada selang [a, b] adalah ∫
Contoh 1. Carilah luas daerah dengan batas atas , dan kedua sisinya dibatasi oleh x = 0 dan x = 1 y
x=1 1 y=x
Gambar. 3
x=0
0
1
x
, batas bawah
PENYELESAIAN : Daerah yang dimaksud diperlihatkan pada Gambar 3. Batas atas kurva adalah
dan batas bawah kurva y = x. Maka digunakn
rumus (2) dengan
,
, a = 0 dan b = 1
∫
∫
| Pada Gambar 3, digambarkan sebuah persegi panjang penghampir khas dengan lebar
untuk mengingatkan kita pada prosedur yang mendefinisikan
luas dalam (1). Secara umum, saat menyusun suatu integral untuk menghitung luas, akan sangat membantu apabila kita membuat sketsa daerahnya.
Volume Dalam suatu upaya mencari volume suatu benda pejal kita akan menghadapi suatu masalah yang serupa dengan apa yang telah kita hadapi sewaktu menghitung luas. Secara intuitif, kita telah mengetahui apa yang di maksud dengan volume akan tetapi pengetahuan itu harus diwujudkan secara tepat dengan menggunakan kalkulus agar dapat menghasilkan definisi yang eksak. Dimulai dengan suatu bentuk sederhana yang disebut silinder (lebih tepatnya disebut silinder tegak). Silinder tersebut dibatasi oleh daerah datar yang disebut alas, dan bidang lainnya yang kongruen secara parallel,
,
. Silinder
ini terdiri atas seluruh titik pada ruas garis yang tegak lurus terhadap alas yang menghubungkan dan
dan
. Jika luas alas adalah A dan tinggi silinder (jarak
) adalah h, maka volume V, silinder dapat didefinisikan sebagai : V = Ah Secara khusus, apabila alas silinder tersebut berupa lingkaran dengan jari-
jari r, maka silinder tersebut menjadi silinder melingkar dengan volume, , dan jika alasnya berupa persegi panjang dengan panjang l dan lebar w,
maka silinder tersebut menjadi kotak persegi (disebut juga paralelepipedum persegi panjang) dengan volume, V = lwh.
Volume Memakai Kulit Silindris Beberapa permasalahan tentang volume sangat sulit untuk ditangani dengan metode yang telah dijelaskan pada materi sebelumnya. Sebagai contoh, masalah penentuan volume benda pejal yang diperoleh dari perputaran daerah yang dibatasi oleh y
dan y = 0 terhadap sumbu-y (lihat Gambar 1).
y=
1 xL = ?
xR = ?
0
2
Gambar 1 x
Jika kita buat irisan yang tegak lurus terhadap sumbu-y, akan didapati bentuk cincin anulus. Tetapi dalam perhitungan jari-jari dalam dan jari-jari luarnya kita harus menyelesaikan persamaan pangkat tiga,
, yang
tidak mudah. Tetapi ada metode lain yang disebut metode kulit silindris, yang lebih mudah digunakan dengan jari-jari dalam
, jari-jari luar
Volumenya V, dihitung dari volume silinder luar silinder dalam
Jika dimisalkan
, dan tinggi h.
, dikurangi dengan volume
:
=
(ketebalan kulit) dan
jari-jari sel), maka rumus volume kulit silindris ini menjadi
(rata-rata
Dan bisa diingat sebagai V = [keliling][tinggi][tebal]
DAFTAR PUSTAKA
Susila, I Nyoman; Hendra Gunawan. 2002. Kalkulus, Edisi Keempat, Jilid 1. Bandung: Erlangga Billye; Janet. 1969. Calculus. USA: Holt, Rinehart and Winston, Inc
