5. Aplikasi Turunan
1
5.1 Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan:
A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak f ( x ) Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika lim xc (ii) Asimtot Datar f ( x) b Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika xlim (iii) Asimtot Miring Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika f ( x) lim a dan lim f ( x ) ax b x x x MA1114 KALKULUS I
2
Asimtot tegak
a
a
x=a asimtot tegak Dalam kasus
lim f ( x)
xa
dan
lim f ( x )
xa
x=a asimtot tegak Dalam kasus
lim f ( x)
xa
dan
lim f ( x)
xa
3
y= b
Garis y = b asimtot datar karena lim f ( x ) b x
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh grafik fungsi(tidak dipotong lagi)
4
y=f(x)
y ax b Garis y = ax + b asimtot miring
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring 5
2 x 2x 4 Contoh Tentukan semua asimtot dari f ( x) x2 Jawab :
(i) Asimtot tegak : x = 2, karena
2 x 2x 4 x 2x 4 dan lim lim x2 x2 x2 x2 2
(ii) Asimtot datar :
x 2 (1 2x x42 )
x 2x 4 lim f ( x) lim lim 2 1 2 x x x x2 x ( x x2 ) 2
lim x
(1 2x x42 ) ( ) 1 x
2 x2
Maka asimtot datar tidak ada 6
(iii) Asimtot miring ; y = ax+b
f ( x) x2 2x 4 1 a lim lim . x x x x2 x lim
x 2 (1 2x x42 )
x
b lim f ( x) ax x
x (1 )
lim
x2 2x 4 lim x x2 2x (1 2x x42 )
(1 ) x 2 2x 4 lim x x x2
2
2 x
x
2 x
1
x2 2x 4 x2 2x x 2 2 x 4 x ( x 2) lim lim x x x2 x2
4 lim 0 x x 2
Asimtot miring y = x 7
Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut : 1. 2. 3.
1 f ( x) x 1
2x f ( x) x3
f ( x) x 3 2 x 1
8
C. Kemonotonan Fungsi Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I f(x2) f(x1)
x1
I
x2
Fungsi f(x) monoton naik pada selang I 9
monoton turun pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I f(x1) f(x2)
x1
I
x2
Fungsi f monoton turun pada selang I
10
Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
f '( x ) 0 x I Fungsi f(x) monoton naik pada I jika Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x ) 0 x I
Contoh: Jawab :
x 2 2x 4 Tentukan selang kemonotonan dari f ( x) x2
(2 x 2)( x 2) 1( x 2 2 x 4) f ' ( x) ( x 2) 2
2x 2 6x 4 x 2 2x 4 ( x 2) 2
x 2 4 x x( x 4) 2 ( x 2) ( x 2) 2 +++++++
-----------0
--------2
f(x) monoton naik pada ( ,0) dan ( 4, )
++++++ 4
f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4). 11
D. Ekstrim Fungsi
Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c, maksimum f (c ) f ( x ) x I f(c) disebut nilai global dari f pada I jika f (c ) f ( x ) min imum
f(c) disebut nilai
maksimum lokal dari f pada I jika terdapat selang min imum
f (c ) f ( x ) buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada f (c ) f ( x )
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. 12
f(c) max global
f(x)
f(a) max lokal
f(e) max lokal f(d) min global
f(b) min lokal
a
b
c
d
f(f) min lokal
e
f
Nilai ekstrem fungsi pada selang I=[a,f ]
13
Ada tiga jenis titik kritis : Titik
ujung selang I
stasioner ( yaitu x = c dimana f ' (c ) 0 ) , secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))
Titik
Titik
singulir ( x = c dimana f ' (c ) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c)) MA1114 KALKULUS I
14
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal f ' ( x) 0 pada (c , c) Jika f ' ( x) 0
f ' ( x) 0 pada f ' ( x) 0 (c, c ) Maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal minimum dan
f(c) f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)
c f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0) 15
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
f ' ' (c ) 0 f ' ' (c ) 0
Misalkan f ' ( c ) 0 . Jika
maksimum nilai minimum
lokal f
Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari Jawab: f ' ( x) x( x 4) ( x 2) 2 +++++++
-----------0
x 2 2x 4 f ( x) x2
--------2
,maka f(c) merupakan
++++++ 4
Dengan menggunakan uji turunan pertama : di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f (0) 2 di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai
f (4) 6 16
Soal Latihan Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut : 1.
f ( x) 2 x 5 15 x 4 30 x 3 6
x 2 3x 1 2. f ( x) x3 x2 2x 1 3. f ( x) x2
17
E. Kecekungan Fungsi y
y
x
Grafik fungsi cekung keatas
x
Grafik fungsi cekung kebawah
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( x ) naik pada interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila f '( x ) turun pada interval I. Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. Jika f "( x ) 0 , x I , maka f cekung ke atas pada I. 2. Jika f "( x ) 0, x I , maka f cekung ke bawah pada I.
18
x 2 2x 4 contoh Tentukan selang kecekungan dari f ( x) x2 Jawab : x2 4x f ' ( x) ( x 2) 2
(2 x 4)( x 2) 2 2( x 2)( x 2 4 x) f ' ' ( x) ( x 2) 4
( x 2)((2 x 4)( x 2) 2( x 2 4 x)) ( x 2) 4 8 2 x 2 8x 8 2 x 2 8x 3 3 ( x 2 ) ( x 2) Grafik f cekung keatas pada ( 2, )
dan cekung kebawah pada
selang (,2) 19
F. Titik belok
Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika : terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya.
20
f(c)
f(c) c
(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
21
f(c)
c
(c,f(c)) bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena f tidak terdefinisi di c
22
Tentukan titik belok (jika ada) dari
1. f ( x ) 2 x 3 1 f ' ( x) 6 x 2 , f ' ' ( x ) 12 x -------------
● 0
+++++++
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok
2. f ( x ) x
4
f ' ' ( x) 12 x 2 +++++++ ● +++++++ 0 Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan 23
x2 2x 4 3. f ( x) x2 8 f ' ' ( x) ( x 2) 3 --------------
● 2
+++++++
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
24
Soal Latihan Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut : 1.
f ( x) 2 x 5 15 x 4 30 x 3 6
x 2 3x 1 2. f ( x) x3 x2 2x 1 3. f ( x) x2
25
x 2 2x 4 Contoh: Diketahui f ( x ) x2
a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f(x)
a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang (,0) , (4,) monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4). di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f (0) 2 di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f (4) 6 b. Grafik f cekung keatas pada ( 2, ) dan cekung kebawah pada selang (,2) , tidak ada titik belok c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar
26
d. Grafik f(x)
++++++ ----- ----- ++++++ f 0 2 4 --------------------- +++++++++++ f ' ' 2
'
6
-2
2
4
y=x
27
Soal Latihan Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot 1.
f ( x)
x x 1
3 2. f ( x) x
3 2 x 3 2
x 4 x3 x2 1 3. f ( x) 4 3
4.
f ( x)
2x 1 x2
28
5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital 0 Bentuk tak tentu dalam limit : , , 0. , 0 0 1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk 0
f ' ( x) Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika lim L , , atau g' ( x) Maka
f (x ) f ' (x ) lim lim g (x ) g ' (x )
29
1 cos 2 x Contoh: Hitung lim x 0 x2
bentuk (0/0)
Jawab:
lim
x0
1 cos 2 x 2 x
2 sin 2 x 4 cos 2 x lim lim 2 2 x0 2 x x0
Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi
2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk f ' ( x) Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika lim L, , atau g ' ( x) f ( x) f ' ( x) maka lim lim g ( x) g ' ( x) 30
x 2 x 1 (bentuk ) Contoh: Hitung lim x x 2 3 x 5 Jawab: 2 x2 x 1 2 x 1 lim 1 lim 2 lim x x 3 x 5 x 2 x 2 x 3 Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat dihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital x 1
Contoh: Hitung lim 2 x x 2x 3 Jawab: lim x
x 1
( )
x 2 2x 3 lim lim 12 2 x 1 2 x x 1 x 2x 3 ( x 2 x 3 ) ( 2 x 2 ) 2
1
12
( x 2 x 3) (2 x 2) lim lim x x 1 1 2
2
x 1
x2 2x 3 31
Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L’Hopital, karena setelah dilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb: lim x
x 1 x 2x 3 2
lim x
lim
x
lim
x
x(1 1x ) x (1 2x 2
3 x2
lim x
)
x (1 1x ) | x | 1 2x (1 1x ) 1 2 x
3 x2
3 x2
lim
x
x(1 1x ) x2
1 2x x32
x(1 1x ) x 1 2x
3 x2
1
32
3.
Bentuk 0 . Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk 0 0
atau
Contoh : Hitung Jawab :
lim x 2 csc x
x0
x2 2x lim x csc x lim lim 0 x 0 x 0 sin x x 0 cos x 2
33
4. Bentuk - Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung
lim csc x cot x
x 0
Jawab :
1 cos x 1 cos x sin x lim lim csc x cot x lim lim 0 x 0 x 0 sin x sin x x 0 sin x x 0 cos x
34
Soal Latihan Hitung limit berikut : 1.
sin x x 0 1 cos x lim
3x 2 3 2. lim 3 x 0 2 x 5 x 2 2x2 3. lim x 0 sin x 2x 1 lim 4. x 2 5x 5.
3x 3 2 x lim x 0 2x2
35
