DEFINISI TURUNAN. dy dx

DEFINISI TURUNAN Turunan dari y  f(x) terhadap x didefinisikan dengan : f(x  h) - f(x) lim  y  f (x)  h0 dx h dy

1

1

Tentukan turunan dari fungsi ini 2 f. f(x) 2x  2 x g. f(x) (x  2)(x 1)

a. f(x) 4

2

b. f(x) x c. f(x) 7x

(x  2) h. f(x) (x -1)

d. f(x) x

i. f(x) (x  2)

2

2

e. f(x) 2x

-15

j. f(x)

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. f(x)  k maka f1(x) 0 2. f(x)  k.x maka f1(x)  k 3. f(x)  xn maka f1(x)  nxn-1 4. f(x)  k.xn maka f1(x)  k.nxn-1

RUMUS-RUMUS TURUNAN

maka f1(x)  U1 V1 maka f1(x) U1 V1 maka f1(x) U1V UV1 1 1 U V U.V 1 maka f (x)  V2    1 1 n 1 maka f (x)  n.U U 

5. f(x)  U V 6. f(x)  U - V 7. f(x)  U.V 8. f(x)  U V 9. f(x) Un





Turunan ke-n dan turunan di x = k  Turuan kedua dari fungsi f(x) dinotasikan dengan f’’(x)

didapat dari turunan pertama yang diturunkan kembali f’’(x) = (f’(x))’  Turunan pertama suatu fungsi f(x) di titik x didapatkan dengan menurunkan fungsi f(x)menjadi f’(x) kemudian memasukkan nilai x pada f’(x)

TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI TEOREMA1. FUNGSIKONSTAN Jika f(x)  k dengan k konstan maka :

BUKTI:

dk f ' (x)  0. atau 0 dx f(x  h) - f(x) f ' (x)  Limit h  0 h k-k  Limit h  0 h  Limit 0  0 (Terbukti ) h  0

CONTOH Hitunglah Limit5 h  0

Jawab : f(x  h)  f(x) f ' (x)  Limit h  0 h 5 5  Limit h  0 h  Limit 0  0 h  0

FUNGSI IDENTITAS

TEOREMA 2. FUNGSI IDENTITAS Jika f(x)  x, maka f ' (x)  1 d atau (x )  1 dx

BUKTI:

f(x  h)  f(x) f ' (x)  Limit h  0 h xh- x  Limit h  0 h h  Limit h  0 h  Limit 1  1 (Terbukti ) h  0

FUNGSI PANGKAT TEOREMA 3.

FUNGSIPANGKAT Jika f(x)  xn dan n bilangan rasional, maka d n f ' (x)  nx atau (x )  nx n-1 dx f(x  h) - f(x) (x  h)n  xn f ' (x)  Limit  Limit h  0 h  0 h h n  n  n  n  n  n-1  n  n-2 2  x   x h   x h  ...   h  xn 0 1 2 n      Limit h  0 h  n  n-1  n  n-2  n 1  Limit x   x h  ...  h  h  0 2  1   n- 1

BUKTI:

 n  n- 1   x  nx n-1 1 

( Terbukti ).

CONTOH

Carilah Turunan fungsi dari fungsi - fungsi berikut : a.

f(x)  x3

b.

f(x)  x100

c.

f(x)  5x50

SOLUSINYA: a. f(x)  x3 , n  3 maka f ' (x)  nx n-1  3x 3 1  3x 2 b. f(x)  x100 ,n  100, maka f ' (x)  nx n-1  100x 100 1  100x 99 c. f(x)  5x50 ,n  50, maka f ' (x)  nx n-1  5 .50 x50 -1  250x 49

AKTIVITAS SISWA 1. Tentukan Turunan dari fungsi - fungsi berikut :

2.

a.

f(x)  4

d.

f(x)  x10

b.

f(x)  x5

e.

f(x)  x-2

c.

f(x)  x

-3

f.

f(x)  x

1 4

Buktikan Teorema 3 benar untuk n bilangan bulat negatif dan pecahan

HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI TEOREMA 4. HASILKALIKONSTANTADENGAN FUNGSI Jika f suatu fungsi, c suatu konstanta, dan g fungsi yang didefinisi kan oleh g(x)  c.f(x)dan f ' (x) ada, maka :

BUKTI:

d d c.f(x)  c. f(x)  c.f ' (x) g ' (x)  c.f ' (x) atau dx dx g(x  h) - g(x) g ' (x)  Limit h  0 h c.f(x  h) - c.f(x)  Limit h  0 h  f(x  h) - f(x)  Limit c.  h  0 h   c.f ' (x) ( Terbukti )

CONTOH

1.

Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut : a.

f(x)  5x50

b.

f(x)  100x 90 6 f(x)  x55 5

c.

SOLUSINYA:

a. f(x)  5x50 , f ' (x)  5.g ' (x)  5.50x 49  250x 49 b. f(x)  100x 90 , f ' (x)  100.g ' (x)  100.90x 89  9000x 89 6 55 6 c. f(x)  x , f ' (x)  .g ' (x) 5 5 6  . 55x 54 5  66x 54

AKTIVITAS SISWA Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut : a. b. c.

2 3 f(x)  x 3 50 f(x)  20 2x 100x - 32 f(x)  88

-15

d. e.

55x f(x)  - 35 110x 50x -50 .x10 f(x)  3 5x

JUMLAH DUA FUNGSI

TEOREMA5. JUMLAHDUA FUNGSI

Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y  f(x)  U(x) V(x), maka y '  f ' (x)  U' (x)  V'(x) d atau (U  V)  U'  V' dx

BUKTI

f(x  h) - f(x) f ' (x)  Limit h  0 h  u(x  h)  v(x  h)  u(x)  v(x)  Limit h  0 h  u(x  h)  u(x) v(x  h) - v(x)  Limit   h  0  h h v(x  h) - v(x) u(x  h)  u(x)  Limit  Limit h  0 h  0 h h  u' (x)  v' (x) ( Terbukti )

SELISIH DUA FUNGSI

TEOREMA 6. SELISIHDUA FUNGSI

Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y  f(x)  U(x)- V(x),maka y '  f ' (x)  U' (x)- V'(x) atau d (u  v)  u' - v' dx

CONTOH 1

Tentukan Turunan dari f(x)  6x 2  7 x  2 SOLUSINYA: d d d 2 f(x)  6x  7 x  2  f ' (x)  (6 x )  (7 x )  (2) dx dx dx d d d 2  6 (x )  7 (x)  (2) dx dx dx  6.2x - 7.1  0  12x - 7 2

CONTOH 2

Sebuah perusahaan menaksir bahwa untuk memproduks i x unit 1 2 x  30 x  180 8 ribuan rupiah. Tentukan biaya marjinal dari biaya produksiny a.

barang dibutuhkan biaya produksi sebesar C(x) 

SOLUSINYA: Biaya Marginal C  C(x  h) - C(x)dengan h  1 sehingga berlaku : d 1 2  x   x 30 180  dx  8 d 1 2  d d x      180  x 30   dx  8  dx dx 1 d 2 d  (x )  30 (x)  0 8 dx dx 1  .2 x  30 .1 8 1  x  30 4

C' (x) 

AKTIVITAS KELAS

CARILAHTURUNANFUNGSI- FUNGSIBERIKUT: a.

f(x)  4x  2 x  5 x

b.

f(x)  (6 - 2x) 2 2 f(x)  2x  2 x

c.

3

2

2

PERKALIAN DUA FUNGSI TEOREMA 7. PERKALIAN DUA FUNGSI. Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan f(x)  U(x).V(x), maka f ' (x)  U' (x).V(x) U(x).V'(x) atau : d (U.V) U'.(V) U.(V') dx

BUKTI f(x  h) - f(x) f ' (x)  Limit

h u(x  h).v(x  h) - u(x).v(x)  Limit h  0 h u(x  h).v(x  h) - u(x  h).v(x)  u(x  h).v(x)- u(x).v(x)  Limit h  0 h v(x).u(x  h) - u(x) u(x  h)v(x  h) - v(x) .Limit  Limit h  0 h  0 h h v(x  h) - v(x) u(x  h) - u(x)  Limit u(x  h). Limit  Limit v(x).Limit h  0 h  0 h  0 h  0 h h  U(x).V'(x)  V(x).U'(x) ( Terbukti ) h  0

CONTOH

Gunakan Teorema 7 untuk mencari turunan pertama f(x)  (3x2  2)(x4  x) SOLUSINYA: Misalkan U(x)  3x 2  2 dan V(x)  x 4  x U' (x)  6x

dan V'(x)  4x 3  1

Masukan ke dalam teorema 7 didapat : f ' (x)  U(x).V'(x)  U' (x).V(x)  (3x2  2).(4x3  1 )  (6 x )(x4  x)  12x 5  8x 3  3x 2  2  6x5  6x 2  18x 5  8x 3  9x 2  2

PEMBAGIAN DUA FUNGSI

TEOREMA 8.

PEMBAGIANDUA FUNGSI. Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan , U(x) dan f(x)  , V(x) 0, maka V(x) U' (x).V(x)- U(x).V'(x) d  U  U' V  UV' f ' (x)  atau  2 2   dx V V V(x)  

CONTOH

3x 2  10 Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan f(x)  3 x 9 SOLUSINYA : Misalkan U(x)  3x 2  10  U' (x)  6x  V' (x)  3x 2 V(x)  x 3  9 Berdasarkan Teorema 8 didapat : U' (x).V(x) - U(x).V' (x) (6x)(x 3  9) - (3x 2  10).(3x 2 ) f ' (x)   2 (x 3  9) 2 V(x) (6x  10).(x 3  9)  (3x 2  10x)(3x 2 )  (x 3  9) 2 6x 4  10x 3  54x  90  9x 4  30x 3  (x 3  9) 2 - 3x 4  40x 3  54x  90  (x 3  9) 2

AKTIVITAS SISWA Hitunglah Turunan Fungsi - fungsi berikut : 3x  2 x  1 f(x)  5x  2 1 3x f(x)  x5

c.

4x  3x f(x)  3 x  10x - 1

d.

3x 2  4x - 3 f(x)  2 x - 2x  1

2

a.

b.

2

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI

TEOREMA 9. DALILRANTAI

Jika y  f(u) merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan dan u  g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan serta y  f(g(x))merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan maka : d y' (x)  (f(g(x))  f' (g(x)).g' (x) dx dy dy du atau .  dx du dx

CONTOH 1

Tentukan Turunan dari : y  (4x2  5 x  3)6 SOLUSINYA: U  4x  5 x  3 maka y  U dy 5 2 5  6U  6(4x  5x  3) du dy dy du du  8x  5   . dx du dx dx   6(4x 2  5x  3)5 .8x  5 2

6



 (48x - 30 )(4x  5x  3) 2

5

CONTOH 2

Carilah Turunan dari fungsi berikut ini : y  (x  2)(x  3)

4

AKTIVITAS dy SISWA

1. Tentukan

2.

pada soal berikut ini

a.

dx 15 y  3u dan u  2x - 1

b.

y  4u dan u  x  2 x -3

2

Tentukan Turunan fungsi berikut : a.

f(x)  7x - 2x  5

b.

f(x)  x  3 x  1 

2

2

3 2

RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. f(x)  k.xn maka f1(x)  k.nxn-1 2. f(x)  k maka f1(x)  0 3. f(x) Un

 1  1 n 1 maka f (x)  n.U U      

 

RUMUS-RUMUS TURUNAN 1 1 1 4. f(x)  U.V maka f (x)  U .V  U.V 1 1 U V - U.V U 1 maka f (x)  5. f(x)  2 V V

Definisi Turunan Fungsi f(a  h)  f(a) f ' (a)  Limit , h  0 h

CONTOH 1.

Carilah turunan fungsi f(x)  3 - 2x, pada x  1

JAWAB

f(x)  3 - 2x, pada x  1 adalah f ' (1) f(1  h) - f(1) f ' (1)  Limit h  0 h {3 - 2(1  h)} - {3 - 2(1)} f ' (1)  Limit h  0 h  2h f ' (1)  Limit  Limit  2  2 h  0 h  0 h Jadi turunan fungsi f(x)  3 - 2x, pada x  1 adalah f ' (1)  -2

CONTOH 2

Turunan Fungsi f(x)  4x  3 x  2, 2

pada x  a, mempunyai nilai 13, hitunglah nilai a

Jawab Turunan fungsi f(x)  4x 2  3 x  2, pada x  2 f(a  h) - f(a) adalah f ' (a)  Limit h  0 h {4(a  h) 2  3(a  h)  2}  {4(a) 2  3a  2}  Limit h  0 h {4(a 2  2ah  h 2 )  3a  3h  2}  {4a 2  3a  2}  Limit h  0 h {4a 2  8ah  4h 2 )  3a  3h  2}  {4a 2  3a  2}  Limit h  0 h {8ah  4h 2 )  3h} {4h 2  8ah  3h}  Limit  Limit h  0 h  0 h h  Limit h  0

h{4h  8a  3}  Limit 4h  8a  3  8a  3 h  0 h

8a - 3  13  8a  16 a 2 Jadi turunan fungsi f(x)  4x 2  3 x  2 pada x  a mempunyai nilai  13 untuk nilai a  2

SOAL LATIHAN

1. Carilah turunan dari fungsi - fungsi berikut untuk nilai - nilai x yang disebutkan a.

f(x)  5 - 2x, pada x  4

b.

f(x)  x  x , pada x  2 3

2

1 3 2. Diketahui f(x)  x  2 x 2  7 x, dengan 3 daerah asal D f  {x / x  R} a. b.

Carilah f ' (a) dengan a  R Jika f ' (a)  19, carilah nilai a yang mungkin

Soal ke-1 2

1

Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah …. A. 3x B. 6x

2

2

C. 9x

E. 12x 2

D. 10x

Pembahasan 2

f(x) = 3x + 4 1

f (x) = 6x

Soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: 2

2

f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah … 2

A. x – 8x + 5 2

B. 2x – 24x – 2 2

C. 2x + 24x – 1

2

D. 6x + 24x + 8 2

E. 6x + 24x – 8

Pembahasan 3

3

f(x) = 2x + 12x – 8x + 4 1

2

f (x) = 6x + 24x – 8

Soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah … A. 24x + 5

D. 12x – 5

B. 24x – 5

E. 12x – 10

C. 12x + 5

Pembahasan f(x) = (3x-2)(4x+1) 1

2

f (x) = 12x + 3x – 8x – 2 2

f(x) = 12x – 5x – 2 1

f (x) = 24x – 5

Soal ke- 4 Nilai f1(x) dari f(x) 2 x6  2x-1 adalah... 3 A. 2x5 2x D. 4x5  2x-1 B. 2x5  2x-1 E. 4x5  2x-2 C. 4x5  2x-1

Pembahasan 2 6 f(x)  x  2x - 1 3 2 6 -1 1 1 1 x 2 (-1).x f (x)  6.  3

1 5 2 f (x)  4x - 2x

Soal ke- 5 6

Turunan ke - 1 dari y  x  3 adalah ... A. 3 x B. 3x

2

C. 3 x  2 2

D. 3x  3

E. 3 x  1

Pembahasan 6

y x 3 yx

6

2

3

3

yx 3 1

y  3x

2

Soal ke- 6 3

1

Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah … 2

A. 12x – 3x + 12 2

B. 12x – 6x – 3 2

C. 12x – 6x + 3

2

D. 24x – 12x + 6 2

E. 24x – 24x + 6

Pembahasan f(x)

3

= (2x – 1)

1

2

1

2

f (x) = 3(2x – 1) (2) f (x) = 6(2x – 1) 1

f (x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f1(x) = 6(4x2 – 4x+1) 1

2

f (x) = 24x – 24x + 6

Soal ke- 7 2

2

Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) adalah … 3

A. 20x – 20x 3

B. 100x – 10x C. 100x3 – 20x

4

2

D. 5x – 10x + 1 4

2

E. 25x – 10x + 1

Pembahasan f(x) 1

2

3

= (5x – 1) 2

f (x) = 2(5x – 1) (10x) 1

2

f (x) = 20x (5x – 1) 1

3

f (x) = 100x – 20x

Soal ke- 8 Turunan pertama dari f(x)  4x 2  3x adalah... A. (2 x - 4) (2x  8) D. (4x - 3) (4x2  3x)2 3 2 B. (2 - 4x) (2x  3) 3 C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3 2

1 E. (4x  3) (4x2 - 3x) 2

2

Pembahasan 2

f(x)  4x  3x 1 f(x)  (4x 2  3x)2 1  1 1 f (x)   (4x 2  3x) 2 (8x  3) 2 1  3 1 f (x)  (4x  )(4x 2  3x) 2 2

Soal ke- 9 Turunan pertama dari 2

f(x) = (3x – 6x) (x + 2) adalah … 2

A. 3x – 12

D. 9x – 12

2

2

B. 6x – 12 2

C. 6x + 12

2

E. 9x + 12

Pembahasan f(x)

2

= (3x – 6x) (x + 2)

Cara 1: 2

Misal : U

= 3x – 6x 1

U = 6x – 6 V

=x+2 1

V =1

Pembahasan Sehingga: 1

f (x) 1

f (x) 1

f (x)

2

= (6x – 6)(x+2)+(3x +6x).1 2

2

= 6x +12x – 6x – 12+3x – 6x 2

= 9x – 12

Pembahasan f(x)

2

= (3x – 6x) (x + 2)

Cara 2: 1

f (x)

-3

2

3

= 3x +6x – 6x – 12x

1

= 9x +12x –12x – 12

1

= 9x – 12

f (x) f (x)

2 2

Soal ke- 10 (3x  2) Turunan pertama dari f(x)  adalah ... 4x - 1 A. 16x 2 - 8x  1 2

B. 16x  8x  1 2

C. 24x - 8x - 1

D. 24x 2 - 8x - 1 E.

- 11 16x 2 - 8x  1

Pembahasan 3x  2 f(x)  4x - 1 Misal : U  3x  2 1 U 3

V  4x - 1 1 V 4

Pembahasan Maka : 1

f (x)  1

f (x) 

1

1

U V - UV V

2

3(4x  1)  (3x  2)4 (4x  1)

2

Pembahasan 1

f (x)  1

f (x) 

12x  3  12x  8 2

16x  8x  1  11 2

16x  8x  1

Soal ke- 11 Diketahui f(x)  3x 2 - 4x  6 Jika f1 (x)  4. Nilai yang mungkin adalah ... 5 A. 3 4 B. 3

C. 1 2 D. 3

1 E. 3

Pembahasan f(x) 1

f (x)

2

= 3x – 4x + 6 = 6x – 4 1

 Jika f (x) =

4

Pembahasan Maka : 4  6x  4 4  4  6x 8  6x 6x  8 8 x 6 4 x 3

Soal ke- 12 2

1

Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2) Adalah …. A. -29

D. -7

B. -27

E. 7

C. -17

Pembahasan f(x)

2

= 5x – 3x + 7

1

f (x) = 10x – 3 1

Maka untuk f (-2) adalah… 1

f (-2) = 10(-2)+3 f1(-2) = -20+3 1

f (-2) = -17

Soal ke- 13 Diketahui f(x)  2x3- 4x2 5x  16   1  Nilai f ''  adalah ...   2   A. - 6 C. 0 E. 6 B. - 3 D. 3

Pembahasan 3

2

f(x)  2x - 6x  5x - 16 "

2

f (x)  6x - 12x  5 "

f (x)  12x - 12 "1 

Maka untuk f   adalah ... 2

Pembahasan "1 

1  f    12   - 12 2 2 "1  f    6 - 12 2 "1  f    -6 2

Soal ke- 14





6 1 2 Turunan pertama dari f(x)  3x  4x adalah... 2 1 2 5 A. f (x)  (18x - 12) (3x - 1) 1

2

B. f (x)  (18x - 2) (3x  2)

5

1 2 3 C. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 D. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 E. f (x)  (18x - 12) (2x - 4x)

Pembahasan 1 2 6 f(x)  (3x  4x) 2 1 1 2 6 1 f (x)  6. (3x  4x) (6x  4) 2 1 2 5 f (x)  3(3x  4x) (6x  4) 1 2 5 f (x)  (18x  12)(3x 4x)

Soal ke- 15 1 1

2

Diketahui f(x)  6x  3x  1 untuk f ( ) 2 maka nilai x yang mungkin adalah... 1 A. 3 2 B. 3

C. 1 4 D. 3

5 E. 3

Pembahasan 2 f(x)  6x  3x  1 1

f (x)  12x - 3 1 untuk f (x)  2 maka : 1  12x - 3 2        x2 1

Pembahasan 124x 6 16  24x 7  24x 24x  7 x 7 24

Soal ke- 16 Turunan pertama dari : f(x) 

4

2x - 1 adalah... 8

A. 4 x  1

C. 8x - 2

B. 8x  2

D. 8x - 4

E. 8x  4

Pembahasan f(x)  (2x - 1) 4

f(x)

8  (2x - 1) 4

f(x)  (2x - 1)

2

8

Pembahasan 1

f (x)  2(2x  1)(2) 1

f (x)  4(2x  1) 1

f (x)  8x  4

Soal ke- 17 Turunan pertama dari y 

3

1

2x - 1

6

untuk y  2. Maka nilai x yang mungkin adalah... 31 A. 25 B. - 1

C. 0 D. 1

E.

31 25

Pembahasan y  (5x  6) 3

y  (5x - 6) y  (5x - 6)

6

6 3

2

y  2(5x - 6) (5) 1

y  10(5x - 6)

Pembahasan 1

Untuk y  2, maka : 2  50x - 60 2  60  50x 50x  62 62 x 50 31 x 25

CONTOH 18

Tentukan Turunan dari : y  (4x2  5 x  3)6 SOLUSINYA: U  4x  5 x  3 maka y  U dy 5 2 5  6U  6(4x  5x  3) du dy dy du du  8x  5   . dx du dx dx   6(4x 2  5x  3)5 .8x  5 2

6



 (48x - 30 )(4x  5x  3) 2

5

CONTOH 19 3x  10 Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan f(x)  2

x3  9

SOLUSINYA : Misalkan U(x)  3x 2  10  U' (x)  6x  V' (x)  3x 2 V(x)  x 3  9 Berdasarkan Teorema 8 didapat : U' (x).V(x) - U(x).V' (x) (6x)(x 3  9) - (3x 2  10).(3x 2 ) f ' (x)   2 (x 3  9) 2 V(x) (6x).(x 3  9)  (3x 2  10x)(3x 2 )  (x 3  9) 2 6x 4  54x  9x 4  30x 3  (x 3  9) 2 - 3x 4  30x 3  54x  (x 3  9) 2

CONTOH 20

Gunakan Teorema 7 untuk mencari turunan pertama f(x)  (3x2  2)(x4  x) SOLUSINYA: Misalkan U(x)  3x 2  2 dan V(x)  x 4  x U' (x)  6x

dan V'(x)  4x 3  1

Masukan ke dalam teorema 7 didapat : f ' (x)  U(x).V'(x)  U' (x).V(x)  (3x2  2).(4x3  1 )  (6 x )(x4  x)  12x 5  8x 3  3x 2  2  6x5  6x 2  18x 5  8x 3  9x 2  2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. 2. 3.

f(x)  Sinx ; f' (x)  cos x f(x)  Cosx ; f' (x)  - sin x f(x)  Tanx ; f' (x)  sec 2( x)

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. TURUNAN Y=SIN X

F(X) SIN X

Jika Y  Sin x, maka Y'(x)  Cos x BUKTI:

f(x  h) - f(x) Sin(x  h)  Sinx  Limit f ' (x)  Limit (Gunakan Rms) Sinα - Sinβ h  0 h  0 h h 1 1 2Cos (2x  h)Sin h 1 1 1 Cos(x  h)Sin 2 2 2h 2 2 x 1  Limit  Limit 1 h  0 h  0 h 2 2h Sin 12 h  Limit Cos(x  h). Limit 1  Limit Cos(x  12 h).1 h  0 h  0 h  0 2h 1 2

 Limit Cos(x  12 h)  Cosx h  0

( Terbukti )

2. TURUNAN Y=COS X

F(X) COS X Jika Y  Cos x, maka Y'(x)  - Sin x BUKTI:

f(x  h) - f(x) Cos(x  h)  Cosx (Gunakan Rms) Cosα - Cosβ  Limit h  0 h  0 h h 1 1 - 2Sin (2x  h)Sin h 1 - Sin(x  12 h)Sin 12 h 2 2 2  Limit x 1  Limit 1 h  0 h  0 h 2h 2

f ' (x)  Limit

Sin 12 h  Limit- Sin(x  h). Limit 1  Limit- Sin(x  12 h).1 h  0 h  0 h  0 2h 1 2

 Limit- Sin(x  12 h)  Sinx h  0

( Terbukti )

3. TURUNAN Y=TAN X

Jika Y  TAN X  Y'(X)  SEC2 X BUKTI:

Sin x U(x) Y  Tan x   (Gunakan Rms. Hasil bagi dua fungsi) di dapat Cos x V(x) U' (x).V(x)- U(x).V'(x) Y'(x)  dimana U(x)  Sinx  U' (x)  Cosx 2 V(x) dan V(x) Cosx  V'(x)  -Sinx maka Cosx.Cosx - Sinx(-sinx) Cos 2 x  Sin2 x Y'(x)   2 Cos x Cos 2 x 1 2   Sec x ( Terbukti ) 2 Cos x

CONTOH Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut: 1. f(x) = 4sinx – 2cosx 2. f(x) = 2sinxcosx

SOLUSINYA 1.

2.

f(x) = 4sinx – 2cosx f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx f(x) = 2sinxcosx = sin 2x f ‘(x) = d2x.dsin2x =2cos2x

Buktikan Turunan dari 1. y= cosecx 2. Y=secx 3. Y=cotx

AKTIVITAS SISWA

Tentukan Turunan Fungsi - fungsi berikut : a.

y  sin (ax  b)

f.

y  3sin2x  4cos2x

b.

y  cos(ax  b)

g.

y  1 - sin 2 x

c.

y  tan ax

h.

y  - 2sin 2 x  1

d.

y  tan (ax  b)

i.

y  cos 2 x  sin 2 x

e.

y  2sinx  4cos2x

j.

y  4cos 2 x - 4