DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65

DIFERENSIAL TOTAL

1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f’(x) dx selanjutnya, misalkan suatu fungsi dua fariabel z = f(x, y). suatu diferensial dz , biasa juga disebut dengan diferensial total, didefinisikan sebagai:

dz  f x  x , y  dx  f y  x , y  dy 

z z dx  dy x y

Misalkan dx = Δx dan dy = Δy yang masing-masing menyatakan perubahan kecil dari x dan y. Aproksimasi yang baik bagi Δz adalah dz. Perhatikan contoh berikut: Contoh 4.1. Misalkan z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2, a.

Tentukan fungsi dz.

b.

Jika x berubah dari 2 ke 2,05 dan y berubah dari 3 ke 2,96, tentukanlah dz nya. Bandingkan dengan besar Δz yang sesungguhnya.

Penyelesaian:

z z dx  dy  2x  3 y  dx  3x  2 y  dy x y

a.

dz 

b.

Diketahui x = 2, dx = Δx = 0,05, y = 3, dy = Δy = -0,04.  dz  22  33  0,05  32  23   0,04   0,65  z  f  x  x , y  y   f  x , y   f 2,05, 2,96  f 2,3  0,6449

Perhatikan bahwa dz ≈ Δz.

1 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

█

2. Aturan Rantai (Chain Rule) Misalkan y = f(x) dan x = g(t), dengan f dan g keduanya adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:

dy dy dx  dt dx dt Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai terbagi kedalam dua versi sebagai berikut: Aturan rantai versi 1. Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t) dan y = h(t) keduanya fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z adalah fungsi yang terdiferensial di t dan

dz f dx f dy   dt x dt y dt Karena z = f(x, y), maka aturan rantai versi 1 dapat ditulis kembali menjadi

dz z dx z dy   dt x dt y dt Contoh 4.2. Misalkan z = x2y + 3xy4, dimana x = sin 2t dan y = cos t. Tentukan dz/dt dengan t = 0. Penyelesaian:

dz z dx z dy    2xy  3 y 4  2cos2t    x 2  12xy3    sint  dt x dt y dt Untuk t = 0, maka x = sin 0 = 0 dan y = cos 0 = 1. Sehingga:

dz  0  3 2  0  6 dt

█

Selanjutnya, misalkan z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah suatu fungsi dengan dua variabel yakni s dan t, dalam hal ini x = g(s, t) dan y = h(s, t). Aturan rantai untuk kasus ini kemudian disebut dengan aturan rantai versi 2 sebagai berikut:

2 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

Aturan rantai versi 2 Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t) dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.

z z x z y   s x s y s

z z x z y   t x t y t

Contoh 4.3. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st. Tentukan z

t

.

Penyelesaian:

z z x z y    6x 7   2 y 5s   422s  7t   50s2t  84s  294t  50s 2t t x t y t

█

Aturan rantai versi umum Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel x1, x2, ..., xn, dan setiap xn merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel t1, t2, ..., tm. Maka u adalah suatu fungsi dari t1, t2, ..., tm dan

u u x1 u x2 u xn    ...  ti x1 ti x2 ti xn ti dengan i = 1, 2, ..., m. Contoh 4.4. Tuliskan aturan rantai untuk kasus dimana w = f(x, y, z, t) dengan x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), dan t = t(u, v). Penyelesaian: Persoalan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Dengan menerapkan aturan rantai versi umum dimana n = 4 dan m = 2, maka diperoleh:

w w x w y w z w t w w x w y w z w t         dan . u x u y u z u t u v x v y v z v t v

3 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

█

3. Fungsi Implisit Misalkan F(x, y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai sebagai berikut:

F dx F dy  0 x dx y dx Dari sini mudah untuk ditunjukkan bahwa

F dy   x F dx y

Contoh 4.5. Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0. Penyelesaian:  Dengan aturan rantai diperoleh:

F dy 3x 2  2xy   x   2 F dx x  40 y 3 y  Dengan cara biasa, kedua ruas diturunkan terhadap x sehingga diperoleh

dy dy 3x 2  2xy 3 dy 3x  x  2xy  40 y 0 ⇔  2 dx dx dx x  40 y 3 2

2

█

Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap adalah sebagai berikut:

F x F y F z   0 x x y x z x Karena y tetap maka

y  0 , sehingga x F F z  0 x z x

Dengan menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh

4 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

F z   x F x z Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa

F z y   F y z Contoh 4.6. Tentukan

z z dan dari x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1. x y

Penyelesaian: Misalkan F(x, y, z) = dari x3 + y3 + z3 + 6xyz – 1. Maka:

F F 2 2 z 3 y 2  6 xz y 2  2xz z 3x  6 yz x  2 yz y   2  2 dan   x   2  2 F F y 3z  6 xy z  2xy x 3z  6xy z  2xy z z

5 | Kalkulus Lanjut Email: [email protected] Blog: aswhat.wordpress.com

█