1. Integrální počet, vypočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 2 sin (ln x ) a) ∫ dx b) ∫ x ⋅ e1− x dx x Vypočítejte (integrace metodou per - partes): ln x b) ∫ x 2 + 1 ⋅ sin x dx a) ∫ 2 dx x
2)
(
)
∫
c)
∫ ln
3)
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, omezeného křivkami o rovnicích: f : y = x2 a g : y = x
4)
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, omezeného křivkami f , g , h .
x +1
e
c)
x +1
2
dx
x dx = ∫ 1 ⋅ ln 2 x dx
f :y=2 x g : y = 3− x h: y = 0 5)
Vypočtěte obsah útvaru ohraničeného parabolami, které jsou grafy funkcí f : y = x 2 − 4x + 2 g : y = − x2 + 6x − 6
6)
Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací rovinného obrazce omezeného čarami f : y = 8 − x2 g : y = x; x ≥ 0 h : y = 0 kolem osy x .
7)
Útvar ohraničený křivkami x 2 + y 2 − 2 x = 0 a y = x rotuje kolem osy x . Určete objem V vzniklého tělesa.
8)
Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule.
9)
Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací grafu funkce f : y = tgx
x ∈ 0,
π 4
kolem osy x .
1/27
2. Diferenciální počet, limita, derivace 1) Určete limitu funkce. O správnosti se přesvědčte určením limity funkce L´ Hospitalovým pravidlem. cos 2 x − sin 2 x + 1 x−3 3 x 2 + 11x + 6 c) lim b) lim a) lim 3 π cos x − sin x x →3 x→ x → −3 x − 3 x 2 − 10 x + 24 x +1 − 2 4
2)
Určete rovnici tečny grafu funkce v bodě dotyku T ; T ∈ f . sin x − cos x π f :y= ; T ; y0 sin x + cos x 4
3)
Vypočtěte 1. derivaci funkce f v bodě A . Určete, zda funkce v bodě A roste nebo klesá.
a)
f:
4)
Užitím derivace urči intervaly monotónnosti funkce: x4 a) f : y = 1 + x 2 + 4 x b) g : y = + sin x , x ∈ 0, 2π 2
5)
Urči rozměry válcové nádoby tak, aby při objemu 1 litr měla minimální povrch.
6)
Určete průběh funkce f : f:
y = x 2 x + 3 , A[1; y 0 ] ∧ A ∈ f
y=
b)
x4 + x3 4
2/27
f:
4 − x 2 A[1; y 0 ] ∧ A ∈ f y= , 1+ x2
3. Pravděpodobnost a statistika 1)
V bedně je 10 součástek, 3 z nich jsou vadné. Vybereme náhodně 4 kusy. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou aspoň 2 vadné součástky?
2)
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7 (jev A) nebo 8 (jev B)?
3)
Tři střelci střílejí (každý jednou) do stejného terče. Cíl zasáhnou s pravděpodobností: 1. střelec: p1 = 0,7 2. střelec: p2 = 0,8 3. střelec: p3 = 0,9 Jaká je pravděpodobnost, že terč zasáhnou aspoň dvakrát?
4)
V přístroji jsou dvě pojistky A, B. Pravděpodobnost, že pojistky A je vadná je 5%, v případě pojistky B jsou to 4 %. Vadnou pojistkou neprotéká proud. Určete pravděpodobnost toho, že obvodem přístroje protéká proud, jsou - li pojistky zapojeny a) sériově b) paralelně.
5)
Hodíme dvakrát dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že v jednom vrhu padnou obě čísla stejná a v druhém nikoli?
6)
Jaká je pravděpodobnost jevu A, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo?
7)
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené trojciferné přirozené číslo je dělitelné pěti nebo šesti (jev A)?
3/27
4. Kombinatorika, binomická věta 1) Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet 3členných kombinací (neboli kombinací třetí třídy) bez opakování o 21. Určete původní počet prvků. 2)
Určete počet všech čtyřciferných čísel, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. Kolik z nich je dělitelných čtyřmi? (Návod: aby vzniklé číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být dělitelné čtyřmi poslední dvojčíslí).
3)
Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila a) slovo BERAN, b) slova NERO, KUBA v libovolném pořadí, c) slova BUK, NORA v libovolném pořadí.
4)
V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčků každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích.
5)
Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti?
6)
O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu.
7)
Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova MISSISSIPPI. Kolik jich začíná písmenem M?
8)
Určete 3. člen binomického rozvoje x 5 − 2 y 4 .
9)
− 12 Pro které x se pátý člen rozvoje výrazu 4 x − 2 −1 rovná číslu 105?
(
)
4
10
6
1 10) V binomickém rozvoji x 3 + 2 určete, který člen obsahuje x 3 a vypočtěte jeho koeficient. x
4/27
5. Analytická geometrie v prostoru 1) Na přímce p určete body, které mají od bodu S vzdálenost d . x = 2 + 6t p: S [5; 3; 5] , d = 5 y=3
z = 1 + 8t ; t ∈ R 2)
Jsou dány body A[2; 1; 6] , B[0; − 1; − 6], C [− 1; 2; 0] . Napište parametrické rovnice roviny α = ABC a určete souřadnici z bodu M [− 2; 1; z ] tak, aby bod M ležel v rovině α .
3)
Určete vzájemnou polohu přímek p, q s parametrickými vyjádřeními. a)
4)
5)
p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 2 + 3s; s ∈ R
b) p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 9 + 3s; s ∈ R
Určete souřadnice bodu A´ , který je souměrný s bodem A podle roviny α . A[3; 0; 4] α : x − 2 y + 3z − 1 = 0 Jsou dány body A[1; − 2; − 2] , B[2; − 1; − 1] , C [1; − 1; − 2] , D[0; 2; − 2] . Vypočítejte vzdálenost bodu
D do roviny α = ABC . 6)
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , velikost jeho podstavné hrany je 6 , výška jehlanu je 3 2 . Zvolte vhodně kartézskou soustavu souřadnic a vypočtěte odchylku přímky AV a roviny podstavy jehlanu.
5/27
6. Analytická geometrie v rovině 1)
Strany trojúhelníku ABC leží na přímkách a : x − 2 y + 4 = 0 b : 2 x + y + 3 = 0 c : 2 x − y − 7 = 0 . Určete souřadnice vrcholů A, B, C , velikost úhlu γ a rovnici výšky na stranu c .
2)
Napište parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníku s vrcholy A[− 2; − 1], B[3; 0] , C [2; 4] . Určete jeho těžiště T jako průsečík dvou těžnic a ověřte, že jím prochází i třetí těžnice.
3)
Je dán trojúhelníku ABC ; A[1; − 5], B[6; 5], C [− 2; 1] . Napište obecné rovnice stran parametrické rovnice těžnic. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů.
4)
Zjistěte vzájemnou polohu přímek p P, u a q Q, v . Jsou–li to různoběžky, určete jejich průsečík.
a, b
( ) ( )
P[3; 2] , u = (2; − 1) , Q[− 1; 1] , v = (1; 1) . 5)
Napište rovnici kružnice, která má střed na přímce p : x + 3 y − 18 = 0 , poloměr r = 5 a prochází bodem A[6; 9] .
6)
Určete charakteristické veličiny křivky K : x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 9 = 0 a napište rovnici tečny t v bodě T [− 1; 2] .
7)
Určete souřadnice středu, délku poloos a excentricitu křivky dané rovnicí K : 9 x 2 + 25 y 2 − 54 x − 100 y − 44 = 0
8)
Určete, pro které hodnoty parametru k ∈R má daná přímka s kuželosečkou jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod. K : x 2 + y 2 + 2x = 0 p : y = kx − k .
9)
Průměr parabolického zrcadla je 20 cm, hloubka také 20 cm. Určete polohu bodového zdroje tak, aby ze zrcadla vycházel svazek rovnoběžných paprsků.
6/27
7. Vektorová algebra 1)
V prostoru určete bod B = A + u , je – li u = P − Q . Přitom
A[1; 2; − 1] , P[0; 1; 1] , Q[1; 3; − 2] . 2)
Vypočítejte velikosti stran a vnitřních úhlů trojúhelníku ABC , je – li: A[− 1; − 3; 0], B[− 1; 2; 5] , C [− 6; 2; 5]
3)
Zjistěte, zda vektor w je lineární kombinací vektorů u a v . a)
4)
5)
6)
w = (− 2; 4; − 6) , u = (1; 3; − 2) , v = (2; 1; 1) ,
Vypočítejte obvod, vnitřní úhly a obsah trojúhelníku RST , jsou – li souřadnice vrcholů R[4; 1; 0] , S [4; − 2; − 3] , T [1; − 2; 0]. Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu B[− 1; 4; − 2] , D[0; 2; − 5] , V [3; 2; 1] .
ABCDV , znáte – li souřadnice bodů
Jsou dány body A[2; 2; 3] , B[6; 3; 0] , C [3; − 1; − 1] . a) Dále je dán bod D[0; 0; 0] . Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD . b) Na ose x určete bod X tak, aby objem čtyřstěnu ABCX byl 26.
7/27
A[2; 3; 4] ,
8. Objemy a povrchy těles 1)
Vypočtěte V pravidelného pětibokého jehlanu, znáte-li úhlopříčku podstavy u = 4cm a boční hranu s = 8cm .
2)
Do koule s povrchem S = 200 cm 2 je vepsán rotační kužel, jehož úhel ϕ při vrcholu je 60° . Určete V kužele.
3)
Pravidelný čtyřboký ABCDV jehlan má povrch S = 260 cm 2 . Stěnová výška u = 8cm . Vypočtěte odchylku boční hrany BV od podstavy a objem jehlanu.
4)
Podstavou kolmého hranolu je trojúhelník ABC , jehož strany jsou a = 8cm , b = 15cm a γ = 60° . Výška hranolu v = AB . Vypočtěte objem a povrch.
5)
Rozvineme – li plášť rotačního kužele, jehož obsah pláště je S pl = 12π cm 2 , do rovin, dostaneme kruhovou výseč se středovým úhlem ϕ = 120° . Vypočítejte objem kužele.
6)
Do kulové plochy je vepsán rotační válec (na kulové ploše leží podstavné hrany válce). Poloměr podstavy válce je o 2cm a výška o 1cm menší než poloměr koule. Jakou část objemu koule(v %) zaujímá válec? Urči povrch koule.
7)
Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec ABCD , jehož strana má délku a = 3cm . Vypočítejte objem hranolu, mají-li tělesové úhlopříčky od podstavné roviny odchylky 30° a 45° .
8/27
9. Stereometrie, polohové a metrické vztahy 1)
Sestrojte řez na krychli rovinou α = PQR .
2)
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm, v = 6cm . Vypočítejte odchylku přímek: a) AV , DV b) AV , CV c) AB, VS AB
3)
d) BC , AV e) BD, AV f) AC , BV
g) AC , VS BC h) ASCV , CSAV i) ASCV , BSDV
Je dán kvádr ABCDEFGH; AB = a = 4,5 cm, BC = b = 3 cm, AE = c = 3,8 cm bod S je střed horní podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky BS a rovin a) ABF , b)
BCG .
4)
Určete vzdálenost bodu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV , je – li AB = a = 4cm , AV = b = 6cm . Řešte početně.
5)
Podstavou kolmého čtyřbokého jehlanu ABCDV je kosočtverec ABCD,
AB = a = 12cm ,
< BAD = 60° . Délka boční hrany BV jehlanu je BV = b = 10cm . Vypočtěte vzdálenost jeho vrcholu V od roviny podstavy (jeho výšku). 6)
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm, v = 6cm . Vypočítejte vzdálenost bodu od roviny: b) A, S AV S BV S CV a) S AV , ABC
9/27
10. Shodná a podobná zobrazení 1)
Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , je-li dáno: Těžnice AS a , AS a = 8cm, γ = 60 0 , c = 10cm .
2)
Je dán čtverec KLMN , KL = 6cm . Vně čtverce sestrojte bod A tak, aby platilo AM = 3cm ,
AL = 4cm . Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce KLMN . 3)
Kružnice k1 (O1 ;4cm ) , k1 (O2 ;2,5cm ) , O1O2 = 3cm se protínají ve dvou bodech. Označte T jeden z těchto průsečíků. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby platilo A∈ k1 , B ∈ k 2 a bod T byl těžištěm trojúhelníku ABC . Proveďte rozbor, postup konstrukce, konstrukci a diskusi.
4)
5)
Jsou dány kružnice k a l . Jejich společným bodem A veďte společnou tětivu XY tak, aby byla bodem A půlena. Proveďte rozbor a konstrukci. Rozmístění objektů volte jako na obrázku. Je dán čtverec ABCD ( AB = 5cm ) . Uvnitř čtverce zvolte bod M, pro který platí:
CM = 4cm; BM = 1,5cm . Sestrojte všechny úsečky XY tak, aby body X, Y na obvodu čtverce a aby dále platilo: MX : MY = 3 : 2 . 6)
Ze dvou podobných trojúhelníků má jeden obvod 50cm , druhý má strany o 4; 7 a 9cm větší než první trojúhelník. Vypočtěte délky stran obou trojúhelníků.
10/27
11. Planimetrie, množina bodů daných vlastností 1)
Narýsujte kružnici l (S ; 4cm ) a zvolte na ní bod L . Sestrojte množinu středů všech tětiv kružnice l , jejichž jedním krajním bodem je bod L .
2)
Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(O; 2,5cm), k2(O; 5,5cm) a přímka p, která má od bodu O vzdálenost 32 mm. Sestrojte kružnici h, která se dotýká přímky p a má s kružnicemi k1 vnější dotyk a s kružnicí k2 vnitřní dotyk.
3)
Je dána kružnice k(O; 2cm) a bod X tak, že OX = 3,5 cm. Sestrojte kružnici h o poloměru 3cm, která prochází bodem X a má s kružnici k vnitřní dotyk.
4)
Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , je – li dána strana AB ; AB = 8cm ; úhel γ = 60° ; vc = 5cm .
5)
Je dána úsečka AB , AB = 6cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , pro které je úsečka AB stranou c a pro které platí: vc = 2 cm , r = 4 cm . Proveďte rozbor, postup konstrukce, konstrukci a diskusi.
6)
V lichoběžníku ABCD (AB CD ) je dáno: b, v, e, f . Proveďte rozbor úlohy.
11/27
12. Posloupnosti a řady 1)
Rozměry kvádru tvoří aritmetickou posloupnost. Povrch kvádru je 334 cm2 a součet délek všech hran kvádru je 96 cm. Určete rozměry kvádru.
2)
Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že každé horní vrstvy zapadají do mezer dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou – li v nejvyšší vrstvě dvě roury? Kolik rour je v nejnižší vrstvě?
3)
Mezi kořeny kvadratické rovnice x 2 − 10 x + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti.
4)
Kvádr, jehož 3 hrany tvoří geometrickou posloupnost, má povrch S = 78 cm 2 . Součet hran, které jdou jedním vrcholem, je 13 cm . Vypočtěte objem kvádru.
5)
Přičteme–li k číslům 5, 17, 101 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete a4 a s 4 .
6)
Mezi kořeny kvadratické rovnice x 2 − 10 x + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti.
12/27
13. Trigonometrie 1)
V trojúhelníku ABC je dáno: va = 3,5 cm ; γ = 38o ; β = 76o .Určete velikosti stran a úhlů. Určete obsah trojúhelníku ABC .
2)
V trojúhelníku ABC je dáno: c = 18 cm ; vc = 16 cm ; β = 16 o 20´ . Určete velikosti stran, úhlů, obsah trojúhelníka ABC .
3)
V trojúhelníku ABC je dáno: a = 32,5 cm ; c = 47,3 cm ; vc = 26,8 cm . Určete velikosti stran, úhlů, obsah trojúhelníka ABC .
4)
Ze stanoviště 15 metrů nad hladinou vody vidíme vrchol hory ve výškovém úhlu 28°30´ a obraz jejího vrcholu ve vodě v hloubkovém úhlu 42°30´ . Urči výšku hory.
5)
Ze dvou míst A, B , od sebe vzdálených 3100 m, bylo pozorováno letadlo nad spojnicí AB ve výškových úhlech α = 78 o 40´ , β = 63o 50´ . Jak vysoko bylo letadlo?
6)
Ze stanice vyjedou současně dva vlaky po přímých trasách, které svírají úhel α = 156°30´, m m rychlostmi v1 = 13 a v2 = 14,5 . Jak daleko jsou od sebe po čase t = 5,5 min ? s s
13/27
14. Goniometrické funkce, rovnice a vztahy 1)
Zjednodušte výraz a udejte podmínky 1 tgx sin x 1 + cos x b) − a) + 1 + cot gx 1 + tgx 1 + cos x sin x
c)
sin x + sin 2 x cos 3 x − cos x : 1 + cos x + cos 2 x sin 3 x + sin x
3 sin α − sin 3α 3 cos α + cos 3α
2)
Zjednodušte výraz a udejte podmínky
3)
3 2 Vypočtěte sin ( x − y ) + cos( x + y ) , je-li cos x = − ∧ x ∈ (900°, 990°); sin y = ∧ y ∈ (360°, 450° ) 5 2
4)
Vypočítejte sin x , cos x , cot g x , je-li tgx = −
5)
Řešte v R rovnici sin 3 x − sin x = sin 2 x
6)
Řešte v R rovnici sin x =
7)
Řešte v 0, 2π
5 π ; x ∈ ; π . 12 2
2 − cos 2 x 3
2 sin 2 x + 6 cos 2 x = 7 sin x cos x
14/27
15. Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice 1) Exponenciální a logaritmické funkce: x
a −3 y= . Urči, pro které hodnoty parametru a je funkce f rostoucí. a +5
a) Je dána funkce f : b) Načrtni graf funkce: x
a)
f:
1 y = −1 2
c) Je dána funkce f :
b)
f:
1 y= 2
x −1
y = log a +1 x . Urči, pro které hodnoty parametru a je funkce f klesající. a
2 x +1
6− 2 x 2
2)
Řešte v R
8 x −1 125 = 5 512
3)
Řešte v R
5 x ⋅ 41− x − 4 x ⋅ 51− x = 3,05
4)
Řešte v R
x (3+ 2⋅log x ) = 100 ⋅ x (2+ log x )
5)
Řešte v R
log 4 (3x + 2) − 2 log 4 x = 2 − log 4 8
6)
Řešte v R
1 5 + =3 1 + log x 3 − log x
15/27
16. Racionální funkce, mocninné funkce 1) V závodě vyrobili za 3 dny nepřetržitého provozu (tj. po 24 hodin) na 8 strojích 480 výrobků. Za kolik dní vyrobí při 16 pracovních hodinách (při stejném výkonu) na 6 strojích 720 výrobků? 2)
Upravte funkční předpis dané funkce 3x + 3 f :y= na tvar, z něhož určíte: 2x − 4 a) D( f ), H ( f ) , b) souřadnice středu hyperboly, c) koeficient nepřímé úměrnosti, d) průsečíky hyperboly s oběma osami, e) rovnice asymptot.
3)
Sestrojte grafy funkcí do téže kartézské soustavy souřadnic a rozlište je různými barvami: a)
4)
5)
f :y=
− 1,5 x + 3,5 x −3
b) g : y =
x +1 . Urči D( f ) , H ( f ) , monotónnost, ohraničenost, paritu (sudost, x−2 lichost) a načrtni graf funkce. Je dána funkce f :
y=
Pro velikosti hran kvádru platí: a : b : c = 4 : 6 : 9 . Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu kvádru na velikosti hrany b a načrtněte její graf. Určete objem, je-li nejkratší hrana dlouhá 2cm. Určete délku největší hrany je-li objem kvádru 64 cm 3 . 3
6)
− 1,5 x + 3,5 x −3
3 Je dána funkce f : y = x − − 1 . 2 a) narýsujte graf této funkce, b) určete D( f ) , H ( f ) , c) určete vlastnosti funkce f.
16/27
17. Soustavy rovnic a nerovnic 1)
V oboru R 2 řeš soustavu rovnic: − (2 x + 1) − ( x − y ) = 3x + y + 5 1 x + 2 y = ( y + 2 x ) − 1,5 2
2)
Určete vzájemnou polohu přímky p a kuželosečky k . p : 2x − y − 6 = 0
k : x 2 + y 2 − 4x − 5 y −1 = 0
3)
Řešte soustavu v R: x 2 + 4 y 2 − 2 x = 15 x − y +1 = 0
4)
Řešte soustavu v R: 1 1 1 + + =9 x y z 2 3 4 − + = 11 x y z 4 3 2 + − =9 x y z
5)
Součet dvou přirozených čísel je 50, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 18. Určete tato dvě čísla.
6)
Žáci 4.E navštěvují kroužky volejbalu a florbalu. Z celkového počtu 28 žáků navštěvuje právě 18 žáků alespoň jeden z těchto kroužků. Žáků navštěvující oba kroužky je o 5 méně než žáků, kteří navštěvují pouze kroužek volejbalu a o 2 více než žáků, kteří navštěvují pouze florbal. Kolik žáků navštěvuje:
17/27
18. Funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 1)
Řešte v R
x + x+5 < 8
2)
Řešte v R
x 2 + 2x −1 − x = 1
3)
Řešte v R
3x − 2 − 5 = x + 1
4)
Řešte v R
2x + 1 − 3 − x ≥ x
5)
Řešte v R
6)
Sestrojte graf funkce f .
f : y = x − 3 − 5 − 2 x + 3(1 − x )
7)
Sestrojte graf funkce f .
f :y=
x+3 x +1
≥2
1 2 x − 2 x +1 2
18/27
x ∈ 0; 5
x∈R
19. Mocniny a odmocniny 1) V následujících úlohách výrazy zjednodušte a udejte podmínky, za kterých mají smysl:
ab
1 3
1 2
−1 : b a
2 3
1 3
a −1
x ⋅ 3 x ⋅ 4 x3 ⋅ 6 x5 x⋅ x 12
1 2
a +1
5
Upravte a zjednodušte
Upravte a zjednodušte
2 12 −1 a ⋅ a a ⋅ 3 a V= 3 : 5 a a
4)
Upravte a zjednodušte
1 1 − 3x 3 x3 V = 2 − 1 4 1 x 3 − 2 x −3 x 3 − x 3
5)
Upravte výraz:
1 x +1 x − ⋅ +4 x− x x − 1
Upravte číselný výraz:
1 5 −5 ⋅ 0,1−4 + − 5 −1 7 −4 −1 1 1 −2 (− 2) ⋅ − + − 2 2
2)
1 2
a −1
2
cx 3 ⋅ c 2 x 12 c 4 V= : 2⋅ x 2 −2 ⋅ cx cx 4
+
a −1
−3
3)
0
6)
19/27
−1
−1 1 − 2x − 3x − 2
x − 1 = x + 1
ab
1 3
1 2
−1 : b a
2 3
1 3
20. Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli a v odmocněnci 1) Řešte v R a)
5 − x 1 + 4x ≤1 + 2x − 2 2x + 2
2) Řešte v R
x 2 + 5x + 4 b) 2 <0 x − 5x − 6
2 1 x−4 − − ≤ 0. x − 4 x ( x − 2 ) x( x + 2 ) 2
3) Řešte v R rovnice a)
1 − x = 6 − x − − 5 − 2x
b) 2
c)
52 − 3 5 x + 6 = 2 10
d)
20/27
x+2 x−3 +3 =5 x−3 x+2 x2 − 2x + 3 x2 + 2x + 4 5 + = x2 + 2x + 4 x2 − 2x + 3 2
21. Lineární a kvadratická rovnice a nerovnice 1) Na dráze 240 m vykonalo přední kolo vozu o 20 otáček více než kolo zadní. Obvod zadního kola je o jeden metr větší než obvod předního. Určete velikost obvodu obou kol. 2)
Určete, pro které m ∈ R má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny (5m + 1)x 2 + (7m + 3)x + 3m = 0
3)
Řešte v R:
4)
Určete D( f ) obor funkce f : f : y = log 2 x 2 + 4 x − 6 +
(x
2
)
2
(
x1 ,
x2 .
)
− 5 x + 2 + 6 x 2 − 5 x + 1 + 14 = 0
(
)
16 − x 2 x 2 − 7 x + 12
5)
Zapište alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla převrácená ke kořenům rovnice x 2 − 7 x − 12 = 0 aniž ji řešíte.
6)
V rovnici ax 2 − 8 x + 4 = 0 určete a tak, aby jedním kořenem bylo číslo x1 =
21/27
2 , aniž rovnici řešíte. 3
22. Komplexní čísla 1+ i 3
1)
Vypočítejte z 10 , je-li z =
2)
Zapište v goniometrickém tvaru komplexní číslo z z =
3)
Řešte v C z = x + iy z 2 = z
4)
Řešte v C:
1− i 3
. Užijte Moivrovu větu.
a) x 2 + (i − 6 )x + 8 − 4i = 0 5)
6)
7 − i 8 + i 5 − 2i − + . 2 − i 1 + 2i i
b) x 2 + (6 − i )x − 4i + 8 = 0
Je dána kvadratická rovnice x 2 + ix − 1 = 0 . Užitím vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice vypočítejte a) součet převrácených hodnot kořenů, b)
součet druhých mocnin kořenů,
c)
vypočítejte dané rovnice a ověřte správnost výsledků a), b).
Řešte v C . Výsledek zapište nejprve v goniometrickém tvaru, pak v algebraickém tvaru. Kořeny znázorněte v Gaussově rovině. 3 a) x − 64i = 0
b) x 6 − 1 = 0
22/27
23. Reálná čísla 1)
2)
2 4 1224 3 Urči, která z následujících čísel − 4,5; − 3; (− 1) ; − ; 0; ; 1, 3; 25 ; 7 3 36 a) přirozená, b) celá, c) racionální, d) iracionální. Proveďte:
a)
3)
2 3 15 + + 3 −1 3 − 2 3− 3
6 10 + 3 b) − 2⋅ 2 − 5 3
Vypočítejte:
a)
3 7 − 5 3 1 2 8 12 6 − 4 : 4 + 3 ⋅ 3 7 − 4 8
b)
4 ⋅ 2 − 4,5 + − 0,3 +
c)
3
(2 − 3 2 )
2
2
2 −1 ⋅ 2 + 1
2 −1 3 ⋅ 2 +1
2 −1 2 +1
(1 + 2 ) − (1 − 2 ) 2
d)
2 − 3⋅ 1− 2 + 5
2
2⋅ 2
e)
log 8 8 − log 3 1 log 5 + 2 3 log 5 0,2 − log 5 25
f)
13 − 12 10 ⋅ 8 3 : 2⋅ 4 −2 3 2 ⋅4 8 − 14 18 25 ⋅ 4
−3
23/27
c)
2 −1 2 − 2 2 +1 2 2 −1+ 2 +1
24. Algebraické výrazy 1) Upravte a zjednodušte. Určete podmínky za kterých je výraz definován:
a)
x 2 + 4x 2x 2 : = xy − x 2 + 4 y − 4 x xy − x 2
b)
a⋅ a +b⋅ b 2⋅ b : (a − b ) + − ab a+ b a+ b
c)
1 x +1 x −1 +4 x − x − ⋅ x x −1 x + 1
d)
2 2 a ab a + ab + b b 2 − ⋅ − a : −1 b b−a b−a 1+ a
e)
5x 10ax a x 2ax 5a + + 2 ⋅ + − 2 2 2 a+x a−x a −x a+x a−x a −x
f)
a 2 − ab 2 + b 3 b a 2 + 2ab + 2b 2 b − − ⋅ 2 3 2 a − b a ab b a − + ( ) a − b
g)
a2 + b2 a2 + b2 + 2a 2b − b a + 1 1 1 1 + − b a b a
24/27
25. Výroková logika a teorie množin
1)
K dané implikaci napište obměněnou implikaci, obrácenou implikaci a negaci této implikace. V jednotlivých případech rozhodněte o jejich pravdivosti.
daná implikace:
Je – li 10 sudé číslo, pak také 10 2 je sudé číslo.
obměněná: obrácená: negace: daná implikace:
Je – li číslo 432 dělitelné 8 a 9, pak je dělitelné 72.
obměněná: obrácená: negace:
2)
Rozhodněte, při kterých pravdivostních hodnotách výroků A, B je uvedená výroková formule pravdivá. (¬A ∨ B ) ⇒ ( A ⇔ ¬B ) A
3)
B
Napište negace následujících výroků. Určete pravdivostní hodnotu u těch, u kterých to lze. výrok:
jeho negace:
Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů. ∀n ∈ N : 2 n ⇒ 2 n 2 Nejsem žíznivý ani hladový. 9 + 13 > 20
Číslo 50 není dělitelné 15 nebo není dělitelné 5. Je – li poslední dvojčíslí čísla 164 dělitelné čtyřmi, pak je i číslo samotné dělitelné čtyřmi. Ondřej přijde právě tehdy, když přijde Darja.
25/27
25. Výroková logika a teorie množin
4)
K babičce mají přijet na prázdniny dvě vnučky, Alena a Blanka. Zapište složenými výroky následující tvrzení: A: „Přijede Alena“, B: „Přijede Blanka“. a) Alena přijede a Blanka nepřijede. b) Nepřijede Alena nebo nepřijede Blanka. c) Jestliže nepřijede Alena, pak přijede Blanka. d) Přijedou obě vnučky. e) Přijede nejvýše jedna vnučka. f) Přijede právě jedna vnučka.
5)
Určete doplněk množiny B v množině A, jestliže: a) A = {− 2; − 0,5; 0; 1; 3} , B = {− 0,5; 0; 3} b) A = Z , B = {x ∈ Z ; x ≤ 0} c) A = {x ∈ Z ; x > 5}, B = {x ∈ Z ; x ≥ 7} A = N , B = {x ∈ N ; x > 2}
d)
A = Z , B = {x ∈ Z ; x > 2}
e) 6)
Z 30 dotázaných studentů hovoří anglicky nebo německy 28 studentů. 20 studentů ovládá nejvýše jeden z těchto jazyků. Anglicky mluví o 6 studentů výše než německy. Kolik studentů mluví a) jenom anglicky, b) anglicky i německy.
7)
.
Jsou dány množiny: A = {x ∈ R;0 ≤ x < 4},
B = {x ∈ R; 1 − x < 2 ∧ x + 1 ≥ 0} ,
{
}
C = x ∈ R; x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 . Určete: (A ∩ C )∪ B a) b) B ∩C
26/27
25. Výroková logika a teorie množin
27/27
