´ A SELBERG–FELE NYOMFORMULA
´ sz Ga ´ bor Hala
a Poisson o¨sszegz´esi k´eplet analogonja. A Poisson formula Legyen k(x) (−∞ < x < ∞) komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, K(x) =
∞ P
k(x + n).
n=−∞
(Konvergenci´aval, stb. nem foglalkozunk). Nyilv´an K(x + 1) = K(x). Fourier sorba fejtve, ∞ X aj e2πijx , K(x) = j=−∞
ahol aj = = =
Z
1
K(x)e
dx =
0
∞ Z X
n=−∞ ∞
Z
−2πijx
Z
∞ X
1
k(x + n)e−2πijx dx
0 n=−∞
1
k(x + n)e
−2πijx
dx =
0
∞ Z X
n=−∞
n+1
k(x)e−2πijx dx n
k(x)e−2πijx dx = κ(2πj);
−∞
itt κ(t) =
Z
∞
k(x)e−itx dx
−∞
a Fourier transzform´alt. P´eld´aul K(0)-at defin´ıci´oj´aval ´es Fourier sor´aval is kifejezve, ∞ X
n=−∞
k(n) =
∞ X
κ(2πj).
j=−∞
R∞ Ennek az az ´ertelme (´es a f˝o haszna), hogy a baloldal az −∞ k(x) dx = κ(0) integr´al k¨ozel´ıt˝o o¨sszege, ami a jobboldal j = 0-hoz tartoz´o tagja, m´ıg a j 6= 0 tagok adj´ak a hib´at. (2-dimenzi´oban, — ott az eg´eszeket mindk´et oldalon eg´esz koordin´at´aj´ u vektorok helyettes´ıtik, — ha a megfelel˝o k(x) egy nagy k¨orlap indik´atorf¨ uggv´enye, akkor a baloldal a k¨orbe es˝o r´acspontok sz´ama, m´ıg a jobboldalon a 0 vektornak megfelel˝o tag a k¨orlap ter¨ ulete. A hibatag pontos nagys´agrendje — ez a nevezetes k¨orprobl´ema — ismeretlen; a legjobb ismert eredm´eny val´oban ezen Poisson formula t¨obbi tagj´anak becsl´es´eb˝ol ad´odik. Egy rokon k¨orprobl´em´at l. k´es˝obb!) Typeset by AMS-TEX 1
Ugyanez m´ egegyszer fellengz˝ os st´ılusban. A sz´amegyenesen |x − y| metrika, a Lebesgue m´ert´ek m´ert´ek. Jel¨olje T u x = x + u az u-val val´o eltol´ast. Ezek metrika– ´es m´ert´ektart´oak, (de az o¨sszes metrika– ´es m´ert´ektart´o transzform´aci´oknak csak egy r´eszcsoportj´at alkotj´ak). Jel¨olj¨ uk ugyan´ıgy az f (x) (−∞ < x < ∞) f¨ uggv´enyeken hat´o T u f = f (x + u) ´ eltol´as oper´atort is. Altal´anos oper´atort r¨oviden, illetve r´eszletesen ´ıgy jel¨ol¨ unk: Lf = L(f (y), x), y
ami azt jelenti, hogy az L oper´ator f -re mint az y v´altoz´o f¨ uggv´eny´ere hat, ´es azt az x v´altoz´o f¨ uggv´eny´ev´e transzform´alja. Az L oper´atort invari´ansnak mondjuk, ha L(f (y + u), x) = L(f (y), x + u), y
y
azaz, ha LTu = Tu L minden R ∞ u-ra. Mikor lesz az Lf = −∞ k(x, y)f (y) dy integr´al oper´ator invari´ans? LTu f = Tu Lf =
Z
∞
−∞ Z ∞
k(x, y)f (y + u) dy, k(x + u, y)f (y) dy =
−∞
Z
∞
k(x + u, y + u)f (y + u) dy,
−∞
azaz akkor, ha k(x, y) = Rk(x + u, y + u), m´assz´oval k(x, y) csak (x − y)-t´ol f¨ ugg, ∞ k(x, y) = k(x − y), Lf = −∞ k(x − y)f (y) dy konvol´ uci´o. m P ν Mikor lesz az Lf = aν (x) ddxfν differenci´al oper´ator invari´ans? ν=0
LTu f = Tu Lf =
m X
ν=0 m X
aν (x)f (ν) (x + u), aν (x + u)f (ν) (x + u),
ν=0
azaz akkor, ha aν (x+u) = aν (x), aν (x) ≡ aν konstans, L =
m P
aν Dν , ahol D =
ν=0
ami teh´at gener´alja az invari´ans differenci´aloper´atorok gy˝ ur˝ uj´et. ´ ıt´ All´ as. B´ armely k´et invari´ ans oper´ ator felcser´elhet˝ o, L1 L2 = L2 L1 . Bizony´ıt´ as. Invari´ans oper´atorok szorzata is invari´ans: L 1 L 2 Tu = L 1 Tu L 2 = T u L 1 L 2 . Ha mindkett˝o integr´al oper´ator, Z L1,2 f =
∞
k1,2 (x, y)f (y) dy,
−∞
2
d dx ,
akkor L1 L2 is
Z
k(x, y) =
∞
k1 (x, u)k2 (u, y) du
−∞
magf¨ uggv´ennyel. Invari´ans integr´al oper´ator magf¨ uggv´eny´ere k(x, y) = k(−y, −x), mert x − y = −y − (−x), a val´os sz´amok, ´ıgy az eltol´asok csoportja is kommutat´ıv. Ezt mind k(x, y)-ra, mind k1,2 (x, y)-ra fel´ırva, k(x, y) = =
Z
∞
−∞ Z ∞
−∞
k1 (−y, u)k2 (u, −x) du k1 (−y, −u)k2 (−u, −x) du =
Z
∞
k1 (u, y)k2 (x, u) du,
−∞
ahol a k¨ozb¨ uls˝o l´ep´esben felhaszn´altuk, hogy az x → −x t¨ ukr¨oz´es, b´ar nem tartozik az eltol´as csoportunkhoz, szint´en m´ert´ektart´o. A jobboldal L 2 L1 magf¨ uggv´enye, ´es ezzel bebizony´ıtottuk az a´ll´ıt´ast integr´al oper´atorokra. R∞ Legyen k(u) > 0 (|u| < 1), k(u) = 0 (|u| ≥ 1), −∞ k(u) du = 1, ´es 1 kδ (z, w) = k δ Ekkor Lδ f =
Z
∞
µ
x−y δ
¶
.
kδ (x, y)f (y) dy
−∞
invari´ans integr´al oper´ator, amelyre Lδ f → f (δ → 0). Ha L tetsz˝oleges invari´ans oper´ator, akkor Z ∞ LLδ f = L(kδ (x, y), x)f (y) dy −∞ x
integr´al oper´ator ´es mint k´et invari´ans oper´ator szorzata, invari´ans is. Tudjuk teh´at, hogy (L1 Lδ )(L2 Lδ ) = (L2 Lδ )(L1 Lδ ), ´es δ → 0 adja az a´ll´ıt´ast.1 Ez az´ert fontos sz´amunkra, mert felcser´elhet˝o oper´atoroknak “k¨oz¨os spektr´alfelbont´asa” van. Ha p´eld´aul f (x) D-nek saj´atf¨ uggv´enye tetsz˝oleges komplex λ saj´at´ert´ekkel, Df λx = λf , ahol f (x) = e , (az o¨sszes ilyen Aeλx alak´ u), akkor DLf = LDf = Lλf = λLf, teh´at Lf is saj´atf¨ uggv´enye D-nek ugyanazon λ saj´at´ert´ekkel. Mivel ezek a saj´atf¨ uggv´enyek itt 1-dimenzi´os teret alkotnak, Lf = Λeλx = Λf (x), ahol Λ csak λ-t´ol ´es L-t˝ol f¨ ugg. 1A
bizony´ıt´ as egyszer˝ us´ıt´ es´ et Lempert L´ aszl´ onak k¨ osz¨ on¨ om. 3
Sz´am´ıtsuk ki a Λ-t, ha Lf = Λ = L(f (y), 0) = y
R∞
−∞
Z
∞
k(x − y)f (y) dy! Mivel f (0) = 1,
k(−y)e
λy
dy =
−∞
Z
∞
k(y)e−λy dy,
−∞
a Laplace (Fourier) integr´al. *** Az eltol´asok diszkr´et r´eszcsoportja egyetlen elemmel gener´alt v´egtelen ciklikus, tipikus p´elda {Tn }∞ asa azt jelenti, hogy Tn f = f . n=−∞ . f (x) (1 szerinti) periodicit´ Ha L invari´ans oper´ator, akkor Tn Lf = LTn f = Lf , azaz Lf is periodikus: a periodikus f¨ uggv´enyek az invari´ans oper´atorokra n´ezve invari´ans alteret alkotnak. Mostant´ol a periodikus f ∈ L2 (0, 1) f¨ uggv´enyek ter´ere szor´ıtkozunk, a skal´ar szorzatot, o¨nadjung´alts´agot, stb. is ebben ´ertj¨ uk. Ha L integr´al oper´ator, akkor Lf = =
Z
∞ −∞
k(x − y)f (y)dy =
∞ Z X
n=−∞
ahol K(x, y) =
∞ P
n=−∞
∞ Z X
n=−∞
n+1 n
k(x − y)f (y) dy
1 0
k(x − (y + n))f (y + n)dy =
Z
1
K(x, y)f (y)dy, 0
k(x − (y + n)) mindk´et v´altoz´oj´aban periodikus mag.
A periodikus f¨ uggv´enyek ter´eben iD o¨nadjung´alt, mert (Df, g) =
Z
1
f 0 (x)g(x) dx = 0
(parci´alisan integr´alva) =−
Z
1 0
f (x)g 0 (x) dx = −(f, Dg).
D saj´at´ert´ekei ez´ert imagin´ariusak, ((Df, f ) = λ(f, f ), (Df, f ) = −(f, Df ) = −λ(f, f ), λ = −λ), ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek ortogon´alisak, (Df = λf , Dg = µg, λ 6= µ =⇒ λ(f, g) = (Df, g) = −(f, Dg) = −µ(f, g) = µ(f, g), (f, g) = 0). Persze tudjuk, hogy a norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek o¨sszess´ege a trigonometrikus rendszer: fj (x) = eλj x = e2πijx (j = 0, ±1, . . .). Ezek teljesek is, — ez is k¨ovetkezne a´ltal´anos t´etelekb˝ol, — ´es ´ıgy K(x, y) kifejthet˝o a 2-v´altoz´os f¨ uggv´enyek ter´eben ∞ teljes {fi (x)fj (y)}i,j=−∞ rendszer szerint: K(x, y) =
∞ X
i,j=−∞
4
cij fi (x)fj (y).
R∞ Ha az Lf = −∞ k(x − y)f (y) dy integr´al oper´atornak a λj -hez tartoz´o saj´at´ert´eke Λj , amir˝ol tudjuk, hogy Z ∞ Z ∞ −λj y k(y)e−2πijy dy = κ(2πj), k(y)e dy = Λj = −∞
−∞
akkor az ortogonalit´as alapj´an Λj fj (x) = Lfj = =
∞ X
Z
1
K(x, y)fj (y) dy = 0
cil fi (x)
Z
Z
1
∞ X
cil fi (x)fl (y)fj (y) dy
0 i,l=−∞ ∞ X
fl (y)fj (y) dy =
0
i,l=−∞
1
cij fi (x).
i=−∞
Az ortogon´alis sorfejt´es egy´ertelm˝ us´ege alapj´an pedig ½ 0, ha i 6= j, cij = Λj , ha i = j. Innen K(x, y) =
∞ X
Λj fj (x)fj (y),
j=−∞
´es oper´atorunk nyoma, Z
1
K(x, x) dx = 0
∞ X
Λj .
j=−∞
K(x, x) val´oj´aban konstans, ∞ X
n=−∞
k(x − (x + n)) =
∞ X
k(n),
n=−∞
m´ıg a jobboldalon Λj = κ(2πj), ´es eljutottunk a Poisson formul´ahoz. *** ´ Altal´ anos t´erben, ahol adott izometrikus transzform´aci´ok, (eltol´asok) egy csoportja, ezek szerint a k¨ovetkez˝o a feladat. Program. Meghat´arozni az invari´ans integr´al ´es differenci´al oper´atorokat, (a konvol´ uci´o ´es a deriv´al´as a´ltal´anos´ıt´as´at). Megkeresni a differenci´al oper´atorok saj´at´ert´ekeit ´es saj´atf¨ uggv´enyeit, (az exponenci´alis f¨ uggv´eny a´ltal´anos´ıt´as´at). Kisz´am´ıtani az integr´al oper´atorok ezekhez tartoz´o saj´at´ert´ekeit, (a Fourier integr´al a´ltal´anos´ıt´asa). Az oper´atorokat az eltol´asok egy diszkr´et csoportj´ara n´ezve invari´ans f¨ uggv´enyekre korl´atozni, (a periodikus f¨ uggv´enyek a´ltal´anos´ıt´asa). Megkeresni ebben a f¨ uggv´enyt´erben a differenci´al oper´atorok saj´atf¨ uggv´enyeit, (a trigonometrikus rendszer a´ltal´anos´ıt´as´at). Kisz´amolni az integr´al oper´atorok magf¨ uggv´eny´et, (a periodus intervallumon val´o integr´al alak megfelel˝oj´et), ´es azt a saj´atf¨ uggv´enyek szerint kifejteni. Ezt a programot egy speci´alis esetben v´egrehajtjuk. 5
Anal´ızis a hiperbolikus s´ıkon A f´ els´ıkmodell. Els˝osorban a H = {z : =z > 0} fels˝o f´els´ıkot haszn´aljuk alapt´erk´ent. Pontjait rendszerint z = x + iy-nal ´es w = u + iv-vel jel¨olj¨ uk. A metrika |dz|/y, m´assz´oval a γ g¨orbe (nem–euklideszi) hossza `(γ) =
Z
γ
|dz| , y
k´et pont t´avols´aga d(z, w) = min `(γ) = log γ
1+ 1−
|z−w| |z−w| |z−w| |z−w|
,
ahol a minimum a z-t ´es w-t o¨sszek¨ot˝o g¨orb´ekre veend˝o. Az explicit k´epletb˝ol csak arra lesz sz¨ uks´eg¨ unk, hogy az 1 |z − w|2 = z−w 2 yv | − 1) 4(| z−w f¨ uggv´enye. A geodetikusok, (a minimumot ad´o g¨orb´ek) a val´os tengelyt mer˝olegesen metsz˝o k¨or¨ok ´es egyenesek; ezeket fogjuk (nem-euklideszi) egyeneseknek nevezni. A metrik´ab´ol levezethet˝o ter¨ uletelem, dσ = dx dy/y 2 , m´assz´oval az A halmaz m´ert´eke Z Z Z dx dy σ(A) = dσ = . y2 A A H-nak o¨nmag´ara val´o konform lek´epez´esei, Tz =
az + b , cz + d
ahol a, b, c, d val´osak, ad − bc > 0, — feltehet˝o, hogy ad − bc = 1, — ter¨ unk merev mozgat´asai, ugyanis, ha w = T z, Z Z Z |T 0 (z)||dz| |dz| |dw| `(T γ) = = = = `(γ), v γ γ y Tγ v mert, mint ut´anasz´amolhat´o, |T 0 (z)| =
v . y
Emiatt a t´avols´agot is megtartj´ak, d(T z, T w) = d(z, w) ´es a m´ert´eket is, σ(T A) =
Z Z
TA
du dv = v2
Z Z
A
|T 0 (z)|2 dx dy = v2
6
Z Z
A
dx dy = σ(A). y2
A k¨ ormodell. N´eha k´enyelmesebb lesz az egys´egk¨orben mint alapt´erben dolgozni. Az a´tt´er´es H-nak az egys´egk¨orre val´o konform lek´epez´es´evel, p´eld´aul U (z) =
z−i z+i
-vel val´os´ıthat´o meg, ami a H-beli metrik´at ´es m´ert´eket — konstans szorz´ot´ol eltekintve — |dz|/(1 − |z|2 )-be, illetve dx dy/(1 − |z|2 )2 -be viszi. A nem–euklideszi egyenesek az egys´egk¨orvonalat mer˝olegesen metsz˝o k¨or¨ok ´es egyenesek. A merev mozgat´asok Tz = %
z−ξ , 1 − zξ
(|%| = 1, |ξ| < 1)
alak´ uak, a metrika ´es m´ert´ek invarianci´aj´at biztos´ıt´o azonoss´ag, ahol w = T z, |T 0 (z)| =
1 − |w|2 . 1 − |z|2
Invari´ ans oper´ atorok. A H-n ´ertelmezett f (z) f¨ uggv´enyeken hat´o oper´atorokat a val´os esetnek megfelel˝oen ´ıgy jel¨olj¨ uk: Lf = L(f (w), z). w
A sz´amegyenes eltol´asaihoz hasonl´oan a T mozgat´as is meghat´aroz egy ilyen oper´atort: def T f = f (T z). Az L oper´atort invari´ansnak mondjuk, ha L(f (T w), z) = L(f (w), T z), w
w
azaz, ha LT = T L minden R T -re. Mikor lesz az Lf = H k(z, w)f (w) dσw integr´al oper´ator invari´ans? (dσw azt jelzi, hogy w az integr´aci´os v´altoz´o.) Z LT f = k(z, w)f (T w) dσw , H Z Z T Lf = k(T z, w)f (w) dσw = k(T z, T w)f (T w) dσw H
H
(a m´ert´ektart´as alapj´an), azaz akkor, ha k(z, w) = k(T z, T w) minden T mozgat´asra. A mozgat´asok csoportja k´etszeresen tranzit´ıv abban az ´ertelemben, hogy — a sz¨ uks´eges felt´etel, — d(z1 , w1 ) = d(z2 , w2 ) eset´en l´etezik T , amelyre z2 = T z1 , w2 = T w1 . k(z, w) teh´at csak d(z, w)-t˝ol f¨ ugg, µ ¶ |z − w|2 k(z, w) = k . yv 7
Mikor lesz az X
Lf =
aνµ (z)
0≤ν+µ≤m
∂ ν+µ f ∂xν ∂y µ
differenci´al oper´ator invari´ans? Megjegyz´es oper´ ator megad´ as´ ar´ ol. Invari´ans oper´atort r¨ogz´ıtett z 0 ∈ H-ban ki´ert´ekel˝o def L0 f = L0 f (w) = L(f (w), z0 ) w
w
funkcion´al egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a teljes oper´atort, hiszen Lf = L(f (w), z) = L(f (Tz w), z0 ) = L0 f (Tz w), w
w
w
ahol Tz tetsz˝oleges olyan mozgat´as, amelyre Tz z0 = z. A funkcion´al nem tetsz˝oleges. Ha ugyanis T z0 = z0 , (T z0 k¨or¨ uli nem-euklideszi forgat´as), akkor Lf (T w) = T Lf (w) alapj´an L0 f (T w) = L(f (T w), z0 ) = L(f (w), T z0 ) = L(f (w), z0 ) = L0 f (w) : w
w
w
a funkcion´al “forg´asszimmetrikus”. Ford´ıtva, ha L0 forg´asszimmetrikus funkcion´al, akkor a fenti k´eplet, Lf = L0 f (Tz w) w
invari´ans oper´atort defini´al.(Bizony´ıt´as. Tetsz˝oleges T -re legyen z 1 = T z. def
T Lf = L0 f (Tz1 w) = L0 g(w), w
w
def
LT f = L0 f (T Tz w) = L0 g(Tz−1 T Tz w) = 1 w
w 0
0
= L g(T1 w) = L g(w), w
w
ugyanis T1 z0 = Tz−1 T Tz z0 = Tz−1 T z = z0 .) 1 1 *** El´eg teh´at megn´ezni, hogy az 0
L f=
X
aνµ
0≤ν+µ≤m
¯ ∂ ν+µ f (z) ¯¯ ∂xν ∂y µ ¯z=z0
(aνµ = aνµ (z0 )) differenci´al funkcion´al mikor forg´asszimmetrikus. Most k´enyelmesebb a k¨ormodell, z0 = 0 ´es L0 f -et z ´es z szerinti deriv´altakkal fel´ırni: ¯ X ∂ ν+µ f (z) ¯¯ 0 L f= bνµ . ∂z ν ∂z µ ¯z=0 0≤ν+µ=m
8
A forg´asszimmetria azt jelenti, hogy X
0
L f (%z) = z
¯ ∂ ν+µ f (z) ¯¯ bνµ % % ∂z ν ∂z µ ¯z=0 ν µ
0≤ν+µ≤m
f¨ uggetlen |%| = 1-t˝ol. Ez akkor van ´ıgy, ha X
bνµ
ν−µ=h
¯ ∂ ν+µ f (z) ¯¯ =0 ∂z ν ∂z µ ¯z=0
minden h 6= 0-ra ´es f -re, azaz, ha bνµ = 0 (ν 6= µ). Teh´at 0
L f=
X
bν
0≤ν≤m/2
µ
mert 4
¯ ¯ ∂2 ν ) f (z)¯¯ = ∂z ∂z z=0
X
cν ∆ν f (z)|z=0 ,
0≤ν≤m/2
∂2 ∂2 ∂2 = + = ∆, ∂z ∂z ∂x2 ∂y 2
a Laplace oper´ator. Ha p´eld´aul a funkcion´al L0 f = ∆f (z) |z=0 , akkor a megfelel˝o oper´ator Lf = L0 f (Tz w) = ∆ f (Tz w)|w=0 . w
´ Altal´ aban, ha g(w) regul´aris f¨ uggv´eny, akkor a Laplace oper´ator l´ancszab´alya ∆f (g(w)) = ∆f |g(w) |g 0 (w)|2 . (J´o gyakorlat a z ´es z szerinti deriv´altakkal val´o sz´amol´asra!) A fejezet elej´en eml´ıtett k´eplet szerint |Tz0 (0)| =
1 − |z|2 , 1 − |0|2
ahonnan, a l´ancszab´alyt g(w) = Tz w-re alkalmazva, def
Lf = ∆f (Tz w) |w=0 = (1 − |z|2 )2 ∆f (z) = D1 , a k¨ormodell hiperbolikus Laplace oper´atora. Az o¨sszes ∆ν f (z)|z=0 (0 ≤ ν ≤ m/2) funkcion´alnak megfelel˝o invari´ans oper´atort line´arisan kombin´alva megkapjuk az o¨sszes invari´ans differenci´al oper´atort, amelyek teh´at [m/2] os teret alkotnak. B´ar az el˝obbiek nem azonosak P + 1–dimenzi´ ν ν cν D1 alak´ uak o¨sszess´ege is, mint k¨onny˝ u l´atni, [m/2] + 1– a D1 -kkel, a 0≤ν≤m/2
dimenzi´os, ´es ´ıgy kimer´ıtik az o¨sszes invari´ans differenci´al oper´atort. 2 2 Ezt
a “bizony´ıt´ ast” Ruzsa Imr´ enek k¨ osz¨ on¨ om. 9
Ha a w = U (z) : {z : =z > 0} → {w : |w| < 1} seg´ıts´eg´evel a´tt´er¨ unk a f´els´ıkmodellre, akkor D1 -nek U D1 U −1 f = D1 (f (U −1 (w)), U (z)) = (1 − |w|2 )2 ∆f (U −1 (w)) w
felel meg, ami |U 0 (z)| = (1 − |w|2 )/(2y) ´es a l´ancszab´aly alapj´an = 4y 2 ∆f (z). def
D = y 2 ∆f, a f´els´ıkmodell hiperbolikus Laplace oper´atora teh´at gener´alja az invari´ans differenci´al oper´atorok gy˝ ur˝ uj´et. *** B´ar a mozgat´asok csoportja most nem kommutat´ıv, ´es az identit´ast´ol eltekintve egyik sem invari´ans oper´ator, a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´ashoz a val´os esetben is csak a kommutativit´as egy enyhe k¨ovetkezm´enye, bizonyos szimmetria kellett. ´ ıt´ All´ as. B´ armely k´et invari´ ans oper´ ator felcser´elhet˝ o, L1 L2 = L2 L1 . Bizony´ıt´ as. Ugyan´ ugy, mint a val´os esetben, invari´ans oper´atorok szorzata is invari´ans, tov´abb´a k1,2 (z, w) magf¨ uggv´eny˝ u integr´al oper´atorok szorzata, L 1 L2 is integr´al oper´ator Z k(z, w) =
k1 (z, s)k2 (s, w) dσs
H
magf¨ uggv´ennyel. R¨ogz´ıtett z,w p´ar eset´en legyen T a [z, w] (nem–euklideszi) szakasz felez˝o pontj´ara val´o k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, amelyre teh´at T z = w, T w = z. A magf¨ uggv´eny invarianci´aja alapj´an k(z, w) = k(T z, T w) = k(w, z) : a magf¨ uggv´eny szimmetrikus. Ezt mind k(z, w)-re, mind k1,2 (z, w)-re fel´ırva, Z Z k(z, w) = k1 (w, s)k2 (s, z) dσs = k1 (s, w)k2 (z, s) dσs , H
H
ahol a jobboldal L2 L1 magf¨ uggv´enye, ´es ezzel bebizony´ıtottuk az a´ll´ıt´ast integr´al oper´atorokra. Legyen k(u) > 0 (|u| < 1), k(u) = 0 (|u| ≥ 1), ´es kδ (z, w) = c(δ)k(
d(z, w) ), δ
ahol a c(δ) konstans u ´gy van meghat´arozva, hogy Z kδ (z, w) dσw = 1 H
legyen. Ekkor Lδ f =
Z
kδ (z, w)f (w) dσw H
10
invari´ans integr´al oper´ator, amelyre Lδ f → f (δ → 0). Ha L tetsz˝oleges invari´ans oper´ator, akkor LLδ f =
Z
L(kδ (z, w), z)f (w) dσw
H z
m´ar integr´al oper´ator lesz, ´es mint k´et invari´ans oper´ator szorzata, invari´ans is. Tudjuk teh´at, hogy (L1 Lδ )(L2 Lδ ) = (L2 Lδ )(L1 Lδ ), ´es δ → 0 adja az a´ll´ıt´ast. Kieg´esz´ıt´es. P´eld´aul a val´os esetben a bizony´ıt´asban defini´alt T t¨ ukr¨oz´es — b´ar l´etezik — nem eleme a mozgat´as csoportunknak. (Az x → −x t¨ ukr¨oz´es mint´aj´ara) az a´ltal´anos esetben ez´ert Selberg felteszi, hogy tal´alhat´o olyan izometrikus transzform´aci´o, µ — esetleg nem eleme a csoportunknak — ´es b´armely z, w pontp´arhoz olyan T csoportbeli mozgat´as, amelyre T z = µw, T w = µz; az ilyen teret nevezi gyeng´en szimmetrikusnak. (Az a´ltalunk haszn´alt k´etszeres tranzitivit´as fenn´all´asa eset´en persze µ v´alaszthat´o az identit´asnak.) k(z, w) szimmetri´aja helyett k(z, w) = k(T z, T w) = k(µw, µz) a´ll´ıthat´o, ´es a bizony´ıt´as megfelel˝o l´ep´ese — v´altozatlan v´egeredm´ennyel — ´ıgy m´odosul: Z k(z, w) = k1 (µw, s)k2 (s, µz) dσs H Z Z = k1 (µw, µs)k2 (µs, µz) dσs = k1 (s, w)k2 (z, s) dσs , H
H
ahol k¨ozben felhaszn´altuk, hogy µ m´ert´ektart´o. uggA k(z, w) mag´ u L integr´al oper´ator adjung´altj´anak, L ∗ -nak k(w, z) a magf¨ v´enye, a k(z, w) = k(µw, µz) egyenl˝os´eg, mint k¨onnyen l´athat´o, ´ıgy azt jelenti, hogy µ−1 L∗ µ = L, ´es az integr´al oper´atorok felcser´elhet˝os´eg´enek bizony´ıt´as´aban tulajdonk´eppen ez t¨ort´ent:3 L1 L2 = µ−1 L∗1 µµ−1 L∗2 µ = µ−1 L∗1 L∗2 µ = µ−1 (L2 L1 )∗ µ = L2 L1 . Invari´ ans oper´ atorok saj´ atf¨ uggv´ enyei. y s = (=z)s b´armely r¨ogz´ıtett komplex s mellett saj´atf¨ uggv´enye D = y 2 ∆-nek, hiszen D(y s , z) = y 2 ∆y s = y 2 s(s − 1)y s−2 = λy s z
λ = s(s − 1) saj´at´ert´ekkel. 3 Ezt
a magyar´ azatot ´ es a bizony´ıt´ as ezen egyszer˝ us´ıtett v´ altozat´ at Lempert L´ aszl´ onak k¨ osz¨ o-
n¨ om. 11
Ha L tetsz˝oleges invari´ans oper´ator, akkor a felcser´elhet˝os´eg miatt DLy s = LDy s = λLy s , m´assz´oval Ly s is saj´atf¨ uggv´enye D-nek ugyanazon λ saj´at´ert´ekkel. Ebb˝ol azonban most nem k¨ovetkezik, hogy y s L-nek is saj´atf¨ uggv´enye, mert y s m´eg konstans szorz´ot´ol eltekintve sem az egyetlen λ saj´at´ert´ek˝ u saj´atf¨ uggv´eny: p´eld´aul minden s s T y = (=T z) ilyen. Mi menthet˝o az egy´ertelm˝ us´egb˝ol? Legyen z0 ∈ H r¨ogz´ıtett, T (ϑ) a z0 k¨or¨ uli, ϑ sz¨oggel val´o forgat´as ´es 1 f0 (z) = M f = 2π
Z
2π
f (T (ϑ)z) dϑ 0
a “k¨oz´ep´ert´ek oper´ator”. Minden τ -val 1 T (τ )f0 (z) = 2π
Z
1 = 2π
Z
2π 0
1 f (T (ϑ)T (τ )z) dϑ = 2π
Z
2π
f (T (ϑ + τ )z) dϑ 0
2π
f (T (ϑ)z) dϑ = f0 (z) : 0
f0 (z) “forg´asszimmetrikus”. D minden T (ϑ)-val ´es ´ıgy M -mel is felcser´elhet˝o, ´es ha Df = λf , akkor Df0 = DM f = M Df = λM f = λf0 forg´asszimmetrikus f0 -lal. ´ ıt´ All´ as. Minden komplex λ-hoz egy´ertelm˝ uen l´etezik forg´ asszimmetrikus g(z), amelyre Dg = λg ´es g(z0 ) = 1. Bizony´ıt´ as. A l´etez´est g(z) =
f0 (z) f0 (z0 )
p bizony´ıtja az f (z) = y s v´alaszt´assal, ha λ = s(s − 1), azaz s = 1/2 + 1/4 + λ, felhaszn´alva, hogy f0 (z0 ) = f (z0 ) 6= 0. Az egy´ertelm˝ us´eget k´enyelmesebb a k¨ormodellben bizony´ıtani z 0 = 0-val, amikoris g(z) forg´asszimmetri´aja, g(%z) = g(z) (|%| = 1) azt jelenti, hogy g(z) = g(r), ahol z = reiϑ . Pol´ar koordin´at´akkal fel´ırva ∆g =
∂ 2 g 1 ∂g 1 ∂2g ∂ 2 g 1 ∂g + + = + , ∂r2 r ∂r r2 ∂ϑ2 ∂r2 r ∂r
teh´at a saj´at´ert´ek egyenlet: 1 D1 g = (1 − r 2 )2 (g 00 (r) + g 0 (r)) = λg(r). r 12
Ez ´ıgy is ´ırhat´o: (g 0 (r)r)0 =
λg(r)r . (1 − r 2 )2
A differenci´alegyenlet homog´en line´aris, ez´ert azt kell megmutatnunk, hogy g(0) = 0 eset´en g(r) = 0 (0 ≤ r < 1). Legyen M (r) = max (g 0 (u)u)0 . 0≤u≤r
Ekkor 0 ≤ u ≤ r eset´en |g 0 (u)u| ≤ M (r)u,
|g(u)| ≤ M (r)r,
az utols´o l´ep´esben g(0) = 0-at is felhaszn´alva. Az egyenlet szerint pedig M (r) ≤
|λ|M (r)r 2 , (1 − r 2 )2
ami el´eg kis r-re csak u ´gy lehet, ha M (r) = 0. Ekkor g 0 (r)r = c, g(r) = c log r 0 k¨ornyezet´eben, de a c konstans csak 0 lehet, k¨ ul¨onben g(r) folytonos sem volna a 0-ban. 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o r0 pontban a kezdeti ´ert´ekek, g(r0 ), g 0 (r0 ) egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak a megold´ast, — ennek a t´etelnek a bizony´ıt´as´at ism´etelt¨ uk el az el˝obb 0 az r0 = 0 esetben g (r) egy¨ utthat´oj´anak, 1/r-nek a 0-beli szingularit´asa miatt, — ez´ert val´oj´aban g(r) ≡ 0 ´es k´esz. Hogyan f¨ ugg g(z) = g(z, z0 ) z0 -t´ol? Legyen T z0 = z1 ´es g(z, z1 ) = g1 (z). Mivel g1 (z) z1 k¨or¨ ul forg´asszimmetrikus, g1 (T z) z0 k¨or¨ ul lesz az: g1 (T T (τ )z) = g1 (T T (τ )T −1 T z) = g1 (T z), hiszen T T (τ )T −1 -nek z1 fixpontja. Mivel g1 (z) λ saj´at´ert´ek˝ u saj´atf¨ uggv´eny, g1 (T z) is az. V´eg¨ ul pedig g1 (T z0 ) = g1 (z1 ) = g(z1 , z1 ) = 1. E h´arom tulajdons´ag egy´ertelm˝ uen jellemzi g(z)-t, teh´at g1 (T z) = g(z), r´eszletesen g(T z, z1 ) = g(T z, T z0 ) = g(z, z0 ), vagyis g(z, z0 ) u ´gy viselkedik a k´et v´altoz´oj´aban, mint invari´ans integr´al oper´ator magf¨ uggv´enye. L´attuk kor´abban, hogy akkor tetsz˝oleges invari´ans oper´atorral, L-lel h(z) = h(z, z0 ) = L(g(z, z0 ), z) — mint L ´es a g(z, z0 ) magf¨ uggv´ennyel defini´alt oper´ator z
szorzat´anak magf¨ uggv´enye — szint´en u ´gy viselkedik. Speci´alisan h(z) forg´asszimmetrikus z0 k¨or¨ ul. Azt is tudjuk, hogy h(z), miut´an g(z) is, λ saj´at´ert´ek˝ u saj´atf¨ uggv´enye D-nek. Az egy´ertelm˝ us´eg miatt ekkor h = Lg = Λg. Itt g(z 0 ) = 1 alapj´an Λ = h(z0 ) = h(z0 , z0 ), ami ´ıgy z0 -t´ol sem, csakis L-t˝ol ´es λ-t´ol f¨ ugg. Legyen v´eg¨ ul f tetsz˝oleges saj´atf¨ uggv´eny, Df = λf . f0 = M f -re, ami m´ar forg´asszimmetrikus is z0 k¨or¨ ul, szint´en Df0 = λf0 , teh´at f0 g konstans szorosa, ´es ´ıgy f0 is saj´atf¨ uggv´enye L-nek ugyanazzal a saj´at´ert´ekkel: Lf0 = Λf0 . 13
Itt f0 = M f ´es Lf0 = LM f = M Lf , teh´at M Lf = ΛM f, ´es z = z0 -ban ki´ert´ekelve, L(f (z), z0 ) = Λf (z0 ). z
Ez minden z0 -ra fenn´all, Λ nem f¨ ugg z0 -t´ol, teh´at Lf = Λf , ´es ezzel bebizony´ıtottuk a fejezet f˝o eredm´eny´et: T´ etel. Ha f saj´ atf¨ uggv´enye D-nek, Df = λf , ´es L invari´ ans oper´ ator, akkor f L-nek is saj´ atf¨ uggv´enye, Lf = Λf , ahol Λ csak L-t˝ ol ´es λ-t´ ol f¨ ugg. Nagyon hasznos, hogy Λ f -t˝ol k¨ ul¨onben nem f¨ ugg: f ismerete n´elk¨ ul kisz´am´ıthatjuk L-re vonatkoz´o saj´at´ert´ek´et, ha ismerj¨ uk D-nek ak´ar csak egy, λ saj´at´ert´ek˝ u saj´atf¨ uggv´eny´et. Integr´ al oper´ ator saj´ at´ ert´ eke. Eset¨ unkben ilyet ismer¨ unk: y s , ahol λ = s(s−1), ´es sz´am´ıtsuk ki, mi lesz a Λ, ha Lf =
Z
k(z, w)f (w) dσw ,
k(z, w) = k
H
µ
|z − w|2 yv
¶
.
Tudjuk, hogy Z
k(z, w)v s dσw = Λy s , H
ahol z = i-t helyettes´ıtve, Λ=
Z
s
Z
∞
Z
∞
µ
|i − w|2 1·v
k(i, w)v dσw = k H 0 −∞ ¶ Z ∞Z ∞ µ 2 u + (v − 1)2 = k v s−2 du dv. v 0 −∞
¶
vs
du dv v2
Legyen def
t = Ekkor
∞
1 (v − 1)2 = v + − 2. v v
¶ ¶ Z ∞ µ 2 u2 + (v − 1)2 u k + t du = du = k v v −∞ −∞ √ Z ∞ Z ∞ √ v k(τ + t) def √ =2 k(τ + t) √ dτ = v dτ = vg(log v). 2 τ τ 0 0 Z ∞ Z ∞ def Λ= vg(log v)v s−2 dv = g(y)esy dy = G(s), Z
µ
0
−∞
a Fourier integr´al a´q ltal´anos´ıt´asa, az u ´gynevezett Selberg transzform´aci´o; itt λ = 1 s(s − 1), s = 1/2 ± 4 + λ. 14
A k´et s ´ert´eknek ugyanazt az eredm´enyt kell adnia, G(s) = G(1 − s). Ez abb´ol is l´atszik, hogy t v-ben ´es 1/v-ben szimmetrikus l´ev´en, a defin´ıci´o szerint e y g(y) = g(−y). Ezen szimmetri´akt´ol eltekintve a k, g, G f¨ uggv´enyek b´armelyike el˝o´ırhat´o, ´es a m´asik kett˝o bel˝ole egyszer˝ u formul´aval kisz´am´ıthat´o. Kieg´esz´ıt´es. A Selberg a´ltal tekintett a´ltal´anos analitikus sokas´agokon hasonl´o a helyzet azzal a k¨ ul¨onbs´eggel, hogy az invari´ans differenci´al oper´atorok gy˝ ur˝ uj´et nem egy, de v´eges sok elem gener´alja, ´es a saj´atf¨ uggv´enyek szerep´et ezen v´eges sok gener´ator k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyei j´atsz´ak. Ismerve egy ilyen saj´atf¨ uggv´eny saj´at´ert´ekeit egyszerre mindegyik gener´atorra n´ezve, meghat´arozhat´ok az integr´al oper´atorokra vonatkoz´o saj´at´ert´ekek is. ´ t re ´szcsoportok Diszkre A mozgat´asok Γ r´eszcsoportj´at diszkr´etnek mondjuk, ha r¨ogz´ıtett z ∈ H-ra a {γz : γ ∈ Γ} halmaz nem torl´odik H-ban. K´et pont, z1 ´es z2 ekvivalens (mod Γ), ha van γ ∈ Γ, amelyre γz1 = z2 . Az ekvivalencia oszt´alyok halmaz´at R-rel jel¨olj¨ uk. A D ⊂ H halmaz fundament´alis tartom´any, ha minden ekvivalencia oszt´alyb´ol pontosan egy elemet tartalmaz. M´assz´oval, ha a γD (γ ∈ Γ) halmazok H diszjunkt part´ıci´oj´at alkotj´ak. A val´os tengelyen Γ = {Tn } eset´eben D = [0, 1) v´alaszthat´o fundament´alis tartom´anynak. A k´et ekvivalens v´egpontot o¨sszeragasztva R topol´ogiailag k¨orvonal lesz. Az euklideszi s´ıkon tipikus diszkr´et csoport Γ = {z + nω1 + mω2 : n, m eg´esz} (=ω1 /ω2 6= 0). D-nek v´alaszthat´o a megfelel˝o r´acsparallelogramma. A szemk¨ozti ekvivalens oldalakat o¨sszeragasztva R topol´ogiailag t´orusz lesz. E p´eld´ak mint´aj´ara tegy¨ uk fel, hogy Γ fixpontmentes, (azaz az identit´as kiv´etel´evel elemeinek nincs fixpontja), — amit hallgat´olagosan m´ar a fundament´alis tartom´any szigor´ u ´ertelmez´es´evel is feltett¨ unk, — ´es hogy van “kompakt”, (azaz nem–euklideszi ´ertelemben korl´atos) fundament´alis tartom´anya. D ekkor v´alaszthat´o (nem-euklideszi) soksz¨ognek, amelynek oldalai p´aronk´ent ekvivalensek. Az ekvivalenseket o¨sszeragasztva R topol´ogiailag g¨omb lesz v´eges sok f¨ ullel. Ezek a kompakt, “z´art” Riemann fel¨ uletek. A f¨ ulek sz´ama, a Riemann fel¨ ulet neme, amit q-val fogunk jel¨olni, itt > 1: q = 1, azaz t´orusz csak az euklideszi s´ıkon fordulhat el˝o. R o¨r¨okli H metrik´aj´at ´es m´ert´ek´et; R m´ert´eke, σ(D) = 4π(q − 1) v´eges. A H → R lek´epez´es, amely z ∈ H-hoz az ekvivalencia oszt´aly´at rendeli hozz´a, lok´alisan k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u, R u ´gynevezett univerz´alis fed´ese. Az f (z) (z ∈ H) f¨ uggv´enyt automorfnak mondjuk Γ-ra n´ezve, ha f (γz) = f (z) (γ ∈ Γ). M´assz´oval f ekvivalens pontokban egyforma ´ert´eket vesz fel, azaz az R Riemann fel¨ uleten ´ertelmezett f¨ uggv´eny. Mostant´ol kezdve H-n ´ertelmezett f¨ uggv´enyen mindig automorfat ´ert¨ unk. Invari´ans oper´ator automorf f¨ uggv´enyb˝ol automorfat csin´al: γLf = Lγf = Lf , teh´at L val´oban R-en hat. Ezen f¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul is az L2 (R, dσ) = L2 (D, dσ)-beliekre szor´ıtkozunk. A skal´ar szorzatot, o¨nadjung´alts´agot is ebben a t´erben ´ertj¨ uk. D spektr´ al felbont´ asa. Ebben az ´ertelemben D o¨nadjung´alt, s˝ot negat´ıv oper´ator. 15
A Green-formul´at ugyanis a soksz¨ognek k´epzelt D-re fel´ırva, Z Z Z dx dy (Df, g) = Df · g dσz = y 2 ∆f · g y2 D ¶ ZD Z Z µ ∂f ∂f ∂g ∂f ∂g = + dx dy, g ds − ∂x ∂x ∂y ∂y ∂D ∂n D ahol ∂/∂n a k¨ uls˝o norm´alis szerinti deriv´altat jelenti, ds az ´ıvhossz elem. A vonalintegr´al elt˝ unik: ha ` ´es γ` (γ ∈ Γ) k´et ekvivalens oldala D-nek, akkor f (γz) = f (z) alapj´an ∂f ∂f (γz)|γ 0 (z)| = − (z), ∂n ∂n Z Z Z ∂f ∂f ∂f 0 (z)g(z) ds = (γz)g(γz)|γ (z)| ds = − (z)g(z) ds, γ` ∂n ` ∂n ` ∂n ´es az oldalakon vett integr´alok p´aronk´ent kiejtik egym´ast. Innen l´atjuk, hogy val´oban (Df, g) = (Dg, f ), ´es hogy ez ≤ 0 g = f eset´en. Mi a D oper´ator k´eptere? g erre akkor ´es csak akkor mer˝oleges, ha minden f -re (Df, g) = (f, Dg) = 0, teh´at, ha Dg ≡ 0, azaz g harmonikus, de akkor a maximum elv szerint konstans. A k´ept´er lez´ar´asa teh´at az Z 0 def L2 = {f ∈ L2 : f dσ = 0} D
f¨ uggv´enyt´er. (Mivel nem tudjuk el˝ore, hogy g s´ıma f¨ uggv´eny, amelyre D alkalmazhat´o, prec´ızebben — egy kor´abbi jel¨ol´essel — azt kellett volna mondani, hogy (DLδ f, g) = (Lδ Df, g) = (Df, Lδ g) = (f, DLδ g) = 0 δ→0
⇒ DLδ g ≡ 0 ⇒ Lδ g harmonikus ⇒ Lδ g konstans ⇒ g konstans.) Ha D-t is L02 -ra korl´atozzuk, akkor Df ≡ 0 ⇒ f ≡ 0, D teh´at “invert´alhat´o” e t´eren. Az inverz Z G(z, w)f (w) dσw D
alak´ u integr´al oper´ator. Ha p´eld´aul G(z, w) mindk´et v´altoz´oj´aban automorf, w-ben z ´es egy r¨ogz´ıtett z 0 (´es a vel¨ uk ekvivalens pontok) kiv´etel´evel harmonikus, ´es G(z, w) =
½
− log |w − z| + O(1) (w → z),
log |w − z0 | + O(1)
(w → z0 ),
akkor ezt az integr´al oper´atort Df -re alkalmazva f (z)−f (z0 )-at adja vissza, mint az a Green formula seg´ıts´eg´evel egyszer˝ uen bizony´ıthat´o D-b˝ol z ´es z 0 k¨or¨ ul kis k¨or¨oket 16
kihagyva, amikoris a norm´alis szerinti deriv´altnak a kis k¨or¨ok¨on vett vonalintegr´alja fogja hat´ar´ert´ekben f (z)-t, illetve f (z0 )-at reproduk´alni. Az integr´al oper´ator teh´at konstanst´ol eltekintve val´oban invert´alja D-t. Ilyen G(z, w) f¨ uggv´eny a harmonikus f¨ uggv´enyek klasszikus kostrukci´os m´odszereivel nyerhet˝o. Az integr´al oper´ator szint´en negat´ıv, ´es mivel G-nek csak logaritmikus szingularit´asai vannak, Hilbert–Schmidt t´ıpus´ u. Az ilyen oper´atorok a´ltal´anos elm´elete szerint a norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek, {fj (z)}∞ alt rendszert alkotj=1 teljes ortonorm´ 0 nak L2 -ban; a saj´at´ert´ekek 0-hoz tartanak ´es minden 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´ek saj´ataltere v´eges dimenzi´os. Oper´atorunk invert´alhat´o, teh´at a 0 nem lehet saj´at´ert´ek. Visszat´erve D-re o¨sszefoglalhatjuk e klasszikus spektr´alelm´elet eredm´eny´et: Dfj = λj fj , 0 > λj → −∞, ´es hozz´av´eve λ0 = 0-t ´es f0 ≡ (σ(D)−1/2 -t, alt rendszert alkot L2 (D, dσ)-ban. {fj (z)}∞ j=0 teljes ortonorm´ Integr´ al oper´ ator spektr´ al felbont´ asa. Integr´al oper´atort automorf f¨ uggv´enyre alkalmazva Z XZ Lf = k(z, w)f (w)dσw = k(z, w)f (w)dσw H
=
γ∈Γ
XZ
γ∈Γ
γD
k(z, γw)f (γw)dσw = D
Z
K(z, w)f (w)dσw , D
ahol X
K(z, w) =
k(z, γw).
γ∈Γ
K(z, w) mint mindk´et v´altoz´oj´aban automorf f¨ uggv´eny kifejthet˝o az ilyen f¨ ugg∞ ugy, v´enyek ter´eben teljes {fi (z)f j (z)}i,j=0 ortonorm´alt rendszer szerint. Ugyan´ ahogy a val´os esetben, a kifejt´es ´ıgy n´ez ki: K(z, w) =
∞ X
Λj fj (z)fj (w),
j=0
ahol Lfj = Λj fj . Az oper´ator nyoma Z
K(z, z)dσz = D
∞ X j=0
Λj
Z
D
|fj (z)|2 dσz =
∞ X
Λj ,
k(z, γz)dσ =
∞ X
Λj .
azaz Z X
D γ∈Γ
k(z, γz)dσ =
XZ
γ∈Γ
D
j=0
j=0
A nyomformula k(z, γz) megfelel˝oje a val´os esetben konstans volt, ez´ert a baloldalt tov´abb alak´ıtjuk. 17
´ Altal´ anosabban, mikor lesz k(w, γ0 w) = k(z, γz)? Ha w = T z, akkor k(w, γ0 w) = k(T z, γ0 T z) = k(z, T −1 γ0 T z), teh´at akkor biztosan, ha γ = T −1 γ0 T , vagyis, ha γ ´es γ0 egym´asnak T a´ltali konjug´altjai. (Ha γ = γ0 , akkor ez azt jelenti, hogy γ0 ´es T felcser´elhet˝oek, mint a val´os esetben mindig, ami most azonban ritkas´ag.) ¨ Osszegezz¨ unk ez´ert k¨ ul¨on–k¨ ul¨on az egyes konjug´alt oszt´alyokra! γ 0 konjug´alt oszt´aly´at jel¨olje {γ0 }. A konjug´al´o elem legyen g: γ = g −1 γ0 g. (Itt g ∈ Γ lesz, b´ar az el˝obbi megjegyz´eshez ez nem sz¨ uks´eges.) Ha k´et ilyen megegyezik, g1−1 γ0 g1 = g −1 γ0 g,
gg1−1 γ0 = γ0 gg1−1 ,
def
az azt jelenti, hogy gg1−1 ∈ [γ0 ] = a γ0 -lal felcser´elhet˝o elemek r´eszcsoportja Γ-ban. Teh´at a´ltal´aban X X = , γ∈{γ0 }
g∈Γ/[γ0 ]
ahol γ = g −1 γ0 g, ´es a m´asodik o¨sszegben g a [γ0 ] szerinti jobboldali (baloldali?) mell´ekoszt´alyok egy–egy reprezent´ans´an fut v´egig. γ ∈ {γ0 } eset´en Z Z Z Z −1 k(z, γz) dσ = k(z, g γ0 gz)dσ = k(gz, γ0 gz) dσ = k(z, γ0 z) dσ, D
D
X Z
γ∈{γ0 }
gD
D
k(z, γz) dσ = D
X
g∈Γ/[γ0 ]
Z
k(z, γ0 z) dσ = gD
ahol
[
D(γ0 ) =
Z
k(z, γ0 z) dσ, D(γ0 )
gD.
g∈Γ/[γ0 ]
Ha az itt szerepl˝o g reprezent´ans elemeket balr´ol v´egigszorozzuk [γ 0 ] elemeivel, akkor megkapjuk Γ elemeit, mindegyiket pontosan egyszer. M´assz´oval a γD(γ 0 ) (γ ∈ [γ0 ]) halmazok H diszjunkt part´ıci´oj´at alkotj´ak, teh´at D(γ 0 ) a [γ0 ] diszkr´et r´eszcsoport fundament´alis tartom´anya. ¨ Osszefoglalva, Z X Z k(z, γz) dσ = k(z, γ0 z) dσ. γ∈{γ0 }
D(γ0 )
D
Kor´abbr´ol tudjuk, hogy k(z, γ0 z) automorf [γ0 ]-ra n´ezve, ´ıgy igaz´ab´ol mindegy, hogy [γ0 ] melyik fundament´alis tartom´any´at v´alasztjuk D(γ0 )-k´ent. *** A mozgat´ asokr´ ol. Az identit´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o mozgat´asnak egy vagy k´et fixpontja van. Ha csak egy van, akkor az val´os vagy a ∞; ezek a parabolikus transzform´aci´ok. Ha van fixpont H-ban, akkor a konjug´altja a m´asik fixpont; ezek az elliptikus 18
transzform´aci´ok. A t¨obbinek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o, val´os vagy ∞ fixpontja van; ezek a hiperbolikus transzform´aci´ok. A fixpontmentess´eggel kiz´artuk, hogy Γ-nak elliptikus eleme lehessen. Parabolikus sem lehet, ha D kompakt. Ha ugyanis T , esetleg 6∈ Γ, a ∞-t a´tviszi γ egyetlen fixpontj´aba, akkor T −1 γT -nek a ∞ az egyetlen fixpontja, ami csak (euklideszi) eltol´as lehet. Nagy val´os r´esz˝ u pontot ilyen eltol´as k¨ozeli pontba visz, ´es visszat´erve γ-ra, majd a megfelel˝o pontot Γ-beli mozgat´assal D-be vive l´atjuk, hogy l´etezik parabolikus γn ∈ Γ ´es zn → z0 ∈ D u ´gy, hogy d(zn , γn zn ) → 0. Ekkor 0 < d(z0 , γn z0 ) → 0, ami ellentmond Γ diszkr´ets´eg´enek. γ ∈ Γ teh´at csak hiperbolikus lehet. Ha T , esetleg 6∈ Γ, 0-t ´es ∞-t a´tviszi γ k´et fixpontj´aba, akkor T −1 γT -nek 0 ´es ∞ lesz a k´et fixpontja, ´es ´ıgy %z (% > 0) alak´ u, ahol — 0-t ´es ∞-t esetleg felcser´elve — feltehetj¨ uk, hogy % > 1. %-t γ, s˝ot {γ} egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, ´es γ ´es {γ} norm´aj´anak nevezz¨ uk: % = N (γ) = N ({γ}). K´et mozgat´as akkor ´es csak akkor cser´elhet˝o fel, ha fixpontjaik megegyeznek. A γ0 -lal felcser´elhet˝o mozgat´asokhoz teh´at ugyanaz a T v´alaszthat´o ´es l´atjuk, hogy ezek csoportja a % > 0 sz´amok multiplikat´ıv csoportj´aval izomorf. [γ 0 ] mint a γ0 -lal felcser´elhet˝o mozgat´asok diszkr´et r´eszcsoportja ez´ert v´egtelen ciklikus. Legyen γ ∗ ∗ ennek egy gener´atora: [γ0 ] = {γ ∗l }∞ ıv elemnek, {γ ∗ }-ot primit´ıv l=−∞ . γ -ot primit´ konjug´alt oszt´alynak h´ıvjuk. Ha el˝o´ırjuk, hogy γ 0 = γ ∗m m > 0-val, akkor γ0 egy´ertelm˝ uen meghat´arozza γ ∗ -ot. Legyen %∗ = N (γ ∗ ). *** Z
k(z, γ0 z) dσ =
Z
D(γ0 )
=
Z
T −1 D(γ0 )
D(γ0 )
k(T
−1
z, T
−1
γ0 z) dσ =
Z
k(z, T −1 γ0 T z) dσ T −1 D(γ0 )
k(z, %0 z) dσ,
ahol %0 = N (γ0 ). T −1 D(γ0 ) a T −1 [γ0 ]T = {%∗l z}∞ alis tartom´anya, ´espedig l=−∞ csoport fundament´ tetsz˝oleges fundament´alis tartom´anya lehet; v´alaszthatjuk a {z = re iϑ : 1 ≤ r < %∗ , 0 < ϑ < π} f´elgy˝ ur˝ unek. Azt is tudjuk el˝ore, hogy k(z, % 0 z) a %0 z transzform´aci´oval felcser´elhet˝o %z transzform´aci´okra n´ezve invari´ans, vagyis minden sug´ar ment´en konstans. %∗
Z π ∗ r dr dϑ iϑ iϑ log % k(e , %0 e ) 2 dϑ = k(z, %0 z) dσ = k(z, %0 z) 2 2 = r sin ϑ sin ϑ 0 0 T −1 D(γ0 ) 1 ¶ ¶ Z π/2 µ Z π/2 µ iϑ (%0 − 1)2 dϑ |e − %0 eiϑ |2 log %∗ ∗ dϑ = 2 log % . k =2 k 2 2 sin ϑ · %0 sin ϑ sin ϑ %0 sin ϑ sin2 ϑ 0 0 p Ez a t = (%0 − 1)2 /%0 = %0 + 1/%0 − 2 ´es τ = t/ sin2 ϑ, azaz ϑ = arcsin t/τ helyettes´ıt´essel √ Z ∞ Z τ 1 t log %∗ ∞ k(τ ) ∗ √ k(τ ) q = 2 log % dτ = √ dτ = t 1 − t 2τ 3/2 τ −t t t t τ Z
Z
π
Z
19
log %∗ = √ t
Z
∞ 0
log %∗ √ log %∗ √ k(τ + t) √ dτ = √ %0 g(log %0 ) = %0 −1 %0 g(log %0 ) = τ √ t %0 =
log %∗ g(log %0 ) 1 − %10
g kor´abbi defin´ıci´oja szerint. ¨ Osszefoglalva, X Z log N (γ ∗ ) g(log N (γ0 )). k(z, γz) dσ = 1 1 − N (γ D 0) γ∈{γ0 }
(Ez lett v´eg¨ ul az eredetileg semmitmond´o o¨sszegb˝ol!) Az identit´ast tartalmaz´o egyelem˝ u konjug´alt oszt´alyt k¨ ul¨on kell kezeln¨ unk: Z Z q−1 Γ0 k(z, z) dσ = k(0)σ(D) = (1 − 2s) (s)G(s) ds πi (α) Γ D G kor´abbi defin´ıci´oja szerint hosszabb, de sz´amunkra kev´esb´e ´erdekes sz´amol´assal; itt (α) az α val´os r´esz˝ u f¨ ugg˝oleges egyenest jelenti, α > 0. A kor´abbi nyomformul´ank, ∞ XZ X k(z, γz)dσ = Λj γ∈Γ
D
j=0
teh´at ´ıgy alakul: q−1 πi
Z
(α)
(1 − 2s)
∞ X log N ({γ ∗ }) X Γ0 g(log N ({γ })) = (s)G(s) ds + G(sj ). 0 1 Γ 1 − N ({γ }) 0 j=0 {γ0 }
Itt G(s) =
Z
∞
g(y)esy dy,
−∞
1 sj = + 2
r
1 + λj , 4
(csak az egyik n´egyzetgy¨ok veend˝o), ahol λ0 = 0, λj < 0 (j = 1, . . .) D saj´at´ert´ekei multiplicit´assal v´eve, {γ0 } az identit´ast nem tartalmaz´o konjug´alt oszt´alyokon fut v´egig, {γ ∗ } a megfelel˝o primit´ıv oszt´aly, (γ ∗ defini´alhat´o p´eld´aul γ0 legnagyobb kitev˝oj˝ u, Γ-beli gy¨okek´ent,) N ( ) a norma, q a Riemann fel¨ ulet neme. Ez a h´ıres Selberg–f´ele nyomformula a legegyszer˝ ubb esetben. Kieg´esz´ıt´es. Csak k´enyelmi szempontb´ol z´artuk ki az elliptikus transzform´acio´kat. Ha D kompakts´ag´at sem k¨ovetelj¨ uk meg, akkor σ(D) < ∞ eset´en Γ m´eg viszonylag egyszer˝ u, v´egesen gener´alt, de m´ar megjelennek parabolikus elemek, D spektruma pedig m´ar nem tiszt´an diszkr´et, folytonos r´esze is van. A σ(D) = ∞ esete l´enyegesen m´as, (Patterson). 20
´le ζ–fu ¨ ggve ´ny A Selberg–fe A formula eml´ekeztette Selberget a ∞ X 1 ζ(s) = ns n=1
(<s > 1),
a Riemann–f´ele ζ–f¨ uggv´eny elm´elet´eben ismert ´es haszn´alt k´epletekre. Az Euler–f´ele szorzat–el˝oa´ll´ıt´as, ζ(s) =
Yµ p
1 1 1 + s + 2s + . . . p p
¶
=
Y p
1 1 − p1s
logaritmikus differenci´al´as´aval −
∞ X Λ(n) ζ0 (s) = , s ζ n n=1
ahol Λ(n) = Rlog p, ha n a p pr´ım hatv´anya ´es 0, ha n nem pr´ımhatv´any. ∞ A G(s) = −∞ g(y)esy dy jel¨ol´est megtartva, a teljes hasonl´os´ag ´erdek´eben legyen itt is ey g(y) = g(−y), G(s) = G(1−s). Tegy¨ uk fel, hogy G(s) regul´aris a −² ≤ <s ≤ 1 + ² s´avban, ´es a ∞-ben kell˝o rendben elt˝ unik; ez a val´odi felt´etele a nyomformula fenn´all´as´anak is. Egy ”Weil–f´ele explicit formula” erre az esetre ´ıgy n´ez ki: ∞ X
1 X0 1 Λ(n)g(log n) = G(1) − G(%) + 2 % 4πi n=1
Z
(α)
µ
¶ Γ0 ³ s ´ − log π G(s) ds, Γ 2
ahol a jobboldali o¨sszegben % a ζ–f¨ uggv´eny 0 < <% < 1 s´avba es˝o gy¨okein, vagyis 0 ζ /ζ(s) p´olusain, az u ´gynevezett nem–trivi´alis gy¨ok¨ok¨on fut v´egig, ´es az integr´al felel meg a t¨obbi, a negat´ıv p´aros eg´esz helyeken lev˝o, u ´gynevezett trivi´alis gy¨oknek; 0 < α < 1. (Bizony´ıt´as: A baloldal 1 =− 2πi
Z
(1+²)
ζ0 (s)G(s) ds. ζ
A Reziduum–t´etellel a´ttoljuk az integr´aci´os utat (−²)-ra, majd ζ(s) ´es G(s) f¨ uggv´eny egyenlet´et felhaszn´alva — mindegyik az s ´es 1−s helyen felvett ´ert´ekek k¨oz¨ott teremt kapcsolatot — vissza´ırjuk (1 + ²)-on vett integr´all´a, amikor ism´et megjelenik a baloldalt kifejez˝o integr´al.) A nyomformul´aban n-nek N ({γ0 }), Λ(n)-nek log N ({γ ∗ })/(1 − 1/N ({γ0 }) felel meg. Vezess¨ uk be ez´ert a X log N ({γ ∗ }) 1 · 1 1 − N ({γ0 }) N ({γ0 })s
{γ0 }
Dirichlet sort. 21
A primit´ıv konjug´alt oszt´alyokra o¨sszegezve ez ´ıgy ´ırhat´o: ∞ X ∞ ∞ XX XX 1 log N ({γ ∗ }) log N ({γ ∗ }) = = · 1 ∗ })ls ∗ })lν N ({γ ∗ })ls N ({γ N ({γ 1 − ∗ l ∗ l=1 ν=0 ∗ l=1 N ({γ }) {γ }
{γ }
= −
∞ ∞ X XX
{γ ∗ } l=1 ν=0
1 lN ({γ ∗ })lν N ({γ ∗ })ls
= log
∞ Y Y
{γ ∗ } ν=0
ahol Z(s) =
0
=
∞ XX
{γ ∗ } ν=0
log(1 −
0
1 ) = N ({γ ∗ })ν+s
0
0 1 = Z (s), ) N ({γ ∗ })ν+s Z
(1 −
∞ µ Y Y
{γ ∗ } ν=0
1 1− N ({γ ∗ })ν+s
¶
a Selberg–f´ele ζ–f¨ uggv´eny. A Selberg ´es a Weil formula anal´ p ogi´aj´ab´ol “leolvashat´o”, hogy Z(s)-nek az s j kben gy¨oke van; itt sj = 1/2 + 1/4 + λj -nek mind a k´et ´ert´ek´evel sz´amolunk, amikoris a nyomformula jobboldal´an lev˝o o¨sszeg is 1/2 szorz´ot kap. A negat´ıv el˝ojel hi´anya miatt s0 = 1 ´es 0 is gy¨ok! Mivel 0 > λj → −∞ (0 < j → ∞), v´eges sok gy¨ok eshet az [1/2, 1) intervallumba, — ismeretes, hogy ilyenek nagy sz´amban el˝o is R fordulnak nagy q eset´en, — de a t¨obbire igaz a “Riemann sejt´es”, <s j = 1/2. Az (α) . . . tag jelent m´eg “trivi´alis gy¨ok¨oket” a negat´ıv eg´esz helyeken. Z(s)-et ´es Z(1−s)-et a ζ(s)-´ehez hasonl´o f¨ uggv´enyegyenlet kapcsolja o¨ssze abb´ol ad´od´oan, hogy λ = s(s − 1) s-ben ´es (1 − s)-ben szimmetrikus. Z(s) ezen tulajdons´agai r´ev´en ugyanannyi inform´aci´ot tartalmaz, mint maga a nyomformula. ´ sok Alkalmaza Konjug´ alt oszt´ alyok “Pr´ımsz´ amt´ etele”. Ahogy a Riemann–f´ele ζ–f¨ uggv´enyb˝ol a pr´ımsz´amt´etel, u ´gy vezethet˝o le Z(s)-b˝ol a X X 1 = Lix + Lixsj + O(x3/4 ) N ({γ ∗ })≤x
−1/4<λj <0
aszimptotika, ahol Lix =
Z
x 2
du . log u
A 3/4 kitev˝o — a ma ismert legjobb(?) — a “Riemann sejt´es” teljes¨ ul´ese ellen´ere sem 1/2, amin´el persze jobb nem lehet. (Els˝ok´ent Huber bizony´ıtotta a Z(s)-hez hasonl´o f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel szint´en a Laplace oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei szerinti sorfejt´essel, a nyomformul´at nem ismerve.) 22
Geometriai jelent´ es. A Γ csoport mag´an az R Riemann fel¨ uleten is felismerhet˝o: izomorf a fundament´alis csoportj´aval, azaz r0 r¨ogz´ıtett pontj´ab´ol indul´o ´es oda visszat´er˝o z´art ` g¨orb´ek homot´opia oszt´alyainak csoportj´aval, amelyben a g¨orb´ek o¨sszef˝ uz´ese a m˝ uvelet. A megfeleltet´es: r0 -nak az univerz´alis fed´es szerinti egyik o˝sk´ep´et, z0 -at ler¨ogz´ıtve, folytassuk — nyomjuk fel H–ra — `-et z0 -b´ol kiindulva; ha ez z1 -ben v´egz˝odik, akkor rendelj¨ uk `-hez azt a γ ∈ Γ elemet, amelyre γz 0 = z1 . Γ konjug´alt oszt´alyainak a szabad homot´opia oszt´alyok felelnek meg: K´et z´art g¨orbe akkor homot´op ebben az ´ertelemben, ha az egyik a m´asikba deform´alhat´o minden pontj´at szabadon mozgatva; a megfeleltet´es ` ´es γ oszt´alyai k¨oz¨ott ugyanaz mint az el˝obb, `-nek tetsz˝oleges z0 pontj´at kezd˝opontk´ent kijel¨olve. Minden szabad homot´opia oszt´alyt m´erhet¨ unk legr¨ovidebb g¨orb´ej´enek hossz´aval. Ha {γ0 } a megfelel˝o konjug´alt oszt´aly, akkor ez a hossz min min d(z, γz).
γ∈{γ0 } z∈H
A bels˝o minimum val´oj´aban f¨ uggetlen γ ∈ {γ0 }-t´ol, s˝ot γ0 -at tetsz˝oleges, nem felt´etlen¨ ul Γ-beli T mozgat´assal konjug´alva, d(z, T −1 γ0 T z) = d(T z, γ0 T z), ahonnan min d(z, T −1 γ0 T z) = min d(z, γ0 z). z∈H
z∈H
E konjug´altk´ent a %0 z transzform´aci´ot v´alasztva, ahol %0 γ0 norm´aja, a minimum = min d(z, %0 z) = z∈H
Z
%0 1
dy = log %0 = log N ({γ0 }), y
mint k¨onny˝ u ellen˝orizni. A minimumot ad´o g¨orbe H-n az [i, % 0 i] szakasz, egy geodetikus vonal. R-en ennek z´art geodetikus felel meg, minden szabad homot´opia oszt´alyban pontosan egy. “Pr´ımsz´amt´etel¨ unk” m´assz´oval a z´art geodetikusok hoszszainak eloszl´as´at ´ırja le. Primit´ıv konjug´alt oszt´alynak egyszer, nem primit´ıvnek t¨obbsz¨or k¨or¨ ulj´art z´art geodetikus felel meg. Hiperbolikus k¨ orprobl´ ema. Ugyan´ıgy m´erhetj¨ uk a k¨oz¨ons´eges homot´opia oszt´alyokat is a benn¨ uk lev˝o g¨orb´ek minim´alis hossz´aval. Ha a le´ırt megfeleltet´es a homot´opia oszt´alyhoz γ-t rendeli hozz´a, akkor ez a minim´alis hossz d(z0 , γz0 ). Mindj´art a´ltal´anosabban vizsg´alhatjuk d(z, γw) eloszl´as´at. Az euklideszi eset mint´aj´ara a γw (γ ∈ Γ) pontok nevezhet˝ok hiperbolikus r´acspontoknak, ´es X
1
γ∈Γ d(z,γw)
e r´acspontok sz´ama a z k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u k¨orben. 23
Ha k(z, w) a {z, w : d(z, w) < r} halmaz indik´ator f¨ uggv´enye, akkor ez a sz´am nem m´as, mint X K(z, w) = k(z, w). γ∈Γ
Kor´abbi sorfejt´es¨ unk szerint K(z, w) =
∞ X
Λj fj (z)fj (w).
j=0
Ennek kezel´es´ehez λj -n ´es Λj -n k´ıv¨ ul a saj´atf¨ uggv´enyekr˝ol is sz¨ uks´eg van inform´aci´ora. j = 0 a f˝otag, az r sugar´ u k¨or ter¨ ulete osztva a fundament´alis tartom´any ter¨ ulet´evel, mint v´arhat´o. −1/4 < λj < 0 ad tov´abbi, hatv´anyrendben kisebb, z-t˝ol ´es w-t˝ol f¨ ugg˝o egy¨ utthat´oj´ u tagokat; a marad´ekra ismert legjobb(?) becsl´es itt is a f˝otag 3/4-ik hatv´anya. (Huber eredm´enye.) M´ıg az euklideszi k¨orprobl´em´aban elemi geometriai megfontol´as m´ar j´o aszimptotik´at ad, amennyiben a hibatagot a k¨or ker¨ ulet´evel becs¨ uli, itt az haszn´alhatatlan, mert nem–euklideszi nagy k¨or ter¨ ulete ´es ker¨ ulete egyforma nagys´agrend˝ u. Saj´ at´ ert´ ekek eloszl´ asa. A nyomformul´at visszafel´e olvasva, a benne szerepl˝o f¨ uggv´enyek alkalmas v´alaszt´as´aval, — amikoris ´eppen ford´ıtva, a baloldal egyetlen tagja, a γ =identit´asnak megfelel˝o j´atszik csak szerepet, — a λj saj´at´ert´ekek eloszl´as´ara lehet k¨ovetkeztetni. Az aszimptotika, Weyl t´etele klasszikus eredm´eny s´ıkbeli tartom´anyokra, de Riemann fel¨ uletekre is a´ltal´anos´ıtott´ak. A Selberg formula seg´ıts´eg´evel bizony´ıthat´o, hogy X √ σ(D) 1= x + O( x). 4π −λj <x
M´eg az sincs kiz´arva, hogy a hibatag O(x² ). A saj´at´ert´ek spektrum, a {λj }∞ ertelm˝ uen meghat´arozza a z´art j=0 sorozat egy´ geodetikusok hossz, illetve a konjug´alt oszt´alyok norma spektrum´at, az {N ({γ})}{γ} sorozatot ´es viszont. De van k´et nem konform ´es nem antikonform ekvivalens z´art Riemann fel¨ ulet, — csoportelm´eletileg kifejezve k´et, a (tengelyes t¨ ukr¨oz´est is tartalmaz´o) teljes izometria csoportra n´ezve nem konjug´alt diszkr´et csoport, — amelyek spektrumai megegyeznek! IRODALOM Az els˝o cikk a t´em´aban: Selberg, A.: Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, Journal of the Indian Mathematical Society 20 (1956), 47–87. Ismertet˝o cikk r´eszletes irodalommal: Elstrodt, J.: Die Selbergsche Spurformel f¨ ur kompakte Riemannsche Fl¨achen, Jahresbericht der Deutschen Mathematischen Vereinigung 83 (1981), 45–77. 24
