URČITÝ INTEGRÁL a jeho aplikace Newton-Leibnizova formule Zb a
kde F ′ (x) = f (x).
f (x) dx = F (b) − F (a),
Vlastnosti Zc Zb Zc f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx, 1) a
2)
a
b
Za
f (x) dx = 2
Za
f (x) dx
pro f sudou,
0
−a
=0 3)
Zb
f (x) dx = −
Za
f (x) dx = 0
a
4)
kde a < b < c
pro f lichou. Za
f (x) dx
b
a
Substituce Zβ Zb t = g(x) dt = g ′ (x) dx ′ f (g(x)) g (x) dx = = f (t) dt = F (β) − F (α) α = g(a) β = g(b) α
a
Per partes Zb Zb b ′ f (x) g (x) dx = [f (x) g(x)]a − f ′ (x) g(x) dx a
a
Příklady Z2 p 1) a) x 1 + 2x2 dx,
b)
0
Z1 0
Zπ/2 d) 2sin x cos x dx,
e)
0
2) a)
Z2 0
x2 √ dx, x3 + 1
Z2
p
2x2
xe
b)
Zπ/2
0
dx,
f)
Zπ/4
tg x dx.
−π/4
sin x dx, (1 + cos x)2
Z2 c) (2x − 3)10 dx, 0
0
e)
Zπ/2 c) sin4 x cos x dx
x4 + 3 dx,
0
Zπ/2 d) cos(4x − π/2) dx, 0
x
3
Z3 2
1 dx, x ln2 x
f)
Z5/4
−1/2
1
1 p 3
(4x + 3)4
dx.
g)
Z1
2x−7
3
dx,
Z1
h)
0
2x + 3 dx, 2 (x + 3x + 8)4
Z1
i)
0
Zπ/2 3) a) x cos 2x dx,
0
Z1
b)
0
−2x
xe
dx,
c)
0
Zπ/2 d) cos2 2x dx,
Z1
ex dx ex + 3
arccos x dx,
0
Zπ/2 e) ex cos 2x dx,
0
√
Zπ/2 f) x2 sin x dx
0
0
Nevlastní integrály 4) a)
Z∞
ln x dx , x2
Z∞
x2 dx, x3 + 1
Z2 0
x dx √ , 2−x
Z1
x2 dx √ , 1 − x2
Z1
b)
f)
0
5) a)
e)
0
Z∞
x dx, (x + 1)(x + 2)2
b)
Z2
g)
1
c)
Z0
−1
x2
1 dx, + 5x + 6
dx √ . 2−x
dx √ , 1 − x2
d)
Z2
√
1
dx , x2 − 1
Z∞ f) x2 e−x dx. 0
d)
1 1 8 , e) (e − 1), ln 2 4
f) 0.
1 1 1 3 (1 + 311 ), d) 0, e) − , f) , 22 ln 2 ln 3 8 √ 4 1 1 1 g) 7 , h) − 3 , i) 2 e + 3 − 4. 3 3 ln 3 3 8 12
2) a)
b)
1 , 2
Z2 0
x dx √ , x−1
Z∞ 0
0
Výsledky (zcela bez záruky) 4 1√ 1 13 , b) − 3, c) , 1) a) 3 3 2 5 4 , 3
d)
0
0
1
e)
Z∞ c) e−4x dx,
ln x √ dx, x
c)
1 3 1 3) a) − , b) − 2 , 2 4 4e 4) a) 1, b) −4, 5) a)
8√ 2, 3
b)
c) 8 , 3
1 , 4 c)
c) 1,
d)
3 d) ln , 2 π , 2
π , 4
1 e) − (1 + eπ/2 ), 5
e) ∞,
d) ln(2 +
√
f) 1 − ln 2,
3),
e)
π , 4
f) π − 2. √ g) 2 2.
f) 2.
Řešení vybraných příkladů 4) b) Jde o nevlastní integrál vlivem funkce. Integrovaná funkce je spojitá na (0, 1i, ale v okolí nuly je neomezená. Spočítáme proto integrál v mezích a, 1, kde 0 < a ≤ 1 a posléze přejdeme k limitě a → 0+ .
2
Z1 a
ln x √ dx = x
Z1
x
−1/2
ln x dx =
a
&
%
u′ = x−1/2 , u = 2 x1/2 1 v = ln x, v ′ = x
h
=2 x
1/2
h i1 √ √ √ = 0 − 2 a ln a − 4 x1/2 = −2 a ln a − 4 + 4 a
i1 Z 1 1 ln x − 2 x1/2 dx = a | {z x} a x−1/2
a
Zbývá spočítat limitu.
Problémy působí √ √ lim (−2 a ln a − 4 + 4 a) = pouze první člen. a→0+ Zkusíme ”L‘Hospitala” −2/a 1/2 = lim 4 a − 4 = −4, a − 4 = lim a→0+ −1/2 · a−3/2 a→0+
Z1
= lim − 2 ln a − 4 = a→0+ a−1/2 tedy
ln x √ dx = −4. x
0
4) d) Jde o nevlastní integrál vlivem meze. Vypočteme
Zb
x2
1 dx, b > 0 a následně + 5x + 6
0
limitu pro b → ∞. Nejprve rozložíme integrand na parciální zlomky. x2
1 A B A (x + 3) + B (x + 2) 1 = = + = + 5x + 6 (x + 2) (x + 3) x+2 x+3 (x + 2) (x + 3)
⇒
A (x + 3) + B (x + 2) = 1. Porovnáme koeficienty u stejných mocnin x a dostaneme: A + B = 0 ⇒ A = 1, B = −1. Nebo lépe; do rovnice dosadíme kořeny jmeno3A + 2B = 1 Z b 1 1 x = −2 : A = 1, vatele: Náš integrál je tedy − dx = x = −3 : −B = 1 ⇒ B = −1. x+2 x+3 0
b + 2 b − ln 2 . = [ln |x + 2| − ln |x + 3|] = ln 0 b + 3 3 b + 2 = 0 (Limita vnitřní funkce je 1, ln 1 = 0.) A máme výsledek, hurá!!! lim ln b→∞ b + 3 Z∞
x2
1 3 dx = ln , + 5x + 6 2
0
Většinou se však při výpočtu nevlastních integrálů limity nepíší, prostě se dosadí patřičné hodnoty. A protože je škoda nevyužít volného místa, zde je ještě jeden příklad. 5) c) Jde o nevlastní integrál vlivem funkce, integrand není definovaný pro x = −1. Z0 Z0 Z0 Z0 x = sin t cos t π dx cos t dt = √ p = dt = . dt = = dx = cos t dt | cos t| 2 1 − x2 α = −π/2, β = 0 1 − sin2 t
−1
−π/2
−π/2
3
−π/2
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Obsah rovinné plochy y
y f (x)
f (x) g(x) S
S a
S=
b Zb
x obr. 1
a
f (x) dx
S=
b Zb a
a
x obr. 2
(f (x) − g(x)) dx,
Objem rotačního tělesa, vzniklého rotací vyšrafované plochy (obr. 1) kolem osy x. V =π
Zb
f 2 (x) dx
a
Délka křivky l=
Zb p
1 + (f ′ (x))2 dx
Zβ p
2 + (y(t)) 2 dt (x(t)) ˙ ˙
a
l=
α
pro křivku y = f (x), x ∈ ha, bi.
pro křivku x = x(t), y = y(t), t ∈ hα, βi.
Obsah rotační plochy vzniklé rotací rovinné křivky l kolem osy x. S = 2π
Zb
p f (x) 1 + (f ′ (x))2 dx
Zβ
p 2 + (y(t)) 2 dt ˙ ˙ y(t) (x(t))
a
S = 2π
α
rotuje křivka y = f (x), x ∈ ha, bi.
rotuje křivka x = x(t), y = y(t), t ∈ hα, βi.
Těžiště plošného útvaru (obr. 1) o konstantní plošné hustotě σ. Sy , kde statický moment Sy = xT = M Sx yT = , M
Zb
σ xf (x) dx a hmotnost M =
a
a
1 kde statický moment Sx = 2
Zb
Zb
σ f 2 (x) dx
a
4
σ f (x) dx
Příklady 1) Určete obsah rovinného oboru, ohraničeného a) křivkami y =
1 x2 , y= , 2 1 + x2
b) souřadnicovými osami a křivkou x = t2 , y = cos t, t ∈ h0, π/2i,
c) souřadnicovými osami a křivkou x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, t ∈ h0, π/2i. 2) Určete délku křivky √ a) y = 8 x3 , x ∈ h0. 1i,
b) x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, t ∈ h0, π/2i, c) kružnice o poloměru r, d) x = a (t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ h0, 2πi (jeden oblouk cykloidy).
3) Určete objem a) koule, b) kužele s podstavou o poloměru r a výškou v, c) rotačního paraboloidu s podstavou o poloměru r a výškou v, d) tělesa, které vznikne rotací rovinného oboru ohraničeného osou x a parametricky zadanou křivkou x = arctg t, y = 1 − t2 . Výsledky 1) a) π/2 − 1/3, b) π − 2, c) 3π/8. √ 1 (19 19 − 1), b) 3, c) 2πr, d) 8a. 2) a) 27 4 3 1 2 1 2 8 3) a) πr , b) πr v, c) πr v, d) 2π π − . 3 3 2 3 Řešení vybraných příkladů 3) d) Nejprve určíme průsečíky křivky s osou x (tj. meze příslušného integrálu). y = 1 − t2 = 0 ⇒ t = ±1. Objem spočítáme ze vztahu Z1 Z1 Z1 4 1 t − 2t2 + 1 integrovaná 2 2 2 V =π y (t) x(t) ˙ dt = = 2 π (1−t ) dt = 2 π dt = funkce je sudá 1 + t2 1 + t2 0
−1
= 2π
Z1 0
4 t −3+ 1 + t2 2
0
t3 − 3 t + 4 arctg t dt = 2 π 3 y
1
1
1 8 − 3 + π − 0 = 2π π − . 3 3
f (x) = 1 − tg2 x
A koho zajímá, jaká že plocha vlastně rotuje, zde je obrázek. π/4
5
= 2π
0
x
Fyzikální aplikace 1) Těžiště trojúhelníku, aneb okénko do analytické geometrie. Určete těžiště homogenního trojúhelníku ABC, kde A [ 0, 0 ], B [ 7, 0 ], C [ 5, 4 ]. Řešení: rovnice přímky dané dvěma body A [xA , yA ] B [xB , yB ] je: yB − yA (x − xA ). y − yA = xB − xA Pro zadané body vychází: 4 0−4 AC : y = x, BC : y − 4 = (x − 5), což upraveno dává y = −2x + 14. 5 7−5 A můžeme směle použít vzorce ze strany 4. Protože je trojúhelník homogenní, je jeho plošná hustota konstantní a nemusíme s ní počítat, což učiníme. Tj. můžeme položit σ = 1. M=
Z5
4 x dx + 5
0
7 5 Z7 x2 4 x2 + −2 + 14x = 14 (−2x + 14) dx = 5 2 0 2 5 5
y C
T A
Sy =
Z5
4 x x dx + 5
0
0
B x
S
Z7
Nebo jsme si mohli namalovat obrázek a uvědomit si, že hmotnost trojúhelníku je při jednotkové plošné hustotě číselně rovna jeho obsahu a ten je základna krát výška lomeno dvěma, tedy 7 · 4/2 = 14. 5 Z Z7 16 2 1 x dx + (−2x + 14)2 dx = Sx = 2 25
8 x · = 25 3
4 x3 · x (−2x + 14) dx = 5 3
5
5
3 5
5
1 (−2x + 14)3 + − · 4 3 0
x3 x2 + −2 + 14 3 2 0
7
7 5
=
56 3
= 56.
5
Takže těžiště má souřadnice Sy Sx 4 xT = = 4, yT = = . M M 3 Je-li trojúhelník homogenní, splývá fyzikální těžiště (hmotný střed) s geometrickým. Snadno se o tom přesvědčíme, ať už budeme počítat těžiště jako průsečík těžnic, nebo třeba takto: 1 1 −→ T = S + SC = [3.5, 0] + (1.5, 4) = [4, 4/3]. 3 3 2) Určete souřadnice těžiště rovinného oboru ohraničeného první větví cykloidy a osou x. Cykloida má parametrické rovnice: x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), t ∈ h0, 2πi. 3) Určete souřadnice těžiště první větve cykloidy (coby křivky). 4) Určete souřadnice těžiště rovinného oboru v prvním kvadrantu, ohraničeného částí asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ h0, π/2i a osami x a y. Výsledky 2) T = [ aπ, 5a/6 ]
3) T = [ aπ, 4a/3 ]
4) T = [ 256 a/315π, 256 a/315π]. 6
