Komplex sz´ amok
Defin´ıci´ o. Komplex sz´ amoknak nevezz¨ uk a val´ os sz´ amokb´ ol k´ epzett rendezett (a, b) sz´ amp´ arok halmaz´ at, ha k¨ oz¨ ott¨ uk az ¨ osszead´ ast ´ es a szorz´ ast k¨ ovetkez˝ ok´ eppen ´ ertelmezz¨ uk: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b)(c, d) := (ac − bd, bc + ad) a-t a z = (a, b) komplex sz´ am val´ os r´ esz´ enek, m´ıg b-t a k´ epzetes (imagin´ arius) r´ esz´ enek nevezz¨ uk. Jel¨ ol´ es¨ uk: Re(z) ´ es Im(z). K´ et komplex sz´ am pontosan akkor egyenl˝ o, ha val´ os ´ es k´ epzetes r´ eszeik megegyeznek. A komplex sz´ amhalmaz jele: C.
´ ll´ıt´ A as. A komplex sz´ amok C halmaza a fent defini´ alt ¨ osszead´ asa ´ es szorz´ asa teljes´ıti a testaxi´ om´ akat: z+w =w+z (z + w) + v = z + (w + v)
kommutativit´ as asszociativit´ as
z+0=z
nullelem
z + (−z) = 0
ellentett
z·w =w·z
kommutativit´ as
(z · w) · v = z · (w · v) 1·z =z z · 1z = 1
asszociativit´ as egys´ egelem
(z 6= 0)
inverz
Bizony´ıt´ as. Ha z = (a, b) 6= 0, akkor az a ´ es b val´ os sz´ amok k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik nem nulla, ez´ ert a2 + b2 > 0. Megmua b tatjuk, hogy z = (a, b) inverze az ( 2 , − ) komplex 2 2 2 a +b a +b sz´ am lesz: µ ¶ a b (a, b) ,− 2 = 2 2 2 a +b a +b Ã
=
a2
+ b2
ba − ab , 2 2 2 a + b a + b2
!
= (1, 0).
L´ athatjuk, hogy az egys´ egelem az (1, 0) komplex sz´ am, a z´ eruselem pedig a (0, 0) komplex sz´ am lesz. Q.e.d.
• Nyilv´ anval´ o, hogy (a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0) ´ es (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) teljes¨ ul. Emiatt az (a, 0) komplex sz´ amot azonos´ıthatjuk az a val´ os sz´ ammal, s ´ıgy a val´ os sz´ amtest a komplex sz´ amok egy r´ eszhalmaz´ at alkotj´ ak. • Ha i-vel jel¨ olj¨ uk a (0, 1) komplex sz´ amot ´ es 1-gyel az (1, 0) egys´ egelemet, akkor i2 = −1. E jel¨ ol´ esekkel (a, b) = a + bi, hiszen a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = = (a, 0) + (0, b) = (a, b) A tov´ abbiakban az a + bi klasszikus jel¨ ol´ est alkalmazzuk. • Ha z = a + bi, ahol a ´ es b val´ os sz´ am, akkor a z = a − bi komplex sz´ amot z konjug´ altj´ anak nevezz¨ uk. A konjug´ alt k´ epz´ ese a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokkal rendelkezik:
– z+w =z+w – zw = z w – z + z = 2 Re(z) ´ es z − z = 2 Im(z)i – z z pozit´ıv val´ os sz´ am, kiv´ eve z = 0-t. • Nem eg´ eszen trivi´ alis k´ et komplex sz´ am h´ anyados´ at k´ epezni, azaz klasszikus alakban kifejezni. C´ elszer˝ u a nevez˝ o konjug´ altj´ aval b˝ ov´ıteni a t¨ ortet. Pl. (3 + 4i)(4 − 2i) 1 3 + 4i = =1+ i 4 + 2i (4 + 2i)(4 − 2i) 2 • A z komplex sz´ am abszol´ ut ´ ert´ ek´ enek nevezz¨ ukqz z nemnegat´ıv n´ egyzetgy¨ ok´ et, jel¨ ol´ ese: |z|. ´Igy |z| = a2 + b2. Az abszol´ ut ´ ert´ ek k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokkal rendelkezik:
– |z| > 0, ha z 6= 0, ´ es |0| = 0 – |z| = |z| – |zw| = |z| |w| – |Re(z)| ≤ |z| – |Im(z)| ≤ |z| – |z + w| ≤ |z| + |w|
A harmadik ¨ osszef¨ ugg´ es igazol´ as´ ahoz legyen z = a+bi, w = c + di, ahol a, b, c, d val´ os sz´ amok. Ekkor |zw|2 = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = = (a2 + b2) (c2 + d2) = |z|2|w|2. Az utols´ o igazol´ as´ ahoz azt figyelj¨ uk meg, hogy zw ´ es zw egym´ as konjug´ altja, ez´ ert zw + zw = 2 Re(zw). ´Igy |z + w|2 = (z + w)(z + w) = = zz + zw + zw + ww = = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 ≤ ≤ |z|2 + 2|zw| + |w|2 = = |z|2 + 2|z| |w| + |w|2 = (|z| + |w|)2.
A komplex sz´ ams´ık Amennyiben a s´ık egy Descartes-f´ ele (der´ eksz¨ og˝ u) koordin´ atarendszer´ eben a z = a + bi komplex sz´ amhoz hozz´ arendelj¨ uk az (a, b) koordin´ at´ aj´ u pontot, egy k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ ertelm˝ u megfeleltet´ est kapunk a s´ık pontjai ´ es a komplex sz´ amok halmaza k¨ oz¨ ott. Az a + 0i alak´ u (val´ os) komplex sz´ amoknak az x tengely pontjai, m´ıg a tiszt´ an k´ epzetes (0 + b i alak´ u) komplex sz´ amoknak az y tengely pontjai felelnek meg. Ha a z = (a, b) = a + b i komplex sz´ amot az orig´ ob´ ol indul´ o (a, b) v´ egpont´ u vektorral szeml´ eltetj¨ uk, a komplex sz´ amok ¨ osszead´ as´ anak a vektorok ¨ osszead´ asa felel meg, a konjug´ al´ asnak az x tengelyre val´ o t¨ ukr¨ oz´ es, m´ıg a komplex sz´ am abszol´ ut ´ ert´ eke a megfelel˝ o vektor hossza. A szorz´ as szeml´ eletes jelent´ ese az ´ un. trigonometrikus alak seg´ıts´ eg´ evel lesz k¨ onnyen l´ athat´ o.
Amennyiben ϕ jel¨ oli a z = (a, b) = a + b i komplex sz´ amnak, mint vektornak a pozit´ıv ir´ any´ u x tengellyel bez´ art forg´ assz¨ og´ et, s r = |z| az abszol´ ut ´ ert´ eket, akkor l´ athat´ o, hogy a = r cos ϕ, b = r sin ϕ Teh´ at z = a + b i = r(cos ϕ + i sin ϕ). Az ut´ obbit nevezz¨ uk a komplex sz´ am trigonometrikus alakj´ anak, ϕ-t a z komplex sz´ am argumentum´ anak (vagy ir´ anysz¨ og´ enek), jele: ϕ = arg z. A klasszikus algebrai alakb´ ol a trigonometrikus alak o´ all´ıt´ aq el˝ s´ ahoz r ´ es ϕ kisz´ am´ıt´ asa ´ıgy t¨ ort´ enhet: r = |z| = a2 + b2, s b ≥ 0 eset´ en ϕ-t a cos ϕ = ar ¨ osszef¨ ugg´ esb˝ ol, m´ıg b ≤ 0 eset´ en ϕ = 2π − ϕ0, ahol cos ϕ0 = ar .
Szorozzuk ¨ ossze a z1 = r1(cos ϕ1 +i sin ϕ1) ´ es z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) komplex sz´ amokat. Ekkor z1 z2 = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)+ +i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)] A trigonometrikus f¨ uggv´ enyek ismert add´ıci´ os k´ eplete alapj´ an: z1 z2 = r1 r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)) Innen l´ athatjuk, hogy szorz´ asn´ al az argumentumok ¨ osszead´ odnak, az abszol´ ut ´ ert´ ekek pedig ¨ osszeszorz´ odnak. Egy adott komplex sz´ ammal val´ o szorz´ as ez´ ert ´ ugy szeml´ eltethet˝ o, mint orig´ o k¨ or¨ uli arg ϕ sz¨ og˝ u elforgat´ as ´ es r = |z| ar´ any´ u ny´ ujt´ as egy¨ uttese. A szorz´ asra vonatkoz´ o k´ epletb˝ ol ad´ odik, hogy trigonometrikus alakban a hatv´ anyoz´ as elv´ egz´ ese nagyon leegyszer˝ us¨ odik. z n = rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ)), n ∈ N (Moivre k´ eplet)
Az oszt´ as formul´ aj´ anak megtal´ al´ as´ ahoz el˝ obb trigonometrikus alakban:
1 -t ´ all´ıtjuk el˝ o z
1 1 = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) z r Ez´ ert 1 z1 = z1 = z2 z2 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)
1 (cos(−ϕ2) + i sin(−ϕ2)) = r2
r = 1 (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)). r2
Komplex sz´ am n-edik gy¨ oke
Defin´ıci´ o. Az z = r(cos ϕ + i sin ϕ) komplex sz´ am n-edik gy¨ ok´ en olyan komplex sz´ amot ´ ert¨ unk, amelynek n-edik hatv´ anya z-vel egyenl˝ o. Ha teh´ at w z-nek az n-edik gy¨ oke, akkor wn = z. Tegy¨ uk fel, hogy w = t(cos ψ + i sin ψ), akkor a hatv´ anyoz´ as miatt tn(cos nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) K´ et komplex sz´ am akkor egyenl˝ o, ha abszol´ ut ´ ert´ ekeik megegyeznek, ir´ anysz¨ ogeik pedig 2π eg´ esz sz´ am´ u t¨ obbsz¨ or¨ os´ eben k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ ast´ ol. Ez´ ert tn = r,
nψ − ϕ = k 2π
ahol k eg´ esz sz´ am. Mivel t ´ es r nemnegat´ıv, √ t = n r, ψ = (ϕ + k 2π)/n A Moivre k´ eplet alapj´ an l´ athat´ o, hogy w val´ oban n-edik gy¨ ok. w-nek ezen el˝ o´ all´ıt´ as´ aban ugyan v´ egtelen sok k ´ ert´ ek szerepel, de k¨ onnyen l´ athat´ o, hogy a k = 0, 1, . . . , n − 1 v´ alaszt´ assal n k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o w sz´ amot kapunk, s a tov´ abbi k ´ ert´ ekek nem adnak ´ ujabb gy¨ ok¨ ot. Ez azt jelenti teh´ at, hogy minden komplex sz´ amnak — a 0-´ at kiv´ eve,— pontosan n darab n-edik gy¨ oke van.
