Příklad 61: Z Prahy do Athén je 2150 km. V Praze byl osazen 1 válec auta novou svíčkou, jejíž životnost má normální rozdělení s průměrem 10000 km a směrodatnou odchylkou 3000 km. Jaká je pravděpodobnost, že automobil překoná vzdálenost tam i zpět, aniž bude nutno tuto svíčku měnit?
N(µ,σ2) µ = 10 000 σ = 3 000 σ2 = 3 0002 P(X > 2 ⋅ 2150) = P(U >
2 ⋅ 2150 − 10000 ) = P(U > −1,9) = 3000 .
= 1 − φ (−1,9) = 1 − [1 − φ (1,9)] = φ (1,9) = 0,97128 Příklad 1: Při provozu balícího automatu vznikají během směny náhodné poruchy. Ze zkušeností víme, že během směny dochází v průměru ke 2 poruchám. Jaká je pravděpodobnost, že během 24 hodin (třísměnného provozu) nedojde ani jednou k poruše?
Po(λ) 2 poruchy za 1 směnu za 3 směny 2 ⋅ 3 = 6 poruch očekávaná hodnota λ = 6 P(X = k) =
e - λ ⋅ λk k!
P(X = 0) =
. e -6 ⋅ 6 0 = e -6 = 0,00248 0!
Příklad 4: Pravděpodobnost, že hasící systém továrny (jev A) selže, je 20%, pravděpodobnost, že selže poplachové zařízení (jev B), je 10% a pravděpodobnost, že selžou oba najednou (A průnik B), je 4%. Jaká je pravděpodobnost, že: a) Alespoň jeden bude fungovat? (Doplněk jevu "selžou oba současně") b) Oba dva budou fungovat?
P(A) = a + c = 20% = 0,20 P(B) = b + c = 10% = 0,10 P(A∩B) = c = 4% = 0,04
B
A a
c
b d
a) P( A ∩ B ) = 1 – P(A∩B) = a + b + d = 1 – c = 1 – 0,04 = 0,96 b) P( A ∪ B ) = 1 - P(A∪B) = d = 1 – 0,2 – 0,1 + 0,04 = 0,74
STME
1
Petr Voborník
Příklad 5: Je známo, že 90% výrobků odpovídá standardu. Byla vypracována zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobností 0,95, kdežto u výrobku nestandardního s pravděpodobností 0,20. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek, u něhož zkouška dopadla kladně, je standardní?
Výrobek 1 je Standardní 0,9 ozn. za Sta. 0,95
je Nestandard. 0,1
ozn. za Nest. 0,05
ozn. za Sta. 0,2
ozn. za Nest. 0,8
A – je označen za standardní B1 – je Standardní B2 – je Nestandardní P(B1) = 0,90 P(A|B1) = 0,95 P(A|B2) = 0,20 P(B1 | A) =
P(A | B1 ) ⋅ P(B1 ) 0,95 ⋅ 0,9 0,855 . = = 0,977 = P(A | B1 ) ⋅ P(B1 ) + P(A | B 2 ) ⋅ P(B 2 ) 0,95 ⋅ 0,9 + 0,2 ⋅ 0,1 0,875
Příklad 3: Určitý typ součástek je dodáván v sériích po 200 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků?
Hy(n;M;N) N = 200 M = 10 N = 5
⎛M⎞ ⎛ N - M⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ n - k ⎟⎠ ⎝ P(X = k) = ⎛ N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n⎠ ⎛10 ⎞ ⎛ 200 - 10 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝ 5 - 0 ⎟⎠ . ⎝ P(X = 0) = = 0,7717 ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠ STME
2
Petr Voborník
Příklad 26: Aby sloužila lépe svým inzerentům podnikla rozhlasová stanice zaměřená na hudební pořady u 500 posluchačů průzkum za účelem zjištění, zda dávají přednost klasické nebo populární hudbě. Výsledky pozorování roztříděné podle věku byly následující: vážná populární Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro podíl mládeže do 25 let, která dává přednost populární hudbě (v rámci celé populace). hudba hudba 45 108 72 71 108 96
věk pod 25 let 25 – 50 nad 50 let
N = 500 n = 153 x = 108
α =
.
u0,995 = 2,58
0,01
⎛ P(1 - P) ⎞ ⎟ p ± ⎜⎜ u α ⋅ ⎟ 1n ⎠ ⎝ 2
2,58 ⋅
p=
∧
P(1 - P ) = p(1 - p) = 0,706 ⋅ 0,294 = 0,207564
108 . = 0,706 153
0,207564 . = 0,0949 153
70,60% z 500 = 353;
.
9,49% z 500 = 47;
353 ± 47 = (306; 400)
Příklad 11: Podle analýzy receptů ze stejného nemocničního oddělení provedeného v lékárně vyplynulo, že lékař A napsal 70% receptů, z nichž 1% bylo předepsáno chybně a lékař B napsal 30% receptů, z nichž chybně předepsána byla 2%. a) Jaká je pravděpodobnost chybně napsaného receptu v daném oddělení? b) Je-li recept předepsán chybně, jaká je pravděpodobnost, že ho napsal lékař B?
Oddělení 1 A 0,7 Chybně 0,01
B 0,3 Dobře 0,99
Chybně 0,02
Dobře 0,98
A – recept je napsán chybně B1 – recept napsal lékař B B2 – recept napsal lékař A a) P(A) = 0,7 ⋅ 0,01 + 0,3 ⋅ 0,02 = 0,013 b) P(B1 | A) =
STME
. P(A | B1 ) ⋅ P(B1 ) 0,3 ⋅ 0,02 0,006 = = 0,4615 = P(A | B1 ) ⋅ P(B1 ) + P(A | B 2 ) ⋅ P(B 2 ) 0,02 ⋅ 0,3 + 0,01 ⋅ 0,7 0,006 + 0,007
3
Petr Voborník
Příklad 27: Oil Exploration podnikla zoufalý hazardní pokus – veškeré zbylé fondy vložila na 12 pokusných vrtů. Šance, že vrt narazí na ropu, je u všech vrtů 20% a jednotlivé vrty jsou navzájem nezávislé. Před bankrotem může firmu zachránit jen úspěch tří a více vrtů. Jaké je šance?
Bi(n,π) n = 12 π = 0,2 k ≥ 3 n ⎛n⎞ n -i P(X ≥ k) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ π i ⋅ (1 − π ) i=k ⎝ i ⎠ .
P(X≥3) = 1 – (P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)) = 1 – 0,5583 = 0,4417 Příklad 12: Univerzální pneumatiky mají průměrnou životnost 56 000 mil se směrodatnou odchylkou 8 000 mil a normální rozdělení. a) Jaká je pravděpodobnost, že daná pneumatika vydrží 50 000 mil a více? b) Kolik procent pneumatik vydrží méně než 50 000 mil? c) Jaká je pravděpodobnost, že pneumatika bude mít životnost od 50 000 do 60 000 mil? d) Jaká je pravděpodobnost, že pneumatika vydrží více než 80 000 mil?
N(µ,σ2)
µ = 56 000 σ = 8 000 a) P(X > 50000) = P(U > .
. 50000 − 56000 ) = P(U > −0,75) = 1 − φ (−0,75) = φ (0,75) = 0,77337 8000
.
b) P(X < 50000) =1 − 0,77337 = 0,22663 = 22,7% c) . 60000 − 56000 ⎞ ⎛ 50000 − 56000
= φ (0,5) − (1 − φ (0,75)) = 0,77337 + 0,69146 - 1 = 0,46483 d) P(X > 80000) = P(U >
STME
. 80000 − 56000 ) = P(U > 3) = 1 − φ (3) =1 − 0,99865 = 0,00135 8000
4
Petr Voborník
Příklad 28: Pojišťovna uzavřela 100 životních pojistek s osobami určitého věku, o nichž je v úmrtnostních tabulkách zjištěna pravděpodobnost dožití dalších deseti let 0,85. Jednorázové pojistné činí 1600 Kč a v případě úmrtí do deseti let vyplatí pojišťovna pozůstalým 10 000 Kč. Jaký zisk z těchto pojistek může za daných podmínek pojišťovna očekávat?
zisk x 1 600,-8 400,-
P(X) 0,85 0,15 suma:
E(X) x ⋅ 1 -1
pro 1 P(X) 360 260 100
Zisk = zisk pro 1 * počet pojistek = 100 ⋅ 100 = 10 000,- Kč Příklad 14: Pracovník pro odbyt u velké firmy na výrobu léčiv navštíví ročně 3 velkoprodejny s farmaky s 80% pravděpodobností, že sjedná kontrakt. Nechť X je součet všech prodejů za rok (0,1,2 nebo 3). a) Sestavte tabulku rozdělení pravděpodobností p(x). b) Jaká je pravděpodobnost, že sjedná aspoň dva kontrakty?
Bi(n,π)
⎛n⎞ n -k P(X = k) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ π k ⋅ (1 − π ) ⎝k⎠ a)
sjednaných obchodů 0 1 2 3 suma:
P(x) 0,008 0,096 0,384 0,512 1
b) P(x ≥ 2) = P(x=2) + P(x=3) = 0,384 + 0,512 = 0,896 Příklad 23: Z časového snímku určité montážní operace vyplývá, že bylo provedeno n =12 pozorování, zjištěný průměr doby trvání operace je průměr x = 44 sec. a směrodatná odchylka s = 4 sec. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro očekávanou délku montáže.
n x σ α
= 12 = 44 = 4 = 0,05
⎛ σ ⎞ ⎟ x ± ⎜⎜ u α ⋅ ⎟ ⎝ 1- 2 n ⎠
4 ⎞ 4 . ⎛ 44 ± ⎜ u 0,975 ⋅ = 44 ± 2,263 ⎟ = 44 ± 1,96 ⋅ 2 3 12 ⎠ ⎝ STME
5
(41,737; 46,263)
Petr Voborník
Příklad 29: Při průjezdu přes most byla kontrolována rychlost jízdy 100 vozidel. Bylo zjištěno, že 24 vozidel překročilo povolenou rychlost. Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl vozidel překračujících na mostě povolenou rychlost.
n = 100 x = 24 α = 0,05
⎛ P(1 - P) ⎞ ⎟ p ± ⎜⎜ u α ⋅ ⎟ 1n ⎝ 2 ⎠ p=
24 = 0,24 100
∧
P(1 - P ) = p(1 - p) = 0,24 ⋅ 0,76 = 0,1824 u0,975 = 1,96 . ⎛ 0,1824 ⎞ . ⎟ = 24 ± 8,37% = 24 ± 8,37 = 24 ± 8 24 ± ⎜⎜1,96 ⋅ 100 ⎟⎠ ⎝ (16; 32) Příklad 6: Z populace USA v roce 1980 bylo: 10% z Kalifornie 6% španělského původu 2% španělského původu a z Kalifornie. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný Američan bude: a) z Kalifornie nebo španělského původu b) ani z Kalifornie, ani španělského původu c) španělského původu, ale ne z Kalifornie?
B
A a
A – je z Kalifornie B – je španělského původu
c
b d
a) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = a + c + b = = 0,1 + 0,06 – 0,02 = 0,14 b) A ∩ B = 1 − P(A ) − P(B) + P(A ∩ B) = d = 1 − (A ∪ B) = 1 - 0,1 - 0,06 + 0,02 = 0,86 c) P(B ∩ A ) = P(B) - P(A ∩ B) = b = 0,06 - 0,02 = 0,04
STME
6
Petr Voborník
Příklad 7: Autobusy městské dopravy odjíždějí ze stanice v sedmiminutových intervalech. Cestující může přijít na stanici v libovolném okamžiku. a) Jaká je pravděpodobnost, že bude čekat méně než 2 minuty? b) Jaká je střední hodnota a rozptyl doby jeho čekání na odjezd ze stanice?
0 < x < 7 1 f(x)= 7 7
1 1 7 5 2 . a) P(X ≥ 5) = ∫ dx = [x ]5 = 1 − = = 0,2857 7 7 7 7 5 7
1 1 ⎡x2 ⎤ 7 b) E(X) = ∑ x ⋅ P( x ) = ∫ x ⋅ f ( x)dx = ∫ x ⋅ dx = ⎢ ⎥ = = 3,5 7 7 ⎣ 2 ⎦0 2 x∈Ω x (Ω x ) 0 7
{
}
D(X) = E [X - E(X)] = E(X 2 ) - [E(X)] = 16,333 − 12,25 = 4,0833 2
2
7
1 1 ⎡x3 ⎤ 49 E(X ) = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = = 16,333 7 7 ⎣ 3 ⎦0 3 0 [E(X)]2 = 3,5 2 = 12,25 7
2
2
Příklad 22: Předpokládáme, že měsíční výdaje domácnosti na určité potravinářské zboží mají normální rozdělení se střední hodnotou 90 Kč a směrodatnou odchylkou 14 Kč. Stanovte pravděpodobnost překročení hranice 100 Kč a) pro výdaje náhodně vybrané domácnosti, b) pro průměrné výdaje třiceti náhodně vybraných domácností. (Věta Lindeberg - Lévy o výběrovém průměru)
N(µ,σ2) E(X) = µ = 90 D(X) = σ = 14 a) N(90,142) . 100 − 90 ⎞ ⎛ P(X > 100) = P⎜ U > ⎟ = 1 − φ (0,714285) = 1 − 0,7625 = 0,2375 14 ⎠ ⎝ 14 2 ) b) x ~ N(90, 30 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ . 100 - 90 ⎟ . ⎜ P(X > 100) = P U > = 1 − φ (3,9124) =1 − 0,99995 = 0,00005 ⎜ 14 ⎟ ⎜ ⎟ 30 ⎠ ⎝
STME
7
Petr Voborník
