Kombinatorika 1. Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy három kisebb méretű állatot tud átvinni? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 2. Hányféleképpen lehet elhelyezni az alábbi 3 × 3 -as ábrán egy dominót (a mérete 2 × 1 -es) úgy, hogy vagy egy A és C vagy egy B és C le legyen általa fedve? A
A
B
C
A
C
A
C
B
(a) 6 (b) 8 (c) 9 (d) 10 3. Egy 33 fős osztály tagjai között 3 különböző könyvet sorsolnak ki úgy, hogy egynél több könyvet senki sem kaphat. Hányféleképpen végződhet a sorsolás? (a) 333 33 (b) 3 (c) 333 (d) 33 · 32 · 31 4. Egy nemzetközi tanácskozás résztvevői közül néhányan kézfogással köszöntik egymást. Mi a legkisebb létszám, amelynél megtörténhet, hogy 56 kézfogás történik? (a) 12 (b) 11 (c) 8 (d) 9 5. Hány olyan sík van, amely egy téglatest csúcsai közül pontosan hármat tartalmaz? (a) 6 8 (b) 3 (c) 4 · 3 (d) 4 · 2
1
Kombinatorika 6. Nagy Anna és Kis Ica hét társukkal egymás melletti helyekre kaptak jegyet a moziban. Hányféle sorrendben ülhetnek úgy, hogy a két barátnő egymás mellé kerüljön? (a) 8 · 7! 9 (b) · 2 · 7! 2 (c) 8 · 2 · 7! 9! (d) 2! 7. A Három testőr négy főhőse és hat társuk egymás mellé ülnek a színház első sorába. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha a főhősök csak egymás mellett ülhetnek? 10! 4! (b) 6! · 4! (a)
(c) 3! · 6! (d) 7! · 4! 8. Hány különböző négyjegyű szám írható fel a hármas számrendszerben? (a) 29 (b) 11 (c) 81 (d) 54 9. Bea busszal jár iskolába. Legfeljebb hány napot volt iskolában a tanévkezdet óta, ha a busza minden nap pontosan két megállóban - de soha nem ugyanabban a kettőben - állt meg az útközbeni hét megálló közül? (a) 7 (b) 35 (c) 8 (d) 21 10. Legalább hány tagú az a csoport, melynek minden tagja a lehetséges 6 fajta fagylaltból kétgombócosat kér, és így biztosan lesz köztük két olyan, aki a sorrendtől eltekintve ugyanolyat kap? (a) 21 (b) 16 (c) 22 (d) 18 11. A kilencre végződő háromjegyű számok közül hány osztható kilenccel? (a) 11 (b) 9 (c) 8 (d) 10
2
Kombinatorika 12. Egy 5 × 5-ös táblán huszonöt katicabogár üldögél, minden mezőn pontosan egy. Adott jelre minden bogár átsétál egy szomszédos mezőre. (Két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.) Ezután legfeljebb hány mezőn ülhet egy bogár? (a) 25 (b) 24 (c) 23 (d) Attól függ, hogy a csúcsokban lévő négyzetről merre indulnak el. 13. Azok a pozitív egész számok, amelyek számjegyeinek összege 13, a „szerencsétlen számok”, amelyeknek 21, azok a „szerencsés számok”. Hány olyan háromjegyű szerencsés szám van, amelynél az eggyel nagyobb szám szerencsétlen szám? (a) 2 (b) 6 (c) 7 (d) 3 14. Kétjegyű lottószámaimat egy piros és egy fehér kocka feldobásával határozom meg: a pirossal dobott az első, a fehérrel a második számjegy. Az így kapható számok hányadrésze lesz kilenccel osztható? 1 18 1 (b) 9 1 (c) 6 1 (d) 15 (a)
15. A hatnak melyik a legnagyobb hatványa, amelyikkel a 21! osztható? (a) hetedik (b) nyolcadik (c) kilencedik (d) tizedik 16. Hány olyan háromszög van, amelynek csúcsai a rajzon megadott 7 pont (A, B, C, D, E, F és G) közül valók?
(a) 20 (b) 24 (c) 8 (d) 32
3
Kombinatorika 17. Egy szekrényben 10 fehér, 20 fekete és 30 zöld, egyforma méretű zokni van. Hány darabot kell véletlenszerűen kivenni ahhoz, hogy biztosan legyen 1 pár fehér, 2 pár fekete és 3 pár zöld zoknink? (a) 12 (b) 34 (c) 44 (d) 52 18. Kovács Kata és hat barátja egymás mellé kaptak jegyet a moziba. Hányféle sorrendben ülhetnek egymás mellé, ha Kovács Kata középen ül? (a) 6! (b) 7! (c) 7! − 6! 7! (d) 6! 19. Flóra és hat barátja egymás mellé kaptak jegyet egy kis moziba, ahol minden sorban 7 ülés van. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha Ákos és Flóra egymás mellett, és a sor valamelyik szélén szeretne ülni? (a) 4 · 4! (b) 2 · 5! (c) 5! + 2 · 5! (d) 4 · 5! 20. Egy baráti társaság (3 fiú és 4 lány) „Amerikából jöttünk...” játékot szeretne játszani. A játék kezdetekor egy lányt és egy fiút kiválasztanak, akik kimennek a szobából. Hányféle kimenetele lehet a választásnak? (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 12 21. Melyik tömeg nem mérhető meg egy kétkarú mérleg és a következő négy súly igénybevételével: 1, 4, 7, 10? (a) 19 (b) 14 (c) 13 (d) 15 22. Hány 5-tel osztható, ötjegyű, különböző számjegyekből álló szám képezhető a 0, 1, 3, 5, 7 számjegyek felhasználásával? (a) 7 · 3! (b) 2 · 4! (c) 4! (d) 5!
4
Kombinatorika 23. Egy cukorkatartóban négyfajta cukorka van, mindegyik fajtából ugyanannyi, összesen 80 darab. Hány cukorkát kell véletlenszerűen kivenni ahhoz, hogy valamelyik fajtából biztosan legyen 10? (a) 21 (b) 31 (c) 37 (d) 40
5
