1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 2 1 sin (ln x ) e x +1 a) ∫ dx c) ∫ xe1− x dx b) ∫ dx d) ∫ dx x 4x + 9 x +1 Vypočítejte (integrace metodou per - partes): ln x a) ∫ x 2 + 1 ⋅ e − x dx b) ∫ 2 dx x
2)
(
)
c)
∫ (x
2
)
+ 1 ⋅ sin x dx
d)
3)
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, omezeného křivkami o rovnicích: f : y = x2 a g : y = x
4)
Vypočtěte obsah útvaru U ohraničeného parabolou, která je grafem funkce g : y = osou x , osou y a rovnoběžkou s osou y procházející bodem M [5, 0] .
5)
∫ ln
2
x dx
1 2 x − 3x + 4 , 2
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, omezeného křivkami f , g , h . f :y=2 x g : y = 3− x h: y = 0
6)
Vypočtěte obsah útvaru ohraničeného parabolami, které jsou grafy funkcí f : y = x 2 − 4x + 2 g : y = −x 2 + 6x − 6
7)
Vypočtěte obsah rovinného obrazce, omezeného křivkami f a g f : y = −3 + 8 x − 2 x 2 g : y = 6 − 4x + x 2
8)
Vypočtěte obsah útvaru U, který je ohraničený parabolou y = − x 2 + 4 x − 3 a jejími tečnami v bodech T1 [0, − 3] a T2 [3, 0] .
9)
Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací rovinného obrazce omezeného čarami f : y = 8 − x2 g : y = x; x ≥ 0 h : y = 0 kolem osy x .
10) Útvar ohraničený křivkami x 2 + y 2 − 2 x = 0 a y = x rotuje kolem osy x . Určete objem V vzniklého tělesa. 11) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu a) rotačního kuželu, b) koule, c) kulové úseče. 12) Vypočtěte objem tělesa vytvořeného rotací rovinného obrazce omezeného čarami f : y = 4 − x2 g : y = 3x h: y = 0
1/33
1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 13) Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací lichoběžníku PQAB kolem osy x P[0, 0] Q[4, 0] A[0, 3] B[4, 7]
14) Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací grafu funkce f : y = tgx
X ∈ 0,
π
4
kolem osy x .
Teoretická část: primitivní funkce, princip integrace substituční metodou (vysvětlit na případu složené funkce, jejíž vnitřní složkou je lineární funkce), postup integrace metodou per – partes (vychází z derivace součinu funkcí), diferenciál proměnné, určitý integrál (elementární plocha, určitý integrál a jeho geometrický význam), Leibniz – Newtonova věta (otázka: Proč je v 2. předpokladu Leibniz – Newtonova věty otevřený interval?) obsahy rovinných obrazců a objemy rotačních těles. Poznámka: V 2. předpokladu Leibniz – Newtonovy věty vyžadujeme existenci primitivní funkce pro ∀x ∈ (a, b ) → definice primitivní funkce vychází z definice derivace funkce v daném bodě → derivace funkce v daném f ( x ) − f ( x0 ) bodě je definovaná jako limita lim = f ´( x ) → pojem limita je „vystavěn“ na okolí bodu, x → x0 x − x0 jenže krajní body uzavřeného intervalu a, b nemají okolí → interval musí být otevřený.
2/33
2 – Diferenciální počet, limita, derivace, užití diferenciálního počtu v praktických úlohách 1) Určete limitu funkce (rozkladem mnohočlenu na součin) x 2 + x − 12 x4 −1 3 x 2 + 11x + 6 x3 + 2x 2 − 4x − 8 lim lim a) lim 2 b) lim 3 c) d) x →3 2 x − x − 15 x → −1 x + 5 x 2 + 5 x + 1 x → −3 x 3 − 3 x 2 − 10 x + 24 x → 2 x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 Poznámka: K rozkladu výrazů na součin můžete využít Hornerovo schéma. (vhodným rozšířením lomeného výrazu) x−3 2− x+6 e) lim f) lim x →3 x → − 2 x +1 − 2 x+2
x2 + 7 − 4 g) lim 2 x →3 x − 5 x + 6
(použitím vhodných goniometrických vzorců) sin 2 x ⋅ cos x cos 2 x − sin 2 x + 1 i) lim j) lim π 1 + cos 2 x π cos x − sin x x→ x→
1 − cos 2 x + tg 2 x k) lim x →0 x ⋅ sin x 2 4 sin x tgx Poznámka: U příkladu l) si připomeňte, čemu se rovná lim a lim . x →0 x →0 x x 2)
h) lim 3 x →5
l)
lim x →0
x −1 x −1 x + sin x x + tgx
Urči směrnici tečny grafu funkce f : y = 2 sin x v bodech
π π b) B ; ? c) C ; ? 6 4 Poznámka: Geometrický význam derivace funkce v daném bodě.
a) A[0; ?]
π d) D ; ? 3
3)
Určete rovnici tečny grafu funkce v bodě dotyku T ; T ∈ f . sin x − cos x π f :y= ; T ; y0 sin x + cos x 4
4)
Napiš obecnou rovnici tečen grafu funkce f : y = 2 x 2 + x + 1 v průsečících grafu s osou x a y .
5)
Na grafu funkce f : y = 2 x 2 + x + 1 urči bod T tak, aby tečna v bodě T a) měla směrnici k = 5 , b) byla rovnoběžná s osou x , c) byla rovnoběžná s přímkou p : x + y − 2 = 0 .
6)
Vypočtěte 1. derivaci funkce f v bodě A . Určete, zda funkce v bodě A roste nebo klesá.
a)
f:
7)
Určete extrémy funkce f , monotónnost a průběh funkce
f: 8)
y = x 2 x + 3 , A[1; y 0 ] ∧ A ∈ f
b)
y = x3 + 6x 2 + 9x , x ∈ R
Užitím derivace urči intervaly monotónnosti funkce: x4 a) f : y = 1 + x 2 + 4 x b) g : y = + sin x , x ∈ 0, 2π 2
x 4 x3 + − 2. 4 3 10) Číslo 100 rozděl na dva sčítance tak, aby
9)
Určete průběh funkce f : y =
3/33
f:
4 − x 2 A[1; y 0 ] ∧ A ∈ f y= , 1+ x2
2 – Diferenciální počet, limita, derivace, užití diferenciálního počtu v praktických úlohách a) jejich součin byl maximální, b) součet jejich druhých mocnin byl minimální. 11) Urči rozměry válcové nádoby tak, aby při objemu 1 litr měla minimální povrch. 12) Do rotačního kužele o rozměrech r = 6cm , v = 3cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce.
Teoretická část: okolí bodu, prstenové okolí bodu, limita funkce, spojitost funkce, věta 1, věta 2 a jejich aplikace při výpočtech, věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu funkci a jejich aplikace při výpočtech, derivace funkce v bodě a její geometrický význam, derivace elementárních funkcí (vzorce), derivace složených funkcí – vysvětlit na konkrétních příkladech, průběh funkce.
4/33
3 – Analytická geometrie v prostoru 1)
Na přímce p určete body, které mají od bodu S vzdálenost d . x = 2 + 6t p: S [5; 3; 5] , d = 5 y=3
z = 1 + 8t ; t ∈ R 2)
Jsou dány body A[2; 1; 6] , B[0; − 1; − 6], C [− 1; 2; 0] . Napište parametrické rovnice roviny α = ABC a určete souřadnici z bodu M [− 2; 1; z ] tak, aby bod M ležel v rovině α .
3)
Určete čísla p, q tak, aby bod C ležel na přímce a = AB . A[0; 1; 0] , B[3; 2; − 1], C [ p; q; 1] .
4)
Určete vzájemnou polohu přímek p, q s parametrickými vyjádřeními. a)
p : x = 8 − 4t , y = 4 + 8t , z = −12t ; t ∈ R q : x = 3 + 3s, y = 1 − 6 s, z = −2 + 9 s; s ∈ R
b) p : x = 1 − t , y = 2 + t , z = −6 − 2t ; t ∈ R q : x = 4 + s, y = −1 − s, z = 2 s; s ∈ R
c)
p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 2 + 3s ; s ∈ R
d) p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 9 + 3s ; s ∈ R
5) Jsou dány body A[1; 1; 1] , B[5; 1; − 3] , C [2; 0; 2] . Napište obecnou rovnici roviny α = ABC . Poznámka: Užitím determinantu. 6)
Určete souřadnice bodu A´ , který je souměrný s bodem A podle roviny α . A[3; 0; 4] α : x − 2 y + 3z − 1 = 0
7)
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , velikost jeho podstavné hrany je 6 , výška jehlanu je 3 2 . Zvolte vhodně kartézskou soustavu souřadnic a vypočtěte resp. určete: a) odchylku přímek AV a BC . b) obecnou rovnici rovin α = BCV c) parametrické vyjádření p = AS cv d) průsečík přímky p s rovinou α .
8)
Vypočtěte vzdálenost bodu C od roviny α . α je rovina souměrnosti úsečky AB . A[2; 0; 6] , B[8; 6; − 4], C [0; 0; 0] .
9)
Určete vzájemnou polohu přímky p : x = 2t , y = 4 + t , z = −1; t ∈ R a roviny α dané obecnou rovnicí α : x − 2 y − 3z + 5 = 0 .
10) Určete průnik přímky p = AB s rovinami α , β . A[1; − 1; 3] , B[− 2; 3; − 4] a) α : x − y − z + 1 = 0 b) β : x = −3 + t − s; y = s; z = t ; t , s ∈ R 11) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p = AB , A[− 2; 0; − 1] , B[2; 1; 4] a roviny α = KLM , K [0; 0; 3] , L[− 2; − 1; 1] , M [0; 1; 4] . 12) Určete vzájemnou polohu rovin α , β , které jsou dány obecnými rovnicemi a : 2 x − y + 3 z + 5 = 0 β : − 4x + 2 y − 6z + 5 = 0 .
5/33
4 – Analytická geometrie v rovině
1)
Strany trojúhelníku ABC leží na přímkách a : x − 2 y + 4 = 0 b : 2 x + y + 3 = 0 c : 2 x − y − 7 = 0 . Určete souřadnice vrcholů A, B, C , velikost úhlu γ a rovnici výšky na stranu c .
2)
Napište obecnou rovnici přímky p , která prochází bodem A[− 6; 5] a je rovnoběžná s přímkou q : 5x − 2 y + 6 = 0 .
3)
Napište parametrické vyjádření přímky p procházející bodem A[1; 3] a průsečíkem přímek p P, u
( )
( )
a q Q, v , kde P[0; 1] , u = (1; 0 ) , Q[− 1; − 1] , v = (1; − 2) .
4)
Průsečíkem přímek p : 3x + y − 2 = 0 , q : x − y − 6 = 0 r : 2 x − y + 4 = 0 . Určete její obecnou rovnici.
veďte
rovnoběžku
s
přímkou
5)
Je dán trojúhelníku ABC ; A[1; − 5], B[6; 5], C [− 2; 1] . Napište obecné rovnice stran a, b parametrické rovnice těžnic. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů.
6)
Napište parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníku s vrcholy A[− 2; − 1], B[3; 0] , C [2; 4] . Určete jeho těžiště T jako průsečík dvou těžnic a ověřte, že jím prochází i třetí těžnice.
( ) ( )
Zjistěte vzájemnou polohu přímek p P, u a q Q, v . Jsou – li to různoběžky, určete jejich průsečík. 3 a) P[1; 2] , u = (2; − 3) , Q[0; 1] , v = − 1; b) P[3; 2] , u = (2; − 1) , Q[− 1; 1] , v = (1; 1) 2 3 1 c) P ; 1 , u = (− 1; 2) , Q[− 1; 6] , v = ; − 1 2 2 8) Napište rovnici kružnice, která má střed na přímce p : x + 3 y − 18 = 0 , poloměr r = 5 a prochází bodem A[6; 9] . 7)
9)
Určete charakteristické veličiny křivky K : x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 9 = 0 a napište rovnici tečny t v bodě T [− 1; 2] .
10) Určete souřadnice středu, délku poloos a excentricitu křivky dané rovnicí K : 28 x 2 − 36 y 2 − 224 x − 648 y − 3476 = 0
11) Určete křivku a její charakteristické veličiny. Napište rovnici tečny v bodě T . K : x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 25 = 0 T [x0 ;0] ∧ T ∈ k . 12) Určete, pro které hodnoty parametru k ∈R má daná přímka s kuželosečkou jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod. K : x 2 + y 2 + 2x = 0 p : y = kx − k . 13) Průměr parabolického zrcadla je 20 cm, hloubka také 20 cm. Určete polohu bodového zdroje tak, aby ze zrcadla vycházel svazek rovnoběžných paprsků. 14) Určete ohnisko paraboly, která prochází body A, C , jež jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníku a osa paraboly splývá s osou x . A[0, 0] , B[6, 0] . 15) Určete charakteristické veličiny křivky K : 9 x 2 + 25 y 2 − 54 x − 100 y − 44 = 0 a napište rovnici tečny v bodě T [x0 ; 5] ∧ T ∈ K Teoretická část: znát všechny potřebné vzorce – vzdálenost dvou bodů, odchylka dvou vektorů, planimetrické definice kuželoseček a jak vznikají na kuželové ploše, obecné a středové tvary rovnic kuželoseček, charakteristické veličiny a rovnice jejich tečen,
6/33
6 – Objemy a povrchy těles
1)
Vypočítej délky tělesových úhlopříček pravidelného šestibokého hranolu výšky 14cm s podstavnou hranou délky 10cm .
2)
Vypočtěte V pravidelného pětibokého jehlanu, znáte-li úhlopříčku podstavy u = 4cm a boční hranu s = 8cm .
3)
Do koule s povrchem S = 200 cm 2 je vepsán rotační kužel, jehož úhel ϕ při vrcholu je 60° . Určete V kužele.
4)
Pravidelný čtyřboký hranol má objem 64cm 3 , odchylka jeho tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 45° . Urči jeho povrch.
5)
Tělesová úhlopříčka kvádru je dlouhá 130 cm, obsahy tří stěn, které procházejí týmž vrcholem, jsou v poměru 3:2:1. Určete V a S kvádru a odchylky tělesové úhlopříčky od rovin stěn.
6)
Pravidelný čtyřboký jehlan má povrch S = 260 cm 2 . Stěnová výška u = 8cm . Vypočtěte odchylku boční hrany BV od podstavy a objem jehlanu.
7)
Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm . Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočítejte objem válce v litrech.
8)
Rozměry kvádru jsou v poměru 2 : 3 : 6 . Jeho tělesová úhlopříčka mé délku 14cm . Určete objem a povrch kvádru.
9)
Podstavou kolmého hranolu je trojúhelník ABC , jehož strany jsou a = 8cm , b = 15cm a γ = 60° . Výška hranolu v = AB . Vypočtěte objem a povrch.
10) Určete objem pravidelného čtyřstěnu, jehož obsah jedné stěny je 16 3 cm 2 . 11) Nakloníme – li o 30° nádobu tvaru polokoule, která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní 3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane? 12) Kolik m 3 zeminy je třeba přemístit při výkopu přímého, d = 170m dlouhého příkopu, jehož průřez má tvar rovnoramenného lichoběžníku o stranách: a = 150cm, b = 90cm, c = 80cm . 13) Do kulové plochy je vepsán rotační válec (na kulové ploše leží podstavné hrany válce). Poloměr podstavy válce je o 2cm a výška o 1cm menší než poloměr koule. Urči objem a povrch koule. 14) Vypočítejte objem pravidelného pětibokého jehlanu, mají-li podstavné a = 5,2cm a odchylka rovin bočních stěn a roviny podstavy je ϕ = 38°.
hrany
délku
15) Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec ABCD , jehož strana má délku a = 3cm . Vypočítejte objem hranolu, mají-li tělesové úhlopříčky od podstavné roviny odchylky 30° a 45° . 16) Rozvineme – li plášť rotačního kužele, jehož obsah pláště je S pl = 18π cm 2 , do rovin, dostaneme kruhovou výseč se středovým úhlem ϕ = 120° . Vypočítejte objem kužele.
7/33
6 – Stereometrie, polohové a metrické vztahy
1)
Sestrojte řez na krychli rovinou α = PQR .
2)
Sestrojte průsečnici q rovin α , β ; α = PQR , β = KLM . Obrázek viz. seminář.
3)
ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK
1) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku přímek: g) AF , BH a) AC , CH d) AF , CH b) AC , EC e) AE , BH h) DE , BH c) AG , BH i) AC , BH f) AS EG , S AB S BC 2) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete konstrukčně odchylku daných přímek. Velikost odchylky změřte úhloměrem. a) BH , DF b) AS BC , CH c) DH , BS GH 3) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm, v = 6cm . Vypočítejte odchylku přímek: a) AV , DV b) AV , CV c) AB, VS AB
d) BC , AV e) BD, AV f) AC , BV
g) AC , VS BC h) ASCV , CSAV i) ASCV , BSDV
4) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm, v = 6cm . Určete konstrukčně odchylku daných přímek. Určete konstrukčně odchylku daných přímek. a) AD, BV c) BD, CV b) CD, BS CV 5) Je dána krychle s hranou délky a. Určete odchylku a) dvou stěnových úhlopříček, b) dvou tělesových úhlopříček, c) stěnové a tělesové úhlopříčky. 6) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem jeho podstavy, bod P je středem hrany AV. Určete odchylku přímek. a) BC , SV c) AB, CV e) AD, CV b) BV , CP d) SV , BP 7) Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEA’B’C’D’E‘, jehož boční stěny jsou čtverce. Určete odchylku přímek a) AB, DD´ c) AB, C´E´ b) AB, CD´ d) BC´, DE´ (*) 8/33
6 – Stereometrie, polohové a metrické vztahy 8) Je dán pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA’B’C’D’E‘F‘;|AB| = a = 2,5 cm, |AA’| = b = 4 cm. Určete početně i konstrukčně odchylku přímek a) DE´, BD´ b) BC´, CF ´
ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY 1) Je dán kvádr ABCDEFGH; AB = a = 4,5 cm, BC = b = 3 cm, AE = c = 3,8 cm bod S je střed horní podstavy. Určete konstrukčně i početně odchylku přímky BS a rovin ABF, 2) Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV
BCG .
se středem podstavy S ,
AB = a = 3,5cm ,
VS = v = 6cm . Určete odchylku přímky CM (bod M je střed hrany AV) a roviny podstavy. Řešte konstrukčně i graficky. 3) Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD. Určete odchylku přímky, která obsahuje hranu čtyřstěnu, a roviny stěny čtyřstěnu, která tuto hranu neobsahuje. 4) Je dána krychle ABCDEFGH. Vypočítejte odchylku přímky od roviny: a) BH , ABC g) CE , CDH d) AS EG , BDH b) BH , BCF h) EC , AGH e) AS EG , CDH c) AG , BCG i) AC , EGS CD f) AS , BCF EG
VZDÁLENOSTI BODU OD PŘÍMKY A ROVINY 1) Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDA´B´C´D´ ; AB = a = 4cm, střed hrany AD´ . Vypočtěte vzdálenost bodu B od přímky AD , CM AC , C´D´ , A´C´ , AC´ ,
AA´ = v = 5,5cm . Bod M je
2) Určete vzdálenost bodu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV , je – li AB = a = 4cm , AV = b = 6cm . Řešte početně. 3) Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 5cm . Určete vzdálenost bodu E od roviny AFH . Řešte početně. 4) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV je délka podstavné hrany a, výška jehlanu je v. Určete vzdálenost bodu B od roviny b) CDV a) ACV 5) Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu jehlanu ABCDV je kosočtverec ABCD, AB = a = 12cm ,
< BAD = 60° . Délka boční hrany BV jehlanu je BV = b = 10cm . Vypočtěte vzdálenost jeho vrcholu V od roviny podstavy (jeho výšku). 6) Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 4cm ; bod M je středem hrany AB a bod N je další body hrany AB, pro který platí AN : BN = 3 : 1 . Určete vzdálenost bodu G od přímky b) DN (*)
a) HM
7) Je dána krychle ABCDEFGH, a = 4cm . Vypočítejte vzdálenost: a) bodu F od roviny BEH d) bodu E od roviny S EH S EF S AB b) bodu F od roviny BEG e) bodu S EF od roviny ABG c) bodu F od roviny BCS AE
f) bodu S EF od roviny ABS CG
8) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4cm, v = 6cm . Vypočítejte vzdálenost bodu od roviny: c) A, S AV S BV S CV a) S AV , ABC b) S AV , BCV
d) SVB , BCS AV 9/33
1)
2)
7 – Shodná a podobná zobrazení Je dána kružnice k , bod A a přímka p (viz obr.). Sestrojte rovnostranný trojúhelník tak, aby B ∈ k ∧ C ∈ p . Proveďte rozbor a konstrukci.
ELEMENTÁRNÍ
KONSTRUKCE PŘÍČEK
Jsou dány množiny K,L. Sestrojte všechny jejich příčky XY, které: Procházejí daným bodem O a jsou jím půleny Jsou kolmé na danou přímku o a jsou jí půleny Jsou rovnoběžné a shodné s danou úsečkou UV Mají od daného bodu S stejnou vzdálenost a platí: < XSY = α = 75° 5) Procházejí daným bodem O jsou jím děleny v poměru 3:5.
1) 2) 3) 4)
Za množiny K,L volte ke každému příkladu: K = přímka, L = přímka K = přímka, L = kružnice K= kružnice L = kružnice K = L = čtverec K =L = kružnice
3)
Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , je-li dáno: Těžnice AS a , AS a = 8cm, γ = 60 0 , c = 10cm .
4)
Je dána kružnice k , přímka p a bod O . Sestrojte rovnoběžník ABCD s průsečíkem úhlopříček O tak, aby AB ⊂ p ∧ C ∈ k ∧ D ∈ k . Proveďte rozbor a konstrukci. Rozmístění objektů volte jako na obrázku.
5)
Je dána úsečka
OP, OP = 4cm . Sestrojte kružnici k (O;2,5cm ) a
přímku p, p ⊥ OP ∧ P ∈ p . Dále sestrojte jeden bod M , pro který platí
OM = 3cm a < POM = 30° . Sestrojte všechny čtverce ABCD tak, aby platilo A ∈ k ∧ C ∈ p ∧ BD ⊂↔ PM . 6)
Je dán čtverec KLMN , KL = 6cm . Vně čtverce sestrojte bod A tak, aby platilo AM = 3cm ,
AL = 4cm . Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce KLMN . 7)
Jsou dány kružnice k a l . Jejich společným bodem A veďte společnou tětivu XY tak, aby byla bodem A půlena. Proveďte rozbor a konstrukci. Rozmístění objektů volte jako na obrázku.
8)
Bodem M, který leží uvnitř konvexního úhlu AVB , veďte přímku p protínající jeho ramena v bodech P, Q tak, že bod M je středem úsečky PQ . Poznámka pro vychytralé: Bod M volte tak, aby nenáležel ose úhlu AVB. Proveďte rozbor, postup konstrukce, konstrukci a diskusi.
9)
Kružnice k1 (O1 ;4cm ) , k1 (O2 ;2,5cm ) , O1O2 = 3cm se protínají ve dvou bodech. Označte T jeden z těchto průsečíků. Sestrojte rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby platilo A ∈ k1 , B ∈ k 2 a bod T byl těžištěm trojúhelníku ABC . Proveďte rozbor, postup konstrukce, konstrukci a diskusi.
10) Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC ; c = 6cm , vc = 10cm . Vepište do něj čtverec MNOP tak, aby MN ⊂ AB a vypočtěte jeho obsah. 10/33
11) Je dán čtverec
ABCD
7 – Shodná a podobná zobrazení (a = 6cm) . Uvnitř čtverce sestrojte bod
S tak, aby platilo
BS = 45mm, CS = 2,5cm . Narýsujte obraz čtverce ABCD ve stejnolehlosti se středem S
a
3 koeficientem − . 5 12) Ze dvou podobných trojúhelníků má jeden obvod 50cm , druhý má strany o 4; 7 a 9cm větší než první trojúhelník. Vypočtěte délky stran obou trojúhelníků. 13) Určete stejnolehlosti, ve kterých jsou „čárkované“ útvary obrazy „nečárkovaných“. 14) Je dán čtverec ABCD
( AB = 5cm) . Uvnitř čtverce zvolte
bod M, pro který platí: CM = 4cm; BM = 1,5cm . Sestrojte všechny úsečky XY tak, aby body X, Y na obvodu čtverce a aby dále platilo: MX : MY = 3 : 2 . 15) Z jaké výše nad zemským povrchem vidí letec povrch Země o rozloze 2 000 000 km 2 ? 16) Bodem M uvnitř daného úhlu AVB veďte přímku p tak, aby na ramena úhlu vyťala na přímce p úsečku XY , která je bodem M dělena v poměru 3 : 5 . Teoretická část: definice a vlastnosti všech shodných zobrazení (osová souměrnost, středová souměrnost, otočení, posunutí), stejnolehlost a podobnost (definice a vlastnosti).
11/33
8 – Množiny bodů daných vlastností
1) Je dána kružnice b(B; 2cm ) . Nalezněte množinu středů všech kružnic o poloměru 3cm, které mají s kružnicí b vnitřní dotyk. 2) Narýsujte úsečku KL délky 7cm. Sestrojte množinu vrcholů M všech takových trojúhelníků KLM , jejichž obsah je 21cm2. 3) Narýsujte kružnici l (S ; 3cm ) a zvolte na ní bod L . Sestrojte množinu středů všech tětiv kružnice l , jejichž jedním krajním bodem je bod L . 4) Najdi množinu všech bodů, které jsou středy tětiv dané kružnice k kolmých k dané přímce p . 5) Je dána kružnice k (M ; 3cm ) . Zvolte na této kružnici bod L . Sestrojte množinu středů všech kružnic, jež se mají s kružnicí k vnitřní dotyk v bodě L . 6) Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(O; 2,5cm), k2(O; 5,5cm) a přímka p, která má od bodu O vzdálenost 32 mm. Sestrojte kružnici h, která se dotýká přímky p a má s kružnicemi k1, k2 vnitřní dotyk. 7) Jsou dány dvě rovnoběžky p, q vzdálené 5 cm a přímka r, která je protíná. Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří přímek p, q, r. 8) Je dána kružnice k (O; 2cm) a bod X tak, že OX = 3,5 cm. Sestrojte kružnici h o poloměru 3 cm, která prochází bodem X a má s kružnici k vnitřní dotyk. 9) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , je – li dána strana AB ; AB = 8cm ; úhel γ = 60° ; vc = 5cm . 10) Je dána těžnice AS a v trojúhelníku ABC ; AS a = 8 cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , znáteli dále úhel χ = 60 o a c = 8 cm . 11) Sestrojte trojúhelník ABC , je – li dáno a = 7 cm , t a = 6 cm , t b = 4,5 cm . 12) V trojúhelníku ABC je dáno: b, va , r , kde r je poloměr kružnice vepsané.Proveďte rozbor úlohy. 13) Je dána úsečka AB , AB = 6cm . Sestrojte všechny trojúhelníky ABC , pro které je úsečka AB stranou c a pro které platí: vc = 2 cm , r = 4 cm . Proveďte rozbor, postup konstrukce, konstrukci a diskusi. 14) V lichoběžníku ABCD (AB CD ) je dáno: b, v, e, f . Proveďte rozbor úlohy. 15) Sestrojte rovnoběžník ABCD , je – li dáno: a = 4 cm , e = 8 cm , , ω = 70° . Teoretická část: elementární množiny bodů daných vlastností (ekvidistanta přímky, ekvidistanta kružnice, osa úsečky, Thaletova kružnice, atd.), polohové, nepolohové konstrukční úlohy a jejich počet řešení, základní konstrukce (osa úsečky, osa úhlu, přenesení úhlu na polopřímku, graficky součet a rozdíl úhlů, tečna ke kružnici), konstrukce trojúhelníků podle známých vět (sss, usu, sus, ssu).
12/33
9 –Aritmetická a geometrická posloupnost
ARITMETICKÁ
POSLOUPNOST
1) Rozhodněte, která z čísel 71, 100 jsou členy aritmetické posloupnosti (an )n=1 , v níž je a1 = 10 a d = 4,5 . ∞
2) Vypište prvních osm členů aritmetické posloupnosti (an )n=1 , ve které platí: ∞
a) a1 = 4 , d = −1 , b) a5 = 6 , d = 2 , c) a5 = 7 , a9 = 11 . 3) V aritmetické posloupnosti platí: a 2 − a3 + a5 = 20 , a1 + a 6 = 38 . Určete d , a1 , a12 , s12 4) Dokažte, že v libovolné aritmetické posloupnosti je a n =
a n−k + an +k , kde k ∈ N ∧ k < n . 2
5) Aritmetická posloupnost má osm členů. Součet prostředních je 41, součin krajních je 114. Určete tuto posloupnost. 6) V aritmetické posloupnosti je a1 = 2 a d = 4 . Kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby součet byl větší než 250? 7) V rostoucí aritmetické posloupnosti platí: a1 + a 2 = 4, a1 + a 2 = 10 . Určete diferenci d, a1 a s10 . 2
2
8) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obsah trojúhelníku je 6m 2 . Určete strany tohoto trojúhelníku. 9) Rozměry kvádru tvoří aritmetickou posloupnost. Povrch kvádru je 334 cm2 a součet všech hran kvádru je 96 cm. Určete rozměry kvádru. 10) Kolik členů posloupnosti (n )n=1 je alespoň třeba vzít, aby jejich součet byl větší než 210? ∞
11) Najděte aritmetickou posloupnost, pro kterou platí: Pro každé n ∈ N je součet jejích prvních n členů roven trojnásobku druhé mocniny čísla n. 12) Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že každé horní vrstvy zapadají do mezer dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou – li v nejvyšší vrstvě dvě roury? Kolik rour je v nejnižší vrstvě? 13) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin 7500. Určete tato čísla. 14) Které členy aritmetické posloupnosti (an )n=1 , a n = 4n + 13 a (bn )n=1 , bn = 5n + 11 jsou si rovny? Určete součet prvního sta sobě rovných členů. ∞
∞
15) Buduje se hlediště letního kina přibližně pro 1200 diváků. Do první řady je plánováno 40 sedadel., do každé následující řady o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? 16) Mezi kořeny kvadratické rovnice x 2 − 10 x + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti. 17) Je dána konečná posloupnost (ak )k =1 s prvním členem a1 = 1 a posledním členem a n = 31 . Určete všechny ostatní členy, má – li jejich součet být čtyřikrát větší než součet dvou největších z nich. n
18) Určete reálné číslo x tak, aby čísla a1 , a2 , a3 tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti. a1 = x 2 + x a2 = x 2 + 4 x + 4 a3 = 16
13/33
9 –Aritmetická a geometrická posloupnost
GEOMETRICKÁ
POSLOUPNOST
19) Kvádr, jehož 3 hrany tvoří geometrickou posloupnost, má povrch S = 78 cm 2 . Součet hran, které jdou jedním vrcholem, je 13 cm . Vypočtěte objem kvádru. 20) Zjistěte, která z čísel 18, 12, 6, 0, -8 jsou členy geometrické posloupnosti 2 a1 = 27, q = − . 3 21) Dokažte, že čísla
(an )∞n=1 ,
v níž je
5 − 2 , 3 , 5 + 2 jsou prvními třemi členy jisté geometrické posloupnosti.
22) Dokažte, že posloupnosti ∞
2 a) b) 2 n ⋅ 3 2−n n (− 2 ) n=1 jsou geometrické. Vypočtěte jejich kvocienty a prvních pět členů.
(
)
∞
n =1
23) Určete první dva členy geometrické posloupnosti (an )n=1 , v níž je a3 = − 3 , a 4 = 10 . ∞
24) V geometrické posloupnosti (an )n=1 platí: a1 + a3 = 5 , a 2 + a 4 = 10 . Určete a1 a q . ∞
25) Nejděte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti (an )n=1 , v níž je a1 = −2 , a 2 = 4 . ∞
26) Přičteme – li k číslům 5, 17, 101 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete a4 a s 4 . 27) Mezi kořeny rovnice 2 x 2 + 17 x + 8 = 0 vložte tři čísla tak, aby se získanými kořeny vzniklo pět členů geometrické posloupnost. 28) Určete kvocient geometrické posloupnosti dané vzorcem pro n-tý člen. a n = 4 ⋅ (3x − 5) . 2n
29) Tvoří – li kladná reálná čísla a1 , a2 , a3 tři následující členy geometrické posloupnosti, potom jejich dekadické logaritmy tři následující členy aritmetické posloupnosti. Dokažte. 30) Určete, zda číslo 1458 je členem geometrické posloupnosti (an )n=1 : 2, 6, 18, ∞
31) Určete všechny geometrické posloupnosti, u nichž součet prvního a čtvrtého členu je 18, a součet druhého a třetího členu je 12. 32) Mezi čísla 2 a 486 vložte 3 čísla tak, aby s danými čísly tvořila GP. 33) V geometrické posloupnosti (an )n=1 platí: ∞
a1 + a 2 + a3 = 19 a1 ⋅ a 2 ⋅ a3 = 216 Určete hledanou posloupnost vztahem pro n – tý člen.
34) Určete 3 čísla, která jsou po sobě jdoucími členy geometrické posloupnosti a jejichž dekadické logaritmy jsou po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti s diferencí d = 2 a součtem 15. 35) Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníka, víte – li, že velikosti jeho stran tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. 36) Mezi kořeny kvadratické rovnice x 2 − 10 x + 16 = 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti.
14/33
9 –Aritmetická a geometrická posloupnost 37) Určete čtyři čísla tak, aby první tři tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti s diferencí 1 d = −3 a poslední tři tvořila tři následující členy geometrické posloupnosti s kvocientem q = . 2
38) Součet tří po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 9. První číslo necháme, druhé zvětšíme o 12 a třetí číslo zmenšíme o tři. Dostaneme tak tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete původní trojici čísel a proveďte zkoušku. 39) Tři čísla tvoří po sobě následující členy aritmetické posloupnosti a součet jejich druhých mocnin je 126. Jestliže první číslo zmenšíme třikrát, druhé číslo necháme a třetí číslo zvětšíme čtyřikrát, dostaneme tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete tuto trojici a proveďte zkoušku. 40) Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezery dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 102 roury, má-li nejhořejší vrstva 3 roury? Kolik rour má vrstva nejspodnější? 41) Řešte v R. n
∞ log x x 2 log x − 3 x −1 = = ∑ ∑ log x − 7 12 a) n =1 2 x − 3 b) n =1 2 − log x Teoretická část: Definice aritmetické a geometrické posloupnosti a všech souvisejících pojmů. ∞
n
15/33
10 -Trigonometrie 1) V trojúhelníku ABC je dáno: va = 3,5 cm ; γ = 38o ; β = 76o .Určete velikosti stran a úhlů. Určete obsah trojúhelníku ABC . 2) V kosočtverci je dána velikost strany a = 17 cm úhlopříček a jeho obsah.
a velikost úhlu α = 36° . Urči velikost jeho
3) Jakou šířku má příkop, jehož řezem je rovnoramenný lichoběžník? Stěny příkopu mají sklon 60° , šířka dna je 4 metry a hloubka příkopu je 2 metry. 4) V trojúhelníku ABC je dáno: c = 18 cm ; vc = 16 cm ; β = 16 o 20´ . Určete velikosti stran, úhlů, obsah trojúhelníka ABC. 5) Ze stanoviště 15 metrů nad hladinou vody vidíme vrchol hory ve výškovém úhlu 28°30´ a obraz jejího vrcholu ve vodě v hloubkovém úhlu 42°30´ . Urči výšku hory. 6) V trojúhelníku ABC je dáno: a = 32,5 cm ; c = 47,3 cm ; vc = 26,8 cm . Určete velikosti stran, úhlů, obsah trojúhelníka ABC . 7) Z vrcholu A skály ve výšce 60m je vidět vrchol V stožáru pod hloubkovým úhlem α = 42° a patu P stožáru pod hloubkovým úhlem β = 55° . Vypočítejte výšku stožáru. Proveďte náčrtek celé situace a výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa. 8) Na vrcholu hory stojí věž vysoká 30 metrů. Křižovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu věže v hloubkovém úhlu 33° a od její paty v hloubkovém úhlu 30° . Jak vysoko je vrchol hory nad křižovatkou? 9) Urči délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC , je-li dáno: a) a = 6,5 cm , c = 3,5 cm , γ = 55°
b) b = 10 cm , c = 22 cm , β = 21°30´
c) b = 6,3 cm , c = 9,2 cm , β = 35°
d) a = 43 mm , b = 50 mm , γ = 55°
e) S = 160 m 2 , a = 25 m , b = 32 m
f) a = 15 cm , β = 23° , r = 9 cm
10) Ze dvou míst A, B , od sebe vzdálených 3100 m, bylo pozorováno letadlo nad spojnicí AB ve výškových úhlech α = 78 o 40´ , β = 63o 50´ . Jak vysoko bylo letadlo? 11) Vypočítej vzdálenost dvou bodů A, B na jednom břehu řeky, jestliže na druhém břehu řeky byla změřena délka CD = 2 km a teodolitem byly změřeny velikosti úhlů < BDC = 53° , < BCD = 81° ,
< ADC = 87° , < ACD = 42° . 12) Ze stanice vyjedou současně dva vlaky po přímých trasách, které svírají úhel α = 156°30´, rychlostmi m m v1 = 13 a v2 = 14,5 . Jak daleko jsou od sebe po čase t = 5,5 min ? s s Teoretická část: Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku (Pythagorova věta, Euklidovy věty, goniometrické funkce ostrého úhlu, obvod a obsah trojúhelníku) Trigonometrie obecného trojúhelníku (sinová a kosinová věta), Další trigonometrické vzorce (Heronův vzorec, ...) Je-li trojúhelník určen podle věty sss, lze použít Heronův vzorec: 1 S = s (s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c ) , kde s = ⋅ (a + b + c ) (poloviční obvod). 2 Dále platí: a ⋅b ⋅c S= , kde r je poloměr kružnice opsané, S = s ⋅ ρ , kde ρ je poloměr kružnice vepsané. 4r 16/33
11 - Goniometrické funkce, rovnice a vztahy 1) Velikost úhlu v míře stupňové vyjádři v míře obloukové: a) 9° b) 20° c) 67°30´
d) 105°
2) Velikost úhlu v míře obloukové vyjádři v máře stupňové: 2 3 5 π b) π c) π a) 9 10 8
d)
11 π 12
3) Je dána jedna z velikostí orientovaného úhlu. Urči jeho základní velikost a pak zapiš všechny jeho velikosti: 21 17 c) d) − π π a) 2435° b) −144° 4 3 4) Vypočítej bez použití kalkulačky: a) 3 ⋅ cos
π
4
− 3 ⋅ sin
π
4
+ 2 ⋅ cos
π
3
− sin
π
b) 2 ⋅ cos 90° − 3 ⋅ sin 180° − 6 ⋅ sin 270°
6
cot g
c) tg 30° ⋅ cot g 30° − sin 30° ⋅ tg 60°
π
d)
3
− tg
tgπ − cot g
π 4
π
4
2 sin x + cos x 3 3 5) Je dáno tgx = , x ∈ π , π . Bez výpočtu hodnoty x urči 4 cos x − 2 sin x 2 6) Zjednodušte výraz a udejte podmínky tg 2α ⋅ tgα sin x 1 + cos x a) + b) tg 2α − tgα 1 + cos x sin x
c)
1 tgx − 1 + cot gx 1 + tgx
d)
sin x + sin 2 x cos 3 x − cos x : 1 + cos x + cos 2 x sin 3 x + sin x
3 sin α − sin 3α 3 cos α + cos 3α
7) Zjednodušte výraz a udejte podmínky
3 2 8) Vypočtěte sin ( x − y ) + cos( x + y ) , je-li cos x = − ∧ x ∈ (900°, 990°); sin y = ∧ y ∈ (360°, 450° ) 5 2 9) Vypočítejte sin x , cos x , cot g x je-li tgx = −
5 π ; x ∈ ; π . ´ 12 2
10) Řešte v R rovnici a) cos 6 x = −
3 π b) cot g − x = 6 3
3 2
c)
1 5 π cos 2 x + = − 3 5 5
11) Řešte v R rovnici sin 3 x − sin x = sin 2 x 12) Řešte v R rovnici a) 3 cos 2 x = 2 sin x cos x 13) Řešte v R rovnici sin x = 14) Řešte v 0, 2π
b)
3tg 2 x + 2tgx − 3 = 0
2 − cos 2 x 3
2 sin 2 x + 6 cos 2 x = 7 sin x cos x
Teoretická část: Orientovaný úhel – velikost úhlu ve stupňové i obloukové míře, Definice goniometrických funkcí, jejich vlastnosti, hodnoty a grafy, Vztahy mezi goniometrickými funkcemi (vzorce), Goniometrické rovnice. 17/33
c) 12 sin 4 x + sin 2 x = 1
12 - Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice 1) Rozhodni, která čísla jsou a) větší, b) menší než číslo 1: 2
4
3
3 3 a) 4
6 5 b) 5
3 2 c) 7
4 d) 5
−
2 3
2) Napiš podmínku pro parametr a , je-li: 3
4
2
a) a 5 < a 5
−3
3
b) a 5 > a 5
6
c) a 5 > a 5
a −3 y= . Urči, pro které hodnoty parametru a je funkce f rostoucí. a +5 x
3) Je dána funkce f : 4) Načrtni graf funkce: x
a)
f:
1 y = −1 2
b)
5) Vypočítej: log 3 27 − log 3 1 + log 3
f:
1 y= 2
x −1
1 − log 3 3 . 27
6) Logaritmuj výrazy při základu a : a) x = a 3b c 2
b) y =
ab 4 c6
c) z = 2b cd
7) Urči definiční obory funkcí:
(
−5 b) y = log x −3
a) y = ln 3 x + 1
c) y = log 1 1 − x 2
)
2
y = log a +1 x . Urči, pro které hodnoty parametru a je funkce f klesající.
8) Je dána funkce f :
a
9) Načrtni graf funkce: a) f : y = log 2 x + 1 2 x +1
8 x −1 125 = 5 512 10) Řešte v R 11) Řešte v R 2 12) Řešte v R 9
x −4 3 x −1
=
b) 6− 2 x 2
( 2)
21) Řešte v R log 4 (3x + 2) − 2 log 4 x = 2 − log 4 8
log 3 x − 5 + log 7 x − 3 = 1 + log
8 x−2
2
y = log 2 ( x + 1)
22) Řešte v R
2 −3 x
=3
f:
3
5 3− 2 x 9 x −5 13) Řešte v R 1 − = 9 4 1 1 14) Řešte v R − 3 ⋅ 4 x + 6 ⋅ 4 x +1 = ⋅ 9 x +1 + ⋅ 9 x + 2 2 3 15) Řešte v R 5 x ⋅ 41− x − 4 x ⋅ 51− x = 3,05 16) Řešte v R 2 3 x ⋅ 7 x − 2 = 4 x +1 x+2 x +1 17) Řešte v R 3 + 9 = 810
11 10
23) Řešte v R 1 5 + =3 1 + log x 3 − log x Teoretická část: Exponenciální a logaritmické funkce – základní vlastnosti, průběhy, grafy, definiční obory. Definice logaritmu, věty o logaritmovaní. Exponenciální a logaritmické rovnice.
18) Řešte v R x (3+ 2⋅log x ) = 100 ⋅ x (2+ log x ) 1 − log x 3 − log x + =1 x x log 1 + log 19) Řešte v R 20) Řešte v R 2 ⋅ log 3 x 2 + 3 ⋅ log 4 x 3 = 4 ⋅ log 2 x 2 + 4 ⋅ log 6 x
18/33
13 – Racionální (lineární lomená funkce 1) Určete koeficient k pro funkci f : y = 2) Načrtněte graf funkce g : y = menší než
k , jestliže její graf prochází bodem [− 3; 6] . x
4 . Stanovte intervaly pro x ∈ D( f ) , ve kterých jsou funkční hodnoty x
1 . 2
3) Je dána funkce h :
y=
a) h(x ) = 0
−3 1 , x ∈ − ; 8 . Rozhodněte, zda existuje x ∈ D( f ) , pro něž platí: 2 x b) h(x ) ≥ 0 c) h( x ) = −6 d) h( x ) = −8
4) V závodě vyrobili za 3 dny nepřetržitého provozu (tj. po 24 hodin) na 8 strojích 480 výrobků. Za kolik dní vyrobí při 16 pracovních hodinách (při stejném výkonu) na 6 strojích 720 výrobků? 5) Silnice stejnoměrně klesá. Určete početně i graficky výšku bodu ve vzdálenosti 15 km, má-li bod na 5. kilometru výšku 150 m a bod na 9. kilometru 126 m. Určete klesání silnice v ‰. (Vzdálenosti měříme z mapy vodorovně.) 6) Ozubené kolo o průměru d mm vykoná n otáček za minutu a zapadá do jiného ozubeného kola o průměru 400 mm, které se otočí za minutu desetkrát. nalezněte funkci, jež udává závislost n na d . 7) Určete D( f ) , H ( f ) a načrtněte graf. f :y= a)
2x −1 x +1
f :y= b)
2x +1 3− x
f :y= c)
x+3 1− 2x
8) Upravte funkční předpis dané funkce 3x + 3 f :y= na tvar, z něhož určíte: 2x − 4 a) D( f ), H ( f ) , b) souřadnice středu hyperboly, c) koeficient nepřímé úměrnosti, d) průsečíky hyperboly s oběma osami, e) rovnice asymptot. 9) Sestrojte grafy funkcí do téže kartézské soustavy souřadnic a rozlište je různými barvami: − 1,5 x + 3,5 − 1,5 x + 3,5 a) f : y = b) g : y = x −3 x −3 10) Je dána funkce f :
y=
x +1 . Urči D( f ) , H ( f ) , monotónnost, ohraničenost, paritu (sudost, lichost) x−2
a načrtni graf funkce. 11) Pro velikosti hran kvádru platí: a : b : c = 4 : 6 : 9 . Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu kvádru na velikosti hrany b a načrtněte její graf. Určete objem, je-li nejkratší hrana dlouhá 2cm. Určete délku největší hrany je-li objem kvádru 64 cm 3 . 12) Mostní oblouk má tvar paraboly. Výška vrcholu nad vozovkou je 8 m a nad hladinou řeky 12 m. Délka vozovky uvnitř oblouku je 60m. Jaké rozpětí bude mít oblouk na hladině řeky. Teoretická část: Nepřímá úměrnost – definice, základní vlastnosti, průběh funkce, graf, definiční obor. Slovní úlohy (na nepřímou úměrnost, trojčlenka). Lineární lomená funkce - definice, základní vlastnosti, průběh funkce, graf, definiční obor. 19/33
14 – Soustavy rovnic a nerovnic 11) Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem?
1) V oboru R 2 řeš soustavu rovnic: − (2 x + 1) − ( x − y ) = 3x + y + 5 1 x + 2 y = ( y + 2 x ) − 1,5 2 2) Napište obecnou rovnici roviny α , která prochází body A, B, C . (bez použití A[2; 0; − 3], B[0; 2; − 3], determinantu) C [2; − 3; 0] .
13) Obvod obdélníku měří 60 m. Rozdíl čtverců sestrojených nad dvěma sousedními stranami je 300 m2. Určete délky stran obdélníku.
3) Řeš soustavu rovnic: x + 2y − z = 2 2x + y + z = 7 x+ y+z =6
14) Řešte graficky soustavu nerovnic: − 2x + y ≤ 6 4x − 2 y ≥ 2
4) V oboru R 2 řeš soustavu rovnic: 5 x 2 − x − y 2 = 44 y − 2x = 8 5) Určete vzájemnou a kuželosečky k . p : 2x − y − 6 = 0
12) Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny, Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Chlapci nejprve pracují společně 20 min, potom Pavel odejde. Jak dlouho ještě bude muset Petr pracovat, aby zbytek hromady uhlí sklidil?
polohu
přímky
p
k : x 2 + y 2 − 4x − 5 y −1 = 0 6) Řešte soustavu v R: x 2 + 4 y 2 − 2 x = 15
15) Z 30 dotázaných studentů hovoří anglicky nebo německy 28 studentů. 20 studentů ovládá nejvýše jeden z těchto jazyků. Anglicky mluví o 6 studentů výše než německy. Kolik studentů mluví a) jenom anglicky, b) anglicky i německy. K řešení využijte Vennových diagramů. 16) Žáci 4.E navštěvují kroužky volejbalu a florbalu. Z celkového počtu 28 žáků navštěvuje právě 18 žáků alespoň jeden z těchto kroužků. Žáků navštěvující oba kroužky je o 5 méně než žáků, kteří navštěvují pouze kroužek volejbalu a o 2 více než žáků, kteří navštěvují pouze florbal. Kolik žáků navštěvuje: a) Kroužek volejbalu, b) kroužek florbalu, c) oba kroužky ? K řešení využijte Vennových diagramů.
x − y +1 = 0 7) Řešte soustavu v R: 1 1 1 + + =9 x y z 2 3 4 − + = 11 x y z 4 3 2 + − =9 x y z
8) Otec je o 8 let starší, než je trojnásobek stáří syna. Za dvacet let bude otec dvakrát tak starý, než jeho syn. Jak starý je otec a jak starý je jeho syn? 9) Určete průnik přímek p, q p : x = 3- t q : x = 2+s y = -2 + 2t t∈R y = 1- s z = 3t
s∈R
z = 9 + 3s
10) Součet dvou přirozených čísel je 50, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 18. Určete tato dvě čísla.
20/33
15 – Funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 1) Řešte v R x + x + 5 < 8 2) Řešte v R 2 x − 4 − x + 3 = 2 − x − 5 3) Řešte v R.
1 1 x + = x − 2 x + 2 48
4) Řešte v R x 2 + 2 x − 1 − x = 1 5) Řešte v R 3x − 2 − 5 = x + 1 6) Řešte v R 3x − 1 < x 7) Řešte v R 2 x + 1 − 3 − x ≥ x 8) Řešte v R x 2 + 4 x − 6 ≤ 3 x 9) Řešte v R
x+3 x +1
≥2
10) Řešte graficky tyto rovnice (nerovnice) s neznámou x ∈ R a) x − 1 = − x − 1 + 1 b) x − 1 ≥ − x − 1 + 1 11) Sestrojte graf funkce f . f : y = x − 3 − 5 − 2 x + 3(1 − x )
x ∈ 0; 5
12) Načrtněte grafy následujících funkcí; z grafů pak popište, ve kterých intervalech jsou funkce rostoucí resp. klesající. a) f : y = 1 − x − 2 ⋅ x + 2 − x b) f : y = x − 3 − 5 − 2 x + 3 ⋅ 1 − x 13) Sestrojte graf funkce f . f : y = ( x − 3) − 5 − 2 x + 31 − x 14) Sestrojte graf funkce f . f : y =
1 2 x − 2 x +1 2
x ∈ 0; 5 x∈R
Teoretická část: Definice absolutní hodnoty, její geometrický význam, vlastnosti. Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami. Průběhy funkcí s absolutními hodnotami.
21/33
17 – Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli a odmocněnci 1) V následujících úlohách výrazy zjednodušte a udejte podmínky, za kterých mají smysl:
(x + y )3 ⋅ (x + y )4 : (x + y )2 (x + y )5 1
13 2 ab
12 12 + 12 18 − 2 27 − 32
3a 2 b 3 2c 3b 2 6a 3 c 3 ⋅ ⋅ 4 4c 5 9a 4 b
1
a −1
x ⋅ 3 x ⋅ 4 x3 ⋅ 6 x5
2 3 : b −1a 3
x⋅ x 12
1 2
cx 3 ⋅ c 2 x 12 c 4 2) Upravte a zjednodušte V = : 2⋅ x 2 −2 ⋅ cx cx 4
3) Využijte vlastnosti funkce 5
5
+
a +1
5
y = xn ; n ∈ N
a −1 1
a 2 −1
2
1
2 3 : b −1a 3
2
k porovnání čísel
1 1 a = − ; b = − 3 4
10
−3
2 12 −1 a ⋅ a a ⋅ 3 a 4) Upravte a zjednodušte V = 3 : 5 a a
−1
−1 1 − 2x − 3x − 2
x − 1 = x + 1
0
1 5 −5 ⋅ 0,1−4 + − 5 −1 7 7) Upravte číselný výraz: −4 −1 (− 2)−2 ⋅ − 1 + − 1 2 2 8) Upravte: −3
2
(3zy )4 1
1 1 1 50 c = − ; d = − a čísel k = ; l = (0,25) 3 4 32
1 x +1 ⋅ 6) Upravte výraz: x − +4 x− x x − 1
2 3
13 2 ab
6
1 1 − 3x 3 x3 5) Upravte a zjednodušte V = 2 − 1 4 1 x 3 − 2 x −3 x 3 − x 3
[3(z ) y ]
−2
a 5b −4 a −2 b −3 a) −3 2 : 4 −5 c d c d Teoretická část: Pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami.
22/33
(x + x ) + (x − x ) (x − x ) −1 −3
b)
2
−1 −3
− 2 −3
6
a čísel
17 – Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli a odmocněnci 1) Řešte v R a)
5 − x 1 + 4x + ≤1 2x − 2 2x + 2
x 2 + 5x + 4 b) 2 <0 x − 5x − 6
c)
x −1 x − 2 − ≥1 x + 2 3− x
d)
2) Řešte v R
v 3 − ≤1 v − 2 v +1
2 1 x−4 − − ≤ 0. x − 4 x ( x − 2 ) x( x + 2 ) 2
3) Řešte v R rovnice e)
1 − x = 6 − x − − 5 − 2x
f) 2
x+2 x−3 +3 =5 x−3 x+2
g) x 2 − 4 x + 6 = 2 x 2 − 8 x + 12
h)
x−2 + 4−x = 6−x
i)
52 − 3 5 x + 6 = 2 10
j)
x 2 + 4 x + x 2 + 4 x + 16 = 2 x 2 + 4 x + 16
k)
5x + 2x − 1 =
3x + 1 2
l)
x2 − 2x + 3 + x2 + 2x + 4
23/33
(
x2 + 2x + 4 5 = x2 − 2x + 3 2
)
18 – Lineární a kvadratická rovnice a nerovnice 1) V oboru reálných čísel řeš rovnici: 7x + 2 9 10 x − 4 1 − a) − = 3 x − 2 4 − 6 x 9 x − 6 16
b)
(3 x − 1)(1 − x ) = (x − 1)(3 − x ) − 2 x 2 − 2 x
2) Na dráze 240 m vykonalo přední kolo vozu o 20 otáček více než kolo zadní. Obvod zadního kola je o jeden metr větší než obvod předního. Určete velikost obvodu obou kol. 3) Tyč má být rozříznuta na čtyři části tak, že délka první části má být rovna 1 / 7 délky celé tyče, délka druhé části třetině délky celé tyče a další dvě části mají mít stejnou délku 55 cm. Urči délku celé tyče. (Šířku řezů zanedbej.) 4) Jirka vyjel na chatu o 15 minut později než jeho otec. Jirka jede průměrnou rychlostí 55 km/h, jeho otec průměrnou rychlostí 48 km/h. Jak je vzdálená chata, dojedou-li oba současně? m∈R
5) Určete, pro které
(5m + 1)x
2
6) Řešte v R:
+ (7 m + 3)x + 3m = 0
(x
2
má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny
)
(
2
x1 ,
x2 .
)
− 5 x + 2 + 6 x 2 − 5 x + 1 + 14 = 0
7) V oboru reálných čísel řeš rovnici: 8) Určete D( f ) obor funkce f :
x+4 x+5 =1 − x −4 x −5
16 − x 2 f : y = log 2 x + 4 x − 6 + 2 x − 7 x + 12
(
2
)
9) Zapište alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čtyřikrát větší než kořeny rovnice x 2 − 9 x + 15 = 0 aniž ji řešíte. 10) Zapište alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla převrácená ke kořenům rovnice x 2 − 7 x − 12 = 0 aniž ji řešíte. 11) Je dána kvadratická rovnice 2 x 2 − 4 x − 35 = −5 . Aniž byste tuto kvadratickou rovnici řešili, sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou druhými mocninami kořenů dané rovnice. Danou i sestavenou rovnici vyřešte. 12) V rovnici ax 2 − 8 x + 4 určete a tak, aby jedním kořenem bylo číslo x1 =
2 , aniž rovnici řešíte. 3
13) V rovnici 4 x 2 − 8 x + c = 0 určete c tak, aby pro kořeny x1 , x2 dané rovnice platilo: x1 = x2 + 1 . 14) Označme n přirozené číslo. Sečteme-li druhou mocninu čísla n , druhou mocninu čísla o jedna většího než n a druhou mocninu čísla o dvě menšího než n , dostaneme 230. Urči číslo n . 15) V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna o 1 m kratší než přepona, druhá odvěsna je o 2 m kratší než přepona. Určete délky všech stran trojúhelníku. Teoretická část: Lineární rovnice – definice, vlastnosti, graf. Řešení lineárních rovnic. Ekvivalentní a důsledkové úpravy. Kvadratická rovnice - definice, vlastnosti, graf. Typy kvadratických rovnic. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice v normovaném tvaru a Vietovy vztahy.
24/33
19 – Komplexní čísla 1) Vypočítejte z 10 , je-li z =
1+ i 3 1− i 3
. Užijte Moivrovu větu.
2) Umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru 3) Dokažte, že platí:
(
)
(
)
8
3 −i .
5 + 2i (1 + i ) =2 i 5−2 2
4) Zapište v goniometrickém tvaru komplexní číslo z z =
7 − i 8 + i 5 − 2i − + . 2 − i 1 + 2i i
5) Užitím Moivrovy věty umocněte a výsledek převeďte do algebraického tvaru:
(
a) z = 5 3 − 5i 6) Vypočítejte z =
π π b) z = cos + i sin 18 18
)
7
6
− 2 + 3i 1 − 3i − 3 − 2i 5 + 2i
7) Řešte v C z = x + iy z 2 = z 8) Řešte v C: a) x 2 + (i − 6 )x + 8 − 4i = 0 c)
(z + 1)3 =
b) x 2 + (6 − i )x − 4i + 8 = 0
3 1 − i 2 2
e) x 2 − 6ix − 9 = 0
d)
(z − 2i )3 = −i
f)
x(3 − x ) = 3 − i
9) Je dána kvadratická rovnice x 2 + ix − 1 = 0 . Užitím vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice vypočítejte a) součet převrácených hodnot kořenů, b) součet druhých mocnin kořenů. c) Vypočítejte dané rovnice a ověřte správnost výsledků a), b). 10) Řešte v C . Výsledek zapište nejprve v goniometrickém tvaru, pak v algebraickém tvaru. Kořeny znázorněte v Gaussově rovině. a) x 3 − 64i = 0 b) x 6 − 1 = 0 Teoretická část: Definice komplexního čísla, algebraický tvar komplexního čísla. Operace s komplexními čísly (součet, rozdíl, násobení, podíl, umocňování, rovnost, opačná komplexní čísla,komplexně sdružená čísla). Geometrický model komplexních čísel (Gaussova rovina, absolutní hodnota komplexního čísla). Goniometrický tvar komplexního čísla. Součin a podíl komplexních čísel v goniometrickém tvaru, Moivrova věta. n – odmocnina z komplexního čísla, Binomická rovnice. Řešení kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel.
25/33
20 – Algebraické výrazy 1) Upravte a zjednodušte. Určete podmínky za kterých je výraz definován: a)
x 2 + 4x 2x 2 : = xy − x 2 + 4 y − 4 x xy − x 2
a⋅ a +b⋅ b 2⋅ b b) − ab : (a − b ) + a+ b a+ b 1 x +1 x −1 c) x − +4 x − ⋅ x x −1 x + 1
2 2 a ab a + ab + b 2 d) b − ⋅ − a : −1 b b−a b−a 1 + a 5x 10ax a x 2ax 5a e) + + 2 ⋅ + − 2 2 2 a+x a−x a −x a+x a−x a −x f)
a 2 − ab 2 + b 3 b a 2 − 2ab + 2b 2 b − − ⋅ 3 a − b a 2 − ab + b 2 a (a − b )
a2 + b2 a2 + b2 + 2a 2b − b a g) + 1 1 1 1 + − b a b a 2) Rozložte na součin: a) 3ab 3 + 6ab 2 − 18ab b) 16m 2 − 1 c) 4 x 2 − 12 x + 9 d) 7 x + y + 7 + xy e)
(x + y )2 − 4 x 2 y 2
f)
2 x + y − s (− 2 x − y )
g) 4 p 2 + 4 pq + q 2 − 9 h) − 3m 4 n 2 − 6m 3n 3 + 9m 2 n 4 i)
5 g − 5h + 10 − g 2 h + gh 2 − 2 gh
j)
3(2 x − 1) − (1 − 2 x ) − (1 − 2 x )(3 + 5 x ) 2
k) x 4 + x 3 − x − 1 l)
x 3 + x 2 y − xy 2 − y 3
26/33
21 – Výroková logika a teorie množin 1) K dané implikaci napište obměněnou implikaci, obrácenou implikaci a negaci této implikace. V jednotlivých případech rozhodněte o jejich pravdivosti. daná implikace:
Je – li 10 sudé číslo, pak také 10 2 je sudé číslo.
obměněná: obrácená: negace: daná implikace:
Je – li číslo 432 dělitelné 8 a 9, pak je dělitelné 72.
obměněná: obrácená: negace:
2) Pro dané výroky A: Přijede otec, B: Přijede matka, vyjádřete výrokovými formulemi složené výroky. a) Přijede otec nebo matka........................................................................................ b) Nepřijede – li otec, opak přijede matka ................................................................ c) Přijede právě jeden z rodičů ................................................................................. 3) Rozhodněte, při kterých pravdivostních hodnotách výroků A, B je uvedená výroková formule pravdivá. (¬A ∨ B ) ⇒ ( A ⇔ ¬B ) A
B
4) Napište negace následujících výroků. Určete pravdivostní hodnotu u těch, u kterých to lze. výrok:
PH
Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů. ∀n ∈ N : 2 n ⇒ 2 n 2 Nejsem žíznivý ani hladový. 9 + 13 > 20
Číslo 50 není dělitelné 15 nebo není dělitelné 5. Je – li poslední dvojčíslí čísla 164 dělitelné čtyřmi, pak je i číslo samotné dělitelné čtyřmi. Ondřej přijde právě tehdy, když přijde Darja. 27/33
jeho negace:
PH
21 – Výroková logika a teorie množin 5) K babičce mají přijet na prázdniny dvě vnučky, Alena a Blanka. Zapište složenými výroky následující tvrzení: A: „Přijede Alena“, B: „Přijede Blanka“. a) Alena přijede a Blanka nepřijede. b) Nepřijede Alena nebo nepřijede Blanka. c) Jestliže nepřijede Alena, pak přijede Blanka. d) Přijedou obě vnučky. e) Přijede nejvýše jedna vnučka. f) Přijede právě jedna vnučka. 6) Určete (tabulkou pravdivostních hodnot), které z následujících výroků jsou tautologie. a) ( A ⇒ B ) ⇔ (¬A ∧ B ) , b) ( A ⇔ B ) ⇔ (¬A ⇔ ¬B ) , c) (B ⇒ A) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) .
((
)
)
d) (( A ∧ B ) ⇒ C ) ⇔ A ∧ C ⇒ B , e) A ∧ (B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∨ C ) ,
f)
(( A ∧ B ) ⇒ C ) ⇔ ((A ∧ C ) ⇒ B ).
7) Ve výstavní síni byl odcizen obraz. Vyšetřováním se okruh podezřelých zúžil na osoby A, B, C. Z výslechů podezřelých lze fakta shrnout do tří závěrů: a) Ve výstavní síni v té době nebyl C nebo není pravda, že tam byl alespoň jeden z dvojice A, C. b) Jestliže není pravda, že tam byl A současně s B, pak tam nebyl ani C. c) Podezřelý C tam byl právě tehdy, když tam nebyl žádný z dvojice A, B. Lze z těchto údajů jednoznačně určit pachatele? Vyplývá ze třetího závěru, že pokud byl pachatelem pouze jeden z podezřelých, pak to byl C? 8) Určete doplněk množiny B v množině A, jestliže: a) A = {− 2;−0,5;0;1;3} , B = {− 0,5;0;3} b) A = Z , B = {x ∈ Z ; x ≤ 0} c) A = {x ∈ Z ; x > 5}, B = {x ∈ Z ; x ≥ 7} d) A = N , B = {x ∈ N ; x > 2} e) A = Z , B = {x ∈ Z ; x > 2}
9) Určete průnik a sjednocení množin A, B, jestliže: a) A = {− 2,0,5,7}, B = {− 3,−1,0,4,7,9} b) A = {x ∈ Z ; x < −5} , B = {x ∈ Z ; x ≤ −1} c) A = N , B = {x ∈ Z ; x < 3}
d) A = N , B = {x ∈ Z ; x < 1}
10) Jsou dány množiny: A = {x ∈ R;0 ≤ x < 4},
B = {x ∈ R; 1 − x < 2 ∧ x + 1 ≥ 0} ,
{
11) Z 30 dotázaných studentů hovoří anglicky nebo německy 28 studentů. 20 studentů ovládá nejvýše jeden z těchto jazyků. Anglicky mluví o 6 studentů výše než německy. Kolik studentů mluví a) jenom anglicky, b) anglicky i německy. 12) Žáci 4.E navštěvují kroužky volejbalu a florbalu. Z celkového počtu 28 žáků navštěvuje právě 18 žáků alespoň jeden z těchto kroužků. Žáků navštěvující oba kroužky je o 5 méně než žáků, kteří navštěvují pouze kroužek volejbalu a o 2 více než žáků, kteří navštěvují pouze florbal. Kolik žáků navštěvuje: a) Kroužek volejbalu, b) kroužek florbalu, c) oba kroužky ? d) K řešení využijte Vennových diagramů.
}
C = x ∈ R; x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 . Určete: a) ( A ∩ C ) ∪ B b) B ∩ C
28/33
23 – Reálná čísla 2 4 1224 3 1) Urči, která z následujících čísel − 4,5; − 3; (− 1) ; − ; 0; ; 1, 3; 25 ; 7 3 36 a) přirozená, b) celá, c) racionální, d) iracionální. 2) Pomocí co nejmenšího počtu odmocnin vyjádřete: a)
(
)(
3 − 2 : 108 + 72
)
b)
[(3 + 2 )⋅ (
) ](
3 + 4 − 11 :
3+ 2
)
3) Usměrněte: a)
19 6 9−2 6
b)
19 6 5 3 +3 2
c)
20 7− 5+ 2
c)
2 −1 2 − 2 2 +1 2 2 −1+ 2 +1
4) Proveďte:
a)
2 3 15 + + 3 −1 3 − 2 3− 3
b)
6 10 + 3 − 2⋅ 2 − 5 3
5) Vypočítejte:
6) Zapište jako interval a znázorněte na číselné ose všechna reálná čísla, pro něž platí: a) x = 7
3 7 − 5 3 1 2 8 12 a) − : + ⋅ 6 4 4 3 3 − 7 4 8 b) 4 ⋅ 2 − 4,5 + − 0,3 +
c) 3
(2 − 3 2 )
2
2
2 −1 ⋅ 2 + 1
2 −1 3 ⋅ 2 +1
2 −1 2 +1
(1 + 2 ) − (1 − 2 ) 2
d)
2 − 3⋅ 1− 2 + 5
2
2⋅ 2
log 8 8 − log 3 1 e) log 5 + 2 3 log 5 0,2 − log 5 25
x ≤4
c)
x≥
d)
2 3 x −1 > 2
e)
x− 3 <2
f)
x +π > 0
Teoretická část: Číselné obory – druhy čísel. Reálná čísla – znázornění na číselné ose. Druhá odmocnina z R – čísla. Absolutní hodnota R – čísla a její geometrický význam. Definice logaritmu.
−3
f)
b)
13 − 12 10 ⋅ 8 3 : 2⋅ 4 −2 3 2 ⋅4 8 − 14 18 25 ⋅ 4
29/33
23 – Pravděpodobnost a statistika
1) V bedně je 10 součástek, 3 z nich jsou vadné. Vybereme náhodně 4 kusy. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou aspoň 2 vadné součástky? 2) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené trojciferné přirozené číslo je dělitelné pěti nebo šesti (jev A)? 3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7 (jev A) nebo 8 (jev B)? 4) Tři střelci střílejí (každý jednou) do stejného terče. Cíl zasáhnou s pravděpodobností: 1. střelec: p1 = 0,7 2. střelec: p2 = 0,8 3. střelec: p3 = 0,9 Jaká je pravděpodobnost, že terč zasáhnou aspoň dvakrát? 5) V přístroji jsou dvě pojistky A, B. Pravděpodobnost, že pojistky A je vadná je 5%, v případě pojistky B jsou to 4 %. Vadnou pojistkou neprotéká proud. Určete pravděpodobnost toho, že obvodem přístroje protéká proud, jsou - li pojistky zapojeny a) sériově b) paralelně. 6) V zásilce 50 tranzistoru je 6 nekvalitních. Když 10 z nich náhodně vybere a pošle do prodeje, jaká je pravděpodobnost, že jsou mezi nimi nanejvýš dva nekvalitní (jev A)? 7) V urně je 6 koulí bílých a 8 černých. Je pravděpodobnější, že při tahu 3 koulí budou všechny bílé (jev A), nebo při tahu 4 koulí budou všechny černé (jev B)? 8) Hodíme dvakrát dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že v jednom vrhu padnou obě čísla stejná a v druhém nikoli? 9) Jaká je pravděpodobnost jevu A, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno jednociferné číslo?
30/33
24 – Kombinatorika a binomická věta
1) Kolik šesticiferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, jestliže mají začínat číslicí 4 nebo 5? 2) Kolika přímkami můžeme spojit 10 bodů, jestliže tři z nich leží na jedné přímce? 3) Šesticiferné heslo trezoru je složeno z týchž cifer jako číslo 220096. Kolik je možností? 4) Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet 3členných kombinací (neboli kombinací třetí třídy) bez opakování o 21. Určete původní počet prvků. 5) Kolik čísel lze „vyrobit“ z cifer 0, 1, 2, 4, mají-li být menší než 5000? Kolik je jich sudých? 6) Určete počet všech čtyřciferných čísel, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. Kolik z nich je dělitelných čtyřmi? (Návod: aby vzniklé číslo bylo dělitelné čtyřmi, musí být dělitelné čtyřmi poslední dvojčíslí). 7) Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila a) slovo BERAN, b) slova NERO, KUBA v libovolném pořadí, c) slova BUK, NORA v libovolném pořadí. 8) V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže a) balíčků každého druhu mají dostatečný počet; b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 9) Určete, kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 koně, 2 střelce a 8 pěšáku) rozmístit na 64 políček šachovnice. [Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmisťujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů. ] 10) V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso; karty téže hodnoty jsou přitom rozlišeny těmito "barvami": červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty, jestliže se a) rozlišují pouze "barvy" jednotlivých karet; b) rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. 11) Určete, kolika způsoby je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme – li, aby mezi vybranými a) byl pan A b) byli zároveň pánové A, B. 12) Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme - li kameny téhož druhu za stejné? 13) Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla 238 832. 14) Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti? 15) O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. 16) Vypočtěte podle binomické věty: a)
(x
2
)
−1
5
b)
(
(
3+2
)
4
c)
)
4
17) Určete 3. člen binomického rozvoje x 5 − 2 y 4 . 10
− 12 18) Pro které x se pátý člen rozvoje výrazu 4 x − 2 −1 rovná číslu 105? 31/33
(
3 −i 3
)
6
24 – Kombinatorika a binomická věta 6
1 19) V binomickém rozvoji x 3 + 2 určete, který člen obsahuje x 3 a vypočtěte jeho koeficient. x
(
)
20) Užitím binomické věty dokažte, že výraz 40 n − 8 n − 5 n + 1 je pro každé n dělitelný číslem 28. Teoretická část: skupiny bez opakovaní (variace, permutace, kombinace) – definice, počet; skupiny s opakováním (variace, permutace, kombinace) - definice, počet; vlastnosti kombinačních čísel; Pascalův trojúhelník, Binomická věta
32/33
25 – Vektorová algebra
1) Jsou dány body A, B. Vypočítejte souřadnice středu S úsečky AB. a) A[1; − 1; 2] , B[0; 3; 1]
[
b) A[1; − 3; − 1] , B[2; 5; 1]
]
c) A 2 ; − 1; π , B[1; − 1; 2]
2)
3) Určete velikost vnitřního úhlu β ∆ ABC . a) A[1; 1; 1] , B[− 1; 0; 2] , C [3; 1; 2] . 4) Zjistěte, je-li vektor u lineární kombinací vektorů a , b . Pokud ano, ověřte determinantem. a) u = (5; 2; 5) , a = (2; 2; 3) , b = (− 1; 2; 1)
5) Jsou dány body A, B, C (viz. 1. příklad). Určete vektor u = S b S c . Ověřte, že tento vektor je závislý s vektorem v = BC . 6) V rovině je dán čtverec ABCD. Označme K, L, M, N postupně středy stran. Určete vektory A − K , B − K , C − K , D − K , L − K , M − K , N − K pomocí jiných bodů z množiny bodů {A, B, C , D, K , L, M , N } . 7) Zjistěte, zda vektor w je lineární kombinací vektorů u a v . a) w = (− 2; 4; − 6) , u = (1; 3; − 2) , v = (2; 1; 1) ,
b) w = (1; 1; 2) , u = (− 1; 0; 1) , v = (2; 2; 3) . 8) Určete obraz bodu M ve středové souměrnosti se středem S je-li dáno: M [3;−1;−5], S [2;0;−3]. 9) Vypočítejte vektorový součin vektorů u = (2; 1; 3) , v = (− 1; 4; 2) 10) Vypočítejte obsah trojúhelníku zadaného body A, B, C užitím vektorového součinu. a) A[5; 1; 4] , B[− 1; − 2; 6] , C [2; 3; − 2] . 11) Body A[3; 1] , B[− 1; 1] , C [1; 6] tvoří vrcholy trojúhelníku. Spočítejte jeho obsah a) užitím trigonometrických znalosti (v E2), b) užitím vektorového součinu (v E3). 12) Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice K [2; 0; 1], L[1; − 1; 3], M [4; 2; 1] . Vypočítejte také souřadnice bodu N. 13) Na ose y určete bod Y tak, aby obsah trojúhelníku XYZ byl 10. Souřadnice bodu X, Z jsou X [2; 1; 0] a Z [2; 2; 3] . 14) V rovnoběžnostěnu ABCDA1 B1C1 D1 známe souřadnice vrcholů A[1; 0; 2] , B[3; 4; 3] , D[− 1; 4; 6] , A1 [2; 1; − 5] . a) vypočítejte souřadnice vrcholů C , B1 , C1 , D1 . b) vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDA1 B1C1 D1 . 15) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV , znáte – li souřadnice bodu A[2; 3; 4], B[− 1; 4; − 2] , D[0; 2; − 5] , V [3; 2; 1] . 16) Na ose z určete bod Z tak, aby objem čtyřstěnu ABCZ , kde A[2; − 3; 1] , B[1; 0; 3] , C [3; 1; − 1] , byl 14. orientovaná úsečka, definice vektoru, střed úsečky, vzdálenost dvou bodů; lineární kombinace vektorů, závislost vektorů; skalární součin, odchylka vektorů; vektorový součin a jeho geometrický význam; smíšený součin a jeho geometrický význam; 33/33
