Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 18
Valós exponenciális függvények Definíció:
Ha a∈R, a>0, akkor legyen ax = ex⋅lna, x∈R A valós változós exponenciális függvények grafikonja:
x→ax, ha a > 1
x→ax, ha 0 < a < 1
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 19
A szinusz függvény Definíció:
e iz − e − iz sin(z) = 2i
z∈C
A szinusz függvény előállítása hatványsorral: 2 n +1 z n sin(z) = ∑ (−1) (2n + 1)! n =0 ∞
3
5
7
z z z sin(z) ≈ z − + − + ... 3! 5! 7!
A valós változós sin függvény grafikonja:
x→sin x A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 21
A koszinusz függvény
e iz + e − iz cos(z) = 2i
Definíció:
z∈C
A koszinusz függvény előállítása hatványsorral: ∞
2n
z cos(z) = ∑ (−1) (2n )! n =0 n
z2 z4 z6 cos(z) ≈ 1 − + − + ... 2! 4! 6!
A valós változós cos függvény grafikonja:
x→cos x A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 22
A valós sin és cos függvények „nevezetes” értékei (π=180°)
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 24
A tangens és a kotangens függvény Definíció:
sin( z) tg (z) = cos(z)
cos(z) ctg(z) = sin(z)
A valós változós tg és ctg függvények grafikonja:
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 25
A szinusz hiperbolikusz függvény Definíció:
ez − e−z sh (z) = 2
z∈C
A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: ∞
2 n +1
3 5 z z z sh (z) = ∑ sh (z) ≈ z + + + ... n = 0 ( 2n + 1)! 3! 5!
A valós változós sh függvény grafikonja:
x→sh x A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 26
A koszinusz hiperbolikusz függvény Definíció:
e +e ch (z) = 2 z
−z
z∈C
A szinusz hiperbolikusz függvény előállítása hatványsorral: ∞
A valós változós ch függvény grafikonja (láncgörbe): x→ ch x
2n
z ch (z) = ∑ n = 0 ( 2n )! z2 z4 ch (z) ≈ 1 + + + ... 2! 4! A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 27
A tangens és a kotangens hiperbolikusz függvény Definíció:
sh (z) th (z) = ch (z)
ch (z) cth (z) = sh (z)
A valós változós th és cth függvények grafikonja:
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 28
x→x A hatványfüggvények
x→x2
x→x3
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
x→x1/2
x→x1/3
x→x -1
x→x -2
EL 29
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 30
Inverzfüggvény Az exponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények inverzei
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 31
Definíció: invertálható függvény
Ha minden y∈Rf elemhez pontosan egy olyan x∈Df elem létezik, melyre f(x)=y, akkor az f függvényt invertálható függvénynek nevezzük.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 32
Példák:
Az f(x)=2x, Df=R függvény invertálható
Az f(x)=x2, Df=R függvény nem invertálható
Az f(x)=x2, Df=[0,+∞[ függvény invertálható
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 33
Definíció: inverzfüggvény
Ha f invertálható függvény, akkor azt a g: Rf → Df függvényt, melyre minden x∈Df esetén fennáll, hogy go f(x)=x az f függvény inverzfüggvényének nevezzük. Jelölés:
g = f -1
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 34
Példa:
f(x) =
Df = R
2x
R f =]0,+∞[
f -1(x) = log2x
D f −1 =]0,+∞[
R f −1 = R
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 35
A valós logaritmus függvények Definíció:
Legyen 0
x→logax, ha a > 1
x→ logax, ha 0 < a < 1
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 36
A természetes alapú logaritmus függvény
Az x → ex természetes alapú exponenciális függvény inverze az x → loge x = ln x függvény. e>1, így a természetes alapú logaritmus függvények grafikonja:
x→ ex
exponenciális
és
x→ ln x
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 37
Kapcsolat függvény és inverze között
f –1of (x) = x
fof –1(x) = x
Példa:
f(x)=2x
f -1(x)=log2x
f –1of (x) = log 2 2 x = x fof –1(x) = 2 log 2 x = x
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 38
Kapcsolat függvény és inverze között
D f = R f −1 Példa:
f(x)=2x
R f = D f −1 f -1(x)=log2x
D f = R f −1 = R R f = D f −1 =]0,+∞[
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 39
Kapcsolat függvény és inverze között
f és f–1 grafikonjai egymás tükörképei az x→x egyenesre vonatkozóan f és f –1 monotonitása azonos
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 40
Hatványfüggvény inverze
f(x) = x2
Df = [0, ∞[
x =x 2
( x)
2
=x
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 41
A trigonometrikus függvények inverze
f -1(x)= arcsinx
f(x)= sinx
π 1 sin = 6 2
1 π arcsin = 2 6
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
x→sin x
x→arcsin x
x→ cos x
x→ arccos x
x→tg x
x→arctg x
x→ ctg x
x→ arcctg x
A hiperbolikusz függvények inverzei x→sh x
x→arsh x
x→ ch x
x→ arch x
x→th x
x→arth x
x→ cth x
x→ arcth x
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 46
Polinomfüggvények Definíció:
A polinomok a változó nem negatív egész kitevős hatványainak valós számokkal képzett lineáris kombinációi
P(x) = a0 + a1⋅x + a2⋅x2 + a3⋅x3 + … + an⋅xn Polinom fokszáma:
n
Polinom főegyütthatója:
an
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 47
A polinomok a „legegyszerűbben kezelhető” függvények, ezért sokszor célszerű bonyolultabb függvényeket polinomokkal közelíteni (lásd: interpolációs polinomok, Taylor polinomok a differenciálszámításnál, közelítő integrálás a Simpson formulával, stb.) A polinomok vizsgálatában a legalapvetőbb feladat a zérushelyek (gyökök) megkeresése, a gyöktényezős felbontás előállítása és az előjelvizsgálat.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 48
Tétel: gyöktényezős felbontás
Minden (legalább első fokú) polinom egyértelműen felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú polinomok szorzatára. A felbontásban szereplő elsőfokú tényezők a gyöktényezők, melyek egy-egy gyökhöz tartoznak az alábbiak szerint: x0 pontosan akkor gyöke egy polinomnak, ha az (x-x0) gyöktényező szerepel a felbontásban.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 49
Példa:
P(x) = x4 – 18x2 + 32x – 15 = = (x-3) ⋅ (x-1)2 ⋅ (x+5) gyökök: x1 = 3, x2 = 1, x3 = -5 Előjelvizsgálat (lásd: folytonos függvények előjelváltása) x<-5
x=-5
-5<x<1
x=1
1<x<3
x=3
3<x
x-3
-
-
-
-
-
0
+
(x-1)2
+
+
+
0
+
+
+
x+5
-
0
+
+
+
+
+
P(x)
+
0
-
0
-
0
+
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 50
Másodfokú polinom gyöktényezős felbontása
A P(x)=a⋅x2+b⋅x+c másodfokú polinom gyökttényezős felbontása az a⋅x2+b⋅x+c=0 másodfokú polinomegyenlet megoldásával kapható meg az alábbiak szerint: 1. eset: ha az egyenletnek két különböző gyöke van: x1 és x2, akkor P(x) = a⋅x2 + b⋅x + c = a⋅(x-x1)⋅(x-x2) 2. eset: ha az egyenletnek egy (pontosabban két egybeeső) gyöke van: x0, akkor P(x) = a⋅x2 + b⋅x + c = a⋅(x-x0)2 3. eset: ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor a polinom nem bontható elsőfokú polinomok szorzatára A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 51
Másodfokú egyenlet megoldóképlete
Az a⋅x2+b⋅x+c=0 másodfokú polinomegyenlet gyökeit adja a következő formula
− b ± b − 4ac x= 2a 2
A b2-4ac kifejezés (diszkrimináns) értékétől függően a másodfokú polinomegyenletnek 0, 1, vagy 2 db gyöke van. Megjegyzés: A harmad- és a negyedfokú polinomegyenlethez van megoldóképlet, de lényegesen bonyolultabb a másodfokúénál. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Hatványsorok, elemi függvények ________________________________________________
EL 60
Az abszolút érték függvény és az előjel függvény ⎧ x , ha x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , ha x < 0
x→|x|
⎧ 1, ha x > 0 ⎪ sgn( x ) = ⎨ 0 , ha x = 0 ⎪− 1, ha x < 0 ⎩
x→ sgn x
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
