SISTEM DIGITAL ALJABAR BOOLEAN
TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO Rahmady Liyantanto Liyantanto,, S.kom
[email protected]
Pendahuluan n
Konsep dasar aljabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematisi Inggeris George Boole, pada tahun 1854.. 1854 Konsep dasar itu membutuh-kan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang teknik.. teknik
10/18/2011
2
n
Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, meman-faatkan dan menyempurnakan konsep Boole tersebut tersebut.. Sekarang ini, aljabar Boole meme-gang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori infor-masi/komunikasi, teori himpun-an dan lain--lain lain lain.. Teori ini juga dipakai dalam merancang komputer elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak tidak..
10/18/2011
3
Teorema dan Hukum Dasar Aljabar Boole Seperti telah diterangkan di bagian depan, setiap peubah Boole hanya dapat berkeadaan satu dari dua keadaan, 0 atau 1. Jadi, kalau satu peubah di di-OR--kan dengan 0 maka hasilnya akan tidak OR berubah sedangkan bila satu peubah di di--OR OR--kan dengan 1, maka apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan menjadi 1. Tetapi, bila satu peubah di di--AND AND--kan dengan 1, maka hasilnya tidak akan berubah sedangkan bila di di--ANDAND-kan dengan 0, apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan berubah menjadi 0. 10/18/2011
4
Ini dapat disim-pulkan dalam bentuk teorema dasar: X+0=X X.0 = 0 X+1=1 X.1 = X
10/18/2011
5
Kalau suatu peubah di-OR-kan dengan dirinya sendiri, maka hasilnya akan 0 bila keadaan variabel itu adalah 0 dan hasilnya akan 1 bila keadaan variabel itu adalah 1. Jadi, peng-OR-an satu variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan keadaan yang sama dengan keadaan variabel itu. Keadaan serupa berlaku untuk operasi AND. Ini disebut hukum idempoten: X+X=X 10/18/2011
X.X = X 6
n
Sesuai dengan logika, maka kalau tidak benar disangkal (di (di--NOTNOT-kan), hasil-nya menjadi benar dan kalau tidak tidak--salah di di--NOTNOTkan, hasilnya menjadi salah salah.. Dengan kata lain, penidakan/penyangkalan (komplementasi) dua kali akan meng-hasilkan keadaan aslinya aslinya.. Ini dikenal dengan nama hukum involusi yang di-tuliskan sebagai sebagai:: X=X
10/18/2011
7
n
Hasil dari keadaan benar ATAU tidak benar pasti selalu benar dan keadaan salah ATAU tidak salah juga akan selalu benar (terpenuhi) (terpenuhi).. Tetapi keadaan salah DAN tidak salah dan benar DAN tidak benar akan selalu salah. Jadi, dalam aljabar Boole dapat dinyatakan dengan hukum komplemen sebagai berikut berikut:: X + X = 1 (selalu benar) X . X = 0 (selalu salah)
10/18/2011
8
Untuk fungsi fungsi--fungsi Boole dengan dua peubah atau lebih, dikenal juga hukumhukumhukum kumulatif, assosiatif dan distributif yang berlaku dalam alja-bar biasa, yaitu: Hukum Kumulatif :
XY = YX +Y=Y+X Hukum Assosiatif: (X Y) Z = X (Y Z) = XYZ (X+Y) + Z = X + (Y+Z) = X + Y + Z Hukum Distributif: X (Y + Z) = X Y + X Z X + Y Z = (X + Y)(X + Z)
10/18/2011
9
Hukum yang terakhir ini, yang tidak ada dalam hukum distributif aljabar bia-sa, dapat dibuktikan sebagai berikut berikut:: (X+Y)(X+Z) = XX + XZ + YX + YZ (distributif I) = X + XZ + XY + YZ (idempoten) = X.1 + XZ + XY + YZ = X(1+Z+Y) + YZ (substitusi p= Z+Y = X + YZ dan 1 + p = 1 )
10/18/2011
10
Teorema Dasar Boole
10/18/2011
11
10/18/2011
12
Teorema Tambahan Boole
10/18/2011
13
10/18/2011
14
Penyajian Fungsi Boole suku-min (singkatan dari "suku minimum" minterm, minimum term) à Sum Of Product, nilai 1
n
10/18/2011
15
n
n
sukumax (singkatan dari "suku maksimum" maxterm, maximum term) à Product of sum, nilai 0
10/18/2011
16
contoh
10/18/2011
17
Fungsi Tidak Lengkap n
n
‘d’ (dont care), dapat dianggap 1 ataupun 0 tergantung pertimbangan desain Contoh : y = S m (0,3,7) + S d (1,6),
10/18/2011
A
B
C
y
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0
1 x 0 1 0 0 x
1
1
1
1 18
Daftar Pustaka n
n
n
Digital Principles and Applications, LeachLeachMalvino, McGrawMcGraw-Hill Sistem Diugital konsep dan aplikasi, freddy kurniawan, ST. Elektronika Digiltal konsep dasar dan aplikasinya, Sumarna, GRAHA ILMU
10/18/2011
19
