PROGRAM LINIER
1). Pengertian program linier Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum). 2). Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel. Contoh: Gambarlah grafik x 3 y 3 ! Jawab: x 3y 3 x y (x,y) 0 1 (0,1) 3 0 (3,0) y
1
x
3 x+3y=3
Titik uji (0,0): x 3 y 3 0 + 3 (0) 3 0 3 Benar Sehingga titik (0,0) termasuk penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya sebelah bawah garis x 3 y 3
Latihan Soal: Gambarlah grafik dari pertidaksamaan linier berikut: 1. x 3 2. y 1 3. 2 x 3 4. 3 y 4 5. x y 2 6. 2 x 3 y 6 x 3 y 6 7. x 0 y 0 3 x 4 y 12 8. x 0 y 0
3). Grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua variabel x 3y 3 x y (x,y) 0 1 (0,1) 3 0 (3,0) Titik uji (0,0): x 3 y 3 0 + 3 (0) 3 0 3 Benar Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis x 3 y 3
daerah adalah
2x y 2 x y (x,y) 0 2 (0,2) 1 0 (1,0) Titik uji (0,0): 2 x y 2 0 + 3 (0) 2 0 2 Benar Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis 2 x y 2
y 2 1
1 2x+y=2
x
3 x+3y=3
4). Sistem pertidaksamaan linier dua variabel yang diketahui grafiknya. y
bx+ay=ab b a
x
Latihan Soal: Gambarlah grafik dari sistem pertidaksamaan linier berikut: 2 x y 6 x 2 y 6 1. x 0 y 0 x 3 y 3 3 x y 3 2. x 0 y 0 3 x 2 y 12 3 x 8 y 24 3. x 0 y 0 x y 1 2 x y 2 4. 0 x 2 0 y 2 Tentukan sistem pertidaksamaan linier dua variabel yang memenuhi grafik di bawah ini: y y 4 5. -2
5
x
7.
3 2
4
x
6.
y
y
8. 5
4
3
3 2
x
(2,2) 6
x
5). Pengertian model matematika Model matematika adalah suatu bentuk penalaran manusia dalam menterjemahkan permasalahan kehidupan sehari-hari dalam bentuk matematika (dimisalkan dengan variabel x dan y) sehingga dapat diselesaikan. 6). Mengubah soal cerita menjadi model matematika. Contoh: Sebuah area parkir dengan luas 3.750 m2, maksimal hanya dapat ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Jika luas sebuah sedan 5 m2 dan bus 15 m2, tentukanlah model matematikanya ! Jawab: Misalkan: x = banyaknya sedan y = banyaknya bus banyak sedan banyak bus daya pertidaksamaan kategori (x) (y) tampung linier Banyak kendaraan 1 1 300 x + y 300 Luas kendaraan 5 15 3.750 5x + 15y 3.750 Berdasarkan pertidaksamaan linier di atas, maka model matematikanya adalah x y 300 x 3 y 750, merupakan bentuk sederhana dari 5x 15y 3.750 x 0, karena banyaknya sedan tidak mungkin negatif y 0, karena banyaknya bus tidak mungkin negatif Latihan Soal: Tentukan model matematika dari permasalahan berikut: 1. Seorang pedagang buah-buahan menggunakan gerobak untuk menjual apel dan pisang. Harga beli apel Rp10.000,00 per kg dan pisang Rp4.000,00 per kg. Modal yang tersedia hanya Rp2.500.000,00 sedangkan muatan gerobak maksimal 400 kg. 2. Seorang pedagang roti menjual dua jenis roti jenis I Rp750,00 per buah dan roti jenis II Rp1.000,00 per buah. Pedagang itu mempunyai modal kurang dari Rp900.000,00 sedangkan kiosnya dapat menampung 1.000 buah roti. 3. Seorang pedagang sepatu mengeluarkan modal untuk sepatu model I sebesar Rp80.000,00, sedangkan untuk sepatu model II Rp60.000,00. Modal yang tersedia tidak lebih dari Rp41.500.000,00 sedangkan kapasitas tempat penjualan tidak lebih dari 500 pasang sepatu. 4. Sebuah kantin sekolah menyediakan menu mi goreng dan nasi goreng tidak lebih dari 60 porsi per hari. Banyak porsi mi goreng sedikitnya 10 porsi dan paling banyak 50 porsi. Harga mi goreng Rp1.500,00 per porsi dan nasi goreng Rp3.000,00 per porsi. Pedagang ingin mendapatkan pendapatan maksimum. 5. Seorang penjahit ingin membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1 m kain katun dan 3 m kain wool, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 2 m kain katun dan 2 m kain wool. Bahan kain katun yang tersedia adalah 80 m sedangkan kain wool adalah 120 m. Harga jual pakaian jenis I dan II masing-masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00. Penjahit ingin mendapatkan pendapatan terbanyak.
6. Seorang peternak ayam setiap harinya membutuhkan dua jenis pakan ayam. Pakan ayam A dalam 1 kg-nya mengandung 9 unit bahan P dan 3 unit bahan Q, sedangkan pakan ayam B dalam 1 kgnya mengandung 3 unit bahan P dan 18 unit bahan Q. Setiap hari, 10 ekor ayam membutuhkan sekurang-kurangnya 27 unit bahan P dan 30 unit bahan Q. Jumlah pakan ayam A dan B untuk 10 ekor ayam tersebut setiap harinya minimal 5 kg. Harga tiap kg pakan ayam A Rp1.000,00 dan tiap kg pakan B Rp2.000,00. Peternak ingin biaya pakan ayam semurah-murahnya. 7). Fungsi objektif dari soal cerita. f(x,y) = ax + by 8). Titik pojok daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dari soal cerita Untuk menentukan titik pojok daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dari soal cerita dapat dilakukan dengan cara menggambar grafik sistem pertidaksamaan linier dari soal cerita kemudian menentukan titik potong antara garis-garis yang berpotongan. 9). Nilai maksimum berdasarkan fungsi objektif dari soal cerita. f(x,y) = ax + by untuk (x,y) = (p,q) diperoleh nilai terbesar/terbanyak/tertinggi 10). Nilai minimum berdasarkan fungsi objektif dari soal cerita. f(x,y) = ax + by untuk (x,y) = (r,s) diperoleh nilai terkecil/paling sedikit/terpendek Latihan Soal: 1. Sebuah perusahaan tekstil memproduksi dua jenis pakaian seragam, yaitu pakaian pria dan pakaian wanita. Untuk seragam pria diperlukan 5 menit proses penjahitan, 3 menit proses penyetrikaan, dan 3 menit proses pembungkusan, sedangkan seragam wanita diperlukan 8 menit proses penjahitan, 12 menit proses penyetrikaan, dan 3 menit proses pembungkusan. Keuntungan untuk seragam pria Rp7.000,00 dan Rp 12.000,00 untuk seragam wanita. Jika waktu yang tersedia untuk proses penjahitan, penyetrikaan, dan pembungkusan berturut-turut tidak lebih dari 480 menit, 600 menit, dan 450 menit. Tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. keuntungan maksimumnya g. banyaknya seragam dari masing-masing jenis yang diproduksi untuk mendapatkan keuntungan maksimum 2. PT Rekayasa Electronics sedang melakukan pengujian dan pengembangan produk baru dan memerlukan serangkaian uji coba. Pengujian dilakukan suatu tim yang terdiri atas beberapa penguji ahli dan teknisi. Tim tersebut tidak lebih dari 8 orang dengan komposisi sedikitnya 2 penguji ahli dan tidak lebih dari 6 orang penguji ahli serta sedikitnya seorang teknisi dan tidak lebih dari 5 teknisi. Dalam tim tersebut, jumlah penguji ahli lebih banyak daripada teknisi. Minimum pengujian yang dijadwalkan dalam seminggu adalah 18 kali dengan komposisi penguji ahli dapat melakukan 5 kali pengujian, sedangkan teknisi sebanyak 3 kali pengujian setiap minggunya. Penguji ahli menerima upah Rp4.500.000,00 dan teknisi Rp2.500.000,00 setiap minggunya. Tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. biaya minimum g. komposisi dalam tim tersebut sehingga biaya yang dikeluarkan paling murah. 11). Penentuan garis selidik Garis selidik dapat disesuaikan dengan fungsi objektif. Jika fungsi objektif, f(x,y) = ax + by, maka kita dapat menggunakan garis selidik ax + by = ab 12). Nilai maksimum dengan menerapkan garis selidik Sebelum kita menentukan nilai maksimum atau minimum, kita harus membuat garis selidik seperti di atas. Buatlah beberapa garis yang sejajar dengan garis selidik tersebut.
* Nilai maksimum dapat diperoleh jika titik pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier berada di sebelah kiri/di bawah garis selidik atau garis yang sejajar dengan garis selidik. Kemudian masukkan titik tersebut ke fungsi objektif. 13). Nilai minimum dengan menerapkan garis selidik * Nilai minimum dapat diperoleh jika daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier berada di sebelah kanan/di atas garis selidik atau garis yang sejajar dengan garis selidik. Kemudian masukkan titik tersebut ke fungsi objektif. Latihan Soal: Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan minimum dari permasalahan berikut: 1. Sebuah kantin sekolah menyediakan menu mi goreng dan nasi goreng tidak lebih dari 60 porsi per hari. Banyak porsi mi goreng sedikitnya 10 porsi dan paling banyak 50 porsi. Harga mi goreng Rp1.500,00 per porsi dan nasi goreng Rp3.000,00 per porsi. Pedagang ingin mendapatkan pendapatan maksimum. 2. Seorang penjahit ingin membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1 m kain katun dan 3 m kain wool, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 2 m kain katun dan 2 m kain wool. Bahan kain katun yang tersedia adalah 80 m sedangkan kain wool adalah 120 m. Harga jual pakaian jenis I dan II masing-masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00. Penjahit ingin mendapatkan pendapatan terbanyak.
Tugas Kelompok: 1. Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 m kain sutra, 15 m kain katun, dan 11 m kain wool yang akan dibuat dua buah model pakaian dengan rincian sebaga berikut: Pakaian model A : Membutuhkan 2 m kain sutra, 1 m kain katun, dan 1 m kain wool per buah Pakaian model B : Membutuhkan 1 m kain sutra, 3 m kain katun, dan 2 m kain wool per buah Keuntungan pakaian model A Rp6.000,00 per buah dan model B Rp10.000,00 per buah.Tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. keuntungan maksimumnya g. banyaknya pakaian dari masing-masing model yang dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimum 2. Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein, 24 unit karbohidrat, dan 18 unit lemak. Makanan A mengandung 4 unit protein, 12 unit karbohidrat, dan 2 unit lemak untuk tiap kg, sedangkan makanan B mengandung 2 unit protein, 2 unit karbohidrat, dan 6 unit lemak untuk tiap kg. Jika harga 1 kg makanan A Rp2.500,00 dan 1 kg makanan B Rp1.750,00. Tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. biaya termurah g. banyaknya masing-masing makanan yang dibeli agar kebutuhan tetap terpenuhi dengan biaya termurah
Uji Kompetensi: Tipe A: Untuk membuat kue tersedia bahan terigu sebanyak 1,75 kg dan 1,2 kg mentega. Untuk membuat kue A diperlukan 5 gram terigu dan 3 gram mentega, sedangkan kue B memerlukan 5 gram mentega dan 4 gram terigu. Jika harga sebuah kue A Rp1.000,00 dan kue B Rp1.500,00, tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. keuntungan maksimum g. banyaknya masing-masing kue yang terjual agar diperoleh keuntungan maksimum Tipe B: Seorang pemborong mendapat pesanan dua jenis meja. Harga sebuah meja jenis I Rp300.000,00 dan sebuah meja jenis II Rp450.000,00. Tiap meja jenis I memerlukan 5 m kayu jati dan 2 m triplek, sedangkan tiap meja jenis II memerlukan 1 m triplek dan 4 m kayu jati. Jika persediaan kayu jati 300 m dan 600 m triplek, tentukan: a. permasalahan tersebut dalam bentuk tabel b. model matematikanya c. grafik daerah penyelesaian dari model matematikanya d. titik-titik pojok model matematikanya e. fungsi objektifnya f. keuntungan maksimum g. banyaknya masing-masing meja yang terjual agar diperoleh keuntungan maksimum
