SOCIOLOGIE 2010
A
Test z matematiky
Číslo uchazeče: . . . . . . . . .
Hodnocení:
......
Hodnotil:
............
Upozornění: • Důkladně pročtěte zadání a věnujte se pouze tomu, co se od Vás požaduje. • Uveďte jednotlivé kroky výpočtů, případně zdůvodněte výsledek náčrtkem. Správné výsledky bez odpovídajícího postupu nebudou brány v úvahu. • Pište čitelně, výsledky zřetelně označte. • Použití kalkulaček, počítačů, telefonů nebo jiných elektronických pomůcek není dovoleno. Hodně zdaru. (1) Zjednodušte výraz: 1 x
1 +
!2 x 1 −2 − : 1 y2 x y
(2) Pro x ≥ 0 zjednodušte výraz:
pro x 6= ±y,
x, y 6= 0 .
p √ p √ 4 3 x x2 · x3 x6 .
(3) V roce 2008 stoupla cena ropy tak, že na konci roku byla o 10% vyšší než na konci roku 2007. Během roku 2009 cena opět stoupla: na jeho konci byla ve srovnání s hodnotou z konce roku 2008 o 5% vyšší. Určete, o kolik procent stoupla cena ropy během let 2008 a 2009 vzhledem k hodnotě z konce roku 2007. (4) Ve třídě je 25 žáků. Vyučující chce vyzkoušet 5 z nich. (a) Zjistěte, kolika způsoby lze z dané třídy vybrat pětici zkoušených, víme-li, že zkoušející nemá žádné konkrétní preference pro výběr zkoušených a vybírá mezi nimi náhodně. (b) Nechť je již vybrána pevná pětice zkoušených. Pro účel zmíněné atestace vyučující připravil 5 různých variant testu. Zjistěte, kolika různými způsoby je možno jednotlivé připravené varianty testu ve skupině zkoušených rozdat. (5) Negujte následující výrok: „Každý problém má alespoň jedno řešení.ÿ (6) Najděte v R všechna řešení rovnice (a uveďte podmínky řešitelnosti): log2 (x2 − 9) = 4 (7) Mějme funkci g : y = 144 + x2 − 24x . (a) Načrtněte graf funkce g a určete její průsečíky se souřadnými osami. (b) Dále určete, zda je funkce g na intervalu (−∞, 0]: (i) klesající
(ii) klesající i rostoucí
(iii) rostoucí
2
SOCIOLOGIE 2010
Řešení testu z matematiky
A
(1) Výraz je po rozepsání a zkrácení roven !2 !2 −2 2 x2 − y 2 1 xy 2 1 −2 x xy 2 1 : = − : = y+x : 1 1 y2 x xy 2 x+y x2 − y 2 x + y xy 2 2 2 2 x y (x − y)2 (x + y)2 (x − y)2 xy 2 x − y2 = · = = · x+y xy 2 (x + y)2 x2 y 4 y2 (2) q q √ √ (12+8+18+18) 4 2 3 6 1 3 2 3·4·2 x x · x3 x6 = x 2 x 3·2 · x 4 · x 4·2 = x
√ 56 1 = x 24 = x2 · x 3 = x2 3 x
(3) Buď cRR , cena na konci roku 20RR. • c07 = x • c08 = (1 + 0.10)c07 = 1.10x. • c09 = (1 + 0.05)c08 = 1.05c08 = 1.05 · 1.10x = 1.155x. • cena ropy stoupla během let 2008 – 2009 o 15.5% .
(4) Kombinatorika: (a) Počet možností, jak vybrat ze 25 žáků 5 zkoušených, je roven počtu kombinací bez opakování (nezáleží na pořadí, nelze vybrat téhož studenta vícekrát) a také roven počtu možností, jak vybrat ze 25 studentů 20, kteří zkoušení uniknou, tj. 25 25 25! 25 · 24 · 23 · 22 · 21 · 20! = = = = 5 · 23 · 22 · 21 = 53 130 . 5 20 20! · 5! 20! · 5! (b) Počet možností, jak rozdat 5 variant testu pětici zkoušených je dán permutací na 5 pozicích (záleží na pořadí, prvky se neopakují), tj. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 . (5) Negace výroku „Každý problém má alespoň jedno řešení.ÿ byměla znít v následujícím smyslu: žádné Existuje (alespoň jeden) problém, který nemá řešení. ani jedno (6) Podmínkou řešitelnosti rovnice log2 (x2 − 9) = 4
je, že v logaritmu musí být kladné číslo, tj. x2 > 9,
tj.
|x| > 3,
tj. x > 3 nebo x < −3
Dohromady je definiční obor Df : (−∞, −3) ∪ (3, +∞) . Řešení: Umocníme-li 2 na rovnici, obdržíme Odkud: ( x = −5
nebo
x2 − 9 = 24 = 16, x=5)
∈ Df
tj. x2 = 25 ...
je přípustné řešení..
(7) Funkce g : y = 144 + x2 − 24x . je na daném intervalu (−∞, 0] klesající =⇒ řešení je i. Důkaz: • Funkce g : y = 144 + x2 − 24x = (x − 12)2 je parabola, otočená vrcholem dolů.
3
• Průsečík s osou y je v bodě x:=0 , tj. y=144 .
• Vrchol má souřadnice [12, 0] . . . je to tedy průsečík s osou x.
• Zároveň ze souřadnic vrcholu plyne, že g klesá na intervalu (−∞, 12) ⊃ (−∞, 0], řešení je i. • Ekvivalentně: derivace g ′ : y ′ = 2x − 24, tj. y ′ < 0 pro x < 12, tedy i pro x ≤ 0 .
SOCIOLOGIE 2010
B
Test z matematiky
Číslo uchazeče: . . . . . . . . .
Hodnocení:
......
Hodnotil:
............
Upozornění: • Důkladně pročtěte zadání a věnujte se pouze tomu, co se od Vás požaduje. • Uveďte jednotlivé kroky výpočtů, případně zdůvodněte výsledek náčrtkem. Správné výsledky bez odpovídajícího postupu nebudou brány v úvahu. • Pište čitelně, výsledky zřetelně označte. • Použití kalkulaček, počítačů, telefonů nebo jiných elektronických pomůcek není dovoleno. Hodně zdaru. (1) Automobilka prodala v roce 2009 o 30% vozů méně než v roce 2008. O kolik procent bude prodej v roce 2010 nižší vzhledem k prodeji z roku 2008, předpokládáme-li, že se během roku 2010 udrží 15% nárůst prodeje (ve srovnání s rokem 2009) pozorovaný v prvním kvartálu 2010. (2) Pro x ≥ 0 zjednodušte výraz: (3) Zjednodušte výraz 1 x
1 +
p p √ √ 4 3 x x5 · x2 x3 .
!−2 x y 2 − : 1 y x y
x 6= ±y,
x, y 6= 0
(4) Negujte následující výrok: „Vždy se něco pokazí.ÿ (5) Mějme funkci g : y = −16x − x2 − 64 (a) Načrtněte graf funkce g a určete její průsečíky se souřadnými osami. (b) Dále určete, zda je funkce g na intervalu (−∞, −10] (i) klesající
(ii) klesající i rostoucí
(iii) rostoucí
(6) Najděte v R všechna řešení rovnice (a uveďte podmínky řešitelnosti): log3 (81) − log2 4 = x2 . (7) Nový lék je testován na skupině 10 dobrovolníků, která bude náhodně rozdělena na pokusnou podskupinu (čítající 6 z nich) a podskupinu kontrolní (zbylí). Testovaný lék bude podán všem v pokusné podskupině, zatímco kontrolní podskupina obdrží placebo. Určete: (a) Kolik různých pokusných podskupin je teoreticky možno z dané skupiny dobrovolníků výše popsaným způsobem vytvořit?. (b) Nechť je již pevně určena podskupina dobrovolníků. Pro zachování anonymity si každý z nich na počátku vylosuje jedno z písmen A,B,C,D,E,F, pod nímž bude ve výzkumu figurovat. Kolik zbývá různých možností přiřazení kódových písmen, víme-li, že první dobrovolník si vylosoval písmeno E a druhý písmeno B?
5
SOCIOLOGIE 2010
B
Řešení testu z matematiky
(1) Buď cRR , cena na konci roku 20RR. • c08 = x • c09 = (1 − 0.30)c08 = 0.70x. • c10 = (1 + 0.15)c09 = 1.15 · 0.70x = 0.805x • Prodej v roce 2010 bude poklesne o 19.5% vzhledem ke stavu z roku 2008. (2) q q √ √ (8+20+12+9) 3 4 5 2 3 1 x x5 · x2 x3 = x 3 x 3·2 · x 4 · x 4·2 = x 3·4·2 49
1
= x 24 = x2 · x 24 = x2
√
24
x
(3) Výraz je po rozepsání roven !−2 !−2 2 2 x2 − y 2 xy −2 xy 1 1 x y 2 : = = y+x · − : 1 1 y x xy x+y (x + y)(x − y) x + y xy 2 2 xy 1 x+y · = = xy (x + y)(x − y) (x − y)2 (4) Negace výroku „Vždy se něco pokazí.ÿ by měla znít v následujícím smyslu: někdy nic jeden okamžik, kdy (Existuje) Alespoň se nepokazí. žádná věc jednou (5) Funkce g : y = −16x − x2 − 64 je na daném intervalu (−∞, −10] rostoucí =⇒ řešení je iii. Důkaz: • g : y = −16x − x2 − 64 = −(x2 + 16x + 64) = −(x + 8)2 je parabola, otočená vrcholem nahoru. • Vrchol má souřadnice [−8, 0], proto g roste na intervalu (−∞, −8] ⊃ (−∞, −10]. • Ekvivalentně: derivace g ′ : y ′ = −16 − 2x, tj. y ′ > 0 pro x < −8, tedy i pro x ≤ −10.
(6) Podmínkou řešitelnosti rovnice log3 (81) − log2 4 = x2 . je, že v logaritmu musí být kladné číslo, tj. podmínka je splněna pro všechna x ∈ R Řešení: Levá strana rovnice: log3 (81) − log2 4 = 4 − 2 = 2, √ √ Odkud: ( x = − 2 nebo x = 2 ) ∈ Df . . . je přípustné řešení..
6
(a) Počet možností, jak vybrat z 10 dobrovolníků 6, kteří budou zařazeni do pokusné skupiny je roven počtu kombinací bez opakování (nezáleží na pořadí, nelze vybrat tentýž předmět vícekrát) a také roven počtu možností, jak vybrat z 10 dobrovolníků 4, kteří se ocitnou ve skupině kontrolní, tj. 10 · 9 · 8 · 7 · 6! 10 10 10! = = 10 · 3 · 7 = 210 . = = 6! · 4! 6! · 4! 6 4 (b)
– – – –
záleží na pořadí kódů, které se nemohou opakovat počet dobrovolníků, kterým přiřazuji kódy, je stejně jako je počet písmen 2 písmena jsou již zabrána jedná se tedy o permutace na 4 pozicích
Výsledek je tedy 4! = 24
SOCIOLOGIE 2010 Číslo uchazeče: . . . . . . . . .
C
Test z matematiky Hodnocení:
......
Hodnotil:
............
Upozornění: • Důkladně pročtěte zadání a věnujte se pouze tomu, co se od Vás požaduje. • Uveďte jednotlivé kroky výpočtů, případně zdůvodněte výsledek náčrtkem. Správné výsledky bez odpovídajícího postupu nebudou brány v úvahu. • Pište čitelně, výsledky zřetelně označte. • Použití kalkulaček, počítačů, telefonů nebo jiných elektronických pomůcek není dovoleno. Hodně zdaru. (1) V roce 2009 klesl náklad deníku o 15% ve srovnání se stavem na konci roku 2008. O kolik procent by musel náklad během roku 2010 stoupnout ve srovnání se stavem na konci roku 2009, aby na konci roku 2010 dosáhl 95% původní hodoty z konce roku 2008. p p √ √ 3 5 x4 x3 · x2 x3 . (2) Pro x ≥ 0 zjednodušte výraz: (3) Zjednodušte výraz x y 2 x−y y+x : − − x2 y xy 2 y x
x 6= ±y,
x, y 6= 0
(4) Negujte následující výrok: „Někdy mě všichni štvou.ÿ (5) Mějme funkci g : y = 26x − 169 − x2 (a) Načrtněte graf funkce g a určete její průsečíky se souřadnými osami. (b) Dále určete, zda je funkce g na intervalu (−∞, 0] (i) klesající
(ii) klesající i rostoucí
(iii) rostoucí
(6) Najděte v R všechna řešení následující rovnice a uveďte podmínky její řešitelnosti: log2 (x2 − 1) − 2 log2 (x − 1) = 3. (7) Státnicová komise musí rozdělit 10 přihlášených studentů do dvou pětic: každá pětice pro jeden ze dvou zkušebnách dnů. Určete: (a) Kolik je všech teoreticky možných různých způsobů rozdělení studentů do zkušebních dnů dle výše uvedených zásad, neuvažujeme-li žádné další preference pro zařazení jednotlivých studentů do daných skupin (tj. např. ani seřazení dle abecedy, apod.)? (b) Mějme pevně vybranou pětici studentů pro první zkušební den. Kolik je teoreticky možných různých pořadí, v nichž budou studenti první den zkoušeni?
8
SOCIOLOGIE 2010
C
Řešení testu z matematiky
(1) Buď cRR , cena na konci roku 20RR. • c08 = x • c09 = (1 − 0.15)c08 = 0.85x. 0.95 • c10 = (0.95)c08 = 0.95x = 0.95 0.85 · 0.85x = 0.85 c09 = 1.1176c09 • cena v roce 2010 by tedy musela stoupnout o 11.76% . (2) q q √ √ (24+9+20+15) 5 3 3 2 3 4 4 3 3·5·2 x x · x2 x3 = x 5 x 5·2 · x 3 · x 3·2 = x 68
8
= x 30 = x2 · x 30
4
= x2 · x 15 = x2
√
15
x4
(3) Výraz je po rozepsání roven 2 2 x−y y+x x y 2 y(x − y) − x(y + x) x − y2 : − − : = x2 y xy 2 y x x2 y 2 xy 2 x2 + y 2 xy −y 2 + yx − xy − x2 − · = = x2 y 2 (x + y)(x − y) (x + y)2 (x − y)2 (4) Negace výroku „Někdy mě všichni štvouÿ, by měla znít v následujícím smyslu: Vždy(cky) někdo, kdo (existu)je (alespoň) mě neštve. V každé chvíli jeden člověk, který
(5) Funkce g je na daném intervalu (−∞, 0] rostoucí =⇒ řešení je iii. Důkaz: • g : y = 26x − 169 − x2 = −(x2 − 26x + 169) = −(x − 13)2 je parabola, otočená vrcholem nahoru. • Vrchol má souřadnice [13, 0], proto g roste na intervalu (−∞, 13] ⊃ (−∞, 0]. • Ekvivalentně: derivace g ′ : y ′ = −2x + 26, tj. y ′ > 0 pro x < 13, tedy i pro x ≤ 0. (6) Podmínkou řešitelnosti rovnice log2 (x2 − 1) − 2 log2 (x − 1) = 3.
je, že v logaritmu musí být kladné číslo, tj.
|x| > 1 , zároveň z druhého logaritmu x > 1. Dohromady je definiční obor Df : x > 1 . Řešení: 2 x −1 x+1 log2 = log2 = 3, (x − 1)2 x−1 Odkud: x = 9/7
∈ Df . . . OK.
tj.
x+1 = 23 = 8 x−1
tj. x + 1 = 8x − 8 tj.
9 = 7x
9
(a) Počet možností, jak vybrat z 10 studentů 5, kteří půjdou 1. den, je roven počtu kombinací bez opakování (nezáleží na pořadí, nelze vybrat tentýž předmět vícekrát) a také roven počtu možností, jak vybrat z 10 předmětů 5, kteří se přesunou do druhého dne, tj. 10! 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5! 10 = = = 9 · 4 · 7 = 252 . 5! · 5! 5! · 5! 5 (b)
• Na chronologicky první místo v rozvrhu mohu umístit jednoho z 5 studentů, na druhé místo mám na výběr již jen 4 možností, na třetí jen 3, atd. • počet všech možných chronologických pořadí je tedy: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 ! = 120 .
• jiná úvaha vedoucí k témuž: – záleží na pořadí předmětů, které se nemohou opakovat – počet míst v pořadníku je stejný jako počet studentů, které umisťuji – jedná se tedy o permutace na 5 pozicích
