INTEGRAL RIEMANN. a = x 0 x 1 x 2 x 3 x n-1 x n = b. Gambar Partisi dari,

INTEGRAL RIEMANN 7.1. Integral Riemann Partisi danTanda Partisi

Jika ∶= , adalah interval tertutup terbatas pada ℝ, maka sebuah partisi(bagian) dari I adalah terbatas, order himpunan ∶= ( , , … , , )

dari titik-titik di I sedemikian hingga

= < , … < < =

(Lihat gambar 7.1.1) Titik di Pdigunakan untuk membagi ∶= , ke dalam interval-interval bagian yang tidak tumpang tindih sebagai berikut : ∶= , , •

•

•

•

∶= , , … ,

a = x0

•

x1

•

x2 x3 xn-1

•

∶= , •

•

•

xn = b

Gambar 7.1.1 Partisi dari , Biasanya kita akan menunjukkan partisi Pdengan notasi P= , kita

mendefinisikan norma dari P:

‖ ‖ ∶= − , − , … , −

Sehingga aturan partisi hanya panjang dari interval bagian terbesar ke dalam

bagian partisi , . Jelas bahwa banyak partisi memiliki aturan yang sama, maka

partisi tersebut bukan fungsi dari suatu norma.

Jika sebuah titik ti telah dipilih dari masing-masing interval bagian = , , untuk = 1,2,3, … , !, maka titik tersebut disebut tanda dari interval bagian Ii. Sebuah pasangan himpunan P= ( , , " )dari interval bagian dan sesuai

tanda disebut tanda partisi dari I; lihat gambar 7.1.2. (titik di atas Pmenunjukkan bahwa sebuah tanda telah dipilih untuk masing-masing interval bagian). Kita dapat memilih tanda di titik akhir kiri, atau titik akhir kanan atau di titik tengah dari interval bagian, dan sebagainya. Karena masing-masing tanda dapat dipilih 1 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)

Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

dengan berbagai cara, maka masing-masing partisi dapat di tandai dalam berbagai cara. Aturan dalam menandai partisi didefinisikan untuk partisi biasa dan tidak bergantung pada pilihan tanda. t1

•

• a = x0

t2

•

t3

•

•

tn

•

x1

•

•

x2

•

• x3

• xn-1

xn = b

Gambar 7.1.2 Penandaan partisi dari , JikaP adalah tanda partisi seperti yang diberikan, kita definisikan jumlah

Riemann dari fungsi #: , ℝ sesuai pada Pmenjadi bilangan (1)

%(#; ) ∶= ' #(" )( − )

Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Pdinotasikan sebagai bagian dari partisi dan bukan keseluruhan partisi.

Pembaca mungkin mengira bahwa jika fungsi f positif pada , , maka jumlah

Riemann (2) adalah jumlah dari luas persegi m dimana alasnya adalah interval bagian ∶= , dimana tingginya adalah #(" ). (lihat gambar 7.1.3)

Gambar 7.1.3 Jumlah Riemann Definisi Integral Riemann 2 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


Sekarang kita akan mendefinisikan Integral Riemann dari fungsi f pada Interval , .

7.1.1 Definisi

Sebuah fungsi #: , ℝ disebut Integral Riemann pada , jika terdapat

bilangan L∈ ℝ dimana untuk setiap Ԑ > 0 terdapat )Ԑ > 0 dimana jika P adalah

tanda partisi dari , dengan ‖ ‖ < )Ԑ , maka|%(#; ) − ,| <Ԑ

Himpunan dari semua fungsi Intergal Riemann pada , dinotasikan dengan

R, .

Catatan : Kadang dikatakan bahwa integral L adalah “limit” dari jumlah Riemann

S(f ;P)sebagai norma‖ ‖ 0. Bagaimanapun, karena S(f ; P) bukan fungsi dari‖ ‖, limit ini bukan seperti yang kita pelajari sebelumnya.

Pertama kita akan menunjukkan bahwa jika f∈R, , maka bilangan Lditentukan

secara tunggal. Ini kemudian disebut Integral Riemann dari fterhadap , . Untuk L, biasanya kita menuliskannya dengan .

,= - # atau

/

.

, = - #( )0 /

Dapat dipahami bahwa setiapnotasi selain x dapat digunakan untuk tampilan selanjutnya, selama hal itu tidak menimbulkan hasil tak tunggal.

7.1.2. Teorema

Jika f∈R, , maka jumlah dari integral Riemann dapat dihasilkan secara tunggal. Bukti : Asumsikan bahwa L′ dan L" keduanya terdefinisi dan ambil Ԑ > 0. Maka terdapat )′Ԑ/> 0 dimana jika P1 adalah tanda partisi dengan ‖ ‖ < )′Ԑ/, maka |%(#; ) − ,′| <Ԑ/2.

3

Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


Juga terdapat )"Ԑ/> 0 dimana jikaP2 adalah tanda partisi dengan ‖ ‖ < )"Ԑ/,

maka

|%(#; ) − ,"| <Ԑ/2

Sekarang ambil )Ԑ ∶= !3)′Ԑ/ , )"Ԑ/ 4> 0 dan ambil Psebagai tanda partisi

dengan‖ ‖ < )Ԑ . Karena |%(#; ) − ,′| <Ԑ/2 dan |%(#; ) − ,"| <Ԑ/2, maka akan mengikuti Pertidaksamaan Segitiga yaitu

5,′ − ,"5 = 5,′ − %(#; ) + %(#; ) − ,"5 ≤ 5,′ − %(#; )5 + |%(#; ) − ,"| <

Ԑ Ԑ + =Ԑ 2 2

Karena Ԑ > 0, maka L′ = L". (Artinya, jumlah Integral Riemann dihasilkan secara tunggal)

7.1.3. Beberapa Contoh

(a) setiap fungsi konstan pada , berada dalam R, .

Ambil #( ) ∶= 8 untuk semua x ∈ , . Jika P∶= ( , , " ) adalah

tanda partisi dari, , maka jelas bahwa %(#; )=∑ 8( , ) = 8( − ). Untuk sembarang Ԑ > 0, kita pilih )Ԑ ∶= 1 maka jika ‖ ‖ < )Ԑ , maka : |%(#; P) − 8( − )| = 0 < Ԑ .

Untuk Ԑ > 0 , kita simpulkan bahwa f ∈R, dan
(b) Ambil g : 0,3ℝ didefinisikan sebagai g( ) ∶= 2 untuk 0 ≤ ≤ 1, dan g( ) ∶= 3untuk 1 < ≤ 3. Sebuah pengamatan awal berdasarkan graf pada g @

(lihat gambar 7.1.4), anggap kita mungkin mengharapkan bahwa < g = 8.

4 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


Gambar 7.1.4. Graf g Misal Padalah tanda partisi dari 0,3 dengan norma < ); dapat kita tunjukkan bagaimana mencari ) dengan tujuan untuk menunjukkan bahwa |%(g ; ) −

8| <Ԑ. Ambil P1 sebagai himpunan bagian dariP memiliki tanda di 0,1 dimana A( ) = 2, dan ambil P2 sebagai himpunan bagian dari P yang memiliki tanda di B(1,3, dimana g( ) ∶= 3.

Maka kita peroleh

S(g; P) = S(g; P1) + S(g; P2). Karena ‖ ‖ < ), jika u∈ 0,1 − ) dan u∈ , maka ≤ 1 − )

sehingga < + ) ≤ 1, untuk tanda ti∈ 0,1. Sehingga, interval 0, 1 − )

terdapat di dalam gabungan seluruh himpunan bagian pada Pdengan tanda ti∈ 0,1. Hal yang sama, gabungan ini berada dalam 0,1 + ). Karena g(ti) = 2 pada tanda ini, maka kita peroleh 2(1 – )) ≤ S(g;P1) ≤ 2(1 + )).

Pendapat yang sama menunjukkan bahwa gabungan dari semua himpunan bagian dengan tanda ti∈ 0,3 terdapat dalam interval 1 + ), 3 dengan panjang 2 – ) dan terdapat dalam 1 − ), 3 dengan panjang 2 + ). Sedemikian hingga

3(2 – )) ≤ S(g;P2) ≤ 3(2 + )).

Jumlahkan pertaksamaan ini dan gunakan persamaan (3), kita dapatkan : 5 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


8 – 5) ≤ S(g;P) = S(g;P1) + S(g;P2) ≤ 8 + 5). Sedemikian hingga diperoleh :

|%(g; ) − 8| = 0 ≤ 5)

Untuk mendapatkan hasil akhir <Ԑ, maka dapat kita ambil )Ԑ < Ԑ/5.

Buat beberapa pilihan (sebagai contoh, jika kita ambil )Ԑ ∶= Ԑ/10), kita dapat

menelusuri argumen dan lihat bahwa |%(g; ) − 8| <Ԑ untuk ‖ ‖ < )Ԑ . Karena Ԑ .

> 0, kita telah membuktikan bahwa g∈R0,3dan bahwa
(c) Ambil ℎ( ) ∶= ∈ 0,1, akan kita tunjukkan bahwa h ∈R0,1.

Kita akan tunjukkan suatu ‘trick’ untuk memudahkan kita menebak nilai dari integral dengan mempertimbangkan pilihan tertentu dari titik tanda. Memang, jika

( ) adalah partisi dari 0,1dan kita pilih tanda dari interval = ,

sebagai titik tengah D ∶= ( + )maka kontribusi pada bagian ini kepada jumlah Riemann sesuai dengan tanda partisi E ∶= ( , D ) adalah : 1 1 ) ℎ(D )( − ) = ( + )( − ) = ( − 2 2

Jika kita masukkan bagian ini dan catat jumlah teleskop, kita peroleh

1 1 1 ) = (1 − 0 ) = %(ℎ; E) = ' ( − 2 2 2

Sekarang ambil P∶= F , " menjadi tanda partisi dari 0,1 dengan ‖ ‖<)

maka − <) untuk i = 1, 2, ...., n. Begitupun, ambil Q titik partisi yang sama, tapi kita memilih tanda D sebagai titik tengah dari interval I. Karena kedua" dan D di dalam interval, kita dapatkan |" − D |<). Gunakan

pertidaksamaan segitiga, dihasilkan

|%(ℎ; ) − %(ℎ; E)| = G' " ( − ) − ' D ( − )G

≤ '|" − D |( − ) < ) '| − | = )( − ) = )

6



Karena %(ℎ; E) = , kita anggap bahwa Ptanda partisi dengan‖ ‖<), maka

H%(ℎ; ) − H<).

Sehingga kita dapat mengambil )Ԑ ≤ Ԑ. Jika kita pilih )Ԑ = Ԑ, kita dapat

menelusuri argumen untuk menyimpulkan bahwa h ∈R0,1dan < ℎ =

< 0 = .

(d) Ambil I( ) ∶= 1 untuk =

@ K

, , , , dan I( ) ∶= 0selainnya pada 0,1.

J J J J

Akan kita tunjukkan bahwa F ∈R0,1danI = 0.

Terdapat empat titik dimana F tidak nol, masing-masing bisa terdapat pada dua interval bagian yang diberikan oleh tanda partisi P. Hanya term ini yang akan memberikan hasil tidak nol pada %(I; ). Artinya kita pilih )Ԑ < Ԑ/8.

Jika‖ ‖<)Ԑ , ambil P0 sebagai himpunan bagian dari Pdengan tanda yang berbeda

@ K

, , , , dan ambil P1 sebagai himpunan bagian dari P dengan tanda pada titik-

J J J J

titik

ini.

Karena

%(I;

)=0,

akan

terlihat

bahwa

%(I; ) = %(I;

) + %(I; ) = %(I; ). Karena terdapat paling banyak 8

bagian pada %(I; ) dan masing-masing < 1.)Ԑ , kita simpulkan bahwa 0 < %(I; ) = %(I; ) < 8. )Ԑ = Ԑ

Sehingga, F ∈R0,1dan < I = 0.

(e) AmbilL( ) ∶= 1/! untuk = (! ∈ M) dan L( ) ∶= 0, untuk selainnya pada

0,1.

Diberikan Ԑ > 0, ambil NO sebagai himpunan (berhingga) pada titik-titik dimana

L( ) ≥ Ԑ. Ambil nԐ sebagai bilangan pada titik diNO dan ambil )Ԑ ∶=Ԑ/(2!Ԑ ). Ambil Psebagai tanda partisi sedemikian hingga ‖ ‖<)Ԑ . Ambil P0 sebagai

himpunan bagian dari Pdengan tanda diluar NO dan ambil P1 sebagai himpunan

bagian dari Pdengan tanda di dalamNO . Sama halnya seperti (d), kita peroleh 0 ≤S(G;P) = S(G;P1)< (2nԐ))Ԑ = Ԑ

Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa G ∈R0,1dan< L = 0. 7 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


Beberapa Sifat dari Integral

Kesulitan melibatkan dalam menentukan nilai intergal dan )Ԑ anggap bahwa itu

akan berguna untuk memperoleh teorema umum. Hasil pertama pada arah ini memungkinkan kita untuk mengkombinasi bentuk tertentu dari fungsi integral.

7.1.4. Teorema

Anggap f dan g berada di R, . Maka :

.

.

(a) Jika 8 ∈ ℝ, fungsi kf berada dalamR, dan
.

.

(b) Fungsi f + g di dalam R, dan
.

(c) Jika #( ) ≤ g( ) untuk semua x ∈ , , maka
Jika P∶= . , " adalah tanda partisi dari, , maka akan mudah untuk ditunjukkan bahwa

S(kf ;P) = kS( f ;P),

(a)

Kita akan membuktikan :

S( f + g ;P) = S( f ; P) + S( g ;P),

S(f ;P) ≤S(g;P)

.

.

Jika 8 ∈ ℝ, fungsi kf berada dalam R, maka
Bukti :

Diberikan Ԑ > 0, kita dapat gunakan pernyataan pada pembuktian pada

Teorema Ketunggalan 7.1.2 untuk membangun nilai )Ԑ > 0

sedemikian

hingga jika P tanda partisi dengan ‖ ‖ < )Ԑ , makadengan menggunakan

S(kf ;P) = kS( f ;P) :

.

Q%(8#; ) − - 8#Q < Ԑ /

Sehingga diperoleh (b)

.

=

.

Q8%(#; ) − 8 - #Q < Ԑ . 8
/



.

.

.

Fungsi f + g di dalam R, dan
Diberikan Ԑ > 0, )Ԑ > 0 sedemikian hingga jika P tanda partisi dengan

‖ ‖ < )Ԑ , maka keduanya (4)

.

Q%(#; ) − - # Q < Ԑ/2 /

dan

.

Q%(g; ) − - gQ < Ԑ/2 /

Kita gunakanS( f + g ;P) = S( f ; P) + S( g ;P), sehingga : .

.

.

.

Q%(# + g; ) − R- # + - gSQ = Q%(#; ) + %(g; ) − - # − - gQ /

/

/

Dengan pertidaksamaan segitiga, diperoleh : .

/

.

≤ Q%(#; ) − - # Q + Q%(g; ) − - gQ <

/

/

Ԑ Ԑ + =Ԑ 2 2

Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa f + g∈R, dan integral ini adalah jumlah dari integral f dan g, dapat ditulis .

.

.

- (# + A) = - # + - A /

(c)


/

/

.

.

Jika #( ) ≤ g( ) untuk semua x ∈ , , maka
Ambil persamaan (4) di atas :



. . Ԑ Ԑ Q%(#; ) − - # Q < Q%(g; ) − - gQ < 2 2 / / . Ԑ Ԑ − < %(#; ) − - # < 2 2 /

.

sehingga

−

. Ԑ Ԑ < %(g; ) − - g < 2 2 /

.

dan S( g ;P ) <
Jika kita gunakan fakta bahwa S( f ;P ) ≤S( g ;P), .

.

kita peroleh

.

- # ≤- g+Ԑ /

Tapi karena Ԑ > 0, maka

.
≤

/

.
Teorema keterbatasan Sekarangakankita tunjukkan bahwa sebuah fungsi yang tidak terbatasan tidak dapat menjadi Integral Riemann.

7.1.5 Teorema

Jika f∈R, , maka f terbatas pada , Bukti :

Kita asumsikan bahwa f adalah fungsi yangtidak terbatas pada R, dengan

integral L. Dan terdapat )> 0, sedemikian hingga jika Padalah tanda partisi dari , dengan ‖ ‖<), maka diperoleh |%(#; ) − ,| < 1, yang menghasilkan

(5)

|%(#; )| < |,| + 1

Sekarang ambil E = , sebagai partisi dari , dengan ‖E‖<).

Karena |#| tidak terbatas pada , , maka terdapat paling sedikit satu interval

bagian di Q, disebut T , T , dimana

|#| tidak terbatas padanya. Jika|#|

terbatas pada tiap interval bagian , oleh M, maka akan terbatas pada , oleh (U , U , … , U )



Sekarang akan kita ambil tanda untuk Q yang akan menghasilkan kontradiksi

untuk (5). Kita tandai Q dengan " ∶= untuk ≠ 8 dankita ambil " ∈

T , T , sedemikian hingga

|#("T )( T − T )| > |,| + 1 + G' #(" )( − )G XT

Dari pertidaksamaan Segitiga (dalam bentuk |Y + Z| ≥ |Y| − |Z|) kita peroleh |%(#; E)| ≥ |#("T )( T − T )| − G' #(" )( − )G > |,| + 1

Yang kontradiksi dengan (5).

XT

Akan kita tutup pembahasan ini dengan contoh fungsi yang tidak kontinu pada setiap bilangan rasional dan tidak monoton, namun integral Riemannnya.

7.1.6. Contoh Kita anggap didefinisikan fungsi Thomaeh :0,1ℝ, sama seperti contoh

5.1.5(h), dengan ℎ( ) ∶= 0 jika ∈ 0,1 adalah rasional, ℎ(0) ∶= 1 dan dengan ℎ( ) ∶= 1/! jika ∈ 0,1 bilangan rasional = /! untuk , ! ∈ M, tidak memiliki faktor umum bilangan bulat kecuali 1. Akan terlihat pada 5.1.5(h) bahwa h kotinu pada setiap bilangan irrasional dan tidak kontinu pada setiap bilangan

rasional di 0,1. Akan kita tunjukan bahwa h∈R0,1.

Ambil Ԑ > 0 maka himpunan NԐ ∶= ∈ 0,1: ℎ) 0 ≥ Ԑ/2 adalah himpunan terbatas. Ambil !Ԑ sebagai bilangan pada elemen NԐ dan ambil )Ԑ ∶= Ԑ/(4!Ԑ ). Jika P adalah tanda partisi dengan ‖ ‖<)Ԑ , ambil P1 sebagai himpunan bagian

dari P memiliki tanda di NԐ dan P2 sebagai himpunan bagian dariPmemiliki tanda

selainnya di 0,1. Kita amati bahwa P1 memiliki paling besar 2!Ԑ interval yang total panjangnya <2!Ԑ )Ԑ = Ԑ/2 dan bahwa 0 < ℎ(" ) ≤ 1 untuk setiap tanda di

P1. Begitupun total panjang dari himpunan bagian di P2 adalah ≤ 1 dan ℎ(" ) < Ԑ/2 untuk setiap tanda di P2 . Sehingga kita peroleh

|%( ℎ ; )| = S( h;P1) + S( g ;P2) <1. 2!Ԑ )Ԑ + (Ԑ/2). 1 = Ԑ

Karena Ԑ > 0, kita simpulkan bahwa h ∈R0,1dengan integral 0.



7.2 Fungsi Integral Riemann Kita mulai dengan pentingnya Kriteria Cauchy. Kemudian akan kita buktikan Teorema Squeeze, yang akan berguna dalam menetapkan keintegralan Riemann untuk beberapa kelas fungsi (langkah fungsi, fungsi kontinu, dan fungsi monoton). Akhirya kita akan menetapkan Teorema Penjumlahan. Kita telah mengenal bahwa yang menggunakan langsung definisi kita tahu nilai integral. Kriteria Caauchy menghilangkan kebutuhan ini, tapi pada kebutuhan mempertimbangkan dua Jumlah Riemann, bukanhanya satu.

7.2.1. Kriteria Cauchy

Sebuah fungsi # ∶ , ℝ, terintegral di R, jika dan hanya jika untuk setiap Ԑ > 0, terdapat Ԑ > 0sedemikian hinggaP dan Qmerupakan tanda partisi dari , dengan ‖ ‖<Ԑ dan ‖E‖<Ԑ , maka |%(#; ) − %(#; E)| < Ԑ Bukti :

() Jika # ∈ \, dengan integral L, ambil Ԑ ∶= )Ԑ /2 > 0 sedemikian hingga

jika P , Q adalah tanda partisi dimana ‖ ‖<Ԑ dan ‖E‖<Ԑ , maka |%(#; ) − ,| < Ԑ/2 dan |%(#; E) − ,| < Ԑ/2

Sehingga diperoleh|%(#; ) − %(#; E)| ≤ |%(#; ) − , + , − %(#; E)| ≤ |%(#; ) − ,| + |, − %(#; E)| <

Ԑ Ԑ + =Ԑ 2 2

() Untuk masing-masing ! ∈ M, ambil )] > 0 sedemikian hingga jika P dan Q adalah tanda partisi dengan norma <)] , maka|%(#; ) − %(#; E)| < 1/!

Dapat kita asumsikan bahwa )] ≥ )]^ untuk ! ∈ M, di lain pihak, kita

tempatkan )] dengan )]_∶ min) ) , … , )] .

Untuk setiap ! ∈ M, ambil Pn sebagai tanda partisi dengan‖ ‖<)] . Jelas, jika m > n maka kedua Pm dan Pn memiliki norma <)] , sehingga (1) |%(#; ) − %(#; c )| < 1/! untuk m > n f

Akibatnya, barisan d%(#; c )ec adalah barisan Cauchy di ℝ. Sehingga (dengan teorema 3.5.5) barisan ini konvergen di ℝ dan kita ambil Y ∶= gc %(#; c ).



Berdasarkan pada limit di (1) sebagai m ∞, kita peroleh |%(#; ) − Y| ≤ 1/! untuk semua ! ∈ M

Untuk melihat bahwa A adalah Integral Riemann pada f, diberikan Ԑ > 0, ambil

i ∈ M untuk K > 2/Ԑ. Jika Q tanda partisi dngan ‖E‖ < )j , maka

|%(#; E) − Y| ≤ |%(#; E) − %(#; k )| + |%(#; k ) − Y| ≤

1 1 + <Ԑ i i

Karena Ԑ > 0, maka # ∈ \, dengan integral A.

Sekarang akan kita beri contoh yang menggunakan Kriteria Cauchy.

7.2.2 Contoh (a) Ambil g :0,3ℝ sebagai fungsi yang bersesuaian dengan contoh 7.1.3(b).

Pada contoh tersebut kita lihat bahawa jika P adalah tanda partisi dari 0,3dengan

norma ‖ ‖<), maka

8 − 5) ≤ %(g; ) ≤ 8 + 5)

Jika Q tanda partisi yang lain dengan ‖E‖<), maka

8 − 5) ≤ %(g; E) ≤ 8 + 5)

Jika kita subtitusikan kedua pertidaksamaan ini, kita peroleh |%(g; ) − %(g; E)| ≤ 10)

Agar hasil akhirnya <Ԑ, maka kita diperbolehkan untuk mempergunakan Kriteria

Cauchy dengan Ԑ ∶= Ԑ/20.

(b) Kriteria Cauchy dapat digunakan untuk menunjukkan fungsi f: 0,3ℝbukan integral Riemann. Untuk melakukan ini kita harus menunjukkan bahwa : Terdapat Ԑ0>

0

sedemikian

hingga

untuk

setiap > 0

terdapat

tanda

partisiPdanQdengan‖ ‖
Kita akan memberlakukan catatan untuk fungsi Dirichlet, berdasarkan 5.1.5(g) didefinisikan #( ) ∶= 1 jika ∈ 0,1 adalah rasional dan #( ) ∶= 0jika ∈

0,1irrasional.



Kita ambil Ԑ ∶= 1/2 . Jika P adalah partisi dari semua tanda bilangan irrasional

maka %(#; ) = 1, sedangkan jika Q adalah partisi dari semua tanda bilangan irrasional maka %(#; E) = 0. Karena kita dapat mengambil beberapa tanda partisi

dengan secara tiba-tiba memiliki norma kecil, kita simpulkan bahwa fungsi Dirichlet bukan Integral Riemann.

Teorema Squeeze Hasil berikutnya akan digunakan untuk menetapkan keintergalan Riemann untuk beberapa kelas fungsi yang penting. 7.2.3 Teorema Squezze

Ambil # ∈ , ℝ. Maka # ∈ \, jika dan hanya jika untuk semua Ԑ > 0,

terdapat fungsi mԐ dan nԐ di \, dengan

(2) mԐ ≤ #( ) ≤ nԐ ( ) untuk semua ∈ , . Dan dimana .

(3)
Bukti () Ambil mԐ = nԐ = # untuk semua Ԑ > 0. Secaraa tak langsung sudah

memenuhi (2), kemudian akan dibuktikan (3) : .

Ambil
.

.

karena mԐ = nԐ maka
.

sehingga memenuhi
() Ambil Ԑ > 0. Karena mԐ dan nԐ berada di \, , maka terdapat )Ԑ > 0 sedemikian hingga jika P adalah tanda partisi dengan ‖ ‖<)Ԑ , maka .

.

H%(mԐ ; ) −
Q%(mԐ ; ) − - mԐ Q < Ԑ /

/

.

.

−Ԑ < %(mԐ ; ) − - mԐ < Ԑ sehingga .

.

Q%(nԐ ; ) − - nԐ Q < Ԑ

− Ԑ < %(nԐ ; ) − - nԐ < Ԑ

/

/

.

Dari pertidaksamaan (2), kita peroleh %(mԐ ; ) ≤ %(#; ) ≤ %(nԐ ; ), sehingga

14



.

.

- mԐ − Ԑ < %(#; ) < - nԐ + Ԑ /

/

Jika E tanda partisi yang lain dengan‖E‖< )Ԑ , maka kita peroleh juga .

.

- mԐ − Ԑ < %(#; E) < - nԐ + Ԑ /

/

Kita subtitusikan kedua pertaksamaan ini dan gunakan (3), kita simpulkan bahwa .

%(#; ) < - nԐ + Ԑ /

.

.

.

|%(#; ) − %(#; E)| < - nԐ + Ԑ − - mԐ + Ԑ /

.

.

/

|%(#; ) − %(#; E)| < - nԐ − - mԐ + 2Ԑ .

/

/

= - (nԐ − mԐ ) + 2Ԑ < 3Ԑ /

Karena Ԑ > 0, Kriteria Cauchy menunjukkan bahwa # ∈ \, . Kelas Fungsi Integral Riemann Teorema Squezee sering digunakan dalam koneksi kelas dalam langkah fungsi.

Perlu diingat dari Definisi 5.4.9 fungsi o: , ℝ adalah langkah fungsi jika ia

hanya memiliki bilangan berhingga dari nilai berbeda, masing-masing nilai

berasal dari asumsi dari satu atau lebih interval bagian dari , . Sebagai ilustrasi

dari langkah fungsi. Lihat gambar 5.4.3 atau 7.1.4.

7.2.4. Lemma

Jika J adalah interval bagian dari , memiliki titik akhir c

op = 0 − r.

Bukti :



Jika q = , dengan r ≤ 0 dalam latihan 7.1.15 da dapat kita pilih )Ԑ ∶= Ԑ/4.

Pembuktian yang sama dapat diberian untuk tiga interval bagian lainnya yang memiliki titik akhir ini. Alternatif lain, kita amati bahwa dapat kita tulis

o(s,t) = o(s,t) − o(t,t) , o(s,t) = o(s,t) − o(s,s) dan o(s,t) = o(s,t) − o(s,s) . .

Karena
o(s,s) = 0, keempat dari fungsi ini memiliki integral sama dengan d

– c.

Hal ini fakta penting, bahwa setiap langkah fungsi adalah integral Riemann.

7.2.5 Teorema

Jika o ∶ , ℝ adalah langkah fungsi, maka o ∈ \, .

Bukti :

Langkah fungsi dari tipe muncul dalamdari tipe 7.2.4 disebut “langkah fungsi elementary”. Dalam latihan 5 hal ini ditunjukkan bahwa sebuah langkah fungsi o dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari beberapa langkah fungsi dasar : (4)

c

o = ' 8u opv u

dimana qu memiliki titik akhir ru < 0u . Lemma dan teorema 7.1.4 (a,b) menunjukkan bahwa o ∈ R, dan bahwa (5)

.

c

- o = ' 8u (0u − ru ) /

u

Sekarang akan kita gunakan teorema Squeeze untuk menunjukan terdapatnya fungsi kontinu sebagai integral Riemann.

7.2.6 Teorema

Jika # ∶ , ℝ kontinu pada , , maka # ∈ R,

Bukti :



Mengikuti teorema 5.4.3 dimana fkontinu seragam pada , . Diberikan Ԑ > 0

maka terdapat )Ԑ > 0 sedemikian hingga jika x, y ∈ , dan |x − y| < )Ԑ , |#(x) − #(y)| < Ԑ/(b − a).

maka kita peroleh

Ambil = sebagai sebuah partisi sedemikian hingga ‖ ‖<)Ԑ , ambil x ∈ sebagai titik dimana f mencapai nilai minimum pada , dan ambil y ∈ sebagai titik dimana fmencapai nilai maksimum pada .

Ambil mԐ sebgai langkah fungsi didefinisikan sebagai mԐ ( ) ∶= #(x ) untuk ∈ B , )( = 1,2, … , ! − 1)B dan mԐ ( ) ∶= #(x ) untuk ∈ , . Ambil nԐ dengan definisi yang sama menggunakan titik y bukanx . Maka satu

menjadimԐ ( ) ≤ #( ) ≤ nԐ ( ) untuk semua ∈ , . Lebih lanjut, jelas bahwa

.

0 ≤ - (nԐ − mԐ ) = 'd#(y ) − (x )e( − ) /

Ԑ < '| } ( − ) = Ԑ −

Karena itu, dengan mengikuti teorema squeeze diperoleh # ∈ \,

Fungsi monoton tidak selalu kontinu pada setiap titik, tapi fungsi monoton adalah juga integral riemann.

7.2.7. Teorema

Jika # ∶ , ℝ monoton pada , , maka # ∈ R, .

Bukti :

Anggap bahwa f meningkat(increasing) pada interval , , < . Jika diberikan Ԑ > 0, kita ambil D ∈ M sedemikian hingga

Ambil ~T ∶= #() + 8ℎ

ℎ ∶=

#() − #() Ԑ < D −

untuk 8 = 0,1, … , D

dan

sesuai

himpunan

YT

∶= # (B~T , ~T )B) untuk 8 = 1, … , D − 1 dan Y ∶= # d~ , ~ e. Himpunan YT yang diuraikan berpasangan dan memiliki gabungan , . Karakteristik dari

Teorema 2.5.1 menunjukkan bahwa setiap YT jika tidak (i) kosong, (ii) mengacu 17 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


pada satu titik atau (iii) berupa tidak menghasilkan interval (tidak selalu tertutup)

di , . Kita buang himpunan yang sesuai dengan (i). Jika kita dampingkan titik

akhir kepada interval sisaYT , kita peroleh interval tertutup YT . Jadikan latihan

untuk menunjukkan bahwa interval sesuaiY_8 T adalah diuraikanberpasangan

, hingga, = ⋃T YT dan #( ) ∈ ~T , ~T untuk ∈ YT .

Sekarang kita definisikan langkah fungsi mԐ dan nԐ pada , dengan mengatur mԐ ( ) ∶= ~T dan nԐ ( ) ∶= ~T untuk ∈ YT .

Jelas bahwa mԐ ( ) ≤ #( ) ≤ nԐ ( ) untuk semua ∈ , dan bahwa

.

- (nԐ − mԐ ) = '(~T − ~T )( T − T ) /

T

= ' ℎ. ( T − T ) = ℎ. ( − ) < Ԑ T

Karena Ԑ > 0, maka teorema squeeze menyiratkan# ∈ R, Teorema Penjumlahan Sekarang kita kembali ke fungsi integral Riemann. Hasil selanjutnya menunjukkan bahwa integral adalah sebuah “fungsi penjumlahan” dari interval dimana fungsi adalah terintegral. Sifat ini tidak lagi mengejutkan, tapi ini membuktikan bahwa sedikithalusdan dapatdihilangkanpadapembacaanpertama.

7.2.8. Teorema Penjumlahan

Ambil # ∶ , ℝ dan ambil r ∈ , . Maka # ∈ \, jika dan hanya jika

ada pembatasan untuk, r dan r, keduanya adalah integral Riemann. Dalam

hal ini (6)

.

s

.

- # =- #+- # Bukti :

/

/

s

() Anggap bahwa# dibatasi kepada , r dan # dibatasi kepada r, terintegral Riemann pada masing-masing, dan , . Dan diberikan Ԑ > 0, terdapat



) _ > 0 sedemikian hingga jika P1 adalah tanda partisi dari , r dengan ‖ ‖<) _ ,

maka |%(#; ) − , | < Ԑ/3 . Juga terdapat )" > 0 sedemikian hingga jika

adalah tanda partisi darir, dengan

‖ ‖<) " maka |%(#; ) − , | < Ԑ/3.

Jika M adalah batas untuk |#|, kita definisikan )Ԑ ∶= !) _ , )", Ԑ/6M dan ambil

P sebagai tanda partisi dari , dengan ‖E‖ < ). Akan kita buktikan bahwa (7) |%(#; E) − (, − , )| < Ԑ

(i) Jika c adalah titik partisi dari Q, kita pisahkan Q ke dalam sebuah partisi E

dari , r dan sebuah partisi E dari r, . Karena %(#; E) = %(#; E ) +

%(#; E ), dan karena E memiliki norma<) _ dan E memiliki norma <) " ,

maka pertidaksamaan (7) jelas.

(ii) Jika c bukan titik partisi di E = (T , "T )c T terdapat 8 ≤ sedemikian

hingga r ∈ ( T , T ). Kita ambil Q1 sebagai tanda partisi dari , r

didefinisikan sebagai

E ∶= ( , " ), ( , " ), … , (T , "T ), ( T , r, r)

Dan E sebagai tanda partisi dari r, didefinisikan sebagai

E ∶= (r, T . r)(T^ , "T^ ), … , (c , "c ),

Sebuah perhitungan sederhana menunjukkan bahwa

%(#; E) − %(#; E ) − %(#; E ) = #("T )( T − T ) − #(r)( T − T ) = d#("T ) − #(r)e. ( T − T )

Yang mengikuti

|%(#; E) − %(#; E ) − %(#; E )| ≤ 2U( T − T ) < Ԑ/3. Tapi karena ‖E ‖ < ) ≤ ) _ dan ‖E ‖ < ) ≤ ) " , mengikuti

|(#; E ) − , | < Ԑ/3 dan |(#; E ) − , | < Ԑ/3.

Dari mana kita mendapatkan (7). Karena Ԑ > 0, kita nyatakan # ∈ \, dan memenuhi (6).

() Anggap # ∈ \, dan diberikan Ԑ > 0, ambil Ԑ > 0 mengikuti Kriteria

Cauchy 7.2.1. Ambil # sebagai pembatas dari f pada , r, dan ambil , E sebagai tanda partisi dari , r dengan ‖ ‖ < Ԑ dan ‖E ‖ < Ԑ . Dengan

menambahkan

partisi

penjumlahan

dan

tanda

dari

r,

kita

dapat

memperpanjang dan Ekepada tanda partisi P dan Q dari , sedemikian 19 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


‖ ‖ < Ԑ dan ‖E‖ < Ԑ . Jika kita gunakan titik penjumlahan yang sama dan tanda di r, untuk kedua P dan Q, maka

%(# ; ) − %(# ; E ) = %(#; ) − %(#; E)

Karena kedua P dan Q memiliki norma < Ԑ , maka%(# ; ) − %(# ; E ) < Ԑ. Sedemikian hingga Kondisi Cauchy menunjukkan pembatas # dari # kepada

, r yaitu dalam \, . Dengan cara yang sama, kita lihat pembatas # dari # kepada r, yaitu dalam \r, 0.

Persamaan (6) sekarang mengikuti bagian pertama dari teorema.

7.2.9. Corollary

Jika # ∈ \, dan jika r, 0 ⊆ , , maka pembatas dari fpada r, 0 berada dalam \r, 0. Bukti :

Karena # ∈ \, dan r ∈ , , mengikuti teorema bahwa pembatas r, berada dalam \r, .. Tapi jika 0 ∈ r, maka aplikasi lain dari teorema

menunjukkan bahwa pembatas dari fpada r, 0 berada dalam \r, 0. 7.2.10. Corollary

Jika # ∈ \, dan jika = r < r < ⋯ < rc = , maka pembatas dari f pada

masing-masing interval bagian r , r adalah integral Riemann dan .

c

- # = '/

s

s

#

Hingga sekarang, kita telah mempertimbangkan bahwa Integral Riemann pada interval , dimana < . Mudah mendapatkan definisi integral lebih umum. 7.2.11. Definisi

Jika # ∈ \, dan jika m, ∈ , dengan m < , kita definisikan

- # ∶= − - #

dan 20 Analisis Real, 2011 Jayanti (20102512030) –Nyimas Inda Kusumawati (20102512035)


- # ∶= 0

7.2.12 Teorema

Jika # ∈ \, dan jika m, , sembarang bilangan di , maka (8)

- # ∶= - # + - #

Dalam arti bahwa keberadaan

untuk setiap dua integral ini menyiratkan

keberadaan integral ke tiga dan persamaan (8). Bukti :

Jika setiap dua bilangan m, , adalah sama maka memenuhi persamaan (8). Selanjutnya kita anggap, bahwa ketiga bilangan tersebut berbeda. Berdasarkan simetri, kami memperkenalkan istilah

,(m, , ) ∶= - # + - # + - #

Jelas bahwa (8) terpenuhi jika dan hanya jika ,(m, , ) = 0. Sedemikian hingga, untuk membentuk pernyataan , kita harus menunjukkan bahwa , = 0 untuk

kedelapan pernyataan permutasi m, dan .

Kita catat bahwa Teorema Penjumlahan 7.2.8. menunjukkan bahwa ,(m, , ) =

0 di mana m < < . Tapi dengan mudah dapat dilihat bahwa kedua ,(, , m) dan ,(, m, )sama dengan ,(m, , ). Sehingga bilangan

,(, m, ), ,(m, , ) dan ,(, , m) adalah sama dengan −,(m, , ). Sedemikian

hingga, , hilang untuk semua konfigurasi yang mungkin dari ketiga titik ini. 7.3 Teorema Dasar Teorema Dasar (Formula Pertama)

Pertama dari Teorema Fundamental menyediakan dasar teoritis untuk metode perhitungan yang integral yang pembaca pelajari dalam kalkulus. Hal ini menegaskan bahwa jika fungsi ƒ adalah turunan dari F fungsi dan jikaƒ milik .

R [a, b], maka

integral


primitif dari f pada [a, b]. demikian, ketika f memiliki anti turunan, itu adalah hal yang sangat sederhana untuk menghitung integral. Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk memungkinkan beberapa poin yang luar biasa c di mana F '(c) tidak ada di R atau di mana tidak sama f (c). ternyata kita dapat mengizinkan sejumlah terbatas titik yang luar biasa tersebut.

7.3.1 Dasar Kalkulus (Formula Pertama) Misalkan ada E diatur terbatas pada [a, b] dan fungsi f, F: [a, b] R sedemikian sehingga: a.

F kontinu pada [a, b]

b.

F '(x) = f (x) untuk semua x ∈ [a, b] \ E

c. f Milik R [a, b] Lalu kami memiliki (1)

.

Bukti. Kami akan membuktikan teorema dalam kasus di mana E = {a, b}. kasus yang umum dapat diperoleh dengan melanggar/memutus interval ke dalam gabungan dari bilangan terbatas interval. Mari ε > 0 diberikan. Sejak ƒ ∈ R [a, b] dengan asumsi (c), terdapat δε> 0 sehingga P adalah setiap partisi dengan tag |P | < δε maka

(2)

.

| S (ƒ ; P) -
Jika subinterval di P adalah { xi-1, xi} maka Teorema 6.2.4 Nilai Rata-rata

diterapkan untuk F pada {x i-1, x i} menyiratkan bahwa ada µ i ∈ ( xi-1, xi) sehingga F (xi) – F( xi-1) = F’(µ i) . (xi - xi-1)

for i = 1, …, n

Jika kita menambahkan istilah-istilah ini, perhatikan telescoping dari jumlah dan menggunakan fakta bahwa F’(µ i) = ƒ(µ i). kita mendapatkan F (b) – F (a) =∑ F (xi)– F( xi − 1) = ∑] ƒ (µ i) (xi - xi-1). Sekarang mari P

U

= {([ xi - xi-1], µ i) jadi jumlah yang sama di sebelah

kanan δ (ƒ, P U). jika kita pengganti F (b) – F (a) = S (ƒ, P U) ke (2), kami menyimpulkan bahwa

.

| F (b) – F (a) -


Tapi karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kami menduga bahwa persamaan (1) memegang QED

Catatan Jika fungsi F terdiferensialkan pada setiap titik [a, b], maka (oleh Teorema 6.1.2) hipotesis (a) secara otomatis puas. Jika ƒ tidak ditentukan untuk beberapa titik c ∈ E, kita ambil ƒ(c) = 0, Bahkan jika F terdiferensialkan di setiap titik [a. b], kondisi (c) tidak secara otomatis puas karena terdapat fungsi seperti F yang tidak F' Riemann integrable (lihat contoh 7.3.2 (e)

7.3.2 Contoh (a) jika F (x) = ½ x

2

untuk semua x ∈ [a, b], maka F '(x) = x untuk semua x ∈

[a, b], selanjutnya ƒ = F’ 'kontinu sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema Fundamental (dengan E = ∅) menyiratkan bahwa .

2 2
(b) jika G (x) = arctan x untuk x ∈ [a, b], maka G '(x) = 1 / (x 2 +1) untuk semua semua x ∈ [a, b], danjuga G adalah terus menerus, sehingga dalam R [a, b]. maka Teorema fundamental (dengan E = ∅) menyiratkan .

^

dx = Arctan b – Arctan a

(c) jika A (x) = |x| for x ∈ [-10,10], maka A '(x) = -1 if x ∈ [-10,0] dan A' (x) = +1 untuk x ∈ (0,10). Mengingat definisi fungsi signum (dalam 4.1.10 (b)), kita memiliki A'(x) = sgn (x) for all x ∈ [-10,10] \ [0]. Karena fungsi signum adalah fungsi langkah, itu milik R [-10,10]. Oleh karena itu Teorema Fundamental (dengan E = [0]) menunjukkan bahwa

< A! ( ) 0 = Y (10) − Y(−10) = 10 − 10 = 0 (d) jika H (x) 2 √ for x ∈ [0, b] maka H kontinu pada [0, b] dan H '(x) = 1 / √ untuk x

∈ [0, b]. karena h = H 'tidak dibatasi pada [0, b], itu bukan milik R [0, b] tidak peduli



bagaimana kita mendefinisikan h (0). Oleh karena itu Teorema Dasar 7.3.1 tidak berlaku. (Namun, kita akan lihat Contoh 10.1.10 (a) h yang umum Riemann terintegrasikan pada [0, b]). (e) membiarkan K (x) = x 2 cos (1 / x 2) untuk x ∈ [0,1] dan membiarkan K (0) = 0. Ini mengikuti dari Produk Aturan 6.1.3 (c) dan Aturan Rantai 6.1.6 bahwa K’(x) = 2x cos (1/x2) + (2/x) sin (1/x2) for x ∈[0,1]

Selanjutnya, seperti dalam contoh 6.1.7 (d), kita memiliki K '(0) = 0. Jadi K kontinu dan terdiferensialkan di setiap titik [0, 1]. Sejak semester pertama di K 'kontinu pada [0,1], itu milik R [0,1]. Namun istilah kedua K 'tidak dibatasi, sehingga tidak milik R [0,1] akibatnya K' ∉ R [0,1] dan Teorema Dasar 7.3.1 tidak berlaku untuk K '. (Namun, kita akan melihat pada Contoh 10.1.10 (b) bahwa K 'adalah Riemann umum integrable).

Teorema Dasar (Formula Kedua) Kami kini giliran Teorema Fundamental (Formula Kedua) yang ingin membedakan integral yang melibatkan batas atas variabel.

7.3.3. Definisi Jika ƒ ∈ R [a, b] maka fungsi yang didefinisikan oleh (3)

F(z) =
untuk z ∈ [a, b]

Disebut integral tak terbatas f dengan titik dasar a. (Kadang-kadang titik selain digunakan sebagai titik dasar, lihat latihan 6).

Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa jika if ƒ ∈ R [a, b] maka F tidak terbatas ingtegral yang memenuhi kondisi Lipschitz, maka F kontinu pada [a, b]

7.3.4 Teorema

(1) F tidak terbatas didefinisikan oleh

F(z) =
untuk z ∈ [a, b]

kontinu pada [a, b], pada kenyataannya, if | ƒ(x)| < M untuk semua kemudian

|F(z)-

F(w)| < M |z – w| untuk semua z, w ∈ [a, b]



Bukti. Aditif Teorema 7.2.8 menunjukkan bahwa jika z, w ∈ [a, b] dan w < z kemudian

F (z) =
Diperoleh

F(z) – F(w) = < ƒ

Sekarang jika –M < menunjukkan bahwa

ƒ(x) < M untuk semua x ∈ [a, b], maka Teorema 7.1.4 (c)

Mana hal berikut yang

Seperti yang sudah ada

- M ( z – w) < < ƒ < M ( z – w)

|F(z) – F(w)| < |< ƒ | < M | z – w|

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa F integral tak tentu terdiferensialkan pada setiap titik di mana f kontinu

7.3.5 Teorema Dasar Kalkulus (Formula Kedua) Biarkan ƒ ∈ R [a, b] dan membiarkan f menjadi kontinu di titik c ∈ [a, b]. maka integral tak terbatas, ditetapkan oleh (3) terdiferensialkan pada c dan F '(c) = f (c). Bukti. Kami akan menganggap bahwa c ∈ [a, b] dan mempertimbangkan tangan kanan turunan F pada c. karena f kontinu di c, ε > 0 diberikan ηε > 0 terdapat c < x < c + ηε (4)

ƒ (c) - ε < ƒ (x) < (c) + ε

Biarkan h memenuhi 0 < h < ηε.. The aditif Teorema 7.2.8 menunjukkan bahwa f adalah terintegrasikan pada interval [a, c], [a, c + h] and [c, c + h] dan bahwa s^

F (c + h ) – F (c) = <s

ƒ

Sekarang pada interval [c, c + h] fungsi f memenuhi ketimpangan (4), sehingga (oleh Teorema 7.14 (c)) kita

s^

(ƒ (c) - ε) . h < F (c + h ) – F (c) = <s

ƒ < (ƒ (c) + ε) . h

Jika kita membagi dengan h> 0 dan mengurangi f (c), kita memperoleh H

( ^ ) – () −

ƒ (c)H < ε

25



Tapi, karena ε > 0 adalah sewenang-wenang, kita menyimpulkan bahwa batas tangan kanan diberikan oleh lim

( ^ ) – ()

= ƒ (c)

Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama bahwa tangan kiri batas bagi perbedaan ini juga sama f (c) ketika c ∈ [a, b], mana pernyataan berikut. QED Jika f kontinu pada semua [a, b], kami memperoleh hasil sebagai berikut

7.3.6 Teorema Jika f kontinu pada semua [a, b], maka F integral tidak terbatas, yang didefinisikan oleh (3) terdiferensialkan pada [a, b] dan F’(x) = ƒ (x) untuk semua x ∈ [a, b]. Teorema 7.3.6 dapat disimpulkan: Jika f kontinu pada semua [a, b], maka integral tak tentu adalah antiturunan dari f. Kita sekarang akan melihat bahwa, secara umum integral waktu yang tidak terbatas tidak perlu menjadi seorang antidervative (baik karena derivatif dari integral tak tentu tidak ada atau tidak sama f (x))

7.3.7 Contoh (a) jika ƒ (x) = sgn x pada [-1, 1] kemudian ƒ ∈ r [-1,1] dan memiliki F integral waktu yang tidak terbatas (x) = | x | - 1 dengan basepoint -1. Namun, karena F '(0) tidak ada, F bukan antiturunan dari f pada [-1, 1]

7.3.8 Teorema Substitusi Biarkan J = [α, β] dan membiarkan ϕ : J R memiliki turunan kontinu pada J. jika F: Saya à R kontinu pada suatu interval I yang mengandung ϕ (J), maka

(5)

Bukti Teorema ini didasarkan pada Aturan Rantai 6.1.6 dan akan garis besar dalam latihan 15. Hipotesis bahwa f dan ϕ’ adalah terus menerus membatasi, tetapi digunakan untuk memastikan keberadaan Riemann integral di sisi kiri (5)

7.3.9 Contoh



K £] √F

(a) Pertimbangkan integral<

F

0". Di sini kita pengganti ϕ (t) = √" for t ∈ [1, 4]

sehingga ϕ'(t = 1 / (2) kontinu pada [1, 4]. Jika kita membiarkan f (x) = 2 sin x, maka integran memiliki bentuk form (ƒ o ϕ) . ϕ’ dan substitusi teorema 7.3.8 Mengimplikasikan bahwa integral

< 2 sin 0 = −2 cos | = 2 (cos 1 − cos 2).

K £] √F

(b) mempertimbangkan integral <

F

0". Sejak ϕ(t) = √"tidak memiliki turunan

kontinu pada [0, 4], Teorema Substitusi 7.3.8 tidak berlaku, setidaknya dengan substitusi ini. (Pada kenyataannya, tidak jelas bahwa ini ada yang tidak terpisahkan, namun kita dapat menerapkan latihan 7.2.11 untuk mendapatkan kesimpulan ini 0. Bisa Kami kemudian menerapkan Fundamental Teorema 7.3.1 untuk F (t) = - 2 cos √" dengan E =

[0].

Lebesgue's integrability Kriteria Sekarang kita akan menyajikan laporan iuran teorema definitif untuk Henri Lebesgue (1975-1941) dan cukup memberikan kondisi yang diperlukan untuk fungsi yang akan Riemann integrable, dan akan memberikan beberapa aplikasi dari teorema ini. Untuk negara hasil ini, kita perlu untuk memperkenalkan gagasan penting untuk satu set null.

Peringatan Beberapa orang menggunakan istilah "null" ditetapkan sebagai sinonim untuk istilah "kosong" mengatur atau "void set" mengacu pada ∅ (= kelompok yang tidak memiliki unsur-unsur). Namun kami akan selalu menggunakan istilah "null" diatur sesuai dengan definisi berikutnya kami seperti adat dalam teori integrasi.

7.3.10 Definisi (a) Satu set Z ⊂ R saya dikatakan sebagai null ditetapkan jika untuk setiap ε > 0 terdapat koleksi dapat dihitung {(ak, bk)}f T interval terbuka seperti yang



(6)

(b) jika Q (x) adalah pernyataan tentang titik x ∈ I saya, kita katakan bahwa Q (x) memegang hampir di mana-mana di I (atau untuk hampir setiap x ∈I), jika terdapat set null Z ⊂ I seperti bahwa Q (x) berlaku untuk semua x ∈ I \ z. dalam hal ini kita dapat menulis Q(x) for a. e. x ∈ I Hal ini sepele bahwa setiap subset dari himpunan null juga satu set null dan mudah untuk melihat bahwa persatuan dua set null adalah satu set null.

Kita sekarang akan

memberikan contoh yang mungkin sangat mengejutkan.

7.3.11 Contoh Q1 dari bilangan rasional dalam [0, 1] adalah satu set null. Kami menghitung Q

1

= [r

1,

r

2,

..]. diberikan ε > 0, diketahui bahwa interval

terbuka J1 = (r1 - ε / 4, r1 + ε / 4) mengandung r 1 dan memiliki panjang ε/2; juga interval terbuka J2 = (r2 - ε / 8, r2 +ε / 8) berisi r

2

dan memiliki panjang ε/ 4. Secara umum,

interval terbuka.

Berisi rk dan memiliki panjang ε/2k. Oleh karena itu, persatuan ini berisi interval

T terbuka setiap titik Q1, apalagi, jumlah panjang adalah ∑f T(¦/2 ) = ε. .Sejak ε > 0

adalah sewenang-wenang, Q 1 adalah satu set null. Argumen yang diberikan hanya dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa: setiap set dapat dihitung adalah satu set null. Namun, dapat ditunjukkan bahwa terdapat set null terhitung dalam R, misalnya, set penyanyi yang akan diperkenalkan di 11.1.10 definisi. Kita sekarang negara integrability kriteria's Lebesgue.

Hal ini menegaskan

bahwa fungsi dibatasi pada interval adalah integrable Riemann jika dan hanya jika poin atas diskontinuitas dari satu set null.

7.3.12 Lebesgue's integrability Kriteria.



Fungsi dibatasi f : [a, b] R adalah integrable Riemann jika dan hanya jika terus menerus hampir setiap di mana-mana pada [a, b]. Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran C. Namun, kami akan menerapkan Legesgue Teorema di sini untuk beberapa fungsi tertentu dan menunjukkan bahwa beberapa hasil sebelumnya kita mengikuti langsung dari itu. Kami juga akan menggunakan teorema ini untuk mendapatkan komposisi yang penting dan teorema produk.

7.3.13 Contoh (a) fungsi langkah g pada contoh 7.1.3 (b) kontinu di setiap titik kecuali titik x = 1. Oleh karena itu mengikuti dari Lebesgue Integrabilitiy Kriteria yang g Riemann integrable. Bahkan, karena setiap fungsi step memiliki paling banyak satu set hingga titiktitik diskontinuitas, maka: setiap fungsi step pada [a, b] adalah Riemann integrable. (b) karena terlihat di Teorema 5.5.4 bahwa himpunan titik diskontinuitas sebuah fungsi monoton adalah dihitung, kita menyimpulkan bahwa: Setiap fungsi monoton pada [a, b] adalah Riemann integrable. (c) Fungsi G pada contoh 7.1.3 (e) terputus tepatnya di titik-titik D = {1, ½, .. , 1/n}. karena ini adalah satu set dihitung, itu adalah satu set null dan Lebesgue's Kriteria menyiratkan bahwa G adalah Riemann integrable (d) Fungsi Dirichlet ditunjukkan pada contoh 7.2.2 (b) tidak menjadi Riemann integrable. Perhatikan bahwa terputus di setiap titik [0, 1]. Karena dapat ditunjukkan bahwa interval [0, 1] adalah bukan null set, Lebesgue's Kriteria menghasilkan kesimpulan yang sama. (e) Mari h: [0, 1] R fungsi Thomaes, yang didefinisikan pada contoh 5.1.4 (h) dan 7.1.6. kontinu di setiap bilangan rasional dalam [0, 1]. Dengan contoh 7.3.11, itu terputus pada satu set null, jadi Lebesgue's Kriteria menyiratkan itu fungsi Thomae adalah Riemann terintegrasikan pada [0,1] seperti yang kita lihat dalam contoh 7.1.6 Kita sekarang memperoleh hasil yang akan memungkinkan kita untuk mengambil kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann.

Komposisi Teorema 7.3.14 ƒ ∈ R [a, b] dengan ƒ [a, b] ⊆ [c, d] and let ϕ: [c, d] R terus menerus. Kemudian komposisi ϕ o ƒ milik R [a, b].



Bukti. Jika f kontinu di titik point µ ∈[a, b], kemudian ϕ o ƒ juga kontinu di µ. Karena D titik diskontinuitas set f adalah satu set null.

Oleh karena itu, D1 ⊆ D titik

diskontinuitas ϕ o ƒ juga satu set null. Oleh karena itu komposisi ϕ o ƒ juga milik R [a, b]. Akan terlihat latihan 22 bahwa hipotesis yang ϕ kontinu tidak dapat dijatuhkan. Hasil berikutnya adalah akibat wajar dari teorema komposisi.

7.3.15 Corollary Misalkan ƒ ∈ R [a, b]. maka nya nilai absolut | f | adalah dalam R [a, b] dan

Dimana | f (x) | <M untuk semua x ∈[a, b]

Bukti. Kita telah melihat dalam Teorema 7.1.5 bahwa jika | adalah integrable, maka ada pintu keluar M seperti yang | f (x) | <M untuk semua x ∈ [a, b]. Biarkan ϕ (t) =

|t

| untuk t ∈{-M, M}, kemudian teorema komposisi menyiratkan bahwa that |ƒ| = ϕ o ƒ ∈ R [a, b]. ketidaksetaraan pertama berikut dari kenyataan bahwa -|ƒ| < ƒ < |ƒ| dan 7.1.4 (c) dan yang kedua dari kenyataan bahwa | f (x) | <M.

7.3.16 Teorema Produk/Hasil Jika f dan g milik R [a, b], maka produk f g milik R [a, b], Bukti. Jika ϕ (t) = t 2 untuk t ∈ [-M, M]. mengikuti dari teorema komposisi yang f 2 = ϕ o f milik R [a, b]. sama, (f + g) 2 dan g 2 milik R [a, b]. tapi karena kita dapat menulis produk sebagai g = ½ [(ƒ + g)2 - ƒ 2 - g2

Oleh karena itu, ƒ g ∈ R [a, b],

7.3.17 Bagian Integrasi Biarkan F, G terdiferensialkan pada [a, b] dan f = F 'dan g = G' milik R [a, b], maka

(7)



Bukti. Dengan Teorema 6.1.3 (c), derivatif (FG) 'ada di [a, b] dan (FG) '= F'G + FG' = | G + g G Sejak F, G adalah kontinu dan f g milik R [a, b].,, Teorema produk 7.3.16 menyiratkan | G dan F g adalah integrable. Oleh karena itu teorema Fundamental 7.3.1 menunjukkan bahwa

khusus namun bermanfaat ini, kasus dari teorema ini adalah ketika f dan g kontinu pada

[a, b] dan F, G tak terbatas mereka integral F (x) =
(8) Dimana sisanya diberikan oleh

Bukti. Terapkan integrasi Part untuk persamaan (9) F(t) = ƒ(n)(t) dan G(t) = (b-t)n /n !, jadi g(t) = -(b - t)n-1 /(n – 1)!, untuk mendapatkan

Jika kita terus mengintegrasikan dengan bagian dalam cara ini, kita memperoleh (8)

7.4. Perkiraan Integrasi Teorema dasar kalkulus 7.3.1 menghasilkan metode yang efektif untuk /

mengevaluasi integral <. ƒ asalkan kita dapat menemukan antiderivate F sehingga F '(x) = f (x) ketika x ∈ [a, b]. Namun, ketika kita tidak dapat menemukan seperti F, kami mungkin tidak dapat menggunakan Teorema Dasar. Namun demikian, ketika ƒ adalah



/

terus-menerus, ada sejumlah teknik untuk mendekati Riemann integral <. ƒ

dengan

menggunakan jumlah yang menyerupai jumlah Riemann.

/

Salah satu dasar prosedur yang sangat untuk mendapatkan perkiraan cepat <. ƒ berdasarkan Teorema 7.1.4 (c), adalah untuk dicatat bahwa jika g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) untuk semua ∈ x [a, b] maka

/

Jika integral dari g dan h dapat dihitung, maka kita memiliki batasan untuk <. ƒ seringkali batas ini adalah akurat cukup untuk kebutuhan kita.

Sebagai contoh, misalkan kita ingin memperkirakan nilai < § dx. Sangat mudah

untuk menunjukkan bahwa § ≤ § ≤ 1 untuk [0, 1] sehingga

Akibatnya, kami telah 1–1/e ≤ < § dx. ≤ 1. Jika kita menggunakan rata-rata nilai tanda kurung.

Kami memperoleh estimasi 1-1/2e ≈ 0,186 untuk integral dengan

kesalahan kurang dari 1/2e <0,184. perkiraan ini kasar, tetapi diperoleh dengan cepat dan dapat cukup memuaskan untuk kebutuhan kita. Jika pendekatan yang lebih baik adalah yang diinginkan, kita dapat mencoba untuk menemukan fungsi yang kurang lebih dekat g dan h.

6.4.1 Teorema Taylor dapat digunakan untuk perkiraan oleh polynomial § . Dalam menggunakan Teorema Taylor, kita harus mendapatkan batas pada istilah sisanya untuk perhitungan kami untuk memiliki signifikansi. Sebagai contoh, jika kita menerapkan Teorema Taylor ke e-y untuk 0 ≤ y ≤ 1,, kita mendapatkan Dimana R3 = y4 e-c/24 di mana c adalah beberapa nomor dengan 0 ≤ c ≤ 1. Karena kita tidak memiliki informasi yang lebih baik sebagai ke lokasi c, kita harus puas dengan estimasi 0 ≤ R3 = y4 e-c/24. Oleh karena itu kami telah

Dimana 0 ≤ x 8 / 24 untuk x ∈ [0, 1]. Oleh karena itu, kita memperoleh



Karena kita memiliki 0 ≤ < \ 3 dx ≤

¨.K

=

©

< 0.005 itu berikut yang

Dengan kesalahan kurang dari 0,005

Persamaan Partisi Jika ƒ : [a, b] R adalah terus menerus, kita tahu bahwa perusahaan integral Riemann ada. Untuk menemukan nilai perkiraan ini tidak terpisahkan dengan jumlah minimum perhitungan, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan Pn partisi P dari [a, b] menjadi n selang bagian yang sama memiliki panjang h n = (b-a) / n. maka P n adalah partisi:

Jika kita mengambil poin tag kami untuk menjadi titik-titik ujung kiri dan kanan titik akhir subinterval, kita mendapatkan ke-n kiri pendekatan yang diberikan oleh:

Dan hak pendekatan ke n yang diberikan oleh

Perlu dicatat bahwa hampir semudah untuk mengevaluasi kedua pendekatan sebagai hanya salah satu dari mereka, karena mereka berbeda hanya dalam persyaratan f (a) dan f (b). Kecuali kita punya alasan untuk percaya bahwa salah satu Ln (ƒ) atau Rn(ƒ) lebih dekat dengan nilai sebenarnya dari integral dari yang lain, kita biasanya mengambil mereka berarti:

Yang mudah terlihat sama



(1) .

Sebagai pendekatan yang wajar untuk
(2)

Dalam hal ini, kita mudah melihat bahwa

Perkiraan kesalahan seperti ini bermanfaat, karena memberikan batas atas untuk kesalahan pendekatan dalam hal kuantitas yang diketahui sejak awal. Secara khusus, dapat digunakan untuk menentukan seberapa besar kita harus memilih n dalam rangka untuk memiliki sebuah pendekatan yang akan tepat untuk dalam kesalahan tertentu ε > 0. Diskusi di atas berlaku untuk kasus yang f meningkat pada [a, b]. jika f adalah menurun, maka ketidaksetaraan dalam (2) harus dibalik. Kita dapat meringkas kedua kasus dalam pernyataan berikut.

7.4.1 Teorema Jika f :[a, b] R adalah monoton dan jika T n (f) diberikan oleh (1), maka

(3) 7.4.2 Contoh

Jika f (x) =§ pada [0, 1] maka f adalah menurun. Ini mengikuti dari (3) bahwa jika n

= 8, maka |< § 0 - Tg(f) | ≤ (1 – e-1)/16 < 0.04 dan jika n = 16, maka |< § 0 –



T16(f) | ≤ (1 – e-1)/32 < 0.02. Sebenarnya, pendekatan ini cukup baik seperti yang akan kita lihat dalam contoh 7.4.5

Aturan Trapezoidal Metode numerik yang disebut "Aturan Trapezoidal" didasarkan pada kurang lebih sama dengan fungsi kontinu f : [a, b] oleh fungsi linear kontinu sesepenggal. Misalkan n ∈ N dan seperti sebelumnya, biarkan let hn = (b-a)/n dan mempertimbangkan P

n

partisi.

Kami perkiraan f oleh fungsi linier sesepenggal g n yang melewati titik-titik (a + kha, f (a .

+ kha)), dimana k = 0,1, ..., n. yang tampaknya masuk akal bahwa integral
"kira-kira sama dengan" integral
2

dikenal

menjadi ½ h (l1 + l2), kita memiliki

Untuk k = 0,1, ..., n-1. Menjumlahkan syarat dan suara, yang setiap partisi di P n kecuali a dan b milik dua subinterval berdekatan kita peroleh.

Tapi istilah di sebelah kanan justru T n (f), ditemukan dalam (1) sebagai ol L n mean (f) dan R n (f), kita sebut T n (f) Trapezoidal n Perkiraan dari f. Dalam teorema 7.4.1 kami memperoleh perkiraan kesalahan dalam kasus di mana f adalah monoton, kita sekarang negara satu tanpa pembatasan ini f, namun dari segi turunan kedua f "dari f.

7.4.3. Teorema / Dalil Biarkan f, f 'dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan T n (f) menjadi Trapezoidal n Aproksimasi (1). Lalu terdapat c ∈ [a, b] seperti itu.



(4) Sebuah bukti dari hasil ini akan diberikan pada Lampiran D, itu tergantung pada sejumlah hasil kami telah memperoleh dalam bab 5 dan 6. Persamaan (4) bunga karena dapat memberikan baik batas atas dan batas bawah .

untuk T n perbedaan Tn (f) - 0 untuk semua x ∈ [a, b], maka (4) menunjukkan bahwa perbedaan ini selalu melebihi 1 / 12 A (b - a) h n. jika kita hanya memiliki f "(x) ≥ 0 untuk x ∈ [a, b], yang terjadi ketika f adalah cembung, mereka Aproksimasi Trapezoidal selalu terlalu besar. Pembaca harus menggambar sosok untuk memvisualisasikan ini. Namun, biasanya batas atas yang lebih menarik.

7.4.4 Corollary Biarkan f, f 'dan f "akan terus-menerus, dan membiarkan | f" (x) | ≤ B

2

untuk

semua x∈ [a, b] maka

(5) Ketika sebuah B2 batas atas

dapat ditemukan (5) dapat digunakan untuk

menentukan seberapa besar n dapat dipilih untuk menjadi tertentu akurasi yang diinginkan.

Aturan Midpoint Salah satu metode yang hampir sama dengan integral f adalah jumlah Riemann dievaluasi pada titik tengah subinterval. Jadi jika P

n

adalah spasi partisi yang sama

diberikan sebelumnya, Midpoint Aproksimasi dari f diberikan oleh

(6) Metode lainnya mungkin menggunakan sepenggal fungsi linear yang bersinggungan dengan grafik dari f pada titik tengah dari subinterval.

Pada pandangan pertama,

tampaknya seolah-olah kita akan perlu untuk mengetahui kemiringan dari garis singgung



grafik f pada setiap titik-titik tengah a + (k – ½ hn)

(k = 1, 2, ..., n). Namun, itu adalah

latihan dalam geometri untuk menunjukkan bahwa daerah trapesium yang puncaknya ini garis singgung di titik-titik tengah sebuah a + (k – ½ hn) adalah sama dengan luas persegi panjang yang tingginya adalah f a + (k – ½ hn) (Lihat gambar 7.4.1). demikian, daerah ini diberikan oleh (6) dan "Tangent Aturan Trapesium" berubah menjadi sama seperti "aturan titik-titik tengah". Kita sekarang negara teorema menunjukkan bahwa aturan titik tengah memberikan akurasi yang lebih baik daripada Aturan Trapezoidal dengan faktor 2.

Teorema 7.4.6 Misalkan f, f ', dan f "kontinu pada [a, b] dan biarkan Mn (f) menjadi n Aproksimasi titik tengah (6). Maka terdapat y ª [a, b] sedemikian sehingga

. (7) < # / Bukti

− U (#) = dari

(./ ) « K

hasil

ini

# " ( )

adalah

pada

Lampiran

D.

Seperti dalam kasus dengan Teorema 7.4.3, rumus (7) dapat digunakan untuk memberikan baik upper terikat dan batas bawah untuk perbedaan

.

itu adalah batas atas yang biasanya kepentingan yang

lebih besar. Berbeda dengan Aturan Trapezoidal, jika fungsi tersebut cembung, maka Aproksimasi Hasil

Titik

berikutnya

Tengah adalah

sejajar

selalu dengan

terlalu

kecil.

Corollary

7.4.4.

7.4.7 Corollary Letf, f ', and f "terus menerus, dan biarkan 5# " (¬)5 ≤ Z untuk

37



semua x ε [a, b]. Kemudian (8)

5U (# ) − < #5 ≤

(− )ℎ2 ! 24

Z2

=

(− )ℎ3 ! 24

Z2

Aturan Simpson Prosedur pendekatan terakhir yang kita akan mempertimbangkan biasanya memberikan perkiraan yang lebih baik daripada baik Trapezoidal atau Aturan Titik Tengah dan memerlukan perhitungan tambahan pada dasarnya tidak ada. Namun, sifat busung (atau cekung) dari f tidak memberikan informasi tentang kesalahan untuk metode ini. Bahwa Aturan Trapezoidal dan Titik Tengah didasarkan pada pendekatan dari f oleh fungsi linier piecewise, 'Aturan Simpson mendekati grafik dari f dengan busur parabola. Untuk membantu memotivasi formula, pembaca dapat menunjukkan bahwa jika tiga poin (−ℎ, ~ ) , (0, ~ ) !0 (ℎ, ~ )

diberikan, maka fungsi kuadrat q(x) := Ax2 + Bx + C yang melewati ini poin memiliki properti yang

< D =

@

ℎ ( ~ + 4~ + ~

Sekarang mari f menjadi fungsi kontinu pada [a, b] dan biarkan ε n N bahkan, dan biarkan let

=

hn

(b

-

[ a , a + 2hn],

a)/n.

Pada

setiap

"subinterval

ganda"

[a+ 2hn , a + 4hn], ..., [b - 2hn , b],

kami perkiraan f oleh n / 2 fungsi kuadrat yang setuju dengan f di titik-titik Yo =

f(a), Y1= f(a + hn), Y2= f(a + 2hn), ....…. yn= f(b).

Ini ke Aproksimasi Simpson n, definisinya (9) Sn(f)

:= 1/3hn(f(a) + 4f(a + hn) + 2f(a + 2hn) + 4f(a + 3hn) +2f(a + 4hn) + ... … + 2f(b - 2hn) + 4f(b – hn) + f(b) )

Perhatikan bahwa koefisien dari nilai-nilai dari f di + n 1 poin partisi mengikuti pola 1, 4, 2, 4, 2, .. .... , 4, 2, 4, 1. Kita sekarang negara Teorema yang memberikan perkiraan tentang akurasi Simpson pendekatan, melibatkan turunan keempat f. Teorema 7.4.8 Misalkan f, t, f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan membiarkan n ε N akan bahkan. Jika Sn (f) adalah Aproksimasi Simpson n (9), maka ada c ε [a, b] seperti bahwa



(10) %

(./ ) «

.

(#) −
Sebuah

bukti

®

dari

hasil

ini

# K (r) diberikan

dalam

Lampiran

D.

Hasil berikutnya adalah sejajar dengan kololari 7.4.4 dan 7.4.7.

7.4.9 Korolari Misalkan f, f ', f ", f (3) dan f (4) kontinu pada [a, b] dan biarkan Jika (4) (x) 1 ; B4 untuk semua x ε [a, b]. Kemudian (11) .

Q% (#) − - # Q ≤ /

( − )@ ( − )ℎK ZK = ZK 180 180!K

Keberhasilan penggunaan memperkirakan (11) tergantung pada kemampuan untuk menemukan

batas

atas

untuk

turunan

keempat.

7.4.10 Contoh Jika bahwa

#( ) = 4§

pada [0, 1] maka perhitungan menunjukkan

# (K) ( ) = 4§ ( 4 K − 12 + 3

(4)

dari mana ia berikut bahwa ¯ # mengambil

B4

=

20.

Maka

( )¯ ≤ 20 untuk x ε [0, 1], sehingga kita bisa dari

(11)

bahwa

jika

n

=

8

maka

|

Q%® (#) − - # Q ≤

1 1 .20 = < 0,00003 K 180. 8 36,864

dan bahwa jika n = 16 maka (1 1)

Q%© (#) − - # Q ≤

1 < 0,0000017 589,824

Catatan Pada Titik Tengah Aproksimasi Mn nth (f) dapat digunakan untuk "melangkah" ke th (2n) Trapezoidal dan Simpson Aproksimasi dengan menggunakan rumus Dan yang diberikan dalam Latihan. Jadi setelah Aproksimasi Trapezoidal awal T1 = T1 (f) telah dihitung, hanya Aproksimasi Titik Tengah Mn = Mn (f) perlu ditemukan. Artinya, kita menggunakan urutan berikut perhitungan:

² =

( − )(# () + # ()

U = ( − )#( ( + ) , T2 = ½ M1 + ½ T1

,

S2 = 2/3 M1 + 1/3T1



U UK

T 4 = ½ M2 + ½ T 2

,

S4 = 2/3 M2 + 1/3T2

T 8 = ½ M4 + ½ T 4

,

S8 = 2/3 M4 + 1/3T4



INTEGRAL RIEMANN. a = x 0 x 1 x 2 x 3 x n-1 x n = b. Gambar Partisi dari,

Recommend Documents