Integral Tertentu
5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) Misalkan ada dua benda masing-masing memiliki massa sebasar m1 dan m2 yang diletakkan pada papan berimbang dengan jarak berturut-turut d1 dan d2 dari titik penyangga pada bagian-bagian yang berbeda. Keadaan tersebut akan seimbang jika dipenuhi d1 m1 = d2 m2. m1
d1
d2
m2
Suatu model amtematis yang baik diperoleh apabila papan tersebut kita letakkan pada suatu system bandmil yang titik asalnya kita impitkan dengan titik penyangga papan, maka koordinat x1 dari massa m1 adalah x1 = –d1 dan dari massa m2 adalah x2 = –d2. Jadi syarat keseimbangan adalah x1 m1 + x2 m2 = 0 m1 x1
m2 0
x1
Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat supaya dua massa pada sebuah garis berimbang adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. Keadaan tersebut dapat diperluas untuk sejumlah n benda (partikel). Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu system yang terdiri atas n massa, yaitu m1, m2, …, mn yang berbeda pada x1, x2, …, xn pada sumbu X adalah jumlah momen masing-masing massa, yaitu n
M = x1 m1 + x2 m2 + … + xn mn =
∑ xi mi i =1
Syarat keseimbangan di titik asal adalah M = 0. Tentunya titik asal tedak selalu menjadi titik seimbang system tersebut, kecuali dalam hal khusus. Akan tetapi pasti terdapat titik seimbang dalam suatu system tersebut. Misalkan x merupakan koordinat titik seimbang system pada sumbu X, maka momen terhadap titik tersebut harus nol. Jadi berlaku Thobirin, Kalkulus Integral 104
Integral Tertentu
( x1 − x ) m1 + ( x2 − x )m2 + ... + ( xn − x ) mn = 0 atau
x1m1 − x m1 + x2 m2 − x m2 + ... + xn mn − x mn = 0 x1m1 + x2 m2 + ... + xn mn = x m1 + x m2 + ... + x mn sehingga diperoleh n
x=
∑ xi mi i =1 n
∑ mi
=
M m
i =1
Titik dengan koordinat x dinamakan pusat massa, titik ini adalah titik seimbang. Perhatikan bahwa x diperoleh sebagai hasil bagi momen system terhadap titik asal dan jumlah massa.
a. Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis Perhatikan sepotong kawat lurus dengan kepadatan massa (massa tiap satuan panjang) yang berlainan. Kita ingin mengetahui kedudukan titik berat kawat itu. Untuk ini kita letakkan kawat itu sepanjang system koordinat (dengan batas-batas x = a dan x = b) dan andaikan kepadatan di x adalah δ(x). Dengan menggunakan prosedur yang sudah kita lakukan untuk berbagai macam fenomena di depan, dibuat partisi, metode hampiran dan dicari limitnya, dengan
memperhatika
bagian
Δx ,
sepanjang
sehingga
Δm ≈ δ ( x) Δx
berakibat
ΔM ≈ x δ ( x) Δx , diperoleh b
b
a
a
m = ∫ δ ( x) dx dan M = ∫ x δ ( x) dx Akhirnya maka diperoleh b
M x= = m
∫ xδ ( x) dx a b
∫ δ ( x) dx a
Contoh 24 Kepadatan δ(x) sepotong kawat di sebuah titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya adalah δ(x) = 3x2 g/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x = 0 dan x = 10. Thobirin, Kalkulus Integral 105
Integral Tertentu
Penyelesaian: 0
10
Dengan memperhatika δ(x) jelas bahwa kawat dibagian x = 10 lebih berat dari pada di bagian x = 0, sehingga pusat massanya akan lebih dekat ke x = 10. Secara pasti bahwa pusat massanya adalah 10
x=
∫ x 3x
2
dx
0 10
∫ 3x
2
dx
[x] = [x ] 3 4
4 10 0 10 3 0
= 7,5
0
b. Distribusi massa yang kontinu pada bidang Perhatika n partikel yang masing-masing memiliki massa m1, m2, …, mn yang terletak pada bidang koordinat berturut-turut di ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) , …, ( xn , y n ) .
mn • (xn, yn)
m1 • (x1, y1)
m4 • (x4, y4)
m2 • (x2, y2)
m3 • (x3, y3)
Jumlah momen n partikel terhadap sumbu Y adalah n
M Y = x1m1 + x2 m2 + ... + xn mn = ∑ xi mi i =1
Sedangkan jumlah momen n partikel terhadap sumbu X adalah n
M X = y1m1 + y 2 m2 + ... + y n mn = ∑ yi mi i =1
Koordinat pusat massa system tersebut adalah ( x , y ) dengan
Thobirin, Kalkulus Integral 106
Integral Tertentu n
M x= Y = m
n
∑ xi mi i =1 n
dan
∑ mi
M y= X = m
i =1
∑ yi mi i =1 n
∑ mi i =1
Persoalan yang kita hadapi sekarang adalah menentukan pusat massa lamina, yaitu sepotong lempeng tipis yang rata. Misalkan lamina ini homogen, yang berarti kepadatan δ adalah konstan. Untuk suatu lempeng homogen yang berbentuk persegi panjang, pusat massanya terletak pada perpotongan kedua diagonalnya.
Jika diketahui lamina homogen berbentuk persegi panjang L mempunyai kepadatan massa δ konstan dan garis lurus l terletak pada bidang yang memuat lamina tersebut, maka momen lamina L terhadap garis l adalah
M l ( L) = d m dengan d : jarak pusat massa lamina L ke garis l m : massa lamina yang dapat dihitung dari m = δ A (disini A adalah luas lamina L) ilustrasi ini dapat dilihat pada gambar berikut.
L
d
l Selanjutnya perhatikan lamina homogen L dengan kepadatan massa δ dibatasi oleh kurva y = f (x) , y = g (x) , x = a, dan x = b dengan g ( x) ≤ f ( x) .
Thobirin, Kalkulus Integral 107
Integral Tertentu
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu titik
xi ∈ [ xi −1 , xi ] yang merupaka titik tengah sub interval [xi-1, xi], maka xi = ( xi + xi −1 ) / 2 . Selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang [ f ( xi ) − g ( xi )] dan lebar Δxi = xi − xi −1 sebagai lamina hampiran Li . Tentu pusat massa lamina Li berada di garis x = xi , tepatnya
⎛ ⎝
berada pada koordinat ⎜ xi ,
f ( xi ) + g ( xi ) ⎞ ⎟ . Oleh karena itu momen Li terhadap sumbu Y 2 ⎠
adalah
M Y ( Li ) = xi mi = xi δ Ai = xi δ [ f ( xi ) − g ( xi )] Δxi Kita peroleh jumlahan n
n
∑ M Y ( Li ) = δ
∑ xi [ f ( xi ) − g ( xi )] Δxi
i =1
i =1
Apabila P → 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu Y, yaitu
M Y ( L) = lim
P →0
n
∑ M Y ( Li ) i =1
= δ lim
P →0
n
∑ xi [ f ( xi ) − g ( xi )] Δxi i =1
b
= δ ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx a
Jadi b
M Y ( L) = δ ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx a
Selanjutnya perhatikan bahwa momen Li terhadap sumbu X adalah
M X ( Li ) =
f ( xi ) + g ( xi ) mi 2
=
f ( xi ) + g ( xi ) δ Ai 2
=
f ( xi ) + g ( xi ) δ [ f ( xi ) − g ( xi )] Δxi 2 Thobirin, Kalkulus Integral 108
Integral Tertentu
δ
=
[{ f ( xi )}2 − {g ( xi )}2 ] Δxi
2
Kita peroleh jumlahan
δ
n
n
∑ M X ( Li ) = 2 ∑[{ f ( xi )}2 − {g ( xi )}2 ] Δxi i =1
i =1
Apabila P → 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu X, yaitu
M X ( L) = lim
P →0
= =
δ
∑ M X ( Li ) i =1
n
[{ f ( xi )}2 − {g ( xi )}2 ] Δxi ∑ P →0
lim
2
δ
n
i =1
b
[{ f ( x)} 2∫
2
− {g ( x)}2 ] dx
a
Jadi
δ
b
[{ f ( x)} 2∫
M X ( L) =
2
− {g ( x)}2 ] dx
a
Selanjutnya massa lamina L adalah m(L) = δ A Jadi
m( L) = δ
b
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a
Oleh karena itu diperoleh koordinat pusat massa lamina L adalah ( x , y ) dengan b
M ( L) = x= Y m( L )
δ ∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx δ
a b
b
=
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx
y=
M X ( L) = m( L )
a
b
[{ f ( x)} 2∫
2
− {g ( x)} ] dx 2
a
δ
b
∫ a
a b
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx
a
δ
∫ x [ f ( x) − g ( x)] dx
[ f ( x) − g ( x)] dx
=
1 2
b
∫ [{ f ( x)}
2
− {g ( x)}2 ] dx
a b
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a
Thobirin, Kalkulus Integral 109
Integral Tertentu
Contoh 25 Diketahui suatu lamina homogen L dengan kepadatan massa δ konstan, yang merupakan daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 3 dan y =
x . Tentukan
a. momen L terhadap sumbu Y b. momen L terhadap sumbu X c. massa lamina L d. pusat massa lamina L. Penyelesaian: Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah (0, 0) dan (1, 1), sehingga batasbatas x adalah 0 dan 1. 1
⎡2 5 1 5 ⎤ 1 a. M Y ( L) = δ ∫ x [ x − x ] dx = δ ⎢ x 2 − x ⎥ = δ 5 ⎦⎥ 5 0 ⎣⎢ 5 0 1
3
b. M X ( L) =
c. m( L) = δ
δ 2 1
∫ 0
1
∫
[{ x } − {x } ] 2
0
3 2
δ ⎡1
1
1 ⎤ 5 dx = ⎢ x − x 7 ⎥ = δ 2 ⎣2 7 ⎦ 0 28 2
1
⎡2 3 1 4 ⎤ 5 [ x − x ] dx = δ ⎢ x 2 − x ⎥ = δ 4 ⎥⎦ 12 ⎢⎣ 3 0 3
1 5 δ δ M Y ( L) 5 M X ( L) 28 12 3 = = = = dan y = d. x = 5 5 m( L) m( L ) δ 25 δ 7 12 12
⎛ 12 3 ⎞ , ⎟ ⎝ 25 7 ⎠
Jadi koordinat pusat massa lamina L adalah ( x , y ) = ⎜
Thobirin, Kalkulus Integral 110
