TURUNAN
11.1 GARIS SINGGUNG Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 11.1 Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 11.2
A
Gambar 11.1
A
B l
Gambar 11.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang Matematika Dasar
Page 144
terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan m=
fx-fx
(1)
x-x
y l1 A
l
Kemiringan garis l1=m1 Kemiringan garis l = m
B
x
x
x1
h
x
Gambar 11.3 Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk, lim m = lim →
→
fx-F(x) x-x
=m
(2)
Persaman (2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi
Matematika Dasar
Page 145
lim m = lim →
fx-F(x) x-x
→
Sehingga m = lim →
=m fx-F(x)
(3)
x-x
Karena x – x = h, maka m = lim →
fx+h-F(x)
(4)
h
Jika dimisalkan h = fx, maka m = lim Δ→
fx+Δx-F(x) Δx
(5)
Persamaan (3) s/d (5) adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))
Contoh 11.1 Diketahui f(x)= 3x2 +5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian m = lim
fx+Δx-F(x) Δx
Δ→
= lim
3x+Δx+5-3x-5
Δ→
Δx
= lim
= lim 6x + 3Δx=6x
3x+6xΔx+3(Δx)+5-3x-5
Δ→
Δx
Δ→
Jadi m = 6x (*)
Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
A. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukanf (x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).
Matematika Dasar
Page 146
f(x)
f’(x)
differensiasi Gambar 11.4
Selanjutnya
turunan
didefinisikan
sebagai
kemiringan
garis
yang
menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan (3) dan Gambar 3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk, fx = lim
fx-f(x) x-x
→
, jika nilai limitnya ada
(6)
jika persamaan (6) dapat dipenuhi berarti f(x) dapat diferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Contoh 11.2 Jika f(x)= 2x2 +5-7, tentukan f’(x),f’(c) dan f’(3) Penyelesaian f(x)= 2x2 +5-7 f(x+Δx)= 2(x+Δx)2 +5(x+Δx-7=2x2 +4xΔx+2(Δx)2 +5x+5Δx-7 f(x+Δx)-f(x)=4xΔx+2Δx( +5Δx
f(x)=lim
Δ→
qoΔx)-f(x) Δx
= lim Δ→
4x Δx+2(Δx)+5Δx Δx
= lim 4x+2(Δx)+5=4x+5 Δ→
jadi f(x) = 4x+5
f(c) = 4c+5 f(3) = 4(3)+5=17
B. Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang F’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi F yang diperkenalkan pertama
kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah Matematika Dasar
Page 147
tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = F’.
C. Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiabel jika memenuhi persamaan (6) yaitu, Jika lim
fx+Δx-f(x)
Δ→
Δx
f(x+Δx)-f(x)=
ada, maka f(x)=lim
fx+Δx-f(x) Δx
lim(f(x+Δx)-f(x))=lim Δ→
Δ→
Δx)
Δx
. lim Δx=f(x).0=0
fx+Δx-f(x)
Δ→
fx+Δx-f(x)
Δx
Δ→
Sehingga lim f(Δx+x)=lim fx → limfx = fx (terbukti) Δ→
Δ→
Δ→
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontin pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.
11.2 TEOREMA A. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai, Á = F = ã, ä
å å
= F′ = 0
(7)
Bukti : fx=c; f(x+Δx)=c dy dx
=fx=lim Δ→
fx+Δx-f(x) Δx
B. Aturan penjumlahan
=lim
c-x
Δ → Δx
= 0 (terbukti)
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
Á = ℎ = F + è, ä
Matematika Dasar
RÁ = F′ + è′ R
(9)
Page 148
Bukti :
hx = fx + gx
h(x + ∆x)=f(x + ∆x)+g(x + ∆x) hx = lim
hx+Δx-h(x)
Δ→
= lim
Δx
fx+Δx-f(x) Δx
Δ→
lim
fx+Δxmgx+Δxoqoé Δx
Δ→
+ lim
gx+Δx
Δ→
Δx
= fx + gx (terbukti)
Contoh 11.4
Diketahui Á = 5 + 2
Tentukan
dy dx
Penyelesaian : f(x)=5x
g=2x
F’ = 5
è’ = 2
= F’ + è’ = 5 + 2 = 7
å å
C. Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
Á = ℎ = F. è, ä
Bukti : hx=lim Δ→
=lim Δ→
å
= F′. è + F. è′
(10)
qm∆.ém∆oq.é ∆
qm∆.ém∆oqm∆.émqm∆.éoq.é
=lim fx + ∆x ë .
Δ→
=F
å
Contoh 11.5
∆
ém∆oé ∆
+ limgx Δ→
qm∆oq
è + F. è′ (terbukti)
∆
Diketahui Á=3 + 27 + 3 tentukan å Matematika Dasar
å
Page 149
Penyelesaian f(x)=3x+2x
g(x)=7x+3
F′ = 15 − 4
è′ = 7
dy = F ë . è + F. èë = 15 − 47 + 3 + 3 + 27 dx = 105 − 28 + 45 − 12 + 21 + 14 = 126 + 45 − 14 − 12
D. Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
Bukti :
hx =
"Á = ℎ = í , ä ì
å
=
ìë.ímì.íë í¢
(11)
; hx + ∆x = gxm∆x gx fx
fxm∆x
hxm∆xohx
hx=lim
∆x
Δ→
=lim
= lim Δ→
fxÀ∆x fx o gxÀ∆x gx
∆x
gx.fxm∆xogxm∆x.fx
Δ→
=lim
∆x.gxm∆x.gx
gx.fxm∆xofx.gxogxm∆x.fxmfx.gx ∆x.gxm∆x.gx
Δ→
=lim gx Δ→
=lim gx Δ→
=
å
fxm∆xofx.gx ∆x.gxm∆x.gx
fxÀ∆x½fx ∆x
gxm∆x.gx
ìë.ímì.íë í¢
Contoh 11.6
− lim fx ∆x.gxm∆x.gx Δ→
− lim fx ∆x.gxm∆x.gx Δ→
F = 2 < − 3 ( Matematika Dasar
gxÀ∆x½gx ∆x
(terbukti)
Tentukan turunan h(x) jika ℎ = 2x-3x4xPenyelesaian :
gxm∆xogx
( ´ oK ¢ < ¼
F′ = 8 K − 6 Page 150
è = 4 K
ℎ =
è′ = 12 (
F′. è + F. è′ 8 K − 6. 4 K − 2 < − 3 ( . 12 ( = 4 K ( è(
=
®K( ³ o(< ´ °o®(< ³ oKC´ ° :C ³
=
D ³ o:( ´ :C ³
E. Turunan fungsi komposisi y=fu dan u=gx, maka
dy dx
= du . dx
dy du
(12)
Bukti : Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u = g(x) ∆u = g(x+∆x)-g(x) →g(x+∆x) = g(x) + ∆u = u + ∆u Jika ∆u → 0 maka x∆ → 0 y = f(g(x)) ∆y = f(g(x+∆x))-(f(g(x)) ∆y ∆x
∆y ∆x
=
=
f®gxm∆x°ofgx fum∆uofu∆u ∆u
= lim dx dy
∆x
∆x
∆x
fum∆uofu
Δ→
∆u
=
f®gxm∆x°ofgx∆u ∆u
→ lim
∆y
Δ → ∆x
. lim
Δ→
∆x
= lim
Δ→
∆u
fum∆xofu∆u dy ∆u
= dx dx (terbukti) ∆x ∆u
dy du
dx
Persamaan (12) disebut aturan rantai Contoh 11.7 dy
Tentukan dx jika y = (4x3+5x2-x+4)3 Penyelesaian : Misal: u = 4x3+5x2-x+4 y = u3
Matematika Dasar
Page 151
du dx dy dx
=12x+10x-1
dy du
= du dx = 3u12x+10x-1 dy du
= 3u
=3®12x+10x-1°4x+5x-x+4
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ft = at − bt + 7
1.
2.
gx = x + 2 2
3.
wx =
5.
x
7
4x
6.
gt = at + bt +
7.
2tm3
fx =
5
hx =
4.
− √2x + 3
gt = t
4x 5
4x
hw =
8.
c(3at−7)
to3
+x 1
− √3x
boaw
4x 5
+
1 x
wmc
F. Turunan fungsi-fungsi trigonometri y=fx = sin x, maka
Bukti : dy dx
= fx = lim
Δ→
= lim
Δ→
= lim
Δ→
fxm∆xofx ∆x
dy dx
= lim
= fx=cos x sinxm∆xosin x ∆x
Δ→
sin x cos ∆xmcos x sin x ∆x
sin x cos ∆xo1mcos x sin ∆x
= lim sin x Δ→
= sin x lim
Δ→
∆x
cos ∆xo1 ∆x
cos ∆xo1 ∆x
(13)
+ cos x
sin ∆x ∆x
+ cos x lim
Δ→
sin ∆x ∆x
= sin x0 + cos x1 = cos x (terbukti)
jika y= sin u dan u = fx, maka
dy dx
= cos u
ï
(14)
Bukti :
Matematika Dasar
Page 152
y = sin u u = fx
dy dx
=
dy du du dx
dy du du dx
= cos u
du dx
= cos u = fx
(terbukti)
jika y = fx = cos x, maka
Bukti : du dx
= fx = lim
Δ→
= lim
Δ→
= lim
Δ→
fxm∆xofx ∆x
Þ
= lim
= fx = −sin x
cosxm∆xocos x
Δ→
cos x cos ∆xosin x sin ∆xocos x ∆x
cos x cos ∆xo1osin x sin ∆x
= lim cos x Δ→
= cos x lim
Δ→
∆x
cos ∆xo1 ∆x
cos ∆xo1 ∆x
− sin x
∆x
sin ∆x
− sin x lim
Δ→
∆x
sin ∆x ∆x
= cos x0 − sin x1 = − sin x (terbukti)
jika y = cos u dan u = f x, maka Bukti :
y = cos u
u = fx
dy du du dx
dy du
= −sin u
Þ
ï
(16)
= sin u = fx
= du dx = −sin u dx dy
(15)
du dx
(terbukti)
Contoh 11.8
Jika y = sinπ − 2x tentukan dx dy
Penyelesaian : Misal u=π-2x
Matematika Dasar
y=sin u Page 153
du dx dy dx
= −2
dy du
= cos u
= du dx = cos u−2 = −2 cosπ − 2x dy du
Contoh 11.9
Jika y = cos , tentukan x
dy
2
dx
Penyelesaian : Misal u= dy dx
=
dy du du dx
x
y=cos u
2
= −sin u l n = − sin 1
1
x
2
2
2
Contoh 11.10
Jika y = sin 2x cos 3x, tentukan dx dy
Penyelesaian : Misal u=sin 2x
v=cos 3x
du
dv
dx dy dx
= 2 cos 2x =
du dv .vou. dx dx
v
du
=
= −4 sin 4x
3 cos 3xcos 4xosin 3xo4 sin 4x
=
cos 4x
3 cos 3x cos 4xm4 sin 3x sin 4x cos 4x
jika y = fx = tan x, maka
Þ
= fx sec x
(17)
Bukti :
y = tan x = cos x sin x
u = sin x
= cos x dx
v = cos x
du
dy dx
=
=
du dv .vou. dx dx
v
cos xmsin x
Matematika Dasar
dv
cos x
dx
=
=
= − sin x
cos xcos xosin xo sin x cos x
1
cos x
sec x
Page 154
jika y = tan u, maka Bukti :
y = tan u
dv
dx
dx
du dy dx
dy du du dx
= sec u
ï
(18)
v = cos x
= cos x =
Þ
= − sin x
= sec u
du dx
(terbukti)
Contoh 11.11
Jika y = 5 tan 3x, tentukan
dy dx
Penyelesaian : Misal u=3x du dy dx
=
dx
y=5 tan u
=3
dy du du dx
dv du
= 5 sec u
= 5 sec u3 = 15 sec 3x
jika y = fx = cot x, maka
Þ
= fx = − csc x
(19)
Bukti :
y = cot x =
u = cos x du dx
= − sin x
= du dx dy
dy
=
.vou. v
du dx
o sin xocos x
Matematika Dasar
sin x
cos x sin x
v = sin x dv dx
=
=
o sin xsin xocos xcos x sin x
osin xocos x sin x
= cos x
= sin x = − csc x (terbukti) o1
jika y = cot u, maka
Þ
= − csc u
ï
(20)
Page 155
Bukti :
y = cot u u = fx
dy dx
=
dy du du dx
= − csc u = fx
= − csc u
dy du du dx
du
(terbukti)
dx
Contoh 11.12 Jika y = cot 1
1
2
3x
tentukan
1
dx
1
Misal u= x 3
y= 2 cot
=3 dx du
dy
= − 2 csc u du
1
dv
1
= du dx = − 2 csc u 3 = − 6 csc 3 x dx dy
dy du
1
1
1
jika y = fxsec x, maka
Þ
1
= fx sec x tan x
(21)
Bukti :
y = sec x = cos x 1
Misal u=1
v=cos x
du
dv
dx
=0
= dx dx dy
du
.vou. v
du dv dx
=
= − sin x
0cos xo1sin x cos x
jika y = sec u, maka Bukti :
y = sec u u = fx
dy du du dx
= cos x sec x tan x (terbukti) sin x
= sec u tan u
Þ
ï
(22)
= − csc u tan u = fx
= du dx = − sec u tan u dx (terbukti) dx dy
dy du
Matematika Dasar
du
Page 156
jika y = fx = csc x, maka
Þ
= fx = −csc x cot x
(23)
Bukti :
y = csc x = sin x 1
Misal u=1
v=sin x
du
dv
dx
dy dx
=0
= dx du
du .vou. v
dv dx
=
0sin xo1cos x sin x
jika y = csc u, maka
Bukti :
y = csc u
dy du
u = fx dy dx
= cos x
du dx
=
Þ
o cos x sin x
= − csc x cot x (terbukti)
= −csc u cot u
ï
(24)
= − csc u cot u = fx
= du dx = − csc u cot u dx (terbukti) dy du
du
Contoh 11.13
Jika y = 3 cotπ − x, tentukan dx 1
dy
Penyelesaian :
Misal u = π − x = −1 dx du
1
v= 2 csc u
= 3 csc u cot u du dv
1
= du dx = − 3 csc u cot u−1 = 3 csc u cot u = 3 cscπ − x cotπ − x dx dy
dy du
Matematika Dasar
1
1
1
Page 157
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! 1. 3. 5. 7. 9.
fx = sin 2 − 3 x
π
gx = tan x
x
π
2
3
wx = sec −
π
fx = csc − x π
6.
1
hw =
8.
2
3
sinawoπ
cosπobw
10. gt = sin t
atosin 2t
cosbot
x
hx=cot x
4.
gt = sin 2t cos πt vt
fx = cos 2 − 3
2.
cos 2t sin 3t
11.3 TURUNAN FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS jika y = fx arcsin x , maka
Þ
= fx =
:
(25)
√:o
Bukti
y = arcsin x → sin y = x
cos y dx = dx = 1 → dx = cos y dy
dx
dy
1
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga berikut: sin y = x
cos y = 1 − x
dy dx
=
1ox
√1ox
1
x
(terbukti) y 1-x
Bukti :
jika y = arcsin u dan u = fx , maka
y = arcsin u →
dy dx
= du dx = dy du
1
= du dy
du
√1ou dx
=
Þ
:
ï
√:oï
(26)
1
√1ou
(terbukti)
Contoh 11.14
Jika y = 8 arcsin − 3 x, tentukan dx 3
Matematika Dasar
1
dy
Page 158
Penyelesaian :
Misal u = − x 1
3
v= arcsin x
3
du
dy dx
=
dx dy du
=− =
du dx
8
1
dv
3
du
3
1
8 √1ou
=
3
− =− 1
1
8 √1ou 1
3
1 9
8 1o x
jika y = arcsin u dan u = fx , maka
Þ
=
:
ï
√:oï
(27)
Bukti
y = arccos x → cos y = x − sin y
dy dx
= dx = 1 → dx = − sin y dx
dy
1
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cos y = x
sin y = 1HHHHHHH −x
dy dx
=
1
√1ox
HHHHHHH 1−x
1
(terbukti)
y x
jika y = arccos u dan u = fx , maka Bukti :
y = arccos u → dy dx
= du dx = − dy du
dy du 1
=−
du
√1ou dx
Þ
=−
:
ï
√:oï
(28)
1
√1ou
(terbukti)
Contoh 11.15
Jika y = −3 arccos 2x , tentukan dx dy
Penyelesaian : Misal u = 2x du dx
=2
Matematika Dasar
y= − 3 arccos u
dv du
=3
1
√1ou
Page 159
dy dx
= du dx = 3 dy du
1
√1ou
2 =
6 1o2
=
6
√1o4x
jika y = fx = arctan x , maka
Bukti :
y = arctan x → tan y = x sec y
dy dx
=
=1→
dx dx
dy dx
=
Þ
= fX =
:
:mð
(29)
1 sec y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! tan y = x
sec y = 1 + x dy dx
HHHHHHH 1−x
= 1mx (terbukti) 1
x
y 1
jika y = arctan u dan u = fx , maka Bukti :
y = arctan u →
dy dx
dy du
Þ
= :m
: ï
(30)
= − 1mu 1
= du dx = 1mu dx (terbukti) dy du
1 du
Contoh 11.16
Jika y = 5 arctan 3 x , tentukan dx 3
1
dy
Penyelesaian Misal u = 3 x 1
du dx
dy dx
=3 1
= du dx = 5 1mu 3 = dy du
3
y= 5 arctan u
3 1 1
dv du
1 1 3
5 1m x
=
= 5 1mu 3 1
1
1 9
5 1m x
jika y = fx = arccot x , maka
Matematika Dasar
= fx = − :m
Þ
:
(31) Page 160
Bukti :
y = arccot x → cot y = x
− csc y dx = dx = 1 → dx = − csc y dy
dx
dy
1
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cot y = x
csc y = 1 + x
dy dx
= 1mx (terbukti) 1
HHHHHHH 1−x
1
y x
jika y = arctan u dan u = fx , maka Bukti :
y = arctan u →
dy dx
dy du
Þ
=
: ï
:m
(32)
= − 1mu 1
= du dx = 1mu dx (terbukti) dy du
1 du
Contoh 11.17
Jika y = 2 arccot 3 x , tentukan dx dy
Penyelesaian Misal u = 3x du dx
dy dx
=3
y=2 arccot u dv du
= −2
1 1mu
= du dx = −2 1mu 3 = −6 1m3x = − 1m9x dy du
Bukti : Matematika Dasar
1
1
jika y = fx arcsec x , maka
6
Þ
= √o: :
(33)
Page 161
y = arcsec x → sec y = x sec y tan y
=
dy dx
=1→
dx dx
dy dx
=
1 sec y tan y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sec y = x
sec y tan y = x HHHHHHH x−1 dy dx
=
1
x√xo1
x
(terbukti)
HHHHHHH x−1
y 1
jika y = arctan u dan u = fx , maka Bukti :
y = arcsec u → dy dx
dy du
Þ
= ï√ïo: :
ï
(34)
= − u√uo1 1
= du dx = u√uo1 dx (terbukti) dy du
1
du
Contoh 18
Jika y = arcsec 2 − x , tentukan dx π
dy
Penyelesaian :
Misal u = 2 − x π
du dx
dy dx
= −1
y= arcsec u dy du
= du dx = u√uo1 −1 = − π dy du
1
2
= u√uo1 1
1 π HHHHHHHHH ox oxo1 2
jika y = fx = arccsc x , maka
= fx = − √o:
Þ
:
(35)
Bukti :
y = arccsc x → csc y = x
−csc y cot y
Matematika Dasar
= dx = 1 → dx = csc y cot y dx dy
dx
dy
1
Page 162
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! csc y = x
csc y cot y = x HHHHHHH x−1 dy dx
=−
1
x√xo1
x
(terbukti)
1
y
HHHHHHH x−1
jika y = arccsc u dan u = fx , maka Bukti :
y = arccsc u → dy dx
dy du
=−
Þ
= − ï√ïo: :
ï
(36)
1 u√uo1
= du dx = − u√uo1 dx (terbukti) dy du
1
du
Contoh 11.19
Jika y = arccsc x − 2 , tentukan dx π
dy
Penyelesaian :
Misal u = x − 2
π
du dx
dy dx
=1
y= 2 arccot u dy du
=−
1 u√uo1
= du dx = − u√uo1 1 = − u√uo1 = − dy du
1
Latihan
1. y = arcsinπ − x 2. y = −3 arccos 4x
Matematika Dasar
1
π π xo HHHHHHHHH xo o1 2 2
1
3. y = arccos x cos 2x
4. y = arctan x − sin 3x
Page 163
11.4 TURUNAN FUNGSI EKSPONEN
jika y = fx = e, maka
Þ
= fx = e
(37)
Bukti :
e dide inisikan sebagai lim 1 + n x
Δ→
Dengan menggunakan teorema binomial didapat, 1+ = + n 0! n x
1x
n.1 x 1! n
=1+x+
1o
+
1 n
2!
nno1.1 x 2!
.x +
lim 1 + n = lim 1 + x + x
Δ→
Δ→
n
+
nno1no2.1 x
1o 1o 1 n
2 n
3!
1o 2!
1 n
.x +
3!
n
.x+⋯
1o 1o 1 n
2 n
3!
+⋯
.x+⋯
e = 1 + x + (! + K! + ⋯
e =1+1+
Jika y = fx = ex
Maka dx = fx = lim dy
fxm∆xofx
Δ→
∆x
(!
+
= lim
Δ→
K!
(38)
+⋯
e ∆ oe ∆x
(39)
= lim
Δ→
ee∆ o1
Karena e = 1 + x + 2! + 3! + ⋯, maka e∆ − 1 = ∆x + x
Sehingga lim
Δ→
ee∆ o1 ∆x
y=e dy dx
= lim e 1 + Δ→
∆x 2!
+
∆x 3!
∆x 2!
dy du du dx
+
∆x 3!
+ ⋯ = e (terbukti)
Jika y = e dan u = fx , maka = e
Bukti : u = fx
x
∆x
Þ
ï
+⋯ (40)
=e
= fx
= du dx = e dx (terbukti) dy du
Matematika Dasar
du
Page 164
Contoh 11.20
Jika y = −2e , tentukan dx dy
Penyelesaian :
u = a − bx
Misal
= −b
du dx
= e −b = −be
dy dx
11.5 TURUNAN FUNGSI LOGARITMA
1
Δ → ∆x
lim
Jika 1 x
Jika y = fx = ln x , maka
ln 1 +
∆x x
∆x x
=
1 x
= ∆x lim 1
x
Δ → ∆x
ln lim 1 Δ→
ln 1 +
∆x H +x ∆
∆x x
= u, maka ∆x = u , sehingga
ln lim 1 + Δ→
x
∆x ∆H x
= fx =
= x lim ln 1 + 1
Δ→
y = ln u
:
(41)
∆x ∆H x
1
= x ln lim Ä1 + uÅ = x ln e = x (terbukti) 1
1
1
Δ→
Jika y = ln u dan u = fx , maka
Bukti :
u = fx
Þ
Þ
=
: ï
ï
(42)
=u du dy du dx
1
= fx
= du dx = u dx (terbukti) dx dy
dy du
1 du
Contoh 11.20
Jika y = e ln 3 x , tentukan dx 1
Penyelesaian : Misal u = e Matematika Dasar
dy
v = ln 3 x 1
Page 165
du dx
dy dx
= 2e
dv dx
=3 1
= dx . v + u. dx = 2e . ln 3 x + e . x = e ln 3 x + x du
dv
1
1
1
Jika y = fx = log x , maka
Þ
1
= fx =
:
(43)
ñM /
Bukti :
y = log x → a = x
y ln a = lx → y = ln a ln x 1
dy dx
= ln ax (terbukti) 1
Jika y = log u dan u = fx , maka = ñM /ï Þ
:
ï
(44)
Bukti :
y = log u → du = ln au dy
dy dx
=
dy du du dx
=
1
1
du
ln au dx
(terbukti)
Contoh 11.21
Jika y = log3 − 5x , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Diketahui a = 7, misal u = 3 − 5x → −= −5 dy dx
= du dx = ln au dx = ln 7u −5 = ln 73o5x dy du
1
du
1
o5
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. 2. 3.
y = xe y=
3x 2e
y = x ln 2x
Matematika Dasar
6. 7. 8.
y=
2 ln 3x 5o6x
y = ln 4x y=
e½
3 log1ox e
Page 166
y=
4.
y=
5.
x ln 3x
y = log 4x xe
9.
e
10. y =
xln 4xme e
x ln 5xoe e ln x
11.6 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK Jika y = fx = sin hx , maka
Þ
= fx = cos hx
(45)
Bukti :
y = fx = sinhx = 2 e − e 1
dy dx
= fx = e + e = coshx (terbukti) 1 2
Jika y = sinh u dan u = fx , maka = cosh u Þ
ï
(46)
Bukti :
y = sinh u → du = cosh u dy
dy dx
= fx = 2 e + e = coshx (terbukti) 1
Contoh 11.22
Jika y = 3 sinh 5 x , tentukan dx 1
dy
Penyelesaian : Misal u = 5 x
y = 3 sinh u
1
=5 dx du
1
dy du
= 3 cosh u
= du dx = 3 cosh u5 = 5 cosh 5 x dx dy
dy du
1
3
1
Jika y = fxcoshx , maka = fx = sinhx Þ
(47)
Bukti :
y = fx = sinhx = 2 e + e 1
dy dx
= fx = 2 e − e = sinhx (terbukti)
Matematika Dasar
1
Page 167
Jika y = sinh u dan u = fx , maka = cosh u Þ
Bukti :
y = cosh u → dy dx
=
dy du du dx
dy du
ï
(48)
= sinh u
= sinh u
dy du
(terbukti)
Contoh 23
Jika y = cosh1 − 2x , tentukan dx dy
Penyelesaian
Misal u = 1 − 2x = −2
du dx
dy dx
y = sinh u dy du
= cosh u
= du dx = cosh u−2 = −2 cosh1 − 2x dy du
Jika y = fx = tanh x , maka = fx = sech x Þ
(49)
Bukti :
y = fx = tanh x = cosh x sinh x
dy dx
= fx = =
1
cosh x
cosh xcosh xosinh xsinh x
= sech x (terbukti)
y = tanh u →
=
cosh xosinh x cosh x
Jika y = tanh udan u , maka = sech u
Bukti : Þ
cosh x
Þ
ï
Matematika Dasar
ï
(50)
= sec u
= ï = sech u Þ ï
Þ
ï
terbukti
Page 168
Contoh 11.24
Jika y = tanha + bx , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Misal u = a + bx du dx
dy dx
=`
= sech u
= du dx = sech ub = ` secha + bx dy du
Jika y = fx = coth x , maka = fx = −csch x Þ
y = fx = coth x =
dy du
Bukti : Þ
y = tanh u
= fx =
=
ÙBò ]Mò
]Mò ]Mò oÙBò ÙBò o:
]Mò
]Mò
=
= − csch x terbukti
]Mò oÙBò
Jika y = coth u dan u = fx , maka Bukti :
(51)
]Mò
Þ
= − csch u
ï
(52)
y = tanh u → ï = − csch u Þ
= ï = − csch u
Þ
Þ ï
ï
(terbukti)
Contoh 11.25
Jika y = cotha + bt , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Misal u = a + bt du dx
dy dx
=`
y = coth u
dy du
= coth u
= du dx = −csch ub = −` cscha + bt dy du
Jika y = fx = sech x , maka = fx = tanh x sech x
Matematika Dasar
Þ
(53)
Page 169
Bukti :
y = fx = sech x = ÙBò :
Misal u = 1
=0
du dx
Þ
=
ó = cosh x
dy du
ôõ ô÷ .öoï. ôÜ ôÜ
=
ö
y = sech u →
=
;ÙBò o:]Mò
=
ÙBò
o ]Mò ÙBò
= − tanh x sech x (terbukti)
Jika y = sech u dan u = fx , maka = − tanh u sech u
Bukti : Þ
= sinh u
Þ ï
ï
Þ
ï
ï
(54)
= − tanh u sech u
= − tanh u sech u
Contoh 11.26
Þ
ï
(terbukti)
Jika y = 2 sechK − A x , tentukan dx :
:
dy
Penyelesaian :
Misal u = K − A x :
dx
dy dx
=A :
du
y = 2 sech u
:
dy du
= −2 tanh u sech u
= du dx = −2 tanh u sech u− A = A tanh u sech u dy du
:
= tanh − x sech − x ( A
:
:
K
A
: K
:
(
A
Jika y = fx = csch x , maka = fx = − csch x coth x Bukti :
y = fx = csch x = Misal u = 1 du dx
ôõ
= ôÜ dx dy
=0
ô÷ ôÜ
.öoï. ö
Matematika Dasar
(55)
:
]Mò
ó = sinh x
dy du
=
Þ
= cosh x
;]Mò o:ÙBò ]Mò
=
o ÙBò ]Mò
= − csch x coth x (terbukti)
Page 170
Jika y = csch u dan u = fx , maka = − coth u csch u Þ
Bukti :
y = csch u →
dy dx
=
Þ ï
ï
Þ
ï
ï
(56)
= − coth u csch u
= − coth u csch u
ï
(terbukti)
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. 2. 3. 4. 5.
y = sinh2 − 3x
6.
y = coshax − b
7.
y = x sinh 5x
8.
y = e cosh 2x
9.
y = ÙB¶òm( /m1mÙ
y = øÙò ( ø
y = ñM
y = A x cschx − 1 :
10. y = eo cscha − bx
y = ln2 − x tanh 3x
11.7 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK INVERS
Jika y = sinh x , maka = fx = Þ
:
(57)
√m:
Bukti :
y = fx = sinh x = lnx + xHHHHHHH + 1n :m
Ü √ÜÀ
= m√m: =
Þ
√m:m √m:
= m√m: :
:
√m:
(terbukti)
Jika y = sinh u dan u = fx , maka = fx =
Bukti :
y = sinh u → ï =
dy dx
= ï = Þ ï
Matematika Dasar
Þ
:
ï
Õm:
Þ
:
ï
Õm:
(58)
:
Õm:
(terbukti) Page 171
Contoh 11.27
Jika y = −3 sinh ( x , tentukan dx :
dy
Penyelesaian : Misal u = ( x du
dy dx
=
dx dy du du dx
=
y = −3 sinh u
:
=
: (
dy :
:
Õm: (
=
du
:
=
(Õm:
:
Õm:
= HHHHHHH = ¢
:
m:
Jika y = cosh x , maka
:
HHHHHHH ( m: ´
Þ
=
:
√o:
,x > 1
(59)
Bukti :
y = fx = cosh x = lnx + xHHHHHHH − 1n
Þ
=
:m
Ü √ܽ
=
m√o:
√o: m√o:
y = cosh u → dx
=
=
:
√o:
, x > 1 (terbukti)
Jika y = cosh u dan u = fx , maka =
Bukti :
dy
:
√o:m
Þ ï
ï
=
Þ
ï
:
=
ï
Õo:
Contoh 11.28
Þ
:
ï
Õo:
,x > 1
(60)
:
Õo:
(terbukti)
Jika y = cosh < x , tentukan dx K
dy
Penyelesaian : Misal u = < x
y = cosh u
K
du dx
dy dx
=<
= du dx = dy du
K
dy
:
K
Õo: <
du
=
:
Õo:
= <Õo: = K
K
¼ HHHHHHH < o: ´
=
K HHHHHHHHH ú < o: ³
Jika y = fx = tanh x , maka = fx = o: , |x| < 1
Matematika Dasar
Þ
:
(61)
Page 172
Bukti :
y = fx = tanh x = ln Þ
=
:
(
:o
( :o :m
=
:
: (
:o
:m :o
, |x| < 1
, |x| < 1 (
)
Jika y = tanh u dan u = fx , maka Bukti :
Þ
=
:
:oï
, |u| < 1
(62)
y = tanh u → ï = :oï dy dx
=
Þ ï
ï
=
Þ
: ï
:oï
:
, |u| < 1 (terbukti)
Contoh 11.29
Jika y = tanh2x − 1 , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Misal u = 2x − 1 du dx
dy dx
=2
y = tanh u =
dy du
= du dx = :oï 2 = :o(o: dy du
:
(
:
:oï
Jika y = fx = coth x , maka = fx = o: , |x| > 1
Bukti :
Þ
:
y = fx = coth x = ( ln o: , |x| > 1
Þ
:
:
y = coth u → ï = ïo:
dx
:
)
Jika y = coth u dan u = fx , maka = ïo: , |u| > 1
Bukti :
dy
m:
= ( :o :m = − :o = o: , |x| > 1 ( : o( :o
Þ
Matematika Dasar
: ï
Þ
:
(64)
:
= ï = ïo: , |u| > 1 ( Þ ï
(63)
) Page 173
Contoh 11.30
Jika y = 3 coth2 − 3x , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Misal u = 2 − 3x = −3
du dx
dy dx
y = 3 coth u
dy du
K
dy du
=−
:
√:o
√:o
Þ
:
=
Þ ï
ï
=−
Þ
ï
=−
)
:
ï
Þ
=
:
ï√:oï
,0 < < 1
(66)
:
ï√:oï
ï√:oï
(65)
,0 << 1
Jika y = sech u dan u = fx , maka
y = sech u → dx
:m√:o
,0 < < 1 (
Bukti :
dy
o)
Jika y = fx = sech x , maka = fx = √:o , 0 < < 1
y = fx = sech x = ln
K
ïo:
= du dx = ïo: −3 = (oKo:
Bukti : Þ
=
,0 < < 1 (
)
Contoh 11.31
Jika y = −2 sech1 − x , tentukan Penyelesaian :
Misal u = 1 − x
dy
dx
du
du
dy dx
=
dy du du dx
= −1
=
o(
ï√:oï
dy dx
y = −2 sech u = ï√:oï o(
−1 = :o HHHHHHHHHHHH (
:o:o
Jika y = fx = csch x , maka = fx = − ||√:m
Matematika Dasar
Þ
:
(67)
Page 174
Bukti :
y = fx = csch x = ln Þ
=−
:
||√:m
:m√:m
(terbukti)
Jika y = csch u dan u = fx , maka
Bukti :
Þ
=−
:
ï
|ï|√:mï
(68)
y = csch u → ï = − |ï|√:mï
dy dx
=
Þ ï
ï
=−
Þ
:
ï
|ï|√:mï
:
(terbukti)
Contoh 11.32
Jika y = cschsin x , tentukan dx dy
Penyelesaian :
Misal u = sin x
= cos x dx du
dy dx
y = csch u
= |ï|√:mï du dy
o(
= du dx = |ï|√:mï cos x = − ]M HHHHHHHHHHHHH = | ]M |√:m]M :oûM dy du
:
ÙB
ÙB
Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y = sinhcos x 4. y = x coth x
2. y = coshsin 2x
5. y = sechx sin x
3. y = tanh3x + π
6. y = e cscsh 1 − 2x
11.8 TURUNAN TINGKAT TINGGI Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi Matematika Dasar
Page 175
disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :
, dan dx dy Þ
d y dx
atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan
n≥4, kita gunakan lambang
d y dx
atau f( )(x).
Contoh 11.33 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x − 4) Penyelesaian : dy dx
=f' x=3(x - 4)(2x) = 6x(x - 4)
d y dx d y dx d y dx
= f''(x) = 6(x - 4) + 6x(2(x - 4)(2x)) = 6(x - 4) + 24x (x - 4) = f'''(x) = 12(x - 4)(2x) + 48x(x - 4) + 24x (2x) = 120x - 208x =f( ) (x) = 360x – 208
Latihan Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi, 1. fx = 2xe
4. fx = :o
m<
Matematika Dasar
2. fx = ln a − bx
5. fx = sina − bx
3. fx = m:
6. fx = cosmx + n
Page 176
