E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
II. Diferenci´ aln´ı poˇ cet funkc´ı v´ıce promˇ enn´ ych II.1. Definiˇ cn´ı obor funkce z = f (x, y) • Urˇcete definiˇcn´ı obor funkc´ı a zakreslete jej :
ln(x2 y) Pˇ r´ıklad 42. z = √ y−x ˇ sen´ı : Promˇenn´e x a y mus´ı splˇ Reˇ novat souˇcasnˇe tyto podm´ınky : y
x2 y > 0 y−x>0
D1
=⇒ =⇒
y > 0, y>x
x 6= 0
D1 = {[x, y] ∈ E2 : x < 0, y > 0}, D2 = {[x, y] ∈ E2 : x > 0, y > x}.
D2 x
0
Pro definiˇcn´ı obor dan´e funkce dostaneme D = D1 ∪ D2 Pˇ r´ıklad 43. z = arcsin
y−1 x
y ˇ sen´ı : Reˇ
D1
1
Promˇenn´e x a y mus´ı splˇ novat souˇcasnˇe tyto podm´ınky : y−1 −1 ≤ ≤ 1 a x 6= 0 . x
D2 x
Takˇze plat´ı : x > 0 : −x ≤ y − 1 ≤ x =⇒ −x + 1 ≤ y ≤ x + 1 x < 0 : −x ≥ y − 1 ≥ x =⇒ −x + 1 ≥ y ≥ x + 1 D1 = {[x, y] ∈ E2 : x < 0, x + 1 ≤ y ≤ 1 − x}, D2 = {[x, y] ∈ E2 : x > 0, 1 − x ≤ y ≥ x + 1}. Pro definiˇcn´ı obor dan´e funkce dostaneme D = D1 ∪ D2 . p x − y2 44. z = ln(1 − x2 − y 2 ) 45. z =
r
ln
x2
[D = {[x, y] ∈ E2 : 0 6= x2 + y 2 < 1; x ≥ y 2 } ]
16 + y2
[D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 16, [x, y] 6= [0, 0]}]
46. z = 3−7 ln(x+ln y)
47. z =
p
2x + y − 4+
[D = {[x, y] ∈ E2 : y > e−x }]
p 16 − x2 − y 2
[D = {[x, y] ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 16; y ≥ 4 − 2x}]
6
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
3 48. z = p 1 − |x| − |y| 49. z =
p
[D = {[x, y] ∈ E2 : |x| + |y| < 1}]
xy − 4
[D = {[x, y] ∈ E2 : xy ≥ 4}]
• Urˇcete a naˇcrtnˇete definiˇcn´ı obor, zapiˇste graf funkce a naˇcrtnˇete v E3 plochu, kter´a je grafem dan´e funkce : Pˇ r´ıklad 50. f (x, y) = 4 − ˇ sen´ı : Reˇ x2 + y 2 ≥ 0
p x2 + y 2
D(f ) = {[x, y] ∈ E2 ; x2 + y 2 ≥ 0}
⇒
⇒
D(f ) = E2
z 4 Grafem funkce je mnoˇzina p gr (f ) = {[x, y, z] ∈ E3 ; [x, y] ∈ Df , z = 4 − x2 + y 2 }.
y
x Pˇ r´ıklad 51. f (x, y) = ˇ sen´ı : Reˇ
p x − y2 + 2
y
x − y2 + 2 ≥ 0 ⇒ D(f ) = {[x, y] ∈ E2 ; x − y 2 + 2 ≥ 0}.
Hranic´ı D(f ) je parabola o rovnici x+2 = y 2 s osou v ose x a vrcholem [−2, 0].
x
-2
z
-2 y x
Grafem funkce je mnoˇzina gr (f ) = p ={[x, y, z] ∈ E3 ; [x, y] ∈ Df ⊂ E2 , z = x − y 2 + 2}, coˇz je ”horn´ı”polovina rotaˇcn´ıho paraboloidu o rovnici x + 2 = y 2 + z 2 s osou rotace v ose x a vrcholem [−2, 0, 0].
7
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
Pˇ r´ıklad 52. f (x, y) = ˇ sen´ı : Reˇ
p x2 − 9y 2 − 36
y
-6
x2 − 9y 2 − 36 ≥ 0 ⇒ D(f ) = {[x, y] ∈ E2 ; x2 − 9y 2 − 36 ≥ 0} , x2 y 2 hranic´ı je hyperbola o rovnici − =1 36 4 s vrcholy [−6, 0] a [6, 0]
x
6
z Grafem funkce je mnoˇzina gr (f ) = p = {[x, y, z] ∈ E3 ; [x, y] ∈ D(f ) ⊂ E2 , z = x2 − 9y 2 − 36} a to je ”horn´ı”polovina eliptick´eho dvoud´ıln´eho hyperboloidu s vrcholy [−6, 0, 0] a [6, 0, 0]
6
-6 y x
II.2. Limita a spojitost funkce • Vyˇsetˇrete limity funkce v bodˇe : Pˇ r´ıklad 53.
sin(x2 + y 2 ) [x,y]→[0,0] x2 + y 2 lim
ˇ sen´ı : Vyuˇzijeme skuteˇcnost, ˇze Reˇ t = x2 + y 2 . Potom
(x2 + y 2 ) = 0 a provedeme substituci
sin(x + y ) sin t =1 = lim 2 2 t→0 t [x,y]→[0,0] x +y
lim
Pˇ r´ıklad 54.*
lim
[x,y]→[0,0] 2 2
[x, y] → [1, 1] [x, y] ∈ M
lim
x3 − y 3 , [x, y] ∈ M, kde M = {[x, y] ∈ E2 ; x − y 6= 0} x4 − y 4
ˇ sen´ı : Jde o neuˇcit´ ´prava, kterou provedeme Reˇ y v´ yraz ” 00 ”, ale nab´ız´ı se element´arn´ı u 3 3 2 x −y (x − y)(x + xy + y 2 ) = lim = = lim 4 4 2 2 [x, y] → [1, 1] x − y [x, y] → [1, 1] (x − y)(x + y)(x + y ) [x, y] ∈ M
2
lim
[x, y] → [1, 1] [x, y] ∈ M 2
[x, y] ∈ M
x + xy + y 2 3 = . 2 2 (x + y)(x + y ) 4
2
e2(x +y ) − 1 55. lim [x,y]→[0,0] x2 + y 2
56.
[2]
8
tg (x2 + y 4 ) [x,y]→[0,0] 3(x2 + y 4 ) lim
h1i 3
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
Pˇ r´ıklad 57. Vyˇsetˇrete spojitost funkce f (x, y) =
(
v bodˇe [0, 0].
x2 y 2 p , [x, y] 6= [0, 0] x2 y 2 + 1 − 1 2, [x, y] = [0, 0]
ˇ sen´ı : Funkce f (x, y) je spojit´a v bodˇe [x0 , y0 ], pr´avˇe kdyˇz Reˇ lim f (x, y) = f (x0 , y0 ). [x,y]→[x0 ,y0 ] x2 y 2 t ℓ′ H substituce V naˇsem pˇr´ıpadˇe lim p = = ” 00 ” = x2 y2 = t = lim √ t→0 [x,y]→[0,0] t+1−1 x2 y 2 + 1 − 1 1 = lim 1 = 2 = f (0, 0) =⇒ dan´a funkce f (x, y) je spojit´a v bodˇe [0, 0]. t→0
√ 2 t+1
• Urˇcete mnoˇziny, na nichˇz jsou dan´e funkce definovan´e : 58. f (x, y) =
x2 + x − 12 x2 + y 4 + 1
[E2 ]
2
59. f (x, y, z) = ez +x · sin(x + y) 1 60. f (x, y) = 2 x − 2y 61. f (x, y) =
x4 − y 4 x2 + y 2
62. f (x, y, z) =
[E3 ] [D(f ) = E2 \ {y =
[D(f ) = E2 \ [0, 0], lze spojitˇe dodefinovat f (0, 0) =
1 ln
p
(x2
x2 y 2 = 0] x2 + y 2
[D(f ) = {[x, y, z] ∈ E3 : x2 + y 2 + z 2 6= 1} \ {[0, 0, 0]}]
+ y2 + z2) 2
sin (x2 + y 2 + z 2 ) x2 + y 2 + z 2 1 64. f (x, y, z) = |xy| + |z| y+4 65. f (x, y, z) = 2 x y − xy + 4x2 − 4x 63. f (x, y, z) =
lim
[x,y]→[0,0]
x2 }] 2
[D(f ) = E3 \ [0, 0, 0], lze spojitˇe dodefinovat f (0, 0, 0) = 0 ] [D(f ) = {[x, y, z] ∈ E3 : xy 6= 0 ∧ z 6= 0]
h
D(f ) = {[x, y, z] ∈ E3 : x 6= 0, x 6= 1, y 6= −4}]
II.3. Parci´ aln´ı derivace funkce Znaˇcen´ı pro funkci z = f (x, y): ∂f ∂z 1. parci´aln´ı derivace : (x, y) = fx (x, y) = zx = ∂x ∂x ∂z ∂f (x, y) = fy (x, y) = zy = ∂y ∂y 1. parci´aln´ı derivace v bodˇe [a, b]: ∂z ∂z = fx (a, b); = fy (a, b) ∂x [a,b] ∂y [a,b] ∂ ∂f ∂ 2 f ∂ ∂f ∂ 2 f = f ; = fyy = = 2. parci´aln´ı derivace : xx ∂x ∂x ∂x2 ∂y ∂y ∂y 2 ∂ ∂f ∂ 2f ∂ ∂f ∂ 2f = = = (fx )y ; = (fy )x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y 9
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
• Najdˇete parci´aln´ı derivace prvn´ıho ˇra´du dan´ ych funkc´ı podle jejich promˇenn´ ych . Pˇ r´ıklad 66. f (x, y) = (2x − 3y)4 ˇ sen´ı : Reˇ fx = 4(2x − 3y)3 · 2 , Pˇ r´ıklad 67. f (x, y) = 5x4 y 2 + ˇ sen´ı : Reˇ
fx = 20x3 y 2 +
2 +3
ˇ sen´ı : Reˇ
fx = y
fx = y ·
,
2(x2
y x2 − y 2
−2x −
fy = 10x4 y −
x −3 y2
y>0
· ln y · 2x ,
Pˇ r´ıklad 69. f (x, y) = p ˇ sen´ı : Reˇ
x + 2x2 − 3y y
1 + 4x , y
Pˇ r´ıklad 68. f (x, y) = y x x2 +3
fy = 4(2x − 3y)3 · (−3)
y 2 )3/2
, =
fy = (x2 + 3) · y x
2 +2
pro |x| > |y| (x2
−xy p − y 2 ) x2 − y 2
p −2y x2 − y 2 − y · p 2 x2 − y 2 x2 − y 2 + y 2 x2 p p fy = = = . x2 − y 2 (x2 − y 2 ) x2 − y 2 (x2 − y 2 ) x2 − y 2
Pˇ r´ıklad 70. f (x, y, z) = (xy )z ˇ sen´ı : Reˇ f (x, y, z) = xyz , fx = yzxyz−1 ,
fy = xyz · ln x · z,
fz = xyz · ln x · y .
• Vypoˇc´ıtejte parci´aln´ı derivace dan´e funkce podle vˇsech promˇenn´ ych: 71. f (x, y) = ln (3x − y + 2) 72. f (x, y) =
[fx =
3x − 2y y
[fx =
73. f (x, y) = ln (xy 2 ) 1 sin y − 3 2 y √ 75. f (x, y) = √ − x y x
1 2 , fy = ] x y
[fx = − sin x, fy = [fx =
76. f (x, y) = (x2 + y) e−2x y xy 2 + arctg 77. f (x, y) = 2 x p 78. f (x, y) = ln(xy) − x2 + y 2 − 20
80. f (x, y) =
3 3x , fy = − 2 ] y y
[fx =
74. f (x, y) = cos x +
79. f (x, y) = x3 +
3 −1 , fy = ] 3x − y + 2 3x − y + 2
1 cos y] 2
√ −y 1 x √ − y, fy = √ − √ ] 3 2 · y x 2· x
[fx = 2x e−2x − 2(x2 + y) e−2x , fy = e−2x ] [fx = [fx =
y3 1 2 4 − x y − 15x 3 6
y2 x y , fy = xy + 2 ] − 2 2 x + y2 x + y2
x y 1 1 , fy = − p ] −p x y x2 + y 2 − 20 x2 + y 2 − 20 [fx = 3x2 −
y2 x2 + y 2
[fx =
10
1 4 2 xy − 15, fy = y 2 − x2 y 3 ] 3 3 −2xy 2 2x2 y , fy = 2 ] 2 2 2 (x + y ) (x + y 2 )2
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
81. f (ϕ, ψ) = sin ϕ · cos ψ
[fϕ = cos ϕ cos ψ, fψ = − sin ϕ sin ψ]
82. g(u, v) = v · tg (u2 v 3 )
[gu =
83. f (t, u, v) = ln(tu) − euv + cos(tv)
[ft =
2u v 4 3u2 v 3 , gv = tg (u2 v 3 ) + ] 2 2 3 cos (u v ) cos2 (u2 v 3 )
1 1 − v sin(tv), fu = − v euv , fv = −u euv − t sin(tv)] t u
Pˇ r´ıklad 84. Urˇcete obor diferencovatelnosti funkce f (x, y) = x p x2 −xy ˇ sen´ı : Reˇ f x = x2 − y 2 + p , fy = p . x2 − y 2 x2 − y 2
p x2 − y 2 .
Z teorie v´ıme, ˇze spojitost parci´aln´ıch derivac´ı je postaˇcuj´ıc´ı pro diferencovatelnost funkc´ı. V tomto pˇr´ıkladˇe je to podm´ınka: x2 − y 2 > 0 =⇒ |y| < |x|. y
D1
D1 = {[x, y] ∈ E2 : x < 0, y ∈ (x, −x)}, D2 = {[x, y] ∈ E2 : x > 0, y ∈ (−x, x)} .
D2 x
Pˇ r´ıklad 85. Je d´ana funkce f (x, y) = ln(|x| + y) + p ˇ sen´ı : Reˇ
1
. Urˇcete 9 − x2 − y 2 a) podm´ınky pro definiˇcn´ı obor a defiˇcn´ı obor graficky zn´azornˇete, ∂f (A). b) hodnotu f (A) , kde A = [−1, 2], c) ∂x y
a) podm´ınky pro definiˇcn´ı obor: |x| + y > 0 =⇒ y > −|x| 9 − x2 − y 2 > 0 =⇒ x2 + y 2 < 9
3 x
y = x, x < 0
y = −x, x > 0
1 1 = ln 3 + 2 9−1−4 ′ 1 −2x (−x) 11 ∂f (A) = − ·q =− . ∂x |x| + y 2 24 A (9 − x2 − y 2 )3
b) f (−1, 2) = ln(| − 1| + 2) + √ c)
86. Dokaˇzte, ˇze funkce z = f (x, y) = y 2 sin(x2 − y 2 ) vyhovuje diferenci´aln´ı rovnici y 2 zx + xyzy = 2xz pro vˇsechna [x, y] ∈ E2 .
[N´ avod : Staˇc´ı spoˇc´ıtat zx , zy a do rovnice dosadit]
11
E. Broˇz´ıkov´ a, M. Kittlerov´ a, F. Mr´ az: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z Matematiky II (2016)
• Vypoˇctˇete parci´aln´ı derivace dan´e funkce v bodˇe A : p x2 − y 2 , A = [2, 0] y 88. z = , A = [3, 2] x 89. f = x2 ey sin z, A = [1, 0, π/6] 87. z =
90. f = ln(x2 − y + 3z),
[zx (A) = 1, zy (A) = 0] [zx (A) = −2/9, zy (A) = 1/3] [fx (A) = 1, fy (A) = 1/2, fz (A) =
A = [2, 1, 1]
√
3/2]
[fx (A) = 2/3, fy (A) = −1/6, fz (A) = 1/2]
12
