[1]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[2]
Odecˇı´ta´nı´ vektoru ˚ , asociativita → → Mı´sto, abychom psali zdlouhaveˇ: − x + (−1) ⋅ − y , pı´sˇeme strucˇneˇji − → → x −− y. → → → Vektoru −− y = (−1) ⋅ − y rˇ´ıka´me opacˇny´ vektor k vektoru − y.
Linea´rnı´ (ne)za´vislost
→ → → Pozorova´nı´: − x −− x =− o , protozˇe − → − → − → − → → → → x − x = 1 ⋅ x + (−1) x = (1 + (−1)) ⋅ − x =0⋅− x =− o.
Skupiny, resp. mnozˇiny, vektoru˚ mohou by´t linea´rneˇ za´visle´ nebo linea´rneˇ neza´visle´. . .
a) zavislost, 3, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)
→ → → → → → Dalsˇ´ı zkra´cenı´ za´pisu: Protozˇe (− x +− y )+− z =− x +(− y +− z ), tj. neza´lezˇ´ı na porˇadı´ prova´deˇnı´ operacı´, budeme nada´le za´vorky vynecha´vat → → → a psa´t jen − x +− y +− z.
L
. Viz p. d. 4/2010
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[3]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[4]
Linea´rnı´ kombinace
Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace
Vsˇe, co s vektory mu˚zˇeme deˇlat je:
Definice: Ma´-li linea´rnı´ kombinace vsˇechny koeficienty nulove´, rˇ´ıka´me ji trivia´lnı´. Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace vypada´ takto:
• na´sobit je konstantou • scˇ´ıtat je mezi sebou, neboli:
→ → → 0− x 1 + 0− x 2 + · · · + 0− xn
• tvorˇit linea´rnı´ kombinace.
Ma´-li linea´rnı´ kombinace asponˇ jeden koeficient nenulovy´, rˇ´ıka´me ji netrivia´lnı´.
→ → → Definice: Lina´rnı´ kombinace vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je vektor: → → → xn α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − Rea´lna´ cˇ´ısla α1, α2, . . . , αn se nazy´vajı´ koeficienty linea´rnı´ kombinace.
Pozorova´nı´: Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je rovna nulove´mu vektoru. → → → Plyne to z axiomu (7) a z tvrzenı´, zˇe − x +− o =− x.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[5]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
Linea´rnı´ za´vislost, linea´rnı´ neza´vislost
Prˇı´klady
→ → → Definice: Skupina vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je linea´rneˇ za´visla´, pokud existuje jejich netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace rovna nulove´mu vektoru. → → → Skupina vektoru˚ − x ,− x ,...,− x je linea´rneˇ neza´visla´, pokud nee-
• v R3 jsou vektory (1, 2, 3), (5, 7, 8), (3, 3, 2) linea´rneˇ za´visle´
1
2
n
[6]
• v R3 jsou vektory (1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2) linea´rneˇ neza´visle´. • v prostoru rea´lny´ch funkcı´ jsou vektory sin(x), cos(x), ex linea´rneˇ neza´visle´.
xistuje jejich netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace rovna nulove´mu vektoru, tedy pokud jedineˇ jejich trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je rovna nulove´mu vektoru, neboli pokud z rovnosti
• v prostoru rea´lny´ch funkcı´ jsou vektory sin2 x, cos2 x, 3 linea´rneˇ za´visle´.
→ → → → α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − xn=− o
• v prostoru polynomu˚ jsou vektory x2 + x + 1, x + 2, x2 − 1 liena´rneˇ za´visle´.
nutneˇ plyne α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Vsˇechny prˇ´ıklady si oveˇrˇte podle definice.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[7]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[8]
Jiny´ pohled na linea´rnı´ za´vislost
Procvicˇova´nı´ pochopenı´ definice
→ → → Tvrzenı´: Vektory − x 1, − x 2, . . . , − x n jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ existuje asponˇ jeden z nich, ktery´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch.
• Linea´rnı´ (ne)za´vislost nenı´ podmı´neˇna porˇadı´m vektoru˚ ve skupineˇ.
Du˚kaz. 1. necht’ jsou lin. za´visle´. Pak existuje jejich netrivia´lnı´ lin. kombinace rovna nulove´mu vektoru, tj. asponˇ jeden koeficient je nenulovy´, vydeˇlenı´m tı´mto koeficientem a prˇenosem vektoru na druhou stranu rovnosti zjisˇt’ujeme, zˇe vektor je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch.
• Skupina vektoru˚, v nı´zˇ se neˇktery´ vektor opakuje, je linea´rneˇ za´visla´.
2. necht’ existuje jeden vektor, ktery´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnı´ch. Prˇeneseme jej na druhou stranu rovnosti (odecˇteme jej) a ma´me netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinaci rovnou nulove´mu vektoru.
• Skupina vektoru˚ obsahujı´cı´ nulovy´ vektor je linea´rneˇ za´visla´. • Skupina dvou vektoru˚ je linea´rneˇ za´visla´ pra´veˇ kdyzˇ jeden je na´sobkem druhe´ho. • Prˇida´nı´m vektoru do linea´rneˇ za´visle´ skupiny se jejı´ za´vislost nezmeˇnı´. • Odebra´nı´m vektoru z linea´rneˇ neza´visle´ skupiny se jejı´ neza´vislost nezmeˇnı´.
[9]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[10]
Za´vislost orientovany´ch u ´ secˇek
Za´vislost nekonecˇny´ch mnozˇin vektoru ˚
• Dveˇ orientovane´ u´secˇky jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ prˇ´ımce.
Pravidlo: V algebrˇe pracujeme jen s konecˇny´mi linea´rnı´mi kombinacemi, tj. scˇ´ıtancu˚ je vzˇdy konecˇneˇ mnoho.
• Trˇi orientovane´ u´secˇky jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ.
• Nekonecˇna´ mnozˇina M vektoru˚ je linea´rneˇ za´visla´, pokud existuje jejich konecˇna´ linea´rneˇ za´visla´ podmnozˇina, tj. existujı´ vek→ → → tory − x 1, − x 2, . . . , − x n z mnozˇiny M tak, zˇe jsou linea´rneˇ za´visle´.
• Cˇtyrˇi orientovane´ u´secˇky jsou za´visle´ vzˇdy.
• Nekonecˇna´ mnozˇina M vektoru˚ je linea´rneˇ neza´visla´, pokud kazˇda´ jejı´ konecˇna´ podmnozˇina je linea´rneˇ neza´visla´, jiny´mi slovy neexistuje linea´rneˇ za´visla´ konecˇna´ podmnozˇina. Jesˇteˇ jinak: neexistuje zˇa´dny´ vektor z M, ktery´ by se rovnal konecˇne´ linea´rnı´ kombinaci ostatnı´ch vektoru˚.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[11]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[12]
Prˇı´klad nekonecˇne´ lin. neza´visle´ mnozˇiny
Linea´rnı´ obal
Mnozˇina polynomu˚ {1, x, x2, x3, x4, . . .} je linea´rneˇ neza´visla´.
→ → → Definice: Linea´rnı´ obal vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je mnozˇina vsˇech jejich linea´rnı´ch kombinacı´, tedy → → → x 1 + α2 − x 2 + · · · + αn− {α1− x n; α1, α2 , . . . , αn ∈ R} → → → → → → Linea´rnı´ obal vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n znacˇ´ıme 〈− x 1, − x 2, . . . , − x n〉. Linea´rnı´ obal (konecˇne´ nebo nekonecˇne´) mnozˇiny vektoru˚ M je mnozˇina vsˇech konecˇny´ch linea´rnı´ch kombinacı´ vektoru˚ z mnozˇiny M. Linea´rnı´ obal mnozˇiny M znacˇ´ıme 〈M〉. Pozorova´nı´: M ⊆ 〈M〉.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[13]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[14]
Geometricka´ prˇedstava linea´rnı´ho obalu
Obal obalu
Prˇedpokla´dejme vektory z mnozˇiny orientovany´ch u´secˇek se spolecˇny´m pocˇa´tkem O.
Veˇta: 〈〈M〉〉 = 〈M〉, neboli: linea´rnı´ obal linea´rnı´ho obalu uzˇ nenı´ veˇtsˇ´ı nezˇ pu˚vodnı´ linea´rnı´ obal.
• Linea´rnı´ obal jednoho nenulove´ho vektoru je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcı´ch ve spolecˇne´ prˇ´ımce. • Linea´rnı´ obal dvou linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcı´ch ve spolecˇne´ rovineˇ.
Du˚kaz: Linea´rnı´ kombinace linea´rnı´ch kombinacı´ vektoru˚ z M je po vyuzˇitı´ distributivnı´ho za´kona rovna prˇ´ımo linea´rnı´ kombinaci vektoru˚ z M (rozepisˇte si to).
• Linea´rnı´ obal trˇ´ı linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ je mnozˇina vsˇech orientovany´ch u´secˇek. • Linea´rnı´ obal (libovolneˇ mnoha) vektoru˚ lezˇ´ıcich ve spolecˇne´ rovineˇ je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcı´ch v te´to rovineˇ.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[15]
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[16]
Obal je podprostor
Rozsˇı´rˇenı´ linea´rneˇ neza´visle´ mnozˇiny
(1) Je-li P linea´rnı´m obalem neˇjake´ mnozˇiny M, je P linea´rnı´ podprostor.
Veˇta: Je-li N linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ a z 6∈ 〈N〉, pak → N ∪ {− z } je linea´rneˇ neza´visla´. → Du˚kaz: Sporem. Necht’ N ∪ {− z } je linea´rneˇ za´visla´. Pak existuje − → − → − → konecˇneˇ mnoho x , x , . . . , x ∈ N tak, zˇe
(2) P je linea´rnı´ podprostor pra´veˇ tehdy, kdyzˇ 〈P〉 = P. (3) Linea´rnı´ obal mnozˇiny M je nejmensˇ´ı linea´rnı´ podprostor obsahujı´cı´ M. Du˚kazy: (1) Soucˇet prvku˚ z obalu zu˚sta´va´ v obalu a α -na´sobek take´. Protozˇe linea´rnı´ kombinace lin. kombinacı´ je prˇ´ımo lin. kombinace. (2) Je-li P linea´rnı´ podprostor, pak vsˇechny linea´rnı´ kombinace prvku˚ z P zu˚sta´vajı´ v P, takzˇe 〈P〉 = P. Obra´ceneˇ: viz (1), stacˇ´ı zvolit M = P. (3) Necht’ P = 〈M〉 a Q je podprostor obsahujı´cı´ M, tedy M ⊆ Q. Je P = 〈M〉 ⊆ 〈Q〉 = Q, takzˇe je P nejmensˇ´ı.
1
2
n
→ → → → → α1− x 1 + α2 − x 2 + · · · + αn− z =− o, x n + αn+1 − a prˇitom asponˇ jedno αi je nenulove´. Kdyby byla αn+1 = 0, ma´me netrivia´lnı´ lin. kombinaci vektoru˚ neza´visle´ mnozˇiny N rovnu nulove´mu vektoru a to nenı´ mozˇne´. Takzˇe musı´ αn+1 6= 0. Po vydeˇlenı´ → → αn+1 a prˇevedenı´ − z na druhou stranu rovnosti je − z linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ z N, cozˇ je ve sporu s tı´m, zˇe z 6∈ 〈N〉.
BI-LIN, zavislost, 3, P. Olsˇa´k
[17]
Redukce lin. neza´visle´ mnozˇiny Veˇta: Mnozˇina N je linea´rneˇ neza´visla´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ kazˇda´ jejı´ vlastnı´ podmnozˇina ma´ mensˇ´ı obal. → Du˚kaz: Necht’ N je neza´visla´. Necht’ N ′ ⊂ N. Vektor − z ∈ N \ N′ nenı´ lin. kombinacı´ prvku˚ z N ′ , protozˇe jinak by N byla za´visla´. → Nemu˚zˇe tedy 〈N〉 = 〈N ′ 〉, protozˇe v takove´m prˇ´ıpadeˇ je − z ∈ 〈N ′ 〉. → Necht’ N je za´visla´. Existuje jeden vektor − z , ktery´ je lin. kombinacı´ ostatnı´ch. Jeho odebra´nı´m vznika´ N ′ , ktera´ ma´ stejny´ lin. obal.
