´ ´ VEKTOR 5. NAHODN Y 5.1. Rozdˇ elen´ı n´ ahodn´ eho vektoru N´ ahodn´ y vektor X = (X1, X2, ..., Xn)T – n-rozmˇern´y vektor, sloˇzky Xi, i = 1, ..., n – n´ahodn´e veliˇciny. V´ıcerozmˇ ern´ a (n-rozmˇ ern´ a) n´ ahodn´ a veliˇ cina n=2 Sdruˇ zen´ a distribuˇ cn´ı funkce (joint d.f.) n. vektoru (X, Y ) F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) Vlastnosti: (a) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 ∀(x, y) ∈ R2 (b) limx,y→∞ F (x, y) = 1 (c) limx→−∞ F (x, y) = 0, limy→−∞ F (x, y) = 0 (d) F je zprava spojit´a v kaˇzd´e promˇenn´e (e) F (x1, y1) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x2, y2) = P (x1 < X ≤ x2, y1 < Y ≤ y2) ≥ 0, ∀x1 ≤ x2, y1 ≤ y2
1
Diskr´ etn´ı sdruˇ zen´ a distribuˇ cn´ı funkce F (x, y) =
X
i,j:xi ≤x; yj ≤y
pij ,
pij = P (X = xi, Y = yj )-sdruˇ zen´ e pravdˇ epodobnosti F (x, y) absolutnˇ e spojit´ a, if ∃f (x, y) ≥ 0 - sdruˇ zen´ a hustota pravdˇ epodobnosti: F (x, y) =
Z
x Zy −∞ −∞ f (u, v)dudv
Plat´ı: ∞ (i) −∞ R
(ii) δ
R∞
−∞ f (x, y)dxdy
2 F (x,y)
δxδy
=1
= f (x, y) if ∃ δ
2 F (x,y)
δxδy
P (x1 < X ≤ x2, y1 < Y ≤ y2) =
Z
x2 Z y 2 x1 y 1
f (x, y)dxdy
Margin´ aln´ı distribuˇ cn´ı funkce FX (x) = P (X ≤ x) = y→∞ lim F (x, y) FY (y) = P (Y ≤ y) = x→∞ lim F (x, y) Margin´ aln´ı pravdˇ epodobnosti (F diskr´etn´ı) P (X = xi) = qi =
X
j
pij ,
P (Y = yj ) = rj =
X
i
pij
Margin´ aln´ı hustota fX (x) =
Z
∞ −∞ f (x, y)dy,
fY (y) = 2
Z
∞ −∞ f (x, y)dx
Podm´ınˇ en´ a distribuˇ cn´ı fce Y za podm´ınky X = x F (y | x) = P (Y ≤ y | X = x) Podm´ınˇ en´ e pravdˇ epodobnosti: pj|i
pij = P (Y = yj | X = xi) = qi
Podm´ınˇ en´ a hustota Y za podm´ınky X = x f (x, y) f (y | x) = fX (x)
3
5.2. Korelace a) Vektor stˇ redn´ıch hodnot (EX, EY ) n. v. (X, Y ) P i,j
xipij v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe EX = R R em pˇr´ıpadˇe R2 xf (x, y)dxdy ve spojit´ b) Sm´ıˇ sen´ y moment: P v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe i,j xi yj pij EXY = R R em pˇr´ıpadˇe R2 xyf (x, y)dxdy ve spojit´ c) Kovariance cov(X, Y ) n. veliˇcin X a Y : dXY =. cov(X, Y ) = E(X−EX)(Y −EY ) = EXY −EXEY D : dXY = E[XY − (EX)Y − (EY )X + (EX)(EY )] = EXY − (EX)EY − (EY )EX + (EX)(EY ) = EXY − EX.EY cov(X, X) = DX, cov(X, Y ) = cov(Y, X) d) Kovarianˇ cn´ı matice D n. vektoru (X, Y ): DX dXY D = dXY DY e) Korelaˇ cn´ı koeficient ρXY n´ahodn´ych veliˇcin X a Y : dXY √ ρXY = DXDY If ρXY = 0 X a Y – nekorelovan´ e Plat´ı: −1 ≤ ρXY ≤ 1. |ρXY | = 1 ⇐⇒ ∃ a, b ∈ R, b 6= 0 : Y = a + bX s pst´ı 1, sign(ρXY ) = sign(b). ρXY - m´ıra line´arn´ı z´avislosti mezi X a Y . 4
V´ıcerozmˇ ern´ e Bernoulliho rozdˇ elen´ı 0 < pi < 1 P (X1 = x1, ..., Xk = xk ) =
(1) k Y
i=1
pxi i (1 − pi)1−xi
(2)
pro xi ∈ {0, 1}; jinak - P (X1 = x1, ..., Xk = xk ) = 0 Interpretace: Necht’ X1, . . . , Xk je posloupnost nez´avisl´ych n.veliˇcin, z nichˇz kaˇzd´a m˚ uˇze nab´yvat pouze hodnot 0 a 1. Necht’ P (Xi = xi) = pxi i (1 − pi)1−xi , i = 1, . . . , k pro xi ∈ {0, 1} a za platnosti (1). Oznaˇcme X = (X1, . . . , Xk )T n´ahodn´y vektor. Pˇri jak´ekoliv realizaci n´ah. vektoru X mus´ı tedy b´yt kaˇzd´a jeho sloˇzka rovna bud’ nule nebo jedn´e. Uvaˇzujme mnoˇzinu vektor˚ u x = (x1, . . . , xk )T , jejichˇz sloˇzky jsou tvoˇreny nulami a jedniˇckami. Rozdˇelen´ı psti n´ah. vektoru X je d´ano (2).
5
Multinomick´ e rozdˇ elen´ı M(n, k, Pi) (X1, . . . , Xk ) ∼ M(n, k, Pi) Multinomick´e rozdˇelen´ı o rozmˇeru (n, k) s parametry (p1, . . . , pk ) 0 < pi < 1,
pro
k X i
pi = 1
(3)
n! x P (X1 = x1, ..., Xk = xk ) = px1 1 ...pk k x1!...xk ! xi = 0, 1, . . . , n (i = 1, 2, · · · , k),
k X i
(4)
xi = n
jinak je P (X1 = x1, ..., Xk = xk ) = 0 EXi = npi, DXi = npi(1 − pi), 1 ≤ i ≤ k cov(Xi, Xj ) = −npipj ,
1 ≤ i 6= j ≤ k
Pro k = 2 - binomick´e rozdˇelen´ı B(n, p1). Interpretace: Mˇejme urnu a v n´ı kuliˇcky k r˚ uzn´ych barev. Necht’ pst vytaˇzen´ı kuliˇcky i-t´e barvy je rovna pi, i = 1, 2, · · · , k, pˇriˇcemˇz plat´ı (3). Za tˇechto podm´ınek n-kr´at nez´avisle na sobˇe vybereme (s vracen´ım) po jedn´e kuliˇcce. Oznaˇcme Xi poˇcet kuliˇcek i-t´e barvy, kter´e takto byli vybr´any. Sdruˇzen´e rozdˇelen´ı psti n´ahodn´ych veliˇcin X1, . . . , Xk je d´ano vzorcem (4). 6
Dvourozmˇ ern´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı (X, Y ) ∼ N (µ, D), µ - vektor stˇredn´ıch hodnot D - kovarianˇcn´ı matice
µ = (µ1, µ2), D =
σ12
σ12
σ12 σ22
hustota f (x, y) :
f (x, y) =
1 √
2πσ1σ2 1 − ρ2
e
Pro |ρ| = 1 hustota nen´ı definovan´a. (X a Y jsou line´arnˇe z´avisl´e) If z = (x, y)T , µ = (µ1, µ2)T
f (Z) =
(x−µ1 )2 (x−µ1 )(y−µ2 ) (y−µ2 )2 − 1 2 −2ρ + σ1 σ2 2(1−ρ ) σ12 σ22
1 1 exp{− (Z − µ)T D−1(Z − µ)} 2 2π |D| r
7
5.3. Nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin X a Y jsou nez´ avisl´ e, if jevy [X ≤ x] [Y ≤ y] nez´avisl´e ∀(x, y) ∈ R2. F (x, y) = FX (x)FY (y) ∀(x, y) ∈ R2 Pro diskr´etn´ı rozdˇelen´ı: pij = qirj ∀(i, j) Pro spojit´e rozdˇelen´ı: f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R2 Plat´ı: (i) If X, Y nez´avisl´e, g, h spojit´e re´aln´e funkce =⇒ g(X), h(Y ) nez´avisl´e. (ii) If X, Y nez´ avisl´ e =⇒ X, Y nekorelovan´ e (if X, Y nez´avisl´e ⇒ EXY = EXEY =⇒ dXY = EXY − EXEY = 0 a ρXY = 0)
8
5.4. Funkce n´ ahodn´ eho vektoru a) Z = aX + bY, a, b re´aln´e konstanty Stˇredn´ı hodnota: E(aX + bY ) = aEX + bEY Rozptyl: D(aX + bY ) = E(aX + bY − aEX − bEY )2 = a2DX + b2DY + 2abdXY If X, Y nekorelovan´e (t.j. dXY = 0) =⇒ D(aX + bY ) = a2DX + b2DY b) Z = h(X, Y ) Distribuˇcn´ı funkce FZ : FZ (z) = P (h(X, Y ) ≤ z) P
p v diskr´etn´ım pˇr´ıpadˇe FZ (z) = R Rh(xi,yj )≤z ij em pˇr´ıpadˇe h(x,y)≤z f (x, y)dxdy ve spojit´ V´ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty Eh(X, Y ) P P i j
E(h(X, Y )) = R R
h(xi, yj )pij v diskr´etn´ım pˇr. em pˇr. R2 h(x, y)f (x, y)dxdy ve spojit´
9
Pˇ r´ıklad 5.2.1 V kaˇzd´e dom´acnosti jednoho mˇesta byly zjiˇst’ov´ any roˇcn´ı pˇr´ıjmy pracuj´ıc´ıch manˇzelsk´ych p´ar˚ u. (v desetitis´ıc´ıch korun´ach, manˇzel X, manˇzelka Y ). Tabulka 5.1 p(x, y) x\y 10 20 30 40 p(y) (y − EY )2p(y)
10 20 0.20 0.04 0.10 0.36 0.05
30 40 0.01 0.09 0.10 0.05 0.30 0.45 0.20 0.05
p(x) (x − EX)2p(x) 0.25 (−10)20.25 = 25 0.55 0 0.15 15 0.05 20 1.00
1. Vypoˇc´ıtejte rozptyl X a rozptyl Y . EX = 20, DX = 60; EY = 20, DY = 70 2. Vypoˇc´ıtejte kovarianci a korelaˇcn´ı koeficient X a Y . cov(XY ) = dXY = 49, ρXY = 0.76 Tabulka 5.2 (x − EX)(y − EY )p(x, y) x \ y 10 10 (-10)(-10)0.20 = +20 20 (0)(-10)0.10 =0 30
20 (-10)(0)0.04 =0 (0)(0)0.36 =0 (10)(0)0.05 =0
40
10
30 40 (-10)(10)0.01 = −1 (0)(10)0.09 =0 (10)(10)0.10 = +10 (20)(20)0.05 = +20
