Diskr´etn´ı dynamick´e syst´emy 1.
´ Uvod
V n´asleduj´ıc´ım textu budeme studovat chov´an´ı syst´emu diferenˇcn´ıch rovnic ve tvaru xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ),
(1)
kde f a g jsou dan´e funkce. Tyto rovnice popisuj´ı diskr´etn´ı dynamick´ y syst´em zadan´ y vektorov´ ym zobrazen´ım F = (f, g) (budeme znaˇcit DDS(F )). Zn´ame-li 0-t´ y stav syst´emu, potom n-t´ y stav syst´emu je (xn , yn ) a je pops´an vztahem (xn , yn ) = F (xn−1 , yn−1 )
⇔
xn = f (xn−1 , yn−1 ), yn = g(xn−1 , yn−1 ).
Obdrˇz´ıme posloupnost stav˚ u syst´emu F {(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . } = {(xn , yn )}∞ n=0 . Symbol F n (x, y) = F (F n−1 (x, y)) naz´ yv´ame n-tou iterac´ı zobrazen´ı F , 0-t´a iterace zobrazen´ı F je identita.
I
Nejprve se budeme zab´ yvat ot´azkou urˇcen´ı tzv. rovnov´aˇzn´ ych a periodick´ ych stav˚ u DDS(F ).
Definice • Rovnov´ aˇ zn´ y stav syst´emu (1) (t´eˇz pevn´ y bod vektorov´eho zobrazen´ı F = (f, g)) je bod (x, y), kter´ y splˇ nuje x = f (x, y), y = g(x, y). • Periodick´ y bod (xp , yp ) s periodou m je pevn´ y bod zobrazen´ı F m , tj. m-t´e iterace zobrazen´ı F . Periodick´ y bod (xp , yp ) s primitivn´ı periodou m je periodick´ y bod s periodou m, kde m je nav´ıc nejmenˇs´ı kladn´e ˇc´ıslo s touto vlastnost´ı. • Necht’ (x0 , y0 ) je dan´ y bod v R2 . Dvojice (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . definovan´e induktivnˇe pomoc´ı (1) se naz´ yvaj´ı iteracemi bodu (x0 , y0 ) a posloupnost {(xn , yn )}∞ se naz´ y v´ a kladnou orbitou bodu (x , y ) a budeme ji oznaˇcovat 0 0 n=0 + γ (x0 , y0 ). Tedy γ + (x0 , y0 ) = {(x0 , y0 ), F (x0 , y0 ), F 2 (x0 , y0 ), . . . , F k (x0 , y0 ), . . . }. Pro rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) plat´ı γ + (x, y) = {(x, y), (x, y), (x, y), . . . } = {(x, y)}, nebo-li orbita je jednobodov´a. Pro periodick´ y bod (xp , yp ) plat´ı γ + (xp , yp ) = {(xp , yp ), (xp+1 , yp+1 ), (xp+2 , yp+2 ), . . . (xp+m−1 , yp+m−1 )}, nebo-li orbita je m-bodov´a. J
I
Definice • Pokud k zobrazen´ı F existuje inverzn´ı zobrazen´ı F −1 , definujeme tak´e z´ apornou orbitu bodu (x0 , y0 ), a to takto γ − (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), F −1 (x0 , y0 ), F −2 (x0 , y0 ), . . . , F −k (x0 , y0 ), . . ., kde F −n znaˇc´ı n-tou iteraci zobrazen´ı F −1 . • Pokud existuj´ı jak kladn´a tak z´aporn´a orbita bodu (x0 , y0 ), definujme tzv. u ´ plnou orbitu γ(x0 , y0 ) jako sjednocen´ı kladn´e a z´aporn´e orbity. Tedy γ(x0 , y0 ) = γ + (x0 , y0 ) ∪ γ − (x0 , y0 ). • Bod (a, b) ∈ R2 naz´ yv´ame ω-limitn´ım bodem kladn´e orbity γ + (x0 , y0 ), pokud existuje posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel ni takov´ ych, ˇze pro i → ∞ ni → ∞ a F ni (x0 , y0 ) → (a, b). • Mnoˇzinu vˇsech ω-limitn´ıch bod˚ u orbity γ + (x0 , y0 ) naz´ yv´ame ω-limitn´ı mnoˇ zinou bodu (x0 , y0 ) a znaˇc´ıme ji ω(x0 , y0 ). • V pˇr´ıpadˇe, ˇze je zobrazen´ı F invertibiln´ı, definujeme obdobnˇe t´eˇz α-limitn´ı mnoˇ zinu bodu (x0 , y0 ) jako mnoˇzinu − vˇsech α-limitn´ıch bod˚ u z´aporn´e orbity γ (x0 , y0 ), m´ısto pˇrirozen´ ych ˇc´ısel uvaˇzujeme ni z´aporn´a cel´a ˇc´ısla.
J
I
Podobnˇe jako pro spojit´e dynamick´e syst´emy, je i v pˇr´ıpadˇe diskr´etn´ıch dynamick´ ych syst´em˚ u pro chov´an´ı syst´emu rozhoduj´ıc´ı klasifikace rovnov´aˇzn´ ych stav˚ u z pohledu stability.
Definice • Rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) soustavy diferenˇcn´ıch rovnic (1) (tj. pevn´ y bod zobrazen´ı F ) se naz´ yv´a stabiln´ı, pokud nuj´ı ∀ε > 0 ∃δ > 0 takov´e, ˇze pro kaˇzd´ y bod (x0 , y0 ) splˇ nuj´ıc´ı k(x0 , y0 ) − (x, y)k < δ, vˇsechny iterace (xn , yn ) splˇ k(xn , yn ) − (x, y)k < ε. (Pˇripomeˇ nme, ˇze (xn , yn ) = F n (x0 , y0 ).) Pevn´ y bod (x, y) naz´ yv´ame nestabiln´ı, pokud nen´ı stabiln´ı. • Rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) soustavy (1) se naz´ yv´a asymptoticky stabiln´ı, pokud ∃r > 0 takov´e, ˇze (xn , yn ) → (x, y) pro n → ∞ pro vˇsechny (x0 , y0 ) splˇ nuj´ıc´ı k(x0 , y0 ) − (x, y)k < r. • Periodick´ y bod (xp , yp ) soustavy (1) s periodou m se naz´ yv´a stabiln´ı, je-li (xp , yp ) stabiln´ı pevn´ y bod zobrazen´ı F m . Analogicky definujeme asymptoticky stabiln´ı a nestabiln´ı periodick´ y bod.
Definice Mnoˇzinu M ⊆ R2 naz´ yv´ame invariantn´ı mnoˇzinou zobrazen´ı F , pokud plat´ı F (M ) ⊆ M . Uvˇedomte si, ˇze v takov´em pˇr´ıpadˇe kaˇzd´a orbita, kter´a jednou vstoup´ı do M , z˚ ustane v M navˇzdy“. ”
J
I
Definice y bod zobrazen´ı F = (f, g), kde f, g jsou spojitˇe diferencovateln´e v (x, y). Jacobiho matice • Necht’ (x, y) je pevn´ zobrazen´ı F v bodˇe (x, y) je matice ∂f ∂f (x, y) (x, y) ∂x ∂y JF (x, y) = ∂g ∂g (x, y) (x, y) ∂x ∂y Line´arn´ı zobrazen´ı JF (x, y) : R2 → R2 definovan´e ∂f ∂f (x, (x, y) · y y) · x + ∂x ∂y JF (x, y)(x, y) = JF (x, y) · (x, y) = ∂g ∂g (x, y) · x + (x, y) · y ∂x ∂y
se naz´ yv´a linearizac´ı zobrazen´ı F v pevn´em bodˇe (x, y). • Rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) zobrazen´ı F se naz´ yv´a hyperbolick´ y, pokud je jeho linearizace v bodˇe (x, y) hyperbolick´a, tj. pokud Jacobiho matice JF (x, y) nem´a ˇza´dn´a vlastn´ı ˇc´ısla na jednotkov´e kruˇznici. M´a-li JF (x, y) alespoˇ n jedno vlastn´ı ˇc´ıslo na jednotkov´e kruˇznici, pak ˇr´ık´ame, ˇze rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) nen´ı hyperbolick´ y.
J
I
Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım v´ ysledkem v oblasti linearizac´ı je n´asleduj´ıc´ı vˇeta.
Vˇ eta (Linearized Stability Theorem) Necht’ F = (f, g), je spojitˇe diferencovateln´e zobrazen´ı definovan´e na otevˇren´e mnoˇzinˇe W ⊆ R2 . Necht’ (x, y) ∈ W je rovnov´aˇzn´ y stav F . • Pokud obˇe vlastn´ı ˇc´ısla Jacobiho matice JF (x, y) leˇz´ı uvnitˇr jednotkov´e kruˇznice (tj. |λ1 | < 1 i |λ2 | < 1), potom je rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) asymptoticky stabiln´ı. • Pokud alespoˇ n jedno vlastn´ı ˇc´ıslo Jacobiho matice JF (x, y) leˇz´ı vnˇe jednotkov´e kruˇznice (tj. |λ1 | > 1 nebo |λ2 | > 1), potom je rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) nestabiln´ı.
Definice • Je-li hyperbolick´ y rovnov´aˇzn´ y stav (x, y) soustavy (1) asymptoticky stabiln´ı, tj. obˇe vlastn´ı ˇc´ısla Jacobiho matice u JF (x, y) leˇz´ı uvnitˇr jednotkov´e kruˇznice, potom existuje otevˇren´e okol´ı O(x, y) takov´e, ˇze kladn´e iterace vˇsech bod˚ z O(x, y) konverguj´ı k dan´emu rovnov´aˇzn´emu stavu (x, y). Tedy pro vˇsechny body (a, b) ∈ O(x, y) plat´ı F n (a, b) → (x, y) pro n → ∞. Takov´ yto rovnov´aˇzn´ y stav naz´ yv´ame atraktor (anglicky sink). • Pokud obˇe vlastn´ı ˇc´ısla linearizace F v rovnov´aˇzn´em stavu (x, y) leˇz´ı vnˇe jednotkov´e kruˇznice, potom existuje otevˇren´e okol´ı O(x, y) takov´e, ˇze zpˇetn´e iterace vˇsech bod˚ u z O(x, y) konverguj´ı k (x, y). Takov´ yto rovnov´aˇzn´ y stav naz´ yv´ame repelor (anglicky source nebo repeller). • Leˇz´ı-li jedno vlastn´ı ˇc´ıslo linearizace JF (x, y) uvnitˇr jednotkov´e kruˇznice a jedno vnˇe jednotkov´e kruˇznice, potom v kaˇzd´em otevˇren´em okol´ı O(x, y) existuj´ı body, jejichˇz kladn´e iterace konverguj´ı k (x, y), zat´ımco zpˇetn´e iterace jin´ ych bod˚ u z O(x, y) konverguj´ı k (x, y). Takov´ yto rovnov´aˇzn´ y stav naz´ yv´ame sedlo (anglicky saddle). J
