VIII. Náhodný vektor 1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y) = a(x + y + 1), x, y ∈ {0, 1, 2}. a) Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení: a) Pravděpodobnostní funkce p musí splňovat dvě podmínky: (1) p(x, y) ≥ 0 ⇒ a > 0; (2) 1 =
P
p(x, y) = 1 ⇒ 1 = a(1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5) = 27a ⇒ a =
(x,y)∈R2
y\x 0 1 Je tedy p = p(x, y) : 2 p1 (x)
0
1
2
p2 (y)
1 27 2 27 3 27 6 27
2 27 3 27 4 27 9 27
3 27 4 27 5 27 12 27
6 27 9 27 12 27
1 . 27
1
b) Vypočtěte P (X ≤ Y ). Řešení: b) Podmínce X ≤ Y vyhovují hodnoty (X, Y ) : (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2). Je tedy P (X ≤ Y ) =
1 (1 27
+ 2 + 3 + 3 + 4 + 5) =
18 27
= 23 .
c) Určete marginální pravděpodobnostní funkce. Řešení: c) Marginální pravděpodobnostní funkce p1 a p2 popisují rozdělení pravděpodobnosti pro souřadnice X a Y náhodného vektoru (X, Y ). P
Je tedy p1 (x) = P (X = x) =
p(x, y) a p2 (y) = P (Y = y) =
y∈R
P
p(x, y).
x∈R
Hodnoty pravděpodobnostních funkcí zapíšeme do tabulek: x p1 (x)
0
1
2
6 27
9 27
12 27
y p2 (y)
0
1
2
6 27
9 27
12 27
Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí si zapisujeme do původní tabulky. Hodnoty funkce p1 (x) tvoří řádek, který dostaneme sečtením původní tabulky po sloupcích. Obdobně jsou hodnoty funkce p2 (y) ve sloupci, který získáme sečtením původní tabulky po řádcích. d) Vypočtěte střední hodnoty E(X), E(Y ), E(XY ) a rozptyly D(X), D(Y ). !
Řešení: d) Je E(X) =
P
xp1 (x) nebo také E(X) =
x∈R
P
P x∈R
xp(x, y).
(x,y)∈R2
1
x
P y∈R
p(x, y)
=
Tudíž E(X) =
1 (9 27 2
+ 24) =
=
11 . 9
x2 p1 (x) =
P
Obdobně je E(X ) =
33 27
x∈R
1 (9 27
+ 48) =
57 27
=
Pro rozptyl dostaneme D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
19 . 9
19 9
−
11 9
2
=
171−121 81
=
50 . 81
Vzhledem k tomu, že jsou obě marginální pravděpodobnostní funkce shodné je E(X) = E(Y ) a D(X) = D(Y ). P
Pro zbývající střední hodnotu máme E(XY ) =
xyp(x, y) =
(x,y)∈R2
=
1 (3 27
+ 8 + 8 + 20) =
39 27
=
13 . 9
e) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. Vypočtěte jejich koeficient korelace. Řešení: e) K určení závislosti či nezávislosti použijeme podmínky X a Y jsou nezávislé ⇔ p(x, y) = p1 (x)p2 (y). 1 6= p1 (0)p2 (0) = Protože je pro x = y = 0 p(0, 0) = 27 a Y závislé. Pro jejich koeficient korelace máme
ρ(X, Y ) =
E(XY ) − E(X)E(Y ) q
=
13 9
D(X)D(Y )
−
11 9 50 81
·
11 9
=
36 272
jsou náhodné veličiny X
117 − 121 4 = − = −0, 08. 50 50
f ) Určete pravděpodobnostní funkce náhodných veličin Z = X + Y a W = XY. Vypočtěte jejich střední hodnoty. Řešení: f ) Náhodná veličina Z nabývá hodnot 0, 1, 2, 3, 4, kterým odpovídají hodnoty 0−−(0, 0); 1−−(0, 1), (1, 0); 2−−(2, 0), (1, 1), (0, 2); 3−−(2, 1), (1, 2); 4−−(2, 2). Je tedy pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Z rovna p∗ (z) = P (Z = z) : z p∗ (z)
0
1
2
3
4
1 27
4 27
9 27
8 27
5 27
zp∗ (z) =
P
Potom je E(Z) =
z∈R
1 (4 27
+ 18 + 24 + 20) =
22 . 9
Všimněme si, že platí E(Z) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Náhodná veličina W = XY nabývá hodnot 0, 1, 2, 4, kterým odpovídají hodnoty: 0 − −(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (0, 2); 1 − −(1, 1); 2 − −((2, 1), (1, 2); 4 − −(2, 2). Potom pro pravděpodobnostní funkci p∗∗ (w) = P (W = w) je w p (w) ∗∗
Je pak E(W ) =
0
1
2
4
11 27
3 27
8 27
5 27
P
wp∗∗ (w) =
w∈R
1 (3 + 16 + 20) 27
který jsme získali v odstavci d).
2
=
13 , 9
což je v souhlase s výsledkem,
g) Určete podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x|y) a p(y|x). Řešení: g) Pro podmíněné pravděpodobnostní funkce máme vyjádření: p(x|y) =
p(x,y) p2 (y)
a p(y|x) p(x,y) . p1 (x)
Všimněme si, že hodnoty podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x|0) dostaneme tak, že hodnoty p(x, 0) v řádku tabulky vydělíme jejich součtem, hodnotou p2 (0). Obdobně získáme i ostatní hodnoty. Tabulky hodnot podmíněných pravděpodobnostních funkcí jsou:
p(x|y)
x p(x|0) p(x|1) p(x|2)
0
1
2
1 6 2 9 3 12
2 6 3 9 4 12
3 6 4 9 5 12
p(y|x)
y p(y|0) p(y|1) p(y|2)
0
1
2
1 6 2 9 3 12
2 6 3 9 4 12
3 6 4 9 5 12
Odtud dostaneme pro podmíněné střední hodnoty: E(X|y) =
P
xp(x|y) a E(Y |x) =
x∈R
E(X|0) =
P x∈R
E(X|1) =
P x∈R
E(X|2) =
P x∈R
P
yp(y|x).
y∈R
xp(x|0) = 61 (2 + 6) =
4 3
xp(x|1) = 19 (3 + 8) =
11 9
= E(Y |1);
7 6
= E(Y |2).
xp(x|) =
1 (4 12
+ 10) =
= E(Y |0);
2. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rovnoměrné rozdělení v množině A = {(x, y); 0 < x < 2, 0 < y < 1}. a) Určete sdruženou hustotu f. b) Vypočtěte pravděpodobnosti P (X +Y ) ≥ 1), P (Y ≤ X 2 ), P ((X −1)2 +Y 2 ≥ 1). c) Určete marginální hustoty f1 , f2 . d) Určete sdruženou distribuční funkci F. e) Určete marginální distribuční funkce F1 , F2 . f ) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. g) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ). h) Určete podmíněné hustoty. Řešení: a) Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovna převrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy *
f (x, y) =
1 , 2
(x, y) ∈ A, 0, jinde.
b) Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypočteme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde je
3
tato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostaneme postupně: Z 1Z 2 1 3 P (X + Y ≥ 1) = ( dx)dy = ; (obsah lichoběžníka); 4 0 1−y 2 Z 1Z 2 Z 1 2 Z 1 1 x 1 √ 2 P (Y ≤ X ) = ( √ dx)dy = dy = (2 − y) dy = √ 2 y 0 0 y 2 0 2 1 2 √ 1 2 = (2y − y y) = ; 2 3 3 0 2 2 P ((X − 1) + Y ≥ 1) = 1 − P ((X − 1)2 + Y 2 ≤ 1) = 1 − 12 · π2 =
4−π , 2
(obsah kruhu).
c) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: Z ∞ Z 1 1 1 X . . . f1 : f1 (x) = f (x, y) dy = dy = pro 0 ≤ x ≤ 2. 2 −∞ 0 2 Z ∞ Z 2 1 Y . . . f2 : f2 (y) = f (x, y) dx = dx = 1 pro 0 ≤ y ≤ 1. −∞ 0 2 Je tedy * * 1 , 0 ≤ x ≤ 2, 1, 0 ≤ y ≤ 1, f1 (x) = 2 f2 (y) = 0, jinde; 0, jinde. d) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2 . Pravděpodobnost vypočteme stejně jako v odstavci b) musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná pro jednotlivé body (x, y). Potom je: F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0; F (x, y) = 12 xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1; F (x, y) = 12 x, 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1; F (x, y) = y, x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1; F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1. e) Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek: F1 (x) = y→∞ lim F (x, y),
F2 (y) = x→∞ lim F (x, y).
Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je: x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 2, 1, x ≥ 2,
* 0,
F1 (x) = F (x, 1) =
y ≤ 0, y, 0 ≤ y ≤ 1, 1, y ≥ 1.
* 0,
x , 2
F2 (y) = F (2, y) =
f ) K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty můžeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým výpočtem ze sdružené hustoty. Je
4
f1 (x) = F10 (x) =
Z
∞
f (x, y) dy,
−∞
f2 (y) = F20 (y) =
Z
∞
f (x, y) dx.
−∞
Vzhledem k tomu, že je sdružená hustota konstantní, jsou integrály ve vyjádření rovny součinu této konstanty a délky intervalu, přes který integrujeme. Tudíž je: * 0,
f1 (x) =
x < 0, 1 , 0 < x < 2, 2 0, x > 2,
* 0, y < 0,
f2 (y) =
1, 0 < y < 1, 0, y > 1.
Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f (x, y) = f1 (x).f2 (y), (x, y) ∈ R2 . Snadno nahlédneme, že je tato rovnost splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y nezávislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivé hustoty nulové. g) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Zde ale využijeme skutečnosti, že pro pro nezávislé náhodné veličiny je koeficient korelace roven nule. h) Protože jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, jsou podmíněné náhodné veličiny shodné s marginálními. Je tedy X|y = X, f (x|y) = f1 (x) pro 0 ≤ y ≤ 1; Y |x = Y, f (y|x) = f2 (y) pro 0 ≤ x ≤ 2. 3. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rovnoměrné rozdělení v množině A = {(x, y); 0 < x < 2, 0 < y < 1, x + 2y ≤ 2}. a) Určete sdruženou hustotu f. b) Vypočtěte pravděpodobnost P (X ≥ Y ). c) Určete marginální hustoty f1 , f2 . d) Určete sdruženou distribuční funkci F. e) Určete merginální distribuční funkce F1 , F2 . f ) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. g) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ). h) Určete hustoty podmíněných náhodných veličin a vypočtěte jejich střední hodnoty. Řešení: a) Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovna převrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy *
f (x, y) =
5
1, (x, y) ∈ A, 0, jinde.
b) Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypočteme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde je tato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostaneme: Z 2 Z 2−2y 2 3 P (X ≥ Y ) = ( 1dx)dy = ; (obsah trojúhelníka). 3 0 0 c) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: Z
X . . . f1 : f1 (x) =
Z
Y . . . f2 : f2 (y) =
∞
f (x, y) dy =
−∞ ∞
f (x, y) dx =
Z Z
−∞
1− x2
1 dy = 1 −
0 2−2y
x pro 0 ≤ x ≤ 2. 2
dx = 2(1 − y) pro 0 ≤ y ≤ 1.
0
Je tedy *
f1 (x) =
*
1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0, jinde;
f2 (y) =
2(1 − y), 0 ≤ y ≤ 1, 0, jinde.
d) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2 . Pravděpodobnost vypočteme stejně jako v odstavci b) musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná pro jednotlivé body (x, y). Příslušné integrály budeme počítat podle vzorců pro obsahy obrazců, které jsou průnikem trojúhelníka a kvadrantu. Potom je: F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0; F (x, y) = xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x + 2y ≤ 2; F (x, y) = xy − 14 (x + 2y − 2)2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x + 2y ≥ 2; F (x, y) = x − 14 x2 , 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1; F (x, y) = 2y − y 2 , x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1; F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1. e) Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek: F1 (x) = y→∞ lim F (x, y),
F2 (y) = x→∞ lim F (x, y).
Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je: * 0,
F1 (x) = F (x, 1) =
x− 1,
x2 , 4
* 0, x ≤ 0, y ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 2, F2 (y) = F (2, y) = 2y − y 2 , 0 ≤ y ≤ 1, 1, y ≥ 1. x ≥ 2,
f ) K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty můžeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým výpočtem ze sdružené hustoty. Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f (x, y) = f1 (x).f2 (y), (x, y) ∈ R2 . 6
Snadno nahlédneme, že je tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivé hustoty nulové. Součin marginálních hustot je kladný na obdélníku (0, 2) × (0, 1), kdežto sdružená hustota f je kladná pouze na trojúhelníku A. Dokonce i v množině A není požadovaná rovnost splněna. g) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dostaneme: " #2 Z ∞ Z 2 x2 x2 x3 2 xf1 (x) dx = (x − dx = − = ; E(X) = 2 2 3 0 3 −∞ 0 E(Y ) =
∞
Z
yf2 (y) dy =
−∞
E(X 2 ) =
∞
Z
2
E(Y ) =
Z
∞
2
−∞
E(XY ) = =2
Z
1
y f2 (y) dy =
ZZ R2
2
Z
x2 −
0 1
Z 0
x3 x3 x4 dx = − 2 3 8 "
1
Z
Z
2−2y
0 2
D(X) = E(X ) − (E(X)) =
2 3
3
#1
Z
xy dx dy = 0
y 2 2y 3 y 4 − + 2 3 4
y − 2y 2 + y 3 dy = 2
0
2 = ; 3
2
0
"
0
#2
1 = ; 3
y y4 2y (1 − y) dy = 2 − 3 4 "
xyf (x, y) dxdy =
2
#1
2
0
x2 f1 (x) dx =
−∞
y2 y3 2y − 2y dy = 2 − 2 3 "
1
Z
−
4 9
=
2 , 9
0
0
#1 0
1 = ; 6 1
y h 2 i2−2y x dy = 0 2
1 = ; 6
D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 =
1 6
Pro koeficient korelace dostanememe ρ(X, Y ) =
E(XY ) − E(X)E(Y ) q
=
D(X)D(Y )
1 6
− 23 · 1 9
1 3
1 = − = −0, 5. 2
h) Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců: X|y : f (x|y) =
f (x, y , f2 (y) 6= 0; f2 (y)
Y |x : f (y|x) =
f (x, y , f1 (x) 6= 0. f1 (x)
Tedy 1 , 0 ≤ x ≤ 2(1 − y) pro 0 < y < 1; 2(1 − y) 2 2 Y |x : f (y, x) = , 0≤y≤ pro 0 < x < 2. 2−x 2−x Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak: Z 2−2y h i2−2y x 1 4(1 − y)2 dx = x2 = = 1 − y, E(X|y) = 0 2(1 − y) 4(1 − y) 4(1 − y) 0 X|y : f (x|y) =
E(Y |x) =
Z 0
2−x 2
2y 1 h 2 i 2−x (2 − x)2 2−x dy = y 2 = = . 0 2−x 2−x 4(2 − x) 4
7
− 19 =
1 . 18
4. Náhodný vektor má sdruženou hustotu f, kde *
f (x, y) =
xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0, jinde.
a) Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce. b) Určete marginální hustoty. c) Vypočtěte střední hodnoty a rozptyly marginálních veličin. d) Rozhodněte o závislosti a nezávislosti náhodných veličin X a Y. e) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ). f ) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≤ X 2 ). Řešení: a) Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y), (x, y) ∈ R2 . Pravděpodobnost vypočteme jako integrál přes uvedený obor, musíme pouze uvážit jak vypadá průnik s tímto oborem, kde je hustota kladná. Potom je: F (x, y) = 0, x ≤ 0 nebo y ≤ 0; F (x, y) =
Rx Ry 0
(
0
uvdv)du = 41 x2 y 2 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1;
F (x, y) = F (x, 1) = 14 x2 , 0 ≤ x ≤ 2, y ≥ 1; F (x, y) = F (2, y) = y 2 , x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ 1; F (x, y) = 1, x ≥ 2a y ≥ 1. Marginální distribuční funkce F1 a F2 dostaneme z podmínek: F1 (x) = lim F (x, y),
F2 (y) = lim F (x, y).
y→∞
x→∞
Protože se pro hodnoty x ≥ 2 a y ≥ 1 již sdružená distribuční funkce nemění, je: x ≤ 0, , 0 ≤ x ≤ 2, 4 1, x ≥ 2,
y ≤ 0, y , 0 ≤ y ≤ 1, 1, y ≥ 1.
* 0,
* 0,
x2
2
F1 (x) = F (x, 1) =
F2 (y) = F (2, y) =
b) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: Z ∞ Z 1 1 X . . . f1 : f1 (x) = f (x, y) dy = xy dy = x pro 0 ≤ x ≤ 2. 2 −∞ 0 Y . . . f2 : f2 (y) =
Z
∞
f (x, y) dx =
−∞
Z
2
xy dx = 2y pro 0 ≤ y ≤ 1.
0
Je tedy *
f1 (x) =
*
1 , 2
0 ≤ x ≤ 2, 0, jinde;
f2 (y) =
1, 0 ≤ y ≤ 1, 0, jinde.
Stejné výsledky dostaneme ze vztahů f1 (x) = F10 (x) a f2 (y) = F20 (y). 8
c) Střední hodnoty náhodných veličin X a Y vypočteme pomocí vzorců: E(X) =
∞
Z
xf1 (x) dx =
−∞
E(Y ) =
Z
∞
−∞
E(X 2 ) =
Z
yf2 (y) dy =
∞
−∞ 2
E(Y ) =
Z
∞
−∞
x2 x3 dx = 2 6 "
2
Z 0
"
1
Z
2y 2 dy = 2
0
x2 f1 (x) dx = 2
y f2 (y) dy =
2
Z 0
Z 0
1
3
#2
4 = ; 3
0 # 3 1
y 3
"
0 # 4 2
x x dx = 2 8
y4 2y dy = 2 2 "
2 = ; 3 = 2;
0
#1
3
0
1 = . 2
Rozptyly získáme pomocí vzorců: D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 2 − 16 = 29 , 9
D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = 12 − 49 =
1 . 18
d) O nezávislosti či závislosti veličin X a Y rozhodneme z podmínky pro nezávislost: f (x, y) = f1 (x).f2 (y). Po dosazení výsledků z odstavce b) dostaneme, že je požadovaná podmínka splněna, náhodné veličiny jsou nezávislé. Poznamejme ještě, že podmíněné náhodné veličiny se rovnají marginálním. e) Koeficient korelace snadno určíme. Protže jsou podle d) náhodné veličiny nezávislé je koeficient korelace nulový. Ověřme si tuto skutečnost výpočtem. K určení koeficientu korelace nám chybí vypočítat jediný moment. Je ZZ Z 1 Z 2 Z 1 2h i 2 y 2 2 E(XY ) = xyf (x, y) dxdy = x y dx dy = x3 dy = 0 3 R2 0 0 0 8Z 1 2 8 y3 = y dy = 3 0 3 3 "
#1 0
8 = ; 9
Pro koeficient korelace dostaneme ρ(X, Y ) =
E(XY ) − E(X)E(Y ) q
D(X)D(Y )
=
8 9
− 43 · 1 9
2 3
= 0.
f ) Požadovanou pravděpodobnost vypočteme jako integrál ze sdružené hustoty přes obor, ve kterém se mají hodnoty náhodného vektoru vyskytovat. Je Z 1 Z 2 1 Z 1 h 2 i2 1Z 1 P (Y ≤ X 2 ) = ( √ xy dx)dy = y x √ dy = (4y − y 2 ) dy = y 2 0 2 0 0 y 1 y3 2 = 2y − 2 3 "
#1 0
5 = . 6
9
5. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde *
f (x, y) =
1 (3x 36
0,
+ 2y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, jinde.
a) Určete marginální hustoty f1 , f2 . b) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. c) Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ). d) Určete podmíněné hustoty. Řešení: a) Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: Z ∞ Z 3 1 1 (3x + 2y) dy = (x + 1) pro 0 ≤ x ≤ 2. X . . . f1 : f1 (x) = f (x, y) dy = 4 −∞ 0 36 Z ∞ Z 2 1 1 Y . . . f2 : f2 (y) = f (x, y)dx = (3x + 2y) dx = (3 + 2y) pro 0 ≤ y ≤ 3. 18 −∞ 0 36 Je tedy *
*
1 (x 4
+ 1), 0 ≤ x ≤ 2, 0, jinde;
f1 (x) =
f2 (y) =
1 (3 18
0,
+ 2y), 0 ≤ y ≤ 3, jinde.
b) Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f (x, y) = f1 (x).f2 (y), (x, y) ∈ R2 . Snadno nahlédneme, že tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé. Je totiž 1 (x 72
f1 (x)f2 (y) =
+ 1)(3 + 2y) 6= f (x, y) =
1 (3x 36
+ 2y), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.
c) K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dostaneme: " #2 Z ∞ Z 2 1 2 1 x3 x2 7 E(X) = xf1 (x) dx = (x + x) dx = + = ; 4 3 2 0 6 −∞ 0 4 E(Y ) =
∞
Z
yf2 (y) dy =
−∞
E(X 2 ) =
Z
∞
−∞ 2
E(Y ) =
Z
∞
E(XY ) = =
Z 0
2
1 1 3y 2 2y 3 (3y + 2y 2 ) dy = + 18 18 2 3
Z
2
"
ZZ R2
"
# 3 2
4
1 3 1 x x (x + x2 ) dx = + 4 4 4 3
0
1 y f2 (y) dy = 18
Z
3
0
xyf (x, y) dxdy =
1 3 2 22 3 x y xy 36 2 3
3
0
x2 f1 (x) dx = 2
−∞
Z
0
2
Z
2
7 = ; 4
0
5 = ; 3
1 3y 2y 4 3y + 2y dy = + 18 3 4 "
3
#3
#3
3
Z
0
3
= 0
15 ; 4
(3x2 y + 2xy 2 ) dy dx =
0
3
1 Z 2 27 2 1 9x3 dx = ( x + 18x) dx == + 9x2 36 0 2 36 3 0 "
10
#2
= 2; 0
D(X) = E(X 2 )−(E(X))2 = 35 − 49 = 36
11 , 36
D(Y ) = E(Y 2 )−(E(Y ))2 =
15 − 49 4 16
=
11 . 16
Pro koeficient korelace dostanememe ρ(X, Y ) =
E(XY ) − E(X)E(Y ) q
=
2 − 76 ·
7 4
11 24
D(X)D(Y )
=−
1 . 11
d) Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců: f (x, y f (x, y , f2 (y) 6= 0; Y |x : f (y|x) = , f1 (x) 6= 0. X|y : f (x|y) = f2 (y) f1 (x) Tedy 3x + 2y X|y : f (x|y) = , 0 ≤ x ≤ 2 pro 0 < y < 3; 2(3 + 2y) 3x + 2y Y |x : f (y, x) = , 0 ≤ y ≤ 3 pro 0 < x < 2. 9(x + 1) Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak: Z 2 h i2 3x2 + 2xy 1 4 + 2y E(X|y) = dx = x3 + x2 y = , 0 2(3 + 2y) 3 + 2y 0 2(3 + 2y) E(Y |x) =
Z 0
3
3xy + 2y 2 1 3xy 2 2y 3 dy = + 9(x + 1) 9(x + 1) 2 3 "
#3
= 0
3x + 4 . 2(x + 1)
6. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají normální rozdělení N (0, σ 2 ). a) Určete pravděpodobnosti P (X 2 +Y 2 ≤ 2σ 2 ), P (1 ≤ X 2 +Y 2 ≤ 4), P (|X| < Y ) a P (X 2 + Y 2 ≤ 21 ∩ X < Y ). b) Nalezněte číslo r takové, že P (X 2 + Y 2 ≤ r2 ) = 0, 9. Řešení: Nejdříve určíme rozdělení náhodného vektoru (X, Y ). Protože jsou obě náhodné veličiny nezávislé je jeho sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Ty jsou ale shodné. Je tedy sdružená hustota rovna f (x, y) =
1 − x2 +y2 2 e 2σ , (x, y) ∈ R2 . 2πσ 2
a) Požadované pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustoty přes množiny bodů, které v R2 splňují požadované podmínky. ZZ 1 − x2 +y2 2 e 2σ dxdy = P (X 2 + Y 2 ≤ 2σ 2 ) = x2 +y 2 ≤2σ 2 2πσ 2 ! √ x = ρ cos ϕ, 0 < ρ < σ √2 1 Z 2π Z σ 2 − ρ22 = = e 2σ dρ dϕ = x = ρ sin ϕ, 0 < ϕ < 2π 2πσ 2 0 0 ρ2 2π 2 − 2σ2 = −σ e 2πσ 2
√2σ
= 1 − e−1 = 0, .
0
P (1 ≤ X 2 + Y 2 ≤ 4) =
ZZ 1≤x2 +y 2 ≤4
1 − x2 +y2 2 e 2σ dxdy = 2πσ 2 11
x = ρ cos ϕ, = x = ρ sin ϕ,
1<ρ<2 0 < ϕ < 2π
ρ2 2π 2 − 2σ2 = e −σ 2πσ 2
P (|X| < Y ) =
2
1
=
1 2πσ 2
R
1
ZZ
R∞ 0
e
−
2
= e− 2σ2 − e− σ2 .
|x|
1 Z 2π Z 2 2 − ρ2 2σ dρ e dϕ = 2πσ 2 0 1
ρ2 2σ 2
x = ρ cos ϕ, 0 < ρ < ∞ 1 − x2 +y2 2 2σ e dxdy = x = ρ sin ϕ, π < ϕ < 3π 2πσ 2 4 π
dρ dϕ =
π 4πσ 2
2
ρ 2 − 2σ2
−σ e
∞
= 0
1 4
=
= 0, 25.
ZZ 1 1 − x2 +y2 2 P (X + Y ≤ ∩ X < Y ) = e 2σ dxdy = 2 x2 +y 2 ≤ 12 ∩x
2
x = ρ cos ϕ, = x = ρ sin ϕ,
√
0<ρ< − 3π <ϕ< 4
ρ2 π 2 − 2σ2 = −σ e 2πσ 2
2 2
√ 2 2
0
π 4
√ Z π Z 2 ρ2 1 4 2 = e− 2σ2 dρ dϕ = 2πσ 2 − 3π4 0
1 1 = (1 − e− 4σ2 ). 2
b) Obdobně jako v odstavci a) dostaneme: ZZ 1 − x2 +y2 2 2 2 2 P (X + Y ≤ r ) = e 2σ dxdy = x2 +y 2 ≤r 2 2πσ 2 Z r x = ρ cos ϕ, 0 < ρ < r 2 1 Z 2π − ρ2 2σ dρ dϕ = = = e x = ρ sin ϕ, 0 < ϕ < 2π 2πσ 2 0 0 r 2 ρ2 2π − r2 2 − 2σ2 2σ = −σ e = 1 − e = 0, 95. 2πσ 2 0 Odtud plyne, že r2
2
e− 2σ2 = 0, 05 ⇒ r2 = − σ2 ln0, 05 ⇒ r =
q
2
− σ2 ln0, 05 = 1, 2239σ 2 .
7. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou distribuční funkcí *
F (x, y) =
0, x < 0 ∨ y < 0, −2x −3y −2x−3y 1−e −e +e , x ≥ 0 ∧ y ≥ 0.
a) Určete marginální distribuční funkce. b) Určete sdruženou hustotu a marginální hustoty. c) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. d) Vypočtěte pravděpodobnosti P (X + Y < 1), P (X > Y ) a P (Y > X 2 ). Řešení: a) Marginální distribuční funkce určíme jako limity: *
0, x ≤ 0, 1 − e−2x , x ≥ 0;
*
0, y ≤ 0, 1 − e−3y , y ≥ 0;
F1 (x) = lim F (x, y) = y→∞
F2 (y) = lim F (x, y) = x→∞
12
b) Sdruženou hustotu vypočteme pomocí vzorce f (x, y) =
∂2F . Je postupně: ∂x∂y
f (x, y) = 0, x < 0 ∨ y < 0; !
∂ f (x, y) = ∂x
∂ ∂ −3y 1 − e−2x − e−3y + e−2x−3y = 3e − 3e−2x−3y = ∂y ∂x
= 6 e−2x−3y , x > 0 ∧ y > 0. Marginální hustoty vypočteme jako derivace marginálních distribučních funkcí nebo integrováním sdružené hustoty. Pro porovnání uvedeme oba způsoby. Je: *
f1 (x) = f1 (x) = f2 (y) =
F10 (x)
=
*
∞
Z
0, R
f (x, y) dy =
∞ 0
−∞
*
∞
Z
*
0, x < 0, −2x 2 e , x > 0;
0, R
f (x, y) dx =
∞ 0
−∞
f2 (y) =
6e
−2x−3y
6e
−2x−3y
F20 (y)
0, y < 0, −3y 3 e , y > 0.
=
−2x
x < 0, , x > 0;
−3y
y < 0, , y > 0;
dy = 2 e
dx = 3 e
c) Náhodné veličiny X a Y budou nezávislé pokud bude f (x, y) = f1 (x)f2 (y), (x, y) ∈ R2 . Snadno nahlédneme, že tato rovnost platí, neboť 6 e−2x−3y = 2 e−2x · 3 e−3y , x > 0, y > 0. Náhodné veličiny jsou tudíž nezávislé. d) Pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustoty přes množinu, ve které se hodnota náhodného vektoru vyskytuje. ZZ
P (X + Y < 1) =
f (x, y) dxdy =
x+y<1
Z
1
h
2e−2x −e−3y
i1−x 0
0
Z
=
1
1
Z
2 e−2x
Z
0
1−x
3e−3y dy dx =
0
h
2 e−2x − ex−3 dx = −e−2x − 2 ex−3
0
i1 0
=
= 1 − 3 e−2 + 2 e−3 = 0, ... P (X > Y ) =
ZZ
f (x, y) dxdy =
∞
h
2e−2x −e−3y
ix 0
0
P (Y > X 2 ) = =
Z
∞
0
Z
∞
−2x−3x2
2 e = 0 √ 3(x + 13 ) = √t2 √ 3dx = √12 dt = 2e
1 3
√π 3
∞
0
y>x2
h
Z
=
ZZ
2e−2x −e−3y
2 e−2x
Z
0
x>y
Z
∞
Z
x
0
2 2 e−2x − e−5x dx = −e−2x + e−5x 5
f (x, y) dxdy =
Z
∞
2 e−2x
Z
0
i∞ x2
3e−3y dy dx =
∞
x2
∞
= 0
3 = 0, 6. 5
3e−3y dy dx =
=
dx = 2
Z
∞
1 2
1
e−3(x+ 3 ) · e 3 dx =
0
t2 t2 2 1Z∞ 2 1√ Z ∞ 1 = √ e 3 √ e− 2 dt = √ e 3 2π √ √ e− 2 dt = 2 2 2π 6 6 3 3 s
1 − Φ
2 = 2, 8563 (1 − Φ(0, 8165)) = 0, 5918, 3
kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N (0; 1).
13
8. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde *
f (x, y) =
a sin (x + y), 0 ≤ x ≤ π2 , 0 ≤ y ≤ π2 , 0, jinde.
a) Určete číslo a. b) Vypočtěte střední hodnoty E(X) a E(Y ). c) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≤ X). d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. Řešení: a) Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určíme neznámou hodnotu čísla a. Je: (1) f (x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2 ⇒ a > 0; (2)
ZZ R2
f (x, y) dxdy = 1 ⇒ a
Z
π 2
0
π 2
π 2
Z
!
sin (x + y) dy dx =
0 π 2
π cos x − cos (x + ) dx = =a [− cos (x + y)]0 dx = a 2 0 0 π π 2 1 = a sin x − sin (x + ) = 2a = 1 ⇒ a = . 2 0 2 Je tedy * 1 sin (x + y), 0 ≤ x ≤ π2 , 0 ≤ y ≤ π2 , f (x, y) = 2 0, jinde. Z
b) Je E(X) =
π 2
ZZ R2
Z
! π π 1Z 2 Z 2 xf (x, y) dxdy = x sin (x + y) dy dx = 2 0 0
π
π
π
π
π π 1Z 2 1Z 2 x cos x − cos (x + ) dx = x [− cos (x + y)]02 dx = = 2 2 0 2 0 π 2 π π π x sin x − sin (x + ) − − cos x + cos (x + ) = ; 2 2 4 0 ! ZZ Z π Z π 1 2 2 E(Y ) = yf (x, y) dxdy = y sin (x + y) dx dy = 2 0 0 R2
π 1Z 2 π 1Z 2 y cos y − cos (y + ) dy = y [− cos (x + y)]02 dy = 2 0 2 2 0 π 2 π π π y sin y − sin (y + ) − − cos y + cos (y + ) = ; 2 2 4 0
=
c) P (Y ≤ X) =
ZZ y≤x
π
π
1Z 2 f (x, y) dxdy = 2 0 π
Z
x
sin (x + y) dy dx = 0
π
1Z 2 1Z 2 1 1 x [− cos (x + y)]0 dx = (cos x − cos (2x)) dx = sin x − sin (2x) = 2 0 2 0 2 2 1 = . 2
14
2
= 0
d) Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Z jejího vyjádření vidíme, že není rovna součinu funkcí v jednotlivých proměnných a tudíž podmínka pro nezávislost nemůže být splněna. Jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé. 9. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde *
f (x, y) =
ae−y (sin x, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ ∞, 0, jinde.
a) Určete číslo a. b) Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce. c) Vypočtěte střední hodnoty E(X) a E(Y ). d) Vypočtěte pravděpodobnost P (Y ≥ X). d) Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé a určete podmíněné hustoty. Řešení: a) Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určíme neznámou hodnotu čísla a. Je: (1) f (x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R2 ⇒ a > 0; (2)
ZZ R2
f (x, y) dxdy = 1 ⇒ a
Z
π Z ∞
e
0
−y
sin x dy dx = a
Z
π
0
0
h
−e−y sin x
i∞ 0
dx =
1 = a [− cos x]π0 = 2a = 1 ⇒ a = . 2 b) Sdruženou distribuční funkci vypočteme ze vztahu F (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y) =
Z
x
Z
y
f (u, v) dudv.
−∞ −∞
Je F (x, y) = 0, x ≤ 0 ∨ y ≤ 0; Z y 1Z x 1 −v F (x, y) = e cos u dv du = (1 − e−y )(1 − cos x), 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y; 2 0 2 0 −y F (x, y) = F (π, y) = 1 − e , π ≤ x < ∞, 0 ≤ y < ∞. Marginální distribuční funkce určíme ze vztahů: F1 (x) = lim F (x, y), y→∞
F2 (y) = lim F (x, y). x→∞
Protože se pro hodnoty x ≥ π již sdružená distribuční funkce nemění a y→∞ lim e−y = 0, je: * 0, −∞ < x ≤ 0, 1 F1 (x) = 2 (1 − cos x), 0 ≤ x ≤ π, 1, π ≤ x < ∞, * 0,
−∞ < y ≤ 0,
F2 (y) = F (π, y) = 1 − e−y , 0 ≤ y < ∞. 15
∞ 1Z π e−y x sin x dy dx = c) E(X) = xf (x, y) dxdy = 2 2 0 0 R i∞ 1Z π 1 1 Z π h −y π −e x sin x dx = x sin x dx = [−x cos x + sin x]π0 = = 0 2 0 2 0 2 2 ZZ Z π Z ∞ 1 E(Y ) = yf (x, y) dxdy = ye−y sin x dy dx = 2 0 R2 0 i∞ 1Z πh 1Z π 1 1 −y − (−y − 1)e sin x dx = sin x dx = [− cos x]π0 = 0 2 0 2 0 2 2
Z
ZZ
∞ 1Z π d) P (Y ≥ X) = xf (x, y) dxdy = e−y sin x dy dx = 2 0 y≥x x Z πh Z π i iπ ∞ 1 1 1 h −x = −e−y sin x dx = e−x sin x dx = −e (cos x + sin x) = x 0 2 0 2 0 2 1 (1 + e−π ) = 0, 2086 2
Z
ZZ
d) Nezávislost náhodných veličin poznáme z podmínky pro sdruženou a marginální distribuční funkce. Musí být F (x, y) = F1 (x) · F2 (y), (x, y) ∈ R2 . Snadno nahlédneme, že je podmínka pro nezávislost splněna. Protože jsou náhodné veličiny nezávislé, jsou jejich podmíněné hustoty shodné z marginálními hustotami. Ty získáme derivováním marginálních distribučních funkcí. Je tedy *
f (x|y) = f1 (x) =
F10 (x)
=
0, −∞ < x < 0, π < x < ∞ 1 sin x, 0 < x < π, 2 *
f (y|x) = f2 (y) =
F20 (y)
=
0, −∞ < y < 0, −y e , 0 < y < ∞.
10. Pro náhodnou veličinu X je E(X) = −1, D(X) = 4 a Y = 2 − 3X. Vypočtěte koeficient korelace ρ(X, Y ). Řešení: Z vlastností střední hodnoty dostaneme, že E(Y ) = E(2 − 3X) = 2 − 3E(X) = 2 − 3.(−1) = 2 + 3 = 5. Stejně získáme hodnotu D(Y ) = D(2 − 3X) = (−3)2 D(X) = 9.4 = 36, když si uvědomíme, že rozptyl se při posunu nemění a že je to střední hodnota kvadrátu. Podobně vypočteme střední hodnotu E(XY ) = E(X(2 − 3X)) = E(2X − 3X 2 ) = 2E(X) − 3E(X 2 ). K určení druhého obecného momentu použijeme vztahu D(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 . Po dosazení dostaneme rovnici 4 = E(X 2 ) − 1 ⇒ E(X 2 ) = 5. Odtud plyne, že E(XY ) = 2.(−1) − 3.5 = −17. Koeficient korelace je roven E(XY ) − E(X)E(Y ) −17 − (−1).5 −12 q √ ρ(X, Y ) = = = = 1, 12 4.36 D(X)D(Y ) což je ve shodě z uvedenými vlastnostmi koeficientu korelace.
16
11. Náhodná veličina X má normální rozdělení N (2; 9). Pro náhodnou veličinu Y = 3 + 2X vypočtěte P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ). Řešení: Náhodná veličina Y, která vznikne lineární transformací náhodné veličiny X má rovněž normální rozdělení N (µ, σ 2 ), kde: µ = E(Y ) = E(3 + 2X) = 3 + 2E(X) = 3 + 2.2 = 7 a σ 2 = D(Y ) = D(3 + 2X) = 4D(X) = 4.9 = 36. Potom P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ) = P (Y 2 − 13Y + 12 ≤ 0) = P ((Y − 1)(Y − 12) ≤ 0) = = P (1 ≤ Y ≤ 12) = F (12)−F (1), kde F je distribuční funkce normálního rozdělení N (7; 36). Je-li Φ distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, pak F (x) = Φ( x−7 ). Je tedy P (Y 2 + 12 ≤ 13Y ) = Φ( 12−7 ) − Φ( 1−7 )= 6 6 6 = Φ(0.833) − Φ(−1) = 0, 798 − 1 + 0, 841 = 0, 639. 12. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (−2, 4) a náhodná veličina Y má normální rozdělení N (2; 3). Určete střední hodnotu náhodné veličiny Z = X 2 − Y 2. Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f, kde *
1 , 6
−2 < x < 4, 0, jinde.
f (x) = Je tudíž 2
E(X ) =
Z
∞
2
x f (x) dx =
−∞ 2
Z
4
−2
x2 x3 dx = 6 18 "
2
#4
= −2
64 − (−8) = 4. 18
2
Dále je E(Y ) = D(Y ) + (E(Y )) = 3 + 2 = 7. Odtud dostaneme, že E(Z) = E(X 2 − Y 2 ) = E(X 2 ) − E(Y 2 ) = 4 − 7 = −3. 13. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 2) a náhodná veličina Y = X 2 − 31 . Určete koeficient korelace ρ(X, Y ). Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotou f, kde *
f (x) =
1 , 2
0 < x < 2, 0, jinde.
Dále je XY = X(X 2 − 31 ) = X 3 − 13 X, Y 2 = (X 2 − 13 )2 = X 4 − 23 X 2 + 19 . Pro obecné momenty náhodné veličiny X postupně dostaneme: 1Z 2 2 1 h 3 i2 4 2 E(X) = 1; E(X ) = x dx = x = ; 0 2 0 6 3 Z 2 h i2 1 1 1Z 2 4 1 h 5 i2 16 E(X 3 ) = x3 dx = x4 = 2; E(X 4 ) = x dx = x = . 0 0 2 0 8 2 0 10 5 Odtud dostaneme:
17
1 1 1 5 4 D(X) = E(X ) − (E(X)) = − 1 = ; E(XY ) = E X 3 − X = 2 − = ; 3 3 3 3 3 4 1 1 E(Y ) = E(X 2 − ) = − = 1; 3 3 3 2 1 16 2 4 1 109 2 4 2 E(Y ) = E X − E(X ) + = − · + = ; 3 9 5 3 3 3 45 109 64 D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = −1= . 45 45 Pro koeficient korelace dostaneme hodnotu √ 5 − 1.1 15 E(XY ) − E(X)E(Y ) 3 q = =q = 0, 968. ρ(X, Y ) = 1 64 4 · D(X)D(Y ) 3 45 2
2
Hodnota koeficientu korelace je blízká jedné, závislost se málo liší od lineární. V uvažovaném intervalu (0, 2) se skutečně transformující funkce y = x2 − 31 málo liší od lineární funkce. 14. V intervalu h0, 3i × h0, 3i Zvolme náhodně bod (X, Y ) tak, že každá volba je stejně pravděpodobná. Určete pravděpodobnost toho, že bude vzdálenost bodu (X, Y ) od počátku menší než 2. Řešení: Souřadnice bodu (X, Y ) jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y ), který má rovnoměrné rozdělení v intervalu h0, 3i × h0, 3i. Protože je obsah tohoto intervalu roven 9, je sdružená hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y ) dána vztahem * 1 , 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, f (x, y) = 9 0, jinde. Hledaná pravděpodobnost je tedy rovna ZZ √ P ( X 2 + Y 2 ≤ 2) =
x2 +y 2 ≤4
f (x, y)dxdy =
1 1 π22 π dxdy = · = = 9 4 9 x2 +y 2 ≤4 9
ZZ
= 0, 34906, jestliže k výpočtu integrálu použijeme vzorce pro obsah kruhu. 15. V kruhu se středem v počátku a poloměru r > 0 zvolme náhodně bod (X, Y ) tak, že každá volba je stejně pravděpodobná. Určete střední hodnoty a rozptyly obsahu a obvodu obdélníka s vrcholy v bodech [0, 0], [X, 0], [X, Y ], [0, Y ]. Řešení: Souřadnice bodu (X, Y ) jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y ), který má rovnoměrné rozdělení v kruhu {(x, y); x2 + y 2 ≤ r2 }. Obsah popsaného obdélníka je náhodnou veličinou Z = |XY | a obvod je náhodnou veličinou W = 2(|X| + |Y |). Sdružená hustota f rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y ) je rovna převrácené hodnotě obsahu kruhu. Je tedy *
f (x, y) =
1 , πr2
0, 18
x2 + y 2 ≤ r 2 , jinde.
Hledáme tedy střední hodnoty E(Z), E(Z 2 ), E(W ), E(W 2 ). Při výpočtu integrálů využijeme substituce do polárních souřadnic a symetrie kruhu a integrované funkce nám dovolí počítat integrály jako čtyřnásobek jejich hodnoty při integraci přes část kruhu v prvním kvadrantu. Volíme tedy x2 + y 2 ≤ r 2 x ≥ 0, y ≥ 0
x = ρ cos ϕ, = y = ρ sin ϕ
0<ρ≤r 0 ≤ ϕ ≤ π2
Postupně dostaneme: π ZZ |xy| 4 Z 2Z r 3 E(Z) = dxdy = 2 ( (ρ cos ϕ sin ϕ) dρ)dϕ = πr 0 0 x2 +y 2 ≤r 2 πr 2 #r "
4 ρ4 = 2 πr 4 "
E(Z 2 ) =
0
sin2 ϕ 2
#π
ZZ x2 +y 2 ≤r2
#r
4 ρ6 = 2 πr 6 "
0
2
= 0 2 2
r2 = 0, 15915r2 ; 2π
π xy 4 Z 2Z r 5 dxdy = ( (ρ cos2 ϕ sin2 ϕ) dρ)dϕ = πr2 πr2 0 0
π
1 1 (ϕ − sin (4ϕ)) 8 4
2
= 0
r4 = 0, 041667r4 ; 24
r4 r4 π2 − 6 4 − 2 = r = 0, 016336r4 ; 24 4π 24π 2 π 2(|x| + |y|) 8 Z 2Z r 2 dxdy = 2 ( ρ (cos ϕ + sin ϕ) dρ)dϕ = πr2 πr 0 0
D(Z) = E(Z 2 ) − (E(Z))2 = E(W ) =
ZZ x2 +y 2 ≤r2
#r
8 ρ3 πr2 3 "
=
E(W 2 ) = 16 = 2 πr
Z
4r2 = π
0
π 2
π
[sin ϕ − cos ϕ]02 = 0
ZZ x2 +y 2 ≤r 2
Z
(
0
r
16 r = 1, 6976r; 3π
4(x2 + 2xy + y 2 ) dxdy = πr2
16 ρ4 ρ3 (1 + 2cosϕ sin ϕ) dρ)dϕ = 2 πr 4 "
#r
π
0
0
1 ϕ − cos (2ϕ)) 2
2
=
π 2(2 + π) 2 +1 = r = 3, 2734r2 ; 2 π 2(2 + π) 2 256 2 36π + 18π 2 − 256 2 r − 2r = r = D(W ) = E(W 2 ) − (E(W ))2 = π 9π 9π 2 = 0, 39121r2 .
16. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde *
f (x, y) =
6 e−2x−3y , x > 0, y > 0, 0, jinde.
Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z = X + Y. Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot a tedy náhodná veličina Z = X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z) = g(z) = 0 pro z ∈ (−∞, 0). Pro z ∈ (0, ∞) dostaneme:
19
G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) =
Z Z
f (x, y) dx)dy =
x+y≤z
=
Z 0
Z
z
z
Z
(
z−x
(2e−2x 3e−3y ) dy)dx =
0
Z
z
h
2 e−2x −e−3y
0
h
(2 e−2x − 2 e−3z ex ) dx = −e−2x − 2 e−3z ex
iz
0
0
iz−x 0
dx =
= 1 − 3 e−2z + 2 e−3z , z ≥ 0;
g(z) = G0 (z) = (1 − 3 e−2z + 2 e−3z )0 = 6(e−2z − e−3z ), z > 0. 17. Náhodný vektor (X, Y ) má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde *
f (x, y) =
e−y sin x, 0 < x < π, y > 0, 0, jinde. 1 2
Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z = X + Y. Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot a tedy náhodná veličina Z = X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z) = g(z) = 0 pro z ∈ (−∞, 0). Pro z ∈ (0, ∞) dostaneme: G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) =
Z Z
f (x, y) dx)dy.
x+y≤z
Výpočet musíme rozdělit na dva případy. Nejprve pro 0 < x < π a potom pro x ≥ π. Pro 0 < z < π je 1 Z z Z z−x −y 1 Z z h −y iz−x 1Z z G(z) = ( e sin x dy)dx = −e sin x dx = sin x dx− 0 2 0 0 2 0 2 0 1 −z Z z x 1 1 e e sin x dx = [− cos x]z0 − e−z [ex (sin x − cos x)]z0 = 2 2 4 0 1 1 −z = − (e + cos z − sin z); 2 4 Pro π ≤ z < ∞ je 1 Z π h −y iz−x 1 Z π Z z−x −y 1Z π G(z) = ( e sin x dy)dx = −e sin x dx = sin x dx− 0 2 0 0 2 0 2 0 1 −z Z π x 1 1 1 e e sin x dx = [− cos x]π0 − e−z [ex (sin x − cos x)]π0 = 1 − e−z (eπ + 1); 2 2 4 4 0 Odtud dostaneme * 0, 0
g(z) = G (z) =
1 −z (e + sin z + 4 1 π (e + 1) e−z , 4
z ∈ (−∞, 0), cos z), z ∈ (0, π), z ∈ (π, ∞).
18. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má normální rozdělení N (0; 1) a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličiny Z = X + Y. 20
x -1 p(x) 12
0
2
1 4
1 4
Řešení: Náhodná veličina Y nabývá všech reálných hodnot a tedy i náhodná veličina Z jich bude nabývat. Jestliže si označíme Φ distribuční funkci náhodné veličiny Y, pak pro distribuční funkci G náhodné veličiny Z platí: G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X = −1 ∩ Y ≤ z + 1) + P (X = 0 ∩ Y ≤ z)+ P (X = 2 ∩ Y ≤ z − 2) = p(−1)Φ(z + 1) + p(0)Φ(z) + p(2)Φ(z − 2) = = 21 Φ(z + 1) + 14 Φ(z) + 14 Φ(z − 2). Pro hustotu g dostaneme vyjádření g(z) = G0 (z) = 21 ϕ(z + 1) + 14 ϕ(z) + 14 ϕ(z − 2), kde ϕ(x) = Φ0 (x) =
2
x √1 e− 2 2π
, x ∈ R.
19. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má exponenciální rozdělení Ex(0; 1/2) a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličiny Z = X + Y. x -2 p(x) 13
1
3
1 6
1 2
Řešení: Náhodná veličina Y má hustotu f a distribuční funkci F dánu vzorci *
f (y) =
*
0, x ∈ (−∞, 0), 2 e−2x , x ∈ (0, ∞),
F (y) =
0, x ∈ (−∞, 0i, 1 − e−2x , x ∈ h0, ∞),
a nabývá tudíž jenom kladných hodnot. Protože náhodná veličina X nabývá hodnot z množiny {−2, 1, 3} nabývá náhodná veličina Z = X + Y hodnot větších než -2. Pro její distribuční funkci G a hustotu g tedy platí, že G(z) = g(z) = 0, z ∈ (−∞, −2). Pro hodnoty z > −2 dostaneme: G(z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X = −2 ∩ Y ≤ z + 2) + P (X = 1 ∩ Y ≤ z − 1)+ P (X = 3 ∩ Y ≤ z − 3) = p(−2)F (z + 2) + p(1)F (z − 1) + p(3)F (z − 3) = = 31 F (z + 2) + 16 F (z − 1) + 12 F (z − 2). Pro hustotu g dostaneme vyjádření g(z) = G0 (z) = 31 f (z + 2) + 16 f (z − 1) + 12 f (z − 3).
21
