1. Tétel Az Rn=R×R×…×R={(x1,x2,…,xn) xiєR minden i-re} n tényezős Descartes-szorozatot n dimenziós térnek nevezzük ( az elemek rendezett valós szám n-esek). Geometriai jelentést csak n=1,2,3 esetén adhatunk. n=1 esetén számegyenes, n=2 esetén számsík, n=3 esetén 3 dimenziós térről van szó, ilyenkor x1,x2,x3 helyett x,y,z koordinátákat használunk. DEF : A,B є Rn pontok távolságán a
(a × b) 2 + ... + (a n × bn ) 2 számot értjük és ς(A,B) vel jelöljük.
DEF : A P0 pont ε sugarú környezete : B(P0, ε)={Pς(P0,P)< є} DEF : Legyen {xn},{yn} két tetszőleges sorozat. A sík azon pontjainak halmazát, amelyek koordinátái e valós számsorozat megfelelő elemei,a sík egy pontsorozatának hívjuk. Jelölése {Pn(xn,yn)} vagy {Pn} DEF : A Pn(xn,yn) pontsorozat konvergál az A(xn,yn) ponthoz, ha xn→xA és yn→yA. Ekkor A-t a Pn sorozat limeszpontjának hívjuk. DEF : A többváltozós (n változós) valós függvény olyan leképezés, amely az Rn tér egy részhalmazának minden pontjához pontosan egy valós számot rendel hozzá. A továbbiakban csak n=2 (2 változós függvényekkel foglalkozunk). Megadási módjuk lehet : képlettel ( 2 sin( x × y ) 1, hax 2 + y 2 = 0 táblázattal pl:f(x,y)= vagy z=3x2+y3x, utasítással { }, 0, min denmásesetben 3x 2 + y 2 x
1 2 3,5 y grafikusan( 0 0,5 1 − 2
1
7
6
5
−3
0
3
1
pl: térkép szintvonalai)
Szintvonalak: Z=Z0 ( konstans) síkkal vett metszet. DEF: Az f kétváltozós függvény P0 beli határértéke A ha bármeny {Pn}→P0 pontsorozat esetén lim f ( x, y ) = A f(Pn) →A,(Pn≠P0). Jelölése Pn → P0 DEF: Az f kétváltozós függvény P0-ban folytonos, ha bármely {Pn}→P0 esetén f(Pn)→f(P0) DEF: Az f kétváltozós függvény P0(x0,y0) beli x szerinti parciális deriváltján az alábbi határértéket lim f ( x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) értjük = f ' x ( x0 , y 0 ) , y szerint hasonlóan megy. x → x0 x − x0 2 y Számítása : pl : f(x,y)=3x +sinx+e y-t konstansnak veszzü f’x=3y2x+cosx+0 f’y=3x2+0+ ey. Geometriai jelentése: Amit ez a sík (y=y0) kimetsz a felületből az egy egyváltozós (x a változó) függvény és ennek a deriváltjáról van szó ( azaz az érintő meredekségéről). BEUGRÓ :
A normális meredeksége : =
1 y az érintő meredeksége − y x
y 1 1 1 =− → =− → − x = y ⋅ y' x y' x y ⋅ y'
∫ y ⋅ y' dx = −∫ xdx → ∫ ydy = −∫ xdx y2 x2 =− + c → y 2 + x 2 = 2c észre kell venni hogy ez az origó középpontú kör egyenlete. 2 2 Megoldásokat csak pozitív c estén ad.
2. Tétel Az f(x,y) kétváltozós függvény x szerinti parciális deriváltja f’x(x0,y0)=
lim x → x0
f ( x, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) x − x0
Ez
nem az egyváltozós függvény deriváltjának általánosítása, mert pl lehet, hogy a függvény parciálisan differenciálható, de nem folytonos. PL: Az egyváltozós fv deriváltja : f’(x0)= lim f ( x) − f ( x0 ) ⇔ f '( x 0) + h( x) ⇔ f ( x) − f ( x0 ) = f’(x0)(x-x0)+ x → x0
x − x0
x → x0
h( x ) + (x-x0), ezt felhasználva kapjuk az általános definíciót: x → x0 DEF: az f(x,y) kétváltozós függvény totálisan diferenciálható a P0(x0,y0) pontban, ha léteznek A,BєR számok, továbbá ε1(x,y), ε2(x,y) függvények, amelyre f(x,y)-f(x0,y0)=A(x-x0)+ B(y-y0)+ +ε1(x,y)(xlim ε 1 lim ε 2 x0)+ ε2(x,y)(y-y0) ahol = =0 x → x0 x → x0 y → y0 y → y0 Tétel: ha az f(x,y) kétváltozós függvény totálisan diferenciálható P0 pontban, akkor ott folytonos is. Bizonyítás : f(Pn)-f(P0)=f(xn,yn)( x − x0 ) ( y − y0 ) ( x, y ) ( x, y ) + ε1 ( yn − y0 ) → 0 f(x0,y0)= f ' x ( P0 ) n + f ' y ( P0 ) n ( x n − x0 ) + ε 2 ↓ ↓ ↓ ↓ 0 0 0 0 Tétel : ha f totálisan diferenciálható P0 pontban, akkor ott mindkét változója szerint parciálisan is diferenciálható mégpedig f’x(P0)=A és f’y(P0)=B ahol A,B єR Bizonyítás : Legyen P=P(x,y0) ekkor P→P0 ⇔ x→x0 (x≠x0) és (y=y0) tehát →0 B( y 0 + y 0 ) ε ( x, y 0 ) ( y 0 , y 0 ) lim (A + + ε 1 ( x, y 0 ) + 2 = A+0+0+0 = A x → x0 x − x0 x − x0 tehát a totális diferenciálhatóság szükséges feltétele a folytonosság és a parciális deriváltak létezése is ( de nem elégséges feltétel). Tétel : ( elégséges feltétel) Ha f(x,y) –nak létezik f’x(x,y) és f’y(x,y) parciális deriváltfüggvényei és ezek folytonosak is P0pontban, akkor f totálisan diferenciálható P0-ban. Magasabb rendű parciális deriváltak: DEF: ha az (x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltfüggvényei parciálisan diferenciálhatók P0 ban akkor e feriváltakat az f függvény ∂ ⎛∂f ⎞ ⎟ P=P0 =f”xx(P0) stb. 4 féle van f”xx ; ⎜ másodrendű parciális deriváltjának nevezzük Jelölések : ∂ x ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ f”xy ; f”yx ; f”yy. Hasonlóan értelmezhető a 3., 4. stb rendű parciális derivált is. YOUNG TÉTEL : Ha f(x,y) parciális deriváltfüggvényei folytonosak P0 ban akkor f”xy(P0)=f”yx(P0)
lim f ( x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) = x → x0 x − x0
Beugró : határozza meg a szélsőértékhelyeket. f(x,y)=x3+y3-3xy
3. Tétel DEF : Ha az f függvény mindkét változója szerint parciálisan diferenciálható az M ⊂ D f halmaz
minden pontjában, akkor terszőleges P0 ∈ M pontban az f gradiensvektora a grad f =(f’x(P0);f’y(P0)) vektor.
P=P0
DEF : (iránymenti derivált) Legyen a sík P0(x0,y0) pontján átmenő α irányszögű egyenes ⎧ x = x0 + t ⋅ cos α ⎫ paraméteres egyenletrendszere : ⎨ ⎬ , az f(x,y) P0(x0,y0) beli α szöghöz tartozó ⎩ y = y 0 + t ⋅ sin α ⎭ ⎛∂f ⎞ irányment deriváltja a következő módon jelölt ⎜⎜ ⎟⎟ P=P0 határérték, ha az létezik és véges : ⎝ ∂α ⎠ f ( P ) − f ( P0 ) ahol α az egyenes irányszöge, t az egyenes P, t0=0 pedig a P0 f 'α ( P0 ) = lim t →0 t − t0 pontjához tartozó paraméterérték. Az irányment derivált számítása : A totális diferenciálhatóság szerint : ( x, y ) ( x, y ) ( xn − x0 ) + ε 2 f(P)-f(P0)=f’x(P0)(x-x0)+f’y(P0)(y-y0)+ ε 1 ( y n − y0 ) ↓ ↓ 0 0 f(P)-f(P0)=fx(P0)×t×cos α + fy(P0)×t×sin α + ε 1 (x,y)×t×cos α + ε 2 (x,y)×t×sin α /:t f(P) - f(P0) = f ' x ( P0 ) ⋅ cos α + f ' y ( P0 ) ⋅ sin α + ε 1 ( x, y ) ⋅ cos α + ε 2 ( x, y ) ⋅ sin α /limesz t f’ α (P0)=f’x(P0)×cos α + f’y(P0)×sin α Tétel (szélsőérték létezésének szükséges feltétele) : Ha f(x,y)-nak P0ban a parciális deriváltjai nullák, azaz f’x(P0)= f’y(P0)=0 továbbá f”xx(P0)× f”yy(P0)-f”xy2(P0)>0, akkor f nek P0 ban szélsőértékhelye van. Ha f”xx(P0)>0 akkor minimum, ha f”xx(P0)<0 akkor maximuma van. Ha f”xx(P0)× f”yy(P0)-f”xy2(P0)<0 akkor nincs szélsőértékhely, ha f”xx(P0)× f”yy(P0)-f”xy2(P0)=0 akkor nem lehet tudni hogy van-e szélsőértékhelye P0 ban. DEF : AZ f(x,y) függvénynek P0 ban lokális maximum helye van, ha létezik ε > 0 , hogy ∀P ∈ B( P0 , y ) -ra f(P)≥f(P0) / f(P)≤f(P0) / Tétel : Ha f(x,y) nak P0(x0,y0) ban lokális szélsőértéke van, és f’x , f’y léteznek, akkor f’x(P0)= f’y(P0)=0 BIZ : Az f(x,y0) és f(x0,y) egyváltozós függvények deriváltjairól van szó ezekről padig tudjuk hogy nullák. Nem elégséges feltétel, mert pl ellenpélda a nyeregfelület, ami Z=x3+y3 a (0;0) pontban.
BEUGRÓ : 1
a,
∫
−1
1 1− x2
1−ε
dx = lim 2 ⋅ ε →0 ε >0
konvergens ∞ u 1 1 b, ∫ dx = lim ∫ dx = lim ü →∞ x ü →∞ x 3 3
∫ 0
π → ⎤ ⎡ 2 1−ε dx = lim 2 ⋅ [arcsin x]0 = lim 2 ⋅ ⎢arcsin (1 − ε )− arcsin 0⎥ = π 2 ε →0 ε →0 ⎥ ⎢ 1− x ε >0 ε >0 ⎦⎥ ⎣⎢
1
[ln x] = lim⎡⎢⎣ln u− ln 3⎤⎥⎦ = ∞ divergens u
3
ü →∞
→∞
4. Tétel DEF : Az F függvény f primitív függvénye, ha F’=f Tétel : Ha f nek létezik F primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek csak konstansban különböznek egymástól, azaz minegyik F+C alakú. BIZ: 1, F+C is primitív függvény, mert (F+C)’=F’+C’= f+0=f 2, Tényleg csak konstansban különböznek,, vagyis tegyük fel, hogy F’=f G’=g ekkor F’-G’=0 ⇒ ⇒ (F-G)’=0 ⇒ F-G=C ⇒ F=G+C DEF: Az f primitív függvényeinek a halmazát az f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölés ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , a C konstans.
Tétel (határozatlan integrál alaptulajdonságai) : Ha az f és g függvénynek van primitív függvénye, akkor c×f nek és f+g nek is van, mégpedig : 1, ∫ c ⋅ f = c ∫ f és 2, ∫ f + g = ∫ f + ∫ g BIZ : 1, Legyen F’=f, ekkor (c×F)’=c×F’=c×f 2, F’=f; G’=g; ekkor (F+G)’=F’+G’=f+g Következmény : ∫ (c1 ⋅ f1 + c 2 ⋅ f 2 + .... + c n ⋅ f n )dx = c1 ∫ f1 +c 2 ∫ f 2 +... + c n ∫ f n Tétel : (összetett fv integrálása) : Ha F primitív függvénye f és g deriválható és létezik f o g , akkor
∫ f ( g ( x)) ⋅ g ' ( x) = F ( g ( x)) + C BIZ: [F ( g ( x)) + C ]' = F ' ( g ( x)) ⋅ g ' ( x) + 0 = f ( g ( x)) ⋅ g ' ( x) 1 1 Ennek 3 speciális esete : 1, ∫ f (ax + b)dx = ∫ f (ax + b) ⋅ adx = F (ax + b) + C (ekkor g(x)=ax+b a a és g’(x)=a. 2, ∫
g ' ( x) 1 1 dx = ∫ g ' ( x)dx = ln g ( x) + C ekkor f(g)= és F(g)= ln g g ( x) g ( x) g
g α +1 ( x) g α +1 +C α ≠ −1 , ekkor f(g)=gα, és F(g)= α +1 α +1 Következmény : helyettesítéses integrálás Tétel : Ha z f függvénynek létezik primitív függvénye és g deriválható és invertálható, akkor ∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) ⋅ g ' (t )dt t = g ( x) g ( a g inverze) BIZ: Az előző tételből tudjuk, hogy
3,
∫g
α
( x) ⋅ g ' ( x)dx =
∫ f ( g (t )) ⋅ g ' (t )dt = F ( g (t )) + C és mivel f= g (x) ⇔ g(t)=x ezért inkább F(x)+C= ∫ f ( x)dx
Tétel (parciális integrálás) : Ha az u és v függvények deriválhatók és u’v nek van primitív függvénye, akkor uv’ nak is van, mégpedig ∫ uv' = uv − ∫ u ' v BIZ:(U×v)’=u’×v+u×v’ /u’v → (u×v)’-u’×v= u×v’ / Látható, hogy az összes tételt deriválásal bizonyítottuk.
∫
→ u×v - ∫ u '×v = ∫ u × v'
5. Tétel Motiváció1: Newton : Munka W=F×I, ha F állandó, de mi van akkor ha F egy függvény mentén változik? Motiváció2: Függvény grafikonja alatti terület meghatározása. DEF: Az [a,b] intervallum valamely részes felosztásának (n ∈ N+) nevezzük minden n+1 elemű Fn ponthalmazt, mehyre igaz hogy Fn={x1,x2,…,xn} és a=x0<x1<x2<…<xn=b. DEF: Az Fn felosztás finomsága a leghosszabb intervallum hossza; d(Fn)=max[xi-xi-1] i=1,2,3,..,n. DEF: legyen F1,F2,…Fn egy felosztássorozata [a,b]. Azt mondjuk, hogy ez a felosztássorozat minden határon túl finomodik, ha n → ∞ esetén d(Fn) → 0 DEF felosztás sűrítése: a meglévő osztópontokhoz újabbakat rendelünk. A felosztás sűrítése nem jelenti annak finomítását is. DEF : Az [a,b] intervallumon értelmezett f függvénynek az [a,b] tetszőleges Fn felosztáshoz tartozó
5. Tétel
Tétel : Ha f és g integrálhatók [a,b]-n, akkor f+g is integrálható itt és
b
b
b
a
a
a
∫ ( f + g) = ∫ f +∫ g
BIZ : Az
f+g bármely Riemann féle integrál közelítő összege f és g közelítő összegének az összege így a határérték
is
a
kettőnek
b
az
összege.
Következmények
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
∫ ( f − g) = ∫ f − ∫ g
∫ (c1 ⋅ f1 + c2 ⋅ f 2 + .... + cn ⋅ f n )dx = c1 ∫ f1 + c2 ∫ f 2 + .... + cn ∫ f n a
b
c
b
a
a
c
∫ f =∫ f + ∫ f
Riemann-féle integrálközelítő összegén ( téglányösszegén) értjük a On = Σ f (ξ i )( xi − xi −1 )
Tétel :
összeget, ahol ξ i ∈ [ xi −1 − xi ] (i=1,2,3,…,n) DEF Az f függvény az [a,b] –n integrálható, ha bármely Fn végtelenül finomodó felosztássorozat és bármely ξ i ∈ [ xi −1 − xi ] választás esetén a Riemann féle integrálközelítő értékekek sorozatának van határértéke és ez ugyanaz a véges szám. Ez a közös határérték a függvény [a,b]-n vett határozott
beláttuk az egyenlőséget. Mivel f [a,c]-n és [c,b]-n is integrálható ⇒ léteznek ∀ε -hoz olyan
n
i =1
b
integrálja. Azaz lim f (ξ i )( xi − xi −1 ) = ∫ f ( x)dx n →∞ d ( Fn ) → 0
BIZ : csak azt kell belátni hogy [a,b]-n integrálható, mert az előző tételben
felosztások, melyekre az oszcillációs összeg
2
-nél kissebbek. Ekkor a két felbontást eggyüttvéve
ε
ε
[a,b]-nek egy olyan felosztását kapjuk melyre O=O1+O2< + =ε 2 2
a
Ellenvetések : f(x) integrandus függvény [a,b] integrálási vagy integrációs intervallum a,b az b
integrálás alsó és felső határai. Megállapodás :
∫f a
a
a
b
a
=−∫ f ⇒ ∫ f =0
Az integrálhatóság szükséges feltétele : A korlátosság, azaz : Tétel : Ha f integrálható [a,b]-n, akkor ott korlátos is, de ez nem elégséges feltétel pl Dirichlet n ⎧ 1, ha _ x _ racionális ⎫ On = lim Σ f (ξ i )( xi − xi −1 ) = I . Mivel a függvény f ( x) = ⎨ ⎬ . Biz : lim n →∞ n → ∞ i =1 0 , _ _ ha x irracionál is ⎩ ⎭ d ( Fn ) →0 d ( Fn ) → 0
BEUGRÓ 0
∫ (x
2
+ 4 x + 3)dx ⇒ x 2 + 4 x + 3 = ( x + 2) 2 − 1 a függvény minimuma -1, maximuma +3 ezen az
−4
intervallumon. Felső becslés : maximum érték × intervallum hossza = -1×4= -4 Alsó becslés : minimum érték × intervallum hossza = 4×4= 12
határérték létezik, így tetszőleges ε>0 –hoz (ε=1 hez is ) van olyan felosztása [a,b]-nek amelyre σ n − I < 1 függetlenül attól, hogy ξ i (i=1,2,3,…,n) értékeket hogyan választjuk. Tehát
I-1<εn
Felső integrálközelítő összeg Sn= Σ m i ( x i − x i − 1 ) , ahol mi=sup { f ( x) x ∈ [ xi − xi −1 ]} i =1 n
Tétel : (1. ekvivalencia) : Legyen f [a,b]-n értelmezett korlátos függvény. Ekkor f integrálhatóságának szükséges és elégséges feltétele : lim In = lim Sn n →∞ d ( Fn ) → 0
n →∞ d ( Fn ) →0
DEF: Legyen f [a,b]-n értelmezett korlátos függvény. Ekkor az [a,b] Fn felbontásához tartozó n
oszcillációs összege : On=Sn-In= Σ f (mi − mi −1 )( xi − xi −1 ) i =1
Tétel : (2. ekvivalencia) : Legyen f [a,b]-n értelmezett korlátos függvény. Ekkor az integrálhatóságának szükséges és elégséges feltétele lim On =0 n →∞ d ( Fn ) → 0
Műveletek integrálható függvényekkel : Tétel : ha az f [a,b]-n integrálható, akkor c×f is integrálható itt és ∫ c ⋅ f = c ∫ f BIZ : a c×f függvény Riemann féle integrálközelítő összegei mindegyikéből c kiemelhető cєR
ε
alsó becslés : = (b-a)×m felső becslés : = (b-a)×M
6. Tétel b
Ha az f [a,b]-n integrálható és f(x)≥0 ∀x ∈ [a, b] -re akkor
∫f
≥ 0 Biz : Mivel f(x)≥0, így bármilyen
a
felosztásnál az integrálközelítő összeg sem negatív, így annak határértéke sem negatív. b
Tétel : Ha f és g függvények integrálhatóak [a,b]-n és f(x)≤g(x) ∀x ∈ [a, b] -re akkor b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
b
∫ f ≤ ∫g a
b
függvénynek létezik az F primitív függvénye [a,b] -n, akkor
a
b
Tétel : Ha az f függvény [a,b]-n integrálható és m alsó M pedig felső korlát, akkor m(b-a) ≤ ∫ f ≤ a
b
b
a
a
a
M(b-a) BIZ: m≤f(x) ≤M ⇒ ∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ Mdx ↓ m (b −a )
↓ M (b−a )
Tétel (középértéktétel) : Ha az f függvény folytonos [a,b]-n akkor létezik olyan ξ ∈ [a, b] amelyre b
∫f
= (b − a ) f (ξ ) BIZ : Mivel f folytonos így a Weierstrass tétel szerint felveszi infinimumát és
a
b
b
1 f ( x )dx ≤ M Az b − a ∫a a intervallumon folytonos függvények Bolzano tulajdonsága szerint az f az [a,b]-n minden m és M b 1 közé eső értéket felvesz, tehát f ( x) dx -et is. Tehát minden ξ ∈ [a, b] melyre ∫ b−a a
supremumát (m és M) ekkor
f (ξ ) =
b
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) ⇒ m ≤
1 f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x)dx = (b − a ) f (ξ ) Megjegyzés : a folytonosság elengedhetetlen b − a ∫a a
feltétel. DEF : Legyen f integrálható [a,b]-n Értelmezzük az F függvényt a következőképpen : DF=[a,b] x
b
hogy f integrálható [a,b]-n röviden [F ( x)]
b a
lim σ n = ∫ f = lim σ n = F (b) − F (a ) az F(b)-F(a) külömbséget
n →∞ d ( Fn ) →0
n →∞ d ( Fn ) →0
a
vel jelöljük, ekkor a Newton Leibnitz formula a következő képpen írható :
b
∫ f = [F ( x)]
b a
a
ekkor F –et f integrálfüggvényének nevezzük.
b
BIZ2 : Az integrálfüggvény definíciójából következik, hogy
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
másrészt F
a
primitív függvény és csak konstansban tér el f –től, azaz F(x)=f(x)+C ⇔ f(x)=F(x)+C vagyis b
f(b)=F(b)-C és f(a)=F(a)-C ahonnan f(b)-f(a) = F(b)-C-(F(a)-c) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x)dx a
a
Megjegyzés : az integrálási változót t-vel jelöltük, mivel az x –et a felső határ jelölésére használtuk.. b
Nyilván megtehező ez mivel az
∫ a
b
b
a
a
f = ∫ f ( x) dx = ∫ f (t ) dt mindd ugyanazzal egyenlőek, mégpedig
az f függvény [a,b]-n vett határozott integráljával. x
TÉTEL : legyen az f [a,b]-n folytonos, ekkor x a ∫ f (t )dt integrálfüggvény az [a,b]-n integrálható, a
x
és F’=f, ahol F(x)= ∫ f (t )dt minden x ∈ [a, b] -re. BIZ: az F függvény diferenciálhányadosa egy a
tetszőleges xє(a,b) pontban :
x + Δx x ⎞ 1 x + Δx F ( x + Δx) − F ( x) 1 ⎛ ⎜ ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt ⎟ = = ⎜ ⎟ Δx ∫ f (t )dt az Δx Δx ⎝ a a x ⎠
integrálszámítás középértéktétele szerint az [x,x+∆x] intervallumban található egy olyan ζ hely ahol x + Δx 1 F ( x + Δx) − F ( x) f (t )dt = f (ξ ) , ezért = f (ξ ) , ahol x≤ζ≤x+∆x. Ha most ∆x tart 0 hoz, akkor Δx ∫x Δx ζ tart x hez, így mivel folytonos f (ξ ) → f ( x) , azaz F ' ( x) = lim
Δx →0
F ( x + Δx ) − F ( x ) Δx
:
Tekintsük az [a,b] intervallum egy tetszőleges Fn felosztását. Mivel f primitív függvénye [a,b] intervallumon F, így F folytonos és diferenciálható [a,b]-n, valamint annak bármely tetszőleges intervallumán is. Az [xi-1,xi] részintervallumokon az F függvényre alkalmazzuk a Lagrange féle F ( xi ) − F ( xi −1 ) középérték tételt = F ' (ξ i ) = f (ξ i ) ahol (ξ i ) az (xi-1,xi) intervallum valamelyik xi − xi −1 pontja. Tekintsük most az f függvénynek az [a,b] intervallum Fn felosztásához tartozó közelítőösszegei közül azt, amelynél ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ,..., ξ n pontok éppen a Lagrange féle középérték tétel által meghatározot fenti pontok,. Ekkor n n n F ( xi ) − F ( xi −1 ) σ n = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) =∑ (xi − xi −1 ) = ∑ [F ( xi ) − F ( xi −1 )] = F ( x1 ) −F ( x0 ) + F ( x 2 ) − F ( x1 ) + xi − xi −1 i =1 i =1 i =1 + .... + F ( x n ) − F ( x n −1 ) = F ( x n ) − F ( x0 ) = F (b) − F (a ) tehát σ n = F ( xn ) − F ( x0 ) figyelembe véve
b
(értelmezési tartomány) és F(x)= ∫ f (t )dt
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) BIZ1 a
BIZ: a feltételek szerint g(x)-f(x)≥0 ∫ ( f − g ) ≥ 0 ⇒ ∫ f − ∫ g ≥ 0 ⇒ ∫ f ≥ ∫ g
b
6. Tétel DEF : Az F függvény f primitív függvénye, ha F’=f Tétel : Ha f nek létezik F primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek csak konstansban különböznek egymástól, azaz minegyik F+C alakú. TÉTEL ( Newton-Leibnitz formula) : Legyen f integrálható függvény az [a,b] intervallumon. Ha f
BEUGRÓ : 4
4
1
1
∫ ln(5x − 2)dx = ∫ 1 ⋅ ln(5 x − 2)dx 4
u = ln(5 x − 2)dx → u ' =
1 ⋅ 5 v' = 1 → v = x 5x − 2
4
4
2 5x − 2 + 2 5 ⋅ xdx = ln(5 x − 2) ⋅ x − ∫ dx = ln(5 x − 2) ⋅ x − ∫ 1 + dx = 5x − 2 5x − 2 5x − 2 1 1 1
ln(5 x − 2) ⋅ x − ∫ 4
1
4
⎡ ln 5 x − 2 ⎤ 2 ln 18 4 4 dx =[ln(5 x − 2) ⋅ x ]1 − [x ]1 − 2 ⎢ ⎥ = ln 18 ⋅ 4 − 4 − 2 ⋅ 5x − 2 5 5 1 ⎣ ⎦1 4
ln(5 x − 2) ⋅ x − ∫ 1dx + ∫
7. Tétel Legyen f függvény folytonos [a,b] intervallumon. Ekkor f görbe alatti területe az f(x) grafikonja, az, az x tengely, az x=a és x=b egyenesek által határolt területe. DEF: (terület) : az [a,b] intervallumon értelmezett nemnegatív folytonos f függvény grafikonja alatti terület, azaz az y=f(x), xє[a,b] egyenletű görbe, az x tengely, az x=a és x=b egyenesek által határolt tertomány területe alatt az f függény [a,b] intervallumon vett határozott integrálját értjük ha f(x)≥0 b
b
a
a
akkor T = ∫ f ( x )dx ÁLLÍTÁS : ha f(x)≥0 akkor T = ∫ f ( x)dx BIZ: In= Σ m i ( x i − x i − 1 ) ≤T ; i =1 n
n
Sn= Σ M i ( x i − x i − 1 ) ≤T
In ≤T≤ Sn In és Sn tart I hez ( I a határérték ) ha a felbontás
i =1
részintervallumait minden határon túl finomítjuk ezért T is tart I hez. Megjegyzés : ha f(x)≤0 akkor b
T = − ∫ f ( x)dx a függvény és az x tengely közti terület az
b
1
a
2
( x)dx . Ez adja a két gorbe által közbezárt területet,
b
b
a
a
függvényt f1, az alsőt előállító függvényt f2. Ekkor T = ∫ f1 − ∫ f 2 . A T területet a G görbe b
b
∫
f 1 ( x)dx és
a
c
helyettesítéssel kapjuk
b
∫ f ( x) = ∫ f ( x) + ∫ f ( x) 1
1
a
c
1
a
az
x = ϕ (t ) , α ≤ t ≤ α 1
c
α1
a
integrálokat a helyettesítés
f 2 ( x )dx
a
b
felhasználásával átírjuk ilyen alakra :
α1
∫ f ( x) = − ∫ f ( x) = − α∫ f (ϕ (t )ϕ& (t ))dt = − α∫ f (ϕ& (t )Ψ (t ))dt . Az x = ϕ (t ) , 1
1
a
1
α2≤t≤β helyettesítést elvégezve pedig :
∫ a
1
1
a
2
1
b
f1 ( x) = − ∫ f 1 (ϕ& (t )Ψ (t ))dt −
∫f
β
∫ f ( x) = − ∫ f ( x) = −α∫ f (ϕ (t )ϕ& (t ))dt = −α∫ f (ϕ& (t )Ψ (t ))dt
α1
b
helyettesítéssel adódik :
β
c
a
b
Ezeket felhasználva :
1
c
b
2
β
∫
α
α2
α2
α2
α2
α2
( x) = ∫ f 2 (ϕ (t )ϕ& (t ))dt =
1
2
f1 (ϕ& (t )Ψ (t ))dt az x = ϕ (t ) , α ≤ t ≤ α 1
∫f
2
(Ψ (t )ϕ& (t ))dt ebből következik, hogy a
b
b
α1
β
α2
a
a
α
α2
α2
keresett terület T = ∫ f1 ( x)dx − ∫ f 2 ( x)dx = − ∫ (ϕ& (t )Ψ (t ))dt − ∫ (ϕ& (t )Ψ (t ))dt − ∫ (Ψ (t )ϕ& (t ))dt α2
T = − ∫ (Ψ (t )ϕ& (t ))dt !!!!! α2
n
(x i - x i-1 ) ≤ V ≤ ∑ M i (x i - x i-1 ) , ahol V a 2
i =1
lim
n
∑π ⋅ m
n →∞ d ( Fn ) → 0 i =1
2 i
(x i - x i-1 ) = lim
n
∑π ⋅ M
n →∞ d ( Fn ) →0 i =1
2 i
b
(x i - x i-1 ) = π ∫ f
2
a
b
Tehát a forgástest térfogata V = π ∫ f 2 ( x)dx a
a
∫
2 i
folytonos és integrálható is.ezért
ilyenkor lényegtelen hogy hol van az x tengely. Paraméteresen adott függvény esetén : x = ϕ (t ) y = Ψ (t ) t ∈ [α , β ] ahol a befutási irány legyen pozitív (az óra járásával ellentétes), A és B pont az integrálás alsó és felső értéke, C pont egy köztes pont. A,B,C pontok paraméteres koordinátái a következőek : A = (ϕ (α 1 ); Ψ (α 1 )) , B = (ϕ (α 2 ); Ψ (α 2 )) , α < α1 < α 2 < β ; C = (ϕ (α 1 ); Ψ (α 1 )) = (ϕ ( β ); Ψ ( β )) . Tegyük fel, hogy ϕ és a Ψ függvények t szerinti deriváltfüggvényei léteznek és folytonosak [α , β ] intervallumon. Jelölje a felső ívet előállító
előállításával akarjuk megadni. Ekkor
i =1
a
b
∫ f ( x)dx - ∫ f
n
∑m
pedig πMi2( xi −1 , xi ) i=1,2,…,n. Nyilván
forgástest térfogat, ezek a πf2 függvények alsó és felső közelítő összegei. Mivel f folytonos így f2 is
által közbezárt területet úgy számítunk, hogy megkeressük a metszéspontjaikat f1(x)= f2(x) , ezt mint egyenletrendszert megoldjuk, utána megnézzük, hogy metszéspontok között melyik van felül és ebből kivonjuk a másikat
M i = max{ f ( x) _ x ∈ [xi −1 , xi ]}Ekkor a beírt gengerek térfogatai : πmi2( xi −1 , xi ) a körülírt hengereké
b
∫ f ( x)dx abszolútértéke adja. Két görbe
a
8. Tétel A forgástestek térfogatának meghatározásánál az alábbi két elvből indulunk ki. 1. az egész test térfogata a részek térfogatának összegével egyenlő. 2. az egyenes körhenger térfogata = alapterület × magassággal. Legyen f [a,b]-n folytonos, nemnegatív függvény. Az f függvény y=f(x) grafikonja, az x=a, x=b és az x tengely által határolt síkidomot az x tengely körül megforgatva forgásteste kapunk. Ennek a térfogatát a beírt és a köréírt hengerek térfogatainak összegével közelítjük. Legyen [a,b] egy felbontása a=x0<x1< x2< x3<…< xn=b pontokkal adva. Legyen mi = min{ f ( x) _ x ∈ [xi −1 , xi ]}
Paraméteresen adott függvény esetén x = ϕ (t ) , y = Ψ (t ) t ∈ [α , β ] y=f(x)= f (ϕ (t )) = Ψ (t ) t2
b
t2
V = π ∫ f 2 ( x)dx = π ∫ f 2 (ϕ (t ))(ϕ& (t )dt = π ∫ f 2 (Ψ (t ))(ϕ& (t ))dt , alkalmazzuk a x = ϕ (t ) helyettesítést t1
a
t1
t2
b
megkapjuk a V = π ∫ f ( x)dx = π ∫ f (Ψ (t ))(ϕ& (t ))dt eredményt, ahol a = ϕ (t1 ) és b = ϕ (t 2 ) 2
a
2
t1
BEUGRÓ : y’=(3x+y+2)2 helyettesítés : u=3x+y+2 u’=3 ×y’ ebből és y’=u2 –ből u’=3+u2 u' u' ⇒ =1 a + b ⋅ f (u ) 3 + u2
u'
∫ 3+u
2
dx = ∫ 1dx ⇒ ∫
1 du = ∫ 1dx ⇒ ∫ 3 + u2
1 ⎛ u ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠
2
du = x + c
⎛ u ⎞ 1 arctg ⎜⎜ ⎟⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ = x + c ⇒ 3 1 arctg ⎛⎜ u ⎞⎟ = x + c ⇒ 3 arctg ⎛⎜ u ⎞⎟ = x ⇒ arctg ⎛⎜ u ⎞⎟ = 3 x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 3 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 ⎛ u ⎞ 1 arctg ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 x ⎝ 3⎠ 3
9. Tétel / 1. Síkgörbe ívhossza DEF: Egy folytonos görbe ívhosszának nevezzük azt a számot, amelyhez a görbéhez írt töröttvonalak hösszai tartanak, ha az osztópontok számát minden határon túl növeljük, miközben szakaszaiknak a hosszának maximuma zérushoz tart. DEF : az ívhosszal rendelkező görbéket 1 rektifikálhatónak nevezzük. Példa a nem rektifikálható görbére ( x×sin , ha x≠0; és 0 ha x=0 [0,1] x intervallumon). TÉTEL : Legyen az f függvény az [a,b]-n folytonosan diferenciálható. Ekkor az b
y7f(x) görbe rektifikálható és az ívhossza S = ∫ 1 + f ' ( x) dx BIZ : a törtvonalak hossza : 2
a
n
n
n
( xi − xi −1 ) 2 + [ f ( xi ) − f ( xi −1 )] =∑ ( xi − xi −1 ) 2 + [ f ' (ξ )( xi − xi −1 )] =∑ 1 + [ f ' (ξ )] ( xi − xi −1 ) =
∑
2
i =1
2
i =1
2
i =1
Mivel a feltételünk miatt f’ függvényünk folytonos az [a,b]-n így korlátos is az [a,b] intervallumon. Jelölje K az f’ függvény egy korlátját, azaz K egy olyan szám, amelyre igaz hogy f ' ( x) < K x ∈ [a, b] -re.
minden n
∑P i =1
n
A
töröttvonal n
hosszára
igaz,
hogy
P = ∑ 1 + [ f ' (ξ )] ( xi − xi −1 ) <∑ 1 + K ( xi − xi −1 ) = 1 + K (b − a) ez a közelítőösszeg
i −1 i
2
i =1
2
2
i =1
az x a 1 + f ' ( x) 2 dx függvény Riemann féle közelítő összege, így amennyiben az {Fn} egy minden határon túl finomodó felosztása [a,b]-nek, akkor ezen összegek határértéke pontosan b
∫
9. Tétel / 2. Súlypont számítás
DEF: az mi tömegpontrendszer t tengelyére vonatkozó statikai nyomatéka tömegpontrendszer súlypontja MS ha
n
∑ m di = M i =1
i
b
b
véve : S y = ∫ x ⋅ f ( x)dx ⇒ X s =
∫ x ⋅ f ( x)dx
b
t2
a
t1
S = ∫ 1 + f ' ( x) 2 dx =
∫
t2 & (t ) ⎤ 2 ⎡Ψ 2 2 & 1+ ⎢ ⎥ ϕ& (t )dt = ∫ [Ψ (t )] [ϕ& (t )] dt ϕ ( t ) ⎣ ⎦ t1
a
b
∫ f ( x)dx
f’x(-1,2)=4(-1)×23=-32 f’y(-1,2)=6(-1)2×22=-24 2 3 2 2 sinα = v = 2 + 3 = 13 cosα = 13 13 2 3 36 f’(2,3)(-1,2)= - 32× +24× = 13 13 13
b
f’x=2y3×2x=4xy3 f’y=2x2×3y2=6x2y2
f 'α = f ' x ⋅ cos α + f ' y ⋅ sin α
m
=
1 S x = ∫ ⋅ f 2 ( x)dx ⇒ X s = 2 a
1 f 2 ( x)dx 2 ∫a b
∫ f ( x)dx a
: BEUGRÓ :
f’x=2y3×2x=4xy3 f’y=2x2×3y2=6x2y2
BEUGRÓ :
Sy
b
a
a
esetén
d s . Ennek megfelelően x s =
DEF : az mi
∑m x ∑m i
i
i
S x ∑ mi y i = m ∑ mi Síklemez súlypontja : Legyen az f függvény [a,b]-n folytonos függvény. Tegyük fel, hogy valamely homogén tömegeloszlású és egységnyi felületi sűrűségű síklemezt az y=f(x), az x=a, x=b és y=0 görbék határolják. Ekkor a görbe alatti terület mérőszáma egyenlő a tömeg mérőszámával. Tekintsük az [a,b] Fn{x0,x1,…,xn} felosztást sz i –edik részintervallumban pedig ξ i − t Téglalapokkal közelítve a síklemezt, az i –edik téglalap statikai nyomatéka az y tengelyre : n 1 (xi-xi-1)×f(ζi)×(ζi), x –re : (xi-xi-1)×f(ζi)× (ζi). Összegezve : S y ≈ ∑ ( xi − xi −1 ) ⋅ f (ξ i ) ⋅ ξ i 2 i =1 n 1 S x ≈ ∑ ( xi − xi −1 ) ⋅ f (ξ i ) ⋅ f (ξ i ) minden határon túl finomodó felosztásttekintve ezek határértékét 2 i =1
1 + f ' ( x) dx
görbe
s
ys =
a
adott
i
i =1
2
Paraméteresen
n
∑ m di
f’x(-1,2)=4(-1)×23=-32 f’y(-1,2)=6(-1)2×22=-24 2 3 2 2 v = 2 + 3 = 13 cosα = sinα = 13 13 2 3 36 f’(2,3)(-1,2)= - 32× +24× = 13 13 13
f 'α = f ' x ⋅ cos α + f ' y ⋅ sin α
10. Tétel Impropius azaz nem valódi integrál. A határozott integrál fogalmát kiterjesztjük olyan esetekre is, amikor az integrandus : 1,:az intervallumon belül véges sok helyen nincs értelmezve, 2,: nem korlátos, 3,: az integrálási intervallum végtelen.
1, a függvény nincs mindenhol értelmezve (véges sok pontban) : DEF : legyen az f függvény az [a,b] intervallumon x1,x2,..xn pontok kivételével mindenütt értelmezve és korlátos. legyen az g üggvény az [a,b] intervallumon x1,x2,..xn pontok kivételével mindenütt f(x)=g(x). Ha g
11. Tétel Lehetséges hogy valamely függvény integrálható, de a határozott integrálja mégsem számolható ki a primitív függvények segítségével. Ugyanis előfordulhat, hogy 1, a függvény integrálható, de nincs primitív függvénye az elemi függvények körében. 2, a függvény integrálható, de nem tudjuk meghatározni egyetlen primitív függvényét sem az elemi függvények körében. 3, az integrandust csak grafikusan, vagy táblázattal tudjuk csak megadni. b
A közelítő integrálás alapgondolata : az
∫g
integrált az f függvény impropius integráljának tekintjük, azaz
a
b
b
a
a
∫ f = ∫ g . Megjegyzés : lényegtelen, hogy g(x) –nek mik az értékei az xi pontokban. b
∫f
minden ε-ra integrálható és lim ε →0
integrálható és
∫f
határértéke létezik és véges, akkor f az [a,b] –n impropiusan
a +ε
b
= lim ε →0
a
∫ε f
b
Elnevezés : ha lim ε →0
a+
∫ε f véges,
b
akkor az
a+
∫f
impropius integrált
a
konvergensnek, egyébként divergensnek nevezzük. Ugyanez „b” –nél is. Ha egyik végpontnál sem b
korlátos, akor
∫f
b −ε
c
∫ε f + lim ∫f ε
= lim ε →0
a
→0
a+
c
3, integrálás végtelen intervallumon : DEF : legyen az f függvény értelmezési tartománya [a, ∞ ] ω
intervallum, és legyen integrálható minden [a,ω] intervallumon. Ekkor ha a lim ∫ f határértéke ε →∞
a
∞
létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az
∫
f impropius integrál konvergens és értéke ez a
a
∞
határérték, azaz
∫ a
ω
f = lim ∫ f . Ha ez a határérték nem létezik, vagy nem véges, akkor ε →∞
a
divergens. Hasonlóan
∫f
−∞
a
a
∞
ω
−∞
= lim ∫ f továbbá ε →∞
∫f
= lim
ω1→∞
∞
∫
f
a
ω2
a
∫ f + ωlim ∫ f
ω1
2→ ∞
az [a,b] intervallum a=x0<x1<x2<…<xn=b pontjait interpolációs alappontoknak véve az f függvényt olyan g interpolációs függvénnyel közelítjük (általában polinommal), aminek a határozott integrálját viszonylag könnyen ki tudjuk számítani. b
2, a küggvény nem korlátos : tekintsük az [a,b] intervallumon értelmezett, de az „a” pont környezetében nem korlátos függvényt. Ekkor az f függvény az [a+ε,b] (0< ε
b
integrált véges összegekkel közelítjük, úgy hogy
a
b
integrálható [a,b] –n akkor
∫ f ( x)dx
TRAPÉZ FORMULA : az f függvény [a,b] intervallumon vett
f’x=3x2+2y → f”xx=6x f’y=2y+2x → f”yy=2 f’xy= f’yx=2 Szélsőértékhely ott van ahol f’x= f’y=0 Megoldom egyenletrendszerként : 3x2+2y=0 és 2y+2x ebből y=-x ezt beírva az első 2 2 2 egyenletbe : 3x2-2x=0 → x(3x-2) ebből x=0 és x = tehát P1(0,0) P2( ,- ) 3 3 3 hogy tényleg van –e szélsőérték az azon múlik, hogy f”xx×f”yy- ( f ' xy ) 2 >0 ? ha igen, akkor van.
határozott integrál
a
kiszámításához osszuk fel az [a,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú részre (ekvidisztáns b−a , ahol az első trapéz területe : felosztás), ekkor minden egyes intervallum hossza : h = n f ( x 0 ) + f ( x1 ) f ( xi −1 ) + f ( xi ) f ( x1 ) + f ( x 2 ) t1 = h , a másodi, trapézé t 2 = h , az i. trapézé t1 = h 2 2 2 lesz, ahol i=1,2,3,…,n. Ezeket a területeket összeadva f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x 2 ) f ( xi −1 ) + f ( xi ) + + ] = T=t1+t2+….+ti=h×[ 2 2 2 b 1 b − a ⎡1 ⎤ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( xi )⎥ tehát ezt tekinthetjük az ∫ f ( x)dx közelítő integráljának 2 n ⎢⎣ 2 ⎦ a ( trapéz módszer szerint). Ezt a kifelyezést trapéz formulának nevezzük. Az eltérés az integrál 3 K (b − a) pontos értékétől : , ahol K az f második deriváltjának a korlátja [a,b] intervallumon. 12n 2 SIMPSON FORMULA : Itt parabolaívekkel közelítünk. TÉTEL : az f(x) = a2x2+ a1x+ a0 hozzárendelési törvénnyel adott függvény grafikonja alatti terület az [xi,xi-1] intervallumon az ⎤ xi +1 − xi ⎡ ⎛ xi +1 − xi ⎞ ⎟ + f ( xi +1 )⎥ formulával számolható ki. ⎢ f ( xi ) + 4 f ⎜ 6 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
a
BEUGRÓ :
∫ f ( x)dx
b
Az f függvény [a,b] intervallumon vett
∫ f ( x)dx
határozott integráljának közelítő kiszámításához
a
b−a hosszúságú. 2n Az y=f(x) görbét helyettesítsük parabolaívekkel, mégpedig úgy, hogy a felosztásnál keletkezett részintervallumokat párosával összefogva ezek végponzjai által meghatározott 3 görbeponton át
osszuk fel az [a,b] intervallumot 2n egyenlő részre, ekkor minden intervallum h =
b
fektessünk rá paraolaíveket, az
∫ f ( x)dx
integrál közelítő értékét a parabolaívek alatti területek
a
P1(0,0) 6x×2-22 = 12x-22= -4 tehát nincs szélsőértékhely 2 2 ) P2( ,- ) 6x×2-22 = 12x-22= 4 tehát van szélsőértékhely és mivel f”xx >0 ezért minimum tipusú 3 3
összege fogja adni. Az első ilyen részintervallumot tekintve (x0,x1,x2) a parabolaív alatti terület : x − x0 t1 = 2 [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] = h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] A második ilyen 6 3 részintervallumot tekintve (x2,x3,x4) a parabolaív alatti terület : x4 − x2 h t2 = [ f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )] = [ f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + f ( x4 )] Az utólsó (x2n-2; x2n-1; x2n) 6 3 ilyen részintervallumot tekintve a parabolaív alatti terület : x − x2 n−2 [ f ( x2 n−2 ) + 4 f ( x2 n−1 ) + f ( x2 n )] = h [ f ( x2 n−2 ) + 4 f ( x2n−1 ) + f ( x2 n )] tn = 2 n 6 3
11. Tétel Ezeket a területeket összeadva : b−a kifejezést t= [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x1 ) + ... + 2 f ( x2 n−2 ) + 4 f ( x2 n−1 ) + f ( x2 n )] 6n kapjuk, ezt nevezzük Simpson formulának. BEUGRÓ : 1 y '− y = x 2 ez egy első rendű lineális inhomogén diferendiál egyenlet. x 1 1 1 1 Y' 1 Y '− Y = 0 ⇒ Y ' = Y ⇒ = ⇒ ∫ dY = ∫ dx ⇒ ln(Y ) = ln( x) + ln(C ) = ln( x ⋅ C ) Y x Y x x x yp keresése x×k(x) alakban, beírva az eredeti egyenletbe : 1 2 2 [x ⋅ k ( x)]'− ⋅ x ⋅ k ( x) = x ⇒ k ( x) + x ⋅ k ' ( x) − k ( x) = x ⇒ k ' ( x) = x ezt integrálva : x x2 x2 x3 x3 ⇒ yp = x ⋅ = azaz ellenőrzés : k ( x) = y = Y + y p = Cx + 2 2 2 2 ⎛ x3 ⎞ 1 ⎛ x3 ⎞ 3x 2 3x 2 2x 2 ⎜⎜ Cx + ⎟⎟'− ⎜⎜ Cx + ⎟⎟ = x 2 ⇒ C + −C − = x2 ⇒ = x2 2 ⎠ x⎝ 2 ⎠ 2 2 2 ⎝ 12. Tétel DEF: az olyan egyenleteket, amelyekben az ismeretlen egy függvény, függvényegyenleteknek nevezzük. DEF : ha a függvényegyenletekben a függvény deriválthai is szerepelnek, akkor diferenciálegyenletekről beszélünk. Dif egyenletekosztályozása : 1, közönséges (ha egyváltozós) a, algebrai (a függvénynek és a deriváltjainak csak a polinomjai szerepelnek) b, transzcendens (más esetekben) 2, parciális ( ha a függvény többváltozós. Ekkor a függvény parciális deriváltjai szerepelnek az egyenletben) Egy másik csoportosítási mód, a diferenciálegyenletek rendje szerinti csoportosítás. DEF : A diferenciál egyenlet „n” rendű, ha a benne szereplő függvény deriváltjainak a maximális rendje „n”. pl : y”(x)+y’(x)=2x-5 ez másodrendű lineális közönséges diferenciál egyenlet. DEF : a diferenciál egyenlet megoldásai azok a függvények, amelyek deriváltfüggvényeikkel együtt kielégítik a diferenciál egyenletet. Látható, hogy a diferenciál egyenleteknek egyéb feltételek hiányában végtelen sok megoldása van, ezt hívjuk integrál görbeseregnek. DEF : az „n” ed rendű diferenciál egyenlet általános megoldása az a függvény, amely megoldás és pontosan „n” darab egymástól független paramétert tartalmaz, partikuláris megoldása pedig legfeljebb n-1 darab egymástól független paramétert tartalmaz. ( lehet olyan megoldás is, amelyik nem származtatható az álltalános megoldásból, ez a szinguláris megoldás) Szétválaztható változójú diferenciál egyenletek : DEF : az y’(x) = f(x)×g(y(x)) alakra hozható diferenciál egyenleteket szétválazatható változójú diferenciál egyenleteknek nevezzük. Megoldása (feltételezzük a továbbiakban, hogy f,g y ' ( x) y ' ( x) 1 folytonosak) = f ( x) ⇒ ∫ dx = ∫ f ( x)dx ⇒ ∫ dy = ∫ f ( x)dx Ebből g ( y ( x)) g ( y ( x)) g ( y ( x)) megkapjuk a megoldást ugyanis legyen a bal oldal F1(x)+C1 a bal oldal F2(x)+C2 deriváljuk x 1 szerint y ' ( x) = f ( x) , amiből az y’(x) = f(x)×g(y(x)) valóban kielégíti a diferenciál g ( y ( x)) egyenletet. Ha az (x0,y0) kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldást keressük a 1 ∫ f 2 ( y) dy = ∫ f1 ( x)dx összefüggéssel megadott görbeseregből kiválasztani, akkor azt az y
∫f
y0
x
1 dt = ∫ f1 (t )dt összefüggés adja ha valamely y=η értéknél az f2(y)=0, akkor az y’=f1(x) f2(x) 2 (t ) x0
diferenciálegyenletnek az általános megoldásából nem származtatható megoldása az y=η görbe. BEUGRÓ : Leírom a feladatot és : f’x = 4x3+e2x2+y32x-cos(xy)y f’xy = 0+0+2x3y2+sin(xy)xy-cos(xy) f’y = 0+0+x23y2-cos(xy)x f’yx = 2x3y2+sin(xy)xy-cos(xy) Tehát azt kaptuk amit vártunk, hogy f’yx = f’xy
13. Tétel Speciális diferenciál egyenletek visszavezethetőek szétválasztható változójúra. 1, ha a diferenciál egyenlet y’=f(ax+by+c) alakú, akkor az u(x)=ax+by+c hozzárendelési utasítással új ismeretlen függvényt, u-t vezetünk b. mindkét oldalt x szerint differenciálva u’=a+by, majd y’ helyett f(u)-t írva u’=a+bf(u) diferenciál egyenletet kapjuk,amely az x a u (x) függvényre nézve már közvetlenül szétválasztható változójú diferenciál egyenlet. y ⎛ y⎞ 2. ha a diferenciál egyenlet y' = f ⎜ ⎟ alakú, akkor az u(x)= hozzárendelési utasítással ugyancsak x ⎝x⎠ új ismeretlen függvényt vezetünk be. Ebből : y = xu(x). mindkét oldalt x szerint differenciálva : y’ = u+ xu’ , majd y’ helyett f(u) –t írva f(u) = u+xu’ diferenciálegyenletet kapjuk, amely az x a u (x) függvényre nézve már közvetlenül szétválasztható változójú diferenciál egyenlet. BEUGRÓ : (x+1)y’=y-2 y' 1 = y − 2 x −1 1 y' ∫ y − 2dx = ∫ x − 1dx ln(y-2)
e ln(y -2) = e ln(x +1) +ec y-2=x+1 y=x+3 14. Tétel DEF: az olyan egyenleteket, amelyekben az ismeretlen egy függvény, függvényegyenleteknek nevezzük. DEF : ha a függvényegyenletekben a függvény deriválthai is szerepelnek, akkor diferenciálegyenletekről beszélünk. Dif egyenletekosztályozása : 1, közönséges (ha egyváltozós) a, algebrai (a függvénynek és a deriváltjainak csak a polinomjai szerepelnek) b, transzcendens (más esetekben) 2, parciális ( ha a függvény többváltozós. Ekkor a függvény parciális deriváltjai szerepelnek az egyenletben) Egy másik csoportosítási mód, a diferenciálegyenletek rendje szerinti csoportosítás. DEF : A diferenciál egyenlet „n” rendű, ha a benne szereplő függvény deriváltjainak a maximális rendje „n”. pl : y”(x)+y’(x)=2x-5 ez másodrendű lineális közönséges diferenciál egyenlet. DEF : a diferenciál egyenlet megoldásai azok a függvények, amelyek deriváltfüggvényeikkel együtt kielégítik a diferenciál egyenletet. Látható, hogy a diferenciál egyenleteknek egyéb feltételek hiányában végtelen sok megoldása van, ezt hívjuk integrál görbeseregnek. DEF : az „n” ed rendű diferenciál egyenlet általános megoldása az a függvény, amely megoldás és pontosan „n” darab egymástól független paramétert tartalmaz, partikuláris megoldása pedig legfeljebb n-1 darab egymástól független paramétert tartalmaz. ( lehet olyan megoldás is, amelyik nem származtatható az álltalános megoldásból, ez a szinguláris megoldás) Szétválaztható változójú diferenciál egyenletek : DEF :az y’(x)+g(x)y(x)= 0 alakra hozható diferenciál egyenleteket elsőrendű lineális diferenciálegyenleteknek nevezzük. Ha h(x)=0, akkor homogén, egyébként inhomogén lineális diferenciál egyenletről beszélünk. Homogén diferenciál egyenletek : y’(x)+g(x)y(x)= 0 yp=0 nyilvánvaló megoldás. A továbbiakban tegyük fel, hogy y≠0. vegyük észre, hogy egy speciális szétválasztható diferenciál egyenlettel van y ' ( x) y' ( y) dx = − ∫ g ( x)dx dolgunk. Megoldás : y ' ( x) = − g ( x) y ( x) /:y(x) → = − g ( x) ∫ y ( x) y ( x)
1
∫ y( x) dx = −∫ g ( x)dx
ln y ( x) = − ∫ g ( x)dx + ln C
− g ( x ) dx ⇒ y = Ce ∫ ez általános megoldása az
− g ( x ) dx − g ( x ) dx (− g ( x)) + g ( x)Ce ∫ =0 elsőrendű lineális homogén diferenciál egyenletnek. Ugyanis Ce ∫ A megoldás szabadon választott konstant tartalmaz. Mivel yp=0 is megoldás, így c=0 –át is − g ( x ) dx beleértve az általános megoldás y ( x) = Ce ∫
14. Tétel Inhomogén : (x)+g(x)y(x)= h(x) h(x)≠0 !!! Tétel : a fenti diferenciál egyenlet általános megoldása az ehez hozzárendelt Y’(x)+g(x)Y(x)=0 homogén diferenciál egyenlet Y –nal jelölt általános megoldásának, valamint az inhomogén diferenciál egyenlet yp –vel jelölt egy partikuláris megoldásának összege, azaz y = Y+ yp BIZ : be kell látnunk, hogy Y = y+ yp a homogénegy általános megoldása, vagyis egyrészt kielégíti az egyenletet, másrészt pontosan egy szabad változót tartalmaz. 1, y-yp –t beírva a homogén diferenciál egyenlet bal oldalába : ( y − y p )'+ g ( x)( y − y p ) = y '− y p '+ g ( x) y − g ( x) y p = [ y '+ g ( x) y ] − [ y p '+ g ( x) y p ] = h( x) − h( x) = 0 h(x) az inhomogén egyenlet jobb oldala 2, mivel y az inhomogén egyenlet általános megoldása, ezért 1 darab szabad paramétert tartalmaz, mivel yp az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása, ezért 0 darab szabad paramétert tartalmaz, így az összegük is csak 1 szbad paramétert tartalmaz. Ennek megfelelően az inhomogén egyenlet megoldási lépései y’+g(x)y=h(x) 0, y=Y+ yp
1, Y= Ce
∫
− g ( x ) dx
∫
− g ( x ) dx
2, yp –t is ilyen alakban keressük, de C helyett egy függvényt írunk, azaz yp=k(x) e ( állandó variálásának a módszere ) 3, a k(x) –ben szereplő konstanst 0 –nak választjuk ( csak 1 szabad paraméter lehet, az pedig már Y –ban van )
∫
− g ( x ) dx
4, összeadva y=Y+ yp = Ce Egy konkrét példán bemutatva : 1 1 y '− y = x 2 , ekkor g(x) = − x x 1, Y=
− g ( x ) dx Ce ∫
=
Ce
1 − − dx x
∫
− g ( x ) dx +k(x) e ∫
1
=
Ce
∫ x dx
= Ce
ln x
A másodrendű diferenciál egyenletek általános alakja F(x,y,y’,y”) Ha y” kifejezhető,, akkor az explicit alak : y”” = f(x,y,y’). az általános másodrendű diferenciál egyenletek megoldására nem ismeretes módszer, de bizonyos speciális eseteket meg tudunk oldani. DEF : valamely másodrendű diferenciál egyenletet hiányosnak nevezünk, ha a benne szereplő x,,y’ közül, legelább az egyik hiányzik. ( y” nem hiányozhat, mert akkor nem lenne másodrendű) az alábbi 3 speciális esettel foglalkozunk : F(x,y”) ; F(x,y’,y”) ; F(x,y,y’,y”)
[
[
]
2. ; F(x,y’,y”)=0 alakú másodrendű diferenciál egyenlet esetén alkalmazzuk az y’(x) = p(x) helyettesítést! Ekkor y”(y) = p’(x), így az egyenlet F(x,p(x),p’(x)) alakú, tehát elsőrendűre vezettük vissza. Ezt megoldva y(x) = ∫ p ( x)dx a végső megoldás.
ϕ = x = a ⋅ cos(t ) Ψ = y = b ⋅ sin(t ) ϕ& = a ⋅ (− sin(t )) π
]
explicit alakra, akkor a megoldhatóságáról nem mondunk semmit. Pl : y”5+ y”3+y”=sin(x) ez nem adható meg, hiszen ötöd fokú.
BEUGRÓ :
π
DEF: az olyan egyenleteket, amelyekben az ismeretlen egy függvény, függvényegyenleteknek nevezzük. DEF : ha a függvényegyenletekben a függvény deriválthai is szerepelnek, akkor diferenciálegyenletekről beszélünk. Dif egyenletekosztályozása : 1, közönséges (ha egyváltozós) a, algebrai (a függvénynek és a deriváltjainak csak a polinomjai szerepelnek) b, transzcendens (más esetekben) 2, parciális ( ha a függvény többváltozós. Ekkor a függvény parciális deriváltjai szerepelnek az egyenletben) Egy másik csoportosítási mód, a diferenciálegyenletek rendje szerinti csoportosítás. DEF : A diferenciál egyenlet „n” rendű, ha a benne szereplő függvény deriváltjainak a maximális rendje „n”. pl : y”(x)+y’(x)=2x-5 ez másodrendű lineális közönséges diferenciál egyenlet. DEF : a diferenciál egyenlet megoldásai azok a függvények, amelyek deriváltfüggvényeikkel együtt kielégítik a diferenciál egyenletet. Látható, hogy a diferenciál egyenleteknek egyéb feltételek hiányában végtelen sok megoldása van, ezt hívjuk integrál görbeseregnek. DEF : az „n” ed rendű diferenciál egyenlet általános megoldása az a függvény, amely megoldás és pontosan „n” darab egymástól független paramétert tartalmaz, partikuláris megoldása pedig legfeljebb n-1 darab egymástól független paramétert tartalmaz. ( lehet olyan megoldás is, amelyik nem származtatható az álltalános megoldásból, ez a szinguláris megoldás)
1. F(x,y”) = 0 de y” = f(x)alakra írható, akkor az általános megoldás két egymás utáni integrálással adódik. y ' = ∫ f ( x)dx + C1 ⇒ y = ∫ ∫ f ( x)dx + C1 + C 2 = ∫ ∫ f ( x)dx dx + C1 + C 2 ha nem hozható
= Cx
1 2, yp = k(x)x, amit beírva az egyenletbe : (k(x)x)’- (k(x)x)=x2 x k’(x)x+k(x)-k(x) = x2 2 k’(x)x = x k’(x) = x x2 3, k(x) = ∫ xdx = 2 x2 x3 4, y = Cx+ x = Cx+ 2 2
π
15. Tétel
π
π
2 2 2 T 2 1 − cos 2t ab 2 = b ⋅ sin(t ) ⋅ (a ⋅ (− sin(t )))dt = ab ∫ sin(t ) ⋅ (− sin(t ))dt = − ab ∫ sin 2 (t )dt = ab ∫ dt = 1 − cos 2tdt 4 ∫0 2 2 ∫0 0 0 0
3. F(x,y,y’,y”) = 0 alkalmazzuk az y’(x) = p(x) helyettesítést! Ha ezt az elsőrendű diferenciál egyenletet megoldjuk, akkor y’ = p(y) már megoldható, mert szétválasztható változójú diferenciál egyenlet. Pl : y”(1+y2) = yy’2 legyen y’ = P(y) ebből következik, hogy y” = P’(y)P(y) az egyenlez y P' y P' = → ∫ dy = ∫ ezekszerint (P’P)((1+y2) = yP2 ebből P’((1+y2) = yP dy P 1+ y2 P 1+ y2 1 1 1 2y 2 2 2 ∫ P dp = 2 ∫ 1 + y 2 dy → ln P = 2 ln(1 + y ) ⋅ ln C → ln P = ln (1 + y ) ⋅ C → P = (1 + y ) ⋅ C y' y' =C→∫ y ' = (1 + y 2 ) ⋅ C → dx = ∫ Cdx → arshy = Cx + C 2 a megoldás : (1 + y 2 ) (1 + y 2 ) y= sh(Cx+C2)
π
ab ⎡ sin 2t ⎤ 2 ab π t− = ⋅ − 0 = πab 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0 2 2
BEUGRÓ: m
f(x) =
m 2 2 m r r x r2 r 2 ⎡ x3 ⎤ r 2 ⎛ m3 03 ⎞ r 2m x V= π ∫ 2 dx = π 2 ∫ x 2 dx = π 2 ⎢ ⎥ = π 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ = π m 3⎠ 3 m 0 m ⎣ 3 ⎦0 m ⎝ 3 0 m
