Fixponttétel Már a hétköznapi életben is gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a "‘kettő közötti egyenes szakasz hossza"’ adja. Pl. két település között a távolságot közlekedési szempontból nem a légvonalban mért távolság adja, hanem pl. az odavezető út hossza. Tehát egy halmaz elemei között többféleképpen is definiálhatunk távolságot. Milyen tulajdonságokat várunk el egy "‘távolságtól"’ ? Definíció: A H halmazt a rajta értelmezett d kétváltozós függvénnyel metrikus térnek nevezzük, ha teljesülnek az alábbi követelmények: Tetszőleges a, b, c ∈ H esetén 1. d(a, b) = d(b, a) ≥ 0; 2. d(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b; 3. d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c) (háromszög-egyenlőtlenség). A kétváltozós d függvényt a H-n értelmezett metrikának, vagy távolságfüggvénynek nevezzük. Példákat a leggyakrabban alkalmazott távolságfüggvényekre ezen összefoglaló végén láthatunk. Definíció: Ha H metrikus tér, akkor könnyen definiálhatjuk bármely a ∈ H elemnek rsugarú környezetét, mint azon u elemek összességét, amelyekre d(a, u) < r. Definíció: Egy H halmazon definiált különböző metrikákat ekvivalenseknek nevezünk, ha abból, hogy egy sorozat konvergens az egyikkel, következik, hogy konvergens a másikkal is. Definíció: Egy sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha tetszőleges ε > 0 esetén van olyan n0 index, hogy ha m, n > n0 , akkor d(an , am ) < ε. Ez a definíció abban különbözik a konvergens sorozatok definíciójától, hogy itt a nagy indexű elemek nem egy bizonyos A elemhez vannak közelebb ε-nál, hanem egymáshoz. Közismert tétel, hogy Rn -ben egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. Ez azonban nem minden metrikus térben van így. (Példa az összefoglaló végén.) Definíció: Egy metrikus teret teljes metrikus térnek nevezünk, ha minden Cauchy-sorozat konvergens. Definíció: Legyen f egy olyan függvény (operátor), amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is egy M metrikus térnek egy részhalmaza. Az f függvényt kontrakciós függvénynek (kontrakciós operátornak), vagy röviden kontrakciónak nevezzük, ha tetszőleges x, y ∈ D(f ) esetén d(f (x), f (y)) ≤ q · d(x, y), 1
ahol
0 ≤ q < 1.
Fixponttétel: Legyen M egy teljes metrikus tér. Tegyük fel, hogy f egy olyan függvény (operátor), amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is M -nek egy részhalmaza. Tegyük fel, hogy a D(f ) értelmezési tartománynak van olyan H részhalmaza, amelyet a függvény önmagába visz, és hogy f kontrakció ezen a részhalmazon. Ekkor az f függvénynek van egy és csakis egy fixpontja ebben a halmazban, azaz egy olyan pont, amelyre f (x∗ ) = x∗ . Bizonyítás: Legyen x0 a H-nak tetszőleges pontja. Képezzük a következő sorozatot: x1 = f (x0 ) x2 = f (x1 ) .. . xn = f (xn−1 ) .. . Ha x1 = x0 = f (x0 ), akkor x0 fixpont. Ha d(x0 , x1 ) > 0, akkor először becsüljük meg a d(xn , xn−1 ) távolságot. d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ qd(xn−1 , xn ) = qd(f (xn−2 ), f (xn−1 ) ≤ ≤2 d(xn−2 , xn−1 ) ≤ · · · ≤ q n d(x0 , x1 ) Az xn sorozat Cauchy-sorozat, ugyanis, legyen n < m, ekkor a háromszögegyenlőtlenséget és a mértani sorozat összegképletét használva d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xm−1 , xm ) ≤ ≤ q n d(x0 , x1 )+q n+1 d(x0 , x1 )+. . . q m−1 d(x0 , x1 ) = d(x0 , x1 )q n
1 1 − q m−n ≤ d(x0 , x1 )q n . 1−q 1−q
1 n-től független, ha n0 olyan nagy, hogy q n ≤ d(x1−q ε, akkor Mivel d(x0 , x1 ) 1−q 0 ,x1 ) d(xn , xm ) < ε, tehát az xn sorozat Cauchy-sorozat, ezért konvergens. Legyen limn→∞ xn = x∗ , ekkor a jobb és bal oldali sorozatokat összevetve
x∗ = f (x∗ ). Hátra van még az egyértelműség. Tegyük fel, hogy lenne H-ban két fixpont is, azaz x∗ = f (x∗ ), és x∗∗ = f (x∗∗ ), és x∗ 6= x∗∗ . Ekkor d(x∗ , x∗∗ ) = d(f (x∗ ), f (x∗∗ )) ≤ qd(x∗ , x∗∗ ) < d(x∗ , x∗∗ ), ami ellentmondás. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. Példák alkalmazásra: 1. Példa Keressük az x = cos x egyenlet megoldását. Az y = x és y = cos x grafikonokból látszik, hogy van megoldás a (0, π/2) intervallumon, sőt, mivel cos(x) ≤ 1, a (0,1) intervallumon. A (0, 1) intervallum pontjait a koszinuszfüggvény biztosan a (0, 1) intervallumba viszi. Legyen a távolság a szokásos 2
módon definiálva, azaz d(a, b) = |a − b|. Ekkor a koszinusz-függvény kontrakció ezen az intervallumon, ugyanis a Lagrange-féle középértéktétel alapján cos(a) − cos(b) = cos0 (c) = − sin(c) a−b ahol c az a és b között van. A jobb és bal oldal abszolút értékét véve és |a−b|-vel átszorozva | cos(a) − cos(b)| = | sin(c)||a − b| ≤ sin(1)|a − b|, és mivel sin(1) < 1, a koszinusz-függvény kontrakció ezen az intervallumon. Ezek szerint a (0,1) intervallum tetszőleges pontját választva x0 -nak, az xn = cos(xn−1 ) sorozat konvergens, és a megoldáshoz tart. Erről könnyen meggyőződhetünk: ha kalkulátorunkba beütünk tetszőleges (0,1)-beli számot (valójában bármilyen valós számot), és a koszinusz gombot sokszor egymás után megnyomjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy egyre több és több tizedesre meg fog egyezni x és a koszinusza. 2. Példa Közismert, hogy ha az f (x, y) kétváltozós függvény folytonos, akkor az y 0 = f (x, Ry), y(x0 ) = y0 kezdetiérték-probléma ekvivalens az x y(x) = y0 + x0 f (t, y(t))dx integrálegyenlettel. Képezzük a következő függvénysorozatot: y0 (x) = y0 Z
x
y1 (x) = y0 +
f (t, y0 (t))dt x0 x
Z y2 (x) = y0 +
f (t, y1 (t))dt x0
.. . Z
x
yn (x) = y0 +
f (t, yn−1 (t))dt x0
.. . Tegyük fel, az f függvény y-ban K Lipschitz-konstanssal eleget tesz a Lipschitzfeltételnek az x ∈ [x0 − c, x0 + c], y ∈ [k1 , k2 ] táglalaptartományon, ahol Rx cK = q < 1, és k1 , k2 olyanok, hogy az y1 (x) = y0 + x0 f (t, y0 (t))dt függvény értéke az adott tartományon a kettő közé esik. f folytonossága miatt a fenti sorozatban definiált minden függvény folytonos. Definiáljuk két függvény távolságát egy [a, b] intervallumon a következőképpen: d(g1 , g2 ) = maxx∈[a,b] |g1 (x) − g2 (x)|. Be lehet látni, hogy ekkor a tekintett [x0 − c, x0 + c] intervallumon d(yk+1 , yk ) ≤ cKd(yk , yk−1 ), tehát a hozzárendelésnek van fixpontja, ami épp az integrálegyenlet megoldása. Ha egy lineáris térben szeretnénk metrikát definiálni, ahol vektorok normája (hossza) már definiálva van, akkor két vektor távolságát definiáljuk úgy, hogy
3
d(a, b) := ||a − b|| . Ezt a távolságot nevezzük az adott norma által generált metrikának. Fordítva: ha egy lineáris téren definiálva van egy metrika, akkor definiálhatunk egy normát úgy, hogy minden vektor normája (hossza) legyen a nullvektortól való távolsága, azaz ||a|| := d(0, a). Ezt a normát az adott metrika által generált normának nevezzük. Az Rn -ben leggyakrabban használt metrikák, azaz távolságok: dm (x, y) = max |xi − yi | i X dl (x, y) = |xi − yi | i
dε (x, y) =
sX
(xi − yi )2
i
Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy mindhárom távolságfüggvény eleget tesz a távolságra kirótt követelményeknek. Ez a három metrika Rn -ben ekvivalens abban az értelemben, hogy ha egy sorozat konvergens az egyik szerint (azaz az adott metrika szerint tekintve a környezeteket), akkor konvergens a másik szerint is. Az utolsót hívjuk Euklideszi-metrikának. A számegyenes egy korlátos, zárt [a, b] intervallumán értelmezett korlátos függvények távolságát definiálhatjuk a következőképpen: dm (f, g) = sup |f (x) − g(x)| x∈[a,b]
(Folytonos függvények esetén a szuprémum nyilván maximum.) Integrálhatókét: Z b dl (f, g) = |f (x) − g(x)|dx a
Négyzetesen integrálhatókét: s Z dl (f, g) =
b
(f (x) − g(x))2 dx
a
Ha R2 -ben az origó középpontú, egységsugarú kört úgy definiáljuk, mint azon pontok összességét, amelyeknek origótól vett távolsága pontosan 1, akkor fenti három távolsággal a következő alakzatokat kapjuk egységsugarú körként:
1
max (|x|,|y|)=1
1
1
2
|x|+|y|=1
2
x +y =1
4
Azok a pontok, amelyek távolsága az origótól 1-nél kisebb, az alakzatok belsejében vannak, amelyek távolsága az origótól 1-nél több, az alakzatokon kívül vannak. Példa nem teljes metrikus térre. Legyen M a racionális számok halmaza. (Vagyis az irracionális számok most nem léteznek.) Két szám távolsága legyen a szokásos: d(a, b) = |a − b|. Tekintsük a következő sorozatot: √ a1 = 1, 4; a2 = 1, 41; a3 = 1, 414; a4 = 1, 4142; . . . , azaz amely 2 egyre több és több jegyét tartalmazza. Ez nyilván Cauchy-sorozat, hiszen ha 10−n0 < ε, akkor n, m > n0 esetén√|an − am | < ε. A sorozat nem konvergens, hiszen nem tarthat máshová, mint 2, ilyen szám viszont nincs, tehát a sorozat nem konvergens, mert nem tart semmihez. Ez egy nagyon egyszerű példa. Nyilván könnyű lenne pl. folytonos függvényekre is olyan távolságot és olyan sorozatot mutatni, ami Cauchy-sorozat, de nem folytonos függvényhez tart.
5
