10.4 Variasi Kanonik Sampel Dan Korelasi Kanonik Sampel Sampel acak dari n observasi pada masing-masing variabel dari (p + q) variabel X(1), X(2) dapat digabungkan kedalam ((p + q) x n) data matriks
1 2
dimana
x111
x121
x11n
x 211
x 221
x 21n
x p11
x p12
x pn1
2 11 2 21
2 12 2 22
2 1n 2 2n
x p21
x p22
x pn2
x
x
x
x
x
x
x1 , x 2 ,...,x n
x j1 x j2
xj
(10-25)
Adapun vektor rata-rata sampelnya adalah
1
x 2 x
x
p q x1
dimana
x
1
1 n
n
x j 1
1 j
dan
x
2
1 n
n
x j2 j 1
(10-26)
Dan matriks kovarian sampel dapat ditulis
S11 S
p q x p q
S12
pxp
pxq
S 21
dimana
S 22
qxp
1
S kl
n
n 1j1
x
k j
x
'
U
x
l j
x
l '
,
qxq
k,l = 1, 2
Kombinasi linear
k
ax
1
(10-27)
'
,V
bx 2
(10-28)
'
a S12 b
r
memiliki korelasi sampel
'
U ,V
(10-29)
'
a S12 a b S12 b
Pasangan pertama dari variasi kanonik sampel dalam kombinasi linear U 1 dan V 1 memiliki unit varian sampel yang memaksimumkan rasio (2-21).
Pada umumnya, pasangan ke-k variasi kanonik sampel adalah pasangan dari kombinasi linear U k dan V k yang memiliki unit varian sampel yang memaksimumkan (10-29) diantara kombinasi linear yang tidak berkorelasi dengan k-1 variasi kanonik sampel yang sebelumnya. Korelasi sampel antara U k dan V k dinamakan korelasi kanonik sampel. Variasi sampel kanonik dan korelasi kanonik sampel dapat diperoleh dari matriks kovarian sampel S11, S12 = S21’, dan S22 dengan cara yang bersesuaian dengan persoalan yang dibahas dalam 2.1. Akibat 10.2. Misalkan
2 1
2 2
...
2 p
adalah p order nilai eigen dari
S111 / 2 S12 S 221 S 21 S111 / 2 vektor eigen yang berkoresponden dengan e1, e 2 ,..., e p dimana
S kl didefinisikan pada (2-19) dan p
q. Misalkan f 1 , f 2 ,...., f
q
menjadi vektor
eigen dari S 221 / 2 S 21 S111 S12 S 221 / 2 dimana p yang pertama f
1 k
S 221 / 2 S 21 S111 / 2 S e k , k
f 's
diperoleh dari
1,2,..., p. Pasangan variasi kanonik sampel ke-k
k
'
e k S111 / 2 x 1 dan V k
adalah U k
f ' S 1/ 2 x 2 k 22
'
'
ak
bk
dimana x(1) dan x(2) adalah nilai
variabel dari X(1) dan X(2) untuk unit ekperimen khusus. Variasi kanonik sampel pertama mempunyai korelasi sampel maksimum r U 1 ,V 1
Untuk pasangan ke-k r
k
U k ,V k
1
.
dan korelasi ini merupakan kemungkinan
terbesar diantara kombinasi linear yang tidak berkorelasi dengan k-1 variasi kanonik sampel sebelumnya. Jumlah sampel. Jika p rank S12 1
,
2
,...,
p1
1
,
2
,...,
p
adalah korelasi kanonik
p1 , maka korelasi kanonik sampel tak nol adalah
.
Bukti. Bukti dari akibat 10.2 mengikuti bukti dari akibat 10.1 dengan S kl menggantikan ∑kl, k,l=1,2. Variabel-variabel kanonik sampel mempunyai unit variansi sampel. s U k ,U k
sVˆ ,vˆ k
(10-30)
1 k
dan sampel korelasi r U k ,U l
rVˆ ,vˆ
0,
k≠l
rVˆ ,vˆ
0,
k≠l
k
k
l
l
(10-31)
Penerapan dari U k , V k sering dinantu dengan perhitungan sampel korelasi antara variable kanonik dan variable dalam himpunan X(1), X(2). Kami mendefinisikan matrik-matrik Aˆ
p p
aˆ1 , aˆ 2 ,..., aˆ p ' ;
Bˆ
q q
bˆ1 , bˆ2 ,..., bˆq ' ;
(10-32)
yang baris-barisnya adalah vektor-vektor koefisien dari variabel kanonik sampel. Analogi dengan persamaan (10-17)
U
px1
Az z 1 ;
V
Bz z
qx1
2
(10-33)
dan kita dapat definisikan RUˆ , X (1) =matrik dari sampel korelasi pada U dengan X RVˆ , X ( 2) =matrik dari sampel korelasi pada V dengan X
(1)
(2)
RUˆ , X ( 2) =matrik dari sampel korelasi pada U dengan X RVˆ , X (1) =matrik dari sampel korelasi pada V dengan X
(2)
(1)
Sesuai dengan (10-19) kita mempunyai
Dimana
RUˆ , X (1)
Aˆ S11 D11
RVˆ , X ( 2 )
Bˆ S 22 D22
RUˆ , X ( 2 )
Aˆ S12 D22
RVˆ , X (1)
Bˆ S 21 D11
1/ 2
1/ 2
(10-34)
1/ 2
1/ 2
D111 / 2 adalah matrik diagonal berukuran (pxp) dengan elemen
diagonal ke-i (sampel var(xi(1) )) 1/ 2 dan D221 / 2 adalah matrik diagonal berukuran (qxq) dengan elemen diagonal ke-i (sampel var(xi(2) )) 1/ 2 .
Keterangan: Jika
Z
Z Z
observasi
distandarisasikan,
maka
1 2
z1 , z 2 ,...,z n dengan z j
data
matriks
menjadi
z j1 z j2
dan variasi kanonik sampel menjadi :
Az z 1 ;
U
px1
dimana A z
1/ 2 A D11 dan B z
V
qx1
Bz z 2
(10-36)
1/ 2 B D22 . Korelasi kanonik sampel tidak efektif dengan
standardisasi. Sebagai catatan bahwa D111 / 2
D221 / 2
I untuk observasi standard.
Contoh 10.4 Pada contoh 9.14, data terdiri dari ukuran-ukuran tulang dan tengkorak dari ayam White Leghorn. Dari contoh ini, ukuran tulang anak ayam untuk: X1(1)=panjang tengkorak Kepala(X(1)): X2(1)=lebar tengkorak X1(1)=panjang tulang paha Kaki (X(2)): X2(2)=panjang tulang betis
mempunyai matrik sampel korelasi
1.0 .505 .569 .602 R
R11 R12
.505 1.0 .422 .467
R21 R22
.569 .422 1.0 .926 .602 .467 .926 1.0
Analisis korelasi kanonik dari himpunan variabel kepala dan leg menggunakan R menghasilkan dua korelasi kanonik dan pasangan variabel yang bersesuaian:
ˆ1*
0.631
ˆ 2*
0.057
Uˆ 1 0.781 z1(1) 0.345 z 2(1) Vˆ1 0.060 z1( 2 ) 0.944 z 2( 2 )
Uˆ 2 Vˆ 2
0.856 z1(1) 1.106 z 2(1) 2.648 z1( 2 )
2.475 z 2( 2 )
Disini z i(1) , i=1,2 dan z i( 2 ) , i=1,2 adalah nilai-nilai terstandarisasi untuk himpunan 1 dan 2,respectively. Hasil di atas diperoleh dari software statistika SAS.
Contoh 10.5 Sebagai bagian dari studi besar dari pengaruh struktur organisasi pada “kepuasan pekerjaan”, Dunham[3] menyelidiki kadar hubungan kepuasan pekerjaan dengan karakteristik pekerjaan. Dengan menggunakan instrumen penelitian, Dunham obtained ukuran-ukuran dari p=5 karakteristik pekerjaan dan q=7 variabel kepuasan pekerjaan untuk n=784 eksekutif dari cabang perusahaan dagang besar.
Apakah ukuran-ukuran kepuasan pekerjaan berasosiasi dengan karakteristik pekerjaan?jawabannya mungkin dapat diperoleh desain pekerjaan. Variabel-variabel karakteristik pekerjaan asli, X(1), dan variabel-variabel kepuasan pekerjaan, X(2) , didefinisikan sebagai:
X (1)
X 1(1) X 2(1) X 3(1) X 4(1) X 5(1)
X ( 2)
X 1( 2 ) X 2( 2 ) X 3( 2 ) X 4( 2 ) X 5( 2 ) X 6( 2 ) X 7( 2 )
feedback task significance task variety task identity autonomy
supervisorsatisfaction career - future satisfaction financial satisfaction workload satisfaction companyidentification kind - of - work satisfaction general satisfaction
Matrik sampel korelasi berdasarkan pada 784 responden adalah:
Sebagai contoh, pasangan variate kanonik sampel pertama adalah Uˆ 1
.42z1(1) .21z 2(1) .17z3(1) .02z 4(1) .44z5(1)
Vˆ1
.42z1( 2) .22z 2( 2) .03z 2( 2) .01z 4( 2) .29z5( 2) .52z6( 2) .12z7( 2)
Dengan sampel korelasi kanonik ˆ1* .55
Kelima variabel karakteristik pekerjaan kira-kira memiliki korelasi yang sama dengan variasi kanonik pertama U 1 . Sampel korelasi antara U 1 dan
V 1 adalah
ˆ1*
.55 . Ini menunjukkan overlap
antara karakteristik pekerjaan dan kepuasan pekerjaan.
