[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1]

Polynomy

[5]

Soucˇin polynomu ˚

Polynom je mozˇno definovat dveˇma zpu˚soby: • jako rea´lnou nebo komplexnı´ funkci, jejichzˇ hodnoty jsou dańy jisty´m vzorcem, • jako ten vzorec samotny´.

a) algebra-all, 1, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)

BI-LIN, algebra-all, 1, P. Olsˇa´k

Soucˇin dvou polynomu ˚ p a q, ktere´ majı´ koeficienty a0 , a1, . . . , am a b0 , b1 , . . . , bn, je polynom, ktery´ ma´ koeficienty c0, c1, . . . , cm+n takove´, zˇe ck = a0bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 , prˇicˇemzˇ v tomto vzorci klademe ai = 0 pro i > m a bi = 0 pro i > n. Jak jsme na to prˇisˇli? (a0 + a1x + a2 x2 + . . . + am xm) ⋅ (b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bnxn) = = (a0 b0 ) + (a0b1 + a1b0 ) x + + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2 + · · · + + (a0 bm+n + a1bm+n−1 + · · · + am bn + · · · + am+nb0 ) xm+n.

L

. Viz p. d. 4/2010 BI-LIN, algebra-all, 1, P. Olsˇa´k

[2]


[6]

Prvnı´ zpu ˚ sob zavedenı´ polynomu

Vztah mezi funkcı´ a koeficienty

Definice 1: Polynom je komplexnı´ funkce p : C → C, pro kterou existujı´ komplexnı´ cˇ´ısla a0, a1 , . . . , an takova´, zˇe

Jaky´ je vztah mezi prvnı´m a druhy´m zpu˚sobem pojetı´ polynomu?

p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1 x + a0

Tj. mezi polynomem jako funkcı´ a polynomem jako vzorcem charakterizovany´m svy´mi koeficienty?

pro vsˇechna x ∈ C.

Tvrzenı´:

Cˇ´ısla a0, a1 , . . . , an nazy´va´me koeficienty polynomu.

• Polynom dany´ koeficienty jednoznacˇneˇ urcˇuje funkci podle definice 1.

Da´le zava´dı´me pojmy:

• Polynom jako funkce ma´ sve´ koeficienty urcˇeny jednoznacˇneˇ (azˇ na „prˇeby´vajıćı´“ nulove´ koeficienty).

Rovnost polynomu ˚ jako rovnost funkcı´: p = q, kdyzˇ p(x) = q(x) pro vsˇechna x ∈ C. Soucˇet polynomu ˚ , na´sobek polynomu jako soucˇet a na´sobek funkcı´: p + q je funkce, pro kterou (p + q)(x) = p(x) + q(x) pro vsˇechna x ∈ C,

α p je funkce, pro kterou (α p)(x) = α ⋅ p(x) pro vsˇechna x ∈ C.


[3]


[7]

Druhy´ zpu ˚ sob zavedenı´ polynomu

Prvnı´ cˇa´st tvrzenı´ je zrˇejma´. Vzorec urcˇuje funkci.

Definice 2: Polynom je vzorec tvaru

Druha´ cˇa´st tvrzenı´ nenı´ zcela zrˇejma´. K jejı´mu du˚kazu pouzˇijeme pomocnou veˇtu:

anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 , kde a0 , a1, . . . , an jsou komplexnı´ cˇ´ısla a x je forma´lnı´ promeˇnna´. Cˇ´ısla a0, a1 , . . . , an nazy´va´me koeficienty polynomu. Hodnota polynomu anxn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 v bodeˇ α ∈ C je komplexnı´ cˇ´ıslo, ktere´ dostaneme dosazenı´m cˇ´ısla α za promeˇnou x do uvedene´ho vzorce.


[4]

Da´le zava´dı´me pojmy: Rovnost polynomu ˚ : Dva polynomy se rovnajı´, pokud soucˇasneˇ platı´ • koeficienty se stejny´mi indexy se rovnajı´, • ma´-li jeden polynom koeficient, ktery´ druhy´ polynom nema´, pak tento koeficient je nulovy´. Soucˇet polynomu ˚ , na´sobek polynomu: jako soucˇet prˇ´ıslusˇnyćh vzorcu˚ a na´sobek vzorce konstantou. Prˇesneˇji: Ma´-li polynom p koeficienty a0, a1 , . . . , am a ma´-li polynom q koeficienty b0 , b1 , . . . , bn a je m ≤ n, pak polynom p + q ma´ koeficienty a0 + b0 , a1 + b1 , . . . , am + bm , bm+1 , . . . bn . Da´le polynom α p ma´ koeficienty α a0, α a1, . . . , α am. Vy´sledky operacı´ jsou tedy popsańy pomocı´ svyćh koeficientu˚ algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomu˚, ktere´ scˇ´ıta´me resp. na´sobı´me. S promeˇnnou x algoritmy nepracujı´.

Veˇta: nulova´ funkce je polynom, ktery´ musı´ mı´t vsˇechny koeficienty nulove´. Du˚kaz: Necht’ p(x) = anxn + . . . + a1x + a0 = 0 pro vsˇechna x ∈ C, Koeficient a0 musı´ by´t nulovy´ (stacˇ´ı dostadit x = 0). Takzˇe platı´ p(x) = x (anxn−1 + . . . + a1 ) = x q(x) = 0. Polynom q je nulovy´ pro vsˇechna x ∈ C \ {0}. Protozˇe q je funkce spojita´, je take´ q(0) = 0. Dosazenı´m x = 0 dosta´va´me a1 = 0 a postup mu˚zˇeme opakovat. Dostaneme a2 = 0, . . . , an = 0.


[8]

Vrat’me se k tvrzenı´: Polynom jako funkce ma´ sve´ koeficienty urcˇeny jednoznacˇneˇ. Du˚kaz: At’ polynom p (jako funkce) ma´ koeficienty a0, a1 , . . . , an a take´ at’ ma´ koeficienty b0 , b1 , . . . , bn (koeficienty doplnı´me nulami, kdyby pu˚vodneˇ meˇl by´t pocˇet koeficientu˚ ru˚zny´). Funkce p − p je nulova´ a ma´ zrˇejmeˇ koeficienty a0 − b0 , a1 − b1 , . . . , an − bn. Podle prˇedchozı´ veˇty musejı´ by´t tyto koeficienty nulove´, takzˇe musı´ by´t ai = bi pro vsˇechna i. Nemu˚zˇe se tedy sta´t, aby meˇl jeden polynom (jako funkce) dveˇ sady ru˚znyćh koeficientu˚.


[9]


[13]

Stupen ˇ polynomu

Jednoznacˇnost cˇa´stecˇne´ho podı´lu a zbytku

Definice: polynom se vsˇemi koeficienty nulovy´mi se nazy´va´ nulovy´ polynom.

Polynomy r a z s vlastnomstmi podle prˇedchozı´ veˇty jsou urcˇeny vyćhozı´mi polynomy p a q jednoznacˇneˇ.

Stupenˇ polynomu p s koeficienty a0 , a1, . . . , an je nejveˇtsˇ´ı index i takovy´, zˇe ai 6= 0. Stupenˇ nulove´ho polynomu definujeme hodnotou −1.

Du˚kaz: At’ kromeˇ r a z jesˇteˇ polynomy r1 a z1 majı´ uvedene´ vlastnosti, tj.

Stupenˇ polynomu p znacˇ´ıme St p

St(p ⋅ q) = St p + St q


St z < St q,

St z1 < St q.

Po odecˇtenı´ prvnı´ rovnosti je (r − r1) q = z1 − z. Stupenˇ na prave´ straneˇ je mensˇ´ı nezˇ q, takzˇe na leve´ straneˇ musı´ by´t q na´sobeno nulou. Tj. r = r1. Z toho take´ plyne, zˇe z = z1 .

Pozorovańı´: Pro nenulove´ polynomy p a q platı´: St(p + q) ≤ max(St p, St q),

p = r ⋅ q + z = r1 ⋅ q + z1 ,

[10]


[14]

Deˇlenı´ polynomu polynomem se zbytkem

Hornerovo sche´ma =

Veˇta: Pro polynomy p a q (polynom q nenulovy´) existujı´ polynomy r a z takove´, zˇe

= algoritmus na efektivnı´ vyhodnocenı´ polynomu v dane´m bodeˇ.

• p = r ⋅ q + z, (neboli p/q = r + z/q), • St z < St q.

p(α ) = anα n + an−1α n−1 + an−2α n−2 + · · · + a2 α 2 + a1α + a0 = = ((· · · ((anα + an−1) α + an−2) α + · · · + a2 ) α + a1 ) α + a0. Mezivy´pocˇty (za´vorky) mohou zu˚sta´vat v registru procesoru.

Polynomu r rˇ´ıka´me cˇa´stecˇny´ podı´l a polynomu z rˇ´ıka´me zbytek prˇi deˇlenı´ polynomu p polynomem q. Platnost veˇty je zarucˇena existencı´ algoritmu, ktery´ pro kazˇde´ p, q vytvorˇ´ı r a z uvedenyćh vlastnostı´.

Odhadneˇte pocˇet na´sobenı´ a scˇ´ıtańı´ prˇi vyhodnocenı´ polynomu stupneˇ n v bodeˇ a) prˇ´ımo pomocı´ vzorce z definice polynomu b) podle Hornerova sche´matu


[11]

Algoritmus (prˇ´ıklad): 4

3

2

2

3

2


Algoritmus (naćˇrt): p : q = ckxk + ck−1xk−1 + . . . + c0 −ckxk ⋅ q p − ck xk ⋅ q −ck−1 xk−1 ⋅ q p − ck xk ⋅ q − ck−1 xk−1 ⋅ q ... p − (ck xk + ck−1xk−1 + . . . + c0) ⋅ q = p − r q = z Algoritmus: • vzˇdy skoncˇ´ı po konecˇneˇ mnoha krocıćh, • vyprodukuje polynomy r a z, ktere´ majı´ vlastnosti podle veˇty. (rozmyslete si, procˇ)

[15]

Trˇi rˇa´dky Hornerova sche´matu

(2x − 3x + 3x − x − 6x + 8) : (x − 2x + 4) = 2x + x − 3x − 11 −(2x5 − 4x4 + 8x3) x4 − 5x3 − x2 − 6x + 8 −(x4 − 2x3 + 4x2) −3x3 − 5x2 − 6x + 8 −(−3x3 + 6x2 − 12x) −11x2 + 6x + 8 −(−11x2 + 22x − 44) −16x + 52 5


Prˇi psanı´ mezivy´pocˇtu˚ na papı´r mu˚zˇeme pouzˇ´ıt trˇ´ırˇa´dkove´ sche´ma:

α:

an bn−1

an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 α bn−1 α bn−2 . . . α b2 α b1 α b0 bn−2 bn−3 . . . b1 b0 p(α )

kde bn−1 = an, bk−1 = ak + α bk pro k = n − 1, n − 2, . . . , 3, 2, 1. Vyplatı´ se to, protozˇe platı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´ . . .

[12]


[16]

Tvrzenı´: trˇetı´ rˇa´dek Hornerova sche´matu obsahuje koeficienty bi , cozˇ jsou koeficienty polynomu r, pro ktery´ platı´: p(x) = r(x) (x − α ) + p(α ) tedy: r je cˇa´stecˇny´ podı´l polynomu p polynomem (x − α ). Du˚kaz: je trˇeba vyuzˇ´ıt rekurentnıćh vztahu˚ bn−1 = an,

bk−1 = ak + α bk

a propocˇ´ıtat vy´raz r(x) (x − α ) + p(α ). K cˇemu to je: nemusı´me pro vy´pocˇet cˇa´stecˇne´ho podı´lu polynomu polynomem stupneˇ prvnı´ho pouzˇ´ıvat algoritmus ze slı´du [12].


[17]


Korˇen polynomu

Nale´zt rozklad na korˇenove´ cˇinitele

Definice: Korˇen polynomu p je takove´ cˇ´ıslo α ∈ C, pro ktere´ je p(α ) = 0.

nenı´ algebraicky pro obecny´ polynom p mozˇne´.

Jiny´mi slovy: korˇen je cˇ´ıslo, ve ktere´m ma´ polynom nulovou hodnotu. Definice: Korˇenovy´ cˇinitel polynomu p je polynom tvaru x − α , kde α je korˇen polynomu p. Pozorovańı´: Polynom je deˇlitelny´ svy´m korˇenovy´m cˇinitelem. Du˚kaz: Cˇa´stecˇny´ podı´l polynomu p korˇenovy´m cˇinitelem (x − α ) musı´ mı´t stupenˇ zbytku mensˇ´ı nezˇ 1, takzˇe zbytek je konstanta z. Takzˇe p(x) = r(x) ⋅ (x − α ) + z. Po dosazenı´ x = α dosta´va´me 0 = p(α ) = r(α ) ⋅ 0 + z, takzˇe z = 0.

[21]

Prˇi hledańı´ rozkladu je totizˇ potrˇeba najı´t vsˇechny korˇeny polynomu p na za´kladeˇ znalosti jeho koeficientu˚. Vzorce existujı´ pro polynomy stupneˇ 1, 2, 3, 4 a da´le pro neˇktere´ specia´lnı´ polynomy. Prˇı´klad: Pro polynom stupneˇ 2 vzorce pro korˇeny jisteˇ zna´te: q q −a1 + a21 − 4a2 a0 −a1 − a21 − 4a2 a0 α1 = α2 = , 2a2 2a2 Pro polynomy stupneˇ pa´te´ho a vysˇsˇ´ıho algebraicke´ vzorce neexis´ vartiste Galois doka´zali, tujı´. Pomocı´ teorie grup Niels Abel a E zˇe tyto vzorce skutecˇneˇ neexistujı´ (tj. je doka´zańo, zˇe vzorce ani v budoucnu nikdo objevı´). To nenı´ ve sporu se za´kladnı´ veˇtou algebry, ktera´ rˇ´ıka´, zˇe korˇen existuje (zdu˚vodneˇte procˇ).


[18]


[22]

Za´kladnı´ veˇta algebry

Specia´lnı´ prˇı´pad: korˇeny jsou cela´ cˇı´sla

Veˇta: Kazˇdy´ polynom stupneˇ asponˇ prvnı´ho ma´ v C korˇen.

Jsou-li koeficienty polynomu celocˇ´ıselne´, pak je mozˇno vyzkousˇet, zda nepu˚jde nale´zt korˇen mezi deˇliteli koeficientu a0 . Teˇch je konecˇneˇ mnoho. Pokud mezi nimi korˇen nenalezneme, nema´me sice rozklad, ale ma´me asponˇ jistotu, zˇe polynom nema´ dalsˇ´ı celocˇ´ıselne´ korˇeny. Platı´ totizˇ:

Pozna´mka: Polynom stupneˇ nula je nenulova´ konstanta, tj. nema´ korˇen. Pozorovańı´: Trˇebazˇe ma´ polynom stupneˇ asponˇ prvnı´ho rea´lne´ koeficienty, nemusı´ mı´t zˇa´dny´ rea´lny´ korˇen. Naprˇ´ıklad polynom x2 + 1. Za´kladnı´ veˇta algebry pravı´, zˇe polynom ma´ komplexnı´, korˇen.

Veˇta: Je-li α celocˇ´ıselny´ korˇen polynomu p s celocˇ´ıselny´mi koeficienty, pak α deˇlı´ koeficient a0 . Du˚kaz: V rovnosti 0 = anα n + an−1α n−1 + · · · + a1 α + a0 (ktera´ plyne z toho, zˇe α je korˇen) odecˇteme z obou stran a0 a ze zbytku vytkneme α . Dosta´va´me a0 = −α ⋅ (an α n−1 + an−1α n−2 + · · · + a1) = α ⋅ c, kde c je cele´ cˇ´ıslo. Takzˇe α deˇlı´ a0 .

Du˚kaz za´kladnı´ veˇty algebry: neuva´dı´me.


[19]


[23]

Rozklad polynomu na korˇenove´ cˇinitele

Prˇı´klad

Necht’ p je polynom stupneˇ asponˇ prvnı´ho. Pak ma´ korˇen α1 a je deˇlitelny´ korˇenovy´m cˇinitelem x − α1, tedy p = (x − α1) ⋅ p1 (x). Polynom p1 ma´ stupenˇ o jeden mensˇ´ı, nezˇ stupenˇ p.

Rozlozˇ´ıme p(x) = x5 − 12x4 + 48x3 − 62x2 − 33x + 90. Ma´-li by´t korˇenem cele´ cˇ´ıslo, mu˚zˇe to by´t jedineˇ deˇlitel devadesa´tky, tedy cˇ´ısla 1, 2, 3, 5, 6, . . . , 90, −1, −2, −3, . . . , −90. Teˇchto konecˇneˇ mnoho cˇ´ısel mu˚zˇeme zkusit dosadit do polynomu. Vycha´zı´ naprˇ. p(2) = 0, takzˇe 2 je korˇen. Dalsˇ´ı korˇeny stacˇ´ı hledat v polynomu p1 (x) = p(x)/(x−2). Koeficienty tohoto polynomu najdeme ve trˇetı´m rˇa´dku Hornerova sche´matu. Je p1 (x) = x4 − 10x3 + 28x2 − 6x − 45. Tento polynom ma´ korˇen 3 a p2 (x) = p(x)/((x − 2)(x − 3)) = x3 − 7x2 + 7x + 15. Trojka je znovu korˇen polynomu p2 a p3 (x) = p(x)/((x − 2)(x − 3)2 ) = x2 − 4x − 5. Tento kvadraticky´ polynom ma´ korˇeny 5 a −1. Rozklad dane´ho polynomu je: p(x) = (x − 2)(x − 3)2 (x − 5)(x + 1).

Necht’ p1 je polynom stupneˇ asponˇ prvnı´ho. Pak ma´ korˇen α2 a je deˇlitelny´ cˇinitelem x−α2 , tedy p = (x−α1 )⋅p1 (x) = (x−α1 )(x−α2 )⋅p2 (x). Polynom p2 ma´ stupenˇ o dva mensˇ´ı, nezˇ stupenˇ p. Opakovany´m postupem te´to u´vahy dosta´va´me p = (x − α1 ) ⋅ p1(x) = (x − α1) ⋅ (x − α2 ) · · · (x − αn) ⋅ K, kde K = pn je polynom stupneˇ nulte´ho (nenulova´ konstanta).

Jiny´ prˇ´ıklad: rozklad polynomu x5 −12x4 +48x3 −62x2 −33x+91 nelze algebraicky nale´zt. Deˇlitele 91 jsou 1, 7, 13, 91, −1, −7, −13, −91. Mu˚zˇeme zjistit, zˇe zˇa´dne´ z teˇchto cˇ´ısel nenı´ korˇen, takzˇe polynom nema´ celocˇ´ıselne´ korˇeny.

Tomuto vzorci se rˇ´ıka´ rozklad polynomu p na korˇenove´ cˇinitele.


[20]


[24]

Na´sobnost korˇene

Komplexneˇ sdruzˇene´ korˇeny

Pozorovańı´: Vsˇechna cˇ´ısla αi v prˇedchozı´m vzorci (v rozkladu na korˇenove´ cˇinitele) jsou korˇeny polynomu p.

Polynomy s rea´lny´mi koeficienty ne vzˇdy majı´ jen rea´lne´ korˇeny. Komplexnı´ korˇeny se ovsˇem v takove´m prˇ´ıpadeˇ vyskytujı´ v pa´rech:

Pozorovańı´: Pocˇet korˇenovyćh cˇinitelu˚ v prˇedchozı´m vzorci je roven stupni polynomu.

Tvrzenı´: Je-li α ∈ C korˇen polynomu p s rea´lny´mi koeficienty, pak α (komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo k cˇ´ıslu α ) je take´ korˇen polynomu p, dokonce stejne´ na´sobnosti.

Definice: Na´sobnost korˇene α je pocˇet vy´skytu˚ cˇ´ısla α v korˇenovyćh cˇinitelıćh v rozkladu na korˇenove´ cˇinitele. Pozorovańı´: Kazˇdy´ polynom ma´ tolik korˇenu˚, kolik je jeho stupenˇ. Kazˇdy´ korˇen ovsˇem zapocˇ´ıta´me tolikra´t, kolik cˇinı´ jeho na´sobnost. Pozorovańı´: Konstanta K v rozkladu na korˇenove´ cˇinitele je rovna koeficientu an.

Procˇ je α korˇen? Platı´ p(α ) = a0 + a1 α + a2 α 2 + · · · + anα n = = a0 + a1 α + a2 α 2 + · · · + an α n = = a0 + a1 α + a2 α 2 + · · · + anα n = p(α ) = 0 = 0.

Procˇ majı´ α a α stejnou na´sobnost? Soucˇin (x− α )⋅(x− α ) je polynom s rea´lny´mi koeficienty (propocˇ´ıtejte si to).


[25]


[29]

Rea´lny´ rozklad

Polynom nad teˇlesem

Dvojici korˇenovyćh cˇinitelu˚ (x − α ) a (x − α ) mu˚zˇeme rozna´sobit a dosta´va´me kvadraticky´ polynom s rea´lny´mi koeficienty

Cˇ´ıselne´ obory Q, R a C jsou prˇ´ıklady takzvanyćh teˇles (o tom promluvı´me podrobneˇji pozdeˇji). Teˇleso zde znacˇ´ım pı´smenem T.

(x − α ) ⋅ (x − α ) = x2 + β x + γ .

Pokud polynom ma´ koeficienty jen z T a definicˇnı´ obor je take´ z T (tj. za forma´lnı´ promeˇnnou x dosazujeme jen cˇ´ısla z T), pak hovorˇ´ıme o polynomu nad teˇlesem T.

Nahradı´me-li vsˇechny takove´ pa´ry korˇenovyćh cˇinitelu˚ jejich soucˇiny, dosta´va´me v prˇ´ıpadeˇ polynomu s rea´lny´mi koeficienty: • soucˇin korˇenovyćh cˇinitelu˚ s rea´lny´mi korˇeny na´sobeny´ • soucˇinem kvadratickyćh polynomu˚, ktere´ nemajı´ rea´lne´ korˇeny. Rea´lny´ rozklad ma´ obecneˇ tvar p(x) = c ⋅ (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αk )(x + β1 x + γ1 ) · · · (x + βm x + γm ) 2

2


Definice: Polynom p nad teˇlesem T je ireducibilnı´ v T, pokud jej nenı´ mozˇne´ rozlozˇit na soucˇin polynomu˚ r, s nad T stupneˇ asponˇ prvnı´ho. Takzˇe nemu˚zˇe platit p = r ⋅ s. Pokud je mozˇne´ polynom vy´sˇe zmıńeˇny´m zpu˚sobem rozlozˇit, rˇ´ıka´me mu reducibilnı´ v T.

[26]


[30]

2

Rea´lny´ rozklad s na´sobnostmi

Prˇı´klad: Polynom x + 1 je ireducibilnı´ v R.

Zapı´sˇeme-li v rea´lne´m rozkladu vıćena´sobne´ korˇenove´ cˇinitele pomocı´ mocnin a stejneˇ tak opakovane´ kvadraticke´ polynomy pomocı´ mocnin, dosta´va´me rozklad: p(x) = c (x − α1 )u1 · · · (x − αk )uk ⋅ (x2 + β1 x + γ1 )v1 · · · (x2 + βm x + γm )vm Takovy´ rozklad se cˇasto pouzˇ´ıva´, • aby se vy´pocˇet obesˇel bez pouzˇitı´ komplexnıćh cˇ´ısel a • aby explicitneˇ pocˇ´ıtal s mozˇnostı´ vy´skytu vıćena´sobnyćh korˇenu˚ (naprˇ. integra´l raciona´lnı´ lomene´ funkce).

Prˇı´klad: Polynom x2 + 1 je reducibilnı´ v C, protozˇe x2 + 1 = (x + i) ⋅ (x − i). Prˇı´klad: V C jsou ireducibilnı´ pouze polynomy stupneˇ nejvy´sˇe prvnı´ho. To zarucˇuje za´kladnı´ veˇta algebry. Prˇı´klad: Polynom x2 − 2 √ je ireducibilnı √ ´ v Q, ale je reducibilnı´ v R i C, protozˇe x2 − 2 = (x − 2) ⋅ (x + 2) a to jsou polynomy stupneˇ asponˇ prvnı´ho nad R i nad C, ale ne nad Q. Prˇı´klad: Rozklad na korˇenove´ cˇinitele je rozklad na soucˇin ireducibilnıćh polynomu˚ v C. Prˇı´klad: Rea´lny´ rozklad je rozklad na soucˇin ireducibilnıćh polynomu˚ v R.


[27]

[1]

Parcia´lnı´ zlomky Veˇta: Necht’ St p < St q a α je k na´sobny´m korˇenem polynomu q. Oznacˇme q = (x − α )k ⋅ q1 . Pak existuje a ∈ C a polynom p1 takovy´, zˇe St p1 < St q − 1 a p(x) p1(x) a + = q(x) (x − α )k (x − α )k−1 q1 (x)

∀ x ∈ C takove´, zˇe q(x) 6= 0

Linea´rnı´ prostor • je mnozˇina L jakyćhkoli objektu˚ s operacemi + a ⋅

Du˚kaz: Protozˇe α je k-na´sobny´m korˇenem q, platı´ q1 (α ) 6= 0. Dokazovana´ rovnost je ekvivalentnı´ s p(x) = a ⋅ q1 (x) + p1 (x) ⋅ (x − α ). Po dosazenı´ α → x je p(α ) = a ⋅ q1 (α ), tj. a = p(α )/q1 (α ). Polynom p(x) − a ⋅ q1 (x) ma´ stupenˇ nejvy´sˇe roven max(St p, St q1 ) a ma´ korˇen α . Deˇlenı´ jeho korˇenovy´m cˇinitelem vycha´zı´ tedy beze zbytku a vy´sledkem deˇlenı´ je polynom p1. Jeho stupenˇ je tedy asponˇ o jednicˇku mensˇ´ı nezˇ max(St p, St q1 ) a je tedy mensˇ´ı nezˇ St q − 1.

• objekty lze scˇ´ıtat mezi sebou, soucˇet je take´ objekt z mnozˇiny L • objekt lze na´sobit konstantou, na´sobek je take´ objekt z L • operace scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ splnˇujı´ tzv. axiomy linearity

a) algebra-all, 2, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) BI-LIN, algebra-all, 1, P. Olsˇa´k

[28]

Prˇı´klady

je du˚sledek prˇedchozı´ veˇty:

• Funkce

Rea´lny´ rozklad na parcia´lnı´ zlomky: ku k2 ai,k2 ai,ku p(x) k1 ai,k1 =∑ + +∑ + ···+ ∑ i i q(x) i=1 (x − α1) i=1 (x − α2 ) (x − αr )i i=1 m1

m2

mv

bi,m1 x + ci,m1 bi,m x + ci,m2 bi,m x + ci,mv +∑ 2 2 + ··· + ∑ 2 v 2 + β x + γ )i i (x (x + β γ (x + βs x + γs )i x + ) 1 1 2 2 i=1 i=1 i=1

+∑


Rozklad na parcia´lnı´ zlomky ak−1 a1 ak p2 (x) p(x) + + ··· + = + = q(x) (x − α )k (x − α )k−1 (x − α ) q1 (x) ku k2 k1 ai,k2 ai,ku ai,k1 +∑ + ··· + ∑ =∑ i i ) ) (x − α (x − α (x − αr)i 1 2 i=1 i=1 i=1

L

• Polynomy • Usporˇa´dane´ n-tice cˇ´ısel • Orientovne´ u´secˇky • Nekonecˇne´ posloupnosti • Rea´lna´ cˇ´ısla samotna´ • Komplexnı´ cˇ´ısla • ...

[2]


[3]

[7]


Definice linea´rnı´ho prostoru

Neobvykly´ linea´rnı´ prostor

Linea´rnı´m prostorem nazy´va´me kazˇdou nepra´zdnou mnozˇinu L, na ktere´ je definovańo scˇ´ıtańı´ + : L × L → L a na´sobenı´ rea´lny´m cˇ´ıslem ⋅ : R × L → L a tyto operace splnˇujı´ pro kazˇde´ − → → → x ∈ L, − y ∈ L, − z ∈ L, α ∈ R, β ∈ R vlastnosti: − → → → → (1) x + − y =− y +− x − → − → − → → → → (2) ( x + y ) + z = − x + (− y +− z) − → − → (3) α ⋅ (β ⋅ x ) = (αβ ) ⋅ x → → → → (4) α ⋅ (− x +− y)=α ⋅− x +α ⋅− y − → − → − → (5) (α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x → → (6) 1 ⋅ − x =− x → → → → (7) existuje − o ∈ L, zˇe pro kazˇde´ − x ∈ L je 0 ⋅ − x =− o

• Mnozˇina: R+ , operace: ⊕ : R+ × R+ → R+ , ⊙ : R × R+ → R+ x ⊕ y = x ⋅ y,

α ⊙ x = xα

Prvky linea´rnı´ho prostoru nazy´va´me vektory. Rea´lne´mu cˇ´ıslu → v kontextu na´sobenı´ ⋅ : R × L → L rˇ´ıka´me skala´r. Prvku − o ∈L z vlastnosti (7) rˇ´ıka´me nulovy´ prvek nebo nulovy´ vektor. BI-LIN, algebra-all, 2, P. Olsˇa´k

[4]

[8]


Jednoduche´ vlastnosti

Linea´rnı´ podprostor

→ Pro nulovy´ prvek − o linea´rnı´ho prostoru L platı´ vlastnosti: − → − → → → (1) x + o = − x ∀− x ∈ L, − → − → ∀ α ∈ R, (2) α ⋅ o = o → → → → → (3) Necht’ − x ∈ L. Je-li α ⋅ − x =− o a α ≠ 0, pak − x =− o.

je podmnozˇina M linea´rnı´ho prostoru L, ktera´ je sama se stejny´mi operacemi linea´rnı´m prostorem. Vlastnosti (1) azˇ (7) jsou zarucˇeny, protozˇe tyte´zˇ operace „pracujı´ “ v L. Nemusı´ by´t ale splneˇna uzavrˇenost operacı´, tedy:


Definice: Necht’ L je linea´rnı´ prostor s operacemi „+“ a „⋅“. Nepra´zdnou mnozˇinu M ⊆ L nazy´va´me linea´rnı´m podprostorem pro→ → storu L, pokud pro vsˇechna − x ∈ M, − y ∈ M a α ∈ R platı´: − → − → (1) x + y ∈ M, → x ∈ M. (2) α ⋅ −

[5]

[9]


Co nenı´ linea´rnı´m prostorem

Prˇı´klady linea´rnıćh podprostoru ˚

• Kvu˚li operacı´m: (a, b) + (c, d) = (a + d, c + b), . . .

• Polynomy v linea´rnı´m prostoru funkcı´

• Kvu˚li mnozˇineˇ: mnozˇina nenulovyćh funkcı´, . . .

• Polynomy nejvy´sˇe druhe´ho stupneˇ v linea´rnı´m prostoru polynomu˚ • Podmnozˇiny z R3 : M = {(x, y, z); x + 2y = 0, z libovolne´ } N = {(x, y, z); 2x + y − z = 0} ANO, S = {(x, y, z); 2x + y − z = 3} NE.

ANO,

• Orientovane´ u´secˇky ve spolecˇne´ rovineˇ procha´zejıćı´ bodem O, • Orientovane´ u´secˇky ve spolecˇne´ prˇ´ımce procha´zejıćı´ bodem O.


[6]


[10]

Konecˇne´ linea´rnı´ prostory (nad R)

Pru ˚ nik a sjednocenı´ podprostoru ˚

Jednobodovy´ prostor (tzv. trivila´lnı´, obsahuje jen nulovy´ vektor)

• Pru˚nik podprostoru˚ stejne´ho lin. prostoru je vzˇdy podprostor,

ALE: Neexistuje konecˇny´ linea´rnı´ prostor s asponˇ dveˇma vektory.

• sjednocenı´ podprostoru˚ stejne´ho lin. prostoru nemusı´ by´t podprostor.

[1]


[5]

Linea´rnı´ za´vislost, linea´rnı´ neza´vislost → → → Definice: Skupina vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je linea´rneˇ za´visla´, pokud existuje jejich netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace rovna nulove´mu vektoru. → → → Skupina vektoru˚ − x ,− x ,...,− x je linea´rneˇ neza´visla´, pokud nee-

Linea´rnı´ (ne)za´vislost

1

2

n

xistuje jejich netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace rovna nulove´mu vektoru, tedy pokud jedineˇ jejich trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je rovna nulove´mu vektoru, neboli pokud z rovnosti

Skupiny, resp. mnozˇiny, vektoru˚ mohou by´t linea´rneˇ za´visle´ nebo linea´rneˇ neza´visle´. . .

→ → → → α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − xn=− o nutneˇ plyne α1 = α2 = · · · = αn = 0.


L


[2]


Odecˇı´tańı´ vektoru ˚ , asociativita

Prˇı´klady

→ → Mı´sto, abychom psali zdlouhaveˇ: − x + (−1) ⋅ − y , pı´sˇeme strucˇneˇji − → − → x − y. → → → Vektoru −− y = (−1) ⋅ − y rˇ´ıka´me opacˇny´ vektor k vektoru − y.

• v R3 jsou vektory (1, 2, 3), (5, 7, 8), (3, 3, 2) linea´rneˇ za´visle´

→ → → Pozorovańı´: − x −− x =− o , protozˇe − → → → → → → → x −− x =1⋅− x + (−1)− x = (1 + (−1)) ⋅ − x =0⋅− x =− o. → → → → → → Dalsˇ´ı zkraćenı´ za´pisu: Protozˇe (− x +− y )+− z =− x +(− y +− z ), tj. neza´lezˇ´ı na porˇadı´ prova´deˇnı´ operacı´, budeme nada´le za´vorky vynecha´vat → → → a psa´t jen − x +− y +− z.

[6]

• v R3 jsou vektory (1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2) linea´rneˇ neza´visle´. • v prostoru rea´lnyćh funkcı´ jsou vektory sin(x), cos(x), ex linea´rneˇ neza´visle´. • v prostoru rea´lnyćh funkcı´ jsou vektory sin2 x, cos2 x, 3 linea´rneˇ za´visle´. • v prostoru polynomu˚ jsou vektory x2 + x + 1, x + 2, x2 − 1 liena´rneˇ za´visle´. Vsˇechny prˇ´ıklady si oveˇrˇte podle definice.


[3]


[7]

Linea´rnı´ kombinace

Jiny´ pohled na linea´rnı´ za´vislost

Vcˇe, co s vektory mu˚zˇeme deˇlat je:

→ → → Tvrzenı´: Vektory − x 1, − x 2, . . . , − x n jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ existuje asponˇ jeden z nich, ktery´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnıćh.

• na´sobit je konstantou

Du˚kaz. 1. necht’ jsou lin. za´visle´. Pak existuje jejich netrivia´lnı´ lin. kombinace rovna nulove´mu vektoru, tj. asponˇ jeden koeficient je nenulovy´, vydeˇlenı´m tı´mto koeficientem a prˇenosem vektoru na druhou stranu rovnosti zjisˇt’ujeme, zˇe vektor je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnıćh.

• scˇ´ıtat je mezi sebou, neboli: • tvorˇit linea´rnı´ kombinace. → → → Definice: Lina´rnı´ kombinace vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je vektor: → → → xn α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − Rea´lna´ cˇ´ısla α1, α2, . . . , αn se nazy´vajı´ koeficienty linea´rnı´ kombinace.


[4]

2. necht’ existuje jeden vektor, ktery´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnıćh. Prˇeneseme jej na druhou stranu rovnosti (odecˇteme jej) a ma´me netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinaci rovnou nulove´mu vektoru.


[8]

Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace

Procvicˇovańı´ pochopenı´ definice

Definice: Ma´-li linea´rnı´ kombinace vsˇechny koeficienty nulove´, rˇ´ıka´me ji trivia´lnı´. Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace vypada´ takto:

• Linea´rnı´ (ne)za´vislost nenı´ podmıńeˇna porˇadı´m vektoru˚ ve skupineˇ.

→ → → 0− x 1 + 0− x 2 + · · · + 0− xn

• Skupina vektoru˚, v nı´zˇ se neˇktery´ vektor opakuje, je linea´rneˇ za´visla´.

Ma´-li linea´rnı´ kombinace asponˇ jeden koeficient nenulovy´, rˇ´ıka´me ji netrivia´lnı´. Pozorovańı´: Trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je rovna nulove´mu vektoru. → → → Plyne to z axiomu (7) a z tvrzenı´, zˇe − x +− o =− x.

• Skupina vektoru˚ obsahujıćı´ nulovy´ vektor je linea´rneˇ za´visla´. • Skupina dvou vektoru˚ je linea´rneˇ za´visla´ pra´veˇ kdyzˇ jeden je na´sobkem druhe´ho. • Prˇidańı´m vektoru do linea´rneˇ za´visle´ skupiny se jejı´ za´vislost nezmeˇnı´. • Odebrańı´m vektoru z linea´rneˇ neza´visle´ skupiny se jejı´ neza´vislost nezmeˇnı´.

[9]



[13]

Za´vislost orientovanyćh u ´ secˇek

Geometricka´ prˇedstava linea´rnı´ho obalu

• Dveˇ orientovane´ u´secˇky jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ prˇ´ımce.

Prˇedpokla´dejme vektory z mnozˇiny orientovanyćh u´secˇek se spolecˇny´m pocˇa´tkem O.

• Trˇi orientovane´ u´secˇky jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ.

• Linea´rnı´ obal jednoho nenulove´ho vektoru je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcıćh ve spolecˇne´ prˇ´ımce.

• Cˇtyrˇi orientovane´ u´secˇky jsou za´visle´ vzˇdy.

• Linea´rnı´ obal dvou linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚ je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcıćh ve spolecˇne´ rovineˇ. • Linea´rnı´ obal trˇ´ı linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚ je mnozˇina vsˇech orientovanyćh u´secˇek. • Linea´rnı´ obal (libovolneˇ mnoha) vektoru˚ lezˇ´ıcich ve spolecˇne´ rovineˇ je mnozˇina vsˇech vektoru˚ lezˇ´ıcıćh v te´to rovineˇ.


[10]


[14]

Za´vislost nekonecˇnyćh mnozˇin vektoru ˚

Obal obalu

Pravidlo: V algebrˇe pracujeme jen s konecˇny´mi linea´rnı´mi kombinacemi, tj. scˇ´ıtancu˚ je vzˇdy konecˇneˇ mnoho.

Veˇta: 〈〈M〉〉 = 〈M〉, neboli: linea´rnı´ obal linea´rnı´ho obalu uzˇ nenı´ veˇtsˇ´ı nezˇ pu˚vodnı´ linea´rnı´ obal.

• Nekonecˇna´ mnozˇina M vektoru˚ je linea´rneˇ za´visla´, pokud existuje jejich konecˇna´ linea´rneˇ za´visla´ podmnozˇina, tj. existujı´ vek→ → → tory − x 1, − x 2, . . . , − x n z mnozˇiny M tak, zˇe jsou linea´rneˇ za´visle´. • Nekonecˇna´ mnozˇina M vektoru˚ je linea´rneˇ neza´visla´, pokud kazˇda´ jejı´ konecˇna´ podmnozˇina je linea´rneˇ neza´visla´, jiny´mi slovy neexistuje linea´rneˇ za´visla´ konecˇna´ podmnozˇina. Jesˇteˇ jinak: neexistuje zˇa´dny´ vektor z M, ktery´ by se rovnal konecˇne´ linea´rnı´ kombinaci ostatnıćh vektoru˚.


Du˚kaz: Linea´rnı´ kombinace linea´rnıćh kombinacı´ vektoru˚ z M je po vyuzˇitı´ distributivnı´ho za´kona rovna prˇ´ımo linea´rnı´ kombinaci vektoru˚ z M (rozepisˇte si to).

[11]


[15]

Prˇı´klad nekonecˇne´ lin. neza´visle´ mnozˇiny

Obal je podprostor

Mnozˇina polynomu˚ {1, x, x2, x3, x4, . . .} je linea´rneˇ neza´visla´.

(1) Je-li P linea´rnı´m obalem neˇjake´ mnozˇiny M, je P linea´rnı´ podprostor. (2) P je linea´rnı´ podprostor pra´veˇ tehdy, kdyzˇ 〈P〉 = P. (3) Linea´rnı´ obal mnozˇiny M je nejmensˇ´ı linea´rnı´ podprostor obsahujıćı´ M. Du˚kazy: (1) Soucˇet prvku˚ z obalu zu˚sta´va´ v obalu a α -na´sobek take´. Protozˇe linea´rnı´ kombinace lin. kombinacı´ je prˇ´ımo lin. kombinace. (2) Je-li P linea´rnı´ podprostor, pak vsˇechny linea´rnı´ kombinace prvku˚ z P zu˚sta´vajı´ v P, takzˇe 〈P〉 = P. Obraćeneˇ: viz (1), stacˇ´ı zvolit M = P. (3) Necht’ P = 〈M〉 a Q je podprostor obsahujıćı´ M, tedy M ⊆ Q. Je P = 〈M〉 ⊆ 〈Q〉 = Q, takzˇe je P nejmensˇ´ı.


[12]


[16]

Linea´rnı´ obal

Rozsˇı´rˇenı´ linea´rneˇ neza´visle´ mnozˇiny

→ → → Definice: Linea´rnı´ obal vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n je mnozˇina vcˇech jejich linea´rnıćh kombinacı´, tedy

Veˇta: Je-li N linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ a z 6∈ 〈N〉, pak → N ∪ {− z } je linea´rneˇ neza´visla´. → Du˚kaz: Sporem. Necht’ N ∪ {− z } je linea´rneˇ za´visla´. Pak existuje → → → konecˇneˇ mnoho − x ,− x ,...,− x ∈ N tak, zˇe

→ → → x 1 + α2 − x 2 + · · · + αn− {α1− x n; α1, α2 , . . . , αn ∈ R}

→ → → → → → Linea´rnı´ obal vektoru˚ − x 1, − x 2, . . . , − x n znacˇ´ıme 〈− x 1, − x 2, . . . , − x n〉. Linea´rnı´ obal (konecˇne´ nebo nekonecˇne´) mnozˇiny vektoru˚ M je mnozˇina vsˇech konecˇnyćh linea´rnıćh kombinacı´ vektoru˚ z mnozˇiny M. Linea´rnı´ obal mnozˇiny M znacˇ´ıme 〈M〉. Pozorovańı´: M ⊆ 〈M〉.

1

2

n

→ → → → → α1− x 1 + α2 − x 2 + · · · + αn− z =− o, x n + αn+1 − a prˇitom asponˇ jedno αi je nenulove´. Kdyby byla αn+1 = 0, ma´me netrivia´lnı´ lin. kombinaci vektoru˚ neza´visle´ mnozˇiny N rovnu nulove´mu vektoru a to nenı´ mozˇne´. Takzˇe musı´ αn+1 6= 0. Po vydeˇlenı´ → → z na druhou stranu rovnosti je − z linea´rnı´ komαn+1 a prˇevedenı´ − binacı´ vektoru˚ z N, cozˇ je ve sporu s tı´m, zˇe z 6∈ 〈N〉.


[17]


Redukce lin. neza´visle´ mnozˇiny

Existence ba´ze

Veˇta: Mnozˇina N je linea´rneˇ neza´visla´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ kazˇda´ jejı´ vlastnı´ podmnozˇina ma´ mensˇ´ı obal. → Du˚kaz: Necht’ N je neza´visla´. Necht’ N ′ ⊂ N. Vektor − z ∈ N \ N′

Veˇta:

nenı´ lin. kombinacı´ prvku˚ z N ′ , protozˇe jinak by N byla za´visla´. → Nemu˚zˇe tedy 〈N〉 = 〈N ′ 〉, protozˇe v takove´m prˇ´ıpadeˇ je − z ∈ 〈N ′ 〉. → Necht’ N je za´visla´. Existuje jeden vektor − z , ktery´ je lin. kombinacı´ ostatnıćh. Jeho odebrańı´m vznika´ N ′ , ktera´ ma´ stejny´ lin. obal.

[4]

• Kazˇdy´ netrivia´lnı´ linea´rnı´ prostor ma´ ba´zi. • Kazˇda´ linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina se da´ doplnit na ba´zi. • V kazˇde´ mnozˇineˇ, pro kterou 〈M〉 = L, se da´ najı´t podmnozˇina, ktera´ tvorˇ´ı ba´zi L. Du˚kaz: opı´ra´ se o axiom vy´beˇru. Du˚kaz najdete ve druhe´m vydańı´ linal2.pdf, ale nebudu jej pozˇadovat ke zkousˇce. Pozorovańı´: Je-li ba´ze konecˇna´, pak se da´ lin. neza´visla´ mnozˇina doplnit na ba´zi postupny´m prˇida´vańı´m vektoru˚ z vneˇjsˇku linea´rnı´ho obalu (pouzˇije se veˇta ze slı´du [16]).

[1]


[5]

Stejny´ pocˇet prvku ˚ v ba´zi Veˇta 1: Dveˇ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru majı´ stejny´ pocˇet prvku˚.

Ba´ze

Du˚kaz: pomocı´ tzv. Steinitzovy veˇty o vy´meˇneˇ: Veˇta (Steintz): Necht’ M je libovolna´ mnozˇina, N je konecˇna´ linea´rneˇ neza´visla´ mnozˇina vektoru˚ tak, zˇe N ⊆ 〈M〉. Pak lze z mnozˇiny M odebrat tolik vektoru˚, kolik jich je v N, a prˇidat tam vsˇechny vektory z N. Noveˇ vznikla´ mnozˇina ma´ stejny´ linea´rnı´ obal jako 〈M〉. (Du˚kaz Steintzovy veˇty: viz linal.pdf.)

• Kazˇdy´ linea´rnı´ (pod)prostor ma´ svou ba´zi • Vzhledem ke zvolene´ ba´zi urcˇujeme sourˇadnice vektoru˚. . .

Du˚kaz veˇty 1: Necht’ B1 a B2 jsou dveˇ ba´ze. Protozˇe B1 je lin. neza´visla´ a B1 ⊆ 〈B2 〉, ma´ podle Steinitzovy veˇty B1 nejvy´sˇe tolik vektoru˚ jako B2 . Je take´ B2 lin. neza´visla´ a B2 ⊆ 〈B1 〉, takzˇe pocˇet vektoru˚ je stejny´.


L


[2]


[6]

Definice ba´ze

Dimenze

Definice: Mnozˇina vektoru˚ B je ba´ze linea´rnı´ho prostoru L, pokud

Definice: Pocˇet prvku˚ ba´ze linea´rnı´ho prostoru L je dimenze L, znacˇ´ıme dim L.

(1) B je linea´rneˇ neza´visla´, (2) 〈B〉 = L.

Pozorovańı´: Prˇedchozı´ veˇta na´m zarucˇuje, zˇe definice ma´ smysl. Prˇı´klady:

Podobneˇ definujeme ba´zi linea´rnı´ho podprostoru P ⊆ L.

• dim Rn = n, • dimenze prostoru polynomu˚ je ∞, • dimenze prostoru orientovanyćh u´secˇek je 3, • dim. podprostoru orientovanyćh u´secˇek ve spolecˇne´ rovineˇ je 2, • dim. podprostoru orientovanyćh u´secˇek ve spolecˇne´ prˇ´ımce je 1,


[3]

Prˇı´klady ba´zı´


[7]

Dimenze podprostoru

• {(1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2)} je ba´ze R3 .

Dimenze podprostoru je mensˇ´ı nebo rovna dimenzi prostoru.

• {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je take´ ba´ze R . 3

(Du˚kaz: Ba´zi podprostoru lze doplnit na ba´zi prostoru.)

• {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} je ba´ze R . n

• libovolne´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ orientovane´ u´secˇky tvorˇi ba´zi linea´rnı´ho prostoru vsˇech orientovanyćh u´secˇek. • libovolne´ dveˇ linea´rneˇ neza´visle´ orientovane´ u´secˇky v rovineˇ tvorˇ´ı ba´zi linea´rnı´ho podprostoru orientovanyćh u´secˇek lezˇ´ıcıćh v te´to rovineˇ. • Mnozˇina {1, x, x2, x3, . . .} tvorˇ´ı ba´zi lin. prostoru vsˇech polynomu˚. Pozorovańı´: Jeden linea´rnı´ (pod)prostor ma´ vıće ba´zı´, vsˇechny majı´ spolecˇnou vlastnost: majı´ stejny´ pocˇet prvku˚. (To doka´zˇeme za chvı´li.)

V prˇ´ıpadeˇ konecˇne´ dimenze a vlastnı´ho podporostoru je dimenze podprostoru mensˇ´ı. (Du˚kaz: K ba´zi podprostoru prˇida´me vektor z vneˇjsˇku podprostoru. Tı´m zu˚stane mnozˇina lin. neza´visla´. Prˇ´ıpadneˇ ji doplnı´me na ba´zi prostoru.) Podmıńka konecˇnosti dimenze je nutna´: Naprˇ´ıklad prostor polynomu˚, i podprostor 〈1, x2, x4, . . .〉 majı´ stejnou dimenzi ∞.


[8]


Rovnost obalu ˚

Standardnı´ ba´ze v R

→ → → → → → Dva obaly 〈U〉 = 〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 a 〈V〉 = 〈− v 1, − v 2, . . . , − v n〉 se rovnajı´, pra´veˇ kdyzˇ

je ba´ze ((1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)).

→ → → → → → dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n, − v 1, − v 2, . . . , − v n〉 = dim〈U〉 = dim〈V〉. Du˚kaz*: Necht’ 〈U〉 = 〈V〉, Pak U ⊆ 〈U〉, V ⊆ 〈V〉 = 〈U〉, takzˇe U ∪ V ⊆ 〈U ∪ V〉 = 〈V〉 = 〈U〉, tj. dim〈U ∪ V〉 = dim〈V〉 = dim〈U〉.

[12]

n

Ma´ zajı´mavou vlastnost: vzhledem k nı´ ma´ vektor − → x = (x1, x2, . . . , xn) sourˇadnice (x1, x2, . . . , xn). Protozˇe (x1 , x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 1).

Necht’ nynı´ dim〈U ∪ V〉 = dim〈V〉 = dim〈U〉. Protozˇe 〈U〉 ⊆ 〈U ∪ V〉, ale majı´ stejne´ dimenze, musı´ se podprostor 〈U〉 rovnat linea´rnı´mu prostoru 〈U ∪ V〉.


[1]

[9]

Pocˇet prvku ˚ linea´rneˇ neza´visle´ mnozˇiny Necht’ dim L = n, M ⊆ L, pocˇet prvku˚ M je m. Potom: • Je-li M lin. neza´visla´, pak m ≤ n.

Linea´rnı´ zobrazenı´

• Je-li m > n, pak je M linea´rneˇ za´visla´. • Je-li m = n a M je neza´visla´, pak 〈M〉 = L. • Je-li m = n a 〈M〉 = L, pak M je neza´visla´. • Je-li M je neza´visla´ a 〈M〉 = L, pak m = n.

• Zachova´va´ operace + a ⋅ linea´rnı´ho postoru. • Prˇena´sˇ´ı vztahy mezi vektory jednoho prostoru do druhe´ho.


L

. Viz p. d. 4/2010

[10]


[2]

Sourˇadnice vektoru vzhledem k ba´zi

Zobrazenı´ (zatı´m ne nutneˇ linea´rnı´)

Na co ma´me ba´zi? Abychom vzhledem k nı´ mohli prˇideˇlit kazˇde´mu vektoru usporˇa´danou n-tici cˇ´ısel, tzv. sourˇadnice vektoru. → Definice: Sourˇadnice vektoru − x vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi − → − → − → b 1, b 2 , . . . , b n jsou usporˇa´dana´ n-tice rea´lnyćh cˇ´ısel α1 , α2 , . . . , αn takova´, zˇe − → − → − → − → x = α1 b 1 + α2 b 2 + · · · + αn b n.

• prˇirˇazuje kazˇde´mu prvku x jedne´ mnozˇiny (L1 ) jednoznacˇneˇ prvek y mnozˇiny druhe´ (L2 ). Znacˇ´ıme a : L1 → L2.

→ Existence sourˇadnic pro kazˇdy´ − x ∈ L? Protozˇe 〈B〉 = L.

• prvku x zobrazenı´ A prˇirˇadı´ prvek y, ktery´ nazy´va´me hodnota zobrazenı´ v bodeˇ x nebo obraz prvku x a znacˇ´ıme jej A(x). Mluvı´me-li o obrazu prvku x, pak prvek x nazy´va´me vzor. • mnozˇineˇ M ⊆ L1 zobrazenı´ A prˇirˇadı´ mnozˇinu hodnot A(M). • zobrazenı´ je proste´ (injektivnı´), pokud kazˇdy´m dveˇma ru˚zny´m vzoru˚m prˇirˇadı´ ru˚zne´ obrazy.

Jednoznacˇnost sourˇadnic? Protozˇe B je linea´rneˇ neza´visla´.

• zobrazenı´ je na L2 (surjektivnı´), pokud kazˇdy´ prvek v L2 ma´ svu˚j vzor. • zobrazenı´ je bijektivnı´, je-li proste´ a na.


[11]


[3]

Prˇı´klady

Definice linea´rnı´ho zobrazenı´

→ Vzhledem k ba´zi ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ma´ vektor − x = (a, b, c) sourˇadnice (a, b, c).

Zobrazenı´ A : L1 → L2 je linea´rnı´ (homomorfismus), pokud jsou L1 a L2 linea´rnı´ prostory a pokud zobrazenı´ „zachova´va´ operace“, tj. → → ∀− x ,− y ∈ L1 , ∀α ∈ R je:

Vzhledem k ba´zi (1, x, x2) ma´ vektor ax2 + bx + c sourˇadnice (c, b, a). Vzhledem k ba´zi x2 + 2, 2x, x − 1 ma´ vektor ax2 + bx + c sourˇadnice: −2a + b + c a, , 2a − c . 2 Sourˇadnice vektoru˚ vzhledem k ba´zi v prostoru orientovanyćh u´secˇek zjistı´me geometricky.

→ → → → A(− x +− y ) = A(− x ) + A(− y ),

→ → x ) = α ⋅ A(− x ). A(α ⋅ −

Operace +, ⋅ vlevo obou rovnostı´ jsou operacemi v L1 a operace +, ⋅ vpravo jsou operacemi v L2 . Prˇı´klady: Funkce f : R → R, f (x) = ax, da´le zobrazenı´, ktere´ prˇirˇadı´ diferencovatelne´ funkci derivaci, integrovatelne´ funkci urcˇity´ integra´l, funkci posloupnost f (1), f (2), . . ., posloupnosti po cˇa´stech konstantnı´ funkci, orientovane´ u´secˇce jejı´ pru˚meˇt do roviny, vektoru sourˇadnice, . . . Zajı´mavy´ prˇ´ıklad: f : R+ → R (operace na R+ jsou x ⊕ y = xy, α ⊙ x = xα , operace na R jsou „obvykle´“), f (x) = ln(x).


[4]

Princip superpozice

Prˇı´klad A : R → R

Linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 prˇeva´dı´ linea´rnı´ kombinace vzoru˚ v L1 na linea´rnı´ kombinace obrazu˚ v L2 se stejny´mi koeficienty, tedy:

Zobrazenı´ A je v bodeˇ (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 definovańo hodnotou:

→ → → → → → x 1 + α2 − x 2 + · · · + αn− x 1 ) + α2A(− x 2) + · · · + αnA(− A(α1 − x n) x n) = α1 A(−


[8]


4

3

A(x1 , x2, x3 , x4) = = (x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 , 2x1 + x2 + 3x3 + x4, 3x1 + 3x2 + 5x3 + 5x4) Toto zobrazenı´ je zjevneˇ linea´rnı´. Najdeme jeho ja´dro, defekt a hodnost.

[5]

[9]


Zachovańı´ obalu ˚

Defekt plus hodnost

Du˚sledek principu superpozice je: A(〈M〉) = 〈A(M)〉, neboli:

Veˇta: Defekt plus hodnost linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 je rovno dimezni L1 .

• Je-li P linea´rnı´ podprostor v L1, je A(P) linea´rnı´ podprostor v L2 .

Du˚kaz (jen naćˇtr, podrobneˇ viz linal2.pdf)

• A(L1 ) je linea´rnı´ podprostor v L2.


[6]


[10]

Ja´dro linea´rnı´ho zobrazenı´

Proste´ linea´rnı´ zobrazenı´

Definice: Ja´dro linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 je podmnozˇina Ker A ⊆ L1 definovana´ vztahem

Veˇta: Linea´rnı´ zobrazenı´ je proste´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ nulovy´ defekt.

→ → → Ker A = {− x ∈ L1, A(− x)=− o }, tj. je to mnozˇina vzoru˚, ktere´ majı´ nulovy´ obraz. Veˇta: Ja´dro linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 je linea´rnı´ podprostor v L1. → → → → → → → → Du˚kaz: necht’ A(− x)=− o , A(− y)=− o . Pak A(− x +− y ) = A(− x )+ A(− y)= − → − → − → − → − → − → − → o + o = o . Da´le A(α x ) = α A( x ) = α o = o . Cvicˇenı´: Najdeˇte ja´dra drˇ´ıve zmıńeˇnyćh prˇ´ıkladu˚ lin. zobrazenı´.

Du˚kaz: Nema´-li nulovy´ defek, zjevneˇ nenı´ proste´. Ma´-li nulovy´ → → → → defekt a nenı´ proste´, odvodı´me spor. A(− x ) = A(− y ), tj. A(− x )−A(− y)= − → − → − → − → − → − → A( x − y ) = o , takzˇe v ja´dru lezˇ´ı x − y 6= o , takzˇe A nema´ nulovy´ defekt. Veˇta: Linea´rnı´ zobrazenı´ je proste´ pra´veˇ kdyzˇ linea´rneˇ neza´visle´ vzory prˇevede na linea´rneˇ neza´visle´ obrazy. Du˚kaz: Nenı´-li proste´, pak ma´ nenulovy´ defekt a netrivia´lnı´ ja´dro. Existuje tedy nenulovy´ vektor (lin. neza´visly´), ktery´ se zobrazı´ na nulovy´ vektor (lin za´visly´). Je-li proste´ a obrazy neza´vislyćh vzoru˚ jsou lin. za´visle´, pak dostaneme spor s principem superpozice (uka´zat podrobneˇji...).


[7]


[11]

Defekt a hodnost linea´rnı´ho zobrazenı´

Zobrazenı´ linea´rneˇ za´vislyćh vzoru ˚

Definice: Defekt linea´rnı´ho zobrazenı´ a : L1 → L2 je dim Ker A. Hodnost linea´rnı´ho zobrazenı´ a : L1 → L2 je dim A(L1 ).

vytvorˇ´ı vzˇdy lin. za´visly´ obraz. Stacˇ´ı pouzˇ´ıt princip superpozice.

Lapida´rneˇ: Defekt urcˇuje, kolik dimenzı´ se „ztratı´“ prˇi prˇechodu od vzoru˚ k obrazu˚m. Hodnost je dimenze podprostoru vsˇech obrazu˚. Cvicˇenı´: Najdeˇte defekty a hodnosti drˇ´ıve zmıńeˇnyćh prˇ´ıkladu˚ lin. zobrazenı´.


[12]

[1]

Izomorfismus Zobrazenı´ A : L1 → L2, ktere´ je linea´rnı´, proste´ a na L2 se nazy´va´ izomorfismus. Pozorovańı´: Izomorfismus prˇeva´dı´: • LN mnozˇiny na LN mnozˇiny (protozˇe je prosty´ a linea´rnı´),

Matice

• lin. kombinace na lin. kombinace obrazu˚ (protozˇe je linea´rnı´),

• mezi sebou scˇ´ıta´me a na´sobı´me konstantou (linea´rnı´ prostor)

• LZ mnozˇiny na LZ (protozˇe je linea´rnı´),

• meˇnı´me je na jine´ matice eliminacˇnı´ metodou

• podprostory na podprostory (protozˇe je linea´rnı´),

• na´sobı´me je mezi sebou

• linea´rnı´ obaly na linea´rnı´ obaly (protozˇe je linea´rnı´),

• ...

• ba´ze na ba´ze (protozˇe prˇeva´dı´ LN mnozˇiny na LN mnozˇiny), Izomorfismus zachova´va´ dimenze prˇevedenyćh podprostoru˚ a zarucˇ´ı, zˇe dim L1 = dim L2 (protozˇe je linea´rnı´ prosty´ a na). a) algebra-all, 6, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) BI-LIN, algebra-all, 5, P. Olsˇa´k

[13]

L


[2]

Vlastnosti izomorfismu ˚

Za´kladnı´ pojmy

• Slozˇenı´ izomorfisu je izomorfismus

Matice je tabulka cˇ´ısel s konecˇny´m pocˇtem rˇa´dku˚ a sloupcu˚.

• Inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus

Mnozˇina Rm,n je mnozˇina matic s rea´lny´mi cˇ´ısly s m rˇa´dky a n sloupci. Takovy´m maticı´m te´zˇ rˇ´ıka´me matice typu (m, n). Na jednotlive´ rˇa´dky v matici typu (m, n) mu˚zˇeme pohlı´zˇet jako na vektory z Rn a na jednotlive´ sloupce mu˚zˇeme pohlı´zˇet jako na vektory z Rm . Cˇ´ıslo na i-te´m rˇa´dku a j-te´m sloupci matice se nazy´va´ (i, j)-ty´ prvek matice a pouzˇ´ıvajı´ se pro neˇj indexy: ai,j (v tomto porˇadı´). Matice budeme znacˇit velky´m tucˇny´m pı´smenem (A, B, atd.). Nulova´ matice obsahuje same´ nuly. Cˇtvercova´ matice je matice typu (n, n).


[14]


[3]

Zobrazenı´ sourˇadnic je izomorfismus

Scˇı´tańı´ matic, na´sobenı´ matic konstantou

Je trˇeba oveˇrˇit

Mezi sebou scˇ´ıta´me jen matice stejne´ho typu. Soucˇet ma´ stejny´ typ. Na´sobek kontantou α ma´ take´ stejny´ typ jako pu˚vodnı´ matice.   a1,1 + b1,1 , a1,2 + b1,2 , . . . , a1,n + b1,n  a2,1 + b2,1 , a2,2 + b2,2 , . . . , a2,n + b2,n  , A+B= ...   am,1 + bm,1, am,2 + bm,2 , . . . , am,n + bm,n

• linearitu, • zda je toto zobrazenı´ proste´ • zda je „na“ Rn .

 α a1,1 , α a1,2 , . . . , α a1,n  α a2,1 , α a2,2 , . . . , α a2,n  α ⋅A = . ... α am,1, α am,2, . . . , α am,n 

Mnozˇina matic Rm,n s tı´mto + a ⋅ tvorˇ´ı linea´rnı´ prostor. Cvicˇenı´: Najdeˇte ba´zi a dimenzi linea´rnı´ho prostoru matic R3,2 .


[15]


[4]

Izomorfnı´ lin. prostory konecˇne´ dimenze

Modifikace matic eliminacˇnı´ metodou

Definice: Dva linea´rnı´ prostory L1 a L2 jsou izomorfnı´, existuje-li izomorfismus A : L1 → L2.

Vznikne-li matice B z matice A konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovyćh u´prav eliminacˇnı´ metody, pı´sˇeme A ∼ B. Jsou to (obecneˇ) ru ˚ zne´ matice.

Pozorovańı´: Kazˇdy´ linea´rnı´ prostor L konecˇne´ dimenze n je izomorfnı´ s Rn. Tı´m izomorfismem jsou sourˇadnice vzhledem k ba´zi.

Pozorovańı´: Je-li A ∼ B pak take´ B ∼ A. Jiny´mi slovy: kazˇda´ zmeˇna eliminacˇnı´ metodou je vratna´.

Veˇta: Kazˇde´ dva linea´rnı´ prostory stejne´ konecˇne´ dimenze jsou vza´jemneˇ izomorfnı´. (Du˚kaz plyne z vlastnostı´ izomorfismu.)

Stacˇ´ı si uveˇdomit, jak pracujı´ trˇi za´kladnı´ operace v GEM: prohozenı´ rˇ´ıdku˚, prona´sobenı´ rˇa´dku nenulovou konstantou a prˇicˇtenı´ na´sobku rˇa´dku k jine´mu.

Du ˚ lezˇite´: Z pohledu linea´rnı´ algebry (vlastnostı´ vzesˇlyćh z axiomu˚ linearity) nenı´ mezi dveˇma izomorfnı´mi linea´rnı´mi prostory zˇa´dny´ rozdı´l. Mu˚zˇeme si vybrat, ve ktere´m z teˇchto dvou linea´rnıćh prostoru˚ budeme algebraicky´ proble´m rˇesˇit. Obvykle se proble´m rˇesˇ´ı v Rn, kde mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt algoritmy souvisejıćı´ s maticemi.


[5]


Eliminace zachova´va´ obal rˇa´dku ˚

Metody ty´kajıćı´ se linea´rnıćh obalu ˚

Veˇta: Gaussova eliminacˇnı´ emtoca zachova´va´ linea´rnı´ obal rˇa´dku˚ matice.

→ → → → • − v ∈ 〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 pra´veˇ kdyzˇ

Jiny´mi slovy: je-li A ∼ B, pak linea´rnı´ obal rˇa´dku˚ matice A je roven linea´rnı´mu obalu rˇa´dku˚ matice B. Du˚kaz: Prˇehozenı´ rˇa´dku˚: lin. obal se nezmeˇnı´, to je zrˇejme´. Dalsˇ´ı dva typy opearci v GEM prˇida´vajı´ k rˇa´dku˚m linea´rnı´ kombinaci (tı´m nezmeˇnı´ linea´rnı´ obal) a odeberou jeden vektor (lin. obal se mu˚zˇe zmensˇit). On se ale nezmensˇ´ı, protozˇe eliminace je vratna´.

[9]

→ → → → → → → dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 = dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n, − v 〉. → → → → Metoda: Vektor − v lezˇ´ı v linea´rnı´m obalu vektoru˚ − u 1, − u 2, . . . , − u n, − → − → → kdyzˇ hodnost matice obsahujıćı´ v rˇa´dcıćh vektory u 1, u 2 , . . . , − un − → je stejna´ jako hodnost matice, ve ktere´ je navıć prˇidań rˇa´dek v . → → → → → → • 〈− u ,− u ,...,− u 〉 = 〈− v ,− v ,...,− v 〉 pra´veˇ kdyzˇ 1

2

n

1

2

n

→ → → → → → dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 = dim〈− v 1, − v 2, . . . , − v n〉 = − → − → − → − → − → − → = dim〈 u 1, u 2 , . . . , u n, v 1 , v 2, . . . , v n〉 Metoda: Oveˇrˇ´ıme rovnost hodnostı´ prˇ´ıslusˇnyćh matic.


[6]


[10]

Hodnost matice

Hodnost transponovane´ matice

Definice: Hodnost matice A je dimenze linea´rnı´ho obalu rˇa´dku˚ matice A. Znacˇ´ıme hod A, anglicky „rank of matrix A“.

Definice: Transponovana´ matice k matici A (znacˇ´ıme AT ) je matice, ve ktere´ jsou rˇa´dky pu˚vodnı´ matice A zapsańy do sloupcu˚.

Pozorovańı´: Gaussova eliminacˇnı´ metoda nemeˇnı´ hodnost matice, tedy je-li A ∼ B, pak hod A = hod B.

Pozorovańı´: Platı´ (AT )T = A.

Metoda pocˇı´tańı´ hodnosti: Ma´me-li spocˇ´ıtat hod A, eliminujeme A na matici B schodove´ho tvaru. Pocˇet nenulovyćh rˇa´dku˚ te´to matice je hod B a tedy i hod A. Procˇ? Neulove´ rˇa´dky v matici B tvorˇ´ı ba´zi sve´ho linea´rnı´ho obalu. Jsou totizˇ linea´rneˇ neza´visle´.


Veˇta: hod A = hod AT , jiny´mi slovy: dimenze linea´rnı´ho obalu rˇa´dku˚ matice je rovna dimenzi linea´rnı´ho obalu sloupcu˚ matice. Du˚kaz: Je-li hod A = k, pak A ma´ k linea´rneˇ neza´vislyćh rˇa´dku˚. Jejich neza´vislost lze oveˇrˇit z definice neza´vislosti, cozˇ vede na soustavu s maticı´ AT (azˇ na vynechańı´ neˇkteryćh sloupcu˚). Aby soustava meˇla jen nulove´ rˇesˇenı´, musı´ mı´t linea´rneˇ neza´visle´ rovnice. Takzˇe (po doplneˇnı´ vynechanyćh sloupcu˚) musı´ AT mı´t asponˇ k linea´rneˇ neza´vislyćh rˇa´dku˚, tedy hod A ≤ hod AT . Rovnost pak plyne z vy´sˇe uvedene´ho pozorovańı´.

[7]

[1]

Pozna´mky k hodnosti • Souvislost mezi hodnostı´ matice a hodnosti linea´rnı´ho zobrazenı´ uka´zˇeme pozdeˇji. • Metoda pocˇ´ıtańı´ hodnosti je metodou pocˇ´ıtańı´ dimenze linea´rnı´ho obalu. • Pozor: Hodnost nelze definovat pomocı´ uvedene´ metody protozˇe eliminacˇnı´ metoda nenı´ jednoznacˇny´ proces, tj. nema´me za´ruku stejne´ho pocˇtu nenulovyćh rˇa´dku˚ po provedenı´ eliminace.

Na´sobenı´ matic • je asociativnı´, nenı´ komutativnı´ • k regula´rnı´m maticı´m existujı´ inverznı´ matice

• Pozor na alternativnı´ definici: hodnost jako maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´vislyćh rˇa´dku˚. Je trˇeba si uveˇdomit, co to znamena´. • Hodnost je prˇirozene´ cˇ´ıslo, ktere´ nemusı´ by´t jednoznacˇneˇ stanoveno pro „neprˇesne´ matice“ a „neprˇesne´ vy´pocˇty“ (tzv. numericky nestabilnı´ matice). a) algebra-all, 7, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) BI-LIN, algebra-all, 6, P. Olsˇa´k

L

. Viz p. d. 4/2010

[8]


[2]

GEM zachova´va´ linea´rnı´ neza´vislost rˇa´dku ˚

Maticove´ na´sobenı´

Veˇta: Je-li A ∼ B pak A obsahuje linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky pra´veˇ tehdy kdyzˇ B obsahuje lin. neza´visle´ rˇa´dky.

Definice: Pro matice A ∈ Rm,n a B ∈ Rn,p existuje maticovy´ soucˇin A ⋅ B = C ∈ Rm,p (v tomto porˇadı´). Jednotlive´ prvky soucˇinu ci,k jsou dańy vzorcem:

Du˚kaz: Ma´-li A lin. neza´visle´ rˇa´dky, pak tvorˇ´ı ba´zi sve´ho lin. obalu, takzˇe hod A je rovna pocˇtu rˇa´dku˚ matice A. Je take´ rovna hodnosti matice B (ktera´ ma´ stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ jako matice A), takzˇe B musı´ mı´t lin. neza´visle´ rˇa´dky. Metoda oveˇrˇenı´ za´vislosti: Zapı´sˇeme zkoumane´ vektory do rˇa´dku˚ matice A a prˇevedeme na schodovity´ tvar B. Zkoumane´ vektory jsou lin. za´visle´ pra´veˇ tehdy kdyzˇ B obsahuje nulovy´ rˇa´dek.

n

ci,k = ai,1b1,k + ai,2b2,k + · · · + ai,nbn,k = ∑ ai,jbj,k . j=1

Prˇı´klad: Je-li A ∈ R3,4 a B ∈ R4,5 , pak A ⋅ B je definovańo, ale B ⋅ A nenı´ definovańo. Pozorovańı´: Aby bylo definovańo A ⋅ B, musı´ mı´t A stejny´ pocˇet sloupcu˚ jako ma´ B rˇa´dku˚. Vy´sledna´ matice ma´ tolik rˇa´dku˚, jako ma´ rˇa´dku˚ matice A a tolik sloupcu˚, jako ma´ sloupcu˚ matice B.


[3]

Prˇı´klady na´sobenı´

(1

2

1 1

Necht’ A a B jsou matice sestavene´ po blocıćh takto: B1,1 B1,2 A1,1 A1,2 , B= A= B2,1 B2,2 A2,1 A2,2

  4 3) ⋅ 5 = (1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6)

1 1

1 ⋅ −1

[7]

Blokove´ na´sobenı´

6     4 8 12 4  5  ⋅ ( 1 2 3 ) =  5 10 15  6 12 18 6 1 1 1 1 2 2 ⋅ = −1 −1 1 1 −2 −2


1 −1

=

0 0

0 0

Necht’uvedene´ bloky jsou matice takove´ho typu, zˇe na´sobenı´ matic Ai,j ⋅ Bj,k je definovańo pro vsˇechny prˇ´ıpady, ktere´ se vyskytujı´ v na´sledujıćı´m vzorci. Pak A1,1 ⋅ B1,1 + A1,2 ⋅ B2,1 A1,1 ⋅ B1,2 + A1,2 ⋅ B2,2 A⋅B= A2,1 ⋅ B1,1 + A2,2 ⋅ B2,1 A2,1 ⋅ B1,2 + A2,2 ⋅ B2,2 . . . analogicky pro jinak vytvorˇene´ bloky. Naprˇ´ıklad:

A ⋅ ( B1


B2

. . . Bp ) = ( A ⋅ B1

[4]

A ⋅ B2

. . . A ⋅ Bp )


[8]

Poznatky z prˇedchozıćh prˇı´kladu ˚:

Vy´pocˇetnı´ slozˇitost maticove´ho na´sobenı´

• Maticove´ na´sobenı´ nenı´ komutativnı´ ani pro cˇtvercove´ matice

Prˇedpokla´dejme dveˇ matice A, B ∈ Rn,n. K vy´pocˇtu A ⋅ B (podle definice) potrˇebujeme n3 operacı´ (na´sobenı´ dvou cˇ´ısel). Nedalo by se usˇetrˇit?

• Neplatı´ pravidlo: soucˇin nenulovyćh matic musı´ by´t nenulova´ matice

• Rekurzivnı´ algoritmus na´sobenı´ matic: vycha´zı´ z blokove´ho na´sobenı´. Potrˇebuje F(n) operacı´:

• Co tedy platı´? . . .

F(n) = 8F(n/2) = 8(8F(n/4)) = 8(8(8F(n/23 ))) = = · · · = 8m F(n/2m ) = 8m F(1) = = 8m = (23 )m = 23m = (2m )3 = n3 . • Rekurzivnı´ Strassenu ˚ v algoritmus: vycha´zı´ z blokove´ho na´sobenı´, ale vystacˇ´ı si se sedmi soucˇiny. Potrˇebuje F(n) operacı´: F(n) = 7F(n/2) = 7(7F(n/4)) = 7(7(7F(n/23 ))) = = · · · = 7m F(n/2m ) = 7m F(1) = . = 7m = (2log2 7)log2 n = 2log2 7 ⋅ log2 n = nlog2 7 = n2,807 . BI-LIN, algebra-all, 7, P. Olsˇa´k

[5]

Vlastnosti maticove´ho na´sobenı´:


[9]

Strassenu ˚ v algoritmus

• (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) . . . asociativnı´ za´kon

X1 = (A1 + A4 ) ⋅ (B1 + B4), X2 = (A3 + A4 ) ⋅ B1 , X3 = A1 ⋅ (B2 − B4), X4 = A4 ⋅ (B3 − B1), X5 = (A1 + A2 ) ⋅ B4 , X6 = (A3 − A1 ) ⋅ (B1 + B2), X7 = (A2 − A4 ) ⋅ (B3 + B4) Da´ se oveˇrˇit, zˇe platı´: X1 + X4 − X5 + X7 X3 + X5 B1 B2 A1 A2 = ⋅ X2 + X4 X1 − X2 + X3 + X6 B3 B4 A3 A4

• (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . . . distributivnı´ za´kon • C ⋅ (A + B) = C ⋅ A + C ⋅ B . . . distributivnı´ za´kon • α (A ⋅ B) = (α A) ⋅ B = A ⋅ (α B) . . . konstanta • (A ⋅ B)T = BT ⋅ AT . . . transponovana´ matice


[6]


[10]

Prˇı´klad: soustavy lin. rovnic

Komutujıćı´ matice

Necht’ A ∈ Rm,n.

Kdyzˇ platı´: A ⋅ B = B ⋅ A, rˇ´ıka´me, zˇe matice B komutuje s maticı´ A.    b1 x1  x2   b2     A⋅  ...  =  ...  bm xn 

Toto je soustava linea´rnıćh rovnic s m rovnicemi a n nezna´my´mi. Strucˇneˇ zapisujeme: A⋅x = b. Matice A se nazy´va´ matice soustavy, ´ kolem je nale´zt jednosloupcova´ matice b je vektor pravyćh stran. U vsˇechny jednosloupcove´ matice x, ktere´ vyhovujı´ maticove´ rovnici.

Pozorovańı´: Komutovat mohou pouze cˇtvercove´ matice stejne´ho typu. ´ loha: Je pevneˇ dańa cˇtvercova´ matice A, je trˇeba najı´t k nı´ U mnozˇinu vsˇech matic B, ktere´ komutujı´ s A. Pozorovanı´: Uvedena´ mnozˇina matic B, ktere´ komutujı´ s danou maticı´ A, tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru matic Rn,n.


[11]


Inverznı´ matice

Hodnost soucˇinu

Cˇtvercovou matici s jednicˇkami na diagona´le a nulami jinde znacˇ´ıme E a rˇ´ıka´me ji jednotkova´ matice.

Veˇta: Je-li P regula´rnı´ a platı´-li B = P ⋅ A, pak A ∼ B.

Pozorovańı´: A ⋅ E = E ⋅ A = A, analogie s cˇ´ısly: a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

Du˚kaz: P ∼ E a stejne´ kroky eliminace pouzˇijeme na (P | B), tj.: (P | B) = (P | P ⋅ A) ∼ (E | X) = P−1 (P | P ⋅ A) = (E | A),

Definice: Inverzı´ matice ke cˇtvercove´ matici A je takova´ matice B, pro kterou je A ⋅ B = B ⋅ A = E. (viz te´zˇ analogie s cˇ´ısly). Inveznı´ matici znacˇ´ıme A−1. Pozorovańı´: Pokud k matici A inverznı´ matice existuje, pak je urcˇena jednoznacˇneˇ. Du˚vod je zde: B1 = E ⋅ B1 = (B2 ⋅ A) ⋅ B1 = B2 ⋅ (A ⋅ B1) = B2 ⋅ E = B2

takzˇe A ∼ B. Veˇta: Na´sobı´me-li matici A jakoukoli regula´rnı´ maticı´, nezmeˇnı´ se hodnost. Tedy: hod A = hod(P ⋅ A). Veˇta: hod(A ⋅ B) ≤ min(hod A, hod B) Du˚kaz*: hod A = k, tj. A ∼ C, C ma´ k nenulovyćh rˇa´dku˚. Existuje tedy P regula´rnı´, zˇe A = P ⋅ C. Da´le platı´: hod(A ⋅ B) = hod(P ⋅ C ⋅ B) = hod(C ⋅ B) ≤ k.

Ota´zka: Jak pozna´me existenci inverznı´ matice k matici A?


[15]

[1]

[12]

Regula´rnı´ a singula´rnı´ matice Definice: Cˇtvercova´ matice je regula´rnı´, pokud ma´ inverznı´ matici. Cˇtvercova´ matice je singula´rnı´, pokud nema´ inverznı´ matici. Pozorovańı´: Soucˇin regula´rnıćh matic je regula´rnı´ matice. Ma´-li matice A inverznı´ matici A−1 a da´le ma´-li matice B inverznı´ matici B−1, pak inverznı´ matice k A ⋅ B je B−1 ⋅ A−1. Platı´ totizˇ: (B−1 ⋅ A−1) ⋅ (A ⋅ B) = B−1 ⋅ (A−1 ⋅ A) ⋅ B = B−1 ⋅ E ⋅ B = B−1 ⋅ B = E, (A ⋅ B) ⋅ (B−1 ⋅ A−1) = A ⋅ (B ⋅ B−1) ⋅ A−1 = A ⋅ E ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 = E.

LU rozklad • A =L⋅U • neˇkdy je trˇeba prohodit sloupce/rˇa´dky


L

. Viz p. d. 4/2010

[13]


[2]

Vy´pocˇet inverznı´ matice eliminacı´

Terminologie

Algoritmus: Ma´-li A linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky, pak existuje A−1 a lze ji vypocˇ´ıtat takto:

Definice: Cˇtvercova´ matice je hornı´ troju´helnı´kova´, pokud ma´ nenulove´ prvky soustrˇedeˇny jen v hornı´m troju´helnı´ku, jiny´mi slovy, pokud ma´ pod diagona´lou jen nulove´ prvky.

(A | E) ∼ (E | A−1) Ke zdu˚vodneˇnı´ te´to metody potrˇebujeme zave´st trˇi typy cˇtvercovyćh matic, ktere´ (pokud jimi na´sobı´me vybranou matici zleva) „emulujı´ “ jednotlive´ kroky eliminacˇnı´ metody. Soucˇin teˇchto elementa´rnıćh matic emulujıćı´ vsˇechny provedene´ kroky je matice P, pro kterou platı´:

Cˇtvercova´ matice se nazy´va´ dolnı´ troju´helnı´kova´, pokud ma´ nenulove´ prvky soustrˇedeˇny v dolnı´m troju´helnı´ku, jiny´mi slovy, pokud ma´ nad diagona´lou jen nulove´ prvky. Pozorovańı´: Cˇtvercovou matici lze prˇ´ımy´m chodem eliminacˇnı´ metody prˇeve´st na hornı´ troju´helnı´kovou matici. Schodovita´ cˇtvercova´ matice je totizˇ hornı´ troju´helnı´kova´.

Veˇta: Je-li A ∼ B, pak existuje regula´rnı´ P takova´, zˇe B = P ⋅ A.


[14]


[3]

Podmıńky regularity matice

Na co LU rozklad

Na´sledujıćı´ podmıńky jsou ekvivalentnı´ s regularitou matice A ∈ Rn,n:

Necht’ A je regula´rnı´ cˇtvercova´ matice. Prˇedpokla´dejme, zˇe se podarˇ´ı najı´t dolnı´ troju´helnı´kova´ matice L a hornı´ troju´helnı´kova´ matice U tak, zˇe A = L ⋅ U. Ma´me za u´kol rˇesˇit soustavu

• A ma´ inverznı´ matici (viz definice). • Maticova´ rovnice A ⋅ X = B ma´ rˇesˇenı´ pro kazˇdou B ∈ Rn,m. • Matice A ma´ linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky. • hod A = n. • existuje eliminacˇnı´ proces, ktery´ provede A ∼ E. • det A 6= 0 (o determinantech pohovorˇ´ıme pozdeˇji)

A⋅x=b Nahradı´me v soustaveˇ matici A soucˇinem L⋅U a oznacˇ´ıme U⋅x = z. Dosta´va´me: L ⋅ U ⋅ x = b pra´veˇ kdyzˇ L ⋅ z = b,

U ⋅ x = z.

Nejprve vyrˇesˇ´ıme soustavu L ⋅ z = b doprˇednou substitucı´ a potom dosadı´me z do prave´ strany soustavy U ⋅ x = z, kterou rˇesˇ´ıme zpeˇtnou substitucı´.


[4]


[8]

Algoritmus LU rozkladu

Proble´m

Na matici A prova´dı´me jen jeden typ eliminacˇnı´ u´pravy: prˇicˇtenı´ α -na´sobku neˇjake´ho rˇa´dku k jine´mu, ktery´ je napsań pod nı´m. Tuto u´pravu lze „emulovat“ na´sobenı´m zleva maticı´ Li , ktera´ je jisteˇ dolnı´ troju´helnı´kova´.

Prˇestozˇe A je regula´rnı´, mu˚zˇe se sta´t, zˇe beˇhem eliminace se objevı´ nulovy´ diagona´lnı´ prvek. Klasicka´ eliminace pak dovoluje prohodit rˇa´dky. To je ale emulovańo na´sobenı´m zleva permutacˇnı´ maticı´ Pi,j , ktera´ nenı´ dolnı´ troju´helnı´kova´. Vy´sledny´ soucˇin emulacˇnıćh matic pak nenı´ dolnı´ troju´helnı´kova´ matice.

A ∼ A1 = L1 A ∼ A2 = L2(L1 A) ∼ ∼ A3 = L3 (L2(L1 A)) ∼ · · · ∼ U = (Lk · · · L3 L2L1 )A Soucˇin dolnıćh troju´helnı´kovyćh matic s jednicˇkami na diagona´le je dolnı´ troju´helnı´kova´ matice s jednicˇkami na diagona´le. Inverze dolnı´ troju´helnı´kove´ matice s jednicˇkami na diagona´le je dolnı´ troju´helnı´kova´ matice s jednicˇkami na diagona´le. Takzˇe: A = (L′)−1U = LU.

L′A = U,

Je tedy trˇeba prohodit rˇa´dky matice A tak, aby nova´ matice A′ tento proble´m nemeˇla a dala se rozlozˇit na L⋅U. Necht’ P′ je vhodna´ permutacˇnı´ matice. Pak P′ ⋅ A prohazuje rˇa´dky. Prˇedpokla´dejme: A′ = P′ ⋅ A = L ⋅ U. Oznacˇme (P′ )−1 = P. To je take´ permutacˇnı´ matice. Platı´ totizˇ (P′)−1 = (P′)T . S tı´mto oznacˇenı´m dosta´va´me rozklad: A =P⋅L⋅U


[5]

Prˇı´klad


[9]

Ota´zka Necht’ A je regula´rnı´.    1 0 0 3 −5  =  −2 1 0  ⋅ A ∼ −4 0 1 −12    1 0 0 0 0 1 0  ⋅  −2 1 0  ⋅ A = L2 ⋅ L1 ⋅ A −4 0 1 −6 1      0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 ⋅ 0 1 0 = 2 1 0 0 1 0 6 1 4 6 1   1 2 3 U =  0 −1 −5 

  1 1 2 3 A = 2 3 1 ∼ 0 0 4 2 0    1 1 2 3 ∼  0 −1 −5  =  0 0 0 0 18  1 −1 2 L = L−1 1 ⋅ L2 = 4 

2 −1 −6

0

0

Pu˚jde vzˇdy najı´t takove´ prohozenı´ rˇa´dku˚ matice A, aby pak eliminace s jediny´m povoleny´m typem operace (prˇicˇtenı´ α -na´sobku rˇa´dku k rˇa´dku pod nı´m) dovedla prˇeve´st matici na hornı´ troju´helnı´kovou? Odpoveˇd’: Ano. Zdu˚vodneˇnı´: pokud narazı´me prˇi eliminaci na potrˇebu prohodit rˇa´dky, prohodı´me je ve vyćhozı´ matici A a eliminujeme znovu od zacˇa´tku. Tuto metodu „pokus-omyl“ opakujeme tak dlouho, azˇ se povede matici A s prohozeny´mi rˇa´dky eliminovat na U.

18


[6]


[10]

Jak vznika´ matice L

Prakticky´ vy´pocˇet LU rozkladu

Platı´ L = (Lk · · · L3 L2L1 )−1  1 0     0 −1 Li =    0  

se samozrˇejmeˇ nedeˇla´ metodou pokus-omyl. Koeficienty eliminacˇnıćh kroku˚ na´sobı´me −1 a ukla´da´me postupneˇ do matice L, ktera´ je na pocˇa´tku eliminace jednotkova´. Prˇi potrˇebeˇ prohodit rˇa´dky prohodı´me take´ rˇa´dky v matici L, ale necele´: prˇi prohazovańı´ k-te´ho rˇa´dku s (k + j)-ty´m v eliminovane´ matici prohodı´me v matici L tyte´zˇ rˇa´dky, ale jen po sloupec k − 1.

0

−1 −1 −1 = L−1 1 L2 L3 · · · Lk . Je:  0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... 0   ... ...   0 ... 1 ... 0 ,  ... ...  0 . . . −α . . . 0    ... ...

0 ...

0

Dalsˇ´ı vylepsˇene´ numericke´ metody LU rozkladu majı´ stejnou slozˇitost jako algoritmus pro maticove´ na´sobenı´.

... 1

kde αi je koeficient eliminacˇnı´ho kroku. Celkovy´ soucˇin matic −1 −1 −1 ´ m porˇadı´) obsahuje pod diagona´lou L−1 1 L2 L3 · · · Lk (v uvedene na odpovı´dajıćıćh mı´stech opacˇne´ hodnoty koeficientu˚ vsˇech eliminacˇnıćh kroku˚, ktere´ byly v eliminaci provedeny.


Jiny´ prˇı´klad

[7]


[11]

Shrnutı´ 

1 A = 2 4

  1 2 2 3 4 1 ∼ 0 0 0 −6 2 0

 3 −5  −12

Nelze pokracˇovat v eliminaci bez prohozenı´ rˇa´dku˚. . .

Veˇta: Ke kazˇde´ regula´rnı´ matici A existujı´ matice: • P . . . permutacˇnı´ matice, • L . . . dolnı´ troju´helnı´kova´ matice s jednicˇkami na diagona´le, • U . . . hornı´ troju´helnı´kova´ matice, tak, zˇe A = P ⋅ L ⋅ U. Pozna´mka: prˇi vy´skytu nulove´ho prvku na diagona´le lze take´ mı´sto rˇa´dku˚ prohodit sloupce. Pak se permutacˇnı´ matice Pi,j „nemıćhajı´ “ s maticemi Li, nebot’ na´sobı´ matici A zprava. Dosta´va´me pak vzorec: A = L ⋅ U ⋅ P.

[1]


[5]

Znameńko permutace inverze v permutaci (i1 , i2 , . . . , in) je vy´skyt jevu: ij > ik a soucˇasneˇ j < k.

Determinant

Prˇ´ıklad: inverze permutace (3, 1, 2, 5, 4) jsem vyznacˇil pomocı´ obloucˇku˚: zz { { z { (3, 1, 2, 5, 4)

• je cˇ´ıslo jisty´m zpu˚sobem charakterizujıćı´ cˇtvercovou matici

Tato permutace ma´ trˇi inverze.

• det A = 0 pro singula´rnı´ matici, det A 6= 0 pro regula´rnı´ matici

Definice: Ma´-li permutace π sudy´ pocˇet inverzı´, je sgn π = +1, ma´-li π lichy´ pocˇet inverzı´, je sgn π = −1. Cˇ´ıslu sgn π rˇ´ıka´me znameńko permutace.

• pouzˇ´ıva´ se prˇi rˇesˇenı´ linea´rnıćh soustav • . . . a v mnoha dalsˇ´ıch aplikacıćh

Prˇ´ıklad: sgn(3, 1, 2, 5, 4) = −1. Znameńko genericke´ permutace je +1. Cvicˇenı´: jake´ znameńko ma´ permutace (n, n − 1, . . . , 3, 2, 1)? a) algebra-all, 9, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)

L


[2]


[6]

Definice determinantu

Prˇechod suda´ – licha´

Definice: Necht’ A = (ai,j ) ∈ Rn,n je cˇtvercova´ matice. Cˇ´ıslo

Prohozenı´ dvou prvku˚ v permutaci zmeˇnı´ znameńko permutace.

∑

sgn π ⋅ a1,i1 a2,i2 · · · an,in

Du˚kaz: V na´sledujıćı´ permutaci prohodı´m prvky x a y:

permutace π =(i1 ,i2 ,...,in )

(. . . prvky vlevo . . . , x, . . . prvky uvnitrˇ . . . , y, . . . prvky vpravo . . .)

nazy´va´me determinantem matice A a znacˇ´ıme je det A. Pozna´mka: Abychom tomu vzorci porozumneˇli a doka´zali z neˇj odvodit za´kladnı´ vlastnosti determinantu˚, potrˇebujeme si prˇipomenout vlastnosti permutacı´. . .

Inverze, ktere´ nenavazujı´ na prvek x nebo y zu˚sta´vajı´ nezmeˇneˇny. Inverze mezi prvky vlevo a x nebo y zu˚sta´vajı´ nezmeˇneˇny. Inverze mezi x nebo y a prvky vpravo zu˚sta´vajı´ nezmeˇneˇny. Inverze mezi x nebo y a prvky uvnitrˇ po dvou vznikajı´ nebo zanikajı´ nebo se nemeˇnı´. Inverze mezi x a y vznikne nebo zanikne. Du ˚ sledek: Znameńko permutace pozna´me podle pocˇtu transpozic (jednoho prohozenı´ dvou prvku˚), ktere´ je potrˇeba na permutaci prove´st, aby byla prˇevedena na generickou permutaci.


[3]


Permutace

Na´vrat k definici deterinantu

Permutace n prvku˚ je usporˇa´dana´ n-tice cˇ´ısel z mnozˇiny {1, 2, . . . , n}, prˇitom ka´zˇde´ cˇ´ıslo je v n-tici zastoupeno pra´veˇ jednou.

Definice: Necht’ A = (ai,j ) ∈ Rn,n je cˇtvercova´ matice. Cˇ´ıslo det A =

∑

[7]

sgn π ⋅ a1,i1 a2,i2 · · · an,in

permutace π =(i1 ,i2 ,...,in )

Prˇ´ıklad: (3, 1, 2, 5, 4) je permutace peˇti prvku˚. (i1, i2 , . . . , in) je permutace z n prvku˚, pokud ij ∈ {1, 2, . . . , n} a ij 6= ik pro j 6= k.

• Uzˇitecˇna´ je prˇedstava sˇachovyćh veˇzˇ´ı.

Jiny´ pohled: Permutace je bijektivnı´ zobrazenı´ na {1, 2, . . . , n}.

• Prˇ´ıklad pro matice typu (1, 1), (2, 2), (3, 3) . . . Sarrusovo pravidlo.

Vztah mezi teˇmito pohledy: Je-li dańa n-tice (i1 , i2, . . . , in), pak je dańo zobrazenı´ z : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} prˇedpisem z(j) = ij . Je-li dańo zobrazenı´ z, pak lze sestrojit n-tici (z(1), z(2), . . . , z(n)).

• Pozor, pro matice veˇtsˇ´ıch typu˚ Sarrusovo pravidlo nelze pouzˇ´ıt!


Permutace, vlastnosti • Skla´dańı´m permutacı´ (jako zobrazenı´) dosta´va´me permutaci. • Genericka´ (jednotkova´) permutace je (1, 2, . . . , n). • Kazˇda´ permutace ma´ svou inverznı´ permutaci. • Pocˇet permutacı´ n prvku˚ je n! .

[4]


Determinant hornı´ troju ´ helnı´kove´ matice 

a1,1 , a1,2 , . . . , a1,n−1,  0, a2,2 , . . . , a2,n−1,  det  0, 0, . . . , a3,n−1,  ...  0, 0, ..., 0,

 a1,n a2,n   a3,n   

an,n

je roven soucˇinu prvku˚ na diagona´le: a1,1 ⋅ a2,2 ⋅ a3,3 · · · an,n. Vidı´ vsˇichni procˇ?

[8]

[9]


Za´kladnı´ vlastnosti determinantu


[13]

Regula´rnı´ a singula´rnı´ matice

• Prohozenı´ rˇa´dku˚ zmeˇnı´ znameńko determinantu

Veˇta: Matice A je regula´rnı´, pra´veˇ kdyzˇ det A 6= 0.

• Matice se dveˇma stejny´mi rˇa´dky ma´ nulovy´ determinant • Prona´sobenı´ jedine´ho rˇa´dku α -kra´t zveˇtsˇ´ı α -kra´t i determinant

Du˚kaz: A je regula´rnı´ pra´veˇ kdyzˇ A ∼ E. Da´le si stacˇ´ı uveˇdomit, zˇe Gaussova eliminace nemeˇnı´ nulovost determinantu.

• Je-li jeden rˇa´dek zapsany´ jakou soucˇet dvou cˇa´stı´, pak determinat takove´ matice je roven soucˇtu determinantu˚ matic, ve kteryćh jsou mı´sto tohoto rˇa´dku jen jeho cˇa´sti:    .   .  ... .. .. − → − → − → − → det  a i  + det  b i  = det  a i + b i  . ... ... ... • Trˇetı´ typ kroku eliminacˇnı´ metody nezmeˇnı´ determinant.


[10]


Metoda vy´pocˇtu determinantu

Determinant soucˇinu matic

Algoritmus: Eliminacı´ prˇevedeme danou matici A na hornı´ troju´helnı´kovou matici U. Pokud beˇhem eliminace pouzˇijeme prvnı´ nebo druhy´ typ kroku eliminace, je potrˇeba si poznamenat, jak se zmeˇnil determinant. Trˇetı´ typ kroku nemeˇnı´ determinant vu˚bec. Konecˇneˇ det U je soucˇin prvku˚ na diagona´le.

Veˇta: Pro dveˇ cˇtvercove´ matice typu (n, n) platı´

Slozˇitost algoritmu: n3. Vy´razna´ u´spora proti vzorci v definici, ktery´ ma slozˇitost n! .

[14]

det(A ⋅ B) = (det A) ⋅ (det B). Du˚kaz*: Lze prove´st A ∼ U1 rˇa´dkovy´mi eliminacˇnı´mi u´pravami, aby se nezmeˇnil determinant. Da´le lze prˇeve´st B na U2 sloupcovy´mi eliminacˇnı´mi u´pravami tak, zˇe se nezmeˇnı´ determinant. Snadno se uka´zˇe, zˇe det(U1 ⋅ U2) = (det U1) ⋅ (det U2) Existujı´ matice P1 , P2 tak, zˇe U1 = P1 A, U2 = BP2 . Stejne´ rˇa´dkove´ i sloupcove´ u´pravy provedeme na A ⋅ B, tedy P1 A ⋅ BP2 = U1 ⋅ U2 . ´ pravy nemeˇnı´ determinant, takzˇe U det(A ⋅ B) = det(P1A ⋅ BP2 ) = det(U1 ⋅ U2) = = (det U1) ⋅ (det U2 ) = (det A) ⋅ (det B).


[11]

Prˇı´klad


[15]

Du ˚ sledky veˇty o determinantu soucˇinu • det A−1 = 1/ det A

1 2 4 3

2 3 3 1 2 4 1 4 0 0 = 2 1 2 0 −6 0 −5 1 2 1 1 2 3 1 0 6 11 6 0 0 5 0 30 42 1 2 3 1 1 0 6 11 ⋅ 6 5 0 0 5 0 0 −65

1 3 3 0 −5 −2 = (−1)4 −11 −10 0 0 −7 −8 1 2 3 3 0 6 11 1 10 = 2 6 0 0 5 0 0 −13 48 1 2 3 3 1 0 6 11 10 = 2 30 0 0 5 0 0 0 −10

2 6 0 5

3 11 5 7

3 10 = 2 −2

3 10 = 2 8

• Je-li A = LU rozklad matice A, pak det A = det U, tedy det A je roven soucˇinu diagona´lnıćh prvku˚ v matici U. (prˇipomıńa´m, zˇe matice L ma´ na diagona´le jednicˇky).

3 10 = 16. 2 16

Za chvı´li uvidı´me, zˇe to lze spocˇ´ıtat jednodusˇeji. . .


[12]


[16]

ˇ a´dky a sloupce jedno jest R

Rozvoj determinantu podle rˇa´dku

Tvrzenı´: det A = det AT .

Terminologie: Vyrˇadı´me-li ze cˇtvercove´ matice A ∈ Rn,n i-ty´ rˇa´dek a j-ty´ sloupec, dosta´va´me matici Ai,j ∈ Rn−1,n−1. Cˇ´ıslo

Du˚kaz: Ma´m permutaci (i1 , i2 , . . . , in) a podle nı´ provedu sloupcovy´ vy´beˇr prvku˚ matice a vyna´sobı´m mezi sebou: ai1,1 ⋅ ai2,2 · · · ain ,n = a1,j1 ⋅ a2,j2 · · · an,jn Soucˇin rea´lnyćh cˇ´ısel je komutativnı´, tak jsem cˇinitele usporˇa´dal podle velikosti rˇa´dkove´ho indexu. Jaky´ je vztah mezi permutacemi: (i1 , i2, . . . , in) a (j1 , j2 , . . . , jn)? Jsou si vza´jmneˇ inverznı´. A inverznı´ permutace majı´ stejne´ znameńko. Takzˇe vzorce s rˇa´dkovy´m i sloupcovy´m vy´beˇrem da´vajı´ stejny´ vy´sledek. Du ˚ sledek: Prˇi eliminaci za ućˇelem vy´pocˇtu determinantu lze libovolneˇ prˇecha´zet mezi rˇa´dkovy´mi a sloupcovy´mi u´pravami.

Di,j = (−1)i+j det Ai,j se nazy´va´ doplneˇk matice A v pozici (i, j). Veˇta o rozvoji: Necht’ Di,j jsou doplnˇky cˇtvercove´ matice A = (ai,j ). Pak platı´ det A = ar,1 Dr,1 + ar,2 Dr,2 + · · · + ar,n Dr,n. Na´znak du˚kazu: vytkneˇte ze soucˇtu z definice determinantu ar,1 (jen z teˇch scˇ´ıtancu˚, kde se ar,1 vyskytuje), da´le vytkneˇte ar2 atd. azˇ ar,n. V za´vorkaćh po vytknutı´ dostanete Dr,i.


[17]

Rozjı´mańı´ nad veˇtou o rozvoji

[21]

Prˇı´klad: inverze matice pomocı´ dopln ˇ ku ˚

• Protozˇe det A = det AT , platı´ analogicka´ veˇta o rozvoji podle sloupce • Je-li v rˇa´dku/sloupci hodneˇ nul, je v soucˇtu podle veˇty o rozvoji hodneˇ nulovyćh scˇ´ıtancu˚. Stacˇ´ı zapsat jen ty nenulove´ a redukovat vy´pocˇet determinantu matice typu (n, n) na neˇkolik (ma´lo) determinantu˚ matic typu (n − 1, n − 1). • Pozor: rekurzivnı´ volańı´ vy´pocˇtu determinantu podle veˇty o rozvoji ma´ slozˇitost n!, takzˇe tento algoritmus je nepouzˇitelny´. • Du˚sledkem veˇty o rozvoji je tvrzenı´: 0 = ar,1 Dk,1 + ar,2 Dk,2 + · · · + ar,n Dk,n


pro r 6= k.

Stacˇ´ı prove´st veˇtu o rozvoji na matici se dveˇma stejny´mi rˇa´dky.



1 Je dańa matice A =  −1 2 Matice doplnˇku˚ je:  −1 0 1 + −  2 1 2    2 3 1 D=  − 2 1 + 2    2 3 − 1 + −1 0 1

takzˇe:

det A = −2,

−1 0  + 2 2      −2 3 −2 1 2   =  4 −5 − 2, 2 2   2 −4 2  1 2  + −1 0   −2 4 2 1 1 T D =− = 3 −5 −4  . det A 2 −2 2 2

1 1 3 1 3 1

A−1

• Veˇta o rozvoji ma´ rˇadu dalsˇ´ıch teoretickyćh du˚sledku˚, neˇktere´ se dozvı´me pozdeˇji. . . BI-LIN, algebra-all, 9, P. Olsˇa´k

 3 1. 1

2 0 2

[1]

[18]

Prˇı´klad 1 2 4 3

2 3 4 1 2 1 1 2 2 − 2 −1

3 1 2 3 1 2 4 1 4 2 4 1 0 = = − 4 2 1 = 2 4 2 1 0 3 1 2 1 3 1 2 0 4 1 1 −1 = 2 ⋅ 8 = 16. −2 0 = 2 1 7 −7 0

Soustavy linea´rnıćh rovnic • vlastnosti mnozˇin rˇesˇenı´ • metody hledańı´ rˇesˇenı´ • nejednoznacˇnost za´pisu rˇesˇenı´


[19]

L


[2]

Inverznı´ matice pomocı´ dopln ˇ ku ˚

Terminologie

Je-li A ∈ Rn,n regula´rnı´, pak

Definice: Necht’ A = (ai,j ) ∈ Rm,n je matice, b ∈ Rm,1 je jednosloupcova´ matice. Maticova´ rovnost

A−1 =

1 DT , det A

A⋅x=b

kde D = (Di,j) je matice doplnˇku˚ A v pozicıćh (i, j).

s nezna´mou jednosloupcovou maticı´ x ∈ Rn,1 nazy´va´me soustavou linea´rnıćh rovnic (m rovnic, n nezna´myćh). A je matice soustavy, b je sloupec pravyćh stran, (A | b) je rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy.

Du˚kaz: Oveˇrˇ´ıme, zˇe AA−1 = E. Oznacˇ´ıme A = (ai,j ), DT = (Dk,j ), E = (ei,k). n

ei,k = ∑ ai,j j=1

1 1 Dk,j = (ai,1Dk,1 + ai,2Dk,2 + · · · + ai,nDk,n) = det A det A

1 det A = 1 pro i = k, det A =   1 ⋅0=0 pro i 6= k. det A   

Je-li o ∈ Rm,1 nulovy´ sloupcovy´ vektor, pak A ⋅ x = o je homogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic. Rˇesˇenı´ soustavy je takovy´ vektor z Rn, ktery´, zapsany´ do sloupce mı´sto nezna´me´ matice x, splnˇuje danou maticovou rovnost. ´ loha: Najı´t vsˇechna rˇesˇenı´, tj. vymezit podmnozˇinu M ⊆ Rn U vsˇech rˇesˇenı´ soustavy.

Vyuzˇili jsme veˇtu o rozvoji determinantu podle i-te´ho rˇa´dku. BI-LIN, algebra-all, 9, P. Olsˇa´k

[20]


[3]

Prˇı´klad: inverze k matici typu (2, 2)

Dva pohledy na soustavu lin. rovnic

Je dańa matice

Pohled po rˇa´dcıćh, tedy po jednotlivyćh rovnicıćh. Kazˇda´ rovnice sama vymezuje podmnozˇinu vsˇech svyćh rˇesˇenı´ Mi ⊆ Rn , i ∈ {1, 2, . . . , m}. Geometricky je Mi nadrovinou (podprostorem dimenze n − 1 posunuty´m z pocˇa´tku do neˇjake´ho jine´ho bodu). Vsˇechny rovnice majı´ by´t splneˇny soucˇasneˇ, hleda´me tedy spolecˇny´ pru ˚ nik vsˇech teˇchto nadrovin Mi .

A=

a c

Matice doplnˇku˚ k te´to matici je d D= −b Takzˇe A

−1

b d

−c a

1 1 DT = = det A ad − bc

d −c

−b a

.

Pohled po sloupcıćh. Rozepisˇme matici soustavy A do sloupcu˚: A = (A1, A2 , . . . , An ). Soustava A ⋅ x = b prˇecha´zı´ na:   x1  x2   = x1A1 + x2A2 + · · · + xnAn = b A ⋅ x = (A1 , A2, . . . , An) ⋅  ..  .  xn

Hleda´me tedy koeficienty linea´rnı´ kombinace sloupcu˚ matice A, ktere´ zarucˇ´ı, zˇe se dana´ kombinace rovna´ prave´ straneˇ b.


[4]


K cˇemu slouzˇı´ eliminacˇnı´ metoda

Prˇı´klad (homogennı´ soustava)

Ma´-li soustava A ⋅ x = b mnozˇinu rˇesˇenı´ M a je

ˇ esˇme soustavu A ⋅ x = o s maticı´: R x1 ,

(A | b) ∼ (C | d)



pak soustava C ⋅ x = d ma´ stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´ M. Kdyzˇ eliminujeme na schodovitou matici C, pak pu˚jde u soustavy C ⋅ x = d hledana´ mnozˇina rˇesˇenı´ M le´pe najı´t.

x2 ,

1 3 1 1 A= 2 8 3 9 Va´zane´ promeˇnne´: x1,

x3 ,

2 1 5 6 x2 ,

x ,

x

4 5   x1 , x2 , x3 , 0 3 1 3 2  −1 5   ∼ 0 2 1  3 7 0 0 0 2 12 x4, volne´ promeˇnne´: x3,

[8]

x4 , x5  0 3 3 1 2 3

x5 .

Prˇi volbeˇ x3 = 1, x5 = 0 vycha´zı´: x4 = 0, x2 = −1/2, x1 = −1/2, prˇi volbeˇ x3 = 0, x5 = 1 vycha´zı´: x4 = −3/2, x2 = 7/4, x1 = −33/4. Takzˇe ma´m dveˇ linea´rneˇ neza´visla´ rˇesˇenı´: (−1/2, −1/2, 1, 0, 0), (−33/4, 7/4, 0, −3/2, 1). Vsˇechna rˇesˇenı´ tvorˇ´ı linea´rnı´ obal teˇchto dvou rˇesˇenı´: M0 = 〈(−1, −1, 2, 0, 0), (−33, 7, 0, −6, 4)〉 BI-LIN, algebra-all, 10, P. Olsˇa´k

[5]


[9]

Frobeniova veˇta, rˇesˇitelnost soustavy

Dimenze prostoru rˇesˇenı´

Veˇta: Soustava A ⋅ x = b ma´ asponˇ jedno rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hod A = hod(A | b).

• Dimenze prostoru rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy je rovna pocˇtu volnyćh promeˇnnyćh,

Du˚kaz: (sloupcovy´ pohled): soustava ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ kdyzˇ vektor b lezˇ´ı v linea´rnı´m obalu sloupcovyćh vektoru˚ A1 , A2 , . . . , An , cozˇ je pra´veˇ tehdy, kdyzˇ hod A = hod(A | b). Vyuzˇijeme take´ toho, zˇe hodnost matice nenı´ jen dimenze lin. obalu rˇa´dku˚, ale je to take´ dimenze linea´rnı´ho obalu sloupcu˚ matice, nebot’ hod A = hod AT .

• cozˇ je rovno pocˇtu vsˇech promeˇnnyćh minus pocˇtu va´zanyćh promeˇnnyćh,

Du˚kaz: (eliminacˇnı´ pohled): Po eliminaci na schodovitou matici ma´me soustavu C ⋅ x = d ktera´ nema´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existuje nulovy´ rˇa´dek v matici C s nenulovy´m cˇ´ıslem na prave´ straneˇ. Tj. pra´veˇ tehdy kdyzˇ hod C 6= hod(C | d). Eliminacˇnı´ metoda ovsˇem nemeˇnı´ hodnost.


• cozˇ je rovno pocˇtu vsˇech promeˇnnyćh minus pocˇtu nenulovyćh rovnic soustavy Cx = o se schodovitou maticı´, • cozˇ je rovno pocˇtu vsˇech rovnic minus hodnost matice soustavy. Za´veˇr: Necht’M0 je mnozˇina rˇesˇenı´ soustavy Ax = o s m rovnicemi a n nezna´my´mi. Pak dim M0 = n − hod A.

[6]


[10]

n

Homogennı´ soustava Ax = o

Dva podprostory v R vymezene´ maticı´ A

• Homogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic ma´ vzˇdy nulove´ rˇesˇenı´.

Necht’ je dańa matice A ∈ Rm,n

• Mnozˇinou rˇesˇenı´ M0 homogennı´ soustavy je vzˇdy podprostor :

• Oznacˇme R linea´rnı´ obal rˇa´dku˚ matice A. Je to podprostor v Rn .

u ∈ M0, v ∈ M0,

tj. Au = o, Av = o. A(u + v) = Au + Av = o + o = o, tj. u + v ∈ M0. u ∈ M0, α ∈ R, tj. Au = o. A(α u) = α A(u) = α o = o, tj. α u ∈ M0.

• Oznacˇme M0 mnozˇinu vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy Ax = o. Je to rovneˇzˇ podprostor v Rn. Nazy´va´ se nulovy´m prostorem matice A. • Do rˇa´dku˚ matice B napisˇme neˇjakou ba´zi prostoru M0 . Platı´: • Kazˇdy´ vektor z M0 rˇesˇ´ı soustavu Ax = o. • Kazˇdy´ vektor z R rˇesˇ´ı soustavu Bx = o. T → → → → • Je-li − u ∈Ra− v ∈ M , pak − u ⋅− v = 0. 0

• dim R + dim M0 = n = dim Rn


[7]


[11]

Jak vyrˇesˇit homogennı´ soustavu

Algoritmus hledańı´ ba´ze nulove´ho prostoru

• Nejprve prˇevedeme eliminacı´ na soustavu se stejnou mnozˇinou rˇesˇenı´, ale se schodovitou maticı´ soustavy:

Algoritmus: Necht’ A ∼ (E | C), kde E je jednotkova´ matice. Pak rˇa´dky matice (−CT | E′ ) obsahujı´ ba´zi rˇesˇenı´ soustavy Ax = o. Pozna´mka: E′ je zde take´ jednotkova´ matice, ovsˇem obecneˇ jine´ho typu nezˇ matice E.

(A | o) ∼ (C | o) • Kazˇda´ nenulova´ rovnice v soustaveˇ Cx = o umozˇnı´ spocˇ´ıtat jednu nezna´mou (prˇi zpeˇtne´ substituci zespoda nahoru). Teˇmto promeˇnny´m rˇ´ıka´me va´zane´ promeˇnne´. Ostatnı´ (takto nespocˇ´ıtane´) promeˇnne´ jsou volne´ promeˇnne´, neboli parametry. Necht’ t1 , t2 , . . . , tk jsou vsˇechny volne´ promeˇnne´. Mu˚zˇeme volit tyto hodnoty za (t1, t2, . . . , tk) (1, 0, . . . , 0),

(0, 1, . . . , 0),

...,

(0, 0, . . . , 1)

a pro kazˇdou tuto volbu volnyćh promeˇnnyćh dopocˇ´ıta´me promeˇnne´ va´zane´. Dosta´va´me tak linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu rˇesˇenı´, ktera´ je ba´zı´ podprostoru M vsˇech rˇesˇenı´.

ˇ a´dky matice (−CT | E′) jsou linea´rneˇ neza´visle´ a jejich Du˚kaz: R pocˇet je roven n − hod A. Takzˇe lin. obal teˇchto rˇa´dku˚ ma´ stejnou dimenzi, jako prostor rˇesˇenı´ M0 . Stacˇ´ı uka´zat, zˇe kazˇdy´ rˇa´dek matice (−CT | E′) rˇesˇ´ı soustavu Ax = o: −C = E ⋅ (−C) + C ⋅ E′ = −C + C = O. (E | C) ⋅ E′

Pozna´mka: nelze-li prove´st A ∼ (E | C), pak je mozˇne´ dostat (E | C) po vhodne´ permutaci sloupcu˚ (zmeˇna porˇadı´ nezna´myćh). Zpeˇtnou permutaci sloupcu˚ pak provedeme na matici (−CT | E′) a ma´me hledanou ba´zi prostoru rˇesˇenı´.


[12]

Prˇı´klad


[16]

Proble´m nejednoznacˇnosti za´pisu rˇesˇenı´

Metodou ze slı´du [11] vyrˇesˇ´ıme soustavu ze vedeme Gauss-Jordanovou eliminacı´:    x1 , x2 , 1 3 2 0 3 1 0  1 1 1 −1 5   ∼ 0 1 A=  2 8 5 3 7 0 0 3 9 6 2 12

slı´du [8]. Matici prˇex3 ,

x4 ,

x5  0 33/4 0 −7/4  1 3/2

1/2 1/2 0

− → → → → → → → → v + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉 = − w + 〈− z 1, − z 2, . . . , − z k〉 ?

Prohodı´me sloupce a prˇejdeme od matice (E | C) k matici (−C | E ): ′

T

 x1 , x2 , x4 , x3 , x5  x1 , x2 , x4 , x3 , x5 1 0 0 1/2 33/4 /2 −1/2 0 1 0 −1  0 1 0 1/2 −7/4  , −33/4 7/4 −3/2 0 1 0 0 1 0 3/2 Po zpeˇtne´m prohozenı´ sloupcu˚ dosta´va´me v rˇa´dcıćh ba´zi mnozˇiny x1 , x2 , x3 , x4 , x5 rˇesˇenı´ M0 : 0 −1/2 −1/2 1 0 −33/4 7/4 0 −3/2 1 BI-LIN, algebra-all, 10, P. Olsˇa´k

Stejna´ mnozˇina rˇesˇenı´ soustavy Ax = b se da´ vyja´drˇit ru˚zny´mi vektory ba´ze rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy a ru˚zny´mi partikula´rnı´mi rˇesˇenı´mi. Jak poznat, zˇe:

Stacˇ´ı porovnat hodnosti na´sledujıćıćh matic:   − → u1 . .   .   −   − − → →   → z1 u1  uk  . . − →   ..  = hod  ..  hod   z 1  = hod ...  − →  − → zk uk     − → zk − → → w −− v Viz te´zˇ stranu [9] k te´matu „matice“.

[13]


Nehomogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic

Soustavy se cˇtvercovou maticı´ A

Terminologie: Jake´koli rˇesˇenı´ soustavy Ax = b nazy´va´me partikula´rnı´ rˇesˇenı´ te´to soustavy.

• Je-li matice A regula´rnı´, pak soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´.

Soustava Ax = o se nazy´va´ prˇidruzˇena´ homogennı´ soustava k soustaveˇ Ax = b. Veˇta: Mnozˇina M vsˇech rˇesˇenı´ soustavy Ax = b je bud’ pra´zdna´, nebo je tvaru M = v + M0 kde v je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ soustavy Ax = b a M0 je mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy Ax = o. Du˚kaz: Oznacˇme v partikula´rnı´ rˇesˇenı´ a necht’ u ∈ M0 . Stacˇ´ı oveˇrˇit, zˇe v + u ∈ M. Da´le musı´me oveˇrˇit, zˇe pro kazˇde´ w ∈ M existuje u ∈ M0 tak, zˇe v + u = w. Pozna´mka: Vy´hodna´ je geometricka´ prˇedstava, udeˇlejte si naćˇrtek. BI-LIN, algebra-all, 10, P. Olsˇa´k

[17]

• Je-li matice A regula´rnı´, pak lze soustavu A x = b rˇesˇit vyna´sobenı´m te´to rovnosti inverznı´ maticı´ A−1 zleva: A−1A x = A−1 b,

tj. x = A−1 b.

• Je-li matice A regula´rnı´, je mozˇne´ take´ prove´st LU rozklad te´to matice a rˇesˇit jednu soustavu doprˇednou substitucı´ a dalsˇ´ı zpeˇtnou substitucı´. Viz stranu [3] k te´matu „LU rozklad“. Je to nepatrneˇ numericky vy´hodneˇjsˇ´ı nezˇ pocˇ´ıtat inverznı´ matici. • Je-li matice A regula´rnı´ a zajı´majı´ na´s jen neˇktere´ slozˇky rˇesˇenı´, je mozˇne´ pouzˇ´ıt Cramerovo pravidlo, viz na´sledujıćı´ stranu. • Je-li A singula´rnı´, pak po eliminaci (A | b) ∼ (C | d) dosta´va´me soustavu s maticı´ C, ktera´ nenı´ cˇtvercova´. Da´le je nutne´ pouzˇ´ıt postupy uvedene´ na prˇedchozıćh stranaćh.

[14]


[18]

Jak vyrˇesˇit nehomogennı´ soustavu

Cramerovo pravidlo

• Najı´t jedno partikula´rnı´ rˇesˇenı´ v.

Necht’ A je regula´rnı´ cˇtvercova´ matice. Pak pro i-tou slozˇku rˇesˇenı´ soustavy A x = b platı´ det Bi , xi = det A kde matice Bi je shodna´ s maticı´ A azˇ na i-ty´ sloupec, ktery´ je zameˇneˇn za sloupec pravyćh stran.

• Vyrˇesˇit prˇidruzˇenou homogennı´ soustavu, najı´t M0 . • Vsˇechna rˇesˇenı´ napsat ve tvaru M = v + M0 . Jediny´ proble´m: najı´t partikula´rnı´ rˇesˇenı´ v. Typicky´ postup: • Eliminovat (A | b) ∼ (C | d), na soustavu se schodovitou maticı´. • Sloupce s volny´mi promeˇnny´mi odstranit (tj. dosadit za volne´ promeˇnne´ nuly). Vznika´ soustava s regula´rnı´ cˇtvercovou maticı´.

Du˚kaz: Vyuzˇijeme vztah x = A−1 ⋅ b a zameˇrˇ´ıme se v maticove´m soucˇinu na vy´pocˇet i-te´ho rˇa´dku v matici x. Prˇitom matici A−1 zapı´sˇeme pomocı´ doplnˇku˚. Viz stranu [19] k te´matu „determinant“.

• Dorˇesˇit tuto soustavu zpeˇtny´m chodem eliminace. • K rˇesˇenı´ prˇipsat nuly na mı´sta volnyćh promeˇnnyćh.


[15]


[19]

Prˇı´klad (nehomogennı´ soustava)

Prˇı´klad

Soustava ze slı´du [8] je doplneˇna o pravou stranou. Gauss-Jordanovou eliminacı´ upravı´m rozsˇ´ırˇenou matici soustavy:     3 1 3 2 0 3 1 0 1/2 0 33/4 −3  1 1 1 −1 5 −2       2 8 5 3 7 13  ∼ 0 1 1/2 0 −7/4 2 1 0 0 0 1 3/2 3 9 6 2 12 11

Vyrˇesˇ´ıme soustavu s parametrem p ∈ R, ktera´ ma´ rozsˇ´ırˇenou matici:   2 −p −1 3 (A | b) =  1 −7 −5 0  −1 −1 3 p Je det A = (p − 2) (p − 17). Takzˇe pro p = 17 nebo p = 2 je matice soustavy singula´rnı´:     2 −17 −1 3 1 −7 −5 0 p = 17 :  1 −7 −5 0  ∼  0 −1 3 1 ... M = ∅

Odstranı´m sloupce odpovı´dajıćı´ volny´m promeˇny´m: x1 ,



1 0 0

x2 ,

x4

0 1 0

0 0 1

 −3 2  1

Partikula´rnı´ rˇesˇenı´ je (−3, 2, 0, 1, 0) a mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ je M = (−3, 2, 0, 1, 0) + 〈(−1, −1, 2, 0, 0), (−33, 7, 0, −6, 4)〉.

−1

3

2 p=2:  1 −1

−2 −7 3



17

−1 −5 2

0 0 0 −1  3 1 −7 −5 0 ∼ 0 4 3 −1

1

0 1

...

. . . M = (5/3, 0, 1/3) + 〈(1, 3, −4)〉


[20]

Prˇı´klad (pokracˇovańı´) Pro p 6= 17 a p 6= 2 je matice soustavy regula´rnı´ a soustava ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Najdeme toto rˇesˇenı´ pomocı´ Cramerova pravidla.     2 3 −1 3 −p −1 det  0 −7 −5  = −26(p − 2), det  1 0 −5  = −3(p − 2) −1 −1 p −1 3 p   2 −p 3 det  1 −7 0  = −(p − 2). Protozˇe det A = (p − 2) (p − 17), je: −1 3 −1 x1 =

−26(p − 2) 26 = , (p − 2) (p − 17) 17 − p


[3]

Je dańa matice A ∈ R , pak ma´me zobrazenı´ A : Rn → Rm. m,n

x2 =

3 , 17 − p

x3 =

Skutecˇneˇ, zobrazenı´ A : Rn → Rm dane´ prˇedpisem A(x) = A ⋅ x je linea´rnı´. Pozna´mka: vektory z Rn, Rm nynı´ povazˇujeme za sloupcove´ vektory.

1 . 17 − p

Pro prˇ´ıpad p 6= 17 a p 6= 2 obsahuje mnozˇina M jedine´ rˇesˇenı´: 26 3 1 . M= , , 17 − p 17 − p 17 − p BI-LIN, algebra-all, 10, P. Olsˇa´k

[21]


Maticova´ rovnice AX = B

Prˇı´klad

• Je-li A regula´rnı´ matice, pak rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´ X = A−1 B.

Zobrazenı´ A : R4 → R3 je urcˇeno maticı´ A ∈ R3,4:     x1 1 3 2 2  x2     =A⋅x= A(x1, x2, x3, x4) = 3 1 0 2 ⋅   x3  5 7 4 6 x4 = (x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 , 3x1 + x2 + 2x4 , 5x1 + 7x2 + 4x3 + 6x4 )T

• Jinak stacˇ´ı matice X a B rozepsat do sloupcu˚: X = (X1 X2 . . . Xk ),

B = (B1 B2 . . . Bk ),

takzˇe maticova´ rovnice prˇecha´zı´ na k soustav linea´rnıćh rovnic A X1 = B 1 ,

A X2 = B 2 ,

. . . A Xk = B k .

Tyto soustavy majı´ spolecˇnou matici soustavy, tj. spolecˇnou prˇidruzˇenou homogennı´ soustavu, tj. spolecˇnou mnozˇinu M0 vsˇech rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy. Pro kazˇdou soustavu zvla´sˇt’ je trˇeba spocˇ´ıtat partikula´rnı´ rˇesˇenı´. • Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ je mnozˇna vsˇech matic X, ktere´ majı´ ve sloupcıćh odpovı´dajıćı´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´, ke ktery´m je v kazˇde´m sloupci (neza´visle) prˇicˇtena mnozˇina rˇesˇenı´ M0 .

[4]

• ja´dro tohoto zobrazenı´ je nulovy´ prostor matice A. • hodnost zobrazenı´ A je hodnost matice A • veˇta defA + hod A = dim L1 prˇecha´zı´ na veˇtu dim M0 + hod A = pocˇet promeˇnnyćh.

[1]


[5]

Hodnost zobrazenı´ je hodnost matice

Matice linea´rnıćh zobrazenı´

Veˇta: Necht’A ∈ Rm,n. Hodnost linea´rnı´ho zobrazenı´ A : Rn → Rm , ktere´ je dańo prˇedpisem A(x) = A ⋅ x, je rovna hodnosti matice A, tedy: hod A = hod A Du˚kaz: hodnost zobrazenı´ je dimenze obalu obrazu˚ ba´zovyćh vektoru˚, cozˇ je dimenze obalu sloupcu˚ matice, cozˇ je hodnost matice.

• matice urcˇuje zobrazenı´ A(x) = Ax • zobrazenı´ A : Rn → Rm urcˇuje matici • zobrazenı´ lin. prostoru˚ konecˇne´ dimenze majı´ matici vzhledem k vybrany´m ba´zı´m a) algebra-all, 11, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/20010, g)

L


[2]


[6]

Prˇipomenutı´

Linea´rnı´ prostor linea´rnıćh zobrazenı´

Zobrazenı´ A : L1 → L2 je linea´rnı´, kdyzˇ → → → → • A(− x +− y ) = A(− x ) + A(− y ),

• Vsˇechna linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 oznacˇ´ım T. • Symboly A a B na te´to strańce jsou prvky z T.

→ → x ) = α ⋅ A(− x ). • A(α ⋅ −

• Definujeme A + B : L1 → L2 prˇedpisem (A + B)(x) = A(x) + B(x).

Cozˇ je ekvivalentnı´ s principem superpozice: → → → → • A(α1 − x n) x n) = α1 A(− x 1 + · · · + αn− x 1 ) + · · · + αn A(−

• Pozorovańı´: Soucˇet prvku˚ z T je prvek z T. • Definujeme α ⋅ A : L1 → L2 prˇedpisem (α ⋅ A)(x) = α ⋅ A(x). • Pozorovańı´: α -na´sobek prvku z T je prvek z T. • Uvedene´ operace splnˇujı´ axiomy linea´rnı´ho prostoru (dı´ky tomu, zˇe L2 je linea´rnı´ prostor), takzˇe: • T je linea´rnı´ prostor linea´rnıćh zobrazenı´.


[7]


[11]

Lin. zobrazenı´ urcˇeno hodnotami na ba´zi

Vlastnosti matice zobrazenı´

Veˇta: Jsou-li zna´my hodnoty linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 na konecˇne´ ba´zi B lin. prostoru L1 , je tı´m zobrazenı´ A jednoznacˇneˇ urcˇeno na cele´m L1 . − → − → − → − → Du˚kaz: A(α1 b 1 + · · · + αn b n) = α1 A( b 1) + · · · + αn A( b n ) Zobrazenı´ sourˇadnic je linea´rnı´, takzˇe takto dodefinovane´ zobrazenı´ A je linea´rnı´. Na ba´zovyćh vektorech ma´ prˇedepsane´ hodnoty.

A je matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C) pra´veˇ tehdy kdyzˇ:     sourˇadnice sourˇadnice  vektoru   vektoru      − → →  =  A(− • A⋅ u u)       vzhledem   vzhledem  k (B) k (C)

Jednoznacˇnost: Kdyby existovalo dalsˇ´ı linea´rnı´ zobrazenı´ B se stejny´mi hodnotami na ba´zi B, pak A − B je linea´rnı´ zobrazenı´ s nulovy´mi hodnotami na ba´zi a podle principu superpozice musı´ by´t A − B nulove´ zobrazenı´ vsˇude. Takzˇe A = B.


•

− → − → − → → → → (A( b 1 ) A( b 2) . . . A( b n)) = (− c1 − c 2 ... − c m ) ⋅ A.

− → • A obsahuje v i-te´m sloupci sourˇadnice vektoru A( b i) vzhledem k ba´zi (C)

[8]


[12]

Prˇı´klad

Prˇı´klad

Je dańo

Necht’ P3 jsou polynomy nejvy´sˇe trˇetı´ho stupneˇ. Je dańo linea´rnı´ zobrazenı´ A : P3 → P3 , ktere´ derivuje polynomy. Najdeme jeho matici vzhledem k usporˇa´dany´m ba´zı´m (1, x, x2, x3) a (1, x, x2, x3).

A(1, 1, 2) = (1, 0, 1, 0), A(1, 2, 2) = (2, 0, 2, 0), A(2, 1, 5) = (1, 2, 2, 1). Protozˇe trojice vektoru˚ (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 5) tvorˇ´ı ba´zi v R3 , existuje jedine´ linea´rnı´ zobrazenı´ s uvedenou vlastnostı´. Najdeme vzorec pro A(x1, x2, x3): (x1, x2, x3) = α (1, 1, 2) + β (1, 2, 2) + γ (2, 1, 5) (x1, x2, x3) = (8x1 − x2 − 3x3 ) ⋅ (1, 1, 2) + (−3x1 + x2 + x3 ) ⋅ (1, 2, 2) + + (x3 − 2x1) ⋅ (2, 1, 5), A(x1, x2, x3) = A((8x1 − x2 − 3x3 ) (1, 1, 2) + (−3x1 + x2 + x3) (1, 2, 2) + + (x3 − 2x1) (2, 1, 5)) = = (8x1−x2−3x3) (1, 0, 1, 0) + (−3x1 +x2+x3) (2, 0, 2, 0) + + (x3 − 2x1) (1, 2, 2, 1) = = (x2, −4x1 + 2x3 , −2x1 + x2 + x3, −2x1 + x3). BI-LIN, algebra-all, 11, P. Olsˇa´k

Kazˇde´ lin. zobrazenı´ A : R → R ma´ svou matici A ∈ Rm,n n

m

A(1) = 0,

A(x) = 1,

A(x2) = 2x,

Sourˇadnice teˇchto obrazu˚ vzhledem k do sloupcu˚ matice:  0 1 0 0 0 2 A= 0 0 0 0 0 0

A(x3 ) = 3x2

ba´zi {1, x, x2 , x3} napı´sˇeme  0 0  3 0

Zkuste „derivovat“ polynomy pomocı´ maticove´ho na´sobenı´. . .

[9]

m

Veˇta: Pro kazˇde´ linea´rnı´ zobrazenı´ A : R → R matice A ∈ Rm,n, pro kterou je n

Matice ma´ ve sloupcıćh sourˇadnice obrazu˚ ba´zovyćh vektoru˚, tj.


[13]

Skla´dańı´ zobrazenı´ ←→ soucˇin matic existuje jedina´

A(x) = A ⋅ x Du˚kaz: Necht’ A = (A(e1 ) A(e2 ) . . . A(en )). Zrˇejmeˇ platı´ A(x) = A ⋅ x pro x ∈ {e1, e2, . . . , en}. Zobrazenı´ A i zobrazenı´ A ⋅ x jsou linea´rnı´ zobrazenı´, ktera´ se shodujı´ na ba´zi {e1, e2 , . . . , en}. Takzˇe se shodujı´ vsˇude. Du ˚ sledek: Vzorec pro hodnoty jake´hokoli linea´rnı´ho zobrazenı´ z Rn do Rm ma´ vzˇdy tvar A ⋅ x.

Veˇta: Necht’ linea´rnı´ zobrazenı´ A ma´ matici A a linea´rnı´ zobrazenı´ B a´ matici B (vzhledem k odpovı´dajıćı´m ba´zı´m). Pak slozˇene´ linea´rnı´ zobrazenı´ B ◦ A ma´ matici B ⋅ A (vzhledem k odpovı´dajıćı´m ba´zı´m). Pozna´mka: Je-li A : L1 → L2 a B : L2 → L3 , pak „odpovı´dajıćı´ ba´ze“ jsou usporˇa´dane´ ba´ze (U) v L1, (V) v L2 a (W) v L3. V uvedene´ veˇteˇ se pak pracuje s maticı´ A vzhledem k (U), (V), s maticı´ B vzhledem k (V), (W) a s maticı´ B ⋅ A vzhledem k (U), (W). Du˚kaz veˇty se opı´ra´ o rovnost       sourˇadnice sourˇadnice sourˇadnice  vektoru   vektoru   vektoru        − → → − →   = B ⋅  A(−  B⋅A⋅ u u)      =  B(A( u ))  .  vzhledem   vzhledem   vzhledem  k (U)


k (V)

[10]


Od zobrazenı´ k matici

Prˇı´klad

A : L1 → L2 ←→ A′ : Rn → Rm ←→ A ∈ Rm,n

Matice

Kazˇde´mu linea´rnı´mu zobrazenı´ A : L1 → L2 linea´rnıćh prostoru˚ konecˇne´ dimenze prˇirˇadı´me matici takto: • V L1 zvolı´me usporˇa´danou ba´zi (B). • V L2 zvolı´me usporˇa´danou ba´zi (C). • Zobrazenı´ sourˇadnic L1 → Rn vzhledem k (B) oznacˇ´ıme C1. • Zobrazenı´ sourˇadnic L2 → Rm vzhledem k (C) oznacˇ´ıme C2. • Necht’ A′ = C2 ◦ A ◦ C−1 1 .

• Zobrazenı´ A′ je linea´rnı´ a ma´ svou matici A. Matice A se nazy´va´ matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C).

k (W)

[14]

 0 1 0 0 0 0 2 0  A= 0 0 0 3 0 0 0 0 je matice derivace vzhledem k usporˇa´dany´m ba´zı´m (1, x, x2, x3) a (1, x, x2, x3). Podle veˇty o slozˇene´m zobrazenı´ je A2 matice druhe´ derivace a A3 matice trˇetı´ derivace. 


[15]


[19]

Zobrazenı´ A : L → L

Hodnost matice je hodnost zobrazenı´

Definice: Zobrazenı´ do stejne´ mnozˇiny se nazy´va´ transformace. Linea´rnı´ zobrazenı´ do stejne´ho linea´rnı´ho prostoru se nazy´va´ linea´rnı´ transformace.

• Tuto skutecˇnost jsme zatı´m doka´zali pro specia´lnı´ zobrazenı´ tvaru A ⋅ x.

Matice transformace A : L → L vzhledem k ba´zi (B) je matice linea´rnı´ho zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (B).

• Pro obecne´ linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 take´ platı´ hod A = hod A, protozˇe hod A = hod A′ , kde A′ = C2 ◦ A ◦ C−1 1 . Platı´: − → − → − → hod A = dim A(L1 ) = dim A(〈 b 1 , b 2, . . . , b n〉) = − → − → − → = dim〈A( b 1 ), A( b 2 ), . . . , A( b n)〉 = − → − → ′ −1 ′ = dim〈C−1 2 ◦ A ◦ C1 ( b 1 ), . . . , C2 ◦ A ◦ C1 ( b n )〉 = ′ − → ′ − → ′ − → = dim C−1 2 (〈A ( e 1 ), A ( e 2 ), . . . , A ( e n )〉) = ′ − ′ − ′ − → → → = dim〈A ( e 1), A ( e 2 ), . . . , A ( e n)〉 = → → → = dim A′ (〈− e 1, − e 2, . . . , − e n〉) = dim A′ (Rn) = hod A′ Uvedene´ rovnosti platı´, protozˇe C1 a C2 jsou izomorfismy.


[16]

Prˇı´klady 

0 0 0 • A =  0 1 0  je matice projekce. 0 0 1 cos α − sin α je matice rotace. • A= sin α cos α a 0 • A= je (pro a 6= 0, b 6= 0) matice zmeˇny meˇrˇ´ıtka. 0 b

Necht’ L ma´ konecˇnou dimenzi, dim L = n. Veˇta: Linea´rnı´ transformace A : L → L je prosta´ pra´veˇ kdyzˇ: • je na • ma´ regula´rnı´ matici Du˚kaz: A je prosta´ pra´veˇ kdyzˇ def A = 0.

• Dalsˇ´ı transformace vznikajı´ skla´dańı´m teˇchto elementa´rnıćh transformacı´, jejich matice jsou pak soucˇinem teˇchto elementa´rnıćh matic.

Protozˇe def A + hod A = dim L, je def A = 0 pra´veˇ kdyzˇ hod A = n. To platı´ pra´veˇ kdyzˇ A(L) = L, tj. A je na L. Uvedene´ vlastnosti jsou splneˇny pra´veˇ kdyzˇ hod A = n, kde A je matice zobrazenı´ A, tj. pra´veˇ kdyzˇ A je regula´rnı´.

[17]

Prˇı´klad Necht’ osa o procha´zı´ pocˇa´tkem a svı´ra´ s osou x u´hel α . Najdeme matici osove´ someˇrnosti podle osy o.. Osova´ soumeˇrnost vznika´ jako slozˇenı´ na´sledujıćıćh zobrazenı´: • otocˇenı´ o u´hel −α ,


[21]

Prostor linea´rnıćh zobrazenı´ je izomrofnı´ s linea´rnı´m prostorem matic • Kazˇde´mu zobrazenı´ A : L1 → L2 (kde dim L1 = n, dim L2 = m) je jednoznacˇneˇ prˇirˇazena matice A ∈ Rm,n vzhledem k ba´zı´m (B) a (C). • Toto prˇirˇazenı´ je zobrazenı´ proste´ a na.

• zrcadlenı´, tj. zmeˇna meˇrˇ´ıtka s parametry 1, −1, • otocˇenı´ zpeˇt o u´hel α . Matici tohoto slozˇene´ho zobrazenı´ spocˇ´ıta´me jako soucˇin matic uvedenyćh zobrazenı´ zapsanyćh „zprava doleva“: 1 0 cos(−α ) − sin(−α ) cos α − sin α ⋅ ⋅ = 0 −1 sin α cos α cos(−α ) sin(−α ) sin 2α cos 2α = sin 2α − cos 2α BI-LIN, algebra-all, 11, P. Olsˇa´k

[20]

Transformace je prosta´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ regula´rnı´ matici





• Toto prˇirˇazenı´ je dokonce linea´rnı´ zobrazenı´. Stacˇ´ı oveˇrˇit, zˇe soucˇet dvou zobrazenı´ A a B s maticemi A a B (vzhledem ke zvoleny´m ba´zı´m) ma´ matici A + B. Da´le je trˇeba oveˇrˇit, zˇe α na´sobek linea´rnı´ho zobrazenı´ ma´ matici, ktera´ je rovna α na´sobku pu˚vodnı´ matice. • Ma´m na mysli zobrazenı´ a pı´sˇu jeho matici. Ma´m na mysli matici a vnı´ma´m ji jako zobrazenı´. Je to jedno.

[18]

[1]

Nestandardnı´ ba´ze, prˇı´klad Najdeme matici zobrazenı´ A : R3 → R4, ktere´ je dane´ prˇedpisem A(x1 , x2, x3) = (x2, −4x1 + 2x3 , −2x1 + x2 + x3, −2x1 + x3), vzhledem k ba´zı´m (B) = ((1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 5)) a (S4) Protozˇe A(1, 1, 2) = (1, 0, 1, 0), A(1, 2, 2) = (2, 0, 2, 0), A(2, 1, 5) = (1, 2, 2, 1), a protozˇe slozˇky teˇchto obrazu˚ jsou rovny sourˇadnicı´m vzhledem ke standardnı´ ba´zi (S4), stacˇ´ı slozˇky teˇchto obrazu˚ napsat do sloupcu˚ hledane´ matice:   1 2 1 0 0 2  A= 1 2 2 0 0 1

Pokud bychom meˇli hledat matici zobrazenı´ A : L1 → L2 vzhledem k nestandardnı´ ba´zi v L2 , budeme mı´t vıće proble´mu˚. . .

Zmeˇna ba´ze • matice prˇechodu od ba´ze k ba´zi • jak se zmeˇnı´ sourˇadnice vektoru prˇi zmeˇneˇ ba´ze? • jak se zmeˇnı´ matice linea´rnı´ho zobrazenı´ prˇi zmeˇneˇ ba´ze? • jak se zmeˇnı´ matice transformace prˇi zmeˇneˇ ba´ze?


[2]


[6]

Matice prˇechodu

Algoritmus pro sestavenı´ matice prˇechodu

− → − → − → → → → Definice: Necht’ (B) = ( b 1 , b 2 , . . . , b n) a (C) = (− c 1, − c 2, . . . , − c n) jsou dveˇ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru L. Pak existuje jedina´ linea´rnı´ transformace A : L → L, pro kterou je − → → A( b i ) = − c i, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

• Matici prˇechodu PS→B od standardnı´ ba´ze (S) k ba´zi (B) sesta− → vı´me snadno: do sloupcu˚ zapı´sˇeme sourˇadnice vektoru˚ b i vzhledem k ba´zi (S).

Matice te´to linea´rnı´ transformace vzhledem k ba´zi (B) se nazy´va´ matice prˇechodu od ba´ze (B) k ba´zi (C).

• Platı´: PB→C = PB→S ⋅ PS→C = (PS→B )−1 ⋅ PS→C . • Protozˇe (A | B) ∼ (E | A−1B), stacˇ´ı napsat na´sledujıćı´ dvoublokovou matici a eliminovat: (PS→B | PS→C ) ∼ (E | P−1 S→B ⋅ PS→C ) = (E | PB→C ).

• Znacˇenı´: PB→C je matice prˇechodu od (B) k (C).

V prave´m bloku po eliminaci najdeme hledanou matici PB→C


[3]


[7]

Vlastnosti matice prˇechodu

Prˇı´klad

→ • PB→C ma´ v i-te´m sloupci sourˇadnice vektoru − ci vzhledem k ba´zi (B). − → − → − → → → → • (− c − c ... − c ) = ( b b ... b ) ⋅ P ,

Jsou dańy ba´ze (B) = (x2 + 1, x2 + 2, x + 3) a (C) = (x2 + x, x − 1, x + 2) linea´rnı´ho prostoru polynomu˚ nejvy´sˇe druhe´ho stupneˇ. Najdeme matici prˇechodu PB→C.

1

2

n

1

2

n

B→C

Zvolme ba´zi, vzhledem ke ktere´ se sourˇadnice dobrˇe hledajı´, naprˇ´ıklad (S) = (1, x, x2). Podle algoritmu z prˇedchozı´ strańky sestavı´me (PS→B | PS→C ) a eliminujeme na tvar (E | PB→C).     1 0 0 5 4 1 1 2 3 0 −1 2  0 0 1 1 1 1  ∼  0 1 0 −4 −4 −1 

• PB→C je matice identity vzhledem k ba´zı´m (C) a (B) → • Pro kazˇdy´ vektor − u ∈ L je     sourˇadnice sourˇadnice  vektoru   vektoru      − → − → = . PB→C ⋅  u u      vzhledem   vzhledem  k (C)

1

k (B)

Pozor, je to opacˇneˇ, nezˇ by odpovı´dalo na´zvu matice prˇechodu!


1 0

1

0

0

0

0 1

1

1

1

V prave´m bloku po eliminaci ma´me matici PB→C . Zna´me-li sourˇadnice polynomu vzhledem k (C), pak na´sobenı´m maticı´ PB→C zı´ska´me sourˇadnice polynomu vzhledem k (B). Kdybychom potrˇebovali ze sourˇadnice vzhledem k (B) spocˇ´ıtat sourˇadnice vzhledem k (C), pouzˇijeme inverznı´ matici (PB→C )−1 = PB→C.

[4]


[8]

Matice prˇechodu je regula´rnı´

Zmeˇna matice zobrazenı´ prˇi zmeˇneˇ ba´ze

Platı´:

Necht’ A je matice zobrazenı´ A : L1 → L2 vzhledem k ba´zı´m (B) a (C). Necht’ A′ je matice te´hozˇ zobrazenı´, ovsˇem vzhledem k ba´zı´m (B′) a (C′ ). Pak PC′ →C ⋅ A ⋅ PB→B′ = A′

• PB→C je regula´rnı´. • PB→C ⋅ PC→D = PB→D • (PB→C )−1 = PC→B

Naćˇrt du˚kazu:

Du˚kaz: Protozˇe ma´ matice PB→C lin. neza´visle´ sloupce, je regula´rnı´. Soucˇin matic prˇechodu vyply´va´ z veˇty o matici slozˇene´ho zobrazenı´. Je potrˇeba v tomto prˇ´ıpadeˇ skla´dat identicke´ zobrazenı´ a jeho matice vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m. Konecˇneˇ trˇetı´ puntı´k je du˚sledkem druhe´ho.


   sourˇadnice sourˇadnice − → − →     u u    PC′→C ⋅ A ⋅ PB→B′ ⋅   vzhledem  = PC′ →C ⋅ A ⋅  vzhledem  = k (B) k (B′)     sourˇadnice sourˇadnice − → − →     A (u) A (u)     = PC′→C ⋅  = vzhledem   vzhledem  k (C) k (C′ ) 

[5]


[9]

Prˇı´klad

Du ˚ sledky veˇty o zmeˇneˇ matice

Jsou dańy (S) = (1, x, x2) a (C) = (x2 + x, x − 1, x + 2), dveˇ ba´ze linea´rnı´ho prostoru vsˇech polynomu˚ nejvy´sˇe druhe´ho stupneˇ. Najdeme matici prˇechodu PS→C . Ta obsahuje ve sloupcıćh sourˇadnice → ba´zovyćh prvku˚ − c i vzhledem k ba´zi (S), tedy   0 −1 2 PS→C =  1 1 1  1 0 0

Necht’ A je matice zobrazenı´ A : L1 → L2 vzhledem k ba´zı´m (B) a (C). Pak

Jsou-li (α , β , γ ) sourˇadnice polynomu p vzhledem k (C), pak       −β + 2γ 0 −1 2 α 1 1 1⋅ β  = α + β + γ  α γ 1 0 0

jsou sourˇadnice te´hozˇ polynomu vzhledem k ba´zi (S), neboli p(x) = α x2 + (α + β + γ ) x − β + 2γ .

• PC′ →C ⋅ A je matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C′). • A ⋅ PB→B′ je matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B′) a (C). Necht’ A je matice transformace A : L → L vzhledem k ba´zi (B). Pak • PB′ →B ⋅ A ⋅ PB→B′ je matice transformace A vzhledem k ba´zi (B′ ), neboli: • (PB→B′ )−1 ⋅ A ⋅ PB→B′ je matice transformace A vzhledem k (B′).


[10]


[14]

Prˇı´klad

Prˇı´klad

Necht’ A(x1, x2, x3) = (x1 + x2 , x2 + x3, x3 + x1). Najdeme matici te´to transformace ke standardnı´ ba´zi (S). Da´le najdeme matici te´to transformace vzhledem k ba´zi (B) = ((2, 2, 2), (3, 3, 0), (4, 0, 0)).     2 3 4 1 1 0 AS =  0 1 1  , PS→B =  2 3 0  . 2 0 0 1 0 1

Necht’ osa o procha´zı´ pocˇa´tkem a svı´ra´ s osou x u´hel α . Najdeme matici osove´ someˇrnosti podle osy o. − → − → Zvolı´me ba´zi (B) tak, aby vektor b 1 lezˇel v ose o a b 2 byl na nı´ kolmy´. Vzhledem k te´to ba´zi je matice osove´ soumeˇrnosti rovna 1 0 0 −1

Matice AB transformace A vzhledem k ba´zi (B) spocˇ´ıta´me takto:   2 32 2 −1 AB = PB→S ⋅ AS ⋅ PS→B = (PS→B ) ⋅ AS ⋅ PS→B =  0 0 − 4  0

3

3 4

1

Nynı´ provedeme prˇechod od ba´ze (B) k ba´zi (S). Matice osove´ soumeˇrnosti vzhledem k (S) je 1 0 PS→B ⋅ ⋅ PB→S , 0 −1 cos α − sin α cos(−α ) − sin(−α ) PS→B = , PS→B = , sin(−α ) sin α cos α cos(−α ) Srovnejte tento prˇ´ıklad se stranou 17 kapitoly „matice zobrazenı´“.


[11]

Algoritmus: sestavenı´ matice zobrazenı´ vzhledem k libovolny´m ba´zı´m


[15]

Prˇı´klad

Je dańo linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 . Najdeme matici tohoto zobrazenı´ vzhledem k ba´zı´m (B) a (C). Necht’ (S) je ba´ze L2 , vzhledem ke ktere´ se sourˇadnice dobrˇe hledajı´. Sestavı´me matici (PS→C | AB,S), ve ktere´ AB,S znacˇ´ı matici zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B), (S). Eliminujeme na tvar (E | X). Pak X je hledana´ matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C).

ˇ esˇenı´: Oznacˇme matici zobrazenı´ A vzhledem k (B) symbolem AB R a hledanou matici oznacˇme AC. Je AB = PB→C. Podle du˚sledku ze strany [9] je AC = (PB→C)−1 ⋅ AB ⋅ PB→c = (PB→C )−1 ⋅ PB→c ⋅ PB→c = PB→c

Procˇ? Je (PS→C | AB,S ) ∼ (E | PC→S ⋅ AB,S). Prˇitom PC→S ⋅ AB,S je maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k (B) a (C).

Ejhle, matice transformace A vzhledem k ba´zi (C) je stejna´, jako matice te´to transformace vzhledem k ba´zi (B) a je to matice prˇechodu od (B) k (C).

Pozna´mka: matice PS→C a AB,S lze sestavit snadno.


Necht’ A : L → L je linea´rnı´ transformace, ktera´ zobrazı´ ba´zi (B) na ba´zi (C). Vı´me, zˇe matice prˇechodu PB→C je rovna matici te´to transformace A vzhledem k ba´zi (B). Jak vypada´ matice stejne´ transformace vzhledem k ba´zi (C)?

[12]

[1]

Prˇı´klad Je dańo zobrazenı´ A : P3 → P2, ktere´ derivuje polynomy nejvy´sˇe trˇetı´ho stupneˇ. Najdeme matici tohoto zobrazenı´ vzhledem k: (B) = (x3 +x+2, x2 +2x+3, x2 +2, x−1),

(C) = (x2 −x+1, x2 −x−1, x+4)

Zvolı´m (S) = (x2, x, 1). To je ba´ze, vzhledem ke ktere´ se sourˇadnice polynomu˚ z P2 dobrˇe hledajı´. Je:

Afinnı´ transformace

A(x3 +x+2) = 3x2 +1, A(x2 +2x+3) = 2x+2, A(x2 +2) = 2x, A(x−1) = 1

• je posunutı´ plus linea´rnı´ transformace

Sestavı´m matici (PS→C | AB,S) a eliminuji:    1 1 0 3 0 0 0  −1 −1 1 0 2 2 0  ∼  E 1 −1 4 1 2 0 1

• ma´ svou matici vzhledem k homogennı´m sourˇadnicı´m −4 7 3

Hledana´ matice je v prave´m bloku po eliminaci.

−3 3 2

−4 4 2

1 2 − 21

0

• vyuzˇitı´ naprˇ´ıklad v pocˇ´ıtacˇove´ grafice

 


[13]

L


[2]

Prˇı´klad

Idea afinnı´ho prostoru

Je dańa matice A′ zobrazenı´ vzhledem k ba´zı´m (B) a (S2 ). Hleda´me matici A zobrazenı´ vzhledem k ba´zı´m (S1 ) a (S2).

• Linea´rnı´ prostor V volnyćh vektoru˚: dveˇ orientovane´ u´secˇky reprezentujı´ stejny´ volny´ vektor, pokud jsou rovnobeˇzˇne´, stejneˇ velke´ a stejneˇ orientovane´.

Jiny´mi slovy: zna´me zobrazenı´ A na ba´zi (B) a hleda´me vzorec, ktery´ uda´va´ hodnotu tohoto zobrazenı´ v libovolne´m bodeˇ. Naprˇ´ıklad je zna´mo

• Scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ konstantou v linea´rnı´m prostoru V provedeme pomocı´ vhodneˇ zvolenyćh reprezentatnu˚ stejneˇ jako v UO .

A(1, 1, 2) = (1, 0, 1, 0), A(1, 2, 2) = (2, 0, 2, 0), A(2, 1, 5) = (1, 2, 2, 1).

• Kromeˇ vektoru˚ z V budeme v afinnı´m prostoru pracovat s mnozˇinou bodu˚ X. Nove´ operace:

ˇ esˇenı´. Podle strany [9] je A = A′ ⋅ PB→S = A′ ⋅ (PS →B)−1. Matici R 1 1 prˇechodu PS1 →B sestavı´me snadno. Jde tedy o to ji invertovat a na´sobit zprava s danou maticı´ A′.     −1  1 2 1 0 1 0 1 1 2 0 0 2      =  −4 0 2  A= 1 2 2 ⋅ 1 2 1  −2 1 1  2 2 5 −2 0 1 0 0 1

• bod1 + vektor = bod2. Na bod1 nava´zˇeme reprezentanta vektoru a koncovy´ bod tohoto vektoru je vy´sledek operace. • bod1 − bod2 = vektor. Vy´sledkem je vektor s reprezentantem, ktery´ ma´ pocˇa´tecˇnı´ bod2 a koncovy´ bod1.


[3]


[7]

Definice afinnı´ho prostoru

Matice v homogennıćh sourˇadnicıćh

Definice: Necht’ V je linea´rnı´ prostor a X je libovolna´ mnozˇina. Dvojici mnozˇin (X, V) nazy´va´me afinnı´ prostor, pokud kromeˇ operacı´ + a ⋅ na V je definovańa operace + : X × V → X s vlastnostmi: → → (1) P + − o =P ∀ P ∈ X (− o ∈ V je nulovy´ vektor), − → − → − → − → → → (2) (P + u ) + v = P + ( u + v ) ∀ P ∈ X, − u ∈ V, − v ∈ V, − → → (3) ∀ P ∈ X, Q ∈ X existuje jediny´ u ∈ V tak, zˇe P = Q + − u

Zobrazenı´ A : X → X, pro ktere´ existuje matice A ∈ Rn+1,n+1 s vlastnostı´:     homogennı´ homogennı´  sourˇadnice   sourˇadnice         A⋅  bodu P  =  bodu A(P)   vzhledem   vzhledem  k (O, B) k (O, B)

−→ → Vektor − u z vlastnosti (3) znacˇ´ıme P − Q nebo QP.

se nazy´va´ transformace s maticı´ A v homogennıćh sourˇadnicıćh.

Mnozˇina X a linea´rnı´ prostor V mohou by´t jake´koli takove´, aby sˇlo definovat operaci + s uvedeny´mi vlastnostmi. Dobra´ a postacˇujıćı´ prˇedstava afinnı´ho prostoru je linea´rnı´ prostor V volnyćh vektoru˚ a mnozˇina X bodu˚.


kde A′ ∈ Rn,n, t ∈ Rn,1 , o ∈ R1,n je nulovy´ vektor.

[4]

Sourˇadnicovy´ syste´m afinnı´ho prostoru


[8]

Vlastnosti matice v homogennıćh sourˇadnicıćh

Dimenze afinnı´ho prostoru je dimenze linea´rnı´ho prostoru V. Nada´le budeme prˇedpokla´dat afinnı´ prostory s konecˇnou dimenzı´ (zejmeńa s dimenzı´ 3 nebo 2). Zvolme ba´zi (B) prostoru V a da´le bod O ∈ X. Dvojici (O, B) nazy´va´me sourˇadnicovy´m syste´mem afinnı´ho prostoru. → Vektor − u ∈ V ma´ sourˇadnice vzhledem k (O, B) definovańy jako jeho sourˇadnice vzhledem k ba´zi (B).

Bod P ∈ X ma´ sourˇadnice vzhledem k (O, B) definovańy jako sou−→ rˇadnice vektoru OP. Tomuto vektoru rˇ´ıka´me radiusvektor bodu P.


Pozorovańı´: Matice A musı´ by´t tvaru: ′ A t A= o 1

′ A′ t p A ⋅p+t ⋅ = o 1 1 1 tj. bod je transformovań linea´rnı´ transformacı´ s maticı´ A′ a na´sledneˇ posunut o t. ′ ′ A t u A ⋅u ⋅ = o 1 0 0

tj. vektor je pouze transformovań linea´rnı´ transformacı´ s maticı´ A′ .

[5]


[9]

Vlastnosti sourˇadnic v afinnı´m prostoru

Prˇı´klad 2D

→ → Necht’ C je zobrazenı´ sourˇadnic, − u,− v ∈ V, P, Q ∈ X, α ∈ R. Pak − → − → → → (1) C( u + v ) = C(− u ) + C(− v) − → − → (2) C(α ⋅ u ) = α ⋅ C( u ) → → (3) C(Q + − u ) = C(Q) + C(− u)

Obecna´ matice transformace v homogennıćh sourˇadnicıćh ma´ tvar:   a b c d e f . 0 0 1

(4) C(P − Q) = C(P) − C(Q)

Je tedy urcˇena sˇesti parametry.

Du˚kaz: (1) a (2): jsou to obvykle´ sourˇadnice vektoru. (3), (4): stacˇ´ı sourˇadnice bodu˚ vyja´drˇit jako sourˇadnice jejich radiusvektoru˚.

Bod se sourˇadnicemi (x, y) prˇejde prˇi transformaci s touto maticı´ na bod se sourˇadnicemi (x′, y′ ):       ′  ax + by + c x a b c x  y′  =  d e f  ⋅  y  =  dx + ey + f  , 0

1

0

1

1

1

takzˇe bod se transformuje linea´rneˇ a posune o vektor (c, f ).


[6]


[10]

Homogennı´ sourˇadnice

Prˇı´klad 3D

Necht’ ma´ afinnı´ prostor dimenzi n.

Obecna´ matice transformace v homogennıćh sourˇadnicıćh ma´ tvar:   a b c d  e f g h    i j k l . 0 0 0 1

Homogennı´ sourˇadnice vektoru v sourˇadnicove´m syste´mu (O, B) je usporˇa´dana´ (n + 1)-tice; prvnıćh n slozˇek obsahuje sourˇadnice vektoru, poslednı´ slozˇka obsahuje nulu. Homogennı´ sourˇadnice bodu v sourˇadnicove´mu syste´mu (O, B) je usporˇa´dana´ (n + 1)-tice; prvnıćh n slozˇek obsahuje sourˇadnice bodu, poslednı´ slozˇka obsahuje jednicˇku. Pozorovańı´: Tvrzenı´ z prˇedchozı´ strany [5] o sourˇadnicıćh platı´ i v prˇ´ıpadeˇ, zˇe C znacˇ´ı homogennı´ sourˇadnice.

Je urcˇena dvanaćti parametry.

Transformace bodu probı´ha´ podle na´sledujıćı´ho vzorce:       ′  ax + by + cz + d x a b c d x  y′   e f g h   y   ex + fy + gz + h        =  z′   i j k l  ⋅  z  =  ix + jy + kz + l  1

0

0

0

1

1

1


[11]

Skla´dańı´ transformacı´ — soucˇin matic

B′ ⋅ t + s 1

[15]

Prˇı´klad, pokracˇovańı´

Veˇta: Necht’ A a B jsou matice transformacı´ A a B v homogennıćh sourˇadnicıćh ′ ′ A t B s A= , B= o 1 o 1 Pak slozˇena´ transformace B ◦ A ma´ matici: ′ ′ ′ ′ B s A t B ⋅A B⋅A = ⋅ = o 1 o 1 o


.

Pozna´mka: Je (B ◦ A)(x) = (B(A(x)). Du˚kaz veˇty se provede analogicky, jako du˚kaz veˇty o slozˇene´m linea´rnı´m zobrazenı´.


 cos α − sin α −2 cos α + 3 sin α + 2 · · · =  sin α cos α −2 sin α − 3 cos α + 3  . 0 0 1 Takzˇe bod o sourˇadnicıćh (x, y) prˇecha´zı´ po te´to transformaci na bod o sourˇadnicıćh (x′y′), pro ktery´ platı´:  ′     cos α − sin α −2 cos α + 3 sin α + 2 x x ′  y  =  sin α cos α −2 sin α − 3 cos α + 3  ⋅  y  = 1 1 0 0 1   (cos α ) x − (sin α ) y − 2 cos α + 3 sin α + 2 =  (sin α ) x + (cos α ) y − 2 sin α − 3 cos α + 3  1 

[12]


[16]

Inverznı´ transformace — inverznı´ matice

Afinnı´ transformace

Veˇta: Ma´-li transformace A regula´rnı´ matici A v homogennıćh sourˇadnicıćh, pak je prosta´ a na a A−1 ma´ matici A−1 v homogennıćh sourˇadnicıćh.

Definice: Necht’ (X, V) je afinnı´ prostor. Transformace A : X → X se nazy´va´ afinnı´, pokud existuje linea´rnı´ transformace A′ : V → V tak, zˇe → → A(P + − u ) = A(P) + A′ (− u)

Pozorovańı´: Je-li

A=

′

A o

t 1

,

pak

A−1 =

′ −1

(A ) o

′ −1

− (A ) t 1

→ ∀ P ∈ X, − u ∈ V.

−→ Zvolme bod O ∈ X. Protozˇe pro kazˇdy´ P ∈ X platı´ P = O + OP, je ′ −→ A(P) = A(O) + A (OP), takzˇe kazˇda´ afinnı´ transformace je jednoznacˇneˇ urcˇena hodnotou A(O) a linea´rnı´ transformacı´ A′ : V → V.

Inverznı´ matice k A existuje, pra´veˇ kdyzˇ A′ je regula´rnı´.

Protozˇe kazˇda´ linea´rnı´ transformace A′ : V → V je jednoznacˇneˇ − → − → − → urcˇena hodnotami na ba´zi (B) = ( b 1, b 2 , . . . , b n), je kazˇda´ afinnı´ transformace jednoznacˇneˇ urcˇena hodnotami v n + 1 bodech: − → − → − → O, O + b 1 , O + b 2 , . . . , O + b n.


[13]


Prˇı´klad: elementa´rnı´ transformace ve 2D

Matice afinnı´ transformace

Zmeˇna meˇrˇı´tka ma´ matici v homogennıćh sourˇadnicıćh:   a 0 0 0 b 0. 0 0 1

je jejı´ matice v homogennıćh sourˇadnicıćh. Je trˇeba uka´zat: • Kazˇda´ transformace, ktera´ ma´ matici v homogennıćh sourˇadnicıćh, je afinnı´. • Kazˇda´ afinnı´ transformace ma´ matici v homog. sourˇadnicıćh.

Rotace o u´hel α ma´ matici v homogennıćh sourˇadnicıćh:   cos α − sin α 0  sin α cos α 0  , 0 0 1

Posunutı´ o vektor se sourˇadnicemi (tx, ty) ma´ matici v homogennıćh sourˇadnicıćh:   1 0 tx  0 1 ty  0 0 1 Dalsˇ´ı transformace vznikajı´ skla´dańı´m teˇchto transformacı´. BI-LIN, algebra-all, 13, P. Olsˇa´k

Puntı´k prvnı´: Je dańa matice A neˇjake´ transformace v homogennıćh sourˇadnicıćh vzhledem k (O, B). Matice hledane´ho zobrazenı´ A′ je take´ matice A. Jsou-li p sourˇadnice bodu P ∈ X a u sourˇadnice → vektoru − u ∈ V, pak p+u p u A⋅ =A⋅ +A⋅ . 1 1 0 Puntı´k druhy´: Hledana´ matice obsahuje ve sloupcıćh homogennı´ sourˇadnice obrazu˚ ba´ze na´sledovane´ homogennı´mi sourˇadicemi obrazu bodu O. Takova´ matice urcˇuje hodnoty afinnı´ transformace − → na bodech O, O+ b i, takzˇe urcˇuje afinnı´ transformaci jednoznacˇneˇ.

[14]


Prˇı´klad

Vlastnosti afinnı´ transformace

Najdeme matici (v homogennıćh sourˇadnicıćh) rotace o u´hlel α kolem bodu (2, 3).

• Skla´dańı´ afinnıćh transformacı´ je afinnı´ transformace

Uvedena´ transformace je slozˇenı´m na´sledujıćıćh transformacı´: • posunutı´ o vektor (−2, 3), • rotace o u´hel α , • posunutı´ o vektor (2, 3). Matice vy´sledne´ transformace je soucˇinem matic: posunutı´ o (2, 3) ⋅ rotace o u´hel α ⋅ posunutı´ o (−2, −3) =       1 0 −2 cos α − sin α 0 1 0 2 =  0 1 3  ⋅  sin α cos α 0  ⋅  0 1 −3  = · · · 0 0 1 0 0 1 0 0 1

[17]

[18]

• Afinnı´ transformace je prosta´ pra´veˇ kdyzˇ je na pra´veˇ kdyzˇ ma´ regula´rnı´ matici v homogennıćh sourˇadnicıćh. • Je-li afinı´ transformace prosta´, pak jejı´ inverze je take´ afinı´ transformace. • Prosta´ afinnı´ transformace zobrazuje rovnobeˇzˇne´ prˇ´ımky na rovnobeˇzˇne´ prˇ´ımky.


[19]


[4]

Prˇı´klad

Invariantnı´ podprostor

Je dańa afinnı´ tansformace ve 2D prostoru takova´, zˇe posune pocˇa´tek sourˇadnicove´ho syste´mu do bodu (3, 2) a transformuje prvnı´ ba´zovy´ vektor na vektor se sourˇadnicemi (−1, 2), druhy´ ba´zovy´ vektor transformuje na vektor se sourˇadnicemi (4, 1).

Necht’ A : L → L je linea´rnı´ transformace. Podprostor P ⊂ L, pro ktery´ platı´ A(P) = P nazy´va´me invariantnı´ podprostor vzhledem k A.

Najdeme matici v homogennıćh sourˇadnicıćh te´to transformace. Podle prˇedchozı´ho matice obsahuje homogennı´ sourˇadnice obrazu˚ ba´ze a v poslednı´m sloupci homogennı´ sourˇadnice obrazu pocˇa´tku. Tedy   −1 4 3  A= 2 1 2. 0 0 1 Prona´sobı´me-li pixelove´ sourˇadnice kazˇde´ho pixelu touto maticı´, dosta´va´me pixelove´ sourˇadnice obazu: maticovy´m na´sobenı´m mu˚zˇeme tansformovat dvourozmeˇrny´ obra´zek.

Prˇedbeˇzˇna´ u ´ vaha: Je-li L linea´rnı´ prostor nad C, pak zarucˇeneˇ existujı´ vlastnı´ cˇ´ısla → → → → λ ∈ C, pro ktera´ je A(− x ) = λ− x,− x 6= − o . Spolecˇneˇ s nulovy´m vektorem tvorˇ´ı vsˇechny vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejıćı´ pevneˇ vybrane´mu vlastnı´mu cˇ´ıslu λ invariantnı´ podprostor. → Je-li L linea´rnı´ prostor nad R, pak kromeˇ {− o } a L dalsˇ´ı invariantnı´ podprostory vzhledem k A nemusejı´ existovat: vlastnı´ cˇ´ısla mohou by´t jen komplexnı´. Naprˇ´ıklad A je rotace.

[1]


[5]

Vlastnı´ cˇı´slo, vlastnı´ vektor matice

Vlastnı´ cˇı´slo, vektor

Definice: Necht’ A je cˇtvercova´ matice typu (n, n) rea´lnyćh nebo komplexnıćh cˇ´ısel. Cˇ´ıslo λ ∈ C se nazy´va´ vlastnı´m cˇ´ıslem matice A, pokud existuje vektor x ∈ Cn,1, x 6= o, takovy´, zˇe A ⋅ x = λ x. Vektor x, ktery´ splnˇuje uvedenou rovnost, se nazy´va´ vlastnı´ vektor matice A prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .

• motivace: smeˇr prˇ´ımky, kterou lin. transformace nezmeˇnı´

Pozorovańı´: Z rovnosti A ⋅ x = λ x plyne (A − λ E) x = o. Protozˇe z definice musı´ x 6= o, je trˇeba, aby soustava meˇla nenulove´ rˇesˇenı´, tedy musı´ det(A − λ E) = 0.

• invariantnı´ podprostory

Definice: Polynom v promeˇnne´ λ tvaru det(A − λ E) se nazy´va´ charakteristicky´ polynom matice A.

• charakteristicky´ polynom • ba´ze, vzhledem ke ktere´ je matice transformace nejjednodusˇsˇ´ı • podobnost s diagona´lnı´ maticı´


Pozorovańı´: Charakteristicky´ polynom je stupneˇ n a jeho korˇeny jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Matice A ma´ tedy (vcˇetneˇ na´sobnostı´) n vlastnıćh cˇ´ısel.

L


[2]


[6]

Motivace

Vlastnı´ cˇı´slo, vlastnı´ vektor transformace

Je dańa transformace A : R2 → R2 . Najdeme takovou prˇ´ımku p procha´zejıćı´ pocˇa´tkem, aby A(p) = p.

Definice: Necht’ L je linea´rnı´ prostor konecˇne´ dimenze nad C a necht’ A : L → L je linea´rnı´ transformace. Cˇ´ıslo λ ∈ C se nazy´va´ → vlastnı´m cˇ´ıslem transformace A, pokud existuje vektor − x ∈ L, − → − → − → − → − → x 6= o takovy´, zˇe A( x ) = λ x . Vektor x , ktery´ splnˇuje uvedenou rovnost, se nazy´va´ vlastnı´ vektor transformace A prˇ´ıslusˇny´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .

→ p = {t− u ; t ∈ R},

→ → A(p) = {A(t− u ); t ∈ R} = {t A(− u ); t ∈ R}

→ → → u . Prˇitom − u musı´ Musı´ tedy existovat λ ∈ R tak, aby A(− u ) = λ− by´t nenulovy´ vektor. Zvolme v R2 neˇjakou ba´zi (naprˇ. standardnı´). Necht’ x jsou sou→ rˇadnice − u vzhledem k te´to ba´zi a A je matice transforamce A vzhledem k te´to ba´zi. Pak musı´ Ax = λ x,

x 6= o,

tj. (A − λ E) x = o,

x 6= o

Takzˇe matice A − λ E musı´ by´t singula´rnı´, neboli det(A − λ E) = 0. → Cˇ´ıslu λ budeme rˇ´ıkat vlastnı´ cˇ´ıslo a vektoru − u rˇ´ıka´me vlastnı´

Pozorovańı´: Vlastnı´ cˇ´ıslo transformace A je stejne´ jako vlastnı´ cˇ´ıslo jejı´ matice A vzhledem k jake´koli ba´zi (B). Vlastnı´ vektor matice A pak obsahuje sourˇadnice vlastnı´ho vektoru transformace A vzhledem k ba´zi (B). Du ˚ sledek: Vsˇechny matice stejne´ linea´rnı´ transformace (vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m) majı´ shodna´ vlastnı´ cˇ´ısla (majı´ shodne´ spektrum).

vektor transformace A prˇ´ıslusˇejıćı´ vlastnı´mu cˇ´ıslu λ .


[3]


Vlastnı´ cˇı´sla jsou i komplexnı´

Prˇı´klad

Kvadraticka´ rovnice det(A − λ E) = 0 (viz prˇedchozı´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad) mu˚zˇe ale nemusı´ mı´t rea´lne´ korˇeny. Pokud ma´ dva ru˚zne´ rea´lne´ korˇeny, pak existujı´ dva smeˇry, ktere´ transformace A nemeˇnı´. Tj. existujı´ dveˇ prˇ´ımky, pro ktere´ je A(p) = p. Naprˇ´ıklad zkosenı´, ktere´ (1, 0) necha´ beze zmeˇny a (0, 1) zobrazı´ na (1, 1/2).

Je dańa matice

Pokud jsou korˇeny rovnice det(A − λ E) = 0 komplexnı´, pak neexistujı´ prˇ´ımky, pro ktere´ je A(p) = p (naprˇ´ıklad rotace). Pokud bychom chteˇli najı´t vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejıćı´ komplexnı´m vlastnı´m cˇ´ıslu˚m, budou mı´t komplexnı´ sourˇadnice. Je tedy potrˇeba pracovat s linea´rnı´m prostorem nad komplexnı´mi cˇ´ısly. Budeme potrˇebovat za´ruku existence vlastnıćh cˇ´ısel. Budeme tedy muset prˇipustit komplexnı´ vlastnı´ cˇ´ısla a pracovat s linea´rnı´ prostorem L nad C.

[7]

 5 −2 2 A =  −1 4 −1  . −4 4 −1 Najdeme jejı´ vlastnı´ cˇ´ısla a k nim prˇ´ıslusˇejıćı´ vlastnı´ vektory.   −2 2 5−λ det  −1 4−λ −1  = −λ 3 −8λ 2 + 21λ −18 = −(λ −3)2 (λ −2) −4 4 −1 − λ 

Toto je charakteristicky´ polynom matice A. Ma´ dvojna´sobny´ korˇen λ = 3 a jednona´sobny´ korˇen λ = 2. Tyto korˇeny jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Najdeme jesˇteˇ vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejıćı´ vlastnı´m cˇ´ıslu˚m 3 a 2. . .

[8]


Prˇı´klad, pokracˇovańı´  5 − 3 −2 2  −1 4−3 −1  ∼ ( 1 −4 4 −1 − 3

−1

´ loha: Budeme se pta´t, za jakyćh podmıńek je cˇtvercova´ matice A U podobna´ s diagona´lnı´ maticı´ tvaru:   λ1 0 0 . . . 0  0 λ2 0 . . . 0     D=  0 0 λ3 . . . 0  .  ...................  0 0 0 . . . λn

1),

takzˇe k λ = 3 prˇ´ıslusˇ´ı vlastnı´ vektory z 〈(1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉.   5 − 2 −2 2 −1 2 −1  −1  ∼ . λ =2: 4−2 −1 0 4 −1 −4 4 −1 − 2

takzˇe k λ = 2 prˇ´ıslusˇ´ı vlastnı´ vektory z 〈(−2, 1, 4)〉.

Pro vlastnı´ cˇ´ısla a vlastnı´ vektory platı´ naprˇ. na´sledujıćı´ vztahy:           −2 −2 5 −2 2 1 1 5 −2 2  −1 4 −1  1  = 3 1  ,  −1 4 −1  1  = 2 1  −4

4

−1

0

0

[12]

Podobnost s diagona´lnı´ maticı´



λ =3:


−4

4

−1

4

4

Jiny´ pohled na u´lohu: je dańa transformace A svou maticı´ A vzhledem k neˇjake´ ba´zi. Pta´me se, zda existuje jina´ ba´ze, vzhledem ke ktere´ je matice transformace A diagona´lnı´. Pta´me se tedy, zda lze vhodnou volbou ba´ze co nejvıće zjednodusˇit matici transformace azˇ na diagona´lnı´ tvar. Pokud se to povede, pak z pohledu takove´ ba´ze je transformace A jen zmeˇnou meˇrˇ´ıtka ve smeˇrech vektoru˚ ba´ze (resp. projekce).

[9]



[13]

Rovnost A ⋅ P = P ⋅ D

Jiny´ prˇı´klad 

2 Je dańa matice B =  −1 −1 Jejı´ charakteristicky´ polynom je

4 10 8

 −3 −6  . −4

Veˇta: Necht’ A, P a D jsou cˇtvercove´ matice typu (n, n), necht’ P obsahuje nenulove´ sloupce a necht’ D je diagona´lnı´. Pak platı´ A⋅P = P⋅D pra´veˇ tehdy, kdyzˇ D obsahuje vlastnı´ cˇ´ısla matice A a i-ty´ sloupec matice P obsahuje vlastnı´ vektor prˇ´ıslusˇejıćı´ i-te´mu vlastnı´mu cˇ´ıslu v D.

det(B − λ E) = −λ 3 − 8λ 2 + 21λ − 18 = − (λ − 3)2 (λ − 2). Hleda´me vlastnı´ vektory prˇ´ıslusˇejıćı´ vlastnı´m cˇ´ıslu˚m 3 a 2:   vlastnı´ 2−3 4 −3 −1 4 −3  vektor: λ =3: −1 10 − 3 −6  ∼ 0 1 −1 (1, 1, 1) −1 8 −4 − 3   vlastnı´ 2−2 4 −3 −1 8 −6  vektor: ∼ λ = 2 :  −1 10 − 2 −6 0 4 −3 (0, 3, 4) −1 8 −4 − 2

Du˚kaz: Necht’ D obsahuje na diagona´le cˇ´ısla λi . Rozna´sobenı´m rovnosti A ⋅ P = P ⋅ D po sloupcıćh matice P = (p1, p2 , . . . , pn) dosta´va´me rovnosti A ⋅ pi = λi pi . Tyto rovnosti platı´ pra´veˇ kdyzˇ λi je vlastnı´ cˇ´ıslo matice A a pi je k neˇmu prˇ´ıslusˇejıćı´ vlastnı´ vektor. Pozorovańı´: Kdyby byla P regula´rnı´, pak P−1AP = D, takzˇe A bude podobna´ s diagona´lnı´ maticı´.

B ma´ stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla jako A, ale jine´ invariantnı´ prostory.


[10]


[14]

Podobne´ matice

Podmıńka podobnosti s diagona´lnı´ maticı´

Idea: Jak se „podobajı´ “ matice A a A′ stejne´ linea´rnı´ transformace A, jen vzhledem k ru˚zny´m ba´zı´m (B) a (B′ )? Platı´:

Tvrzenı´: Matice A typu (n, n) je podobna´ s diagona´lnı´ maticı´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ n linea´rneˇ neza´vislyćh vlastnıćh vektoru˚.

A′ = (PB→B′ )−1 ⋅ A ⋅ PB→B′

Skutecˇneˇ, stacˇ´ı tyto vektory napsat do sloupcu˚ matice P, da´le sestavit diagona´lnı´ matici D z odpovı´dajıćıćh vlastnıćh cˇ´ısel a platı´ rovnost z prˇedchozı´ strany.

To na´s ispiruje k na´sledujıćı´ ˇ ´ıka´me, zˇe dveˇ cˇtvercove´ matice A, B ∈ Rn,n jsou poDefinici: R dobne´, pokud existuje regula´rnı´ matice P ∈ Rn,n takova´, zˇe B = P−1 ⋅ A ⋅ P.

Veˇta: Ru˚zna´ vlastnı´ cˇ´ısla majı´ linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory. Du˚kaz: technicky´, viz skriptum. Du ˚ sledek: Ma´-li matice A pouze jednona´sobna´ vlastnı´ cˇ´ısla (teˇch je n a jsou vza´jemneˇ ru˚zna´), pak je podobna´ s diagona´lnı´ maticı´.

Pozorovańı´1: podobnost je relace ekvivalence.

Upozorneˇnı´: Obraćene´ tvrzenı´ „A je podobna´ s diagona´lnı´, pak ma´ vza´jemneˇ ru˚zna´ vlastnı´ cˇ´ısla“ neplatı´. Naprˇ. E ma´ n-na´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo 1 a je prˇ´ımo rovna diagona´lnı´ matici.

Pozorovańı´2: podobne´ matice majı´ stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla.


[11]


[15]

Podobne´ matice majı´ stejny´ char. polynom

Prˇı´klad

Tvrzenı´: Podobne´ matice majı´ stejny´ charakteristicky´ polynom.

Matice A z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu je podobna´ s diagona´lnı´. Ma´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory, naprˇ.

−1

Du˚kaz: Necht’ B = P AP je matice podobna´ s A. Je det (P−1AP − λ E) = det (P−1AP − λ P−1 EP) = = det (P−1AP − P−1λ EP) = = det (P−1 (A − λ E) P) = = det P−1 det (A − λ E) det P = det (A − λ E). Upozorneˇnı´: Obraćene´ tvrzenı´ „majı´-li dveˇ matice stejny´ charakteristicky´ polynom, pak jsou podobne´“ neplatı´. Za chvı´li uka´zˇeme, zˇe matice A a B z prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚ nejsou podobne´.

(1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4). Tudı´zˇ platı´ −1   5 1 −1 −2 1 0 1  ⋅  −1 0

1

4

−4

−2 4 4

  1 2 −1  ⋅  1 0 −1

−1 0 1

  3 −2 1  = 0 0 4

 0 0 3 0 0 2

Matice B z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu nenı´ podobna´ s diagona´lnı´, protozˇe nema´ trˇi linea´rneˇ neza´visle´ vlastnı´ vektory. Takzˇe: matice A a B nejsou vza´jemneˇ podobne´, acˇkoli majı´ stejny´ charakteristicky´ polynom a stejna´ vlastnı´ cˇ´ısla.


[16]

[1]

Prˇı´klad: zmeˇna ba´ze

Skala´rnı´ soucˇin

Matice A z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu odpovı´da´ transformaci: x′ = 5x − 2y + 2z y′ = − x + 4y − z z′ = − 4x + 4y − z

• axiomaticka´ definice

Vzhledem k ba´zi (C) = ((1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4)) ma´ tata´zˇ transformace diagona´lnı´ matici   3 0 0 D = 0 3 0 0 0

2

• odvozenı´ velikosti vektoru˚ a u´hlu mezi vektory • geometricka´ interpretace • ortogonalita • vlastnosti ortonorma´lnıćh ba´zi

takzˇe v te´to ba´zi se sourˇadnice obrazu pocˇ´ıtajı´ takto: x′ = 3x,

y′ = 3y,

z′ = 2z.


L

. Viz p. d. 4/2010

[17]

Nutna´ podmıńka podobnosti s diagona´lnı´ maticı´


[2]

Definice skala´rnı´ho soucˇinu

Da´ se uka´zat, zˇe dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E je vzˇdy mensˇ´ı nebo rovna na´sobnosti vlastnı´ho cˇ´ısla λ . Matice A typu (n, n) je podobna´ s diagona´lnı´ pra´veˇ kdyzˇ ma´ n linea´rneˇ neza´vislyćh vlastnıćh vektoru˚. To znamena´, zˇe ma´-li k na´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ , musı´ mu prˇ´ıslusˇet k linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚, neboli dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E musı´ by´t prˇesneˇ rovna k. Pokud tedy pro kazˇde´ vıćena´sobne´ vlastnı´ cˇ´ıslo λ je dimenze nulove´ho prostoru matice A − λ E prˇesneˇ rovna na´sobnosti tohoto vlastnı´ho cˇ´ısla, je matice A podobna´ s diagona´lnı´ maticı´.

Necht’ L je linea´rnı´ prostor nad R. Operaci ⋅ : L × L → R nazy´va´me → → → skala´rnı´ soucˇin, pokud pro vsˇechna − x ,− y ,− z splnˇuje: → → → → (1) − x ⋅− y =− y ⋅− x, → → → → → → → (2) (− x +− y)⋅− z =− x ⋅− z +− y ⋅− z, − → − → − → − → (3) (α ⋅ x ) ⋅ y = α ⋅ ( x ⋅ y ), → → → → → → (4) − x ⋅− x ≥ 0, − x ⋅− x = 0 jen tehdy, kdyzˇ − x =− o. Pozna´mka: Je-li L linea´rnı´ prostor nad C, pak se skala´rnı´m soucˇinem oznacˇuje operace ⋅ : L × L → C se stejny´mi vlastnostmi, jako vy´sˇe, azˇ na prvnı´. Mı´sto nı´ je: − → → → → x ⋅− y =− y ⋅− x Cˇ´ısla jsou si vza´jemneˇ komplexneˇ sdruzˇena´.


[18]


Jordanu ˚ v kanonicky´ tvar

Prˇı´klady skala´rnıćh soucˇinu ˚

Da´ se uka´zat, zˇe kazˇda´ matice A je podobna´ asponˇ se „skoro diagona´lnı´ “ maticı´ tvaru:     λi 1 0 . . . 0 J1 O . . . O  0 λi 1 . . . 0   O J2 . . . O      , kde Ji =  J= ...     ...  0 0 0 ... 1  O O . . . Jm 0 0 0 . . . λi

• V Rn definujeme

Cˇ´ısla λi jsou vlastnı´ cˇ´ısla matice A. Matici J se rˇ´ıka´ Jordanu ˚v kanonicky´ tvar matice A. Na diagona´le matice J se objevı´ kazˇde´ vlastnı´ cˇ´ıslo tolikra´t, kolik je jeho na´sobnost.

(x1 , x2, . . . xn) ⋅ (y1, y2, . . . , yn) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn. Toto je skala´rnı´ soucˇin, skutecˇneˇ splnˇuje axiomy (1) azˇ (4). • V prostoru orientovanyćh u´secˇek definujeme skala´rnı´ soucˇin − → → → → u ⋅− v = ||− u || ||− v || cos α , kde || . . . || znacˇ´ı velikost vektoru a α je u´hel mezi vektory. • V linea´rnı´m prostoru spojityćh funkcı´ na intervalu 〈0, 1〉 definujeme skala´rnı´ soucˇin 1

f ⋅ g = ∫ f (x) g(x) dx

Dimenze nulove´ho prostoru matice A−λ E odpovı´da´ pocˇtu Jordanovyćh bloku˚ Ji se stejny´m vlastnı´m cˇ´ıslem λ . Takzˇe tyto Jordanovy bloky se mohou pro stejne´ (vıćena´sobne´) vlastnı´ cˇ´ıslo opakovat. BI-LIN, algebra-all, 14, P. Olsˇa´k

0

[19]


Cvicˇenı´

Dalsˇı´ skala´rnı´ soucˇiny v R

• Vysveˇtlete, procˇ det A je roven soucˇinu vlastnıćh cˇ´ısel matice A.

Na R2 je operace

• Vysveˇtlete, procˇ det A je roven absolutnı´mu cˇlenu charakteristicke´ho polynomu matice A.

(x1, x2) ◦ (y1, y2) = (x1, x2)

• Prˇedpokla´dejte A matici podobnou s diagona´lnı´. Kdyzˇ do charakteristicke´ho polynomu matice A mı´sto λ zapı´sˇete matici A, dosta´va´te nulovou matici. Procˇ? • Prˇedchozı´ tvrzenı´ patı´ i pro matice, ktere´ nejsou podobne´ s diagona´lnı´ maticı´.

[3]

1 2 2 6

y1 y2

[4]

n

= x1y1 + 6x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1 .

take´ skala´rnı´ soucˇin. Na druhe´ straneˇ trˇeba 1 2 y1 (x1, x2) ◦ (y1, y2) = (x1, x2) = x1y1 + 2x2 y2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 2 2 y2 nenı´ skala´rnı´ soucˇin (neplatı´ axiom 4). Obecneˇ, je-li A symetricka´ a pozitivneˇ definitnı´ matice (vsˇechny hlavnı´ subdeterminanty jsou kladne´), pak T − → → x ⋅A⋅− y

→ → je skala´rnı´ soucˇin. Z tohoto pohledu nazy´va´me − x ⋅− y standardnı´m n skala´rnı´m soucˇinem na R . T


[5]


[9]

Skala´rnı´ soucˇin −→ velikost

Prˇı´klady

V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme velikost → → vektoru − x , neboli normu vektoru − x vzorcem √ → → → x ⋅− x. ||− x || = −

Pythagorova veˇta: Pravou´hly´ troju´helnı´k budou tvorˇit dva na → → sebe kolme´ vektory − x a− y . Jejich rozdı´l tvorˇ´ı prˇeponu.

Axiom (4) zarucˇuje, zˇe velikost je definovańa pro libovolny´ vektor a zˇe nulovou velikost ma´ pouze nulovy´ vektor. → → Tvrzenı´: ||α − x || = |α | ⋅ ||− x ||, protozˇe p √ √ √ → → → → → → → → x || x || = α − x ⋅ α− x = α 2 (− x ⋅− x = |α | ⋅ ||− ||α − x ⋅− x ) = α2 −

→ → Ve vy´pocˇtu jsme vyuzˇili toho, zˇe dva nenulove´ vektory − x a− y jsou − → − → na sebe kolme´ pra´veˇ kdyzˇ x ⋅ y = 0.

→ → → → → → → → → → → → → → ||− x −− y ||2 = (− x −− y ) ⋅ (− x −− y)=− x ⋅− x − 2− x ⋅− y +− y ⋅− y = ||− x ||2 + ||− y ||2

Rovnobeˇzˇnı´kova´ rovnost: soucˇet druhyćh mocnin velikostı´ u´hloprˇ´ıcˇek v rovnobeˇzˇnı´ku je roven dvojna´sobku soucˇtu druhyćh mocnin velikostı´ sousednıćh stran. → → → → → → ||− x +− y ||2 + ||− x −− y ||2 = 2 ||− x ||2 + ||− y ||2 . protozˇe

→ → → → → → → → → → → → ||− x +− y ||2 + ||− x −− y ||2 = ||− x ||2 + 2− x ⋅− y + ||− y ||2 + ||− x ||2 − 2− x ⋅− y + ||− y ||2 .


[6]


[10]

Skala´rnı´ soucˇin −→ u ´ hel mezi vektory

Ortonorma´lnı´ ba´ze

V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme u´hel → → mezi dveˇma nenulovy´mi vektory − x a− y jako takove´ φ ∈ 〈0, π ), pro ktere´ je − → → x ⋅− y cos φ = − → → || x || ||− y ||

Na linea´rnı´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem mu˚zˇeme meˇrˇit velikosti vektoru˚ a u´hly mezi nenulovy´mi vektory. → → Zejmeńa kolmost (ortogonalitu) dvou nenulovyćh vektoru˚ − x a− y → → pozna´me podle podmıńky − x ⋅− y = 0.

Zˇe cos φ v uvedene´m vzorci existuje pro libovolne´ dva nenulove´ vektory zarucˇuje Schwartzova nerovnost: Pro libovolne´ dva vektory platı´

Definice: Ba´ze se nazy´va´ ortogona´lnı´, pokud pro kazˇde´ dva ru˚zne´ − → − → − → − → prvky ba´ze b i a b j platı´ b i ⋅ b j = 0.

→ → → → |− x ⋅− y | ≤ ||− x || ⋅ ||− y ||. → → → → → → → → → → y ) ⋅ (− x +α − y)=− x ⋅− x + α ⋅ 2(− x ⋅− y ) + α 2 ⋅ (− y ⋅− y ). Du˚kaz: 0 ≤ (− x +α − 2 Pro uvedeny´ kvadraticky´ polynom Aα + Bα + C musı´ platit: → → → → x ||2 ||− y ||2 , B2 − 4AC ≤ 0, tj. B2 ≤ 4AC, tj. (−2(− x ⋅− y ))2 ≤ 4 ||− p p p − → − → − → − → − → − → − → − → tj. ( x ⋅ y )2 ≤ || x ||2 || y ||2 tj. | x ⋅ y | ≤ || x || ⋅ || y ||. BI-LIN, algebra-all, 15, P. Olsˇa´k

Mezi ru˚zny´mi ba´zemi se uka´zˇe vy´hodne´ vybı´rat takove´ ba´ze, ve kteryćh jsou si vsˇechny vektory navza´jem kolme´ a majı´ jednotkovou velikost. Tyto ba´ze nazy´va´me ortonorma´lnı´.

Ba´ze se nazy´va´ ortonorma´lnı´, je-li ortogona´lnı´ a vsˇechny jejı´ prvky majı´ jednotkovou velikost, neboli − → − → 1 pro i = j, bi⋅ bj = 0 pro i 6= j.

[7]


[11]

Skala´rnı´ soucˇin −→ vzda´lenost vektoru ˚

Skala´rnı´ soucˇin pocˇı´tany´ pomocı´ sourˇadnic

V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme vzda´→ → lenost mezi dveˇma vektory − x a− y , neboli metriku vzorcem

Veˇta: Necht’ (B) je konecˇna´ ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho pro→ storu L. Necht’ (x1, x2, . . . , xn) jsou sourˇadnice vektoru − x vzhledem → k ba´zi (B) a necht’ (y1, y2, . . . , yn) jsou sourˇadnice vektoru − y vzhledem k ba´zi (B). Pak

→ → → → ρ (− x ,− y ) = ||− x −− y || Pro metriku patı´ troju ´ helnı´kova´ nerovnost:

− → → x ⋅− y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .

→ → → → → → ρ (− x ,− y ) + ρ (− y ,− z ) ≥ ρ (− x ,− z ), → → → → → → → → → neboli ||− x −− y || + ||− y −− z || ≥ ||− x −− z ||, ktera´ oznacˇenı´ − a =− x −− y, − → − → − → b = y − z prˇecha´zı´ na tvar − → − → → → ||− a || + || b || ≥ ||− a + b ||. − → − → → − → →− − → − →− → → → → Du˚kaz: ||− a + b ||2 = (− a + b ) ⋅ (− a + b) =− a→ a + 2− a b + b b ≤ − → − → 2 − → − → − → − → 2 (Schwartzova nerovnost) ≤ || a || +2 || a ||⋅|| b ||+|| b || = (|| a ||+|| b ||)2 .


Du˚kaz: − → − → − → − → − → − → (x1 b 1 + x2 b 2 + · · · + xn b n) ⋅ (y1 b 1 + y2 b 2 + · · · + yn b n) = − → − → − → − → − → − → − → − → = x1 y1 b 1 ⋅ b 1 + x2 y1 b 2 ⋅ b 1 + · · · + x1 y2 b 1 ⋅ b 2 + · · · + xn yn b n ⋅ b n = = x1 y1 ⋅ 1 + x2 y1 ⋅ 0 + · · · + x1 y2 ⋅ 0 + · · · + xn yn ⋅ 1 = = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .

[8]


[12]

Axiomy metriky a normy

Kolmost zarucˇuje linea´rnı´ neza´vislost

Je-li na mnozˇineˇ L zavedena metrika ρ (x, y) s vlastnostmi

→ → → Veˇta: Necht’ − x 1, − x 2, . . . , − x n jsou nenulove´ vektory, ktere´ jsou na sebe navza´jem kolme´. Pak jsou tyto vektory linea´rneˇ neza´visle´.

(1) (2) (3)

ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 pra´veˇ kdyzˇ x = y, ρ (x, y) = ρ (y, x), ρ (x, y) + ρ (y, z) ≥ ρ (x, z),

rˇ´ıka´me mnozˇineˇ L s metrikou ρ metricky´ prostor. Je-li na linea´rnı´m prostoru L zavedena norma || . . . || s vlastnostmi → → → → (1) ||− x || ≥ 0, ||− x || = 0 pra´veˇ kdyzˇ − x =− o, − → − → (2) ||α x || = |α | ⋅ || x ||, → → → → (3) ||− x +− y || ≤ ||− x || + ||− y ||, rˇ´ıka´me prostoru L linea´rnı´ prostor s normou. My jsme odvodili normu a metriku ze skala´rnı´ho soucˇinu. Je ovsˇem mozˇne´ je zave´st jen podle uvedenyćh axiomu˚, nebo zave´st normu − → − → − → − →

Du˚kaz: Oveˇrˇ´ıme → → → → α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − xn=− o

αi = 0 ∀ i

⇒

→ Vyna´sobı´me-li obeˇ strany rovnosti skala´rneˇ vektorem − x i, dosta´va´me na leve´ straneˇ soucˇet nul s vy´jimkou jedine´ho scˇ´ıtance, pro→ → tozˇe vektor − x i je kolmy´ na vsˇechny vsˇechny ostatnı´ vektory − x j. Ma´me tedy → → → → xi⋅− xi=− o ⋅− x i = 0. αi − − → − → Protozˇe x ⋅ x je nenulove´ cˇ´ıslo, musı´ by´t α = 0. Tuto operaci i

i

i

mu˚zˇeme prove´st pro kazˇdy´ index i ∈ {1, 2, . . . , n}, takzˇe vsˇechna cˇ´ısla cˇ´ısla αi jsou nutneˇ nulova´.


[13]

Sourˇadnice pocˇı´tane´ ze skala´rnı´ho soucˇinu − → − → − → Veˇta: Necht’ (B) = ( b 1 , b 2 , . . . , b n) je ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Pak sourˇadnice libovolne´ho → vektoru − x vzhledem k ba´zi (B) jsou − → →− → − → → → (− x ⋅ b 1, − x ⋅ b 2, . . . , − x ⋅ b n). − → − → − → − → − → − → → → → → Du˚kaz: Oznacˇme − y = (− x ⋅ b 1 ) b 1 + (− x ⋅ b 2 ) b 2 + · · · + (− x ⋅ b n) b n. − → → → → Ma´me doka´zat, zˇe − x =− y . Na´sobme vektor − y vektorem b i : − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → → y ⋅ b i = (( x ⋅ b 1 ) b 1 + ( x ⋅ b 2 ) b 2 + · · · + (− x ⋅ b n) b n) ⋅ b i = − → − → − → − → → → = (− x ⋅ b i) b i ⋅ b i = − x ⋅ b i, − → − − → − → protozˇe ba´ze je ortonorma´lnı´. Je x ⋅ b i = → y ⋅ b i ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. − → → → → → Co, kdyby − x 6= − y ? Vektor − x −− y je kolmy´ na vsˇechny prvky b i , − → − → − → − → − − → − → → → protozˇe ( x − y ) ⋅ b i = 0. Pak jsou vektory b 1, b 2 , . . . , b n, x − − y linea´rneˇ neza´visle´, ale to je ve sporu s tı´m, zˇe (B) je ba´ze. BI-LIN, algebra-all, 15, P. Olsˇa´k


[17]

Schmidtu ˚ v ortogonalizacˇnı´ proces Zhruba: kazˇdou konecˇnou ba´zi lze „opravit“ tak, aby byla ortonorma´lnı´. Oprava k-te´ho vektoru vzˇdy probı´ha´ v linea´rnı´m obalu prvnıćh k vektoru˚. Tj. prvnı´ vektor opravı´me na prˇ´ımce dane´ prvnı´m vektorem, druhy´ vektor opravı´me v rovineˇ dane´ prvnı´mi dveˇma vektory, atd. − → − → − → Prˇesneˇ: Necht’ { b 1, b 2 , . . . , b n} je libovolna´ ba´ze. Pak existuje − → − → → ortonorma´lnı´ ba´ze { c 1, c 2 , . . . , − c n} takova´, zˇe − → − → − → − → − → → 〈 b 1, b 2, . . . , b k〉 = 〈 c 1, c 2, . . . , − c k 〉, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}. Du˚kaz: oprava kazˇde´ho vektoru probı´ha´ ve dvou krocıćh. Vektor se (uvnitrˇ zmıńeˇne´ho lin. obalu) „natocˇ´ı“ a na´sledneˇ se „normuje“: − →′ k − →′ − → − → b k+1 → → − → . b k+1 = b k+1 − ∑( b k+1 ⋅ − c i) − c i, c k+1 = − →′ i=1 || b k+1 ||

[14]


[18]

Ba´snicˇka: cˇtvrta´ dimenze

Ortogona´lnı´ matice

Jednou v hospodeˇ u Karla cˇtvrte´ho, uvideˇl jsem kus prostoru cˇtvrte´ho.

Prˇedpokla´dejme v Rn standardnı´ skala´rnı´ soucˇin. Matice A ∈ Rn,n, ktera´ ve sloupcıćh obsahuje neˇjakou ortonorma´lnı´ ba´zi prostoru Rn, se nazy´va´ ortogona´lnı´.

Cˇtyrˇi pu˚llitry u stropu nad sa´lem, leteˇly k sobeˇ kolmo navza´jem, cozˇ nenı´ mozˇne´ v dimenzi trˇetı´, kde nejvy´sˇe trˇi pu˚llitry k sobeˇ letı´.

Na´sledujıćı´ podmıńky jsou ekvivalentnı´: • A je ortogona´lnı´, • AT ⋅ A = E,

Tak poznal jsem dı´ky otci vlasti, jake´ jsou v pu˚llitru skryty slasti. Jak vsˇem cˇechu˚m rozsˇirˇuje obzory o n-dimenziona´lnı´ prostory.

• A ⋅ AT = E, • AT je ortogona´lnı´, • A obsahuje v rˇa´dcıćh sourˇadnice ortonorma´lnı´ ba´ze,

in: Emil Calda: Rˇ´ıkanky mnozˇinoveˇ nelogicke´

• A je maticı´ prˇechodu mezi dveˇma ortonorma´lnı´mi ba´zemi.


[15]


Geometricka´ prˇedstava skala´rnı´ho soucˇinu

Dalsˇı´ vlastnosti ortogona´lnı´ matice

→ → Prˇedpokla´dejme, zˇe vektory − x a− y jsou orientovane´ u´secˇky, na→ vıć necht’ − y ma´ jednotkovou velikost. Sestrojme z koncove´ho bodu → → vektoru − x kolmy´ pru˚meˇt na prˇ´ımku, procha´zejıćı´ vektorem − y. Velikost tohoto kolme´ho pru˚meˇtu (je-li na poloprˇ´ımce spolecˇneˇ → → → s vektorem − y ) je skala´rnı´ soucˇin − x ⋅− y . Je-li pru˚meˇt na opacˇne´ poloprˇ´ımce, pak skala´rnı´ soucˇin je za´porny´ a jeho absolutnı´ hodnota je rovna velikosti pru˚meˇtu.

• Je-li A ortogona´lnı´, pak det A = 1 nebo det A = −1.

Tato geometricka´ interpretace vycha´zı´ ze vzorce:

[19]

• Je-li A ortogona´lnı´ a je-li x sloupcovy´ vektor, pak sloupcovy´ vektor A ⋅ x ma´ stejnou velikost jako vektor x. • Soucˇin ortogona´lnıćh matic je ortogona´lnı´. Prvnı´ puntı´k: 1 = det E = det(A ⋅ AT ) = (det A) (det AT ) = (det A)2 . Druhy´ puntı´k:

− → → → → x ⋅− y = ||− x || ||− y || cos φ .

||Ax||2 = (Ax)T ⋅ (Ax) = xT ⋅ AT ⋅ A ⋅ x = xT ⋅ x = ||x||2 .

Z tohoto pohledu rˇ´ıka´ veˇta ze strańky [13], zˇe sourˇadnice vektoru jsou pru˚meˇty vektoru na jednotlive´ sourˇadnicove´ osy.

Trˇetı´ puntı´k: (A ⋅ B)T ⋅ (A ⋅ B) = BT ⋅ AT ⋅ A ⋅ B = BT ⋅ E ⋅ B = E.


[16]


[20]

´ hly vektoru s osami U

QR rozklad

→ Veˇta: Necht’ (x1, x2, . . . , xn) jsou sourˇadnice vektoru − x vzhledem − → − → − → k ortonorma´lnı´ ba´zi ( b 1 , b 2, . . . , b n). Pak u´hel φi mezi vektorem − → − → x a vektorem b i ma´ velikost φi, pro kterou je xi . cos φi = − ||→ x ||

Je-li A regula´rnı´ matice, pak existuje ortogona´lnı´ matice Q a hornı´ troju´helnı´kova´ matice R tak, zˇe

Du˚kaz:

− → − → − → − → x ⋅ bi x ⋅ bi xi = − = − . − → → → − → || x || || x || || x || || b i|| − → V u´pravaćh jsme vyuzˇili toho, zˇe || b i|| = 1 (ba´ze je ortonorma´lnı´) a − → → da´le prˇedchozı´ veˇty, podle ktere´ je xi = − x ⋅ b i. cos φi =

Du ˚ sledek: cos2 φ1 + cos2 φ2 + · · · + cos2 φn = 1

A = Q ⋅ R. Du˚kaz: Sloupce matice A tvorˇ´ı neˇjakou ba´zi (B). Na tuto ba´zi provedeme Schmidtu˚v ortogonalizacˇnı´ proces a tı´m dostaneme ortonorma´lnı´ ba´zi (C). Zapı´sˇeme ji do sloupcu˚ matice Q. Matice R je maticı´ prˇechodu od ortonorma´lnı´ ba´ze (C) k ba´zi (B). Obsahuje − → sourˇadnice vektoru˚ b k z ba´ze (B) vzhledem k (C). Dı´ky vlastnosti − → − → − → → → → 〈 b 1 , b 2, . . . , b k 〉 = 〈− c 1, − c 2, . . . , − c k 〉, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}. − → jsou sourˇadnice vektoru b k vzhledem k (C) pro i > k nulove´, takzˇe R je hornı´ troju´helnı´kova´.

[1]


[5]

Euklidovsky´ prostor dnes

Euklidovsky´ prostor

V euklidovske´m prostoru chceme pracovat s prˇ´ımkami (to umı´me v afinnı´m prostoru), da´le chceme v rovinaćh vymezit kruzˇnice. K tomu potrˇebujeme meˇrˇit vzda´lenosti. Potrˇebujeme tedy metricky´ prostor. Metrika musı´ by´t odvozena z Pythagorovy veˇty (jinak by tato veˇta neplatila a neplatil by pa´ty´ Euklidu˚v axiom). Tuto vlastnost splnˇuje metrika odvozena´ ze skala´rnı´ho soucˇinu. Konecˇneˇ v euklidovske´m prostoru potrˇebujeme meˇrˇit u´hly. K tomu take´ slouzˇ´ı skala´rnı´ soucˇin. Dnesˇnı´ definice euklidovske´ho prostoru je tedy na´sledujıćı´:

• Euklidovy Za´klady (pohled do historie) • dnesˇnı´ definice • karte´zsky´ sourˇadnicovy´ syste´m

Definice: Euklidovsky´ prostor En je afinnı´ prostor (X, V) dimenze n, prˇitom V je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Z tohoto soucˇinu je odvozena norma a metrika na V. Metrika na X je definovańa takto: vzda´lenost bodu˚ P, Q je rovna velikosti vektoru P−Q.

• vlastnosti „rovin“ v En • specia´lnı´ vlastnosti v E3 (vektorovy´ soucˇin)


L


[2]


[6]

Euklides

Za´kladnı´ objekty v euklidovske´m prostoru

Euklides (jiny´ prˇeklad: Eukleides) byl rˇecky´ matematik (kolem roku 300 prˇ. n. l.).

→ → → → • Prˇı´mka: p = {A + t− s , t ∈ R}, kde A ∈ X, − s ∈ V, − s 6= − o.

Hlavnı´ dı´lo: Euklidovy Za´klady (ve 13 kapitolaćh). Po Bibli nejvıće publikovane´ dı´lo azˇ do 19. stoletı´. Pokusil se o prˇesne´ forma´lnı´ vyjadrˇovańı´, vybudoval geometrii syste´mem definice, veˇta, du˚kaz. Pokusil se definovat i nedefinovatelne´:

Prˇ´ımka je tedy dańa bodem A, ktery´m procha´zı´ a nenulovy´m smeˇ→ rovy´m vektorem − s . Mu˚zˇe by´t te´zˇ dańa dveˇma body A a B: p = {A + t (B − A), t ∈ R}. ´ secˇka s koncovy´mi body A, B: u = {A + t (B − A), t ∈ 〈0, 1〉}. • U • Kruzˇnice se strˇedem S a polomeˇrem r: k = {X, ρ (S, X) = r}. Kruzˇnici lze takto definovat jen v E2 (dimenzi 2). Pro veˇtsˇ´ı dimenze je uvedena´ mnozˇina povrchem n-rozmeˇrne´ koule. − → − → → → a + u b , t, u ∈ R}, A ∈ X, − a , b ∈ V jsou LN. • Rovina: σ = {A + t−

• bod je to, co nema´ cˇa´sti, • krˇivka je de´lka bez sˇ´ırˇky, • prˇ´ımka je krˇivka s body, ktera´ lezˇ´ı rovneˇ,

Rovina je dańa bodem a dveˇma neza´visly´mi smeˇry. → → • Zobecneˇna´ rovina (afinnı´ podprostor): τ = A + 〈− a 1, . . . , − a k〉,

• rozdeˇlenı´m prˇ´ıme´ho u´hlu na dva stejne´ vznika´ u´hlel pravy´, • ... BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[3]


[7]

Euklidovy postula´ty (axiomy)

Vztahy mezi prˇı´mkami

Euklides si uveˇdomil, zˇe neˇktera´ tvrzenı´ nelze doka´zat, je nutne´ je prˇedpokla´dat. Formuloval peˇt tzv. postula´tu˚:

→ → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1 , t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2 , t ∈ R} → jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 a − s 1 jsou LZ a soucˇasneˇ → → smeˇrove´ vektory − s 1, − s 2 jsou LZ. → → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2, t ∈ R} jsou − → → rovnobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou totozˇne´ a vektory s , − s jsou LZ.

• Dva body urcˇujı´ jedinou u´secˇku, ktera´ v teˇch bodech koncˇ´ı. • Kazˇda´ u´secˇka mu˚zˇe by´t prodlouzˇena tak, zˇe vznikne opeˇt u´secˇka. • Je mozˇne´ nakreslit kruzˇnici s libovolny´m strˇedem a polomeˇrem.

1

2

• Vsˇechny prave´ u´hly jsou si rovny.

→ → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2, t ∈ R} lezˇ´ı ve → → spolecˇne´ rovineˇ, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 , − s 1, − s 2 jsou LZ.

• Jestlizˇe prˇ´ımka protıńa´ dveˇ prˇ´ımky tak, zˇe vnitrˇnı´ u´hly na te´zˇe straneˇ jsou mensˇ´ı nezˇ dva prave´ u´hly, pak se tyto dveˇ prˇ´ımky protnou na stejne´ straneˇ, na ktere´ jsou u´hly mensˇ´ı nezˇ dva prave´.

Dveˇ prˇ´ımky jsou ru ˚ znobeˇzˇky (protıńajı´ se v jednom bodeˇ), pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ a nejsou totozˇne´ ani rovnobeˇzˇne´. Dveˇ prˇ´ımky jsou mimobeˇzˇky (mı´jejı´ se v prostoru), pra´veˇ kdyzˇ nelezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ. Uvedene´ vztahy rozpozna´me algebraicky´mi metodami: vysˇetrˇenı´m linea´rnı´ za´vislosti nebo neza´vislosti vektoru˚.


[4]


Otaznı´ky kolem pa´te´ho axiomu

Prˇı´klad

Pa´ty´ axiom je formulovań slozˇiteˇ, je v geometrii nutny´?

Najdeme parametr a ∈ R takovy´, aby se prˇ´ımky p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 5)〉 a q = (4, 3, 7) + 〈(3, a, 1)〉 protıńaly.

Uka´zalo se, zˇe pa´ty´ axiom je (za prˇedpokladu platnosti prvnıćh cˇtyrˇ) ekvivalentnı´ s na´sledujıćı´mi tvrzenı´mi: • Dany´m bodem lze k dane´ prˇ´ımce ve´st jedinou rovnobeˇzˇku. • Troju´helnı´ky majı´ soucˇet vnitrˇnıćh u´hlu˚ 180◦ . • Platı´ Pythagorova veˇta. Pozdeˇji se uka´zalo (Gauss, Lobacˇevskij, Riemann), zˇe uzˇitecˇna´ je i geometrie bez pa´te´ho axiomu (tzv. neeuklidovska´ geometrie). Naprˇ´ıklad dvourozmeˇrna´ geometrie na sfe´rˇe: troju´helnı´ky majı´ soucˇet u´hlu˚ veˇtsˇ´ı nezˇ 180◦ , kazˇde´ dveˇ „prˇ´ımky“ (nejkratsˇ´ı spojnice dvou bodu˚ prodlouzˇene´ na obou koncıćh) se protıńajı´, tj. neexistuje rovnobeˇzˇka. Neplatı´ Pythagorova veˇta.

[8]

ˇ esˇenı´: Prˇ´ımky nejsou rovnobeˇzˇne´ ani totozˇne´, protozˇe jejich smeˇR rove´ vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Aby tyto prˇ´ımky byly ru˚znobeˇzˇkami, musı´ by´t vektory (3, 1, 4), (2, 2, 5), (3, a, 1) liena´rneˇ za´visle´, takzˇe kdyzˇ jejich sourˇadnice zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice A, musı´ mı´t tato matice nulovy´ determinant:   3 1 4  det 2 2 5  = −5 − 7a = 0. 3 a 1 5 Takzˇe a = − . 7


[9]


[13]

Zobecneˇna´ rovina: afinnı´ podprostor

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mek

→ → → Je dań bod A ∈ X a linea´rneˇ neza´visle´ vektory − u 1, − u 2, . . . , − uk v afinı´m prostoru (X, V). Mnozˇineˇ

V E2 jsou dańy prˇ´ımky p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a q = (2, 0) + 〈(1, 3)〉. Vektory a body jsou dańy v karte´zskyćh sourˇadnicıćh. Najdeme pru˚secˇ´ık prˇ´ımek p, q.

→ → → M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉

Protozˇe smeˇrove´ vektory (3, 4) a (1, 3) jsou linea´rneˇ neza´visle´, prˇ´ımky se protıńajı´ (v E2 neexistujı´ mimobeˇzˇky). Pru˚secˇ´ık najdeme v mı´steˇ, pro ktere´ nasta´va´ rovnost:

rˇ´ıka´me zobecneˇna´ rovina. Ma´ dimenzi k. Zobecneˇna´ rovina dimenze 1 je prˇ´ımka. Zobecneˇna´ rovina dimenze 2 je „skutecˇna´“ rovina.

(1, 2) + t (3, 4) = (2, 0) + u (1, 3)

Pojem zobecneˇna´ rovina tedy zahrnuje pojmy prˇ´ımka a rovina dokonce pro linea´rnı´ prostory libovolne´ dimenze n. Zobecneˇna´ rovina je podprostor v afinnı´m prostoru (X, V). → → → Prˇesneˇji, prˇi oznacˇenı´ W = 〈− u ,− u ,...,− u 〉 je dvojice (M, W) afinnı´ 1

2

To vede na soustavu dvou linea´rnıćh rovnic s nezna´my´mi t, u. Ta ma´ rˇesˇenı´ t = 1, u = 2, takzˇe pru˚secˇ´ık je v bodeˇ P = (1, 2) + 1 ⋅ (3, 4) = (4, 6).

k

podprostor: operace afinnı´ho prostoru jsou na mnozˇineˇ M a linea´rnı´m podprostoru W uzavrˇeny. BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[10]


[14]

Vza´jemna´ poloha zobecneˇnyćh rovin

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mky a kruzˇnice

→ → → → → → Oznacˇme U = 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉 a V = 〈− v 1, − v 2, . . . , − v m 〉. Necht’ A a B jsou body v afinnı´m prostoru (X, V) a necht’ jsou dańy dveˇ zobecneˇne´ roviny M = A + U a N = B + V.

V E2 je dańa prˇ´ımka p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a kruzˇnice k se strˇedem (1, 1) a polomeˇrem 3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.

• M a N jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ U = V a A − B ∈ U. • M je obsazˇena v N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V a A − B ∈ V. Dalsˇ´ı pojmy se ty´kajı´ jen zobecneˇnyćh rovin M a N takovyćh, zˇe zˇa´dna´ nenı´ obsazˇena v druhe´. • M je rovnobeˇzˇna´ s N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V nebo V ⊆ U. • Zobecneˇne´ roviny M a N se protıńajı´, pra´veˇ kdyzˇ A − B ∈ U ∪ V. • Zobecneˇne´ roviny jsou mimobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou rovnobeˇzˇne´ a neprotıńajı´ se. → → • M a N jsou na sebe kolme´, pra´veˇ kdyzˇ − ui ⋅ − v j = 0 pro vsˇechna i ∈ {1, . . . , k} a j ∈ {1, . . . , m} BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

Vzda´lenost strˇedu kruzˇnice od bodu (1, 2) + t (3, 4) na prˇ´ımce je p √ f (t) = (1 + 3t − 1)2 + (2 + 4t − 1)2 = 25t2 + 8t + 1 Pru˚secˇ´ık nasta´va´ v mı´steˇ, kde (f (t))2 = 32 , neboli √ −8 ± 54 2 , 25t + 8t − 8 = 0, t1,2 = 25

takzˇe jsme nasˇli dva pru˚secˇ´ıky: √ √ −8 + 54 1 3 54 (1, 2) + (3, 4) = + , 25 25 25 (1, 2) +

√ −8 − 54 (3, 4) = 25

√ 1 3 54 − , 25 25

√ ! 18 4 54 + , 25 25 √ ! 18 4 54 − . 25 25

[11]


[15]

Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k dvou kruzˇnic

Necht’ En = (X, V) je euklidovsky´ prostor. Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m tohoto prostoru je sourˇadnicovy´ syste´m (O, B) afinnı´ho prostoru (X, V) takovy´, zˇe ba´ze (B) je ortonorma´lnı´. → Necht’ (x1, x2 , . . . , xn) a (y1, y2, . . . , yn) jsou sourˇadnice vektoru˚ − x − → a y vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak

Jsou dańy kruzˇnice k1 se strˇedem (1, 1) a polomeˇrem 3 a kruzˇnice k2 se strˇedem (3, 4) a polomeˇrem 2. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.

− → → x ⋅− y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , q → x21 + x22 + · · · + x2n. ||− x || =

Necht’ (a1, a2 , . . . , an) a (a′1 , a′2, . . . , a′n) jsou sourˇadnice bodu˚ A a A′ vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak vzda´lenost teˇchto bodu˚ se pocˇ´ıta´ „podle Pythagorovy veˇty“: q ρ (A, A′ ) = ||A − A′|| = (a1 − a′1 )2 + (a2 − a′2 )2 + · · · + (an − a′n)2. BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[12]

Pru˚secˇ´ık ma´ sourˇadnice (x, y), ktere´ vyhovujı´ dveˇma rovnicı´m: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 32 (x − 3)2 + (y − 4)2 = 22 Odecˇtenı´m rovnic dosta´va´me linea´rnı´ rovnici 2x + 3y = 14. Dosazenı´m x = 7 − 23 y do prvnı´ rovnice dosta´ve´me kvadratickou rovnici 13y2 −80y+112 = 0, ktera´ ma´ rˇesˇenı´ y1 = 4, y2 = 28 ˇ itı´m vzorce 13 . Pouz 49 , takzˇe hledane´ pru˚secˇ´ıky jsou x = 7 − 32 y dosta´va´me x1 = 1 a x2 = 13 49 28 . , P1 = (1, 4), P2 = 13 13


[16]

Idea analyticke´ geometrie

Nekopı´rovat vzˇdy konstrukci vy´pocˇtem

Geometricke´ u´lohy lze rˇesˇit algebraicky prˇechodem k sourˇadnicı´m vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

Ne vzˇdy se vyplatı´ postupovat stejneˇ jako prˇi rˇesˇenı´ u´loh pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem jen vy´pocˇtem sourˇadnic postupneˇ vznikajıćıćh pru˚secˇ´ıku˚.

Geometricke´ konstrukce pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem v rovineˇ sesta´vajı´ z teˇchto elementa´rnıćh u´konu˚: • najı´t pru˚secˇ´ık dvou prˇ´ımek (pokud existuje), • najı´t pru˚secˇ´ık prˇ´ımky s kruzˇnicı´ (pokud existuje), • najı´t pru˚secˇ´ık dvou kruzˇnic (pokud existuje). Vsˇechny tyto u´koly lze prˇeve´st na vy´pocˇet sourˇadnic hledanyćh pru˚secˇ´ıku˚ vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadnicove´mu syste´mu, pokud jsou dańy sourˇadnice vyćhozıćh objektu˚ (sourˇadnice bodu a smeˇrove´ho vektoru prˇ´ımky, sourˇadnice strˇedu a hodnota polomeˇru kruzˇnice).

Naprˇ´ıklad sestrojenı´ kolmice na danou prˇ´ımku p procha´zejıćı´ dany´m bodem P udeˇla´me kruzˇ´ıtkem tak, zˇe zapıćhneme kruzˇ´ıtko s dostatecˇneˇ velky´m polomeˇrem do P a najdeme pru˚secˇ´ıky na p. Pak pıćhneme kruzˇ´ıtko do teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ se shodny´m polomeˇrem veˇtsˇ´ım nezˇ polovina vzda´lenosti pru˚secˇ´ıku˚ a najdeme pru˚secˇ´ıky kruzˇnic. Jejich spojnice je hledana´ kolmice. → → Analyticky ale stacˇ´ı kolmici vyja´drˇit jako P + 〈− s ⊥ 〉, prˇicˇemzˇ − s ⊥ je vektor kolmy´ na smeˇrovy´ vektor prˇ´ımky p. Kolmy´ vektor k vektoru ⊥ → → v rovineˇ − s = (u, v) je vektor − s = (−v, u), protozˇe skala´rnı´ soucˇin teˇchto dvou vektoru˚ je nulovy´.


[17]

Dva popisy zobecneˇne´ roviny v En, n ≥ 3

Kolmice k zobecneˇne´ rovineˇ v En

Zobecneˇna´ rovina M mu˚zˇe by´t zadańa dveˇma zpu˚soby: → → → • Bodem a smeˇrovy´mi vektory: M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉.

Je dańa zobecneˇna´ rovina dimenze k: → → → M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉.

• Soustavou linea´rnıćh rovnic Bx = b takovou, zˇe sourˇadnice vsˇech bodu˚ zobecneˇne´ roviny M tvorˇ´ı mnozˇinu jejıćh rˇesˇenı´. Tuto soustavu nazy´va´me soustavou zobecneˇne´ roviny M. Tyto dva popisy umı´me prˇeva´deˇt jeden na druhy´: • Je-li dańa soustava zobecneˇne´ roviny, pak jejı´ smeˇrove´ vektory jsou ba´zove´ vektory prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy Bx = o a bod A je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ soutavy. • Je-li dańa zobecneˇna´ rovina smeˇrovy´mi vektory, pak zapı´sˇeme jejich sourˇadnice do rˇa´dku˚ matice A a vyrˇesˇ´ıme Ax = o. Ba´zi rˇesˇenı´ zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice B a pravou stranu zjistı´me dosazenı´m sourˇadnic bodu A za nezna´my´ vektor x. BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[21]


Kolmice k M vedena´ z bodu B je zobecneˇna´ rovina N dimenze n−k, kterou lze zapsat ve tvaru → → → → → → N = B + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉⊥ = B + 〈− v 1, − v 2, . . . , − v n−k 〉. → → → prˇicˇemzˇ vektory − v 1, − v 2, . . . , − v n−k zı´ska´me na´sledovneˇ: Zvolı´me karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m a sourˇadnice vektoru˚ vzhledem k tomuto sourˇadne´mu syste´mu ztotozˇnı´me s vektory samotny´mi. Vek→ → → tory − v 1, − v 2, . . . , − v n−k pak tvorˇ´ı ba´zi rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy → → → Ax = o, kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh vektory − u 1, − u 2, . . . , − u k. Prˇı´klady: V euklidovske´m prostoru E3 je kolmice k rovineˇ prˇ´ımka a kolmice ke prˇ´ımce je rovina.

[18]

[22]


Prˇı´klady popisu ˚ prˇı´mky a roviny v E3

Kolmice ve 2D a 3D

→ Prˇı´mka: Je popsańa bodem a smeˇrovy´m vektorem A + 〈− s 〉. Cˇasto se tento popis rozepisuje do sourˇadnic jako

Kolmici v En pocˇ´ıta´me rˇesˇenı´m homogennı´ soustavy, jak bylo zmıńeˇno na prˇedchozı´ strańce. To je univerza´lnı´ postup.

x = a1 + t s1 ,

y = a2 + t s2,

t ∈ R.

z = a3 + t s3 ,

V prˇ´ıpadeˇ E2 a E3 jsou jesˇteˇ jine´ postupy:

Prˇ´ımku mu˚zˇeme take´ popsat soustavou dvou rovnic Bx = b. Nenı´ to typicke´, ale prˇedvedeme si to. Ba´zi rˇesˇenı´ soustavy s jednou rovnicı´ s1 x + s2 y + s3 z = 0 oznacˇ´ıme (u1 , u2 , u3 ), (v1 , v2 , v3 ). Hledana´ soustava ma´ pak matici obsahujıćı´ tyto dva rˇa´dky a pravou stranu: b1 = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 ,

b2 = v1 a1 + v2 a2 + v3 a3 .

→ → Rovina: Je popsańa dveˇma smeˇrovy´mi vektory A + 〈− u,− v 〉. Vyrˇesˇenı´m homogennı´ soustavy dvou rovnic se sourˇadnicemi teˇchto vektoru˚ v rˇa´dcıćh matice dosta´va´me ba´zovy´ vektor (n1 , n2 , n3 ). Rovinu pak mu˚zˇeme popsat rovnicı´ roviny n1 x + n2 y + n3 z = d,

kde

• V E2 platı´: 〈(a, b)〉⊥ = 〈(−b, a)〉. • V E3 platı´ pro lin. neza´visle´ vektory: → → → → 〈− u,− v 〉⊥ = 〈− u ×− v 〉, kde symbolem × je oznacˇem vektorovy´ soucˇin. O neˇm si povı´me vıće pozdeˇji.

d = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 . BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[19]

[23]


Pru ˚ secˇı´ky zobecneˇnyćh rovin

Kolmy´ pru ˚ meˇt bodu do zobecneˇne´ roviny

Dveˇ zobecneˇne´ roviny se mohou protıńat. Pru˚nik pak tvorˇ´ı bod nebo zobecneˇnou rovinu. Jak tento pru˚nik nalezneme?

→ → → Je dańa zobecneˇna´ rovina M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉 a bod B (typicky mimo M). Najdeme bod B′ ∈ M takovy´, zˇe B − B′ je vektor kolmy´ na M. Bodu B′ rˇ´ıka´me kolmy´ pru ˚ meˇt bodu B do zobecneˇne´ roviny M. → → → Bod B′ lze najı´t takto: sestrojı´me kolmici K = B+〈− u ,− u ,...,− u 〉⊥ .

Sestavı´me soustavu prvnı´ zob. roviny Bx = b a druhe´ zob. roviny ˇ esˇ´ıme pak soustavu, ktera´ vznikne sloucˇenı´m teˇchto B′x = b′ . R dvou soustav. Soustava ma´ rozsˇ´ırˇenou matici B b B′ b′ a jejı´ rˇesˇenı´ popisuje pru˚nik danyćh zobecneˇnyćh rovin. Prˇı´klad: Pru˚nik dvou rovin ax + by + cz = d a a′ x + b′ y + c′z = d′ najdeme jako rˇesˇenı´ soustavy ax + by + cz = d a′ x + b′ y + c′ z = d′

Pru˚nik M ∩ K obsahuje jediny´ bod B′ .

1

2

k

Jiny´ postup*: skala´rnı´m soucˇinem lze pocˇ´ıtat kolmy´ pru˚meˇt vektoru na vektor. Oznacˇme symbolem pi kolmy´ pru˚meˇt vektoru B − A → → → na vektor − u i . Pak je B′ = A + ∑ pi (− u i /||− u i||). Pozorovańı´: V bodeˇ B′ ma´ zobecneˇna´ rovina M nejmensˇ´ı vzda´lenost od bodu B. Du˚kaz: Je-li C ∈ M, pak BB′C tvorˇ´ı pravou´hly´ troju´helnı´k a mu˚zˇeme pouzˇ´ıt Pythagorovu veˇtu.


[20]


[24]

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mky s rovinou

Kolmy´ pru ˚ meˇt zob. roviny do zob. roviny

Je dańa prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 1)〉 a rovina M = (2, 3, 4) + 〈(3, 3, 1), (3, 4, 3)〉 v E3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ık.

Prˇedstavme si, zˇe naprˇ´ıklad hleda´me kolmy´ pru˚meˇt prˇ´ımky do roviny. Nebo deˇla´me neˇco podobne´ho ve vıće dimenzıćh. . . → → → Kolmy´ pru˚meˇt zob. roviny N = B + 〈− v 1, − v 2, . . . , − v m〉 do zob. roviny → → → M = A + 〈− u ,− u ,...,− u 〉 spocˇ´ıta´me v na´sledujıćıćh krocıćh:

Podle prˇedchozı´ strańky bychom mohli prˇ´ımku p popsat dveˇma rovnicemi a rovinu M trˇetı´ rovnicı´ a pak vyrˇesˇit soutavu teˇchto trˇ´ı rovnic. Ovsˇem v tomto prˇ´ıpadeˇ se veˇtsˇinou postupuje jinak: Rovnice roviny M ma´ tvar 5x − 6y + 3z = 4 a prˇ´ımka p ma´ parametricke´ vyja´drˇenı´ x = 1 + 2t, y = 2 + 2t, z = 3 + t. Dosadı´me parametricke´ vyja´drˇenı´ prˇ´ımky do rovnice roviny: 5 (1 + 2t) − 6 (2 + 2t) + 3 (3 + t) = 4. Tato rovnice s jednou promeˇnnou ma´ rˇesˇenı´ t = 2. Pru˚secˇ´ık je P = (1, 2, 3) + 2 (2, 2, 1) = (5, 6, 5).

1

2

k

→ → → → → → • Najdeme 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉⊥ = 〈− w 1, − w 2, . . . , − w n−k〉. − → − → − → − → − → → • Oznacˇme K = B + 〈 v , v , . . . , v , w , w , . . . , − w

1 2 m 1 2 n−k 〉. Je to zobecneˇna´ rovina, ktera´ je nejmensˇ´ı takova´, zˇe obsahuje zobecneˇnou rovinu N a soucˇasneˇ obsahuje smeˇr kolmy´ na M.

• Hledany´ kolmy´ pru˚meˇt je pru˚nik M ∩ K.


[25]

Prˇı´klad: Kolmy´ pru ˚ meˇt


[29]

Specia´lnı´ vlastnosti v E3

Je dańa prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2)〉. Najdeme kolmy´ pru˚meˇt te´to prˇ´ımky do roviny M = (2, 2, 1) + 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉. Sourˇadnice jsou dańy vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu. ˇ esˇenı´m homogennı´ soustavy s maticı´ R 1 3 4 1 3 4 ∼ 3 2 6 0 7 6

• Je mozˇne´ definovat vektorovy´ soucˇin. • Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, smeˇrovy´ vektor te´to kolmice je norma´lovy´ vektor roviny. • Norma´lovy´ vektor je mozˇne´ hledat pomocı´ vektorove´ho soucˇinu. • Rovina je dańa jedinou rovnicı´ se trˇemi nezna´my´mi, koeficienty te´to rovnice jsou sourˇadnice jejı´ho norma´love´ho vektoru.

je 〈(10, 6, −7)〉, takzˇe 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉⊥ = 〈(10, 6, −7)〉. Kolma´ rovina k M obsahujıćı´ p je K = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2), (10, 6, −7)〉. Rovnice roviny M je 10x + 6y − 7z = 25 a rovnice K je −26x + 55y + 10z = 114. Hledany´ pru˚meˇt je rˇesˇenı´ soustavy s maticı´ 25 25 10 6 −7 10 6 −7 ∼ . −26 55 10 0 353 −41 114 895

Hledany´ pru˚meˇt je p′ = (−524/41, 0, −895/41) + 〈(445, 41, 353)〉. BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

[26]


[30]

Determinant meˇrˇı´ objem rovnobeˇzˇnosteˇnu

Vektorovy´ soucˇin

→ → → Necht’ − v 1, − v 2, . . . , − v n jsou vektory, ktere´ tvorˇ´ı hrany pomyslne´ho n-dimenziona´lnı´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu. Vektory tvorˇ´ı jen hrany, ktere´ se potka´vajı´ ve spolecˇne´m vrcholu. Ostatnı´ hrany rovnobeˇzˇnosteˇnu je trˇeba dory´sovat doplneˇnı´m na rovnobeˇzˇnı´ky. → Tvrzenı´: Zapı´sˇeme-li do sloupcu˚ matice A sourˇadnice vektoru˚ − v

→ → Definice: Vektorovy´ soucˇin dvou vektoru˚ − u a − v z E3 znacˇ´ıme − → − → u × v a je to: → → • nulovy´ vektor, pokud jsou − u a− v linea´rneˇ za´visle´, jinak:

i

vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi (B), pak absolutnı´ hodnota determinantu matice A je rovna objemu zmıńeˇne´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu. Idea du˚kazu*: Jsou-li vektory LZ, pak je zrˇejmeˇ objem nulovy´ a → je det A = 0. Jsou-li − v i LN, tvorˇ´ı ba´zi a je mozˇne´ ji Schmidtovy´m ortogonalizacˇnı´m procesem upravit na ortonorma´lnı´ ba´zi (C). → Napı´sˇeme do sloupcu˚ matice R sourˇadnice − v i vzhledem k (C). Pak det R je roven objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu (du˚kaz indukcı´, v indukcˇnı´m kroku se pouzˇije vzorec „za´kladna kra´t vy´sˇka“). Matice prˇechodu od (B) k (C) je ortogona´lnı´ a je tedy det A = det(PB→C ⋅ R) = det PB→C det R = ±1 ⋅ det R BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

→ → • vektor kolmy´ na rovinu 〈− u,− v 〉 s velikostı´ plochy rovnobeˇzˇnı´ka → → → → → → mezi − u a− v . Ba´ze (− u,− v ,− u ×− v ) je kladneˇ orientovana´. Pozorovańı´: Vektorovy´ soucˇin je definovań jednoznacˇneˇ. → → → → → → u a− v. Platı´ ||− u ×− v || = ||− u || ||− v || sin α , kde α je u´hel mezi vektory − − → → Veˇta: Jsou-li (u1 , u2 , u3 ) a (v1 , v2 , v3) sourˇadnice vektoru˚ u a − v → → vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi, pak − u ×− v ma´ vzhledem k te´to ba´zi sourˇadnice: u2 u3 , − u1 u3 , v v v v 2

3

1

3

Du˚kaz*: technicky´, viz skriptum.

u1 v 1

u2 v2

[27]


[31]

Prˇı´klady

Prˇı´klad: norma´lovy´ vektor roviny

Sourˇadnice uvedenyćh bodu˚ jsou v teˇchto prˇ´ıkladech vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

Je dańa rovina (2, 2, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉. Najedeme jejı´ norma´lovy´ vektor. Sourˇadnice jsou uvedeny vzhledem ke kladneˇ orientovane´mu karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

Plocha rovnobeˇzˇnı´ka s vrcholy (0, 0), (a, b) (c, d), (a + c, b + d) je rovna det a b = | ad − bc |, c d

Objem cˇtyrˇstenu s vrcholy (0, 0, 0), (a1 ,a2,a3), (b1 ,b2 ,b3 ), (c1,c2,c3) je roven   a1 b1 c1 1 det  a2 b2 c2  , 6 a3 b3 c3 protozˇe cˇtyrˇsteˇn ma´ objem roven jedne´ sˇestineˇ objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu. Sourˇadnice mu˚zˇeme zapsat i do rˇa´dku˚, protozˇe det A = det AT . BI-LIN, algebra-all, 16, P. Olsˇa´k

Norma´lovy´ vektor je roven vektorove´mu soucˇinu (1, 2, 3) × (3, 1, 1), protozˇe ten je (podle definice) kolmy´ na oba smeˇrove´ vektory. Podle veˇty o sourˇadnicıćh vektorove´ho soucˇinu je 2 3 , − 1 3 , 1 2 = (−1, 8, −5) (1, 2, 3) × (3, 1, 1) = 3 1 3 1 1 1

Rovnice roviny tedy je −x + 8y − 5z = 4.

Jina´ mozˇnost, jak najdeme norma´lovy´ vektor: vyrˇesˇ´ıme homogennı´ soustavu s maticı´ 1 2 3 . 3 1 1

[28]


[32]

Orientace linea´rnı´ho prostoru

Prˇı´klad: rovina dana´ trˇemi body

V linea´rnı´m prostoru zvolı´me jednu usporˇa´danou ba´zi (B) a prohla´sı´me ji kladneˇ orientovanou. Vsˇechny ba´ze (C), pro ktere´ je det PB→C > 0, nazveme take´ kladneˇ orientovane´. Vsˇechny ba´ze (C′), pro ktere´ je det PB→C′ < 0, nazveme za´porneˇ orientovane´.

Jsou-li dańy trˇi body A, B, C, ktere´ nelezˇ´ı ve spolecˇne´ prˇ´ımce, pak jimi procha´zı´ jedina´ rovina A + 〈(B − A), (C − A)〉. Norma´lovy´ vektor roviny je (B − A) × (C − A).

Obvykla´ u´mluva pro E2: kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ druhy´ ba´zovy´ vektor smeˇrˇujıćı´ vlevo od prvnı´ho. Obvykla´ u´mluva pro E3: kdyzˇ se na ba´zi dı´va´me z vhodne´ho mı´sta, pak kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ prvnı´ vektor orientovany´ k na´m, druhy´ doprava od na´s a trˇetı´ nahoru. Pozorovnańı´: determinant pouzˇity´ prˇi vy´pocˇtu objemu rovnobeˇzˇ→ → → nosteˇnu je za´porny´, kdyzˇ sourˇadnice vektoru˚ − v 1, − v 2, . . . , − v n jsou zapsańy vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi a vek→ → → tory − v 1, − v 2, . . . , − v n samotne´ tvorˇ´ı za´porneˇ orientovanou ba´zi.

Trˇeba jsou dańy body (1, 1, 2), (2, 3, 5), (4, 2, 3) v karte´zskyćh sourˇadnicıćh. Pak rovina je dańa vzorcem: (1, 1, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉 Protozˇe (1, 2, 3) × (3, 1, 1) = (−1, 8, −5), ma´ rovina tento norma´lovy´ vektor. Ma´ tedy rovnici −x + 8y − 5z = d,

prˇitom d = −1 + 8 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 = −3.


[33]


[37]

Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od prˇı´mky

´ hly mezi prˇı´mkami a rovinami U

Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do prˇ´ımky (oznacˇ´ıme B′ ) a da´le spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´ soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji): → Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky A+〈− s 〉 je vy´sˇka rovnobeˇzˇnı´ka vyme− → zene´ho vektory B − A, s a ta je rovna plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka deˇlena´

→ → ´ hel φ mezi vektory − u a − v vypocˇ´ıta´me ze vzorce pro skala´rnı´ U soucˇin − → − → − → → u ⋅ v u ⋅− v , tj. φ = arccos − . cos φ = − → − → → → || u || || v || || u || ||− v ||

velikostı´ za´kladny. Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky tedy je → || (B − A) × − s || . − → || s ||

´ hel mezi dveˇma prˇ´ımkami je u´hlel mezi smeˇrovy´mi vektory. • U Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ (nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu). ´ hel mezi rovinami je u´hel mezi jejich norma´lovy´mi vektory. • U Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ (nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu). ´ hel mezi prˇ´ımkou a rovinou je 90◦ mıńus u´hel mezi smeˇro• U vy´m vektorem prˇ´ımky a norma´lovy´m vektorem roviny (ve vzorci v cˇitateli je trˇeba pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu).


[34]


Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od roviny

Prˇı´klad: plocha troju ´ helnı´ka ABC

Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do roviny (oznacˇ´ıme B′) a da´le spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´ soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji): → → Vzda´lenost bodu B od roviny A + 〈− u,− v 〉 je rovna vy´sˇce rovnobeˇzˇ− → − → → → nosteˇnu se stranami B − A, u , v s podstavou − u,− v . Tato vy´sˇka

Troju´helnı´k ma´ plochu polovicˇnı´ plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka.

je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deˇleno plocha podstavy. Vzda´lenost bodu B od roviny tedy je det A , → → ||− u ×− v ||

kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh (nebo ve sloupcıćh) sourˇadnice → → vektoru˚ A − B, − u,− v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.

[38]

• V E2 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jako „objem rovnobeˇzˇnosteˇnu v E2 “, tedy spocˇ´ıta´me absolutnı´ hodnotu determinantu matice A, ktera´ obsahuje ve sloupcıćh sourˇadnice vektoru˚ B − A, C − A vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi. Prˇı´klad: A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 8). Plocha troju´helnı´ka je: 1 2 4 S△ = det =2 2 2 6

• V E3 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jeko velikost vektorove´ho soucˇinu vektoru˚ B − A, C − A. Prˇı´klad: A = (1, 2, 2), B = (2, 3, 4), C = (7, 8, 9). S△ =


√ 1 5 2 1 ||(1, 1, 2) × (6, 6, 7)|| = ||(−5, 5, 0)|| = . 2 2 2

[35]


[39]

´ vaha*: k-dimensiona´lnı´ objem v En. U

Prˇı´klad: vzda´lenost mimobeˇzˇek → → Vzda´lenost mimobeˇzˇek A + 〈− u 〉 a B + 〈− v 〉 je rovna vy´sˇce rovno→ → → → beˇzˇnosteˇnu vymezene´ho vektory B − A, − u,− v se za´kladnou − u, − v. Takzˇe vzda´lenost je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deleno plochou za´kladny: det A , → → ||− u ×− v || kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh (nebo ve sloupcıćh) sourˇadnice → → vektoru˚ A − B, − u,− v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.

Jak spocˇ´ıtat naprˇ. plochu rovnobeˇzˇnı´ka v E4? Tam to nenı´ ani objem rovnobeˇzˇnosteˇnu, ani nema´me mozˇnost pouzˇ´ıt vektorovy´ soucˇin. Odpoveˇd’ najdeme v du˚kazu ze strańky [26]. → → → ´ loha: Jsou dańy linea´rneˇ neza´visle´ vektory − U v ,− v ,...,− v vE , 1

2

k

n

k ≤ n. Ma´me najı´t k-dimensiona´lnı´ objem v En. → → → → ˇ esˇenı´: Vektory doplnı´me na ba´zi − R v 1, − v 2, . . . , − v k, . . . , − v n a zapı´sˇeme jejich sourˇadnice do sloupcu˚ matice A. Provedeme QR rozklad A = QR. Matici R „zmensˇ´ıme“ na matici Rk , ktera´ obsahuje jen prvnıćh k rˇa´dku˚ a k sloupcu˚. Hledany´ k dimenziona´lnı´ objem je roven det Rk . Pozna´mka: doplneˇnı´ na ba´zi nenı´ prakticky potrˇeba deˇlat. Software doka´zˇe prove´st i neu´plny´ QR rozklad obde´lnı´kove´ matice A = QkRk . Zde matice A obsahuje ve sloupcıćh jen sourˇadnice → → → vektoru˚ − v 1, − v 2, . . . , − v k.


[36]

[1]

Prˇı´klad: kolmice v E3 • Kolmice k prˇ´ımce je rovina, ktera´ ma´ norma´lovy´ vektor rovny´ smeˇrove´mu vektoru prˇ´ımky. • Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, ktera´ ma´ smeˇrovy´ vektor rovny´ norma´love´mu vektoru roviny. Rovina dana´ rovnicı´ ax + by + cz = d ma´ norma´lovy´ vektor (a, b, c), takzˇe prˇechod od roviny ke kolme´ prˇ´ımce nebo od prˇ´ımky ke kolme´ rovineˇ je snadny´.

Grupy, teˇlesa • grupa: mnozˇina s jednou „rozumnou“ operacı´ • prˇ´ıklady grup, vlastnosti • teˇleso: mnozˇina se dveˇma „rozumny´mi“ operacemi • prˇ´ıklady teˇles, vlastnosti, charakteristika teˇlesa • linea´rnı´ prostor nad teˇlesem • polynomy nad teˇlesem • polynomy modulo polynom


[2]


[6]

Rea´lna´ cˇı´sla, inspirace

Za´kladnı´ vlastnosti grupy

Na mnozˇineˇ R rea´lnyćh cˇ´ısel ma´me operaci +. Prˇitom platı´:

• Neutra´lnı´/jednotkovy´ prvek je v grupeˇ jediny´. Kdyby byly dva e, f , pak e = e f = f , takzˇe nemohou by´t ru˚zne´.

• x + (y + z) = (x + y) + z . . . (asociativnı´ za´kon), • existuje prvek 0 ∈ R takovy´, zˇe 0 + x = x + 0 = x ∀x ∈ R . . . (existence neutra´lnı´ho prvku), • ∀x ∈ R existuje opacˇny´ prvek y ∈ R tak, zˇe x + y = y + x = 0 . . . (existence opacˇne´ho prvku, znacˇ´ıme y = −x), • x + y = y + x . . . (komutativnı´ za´kon).

• Opacˇny´/inverznı´ prvek existuje ke kazˇde´mu prvku x ∈ G jediny´. Kdyby existovaly y1, y2 tak, zˇe y1 x = e, x y2 = e, pak y1 = y1 e = y1 (x y2) = (y1 x) y2 = e y2 = y2. • Pologrupa G je grupou pra´veˇ kdyzˇ pro kazˇde´ a, b ∈ G existujı´ rˇesˇenı´ rovnic a x = b, y a = b.

Na mnozˇineˇ R ma´me take´ operaci ⋅, ktera´ splnˇuje: • x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z . . . (asociativnı´ za´kon), • existuje prvek 1 ∈ R takovy´, zˇe 1 ⋅ x = x ⋅ 1 = x ∀x ∈ R . . . (existence jednotkove´ho prvku), • ∀x ∈ R, x 6= 0 existuje prvek y ∈ R tak, zˇe x ⋅ y = y ⋅ x = 1 . . . (existence inverznı´ho prvku, znacˇ´ıme y = x−1), • x ⋅ y = y ⋅ x . . . (komutativnı´ za´kon). BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

Na´znak du˚kazu: Je-li G grupa, pak x = a−1 b a y = b a−1 jsou rˇesˇenı´ uvedenyćh rovnic. Umı´me-li rˇesˇit tyto rovnice, pak jednotkovy´ prvek e je rˇesˇenı´ rovnice a e = a (je trˇeba uka´zat, zˇe to neza´visı´ na volbeˇ a). Da´le inverznı´ prvek k a je rˇesˇenı´ a x = e (je trˇeba uka´zat, zˇe je to tote´zˇ, jako rˇesˇenı´ rovnice y a = e). [3]


[7]

Mnozˇina s jednou operacı´: grupoid, grupa

Vlastnosti inverznıćh prvku ˚ grupy

Definice: Prˇedpokla´dejme mnozˇinu G a na nı´ operaci . Da´le uvazˇujme vlastnosti:

• Jednotkovy´ prvek e ma´ inverznı´ prvek e (je inverznı´ sa´m sobeˇ). Skutecˇneˇ: e = e e.

(1) x (y z) = (x y) z ∀x, y, z ∈ G . . . (asociativnı´ za´kon),

• Je-li a−1 invernzı´ prvek k a, je-li da´le b−1 inverznı´ prvek k b, pak inverznı´ prvek k a b je tvaru b−1 a−1. Skutecˇneˇ:

(2) existuje prvek e ∈ G takovy´, zˇe e x = x e = x ∀x ∈ G . . . (existence neutra´lnı´ho/jednotkove´ho prvku),

(b−1 a−1 ) (a b) = b−1 (a−1 a) b = b−1 e b = b−1 b = e, (a b) (b−1 a−1 ) = a (b b−1) a−1 = a e a−1 = a a−1 = e.

(3) ∀x ∈ G existuje prvek y ∈ G tak, zˇe x y = y x = e . . . (existence opacˇne´ho/inverznı´ho prvku), (4) x y = y x ∀x, y ∈ G . . . (komutativnı´ za´kon). • Mnozˇina G s operacı´

• Je-li a−1 inverznı´ k a, pak a je inverznı´ k a−1. Skutecˇneˇ: a−1 a = a a−1 = e.

se nazy´va´ grupoid.

• Grupoid, kde platı´ asociativnı´ za´kon (1), se nazy´va´ pologrupa. • Pologrupa s vlastnostmi (2) a (3) se nazy´va´ grupa. • Grupa, kde platı´ komutativnı´ za´kon (4), je komutativnı´ grupa. BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

[4]


[8]

Prˇı´klady

Mocnina

• R s operacı´ + je komutativnı´ grupa.

Je-li a ∈ G, pak symbolem ak oznacˇme prvek a a · · · a (k-kra´t).

• R s operacı´ ⋅ je pologrupa, R \ {0} je komutativnı´ grupa.

• Q, Z s operacı´ + jsou komutativnı´ grupy (podgrupy grupy R s +).

• Z \ {0} s operacı´ ⋅ nenı´ grupa (je to pologrupa).

Tvrzenı´: Je-li G konecˇna´ komutativnı´ grupa s n prvky, pak pro kazˇde´ a ∈ G je an = e. Du˚kaz: Oznacˇme G = {g1, g2, . . . , gn} a zvolme a ∈ G. Uka´zˇeme, zˇe

• Mnozˇina {e} s operacı´ , pro kterou e e = e, je grupa.

{g1, g2, . . . , gn} = {a g1, a g2 , . . . , a gn}.

• Mnozˇina regula´rnıćh matic s maticovy´m na´sobenı´m je grupa. • Mnozˇina ctvercovyćh matic s na´sobenı´m je pologrupa. • Mnozˇina funkcı´ R → R prostyćh a na s operacı´ skla´dańı´ je grupa. • Mnozˇina bijektivnıćh zobrazenı´ M → M s op. skla´dańı´ je grupa.

Zobrazenı´, ktere´ prˇirˇadı´ prvku gi prvek a gi je proste´, protozˇe, pokud a gi = a gj , pak po aplikaci a−1 zleva ma´me gi = gj . Uvedene´ mnozˇiny jsou tedy stejneˇ pocˇetne´ a tedy stejne´ a majı´ tedy stejny´ soucˇin vsˇech prvku˚: a g1 a g2 · · · a gn = g1 g2 · · · gn = u

• Mnozˇina permutacı´ s operacı´ skla´dańı´ je grupa

Dı´ky komutativnı´mu za´konu se rovnost da´ prˇepsat na an u = u a dokazovana´ rovnost plyne aplikacı´ u−1 na obeˇ strany rovnosti.

• Mnozˇina {0, 1, . . . , m − 1} s operacı´ „+ modulo m“ je grupa. BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

[5]


[9]

Terminologie: jednotkovy´/neutra´lnı´ prvek

Podgrupy

Operace komutativnı´ grupy by´va´ neˇkdy oznacˇena symbolem +. V takove´m prˇ´ıpadeˇ prvek e z vlastnosti (2) grupy se nazy´va´ neutra´lnı´ prvek a prvek y z vlastnosti (3) se nazy´va´ opacˇny´ prvek.

Podgrupa P je podmnozˇina grupy G se stejnou operacı´, ktera´ je sama grupou. Tj. P musı´ mı´t (stejny´) jednotkovy´ prvek a kazˇdy´ prvek z P musı´ mı´t inverzi v P.

Neutra´lnı´ prvek se v tomto prˇ´ıpadeˇ znacˇ´ı symbolem 0 a opacˇny´ prvek k prvku x se znacˇ´ı −x. Operaci a + (−b) znacˇ´ıme strucˇneˇji a − b a rˇ´ıka´me ji odecˇ´ıtańı´.

Prˇı´klady: • Q a Z je podgrupa grupy R s operacı´ +, • Q \ {0} je podgrupa grupy R \ {0} s operacı´ ⋅,

Je-li operace grupy oznacˇena symbolem ⋅ (kra´t), pak prvku e z vlastnosti (2) grupy rˇ´ıka´me jednotkovy´ prvek a prvku y z vlastnosti (3) rˇ´ıka´me inverznı´ prvek.

• matice s det = 1 tvorˇ´ı podgrupu regula´rnıćh matic s operacı´ ⋅,

Jednotkovy´ prvek v takove´m prˇ´ıpadeˇ znacˇ´ıme symbolem 1 a inverznı´ prvek k prvku x znacˇ´ıme x−1. Je-li grupa komutativnı´, pak operaci a ⋅ b−1 znacˇ´ıme strucˇneˇji a/b a rˇ´ıka´me ji deˇlenı´.

• Kladna´ cˇ´ısla tvorˇ´ı podgrupu grupy R s operacı´ ⋅.

• symetricke´ matice tvorˇ´ı podgrupu cˇtvercovyćh matic s operacı´ +, • Suda´ cˇ´ısla tvorˇ´ı podgrupu Z s operacı´ +,


[10]


Vlastnosti pologrupy „kra´t modulo m“

Prˇı´klady

Prˇedpokla´dejme mnozˇinu {0, 1, 2, . . . , m−1} s operacı´ „kra´t modulo m“, tj. a ◦ b = a ⋅ b pro a ⋅ b < m, jinak a ◦ b je zbytek po deˇlenı´ cˇ´ısla a ⋅ b cˇ´ıslem m. Je to pologrupa. Tato pologrupa ma´ jednotkovy´ prvek: 1.

• Mnozˇiny Q a C s operacemi + a ⋅ jsou take´ teˇlesa.

Tvrzenı´: je-li m slozˇene´, tj. m = n1 ⋅ n2 , (n1 6= 1, n2 6= 1) pak cˇ´ıslo n1 nema´ inverznı´ prvek. Du˚kaz: v ◦ n1 = z, tj. vn1 = kn1 n2 + z, tj. z = n1 (v − kn2 ), takzˇe z musı´ by´t na´sobek n1 a nemu˚zˇe tedy by´t roven jedne´. Tvrzenı´: je-li m prvocˇ´ıslo, pak mnozˇina {1, 2, . . . , m−1} s operacı´ ◦ je grupa. Doka´zˇeme*, zˇe kazˇdy´ nenulovy´ prvek a ma´ inverzi. Platı´ totizˇ, zˇe {a, 2 ◦ a, . . . , (m − 1) ◦ a} = {1, · · · , m − 1}. Du˚vod: pro k1 6= k2 je a ◦ k1 6= a ◦ k2 , protozˇe z a (k1 − k2 ) = km plyne k1 − k2 = k′ m (je a nesoudeˇlne´ s m). Protozˇe 0 ≤ k1 − k2 < m, musı´ k′ = 0, takzˇe k1 = k2 . BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

[14]

• Mnozˇina rea´lnyćh cˇ´ısel s operacemi + a ⋅ tvorˇ´ı teˇleso. • Mnozˇina Z s operacemi + a ⋅ je to komutativnı´ okruh s jednotkou. • Mnozˇina sudyćh celyćh cˇ´ısel s + a ⋅ je komutativnı´ okruh. • Mnozˇina regula´rnıćh matic s operacemi + a ⋅ nenı´ teˇleso ani okruh, protozˇe soucˇet dvou reg. matic nemusı´ by´t regula´rnı´. • Mnozˇina cˇtvercovyćh matic (stejne´ho typu) s operacemi + a ⋅ je nekomutativnı´ okruh s jednotkou. Nenı´ to teˇleso. • Mnozˇina {0, 1} s operacemi 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0, 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a, tvorˇ´ı teˇleso. • Mnozˇina {0, 1, . . . , p − 1} s operacemi „+ modulo p“ a „kra´t modulo p“ tvorˇ´ı teˇleso, pra´veˇ kdyzˇ je p prvocˇ´ıslo. Jinak je to okruh.

[11]


[15]

Mala´ Fermatova veˇta

Konecˇna´ (Galoisova) teˇlesa

Necht’ p je prvocˇ´ıslo, necht’ a je prˇirozene´ cˇ´ıslo, a < p. Pak

Da´ se uka´zat, zˇe pokud je teˇleso T konecˇne´, pak nasta´va´ jen jedna z na´sledujıćıćh mozˇnostı´:

a

p−1

= 1 (modulo p).

Du˚kaz: stacˇ´ı si uveˇdomit, zˇe grupa {1, 2, . . . , p − 1} s operacı´ „kra´t modulo p“ ma´ p − 1 prvku˚ a pouzˇ´ıt veˇtu ze strańky [8].

• T = {0, 1, 2, . . . , p − 1} s operacı´ „+ modulo p“ a „kra´t modulo p“, kde p je prvocˇ´ıslo. Toto teˇleso se znacˇ´ı Zp a ma´ p prvku˚. • T je mnozˇina vsˇech polynomu˚ nad Zp stupneˇ mensˇ´ıho nezˇ n s operacemi „plus a kra´t modulo ireducibilnı´ polynom stupneˇ n“. Toto teˇleso ma´ pn prvku˚, podrobneˇji se k neˇmu vra´tı´me za chvı´li. Jine´ konecˇne´ teˇleso (azˇ na izomorfismus) neexistuje. Konecˇna´ teˇlesa se neˇkdy znacˇ´ı GF(pn), kde argument informuje o pocˇtu prvku˚ teˇlesa a GF je zkratka pro „Galois field“. Prˇı´klady: neexistuje teˇleso, ktere´ ma´ 6 prvku˚. Existuje ale teˇleso, ktere´ ma´ 8 prvku˚: GF(23 ) nebo 9 prvku˚: GF(32 ). Z5 je teˇleso, ale Z8 nenı´ teˇleso (je to jen okruh).


[12]


[16]

Mnozˇina se dveˇma operacemi: okruh, teˇleso

Za´kladnı´ vlastnosti teˇlesa

Definice: Okruh je mnozˇina T s operacemi + a ⋅, pro ktere´ platı´:

• Pro libovolne´ a, b ∈ T je: a ⋅ b = 0, pra´veˇ kdyzˇ a = 0 nebo b = 0. Du˚kaz: Necht’ a 6= 0 a b 6= 0. Pak a ⋅ b 6= 0 z vlastnosti (2) definice ´ NO a = 0, uka´zˇeme, zˇe 0 ⋅ b = 0. Platı´: teˇlesa. Obraćeneˇ: BU

(1) T s operacı´ + je komutativnı´ grupa (neutra´lnı´ prvek znacˇ´ıme 0), (2) T s operacı´ ⋅ je pologrupa, (3) ∀ x, y, z ∈ T platı´ x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z), (y + z) ⋅ x = (y ⋅ x) + (z ⋅ x). . . . (distributivnı´ za´kon). Definice: Teˇleso je mnozˇina T s operacemi + a ⋅, pro ktere´ platı´: (1) T s operacı´ + je komutativnı´ grupa (neutra´lnı´ prvek znacˇ´ıme 0), (2) T \ {0} s operacı´ ⋅ je grupa (jednotkovy´ prvek znacˇ´ıme 1),

(3) ∀ x, y, z ∈ T platı´ x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z), (y + z) ⋅ x = (y ⋅ x) + (z ⋅ x). . . . (distributivnı´ za´kon). Pozorovańı´: Kazˇde´ teˇleso musı´ mı´t asponˇ dva prvky: 0 a 1.


0 ⋅ b = (0 + 0) ⋅ b = 0 ⋅ b + 0 ⋅ b. Prˇicˇtenı´m − (0 ⋅ b) k obeˇma strana´m rovnosti ma´me 0 = 0 ⋅ b. • Jestlizˇe existuje konecˇny´ pocˇet jednicˇek, ktere´ v soucˇtu dajı´ nulu, je nejmensˇ´ı takovy´ pocˇet prvocˇ´ıslo. Du˚kaz: Nejmensˇ´ı pocˇet jednicˇek, ktere´ dajı´ v soucˇtu nulu, oznacˇ´ım λ . Pro spor budizˇ λ = m ⋅ n, m < λ , n < λ . Pak ! ! m

∑1 1

⋅

n

∑1

=

1

mn

λ

1

1

∑ 1 = ∑1 = 0

takzˇe (dle prˇedchozı´ vlastnosti) musı´ by´t asponˇ jedna za´vorka nulova´. Tj. existuje mensˇ´ı pocˇet jednicˇek, ktere´ majı´ soucˇet nula. [13]


[17]

Varianty okruhu ˚ a teˇles

Charakteristika teˇlesa

Prˇedpokla´dejme mnozˇinu T s vlastnostmi (1) a (3).

Definice: Charakteristika teˇlesa λ je nejmensˇ´ı pocˇet jednicˇek, ktere´ dajı´ v soucˇtu nulu. Pokud konecˇny´ pocˇet jednicˇek s touto vlastnostı´ neexistuje, klademe λ = 0.

• Je-li T s operacı´ ⋅ komutativnı´ pologrupa, pak T se nazy´va´ komutativnı´ okruh. • Je-li T s operacı´ ⋅ pologrupa a ma´-li jednotkovy´ prvek, pak T se nazy´va´ okruh s jednotkou.

Prˇı´klady:

• Je-li T s operacı´ ⋅ komutativnı´ pologrupa a ma´-li jednotkovy´ prvek, pak T se nazy´va´ komutativnı´ okruh s jednotkou.

• Teˇleso Zp (p prvocˇ´ıslo) ma´ charakteristku λ = p.

• Je-li T \ {0} s operacı´ ⋅ komutativnı´ grupa, pak T se nazy´va´ komutativnı´ teˇleso. Pozna´mcˇicˇka: prˇ´ıklad nekomutativnı´ho teˇlesa (kvaterniony) pro nedostatek mı´sta vynecha´me. Vsˇechna ostatnı´ teˇlesa, o kteryćh budeme mluvit, jsou komutativnı´ teˇlesa. Takzˇe slovo „komutativnı´ “ nebudeme v prˇ´ıpadeˇ teˇles nada´le zdu˚raznˇovat.

• Teˇlesa Q, R, C majı´ charakteristiku λ = 0.

Pozorovańı´: z prˇedchozı´ strańky vı´me, zˇe charakteristika teˇlesa je rovna prvocˇ´ıslu (je-li konecˇna´). Tvrzenı´: • Je-li p charakteristika teˇlesa, pak (a + b)p = ap + bp . • V teˇlese Zp dokonce platı´: ap = a (dı´ky male´ Fermatoveˇ veˇteˇ). • V obecne´m teˇlese s charakteristikou p ovsˇem neplatı´ ap = a.


[18]


Znovu definice linea´rnı´ho prostoru

Polynom nad komutativnı´m teˇlesem T

Definice: Linea´rnı´ prostor nad teˇlesem T je nepra´zdna´ mnozˇina L s operacemi + : L × L → L a ⋅ : T × L → L, ktere´ splnˇujı´ vlastnosti: → (+) L s operacı´ + je komutativnı´ grupa, nulovy´ prvek znacˇ´ıme − o,

je vzorec

→ → → (A) α ⋅ (β ⋅ − x ) = (α ⋅ β ) ⋅ − x pro vsˇechna − x ∈ L, α , β ∈ T, − → − → − → − → → → x ,− y ∈ L, α ∈ T, (B) α ⋅ ( x + y ) = α ⋅ x + α ⋅ y pro vsˇechna − − → − → − → − → (C) (α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x pro vsˇechna x ∈ L, α , β ∈ T, Pozorovańı´: Pro T = R se definice shoduje s pu˚vodnı´ definicı´ lin. → → → prostoru. Stacˇ´ı oveˇrˇit, zˇe platı´ (7): 0 ⋅ − x =− o pro vsˇechny − x ∈ L: → → → → 0⋅− x = (0 + 0) ⋅ − x =0⋅− x +0⋅− x, → → → k te´to rovnosti prˇicˇteme − (0 ⋅ − x ) a dosta´va´me − o =0⋅− x.

Aritmeticky´ linea´rnı´ prostor T

anxn + an−1xn−1 + · · · + a1 x + a0

kde ai ∈ T. Tento vzorec vymezuje prˇedpis pro hodnoty zobrazenı´ z T do T (za x dosazujeme prvky z teˇlesa T a dosta´va´me hodnoty polynomu: prvky z teˇlesa T). Rovnost polynomu ˚ : dva polynomy se rovnajı´, kdyzˇ se rovnajı´ jejich odpovı´dajıćı´ koeficienty (azˇ na prˇ´ıpadne´ prˇebytecˇne´ nulove´ koeficienty s nejvysˇsˇ´ımi indexy).

→ → → (D) 1 ⋅ − x =− x pro vsˇechna − x ∈ L.


[22]

Pozor: rovnost nenı´ zarucˇena rovnostı´ zobrazenı´ T → T. Prˇı´klad: Polynom x2 + 1 nad Z2 odpovı´da´ zobrazenı´ 0 → 1, 1 → 0. Polynom x3 + 1 odpovı´da´ stejne´mu zobrazenı´, ale nenı´ to stejny´ polynom.

[19]

n


[23]

Operace s polynomy nad teˇlesem

je analogiı´ linea´rnı´ho prostoru Rn . Mnozˇina T n je mnozˇinou vsˇech usporˇa´danyćh n-tic prvku˚ z teˇlesa T s operacemi scˇ´ıtańı´ n-tic a na´sobenı´ n-tice skala´rem z T, ktere´ jsou definovańy takto:

Soucˇet, rozdı´l nebo soucˇin polynomu˚ nad T provedeme jako soucˇet, rozdı´l nebo soucˇin prˇ´ıslusˇnyćh vzorcu˚. Prˇitom prova´dı´me vy´pocˇty s jednotlivy´mi koeficienty polynomu˚ za pouzˇitı´ operacı´ v teˇlese T.

(1) (a1, a2 , . . . , an) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ),

Prˇı´klad: Secˇteme polynomy nad Z5 :

(2) α ⋅ (a1, a2, . . . , an) = (α ⋅ a1, α ⋅ a2 , . . . , α ⋅ an).

(2x3 +4x2+2x+1)+(3x2 +2x) = 2x3 +(4+3)x2 +(2+2)x+1 = 2x3 +2x2+4x+1.

Pozorovańı´: Tento linea´rnı´ prostor ma´ ba´zi

Prˇı´klad: Vyna´sobı´me polynomy nad Z5:

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1), takzˇe ma´ dimenzi n. Je-li T konecˇne´ teˇleso, ktere´ ma´ m prvku˚, pak celkovy´ pocˇet vektoru˚ v T n je mn. Kazˇdy´ podprostor prostoru T n dimenze k ma´ mk prvku˚, protozˇe existuje mk ru˚znyćh linea´rnıćh kombinacı´ ba´ze. BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

Prˇı´klad: linea´rnı´ prostor

0 + 1 = 1 + 0 = 1,

4

[20]


[24]

ˇ a´stecˇny´ podı´l polynomu C ˚

Zn2

je linea´rnı´ prostor usporˇa´danyćh n-tic jednicˇek a nul nad teˇlesem Z2 . Prvky teˇlesa Z2 = {0, 1} scˇ´ıta´me podle pravidla 0 + 0 = 0,

(2x3 + 4x2 + 2x + 1) ⋅ (3x2 + 2x) = = (2 ⋅ 3)x + (4 ⋅ 3)x + (2 ⋅ 3)x3 + 3x2 + (2 ⋅ 2)x4 + (4 ⋅ 2)x3 + (2 ⋅ 2)x2 + 2x = = x5 + 2x4 + x3 + 3x2 + 4x4 + 3x3 + 4x2 + 2x = = x5 + (2 + 4)x4 + (1 + 3)x3 + (3 + 4)x2 + 2x = = x5 + x4 + 4x3 + 2x2 + 2x 5

1+1=0

a vektory (usporˇa´dane´ n-tice) scˇ´ıta´me a na´sobı´me po slozˇkaćh, jako → → → na prˇedchozı´ strańce. Jmenoviteˇ pro libovolny´ − u ∈ Zn2 je 1 ⋅ − u =− u → → a0⋅− u =− o . S jiny´mi skala´ry nepracujeme.


Veˇta: pro kazˇde´ dva polynomy p, q (q nenulovy´) existujı´ jednoznacˇneˇ polynomy r, z tak, zˇe 1) p = r ⋅ q + z, 2) stupenˇ z je mensˇ´ı nezˇ stupenˇ q. Algoritmus cˇa´stecˇne´ho deˇlenı´ polynomu polynomem lze pouzˇ´ıt stejneˇ nad libovolny´m teˇlesem. Naucˇili jsme se ho pouzˇ´ıvat pro polynomy nad R a nynı´ jej budeme pouzˇ´ıvat pro polynomy nad libovolny´m teˇlesem. Zaskocˇit na´s mu˚zˇe jen u´kon deˇlenı´ koeficientu a koeficientem b, cozˇ je ale v kazˇde´m komutativnı´m teˇlese proveditelne´ jako a ⋅ b−1.

[21]


[25]

Prˇı´klad: soustava linea´rnıćh rovnic v Z5

Prˇı´klad: algoritmus cˇa´stecˇne´ho podı´lu

Vyrˇesˇ´ıme soustavu linea´rnıćh rovnic v Z5 s na´sledujıćı´ rozsˇ´ırˇenou maticı´. V prvnı´ eliminacˇnı´ u´praveˇ jsem secˇetl prvnı´ rˇa´dek s druhy´m a da´le od trˇetı´ho odecˇetl dvojna´sobek prvnı´ho.       2 3 1 1 4 2 3 1 1 4 2 3 1 1 4 3 1 2 2 2 ∼ 0 4 3 3 1 ∼ 0 2 1 4 3 4 3 3 1 1 0 2 1 4 3 0 0 1 0 0

Vydeˇlı´me polynomy nad Z5. V tomto prˇ´ıpadeˇ si uveˇdomı´me, zˇe 3−1 = 2, protozˇe 3 ⋅ 2 = 1 modulo 5. Takzˇe naprˇ´ıklad prvnı´ krok algoritmu obsahuje vy´pocˇet 2x3 : 3x2 = (2 ⋅ 3−1) x = (2 ⋅ 2) x = 4x

Mnozˇina rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy M0 = 〈(0, 3, 0, 1)〉 a partikula´rnı´ rˇesˇenı´ je naprˇ. (1, 4, 0, 0). Vsˇechny principy linea´rnı´ algebry (o dimenzıćh, linea´rnıćh obalech, ba´zıćh) zu˚sta´vajı´ v platnosti. Rozdı´l proti lin. prostoru nad R je jen ten, zˇe zde jsou (pod)prostory konecˇne´. Naprˇ. M0 zde ma´ peˇt prvku˚ (vektor je mozˇne´ na´sobit jen cˇ´ısly 0, 1, 2, 3, 4,), takzˇe mnozˇinu rˇesˇenı´ mu˚zˇeme zapsat vyćˇtem prvku˚: M = {(1, 4, 0, 0), (1, 2, 0, 1), (1, 0, 0, 2), (1, 3, 0, 3), (1, 1, 0, 4)}

(2x3 + 4x2 + 2x + 1) : (3x2 + 2x) = 4x + 2 − (2x3 + 3x2 ) x2 + 2x + 1 − (x2 + 4x) −2x + 1 Podı´l danyćh polynomu˚ roven 4x + 2 a zbytek je −2x + 1 = 3x + 1.


[26]


Operace modulo polynom

Prˇı´klad: teˇleso Z2[x]/(x + x + 1)

Srovnejme dveˇ tvrzenı´:

Modul (x3 + x + 1) je ireducibilnı´. Toto teˇleso obsahuje:

• Pro kazˇde´ dveˇ cela´ cˇ´ısla a, b (b nenulove´) existujı´ cela´ cˇ´ısla r, z tak, zˇe a = rb + z, prˇitom 0 ≤ z < b. Cˇ´ıslo z je zbytek po deˇlenı´ a cˇ´ıslem b. • Pro kazˇde´ dva polynomy p, q (q nenulovy´) existujı´ polynomy r, z tak, zˇe p = r ⋅ q + z, prˇitom st z < st q. Polynom z je zbytek po deˇlenı´ p polynomem q. Tak jako mu˚zˇeme pro dveˇ cˇ´ısla najı´t zbytek po deˇlenı´, mu˚zˇeme pro dva polynomy najı´t zbytek po deˇlenı´. Je-li dań nenulovy´ polynom, modul q, pak kazˇdy´ polynom p mu˚zˇeme ztotozˇnit se zbytkem po deˇlenı´ p polynomem q. Oznacˇ´ıme-li z tento zbytek, pak rˇ´ıka´me: p=z

[30]

3

modulo q.

Z2 [x]/x3 + x + 1 = {0, 1, x, x + 1, x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1} Scˇ´ıtańı´ prvku˚ prova´dı´me jako scˇ´ıtańı´ polynomu˚ nad Z2, naprˇ´ıklad: (x + 1) + (x2 + x) = x2 + 1 Na´sobenı´ prvku˚ prova´dı´me jako na´sobenı´ polynomu˚ nad Z2 s prˇ´ıpadnou dodatecˇnou operacı´ „modulo x3 + x + 1“. Naprˇ´ıklad: (x + 1) ⋅ (x2 + x) = x3 + x = 1 modulo (x3 + x + 1) Vidı´me, zˇe prvky x + 1 a x2 + x jsou si vza´jemneˇ inverznı´. Toto je prˇ´ıklad teˇlesa, ktery´ obsahuje 8 prvku˚, je to tedy GF(23 ). • Ma´-li ireducibilnı´ modul q stupenˇ n, je Zp [x]/q = GF(pn).


[27]


[31]

Okruh polynomu ˚ modulo polynom

Prˇı´klad: komplexnı´ cˇı´sla

Zvolme nenulovy´ polynom q stupneˇ n jako modul a prvocˇ´ıslo p. Symbolem Zp [x]/q oznacˇ´ıme mnozˇinu vsˇech polynomu˚ nad teˇlesem Zp, ktera´ ma´ stupenˇ mensˇ´ı nezˇ n. Zavedeme tyto operace:

Polynom x2 + 1 je nad R ireducibilnı´. Oznacˇme symbolem R[x] vsˇechny polynomy nad R a da´le R[x]/(x2 + 1) bude znacˇit mnozˇinu vsˇech polynomu˚ nejvy´sˇe prvnı´ho stupneˇ s obvyklou operacı´ + a s operacı´ „kra´t modulo polynom x2 + 1“. Takzˇe

• Scˇı´tańı´ prvku˚ z Zp[x]/q: provedeme jako obvykle´ scˇ´ıtańı´ polynomu˚ nad Zp. Stupenˇ soucˇtu je jisteˇ mensˇ´ı nezˇ n, takzˇe lezˇ´ı v Zp [x]/q. Mnozˇina Zp[x]/q s tı´mto scˇ´ıtańı´m zjevneˇ tvorˇ´ı komutativnı´ grupu. • Na´sobenı´ prvku˚ a Zp [x]/q: provedeme obvykle´ na´sobenı´ polynomu˚ nad Zp . Pokud stupenˇ vy´sledku je veˇtsˇ´ı nebo roven n, provedeme navıć na vy´sledek operaci „modulo polynom q“. Mnozˇina Zp [x]/q s tı´mto na´sobenı´m je pologrupa. Platı´ distributivnı´ za´kony: tj. mnozˇina Zp [x]/q s uvedeny´mi operacemi je okruh.

R[x]/(x2 + 1) = {a + bx; a, b ∈ R} Dva polynomy v R[x]/(x2 + 1) scˇ´ıta´me podle pravidla: (a + bx) + (c + dx) = (a + c) + (b + d)x. Dva polynomy v R[x]/(x2 + 1) na´sobı´me podle pravidla: (a + bx) ⋅ (c + dx) = bdx2 + (ad + bc)x + ac = = (ac − bd) + (ad + bc)x modulo x2 + 1 Nahrazenı´m symbolu x symbolem i shleda´va´me, zˇe teˇleso R[x]/(x2 + 1) je izomorfnı´ s teˇlesem komplexnıćh cˇ´ısel.

[28]

[1]

Polynom q je ireducibilnı´, pra´veˇ kdyzˇ jej nelze rozlozˇit na soucˇin dvou polynomu˚ nizˇsˇ´ıch stupnˇu˚.

´ vod do ko´dovańı´ U


Ireducibilnı´ polynom

2

Prˇı´klad: Polynom x +x+1 nad Z2 je ireducibilnı´, protozˇe kdyby sˇel rozlozˇit na soucˇin polynomu˚ nizˇsˇ´ıch stupnˇu˚, pak je to soucˇin korˇenovyćh cˇinitelu˚, ale tento polynom v Z2 nema´ korˇeny (vyzkousˇejte postupny´m dosazenı´m cˇ´ısel 0 a 1). Prˇı´klad: Polynom x3 + x + 1 nad Z2 je ireducibilnı´ (ze stejnyćh du˚vodu˚). Prˇı´klad: Polynom x5 + x4 + 1 nad Z2 je reducibilnı´, protozˇe

• samoopravne´ ko´dy: terminologie, princip • blokove´ linea´rnı´ ko´dy • Hammingu˚v ko´d • cyklicke´ ko´dy

x5 + x4 + 1 = (x3 + x + 1) ⋅ (x2 + x + 1). V prˇ´ıpadeˇ polynomu stupneˇ 4. a vıće na´m test existence korˇenu˚ k rozhodnutı´ o ireducibiliteˇ nepomu˚zˇe. a) algebra-all, 18, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g) BI-LIN, algebra-all, 17, P. Olsˇa´k

L

. Viz p. d. 4/2010

[29]


[2]

Polynomy modulo ireducibilnı´ polynom

Samoopravne´ ko´dy, k cˇemu to je

Da´ se uka´zat, zˇe pokud je polynom q ireducibilnı´, pak okruh Zp[x]/q je teˇleso, tj. kazˇdy´ polynom z mnozˇiny Zp[x]/q ma´ prˇi operaci na´sobenı´ inverznı´ polynom.

• Data jsou ulozˇena (nebo posı´lańa do linky) kode´rem podle urcˇite´ho pravidla (ko´dovańı´). Posle´ze jsou cˇtena dekode´rem a restaurovańa do pu˚vodnı´ podoby.

Du˚kaz* se da´ prove´st anoalogicky, jako s cˇ´ısly. Povsˇimneme si te´to podobnosti:

• Kode´r mu˚zˇe prˇidat k datu˚m doplnˇujıćı´ informaci (zhruba rˇecˇeno kontrolnı´ soucˇet) a umozˇnit tı´m dekode´ru, aby poznal, zda prˇi prˇenosu dat dosˇlo k chybeˇ. Dokonce prˇi vhodneˇ zvolene´m ko´dovańı´ mu˚zˇe dekode´r chybu opravit.

• p je prvocˇ´ıslo, tj. nelze rozlozˇit na soucˇin mensˇ´ıch cˇ´ısel. • q je ireducibilnı´, tj. nelze rozlozˇit na soucˇin polynomu˚ mensˇ´ıch stupnˇu˚. Je mozˇne´ prˇecˇ´ıst du˚kaz tvrzenı´ ze strańky [10] znovu, jen slovo cˇ´ıslo nahradı´me slovem polynom, slovo prvocˇ´ıslo slovem ireducibilnı´ polynom a vy´rok „cˇ´ıslo a je mensˇ´ı nezˇ b“ vy´rokem „stupenˇ polynomu p je mensˇ´ı nezˇ stupenˇ q“.

Ko´d je mnozˇina slov (tj. u´seku˚ dat), ktere´ mu˚zˇe generovat kode´r. Prˇı´klady ko´du ˚: • ASCII (slova sedmibitova´, ne vsˇechna) • Morseova abeceda (slova ru˚zneˇ dlouha´, efektivnı´ prˇenos) • UTF-8 (slova ru˚zneˇ dlouha´, de´lka rozpoznana´ podle prefixu)


[3]


[7]

Bina´rnı´, blokovy´ ko´d

Kode´r a dekode´r

je ko´d, kde jsou vsˇechna slova stejneˇ dlouha´.

→ Kode´r lin. (n, k) ko´du mu˚zˇe prˇevzı´t ko´dovane´ slovo − u (de´lky k) a → vytvorˇit z neˇj ko´dove´ slovo − v (de´lky n) maticovy´m na´sobenı´m:

Definice: Necht’ A je mnozˇina znaku˚ (abeceda). Slovo je konecˇna´ posloupnost znaku˚ z mnozˇiny A. Pocˇet znaku˚ ve sloveˇ je de´lka slova. Ko´d K je mnozˇina vsˇech slov, ktera´ generuje kode´r. Prvek ko´du K se nazy´va´ ko´dove´ slovo. Blokovy´ ko´d K obsahuje jen slova stejne´ de´lky. Bina´rnı´ ko´d je ko´d se slovy nad abecedou A = {0, 1}.

− → → v =− u ⋅ G. → Dekode´r mu˚zˇe zkontrolovat prˇijate´ slovo − w pomocı´ testu: → H⋅− w = o. T

→ Ko´dovańı´ je systematicke´, jsou-li informacˇnı´ bity (ze slova − u ) beze zmeˇny zkopı´rovańy do ko´dove´ho slova a za nimi na´sledujı´ kontrolnı´ bity. Pak mu˚zˇe dekode´r (po provedene´m testu) rekonstruovat informacˇnı´ bity zkopı´rovańı´m prvnıćh k pozic prˇijate´ho slova.

Prˇı´klady: • ASCII je bina´rnı´ blokovy´ ko´d de´lky 7. • Moreseovka nenı´ bina´rnı´ a nenı´ blokovy´ ko´d.

Pozorovańı´: Ko´dovańı´ je systematicke´, je-li generujıćı´ matice tvaru G = (E | C). Prˇida´vane´ kontrolnı´ bity pak kode´r spocˇ´ıta´ po′ → → mocı´ vzorce − v =− u ⋅ C.

• UTF-8 je bina´rnı´, ale ne blokovy´ ko´d. Da´le se budeme zaby´vat jen bina´rnı´mi blokovy´mi ko´dy BI-LIN, algebra-all, 18, P. Olsˇa´k

[4]


[8]

Linea´rnı´ ko´d

Prˇı´klad: opakovacı´ ko´d

Bina´rnı´ blokovy´ ko´d K de´lky n je podmnozˇinou lin. prostoru Zn2 .

→ Kode´r vezme ko´dovane´ slovo − u de´lky k a vytvorˇ´ı ko´dove´ slovo → → de´lky n = 2k tak, ko´dove´ slovo je tvaru (− u,− u ), tj. ko´dovane´ slovo je zdvojene´.

Definice: Je-li K liena´rnı´ podprostor Zn2 , pak se ko´d nazy´va´ linea´rnı´. Je-li dimenze ko´du k, pak mluvı´me o linea´rnı´m (n, k) ko´du. Prˇı´klad: Ko´d s kontrolnı´m bitem parity je linea´rnı´. Kode´r prˇida´va´ nulu nebo jednicˇku k informacˇnı´m bitu˚m tak, aby ko´dove´ slovo obsahovalo sudy´ pocˇet jednicˇek. Mnozˇina vsˇech slov de´lky n se sudy´m pocˇtem jednicˇek je linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru Zn2 .


Generujıćı´ matice tohoto ko´du je G = (E | E) a kontrolnı´ matice je take´ tvaru H = (E | E). Uveˇdomte si, jak je ko´d pomocı´ G generovań a jak je pomocı´ H kontrolovań. Nevy´hoda: prˇ´ılisˇ mnoho kontrolnıćh bitu˚ za „ma´lo muziky“.

[5]


[9]

Generujıćı´ a kontrolnı´ matice

Hammingova va´ha, vzda´lenost

Generujıćı´ matice linea´rnı´ho ko´du K je matice, ktera´ v rˇa´dcıćh obsahuje ba´zi ko´du.

→ Definice: Hammingova va´ha slova − v je pocˇet jeho nenulovyćh → → znaku˚. Hammingova vzda´lenost dvou slov − v a− w je pocˇet pozic, → → kde jsou znaky odlisˇne´ (pro bina´rnı´ ko´d je to va´ha slova − v +− w ). − → Ko´d K objevuje t chyb, pokud pro kazˇde´ slovo u ∈ K a kazˇde´ slovo − → → → e va´hy mensˇ´ı nebo rovno t platı´ − u +− e 6∈ K.

Kontrolnı´ matice linea´rnı´ho ko´du K je matice H, kro kterou platı´, zˇe K je rˇesˇenı´m soustavy H x = o. Prˇı´klad: Prˇedpokla´dejme linea´rnı´ (4, 3) ko´d s kontrolnı´m bitem parity (prˇida´vany´ na konec slova za trˇi informacˇnı´ bity). Generujıćı´ matice G a kontrolnı´ matice H jsou:   1 0 0 1 H = (1 1 1 1) G = 0 1 0 1, 0 0 1 1 Pozorovańı´: Generujıćı´ matice (n, k) ko´du je typu (k, n) a kontrolnı´ matice je typu (n − k, n). Platı´: G ⋅ HT = O.


→ Ko´d K opravuje t chyb, pokud pro kazˇde´ slovo − u ∈ K a kazˇde´ → → → → slovo − e va´hy mensˇ´ı nebo rovno t platı´: slovo − u ma´ od slova − u +− e nejmensˇ´ı vzda´lenost mezi ko´dovy´mi slovy.

Tvrzenı´ 1: Je-li nejmensˇ´ı vzda´lenost mezi ko´dovy´mi slovy d, pak ko´d objevuje d − 1 chyb a opravuje t < d2 chyb. Tvrzenı´ 2: Nejmensˇ´ı vzda´lenost mezi ko´dovy´mi slovy linea´rnı´ho ko´du je rovna nejmensˇ´ı va´ze nenulove´ho ko´dove´ho slova.

[6]


[10]

Vy´pocˇet jedne´ matice, zna´me-li druhou

Prˇı´klady

Je-li dańa generujıćı´ (resp. kontrolnı´) matice, vyrˇesˇ´ıme homogennı´ soustavu rovnic s touto maticı´ a ba´zi rˇesˇenı´ zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ kontrolnı´ (resp. generujıćı´) matice.

Ko´d s kontrolnı´m bitem parity ma´ nejmensˇ´ı va´hu nenulove´ho slova 2, takzˇe objevuje 2 − 1 = 1 chybu ve sloveˇ. Opravuje meńeˇ nezˇ 2/2 chyb, tedy neopravuje zˇa´dnou chybu.

Pro systematicky´ ko´d dokonce platı´:

Opakovacı´ ko´d my´ rovneˇzˇ nejmensˇ´ı va´hu nenulove´ho slova 2.

Je-li G = (E | C), pak H = (C | E ).

Aby ko´d doka´zal opravit jednu chybu ve sloveˇ, musı´ mı´t nejmensˇ´ı va´hu neulove´ho slova rovnu trˇem.

T

′


[11]

Syndrom


[15]

Cyklicke´ ko´dy

→ Dekode´r vyhodnotı´ s = H ⋅ − w . Tomuto vektoru s rˇ´ıka´me syndrom → prˇijate´ho slova − w . Prˇijate´ slovo je ko´dove´, pra´veˇ kdyzˇ ma´ nulovy´ syndrom. T → → Ko´d rozpozna´ chybu − e , pra´veˇ kdyzˇ s = H ⋅ − e je nenulovy´ vektor. T

Pozorovańı´ 1: Syndrom neza´visı´ na ko´dove´m sloveˇ (jen na chyT T T T → → → → → → bove´m sloveˇ): H ⋅ (− v +− e )T = H ⋅ − v +H⋅− e = o+H⋅− e = H⋅− e . Pozorovańı´ 2: Lin. ko´d ma´ minima´lnı´ vzda´lenost dvou slov d, pra´veˇ kdyzˇ kazˇdy´ vy´beˇr d − 1 sloupcu˚ z kontrolnı´ matice H je linea´rneˇ neza´visly´. Jmenoviteˇ: ko´d opravuje jednu chybu kdyzˇ kazˇde´ dva sloupce kontrolnı´ matice H jsou LN, tj. jsou nenulove´ a vza´jemneˇ ru˚zne´ (to v Zn−k stacˇ´ı). Kontrolnı´ matice s touto vlastnostı´ je kontrolnı´ ma2 tice Hammingova ko´du. BI-LIN, algebra-all, 18, P. Olsˇa´k

jsou beˇzˇneˇ uzˇ´ıvane´ samoopravne´ ko´dy (naprˇ. prˇi za´pisu/cˇtenı´ CD). Viz google: CRC (cyclic redundancy check). Definice: Ko´d K se nazy´va´ cyklicky´, pokud • je linea´rnı´ a navıć → → • je-li − v ko´dove´ slovo, pak cyklicky´ posun − v je take´ ko´dove´ slovo. Vhodna´ matematicka´ reprezentace slov de´lky n jsou polynomy: − → v = (a0, a1 , a2 . . . , an−1)

↔

v(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1xn−1

→ Cyklicky´ posun slova − v o jednu pozici popı´sˇeme na´sobenı´m polynomu v(x) polynomem x a ztotozˇneˇnı´m xn = x0, neboli na´sobenı´m v okruhu Zp[x]/(xn − 1). Od te´to chvı´le nerozlisˇujeme mezi pojmem „slovo“ a „polynom“.

[12]


[16]

Hammingu ˚ v ko´d

Za´kladnı´ vlastnosti cyklicke´ho ko´du

Sloupce kontrolnı´ matice H jsou prvky Zn−k ˇ et nenulovyćh a 2 . Poc vza´jemneˇ ru˚znyćh sloupcu˚ je maxima´lneˇ 2n−k − 1. Pocˇet sloupcu˚ uda´va´ de´lku ko´du n, tedy n = 2n−k − 1. De´lku ko´du je tedy vhodne´ volit jako mocninu dvou bez jedne´. Dosta´va´me tak Hammingovy ko´dy: (7, 4), (15, 11), (31, 26), (63, 57), . . . .

Tvrzenı´: Je-li K cyklicy´, g ∈ K a je-li f libovolny´ polynom, pak f ⋅ g ∈ K. Vy´pocˇet f ⋅ g je proveden v Zp[x]/(xn − 1).

Prˇ´ıklad: Hammingu˚v ko´d (7, 4) – de´lka 7, informacˇnı´ bity 4:    1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 H = 0 1 1 0 0 1 1, G =  0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

Du˚kaz: (bm xm + · · ·+ b1 x + b0)⋅g v Zp [x]/(xn −1) je linea´rnı´ kombinace cyklickyćh posunu˚ polynomu g. Definice: Nenulovy´ polynom cyklicke´ho ko´du nejmensˇ´ıho stupneˇ nazy´va´me generujıćı´ polynom.

 1 1 . 0 1

Zrˇejmeˇ pro generujıćı´ polynom platı´: K = {f ⋅ g; f je lib. polynom}.

Vy´hoda tohoto usporˇa´dańı´: index bitu, ktery´ je potrˇeba opravit, je zapsań v syndromu jako cˇ´ıslo ve dvojkove´ soustaveˇ.


[13]


[17]

Rozsˇı´rˇeny´ Hammingu ˚ v ko´d

Vlastnosti generujıćı´ho polynomu

je Hammingu˚v ko´d, ke ktere´mu kode´r prˇida´va´ kontrolnı´ bit parity. Naprˇ´ıklad (8, 4) ko´d ma´ matice     1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0    H= 1 0 1 0 1 0 1 0, G = 0 0 1 0 1 1 0 1.

Tvrzenı´: Necht’ g je generujıćı´ polynom (n, k) cyklicke´ho ko´du K.

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 0

Ko´d opravı´ jednu chybu (v prvnıćh trˇech bitech je syndrom jako v (7, 4) ko´du a cˇtvrty´ bit musı´ by´t 1) a odhalı´ dveˇ chyby (v prvnıćh trˇech bitech syndromu je nenulove´ cˇ´ıslo a cˇtvrty´ bit je 0). Nejmensˇ´ı vzda´lenost dvou slov v tomto ko´du je 4.

• polynom g ma´s stupenˇ n − k, • {g, x ⋅ g, x2 ⋅ g, . . . , xk−1 ⋅ g} je ba´ze ko´du, • polynom xn − 1 je deˇliteny´ polynomem g. Du˚kaz: necht’ v ∈ K. Vydeˇlı´me v polynomem g se zbytkem: v = f ⋅ g + z, protozˇe v ∈ K, f ⋅ g ∈ K, musı´ z ∈ K. Protozˇe st z < st g a polynom g ma´ nejmensˇ´ı stupenˇ, musı´ z = 0. Protozˇe st v < n, je st f < m = n − st g. Libovolny´ v ∈ K lze zapsat jako v = (fm−1xm−1 + · · · + f1x + f0 ) ⋅ g

neboli jako linea´rnı´ kombinaci prvku˚ {g, x⋅g, x2 ⋅g, . . . , xk−1 ⋅g}. Tyto prvky jsou LN, takzˇe tvorˇ´ı ba´zi ko´du K. Je tedy m = k a st g = n − k. Puntı´k trˇetı´: deˇlitelnost oveˇrˇ´ıme analogicky (musı´ z = 0). BI-LIN, algebra-all, 18, P. Olsˇa´k

[14]


[18]

Na´vrh pocˇtu kontrolnıćh bitu ˚

Generujıćı´ polynom: postacˇujıćı´ podmıńka

Oznacˇme n de´lku bina´rnı´ho ko´du, k dimenzi ko´du (pocˇet informacˇnıćh bitu˚) a c = n − k pocˇet kontrolnıćh bitu˚.

Tvrzenı´: Aby byl polynom g generujıćı´ polynom neˇjake´ho cyklicke´ho ko´du, stacˇ´ı, aby deˇlil polynom xn − 1 beze zbytku.

Linea´rnı´ ko´d nemu˚zˇe opravit vıće rozdı´lnyćh chyb nezˇ je pocˇet nenulovyćh syndromu˚. Teˇch je 2c − 1. Pocˇet ru˚znyćh chyb s va´hou jedna je n. Proto, chceme-li opravit jednu chybu, musı´ 2c − 1 ≥ n.

Du˚kaz: Zjistı´me, zˇe lin. obal vsˇech cyklickyćh posunu˚ g neobsahuje nenulovy´ polynom st. mensˇ´ıho nezˇ g. Necht’ f je libovolny´ polynom.

Pocˇet ru˚znyćh chyb (vcˇetneˇ stavu „bez chyby“) s va´hou nejvy´sˇe m je rovno n n n + ··· + + m 1 0 Chceme-li opravovat m chyb ve sloveˇ, musı´ tedy pocˇet kontrolnıćh bitu˚ splnˇovat: n n n + ···+ + 2c ≥ m 1 0 Ko´dy navrzˇene´ tak, zˇe zde nasta´va´ rovnost, se nazy´vajı´ perfektnı´.

f ⋅ g = z mod (xn − 1),

tj. f ⋅ g = u ⋅ (xn − 1) + z

Je trˇeba oveˇrˇit, zˇe z = 0 nebo st z ≥ st g. Protozˇe je f ⋅ g deˇlitelny´ g a u ⋅ (xn − 1) je deˇlitelny´ g, musı´ te´zˇ z by´t deˇlitelny´ g, takzˇe z = v ⋅ g. Na´vrh cyklicke´ho ko´du: Zvolı´me de´lku bloku n, rozlozˇ´ıme polynom xn − 1 na soucˇin ireducibilnıćh polynomu˚ a generujıćı´ polynom g zvolı´me jako soucˇin neˇkteryćh takto nalezenyćh ireducibilnıćh polynomu˚. Stupenˇ g je pocˇet kontrolnıćh bitu˚ ko´du. ´ mluva: Vsˇechny gen. polynomy stejne´ho ko´du se lisˇ´ı azˇ na skaU la´rnı´ na´sobek. Volme takovy´, co ma´ u nejvysˇsˇ´ı mocniny jednicˇku.


[19]


[23]

Odhalenı´ souvisle´ chyby

Sytematicke´ ko´dovańı´

Souvisla´ chyba de´lky t je chyba meˇnıćı´ ko´dove´ slovo v u´seku neˇkteryćh po sobeˇ jdoucıćh t bitu˚, jinde je slovo nezmeˇneˇno. Pocˇet chyb (va´ha chybove´ho slova) nemusı´ by´t t, ale je mensˇ´ı nebo rovna t.

Kode´r z informacˇnıćh bitu˚ (u1 , u2 , . . . , uk) sestavı´ polynom:

Pozorovańı´: Cyklicky´ (n, k) ko´d odhaluje vsˇechny souvisle´ chyby de´lky n − k. → Du˚kaz: Na souvislou chybu − e mu˚zˇeme prove´st (opakovaneˇ) cyk→ licky´ posun a zı´skat polynom − e ′ , ktery´ je stupneˇ mensˇ´ıho nezˇ n−k. ′ − → − → Takzˇe e ani e nenı´ ko´dove´ slovo.

vypocˇ´ıta´ z jako zbytek po deˇlenı´ u polynomem g a odesˇle ko´dove´ slovo u − z. Procˇ je ko´dove´? Je u = f ⋅ g + z. Protozˇe f ⋅ g je na´sobek g, musı´ i u − z by´t na´sobek g. Navıć soucˇet u − z neposˇkodı´ poslednıćh k informacˇnıćh bitu˚.

Pozna´mka: toto je du˚vod, procˇ se v praxi pouzˇ´ıvajı´ cyklicke´ ko´dy. Chyby se totizˇ ra´dy v konkre´tnı´m technicke´m prostrˇedı´ soustrˇed’ujı´ do bloku˚ (drupouty, sˇkra´bance na CD atd.).

u(x) = u1 xn−1 + u2xn−2 + · · · + uk−1 xn−k+1 + uk xn−k,

Dekode´r spocˇ´ıta´ syndrom s jako zbytek po deˇlenı´ prˇijate´ho slova polynomem g. Je-li s = 0, je prˇijate´ slovo ko´dove´. Poslednıćh k bitu˚ obsahuje informaci. O analy´ze syndromu si povı´me za chvı´li.

Existujı´ cyklicke´ (n, k) ko´dy, ktere´ navıć umeˇjı´ opravit vsˇechny souvisle´ chyby de´lky (n − k)/2. BI-LIN, algebra-all, 18, P. Olsˇa´k

[20]


[24]

Prˇı´klad: Cyklicky´ Hammingu ˚ v ko´d

Zbytek po deˇlenı´ polynomu polynomem

Sestavme (7, 4) cyklicky´ ko´d, ktery´ ma´ generujıćı´ polynom x3 +x+1. Je to generujıćı´ polynom, protozˇe deˇlı´ polynom x7 − 1. Ko´d ma´ na´sledujıćı´ generujıćı´ a kontrolnı´ matici     1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0    G= 0 0 1 1 0 1 0, H = 1 1 1 0 0 1 0 , 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

se v prˇ´ıpadeˇ polynomu˚ nad Z2 hleda´ snadno. V prˇ´ıkladu zapisujeme bity v opacˇne´m porˇadı´ nezˇ dosud, tj.

takzˇe vidı´me, zˇe H ma´ ru˚zne´ a nenulove´ sloupce. Je to tedy Hammingu˚v (7, 4) ko´d.

Hammingu˚v (7, 4) ko´d, ktery´ ko´duje podle te´to G a pouzˇ´ıva´ tuto kontrolnı´ matici H umı´ odhalit i trˇi souvisle´ chyby. Od Hammingova ko´du ze strany [12] se lisˇ´ı porˇadı´m bitu˚ ko´dove´ho slova.


(an−1, an−2 , . . . , a1 , a0) ↔ an−1xn−1 + an−2xn−1 + · · · + a1x + a0 . Prˇı´klad: Necht’ g = (1011). Chceme ko´dovat informaci (1111). Sestavı´me polynom u = (1111000) a deˇlı´me ho polynomem g: kode´r: 1111000 1011 0100000 1011 0001100 1011 0000111 = z,

dekode´r: 1111111 1011 0100111 1011 0001011 1011 0000000 = s (syndrom)

u − z = 1111111

[21]


[25]

Generujıćı´ a kontrolnı´ matice

Analy´za syndromu

Protozˇe cyklicky´ ko´d ma´ ba´zi g, x ⋅ g, x2 ⋅ g, . . . , xk−1 ⋅ g, kde g je generujıćı´ polynom, g(x) = g0 +g1x+g2x2 +· · ·+gn−kxn−k, je generujıćı´ matice tvaru   g0 g1 g2 . . . gn−k 0 0 ... 0 0  0 g0 g1 . . . gn−k−1 gn−k 0 ... 0 0     G =  0 0 g0 . . . gn−k−2 gn−k−1 gn−k . . . 0 0     ... ... 0 0 0 ... ... g0 g1 . . . gn−k−1 gn−k

Sestavı´me tabulku chyb a jejich syndromu˚: − → → → → → → e ↔− s ,− e ↔− s , ..., − e ↔− s . Tabulku vyplnı´me (drˇ´ıv, nezˇ

Polynom h = (xn − 1)/g se nazy´va´ kontrolnı´ polynom. Da´ se uka´zat, zˇe matice s koeficienty kontrolnı´ho polynomu hk , hk−1 , . . . , h1 , h0 umı´steˇny´mi (v tomto porˇadı´) opakovaneˇ „pode´l vedlejsˇ´ı diagona´ly“, je maticı´ kontrolnı´. Ta se v prˇ´ıpadeˇ cyklickyćh ko´du v deko´deru prˇ´ılisˇ nevyuzˇ´ıva´.


1

1

2

2

m

m

zacˇneme ko´dovat) tak, zˇe pro kazˇdou chybu ei spocˇ´ıta´me zbytek prˇi deˇlenı´ polynomem g a dostaneme si.

Kdybychom meˇli v pameˇti ulozˇenu tuto tabulku, pak pro kazˇdy´ → → → syndrom − s i dekode´r najde zpeˇtneˇ − e i a prˇijate´ slovo − w opravı´ → → → takto: − v =− w −− e i. Proble´m: pameˇt’ova´ na´rocˇnost + nutnost pro kazˇde´ prˇijate´ slovo prohledat tabulku.

[22]


[26]

Kode´r a dekode´r cyklicke´ho ko´du

Analy´za syndromu podle Meggitta

Ko´dovańı´ podle generujıćı´ matice nenı´ systematicke´. Kode´r → → z informacˇnıćh bitu˚ − u vytvorˇ´ı ko´dove´ slovo − u ⋅ G. Fakticky tedy vytva´rˇ´ı ko´dove´ slovo ve tvaru u ⋅ g.

Ucˇinˇme pozorovańı´ na prˇ´ıkladu (7, 4) cyklicke´ho ko´du. Tabulka − → → ei↔− s 1, ktera´ obsahuje vsˇechny chyby va´hy 1, vypada´ takto:

Dekode´r spocˇ´ıta´ syndrom prˇijate´ho slova jako zbytek po deˇlenı´ generujıćı´m polynomem. Je-li nulovy´, je prˇijate´ slovo ko´dove´. Vy´sledek deˇlenı´ obsahuje informacˇnı´ bity. Pozorovańı´: Syndrom neza´visı´ na ko´dovane´m slovu, ale pouze na chybeˇ: f ⋅ g + e = s1 mod g,

e = s2 mod g,

pak

s1 = s2 .

Du˚kaz: f ⋅ g + e = r1 ⋅ g + s1 , e = r2 ⋅ g + s2. s1 − s2 je na´sobek g se stupneˇm mensˇ´ım, takzˇe s1 − s2 = 0.

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

= x0 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6

↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

=1 =x = x2 =x+1 = x2 + x = x2 + x + 1 = x2 + 1 . . . syndrom poslednı´ho bitu

Pro syndromy platı´: si+1 = x⋅si mod g. Prˇitom s8 = s1. Je tedy mozˇne´ „protocˇit syndromy“ postupnou aplikacı´ operace x ⋅ si mod g. V jednom okamzˇiku se z kazˇde´ho syndromu stane syndrom poslednı´ho bitu. Deˇla´me-li soucˇasneˇ cyklicky´ posun prˇijate´ho slova, dostal se opravovany´ bit na poslednı´ pozici. Opravı´me ho tam.


[27]

Algoritmus podle Meggitta Sestavme seznam vsˇech syndromu˚, ktere´ odpovı´dajı´ vsˇem chyba´m, ktere´ majı´ na poslednı´ pozici jednicˇku (seznam vsˇech syndromu˚ poslednıó bitu). Ulozˇme tento seznam do pameˇti dekode´ru. Seznam zdaleka neobsahuje vsˇechny syndromy. Necht’ de´lka ko´du je n. Dekode´r provede postupneˇ n cyklickyćh posunu˚ prˇijate´ho slova (tı´m ho dostane nakonec do pu˚vodnı´ho stavu) a soucˇasneˇ cyklicky protaćˇ´ı syndrom podle vzorce si+1 = x⋅si mod g. Kdykoli se sydrom shoduje s neˇktery´m syndromem poslednı´ho bitu (ze seznamu), opravı´ dekode´r poslednı´ bit (cyklicky pounute´ho) prˇijate´ho slova. Opravuje-li ko´d jedinou chybu, obsahuje seznam jediny´ syndrom poslednı´ho bitu. Opravuje-li dveˇ chyby, pak seznam obsahuje n syndromu˚. Vy´pocˇet probı´ha´ s linea´rnı´ slozˇitostı´ (existuje dobrˇe popsana´ hw implementace pomocı´ hradel). BI-LIN, algebra-all, 18, P. Olsˇa´k

[28]

Korekce souvislyćh chyb Existujı´ cyklicke´ ko´dy, ktere´ opravujı´ souvisle´ chyby de´lky t. Da´ se uka´zat, zˇe pro takove´ ko´dy platı´: pokud prˇi „protaćˇenı´ syndromu“ dospeˇjeme k syndromu stupneˇ mensˇ´ıho nezˇ t, pak lze nara´z opravit v odpovı´dajıćı´m (cyklicky posunute´m) prˇijate´m sloveˇ vsˇechny kontrolnı´ bity prˇ´ımo podle (protocˇene´ho) syndromu. Inspirace: podı´vejte se na prvnı´ rˇa´dek tabulky na str. [26].


[29]

Prˇı´klady „veˇtsˇıćh“ cyklickyćh ko´du ˚ • Golay code je perfektnı´ ko´d opravujıćı´ trˇi chyby. Je to cyklicky´ (23, 12) ko´d s generujıćı´m polynomem: 1 + x2 + x4 + x5 + x6 + x10 + x11 • CRC 32 je metoda pocˇ´ıtańı´ kontrolnıćh soucˇtu˚ (syndromu˚) dat libovolne´ de´lky s generujıćı´m polynomem: 1 + x + x2 + x4 + x5 + x7 + x8 + x10 + x11 + x12 + x16 + x22 + x23 + x26 + x32 K hlubsˇ´ımu zkoumańı´ te´to problematiky mu˚zˇete pouzˇ´ıt: Jirˇ´ı Ada´mek: Foundations of Coding, A Wiley-Interscience publication, 1991, ISBN 0-471-62187-0. Pozna´mka: Prof. Jirˇ´ı Ada´mek byl v letech 1990–1994 vedoucı´ nasˇ´ı katedry, nynı´ pu˚sobı´ na University of Braunschweig.

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

Recommend Documents