Polynomen
Polynomen
Functies als x → 3x – 4 en x → x2 + 2x – 1 zijn voorbeelden van een grote klasse van veelvoorkomende functies: de polynomen of veeltermfuncties. Wij zullen steeds de term polynomen gebruiken. Een van de redenen voor het feit dat ze veel voorkomen, is dat bij het berekenen van een functiewaarde alleen de elementaire rekenkundige bewerkingen optreden: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen (machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen) en we geen gebruik maken van delen. De algemene vorm van een polynoom is:
Polynoom
f(x) = a0 + a1x + ... + an–1xn–1 + anxn met an ≠ 0, n ∈N De exponent n van de hoogste macht van x heet de graad van de polynoom; de getallen a0, a1, ..., an heten de coëfficiënten. De lineaire en kwadratische functies (zoals x → 3x – 4, x → x2 + 2x – 1) zijn polynomen van graad n met respectievelijk n = 1 en n = 2. De eenvoudigste polynoom van de eerste graad, x → x, heet de identieke functie. Constante functies, x → c (c ≠ 0), hebben graad 0.
Graad Coëfficiënt
Identieke functie Constante functie
In de volgende deelparagrafen zetten we de belangrijkste eigenschappen van constante, lineaire en kwadratische functies bij elkaar. 1
Constante functie
Constante functies
Functievoorschrift
x→c
Bijzonderheden
Bij deze functie is de uitvoer c, ongeacht de invoer. De grafiek is een horizontale lijn, die de y-as snijdt in c. De constante functies vormen tezamen een verzameling functies: voor elke c is er precies één zo’n functie. Men noemt c in dit verband de parameter van die verzameling. De keuze van de parameter bepaalt welke functie men uit de verzameling beschouwt.
Parameter
Grafiek
y
c
x FIGUUR 1 2
Lineaire of eerstegraadsfunctie
1
De functie x → c
Lineaire functies
Functievoorschrift
x → ax + b
met a ≠ 0
Bijzonderheden
Hier is een klasse van functies gedefinieerd, één voor elke a, b ∈R. Deze a en b zijn weer parameters.
Polynomen
Voor a = 1 en b = 0 krijgen we de functie x → x. Deze functie heet de identieke functie. In het algemeen is de grafiek een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a, die de y-as in b snijdt en de x-as in –b/a. De richtingscoëfficiënt is de verhouding tussen een verticale en een horizontale verandering: a = ∆y/∆x. Deze verhouding is dus constant. Voor a > 0 is een lineaire functie monotoon stijgend op R; voor a < 0 is een lineaire functie monotoon dalend op R.
Identieke functie
Grafiek
y ∆y b
∆x
x
–b/a
De functie x → ax + b met a ≠ 0
FIGUUR 2 3
Kwadratische of tweedegraadsfunctie
Kwadratische functies
Functievoorschrift
x → ax2 + bx + c
Bijzonderheden
Hier is weer een klasse van functies gedefinieerd: één functie voor elke waarde van de parameters a, b en c. De grafiek is een parabool, voor a > 0 een dalparabool, voor a < 0 een bergparabool. De parabool is een symmetrische figuur, waarvan de symmetrieas ligt bij x = –b/2a. De grafiek snijdt de y-as bij c. Er zijn alleen snijpunten met de x-as in het geval b2 – 4ac ≥ 0. De uitdrukking b2 – 4ac heet de discriminant. De snijpunten worden gevonden door de vergelijking ax2 + bx + c = 0 op te lossen. Als b2 – 4ac ≥ 0, dan zijn volgens de abc-formule de oplossingen
Parabool
Discriminant abc-formule
x=
–b +
met a ≠ 0
b2 – 4 ac 2a
en
x=
– b – b2 – 4 ac 2a
Als b2 – 4ac > 0, dan zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as. Als b2 – 4ac = 0, dan zijn er twee samenvallende snijpunten. Als b2 – 4ac < 0, dan is er geen snijpunt. Grafiek
a>0
a<0
y
y
c
c x
FIGUUR 3
2
De functie x → ax2 + bx + c met a ≠ 0
x
Polynomen
VOORBEELD
De functie f(x) = –3x2 + 5x – 2 heeft als grafiek een dalparabool, want de coëfficiënt voor de kwadratische term is negatief. De symmetrieas heeft vergelijking x = –5/(–6), dus x = 5/6. De oplossingen van de vergelijking –3x2 + 5x – 2 = 0 zijn volgens de abc-formule:
x=
–5 +
52 – 4 ⋅ (–3 ) ⋅ (–2 ) 2 ⋅ (–3 )
=
2 3
en
x=
–5 –
52 – 4 ⋅ (–3 ) ⋅ (–2 ) 2 ⋅ (–3 )
=1
De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn dus de punten ( 23 , 0) en (1, 0). OPGAVE 1
Geef het functievoorschrift van de lineaire functie waarvan de grafiek de punten (a, b) en (c, d) bevat. OPGAVE 2
Het volgende verband tussen de variabelen x en y is gegeven: x y + =1 p q Hierbij zijn p en q ongelijk 0. a Herschrijf dit verband in de vorm y = ... b Bepaal de snijpunten van de grafiek met de x-as en de y-as. OPGAVE 3
Gegeven de functie f(x) = x2 – 2x. a Herleid dit functievoorschrift tot de vorm f(x) = a(x – p)2 + q. b De grafiek van f wordt gespiegeld in de x-as. Geef het functievoorschrift dat bij de gespiegelde grafiek hoort. OPGAVE 4
Gegeven de functie f(x) = x2 + px + 1. Voor welke waarden van p snijdt de grafiek van f de x-as? OPGAVE 5
Gegeven de functie f(x) = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Een ander functievoorschrift voor deze functie is f(x) = a(x – p)2 + q. a Druk p en q uit in a, b en c. We geven de discriminant aan met D = b2 – 4ac. Veronderstel D ≥ 0. In dit geval heeft deze functie ook het voorschrift f(x) = a(x – s)(x – t). b Druk s en t uit in a, b en c.
3
Polynomen
TERUGKOPPELING
Uitwerking van de opgaven 1
De grafiek van de lineaire functie y = px + q moet de punten (a, b) en (c, d) bevatten. Er moet dus gelden: b = pa + q d = pc + q Aftrekken van beide vergelijkingen levert (b – d) = p(a – c), dus
b–d a–c
p=
Invullen in de eerste vergelijking geeft
q = b – pa =
b( a – c ) – ( b – d ) a ad – bc = a–c a–c
Het volledige functievoorschrift wordt dan
y= 2
b–d ad – bc x+ a–c a–c
a Eerst links en rechts met pq vermenigvuldigen: qx + py = pq. Dus: py = –qx + pq of y = –(q/p)x + q. b Snijpunten zijn (p, 0) en (0, q).
3
a Via kwadraatafsplitsen: x2 – 2x = x2 – 2x + 1 – 1 = (x – 1)2 – 1. b De symmetrieas ligt bij x = 1, de top in (1, –1). Na spiegelen in de x-as ligt de symmetrieas nog steeds bij x = 1 en is de top in (1, 1). De gespiegelde functie is fs(x) = –(x – 1)2 + 1.
4
Laat D de discriminant zijn, dan snijdt de grafiek alleen de x-as als D ≥ 0. Uit D ≥ 0 volgt p2 – 4 ≥ 0, dus p ≤ –2 of p ≥ 2.
5
a
Uit f(x) = ax2 + bx + c volgt
2 b b b2 f ( x) = a x2 + x + c = a x + – 2 +c a 2a 4a 2 b2 – 4 ac b = ax + – 2a 4a
dus p = –
4
b2 – 4 ac b en q = – . 2a 4a
Polynomen
b Uit f(x) = 0 volgen s en t (omdat s en t de nulpunten van f(x) zijn). In de volgende uitwerking gebruiken we de notatie ⇔ voor het feit dat de oplossingsverzamelingen hetzelfde blijven (zie eventueel paragraaf 10). 2 b2 – 4 ac b b f ( x) = 0 ⇔ a x + ⇔x+ =± = 2a 4a 2a
⇔x=
–b ±
b2
b2 – 4 ac 2a
– 4 ac
2a
We gebruiken deze nulpunten om het functievoorschrift van f te ontbinden in:
– b + b2 – 4 ac f ( x) = a x – 2a
Dus: s =
5
– b – b2 – 4 ac x – 2a
–b + D –b – D en t = . 2a 2a
