• Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. • Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstantakonstanta real.
Persamaan Linear • x + 2y = 5000 • 3x + y = 10000 • 2x - 3y + 5z = 30 • x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Bukan Persamaan Linear • x2 – 2y = 3 • sinx + 2 cos y = 0 • 3e2x – sin (x+y) = 10
• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan liniear • Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a22 x2 = b2 M M M M am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk : a11 a 11 M am1
a11 a11 M am1
• atau AX = B dimana:
L a1 n x1 b1 L a2 n x2 b2 = O M M M L amn x b n m
A dinamakan matriks koefisien X dinamakan matriks peubah B dinamakan matriks konstanta
• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut: a11 x1 a21 x1
+ +
M am1 x1
a12 x2 a22 x2 M
+ am 2 x2
• Contoh
+ ... + + ... +
a1n xn a22 x2 M
+ ... + amn xn
= b1 = b2 M = bm
x + y + 2z = 8 − x − 2 y + 3z = 1 3x − 7 y + 4 z = 10
a11 a12 ... a1n a 21 a22 ... a2 n M M M am1 am 2 ... amn
b1 b2 M bm
1 1 2 8 −1 −2 3 1 3 −7 4 10
• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut. • Contoh: x – 2y = 7 2x + 3y = 7 {x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut
• Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah: – SPL mempunyai solusi tunggal – SPL mempunyai solusi tak hingga banyak – SPL tidak mempunyai solusi
y
y = 2x - 2 y=x
(2, 2) merupakan titik potong dua garis tersebut Tidak titik potong yang lain selain titik tersebut
2
(2, 2) x
12
Artinya :
SPL
2x – y = 2 x–y=0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
Perhatikan SPL
x –y =0 2x – 2y = 0 Jika digambar dalam kartesius
y 2x – 2y = 0 x–y=0 x
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya: SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
Perhatikan SPL x –y =0 2x – 2y = 2 Jika digambar dalam kartesius
y
y=x
1
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
y=x–1
x
• Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear. • Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama) 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.
1 1 2 9 2 4 −3 1 3 6 −5 0 1 1 2 9 2 4 −3 1 0 0 0 0
3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di bawah satu utamanya.
1 1 2 9 2 1 −3 1 3 6 −5 0
1 4 3 7 0 1 6 2 0 0 1 5
5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol di atas satu utamanya •
•
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasi Gaus-Jordan
x + y + 2z = 8 − x − 2y + 3z = 1 3x − 7y + 4 z = 10
2 8 2 8 1 1 2 8 1 1 1 1 −1 −2 3 1 b1 + b2 0 −1 5 −b 0 1 −5 −9 9 −3b + b 2 1 3 3 −7 4 10 0 −10 −2 −14 0 −10 −2 −14 17 1 0 7 1 0 7 17 1 0 0 3 −b2 + b1 −7b3 + b1 1 0 1 − 5 − 9 − b 0 1 − 5 − 9 0 1 0 1 52 3 5b + b 10b2 + b3 3 2 0 0 −52 −104 0 0 1 2 0 0 1 2
Jadi solusi dari SPL x + y + 2 z = 8 − x − 2 y + 3z = 1 3 x − 7 y + 4 z = 10
x=3 y=1 z=2
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
1. -2x - 3y - 4z = 2 x + 3y =1 2x + 5y + z = -1
2. 4x + 6y - 3z = 1 -3x - 7y + 2z = 3 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 -2x + 3y + 4z = 3 x - 2y + z = 1
4. -3x + 4y - 13z = 1 -x + 2y - 3z = 1 2x - y + 11 z = 1
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu : a11 a11 M a n1
a11 L a1n a11 L a2 n M O M an1 L ann
x1 b1 x2 b2 = M M x b n n
Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)
• Hitung determinan A (|A|) • Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh Matriks B. b L a a L a Contoh : b a 1
b2 A1 = M bn
1n
11
1
a21 L a2 n
a11 A2 = M an1
b2
12
M
O
an 2
L
M ann
• Hitung |Ai| • Solusi SPL untuk peubah xi adalah xi =
det( Ai ) det( A )
M bn
L a2 n O M L ann 1n
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer x + y + 2z = 8 − x − 2 y + 3z = 1 3x − 7 y + 4 z = 10
• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B 1 1 2 x 8 − 1 − 2 3 y = 1 3 −7 4 z 10
1 1 2 A = −1 −2 3 3 −7 4
x X = y z
8 B = 1 10
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1) −2 3 −1 3 −1 −2 A =1 −1 +2 −7 4 3 4 3 −7 = 1(−8 + 21) − 1(−4 − 9) + 2(7 + 6) = 13 + 13 + 26 = 52
8 1 2 A1 = 1 −2 3 10 −7 4
A1 = 8
−2 3 −7 4
−1
1
3
10 4
+2
1
−2
10 −7
= 8(−8 + 21) − 1(4 − 30) + 2(−7 + 20) = 8(13) + 26 + 26 = 156
1 8 2 A2 = −1 1 3 3 10 4
1 1 8 A3 = −1 −2 1 3 −7 10
A2 = 1
1
3
10 4
−8
−1 3 3
4
+2
−1
1
3
10
= 1(4 − 30) − 8(−4 − 9) + 2(−10 − 3) = −26) + 104 − 26 = 52
−2 1 −1 1 −1 −2 A3 = 1 −1 +8 −7 10 3 10 3 −7 = 1(−20 + 7) − 1(−10 − 3) + 8(7 + 6) = −13 + 13 + 104 = 104
det( A1) 156 x= = =3 det( A) 52 det( A2 ) 52 y= = =1 det( A) 52 det( A3 ) 104 = =2 z= det( A) 52
Solusi dari SPL x + y + 2z = 8 x = 3 − x − 2 y + 3z = 1 y = 1 3 x − 7 y + 4 z = 10 z = 2
Bentuk umum:
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2n xn = 0 M M M M am1 x1 + am2 x2 + L + amn xn = 0
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten, selalu mempunyai solusi. • Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah • Jika tidak demikian, SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak. (biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!
1. -2x - 3y - 4z = 2 x + 3y =1 2x + 5y + z = -1
2. 4x + 6y - 3z = 1 -3x - 7y + 2z = 3 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 -2x + 3y + 4z = 3 x - 2y + z = 1
4. -3x + 4y - 13z = 1 -x + 2y - 3z = 1 2x - y + 11 z = 1
