Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu v tomto promítání a znát pojmy jako hlavní a spádová přímka.
Základní úloha č.1 – bod v rovině Zadání 1: Zobrazte bod A tak, aby ležel v rovině α, jsou-li dány stopy roviny α a první průmět bodu A. Rozbor: Bod bude ležet v rovině tehdy, bude-li ležet na některé z hlavních přímek. Konstrukce: 1. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 1. osnovy. Její půdorys je rovnoběžný s půdorysnou stopou roviny α. Sestrojíme oba průměty nárysného stopníku této přímky. Druhým průmětem nárysného stopníku prochází nárys hlavní přímky 1. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na této hlavní přímce leží druhý (hledaný) průmět bodu A. 2. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 2. osnovy. Její půdorys je rovnoběžný se základnicí x1,2. Sestrojíme oba průměty půdorysného stopníku této přímky. Druhým průmětem půdorysného stopníku prochází nárys hlavní přímky 2. osnovy, který je rovnoběžný s nárysnou stopou roviny α.. Na této hlavní přímce leží druhý (hledaný) průmět bodu A.
1. řešení
n2α
n2α
N2
N1
A1 1
x1,2 1
h1
p1α
h2
p1α
1
n2α 1
N2
N1
A1 h1
h2
x1,2
A2
α
h1 p1α
1
N2
N1
A1 1
p1
x1,2
h1
n2α 1
N1
A1
x1,2
2.řešení
n2α
n2α
P2 x1,2
x1,2 2
A1
h1
2
P1
A1
h1
p1α
2
p1α
2
h2
n2
P1
α
n2α
h2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 2
h1
A1
2
h1
P1
A1 p1α
p1 α
Zadání 2: Zobrazte bod A tak, aby ležel v rovině α, jsou-li dány stopy roviny α a druhý průmět bodu A. Rozbor: Bod bude ležet v rovině tehdy, bude-li ležet na některé z hlavních přímek. Konstrukce: 1.řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 1. osnovy. Její nárys je rovnoběžný se základnicí. Sestrojíme oba průměty nárysného stopníku této přímky. Prvním průmětem nárysného stopníku prochází půdorys hlavní přímky 1. osnovy, který je rovnoběžný s půdorysnou stopou roviny α. Na této hlavní přímce leží první (hledaný) průmět bodu A. 2. řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 2. osnovy. Její nárys je rovnoběžný s nárysnou stopou roviny α. Sestrojíme oba průměty půdorysného stopníku této přímky. Prvním průmětem půdorysného stopníku prochází půdorys hlavní přímky 2. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x1,2. Na této hlavní přímce leží první (hledaný) průmět bodu A.
2
1. řešení
n2α 1
h2
n2α
A2
1
N2
h2
A2
N2
x1,2
N1
p1α
p1α
n2α 1
h2
n2α 1
N2
A2
N1 1
h1
h2
x1,2
1
p1
x1,2
α
A2
N2
A1
N1
x1,2
h1 p1α
2.řešení 2
h2
n2
2
α
h2
n2α A2
A2
P2
P2
x1,2
x1,2 P1 p1α
p1α
3
2
h2
2
n2α
n2α
h2
A2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 2
P1
h1
2
h1
P1
A1 p1α
p1 α
Příklady k procvičení základní úlohy č.1 Zobrazte body tak, aby ležely v rovině β a doplňte kompletní značení. Pro kontrolu použijte hlavní přímky 1. i 2. osnovy.
n2β
p1β
4
Základní úloha č.2 – rovina daným bodem Zadání: Zobrazte rovinu α tak, aby v ní ležel bod A, který je dán sdruženými průměty a známe-li půdorysnou (nárysnou) stopu roviny α. Rozbor: Bod bude ležet v rovině tehdy, bude-li ležet na některé z hlavních přímek. Konstrukce pro případ zadané půdorysné stopy: 1. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 1. osnovy. Její půdorys je rovnoběžný s půdorysnou stopou roviny α a sestrojíme první průmět nárysného stopníku. Druhým průmětem bodu A sestrojíme nárys hlavní přímky 1. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na něm leží druhý průmět nárysného stopníku této přímky. Nárysná stopa roviny α prochází druhým průmětem nárysného stopníku a stopy roviny se protínají na základnici. 2. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 2. osnovy. Její půdorys je rovnoběžný se základnicí x1,2. Sestrojíme první a druhý průmět půdorysného stopníku. Spojnice druhého průmětu půdorysného stopníku a druhého průmětu bodu A je druhý průmět hlavní přímky 2. osnovy. Nárysná stopa roviny α je rovnoběžná s touto hlavní přímkou.
1. řešení
1
A2
N1
A1 1
h2
A2
x1,2
N1
x1,2
A1
h1
1
p1
α
h1 p1α
n2α 1
h2
N2
A2
N1 1
h1
1
x1,2
A2
α
h1 p1α
5
N2
N1
A1 1
p1
h2
x1,2
2. řešení
A2
A2
P2 x1,2
x1,2 2
P1
A1
h1
2
p1α
p1 α
2
P1
A1
h1
2
h2
n2α
h2
A2
A2 P2
P2 x1,2
2
h1
A1
x1,2
P1
2
h1
P1
A1 p1α
p1 α
Konstrukce pro případ zadané nárysné stopy: 1. řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 2. osnovy. Její nárys je rovnoběžný s nárysnou stopou roviny α a sestrojíme první průmět půdorysného stopníku. Prvním průmětem bodu A sestrojíme půdorys hlavní přímky 2. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na něm leží první průmět půdorysného stopníku této přímky. Půdorysná stopa roviny α prochází prvním průmětem půdorysného stopníku a stopy roviny se protínají na základnici. 2. řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 1. osnovy. Její nárys je rovnoběžný se základnicí x1,2. Sestrojíme první a druhý průmět nárysného stopníku. Spojnice prvního průmětu nárysného stopníku a prvního průmětu bodu A je první průmět hlavní přímky 1. osnovy. Půdorysná stopa roviny α je rovnoběžná s touto hlavní přímkou.
6
1. řešení
2
h2
2
n2α
n2α
h2
A2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 A1
2
2
2
n2α
h2
A1
h1
n2α
h2
A2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 2
A1
h1
P1
2
P1
A1
h1
p1α 2. řešení
n2α 1
h2
A2
n2α 1
N2
x1,2
h2
A2
A1
A1
7
N2
N1
x1,2
n2α 1
h2
n2α
A2
1
N2
N1
h2
x1,2
h1
1
x1,2
N1
A1
A1 1
N2
A2
h1 p1α
Příklady k procvičení základní úlohy č.2 Zobrazte rovinu β, leží-li v ní zadané body a doplňte kompletní značení. Pro kontrolu použijte hlavní přímky 1. i 2. osnovy.
n2β A2 A2
A1
A1 p1β
8
Základní úloha č.3 – rovnoběžná rovina daným bodem Zadání: Zobrazte rovinu α tak, aby procházela bodem A, který je dán sdruženými průměty a byla rovnoběžná s danou rovinou β. Bod A neleží v rovině β. Rozbor: Hledané stopy roviny α musí být rovnoběžné se stopami roviny β. Protože známe směry hlavních přímek roviny α, vybereme takovou, která prochází bodem A v prvním nebo druhém průmětu. 1. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 1. osnovy. Její půdorys je rovnoběžný s půdorysnou stopou roviny β a sestrojíme první průmět nárysného stopníku. Druhým průmětem bodu A sestrojíme nárys hlavní přímky 1. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na něm leží druhý průmět nárysného stopníku této přímky. Nárysná stopa roviny α prochází druhým průmětem nárysného stopníku, půdorysná stopa roviny α je rovnoběžná s půdorysnou stopou roviny β a stopy roviny se protínají na základnici. 2. řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme hlavní přímku 2. osnovy. Její nárys je rovnoběžný s nárysnou stopou roviny β . Sestrojíme druhý průmět půdorysného stopníku. První průmět hlavní přímky 2. osnovy je rovnoběžný se základnicí x1,2 a prochází prvním průmětem bodu A. Sestrojíme první průmět půdorysného stopníku, kterým prochází půdorysná stopa roviny α. Ta je rovnoběžná s půdorysnou stopou roviny β . Nárysná stopa roviny α je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny β a stopy roviny se protínají na základnici.
1. řešení
n2β
n2β 1
A2
A2
h2
N1
N1 x1,2
1
h1
1
h1 p1β
p1β
n2 1
n2β
β
A2
h2
1
N2
h2
n2α
A2
N1 A1 1
x1,2
A1
A1
N2 N1
x1,2
A1
h1
1
p1β
h1 p1β
9
p1α
x1,2
2. řešení
2
h2
n2β
2
h2
n2β
A2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 A1
2
A1
h1
p1β
2
h2
p1β
n2β
2
h2 n2β n2α
A2
A2 P2
P2 x1,2
x1,2 2
A1
h1
P1
2
p1β
A1
h1 p1β
P1 p1α
Příklady k procvičení základní úlohy č.3 a. Zobrazte roviny β a δ, které procházejí body B a C a jsou rovnoběžné s rovinou α a doplňte kompletní značení. b. Bodem D veďte rovinu ε, která je rovnoběžná s rovinou ζ a doplňte kompletní značení.
10
a.
B2
C1
p1α
b.
D2
p1σ
11
Základní úloha č.4 – kolmá rovina daným bodem Zadání: Zobrazte rovinu α tak, aby procházela bodem A, který je dán sdruženými průměty a byla kolmá s danou rovinou β. Bod A neleží v rovině β. Rozbor: Hledané stopy roviny α musí být kolmé na stopy roviny β. Protože známe směry hlavních přímek roviny α, vybereme takovou, která prochází bodem A v prvním nebo druhém průmětu. 1. řešení: Prvním průmětem bodu A vedeme půdorys hlavní přímky 1. osnovy, který je kolmý na půdorysnou stopu roviny β. Sestrojíme první průmět nárysného stopníku. Druhým průmětem bodu A vedeme nárys hlavní přímky 1. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na této přímce leží druhý průmět nárysného stopníku. Tímto stopníkem vedeme nárysnou stopu roviny α, která je kolmá na stopu roviny β. Půdorysná stopa roviny α je kolmá na půdorysnou stopu roviny β. Stopy roviny se protínají na základnici. 2. řešení: Druhým průmětem bodu A vedeme nárys hlavní přímky 2. osnovy. Ten je komý na nárysnou stopu roviny β. Sestrojíme druhý průmět půdorysného stopníku. Prvním průmětem bodu A vedeme půdorys hlavní přímky 2. osnovy, který je rovnoběžný se základnicí x 1,2. Na této přímce leží první průmět půdorysného stopníku. Tímto stopníkem vedeme půdorysnou stopu roviny α, která je kolmá na stopu roviny β. Nárysná stopa roviny α je kolmá na nárysnou stopu roviny β. Stopy roviny se protínají na základnici.
1. řešení
n2β
n2β
A2
1
N1
h2
A2
N1
x1,2
x1,2
A1 p1β
A1
1
h1
n2β 1
h2 N2
1
A2
N2
A1 p1β
1
n2β
n2α
h1
A2
N1
x1,2
N1
h2
p1β
x1,2 A1
1
p1β
h1 12
1
h1
p1α 2. řešení
n2β
2
n2β
h2
2
h2
A2
A2 P2
P2 x1,2
A1
x1,2 A1 2
p1β
p1β
n2β
2
n2α 2h2
n2β
h2
A2
A2 P2 P1
h1
P1 x1,2
A1 2
x1,2 P2
A1 2
h1
p1β
h1
p1β p1α
Příklady k procvičení základní úlohy č.4 a. Zobrazte roviny β a δ, které procházejí body B a C a jsou kolmé k rovině α. Použijte obě možná řešení a doplňte kompletní značení. b. Bodem D veďte rovinu ε, která je kolmá k rovině ζ. Použijte obě možná řešení a doplňte kompletní značení.
13
a.
B2
C1
p1α
b.
D2
p1σ
14
Základní úloha č.5 – skutečná velikost úsečky Zadání: Zobrazte skutečnou vzdálenost dvou bodů A a B, které jsou dány sdruženými průměty. Rozbor: Skutečnou vzdálenost bodů A,B získáme sklopením promítací roviny úsečky AB do jedné z průměten. Konstrukce pro případ sklopení do půdorysny. 1. řešení: V krajních bodech prvního průmětu úsečky A1 B1 vztyčíme kolmice na tuto úsečku a na ně naneseme z-ové souřadnice bodů A a B. Dostaneme sklopené body (A) a (B). Sklopení je otočení o 90° a sklopené body se zapisují do kulatých závorek. Vzdálenost (A)(B) je skutečnou vzdáleností bodů A a B. V tomto případě mluvíme o sklopení lichoběžníku. V případě, že máme méně prostoru, je výhodnější použít ke sklopení rozdílový trojúhelník. 2. řešení: Rozdíl je v tom, že z krajního bodu, který má větší z-ovou souřadnici, naneseme rozdíl z-ových souřadnic obou bodů. Pozor: V případě kladné a záporné souřadnice je třeba tyto nanášet v opačných směrech - 3. řešení.
1. řešení
2. řešení
B2
B2
A2 zB
zA
zA A1 zA
zB - zA
A2
x1,2
x1,2 B1
A1= (A)
B1
(A)
zB - zA zB (B) (B)
15
3. řešení
A2
zA
zB A1
B2
x1,2
(B) zB
zA
B1
(A)
Konstrukce pro případ sklopení do nárysny. 1. řešení: V krajních bodech druhého průmětu úsečky A2 B2 vztyčíme kolmice na tuto úsečku a na ně naneseme y-ové souřadnice bodů A a B. Dostaneme sklopené body (A) a (B). Sklopení je otočení o 90° a sklopené body se zapisují do kulatých závorek. Vzdálenost (A)(B) je skutečnou vzdáleností bodů A a B. V tomto případě mluvíme o sklopení lichoběžníku. V případě, že máme méně prostoru, je výhodnější použít ke sklopení rozdílový trojúhelník. 2. řešení: Rozdíl je v tom, že z krajního bodu, který má větší y-ovou souřadnici, naneseme rozdíl y-ových souřadnic obou bodů.
(B)
1. řešení
(A)
yB
yA A2
B2
x1,2
yA A1
yB B1 16
2. řešení
(B) yB-yA A2= (A) B2 x1,2
yA A1
yB-yA
B1 Příklady k procvičení základní úlohy č.5 Zobrazte skutečnou velikost úseček AB, CD, EF a GH. Použijte kterékoliv řešení a doplňte kompletní značení.
A2 B2
B1
A1
17
D2
C2
C1 D1
F2
E2
18
G2
H1
Základní úloha č.6 – odchylka přímky od průmětny Zadání: Zobrazte odchylku přímky a, která je dána body AB, od první i druhé průmětny. Rozbor: Odchylkou přímky od průmětny je velikost úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým průmětem do této průmětny. Konstrukce pro případ odchylky přímky od půdorysny. Řešení: Sklopíme půdorysně promítací rovinu přímky a do půdorysny (sklápění viz skutečná velikost úsečky) a sestrojíme úhel α sevřený prvním průmětem přímky a a její sklopenou polohou (a). Úhel α je první odchylka přímky a. Konstrukce pro případ odchylky přímky od nárysny. Řešení: Sklopíme nárysně promítací rovinu přímky a do nárysny a sestrojíme úhel β sevřený druhým průmětem přímky a a její sklopenou polohou (a). Úhel β je druhá odchylka přímky a.
Pozor: Je-li přímka s jednou průmětnou rovnoběžná, můžeme její odchylku od zbývající průmětny určit přímo (bez sklápění). Je-li přímka rovnoběžná se základnicí, je její první i druhá odchylka nulová. Je-li přímka kolmá k základnici platí pro její odchylky α + β = 90˚
19
Postup řešení
B2 A2 x1,2 A1
B1
N2 B2 A2 N1
P2
x1,2 A1
B1
P1 N2 (P)
B2 A2
P2
N1 x1,2 A1
B1
P1
(N)
20
N2 (B) (A) B2 A2 P2
N1 x1,2 A1
B1
P1 (A) (B)
N2
(B) (A) (P)
B2 A2
P2
N1 x1,2 A1
B1
P1 (A) (B)
21
(N)
N2 (B)
β
(A) (P)
B2 A2 N1
P2
x1,2 A1 P1
B1
α (A) (B)
(N)
Příklady k procvičení základní úlohy č.6 Zobrazte odchylku dané přímky a od půdorysny i nárysny. Doplňte kompletní značení.
a2
22
a2
a2 A2
B2
A1
B1
o
o
o
o
a1
23
Základní úloha č.7 – odchylka roviny od průmětny Zadání: Zobrazte odchylku roviny α, která je dána svými stopami, od první i druhé průmětny. Rozbor: Odchylkou roviny od průmětny je velikost úhlu, který svírá spádová přímka roviny se svým sklopeným průmětem. Konstrukce pro případ odchylky roviny od půdorysny. 1. řešení: Prvním průmětem bodu A proložíme první průmět spádové přímky 1. osnovy, který je kolmý na půdorysnou stopu roviny. Sestrojíme první průměty stopníků této přímky a odvodíme jejich druhé průměty. Sestrojíme druhý průmět spádové přímky 1. osnovy. Sklopením spádové přímky do půdorysny získáme 1. odchylku α. Konstrukce pro případ odchylky roviny od nárysny. 2. řešení: Druhým průmětem bodu A proložíme druhý průmět spádové přímky 2. osnovy, který je kolmý k nárysné stopě roviny. Sestrojíme druhé průměty stopníků této přímky a odvodíme jejich první průměty. Sestrojíme první průmět spádové přímky 2. osnovy. Sklopením spádové přímky do nárysny získáme potom 2. odchylku β.
Pozor: Odchylky rovin rovnoběžných s průmětnou jsou 0˚ a 90˚.
1. řešení
n2σ N2
P2 N1
x1,2 A1 1
P1
P1 σ
24
s1
n2σ
1
s2 N2
N1
P2
x1,2
A1 1
P1
s1
P1 σ
n2σ 1
s2 N2
A2
N1
P2 x1,2
A1 P1
P1 σ 25
1
s1
n2σ
1
s2 N2
A2
N1
x1,2
P2 (N)
A1
1
P1
s1
P1 σ
n2σ
1
s2 N2
N1
A2 P2
x1,2
A1
(N) ( 1s)
α 1
P1
P1 σ 26
s1
2. řešení
n2σ
2
s2
N2 A2 P2 x1,2
P1 σ
n2σ
2
s2
N2 A2 N1
P2 x1,2 P1 2
s1
27
P1 σ
n2σ
2
s2
N2 A2 P2
N1
x1,2
A1 P1 2
P1 σ
s1
n2σ
2
s2
N2 (P)
A2 P2
N1
x1,2
A1 P1 2
s1
28
P1 σ
n2σ
2
s2
N2
( 2s)
β
(P)
A2 P2
N1
x1,2
A1 P1 2
s1
P1 σ
Příklady k procvičení základní úlohy č.7 a. Zobrazte odchylku dané roviny ζ od nárysny. Doplňte kompletní značení.
29
b. Zobrazte odchylku dané roviny ε od půdorysny. Doplňte kompletní značení.
c. Zobrazte odchylku dané roviny δ od půdorysny i nárysny. Doplňte kompletní značení.
30
d. Zobrazte stopy roviny ω tak, aby odchylka roviny od půdorysny byla 60˚. Bod B je bodem roviny ω . Doplňte kompletní značení.
B1
P1 ω
Postup řešení: Prvním průmětem bodu B vedeme spádovou přímku 1. osnovy a hlavní přímku 1. osnovy. V průsečíku spádové přímky a půdorysné stopy naneseme odchylku 60˚. Ta nám na hlavní přímce určí sklopený bod (B). Tím získáme z-ovou vzdálenost a tím druhý průmět bodu B. Známým způsobem zkonstruujeme nárysnou stopu roviny ω.
31
e. Zobrazte stopy roviny θ tak, aby odchylka roviny od nárysny byla 30˚. Bod F je bodem roviny θ . Doplňte kompletní značení.
n2υ
F2
Postup řešení: Druhým průmětem bodu F vedeme spádovou přímku 2. osnovy a hlavní přímku 2. osnovy. V průsečíku spádové přímky a nárysné stopy naneseme odchylku 30˚. Ta nám na hlavní přímce určí sklopený bod (F). Tím získáme y-ovou vzdálenost a tím první průmět bodu F. Známým způsobem zkonstruujeme půdorysnou stopu roviny θ.
32
Základní úloha č.8 – otáčení bodu do průmětny Zadání: Otočte bod A, který leží v rovině α, do průmětny. Rozbor: Bodem A proložíme rovinu otáčení η, která je kolmá k průmětně. V průsečíku roviny η a stopy roviny α dostaneme střed otáčení bodu A. Poloměr otáčení je skutečná vzdálenost bodu A od středu otáčení. Konstrukce pro případ otáčení do půdorysny. Prvním průmětem bodu A proložíme hlavní přímku 1. osnovy a pomocnou rovinu otáčení η, která je kolmá k půdorysné stopě roviny α. Sestrojíme druhý průmět bodu A . V průsečíku roviny η a půdorysné stopy dostaneme střed otáčení SA. Určíme skutečnou vzdálenost bodu A od středu otáčení (poloměr otáčení rA). Otočíme bod A do půdorysny. Otočený bod označíme AO.
n2α
N2
1
h2
N1
x1,2 A1
1
p1α
33
h1
n2α
N2
1
N1
h2
x1,2 A1
SA
1
τ1
p1α
34
h1
n2α
N2
A2 1
N1
x1,2
A1 SA
1
τ1
p1α
35
h1
h2
n2α
N2
A2
1
h2
zA
N1
x1,2 zA A1 SA
( A)
1
τ1 p1α
36
h1
n2α
N2
1
A2
h2
N1 x1,2 A1 ( A) SA
rA
AO 1
τ1
p1α
37
h1
Konstrukce pro případ otáčení do nárysny. Druhým průmětem bodu A proložíme hlavní přímku 2. osnovy a pomocnou rovinu otáčení η, která je kolmá k nárysné stopě roviny α. Sestrojíme první průmět bodu A . V průsečíku roviny η a nárysné stopy dostaneme střed otáčení SA. Určíme skutečnou vzdálenost bodu A od středu otáčení (poloměr otáčení rA). Otočíme bod A do nárysny. Otočený bod označíme AO.
n2α 2
h2
A2
P2 x1,2
2
h1
P1
p1α
38
n2α τ2 2
h2
SA A2 P2 x1,2
2
P1
h1
p1α
39
n2α τ2 2
h2
SA A2 P2 x1,2 2
h1 P1
A1
p1α
40
n2α
2
τ2
h2 AO rA
SA
( A) A2 P2 x1,2
2
h1
A1
P1
p1α
Příklady k procvičení základní úlohy č.8 a. Otočte do půdorysny body A, B, C, D, které leží v rovině ζ a doplňte kompletní značení. b. Otočte do nárysny body E, F, G, H, které leží v rovině θ a doplňte kompletní značení.
41
a.
D2
C2
A1 B1
p1σ
42
b.
F2
E2
G1
H1
43
Základní úloha č.9 – průsečnice dvou rovin Zadání: Sestrojte průsečnici dvou rovin α a β. Rozbor: Jestliže stopy rovin jsou různoběžné a jestliže jejich průsečíky (stopníky) jsou různé, pak průsečnice r je spojnicí obou průsečíků. Konstrukce Najdeme průsečíky stop obou rovin, tzn. druhý průmět nárysného stopníku a první průmět půdorysného stopníku. Zakreslíme jejich opačné průměty a průsečnici roviny v prvním i druhém průmětu.
n2β
n2β n2α
n2α
N2
N2
N1 x1,2
x1,2
P2
p1β
p1β
P1
P1
p1α
p1α n2β n2α
r2
N2
N1 P2
x1,2 P1
p1α
44
p1β r1
Příklady k procvičení základní úlohy č. 9 a. Sestrojte průsečnice daných rovin ζ a θ. Doplňte kompletní značení.
n2σ
x1,2
p1υ
n2σ
x1,2
p1υ
45
n2σ
p1υ
n2υ
p1σ
46
b. Sestrojte průsečnice daných rovin ζ a θ. Pozn.: Jestliže jsou půdorysné (nárysné) stopy obou rovin rovnoběžné, pak je s nimi rovnoběžný jeden průmět průsečnice. Průsečnice je tedy hlavní přímkou v obou rovinách.
p1σ
p1υ
p1σ
p1υ
47
c. Sestrojte průsečnice daných rovin ζ a θ. Pozn.: Jestliže jsou obě roviny rovnoběžné se základnicí, budou oba průměty průsečnice rovnoběžné s touto základnicí. K nalezení bodu průsečnice použijeme třetí pomocnou rovinu δ, např. rovinu promítací. Ta protíná obě roviny ve dvou přímkách. Jejich průsečík je bodem společné průsečnice rovin ζ a θ.
n2υ
n2σ
x1,2 p1υ
p1σ
48
d. Sestrojte průsečnice daných rovin ζ a θ. Pozn.: Může se stát, že průsečík nárysných nebo půdorysných stop může být nedostupný. V tom případě volíme jinou pomocnou rovinu než průmětnu, s výhodou hlavní rovinu. Volte rovinu δ rovnoběžnou s půdorysnou. Tato rovina protíná roviny ζ a θ v hlavních přímkách 1. osnovy. Jejich průsečík je bodem průsečnice rovin ζ a θ.
x1,2
p1σ
p1 υ
49
Základní úloha č.10 – průsečík přímky s rovinou Zadání: Sestrojte průsečík přímky a s rovinou β. Rozbor: Sestrojení průsečíku s rovinou vyřešíme pomocí krycí přímky. V rovině β zvolíme přímku k, která se v jednom průmětu kryje s přímkou a. V rovině tedy existují dvě krycí přímky. Půdorysně krycí přímka nebo nárysně krycí přímka. Konstrukce pro případ půdorysně krycí přímky Bod R je průsečíkem přímky s rovinou.
n2β
n2β a2
a2
x1,2
x1,2
a1=k1
a1
p1β
p1
k2
β
k2 n2β
n2β
a2
a2
R2
x1,2
x1,2 R1 a1=k1
a1=k1 p1
p1β
50
β
Konstrukce pro případ nárysně krycí přímky Bod R je průsečíkem přímky s rovinou.
n2β
a2
n2β
a2=k2
x1,2
x1,2
k1
a1 a1 p1
a2=k2
p1β
β
a2=k2
n2β
n2β R2
x1,2
x1,2 R1
a1 p1
a1
β
k1
p1β
k1
51
Příklad k procvičení základní úlohy č. 10 a. Sestrojte průsečík přímky p s rovinou θ.
n2υ p2=k2
x1,2
p1
Základní úloha č.11 – viditelnost Rozhodování o viditelnosti se v Mongeově promítání určuje zvlášť v náryse a půdoryse. Ze dvou různých bodů téže půdorysné přímky je viditelný ten bod, který má větší z-ovou souřadnici. Viditelnost v půdoryse určujeme z nárysu. Podobně ze dvou různých bodů téže nárysné přímky je viditelný ten, který má větší yovou souřadnici. Viditelnost v náryse určujeme z půdorysu.
52
A2
b2 C2=D2
B2 a2 x1,2 a1
C1 A1=B1 D1 b1
Body A a B jsou v půdoryse totožné, ale v náryse má z-ovou souřadnici větší bod A než B. Protože je vidět bod, který je výše, bod s větší z-ovou souřadnicí ( bod A) je v půdoryse viditelný. Body C a D jsou totožné v náryse, ale v půdoryse má y-ovou souřadnici větší bod D. Proto je v náryse viditelný bod D.
Příklady k procvičení základních úloh Následují příklady k procvičení, ve kterých jsou základní úlohy vzájemně kombinovány. Ke každému příkladu je vypracován rozbor, který má usnadnit jeho řešení.
53
b
Příklad č.1 Sestrojte odchylku mimoběžek a a b. Rozbor: Libovolným bodem A přímky a vedeme přímku bI, která je rovnoběžná s přímkou b. Odchylka α různoběžek bI a a je odchylkou původních mimoběžek a a b. Určíme I půdorysnou stopu roviny ζ = ab a v otočení této roviny do půdorysny kolem této stopy získáme úhel sevřený oI točenými přímkami aO a bO .
bl α A
b2
a2 A2
x1,2 A1 a1
b1
54
a
C
Příklad č.2 Sestrojte pravoúhlý trojúhelník, který je dán odvěsnou AC a vrcholem pravého úhlu v bodě C. Bod B leží na ose x. Rozbor: Odvěsna CB pravoúhlého trojúhelníku ABC je kolmá na odvěsnu AC, proto musí ležet v rovině ζ vedené bodem C kolmo na přímku AC. Vrchol B leží zároveň na ose x a v rovině ζ. Řešíme jako průsečík přímky x s rovinou ζ. Není nutno sestrojovat nárysnou stopu roviny.
C2
A2
A1 C1
55
A B x1,2
Příklad č.3 Sestrojte rovnoramenný trojúhelník, jehož ramena leží v rovinách α a β a jehož základna je na přímce m. Rozbor: Vrcholy A, B sestrojíme jako průsečíky přímky m s rovinami α a β. Vrchol C leží na průsečnici obou rovin a v rovině souměrnosti úsečky AB.
.
m2
x1,2
m1
p1α p1β
56
Příklad č.4 Stanovte vzdálenost bodu M od přímky m. Rozbor: Hledáme velikost úsečky MR, kde bod R leží v průsečíku kolmice k spuštěné z bodu M na přímku m. Nejdříve vedeme bodem M rovinu kolmou k přímce m (v této rovině leží kolmice k). Určíme průsečík roviny a přímky m a nakonec sklopením úsečky určíme skutečnou velikost.
m2
M2
M1 m1
57
Příklad č.5 Stanovte odchylku dvou rovin α a β. Rozbor: Odchylka sevřená dvěma rovinami je stejná, jako odchylka, kterou svírají dvě kolmice k těmto rovinám. Zvolíme libovolný bod v prostoru a tím vedeme kolmici kα k rovině α a kolmici kβ k rovině β. Určíme stopu roviny danou těmito kolmicemi a v otočení roviny kolem půdorysné stopy sestrojíme otočené přímky kαO a kβO. Ostrý ( i pravý) úhel, který svírají, je řešením úlohy.
n2
K= doporučený libovolně zvolený bod
α
n2β
K2
K1
p1
p1β
α
58
Příklad č.6 Zobrazte kosočtverec, jehož jednou úhlopříčkou je úsečka AC a jehož vrchol B leží na přímce m. Rozbor: Úhlopříčky v kosočtverci jsou vzájemně kolmé. Proto úhlopříčka BD leží v rovině ζ vedené středem úsečky AC kolmo na přímku AC. Vrchol B je průsečíkem přímky m s rovinou ζ.
m2 C2
A2
C1
A1
m1
59
x1,2
Příklad č.7 Určete vzdálenost bodu A od roviny α. Rozbor: Bodem A vedeme přímku kolmou k rovině α a určíme její průsečík s touto rovinou. Průsečík určíme užitím krycí přímky. Skutečnou vzdálenost průsečíku od bodu A určíme ve sklopení. Hledaná vzdálenost bodu od roviny je vzdálenost průsečíku od bodu A.
n2α A2
x1,2
A1
p1α
60
Příklad č.8 Zobrazte průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC. Určete viditelnost. Rozbor: Buď sestrojíme stopy roviny trojúhelníku a vyřešíme úlohu jako průsečík přímky s rovinou. Jednodušší je ale určení dalšího průmětu krycí přímky pomocí jejich průsečíků se stranami trojúhelníku. Použijeme krycí přímku a najdeme její průsečíky se stranami trojúhelníku. Proveďte oba způsoby.
a2
B2
C2
A2
x1,2 B1
A1 a1
C1
61
