[M2-P19]
KAPITOLA 5:
Číselné řady
Označení: • R ∪ {−∞, +∞} = R∗ ( = R) • C ∪ {∞} = C – rozšířená komplexní rovina (∞ – nevlastní hodnota, číslo, bod) definujeme pro a ∈ C: a = 0, ∞ · ∞ = ∞ a ± ∞ = ∞, a · ∞ = ∞ (jen pro a 6= 0), ∞ nedefinujeme: ∞ ∞
0 · ∞,
Vsuvka:
, ∞±∞
Posloupnosti komplexních čísel
∞ ∞ ∞ (an )∞ n=1 = (αn + j βn )n=1 = (αn )n=1 + j (βn )n=1 ,
αn , βn ∈ R
definice limity jako v reálném případě Platí: p lim |an | = lim ( Re an )2 + ( Im an )2 = 0 n→∞ n→∞ n→∞ ³ ´ • lim an = a ∈ C ⇔ lim Re an = Re a ∧ lim Im an = Im a •
lim an = 0 ⇔
n→∞
•
n→∞
lim an = ∞ ⇔
n→∞
n→∞
lim |an | = +∞
n→∞
– k tomu stačí, když platí lim | Re an | = +∞ nebo lim | Im an | = +∞ n→∞
n→∞
(není to ovšem nutné – viz
posloupnost (an )∞ n=1 = (1, 2 j , 3, 4 j , . . . ), pro kterou ani jedna z uvedených dvou limit neexistuje)
5.1
Úvod
(an )∞ n=1 – posloupnost reálných nebo komplexních čísel ∞ X
an – (nekonečná) řada reálných nebo komplexních čísel,
an – n-tý člen řady
n=1
obecněji:
∞ X
an ;
n=N0
∞ X
an , kde P (n) je nějaký výrok (např. „3 nedělí nÿ) ; . . .
n=1 P (n)
Definice : Nechť N ∈ N. Pak N -tý částečný součet řady
∞ X
an definujeme předpisem:
n=1
sN =
N X
an = a1 + a2 + . . . + aN .
n=1
Existuje-li s = lim sN , nazýváme s součtem řady. Píšeme s = N →∞
∞ X
an .
n=1
Řekneme, že řada konverguje (diverguje | osciluje), jestliže posloupnost částečných součtů (sN )∞ N =1 má limitu vlastní (nevlastní | nemá limitu).
Příklad 5.1:
∞ X n=1
n diverguje;
∞ X n=1
(−1)n osciluje;
∞ X
(−1)n · n osciluje v R, ale diverguje v C
n=1
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
[M2-P20]
∞ X
Příklad 5.2a: Geometrická řada s kvocientem q:
an ,
kde a0 6= 0, an+1 = q · an
n=0
• speciálně pro a0 = 1 máme: N X
an =
n=0
N X
q n = sN = 1 + q + q 2 + . . . + q N
n=0
a
( sN +1 = 1 + q + q 2 + . . . + q N + q N +1 =
sN + q N +1 1 + q · sN
odtud sN + q N +1 sN
= 1 + q · sN 1 − q N +1 1−q
=
pro q 6= 1
( zřejmě pro q = 1 je sN = N + 1 ), tedy ∞ X
qn =
n=0
a dále ¦
v R:
(
∞ X
q =
¦
v C:
∞ X
pro |q| < 1
+∞ pro q ≥ 1 osciluje pro q ≤ −1
n
n=0
1 1−q
(
∞ pro |q| > 1 nebo q = 1 osciluje pro |q| = 1, q 6= 1
n
q =
n=0
• pro a0 obecné : všechny součty vynásobíme číslem a0 speciálně pro |q| < 1 dostáváme ∞ X
an = a0 ·
n=0
( a tedy:
∞ X
qn =
n=N0
Příklad 5.2b:
Příklad 5.3:
∞ X
m=n−N0
=
∞ X
q N0 · q m = q N0 ·
m=0
n=N0
1 ) 1−q
3 12 = n (−4) 5 n=0 ∞ X
1 =1 n(n + 1) n=1
an = A ∈ C,
n=1
q N0 · q n−N0
∞ X
Věta 5.1 : Je-li
∞ X
1 1−q
∞ X
bn = B ∈ C a c ∈ C, pak platí
n=1
∞ X
(an + bn ) = A + B,
n=1
Nechť (an )∞ n=1 ⊂ C. Pak řada Pokud řady konvergují, pak
c · an = c · A,
n=1
pokud je výraz vpravo definován.
Věta 5.2 :
∞ X
∞ X
an konverguje právě tehdy, když konvergují obě řady
n=1 ∞ X n=1
an =
∞ X n=1
∞ X n=1
Re an + j
∞ X
Re an ,
∞ X
Im an .
n=1
Im an .
n=1
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
[M2-P21]
Věta 5.3 (nutná podmínka konvergence) : Jestliže
∞ X
an konverguje, pak
n=1
Příklad 5.4: řady
∞ X
lim an = 0.
n→∞
arctg n,
n=1
5.2
∞ X
¡ π¢ sin n nekonvergují 2 n=1
Řady s nezápornými členy
Věta 5.4 :
∞ X
Je-li an ≥ 0 pro každé n ∈ N, pak existuje součet
an (a je nezáporný).
n=1
Poznámka : Protože je zde (sN )∞ N =1 neklesající (a tedy limN →∞ sN existuje), stačí k určení hodnoty součtu řady najít limitu jakékoliv podposloupnosti posloupnosti (sN )∞ N =1 .
Příklad 5.5: harmonická řada
∞ X 1 diverguje n n=1
Věta 5.5 (srovnávací kritérium) : Nechť 0 ≤ an ≤ bn pro každé n ≥ n1 . Potom platí: ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X a) Jestliže konverguje řada bn , pak konverguje i řada an ( a je-li n1 = 1, pak 0 ≤ an ≤ bn ) . n=1
b) Jestliže diverguje řada
∞ X
n=1
an , pak diverguje i řada
n=1
Příklad 5.6b:
n=1
n=1
bn .
n=1
Příklad 5.6a: pro α ≤ 1 řada ∞ X 1 řada 2 n n=1
∞ X
∞ X 1 α n n=1
diverguje
konverguje
Věta 5.6 (podílové kritérium – D’Alembertovo) : Nechť an > 0 pro všechna n ≥ n1 . Potom platí: ∞ X an+1 a) Jestliže existuje 0 < q < 1 tak, že ≤ q pro všechna n ≥ n1 , pak an konverguje. an n=1 ∞ X an+1 b) Jestliže ≥ 1 pro všechna n ≥ n1 , pak an diverguje. an n=1
Věta 5.7 (limitní podílové kritérium) : Nechť an > 0 pro všechna n ∈ N. Potom platí: ∞ X an+1 < 1, pak an konverguje. a) Jestliže existuje lim n→∞ an n=1 ∞ X an+1 b) Jestliže existuje lim > 1, pak an diverguje. n→∞ an n=1
Věta 5.8 (odmocninové kritérium – Cauchyovo) : Nechť an ≥ 0 pro všechna n ∈ N. Potom platí: a) Jestliže existuje 0 < q < 1 tak, že b) Jestliže
√ n
√ n
an ≤ q pro všechna n ≥ n1 , pak
an ≥ 1 pro nekonečně mnoho n, pak
∞ X
∞ X
an konverguje.
n=1
an diverguje.
n=1
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
[M2-P22]
Věta 5.9 (limitní odmocninové kritérium) : Nechť an ≥ 0 pro všechna n ∈ N. Potom platí: ∞ X √ n a) Jestliže existuje lim an < 1, pak an konverguje. n→∞
b) Jestliže existuje
lim
n→∞
√ n
n=1 ∞ X
an > 1, pak
an diverguje.
n=1
Poznámky : an+1 √ a) V nelimitních kritériích pro konvergenci nestačí < 1 resp. n an < 1 pro všechna n ( viz např. harmonická a n r √ an+1 n n 1 n řada: = < 1, an = < 1, ale řada diverguje ) . an n+1 n b) Limitní kritéria nepomohou, je-li ∞ X 1 2 n n=1
lim
n→∞
an+1 = 1 nebo an
lim
√ n
n→∞
an = 1 ( viz např. řady:
∞ X 1 – diverguje, n n=1
– konverguje ) .
c) U podílového kritéria pro divergenci nestačí: „pro nekonečně mnoho nÿ ( viz příklad 5.7b ) . d) Lze-li ukázat, že řada konverguje pomocí podílového kritéria, lze to i pomocí odmocninového. Pro divergenci to ∞ X n−1 ale neplatí ( viz např. řadu , jejíž divergenci lze ukázat pomocí podílového kritéria, ne však pomocí n n=1 odmocninového) .
Příklad 5.7a:
Příklad 5.7b:
∞ X 1 konverguje podle podílového kritéria n! n=1 ∞ X
an , kde an =
n=1
1 2n
pro n - sudé a an =
1 5n
pro n - liché, konverguje podle odmocninnového
an+1 kritéria ( podílové ale nepomůže, protože > 1 pro všechna lichá n; nelze použít ani limitní odmocninové an √ kritérium, protože lim n an neexistuje ) . n→∞
Příklad 5.7c: u řad
∞ X 1 , α > 0, podílové ani odmocninové kritérium nepomůže α n n=1
Věta 5.10 (integrální kritérium) : Nechť f je nezáporná a nerostoucí funkce na h1, ∞). Pak řada Z ∞ integrál f (x) dx.
∞ X
f (n) konverguje právě tehdy, když konverguje
n=1
1
Příklad 5.8a: vacím kritériu )
∞ X 1 podle integrálního kritéria řada α n n=1
Příklad 5.8b: podle integrálního kritéria řada
konverguje právě tehdy, když α > 1 ( využití ve srovná-
∞ X
1 diverguje n ln n n=1
Poznámka : k ∞ X X ¡ ¢ Jestliže ve Větě 5.10 řada konverguje a její součet je roven A, pak pro rk = A − f (n) = f (n) platí: n=1 n=k+1 Z ∞ Z ∞ f (x) dx ≤ rk ≤ f (x) dx ( rk je chyba, které se dopustíme, když místo celé řady sečteme jen jejích prvních k+1
k
k členů. ). Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
[M2-P23]
5.3
Řady s obecnými členy
Věta 5.11 :
∞ X
Jestliže pro řadu
an platí
n=1
Platí : Řada
∞ X
lim an = a 6= 0, pak tato řada diverguje.
n→∞
M X
an konverguje právě tehdy, když pro každé ε > 0 existuje n0 takové, že |
n=1
an | = |sM − sN | < ε,
n=N +1
kdykoliv n0 ≤ N < M ( tj. řada splňuje tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku (B.C.P.) pro konvergenci řad ) ∞ X n=1 ∞ X
|an | < +∞
∞ X
...
an konverguje absolutně
n=1
|an | = +∞,
n=1
∞ X
an konverguje
∞ X
...
n=1
an konverguje neabsolutně (relativně)
n=1
Poznámka : Konverguje-li reálná řada neabsolutně, pak „součetÿ jejích kladných členů je +∞, záporných −∞. Tj. označíme-li ∞ ∞ X X + + − − − + ), pak = − a , |a | = a + a a a− = max{−a , 0} (všimněte si, že a = a a+ = max{a , 0}, a n n n n n n n n = +∞. n n n n n=1 ∞ ³ X
Příklad 5.9: řada
n=1
−
n=1
1 ´n konverguje absolutně 2
Poznámka : Absolutní konvergenci řad lze zkoumat pomocí kritérií z odstavce 5.2.
Věta 5.12 : Konverguje-li řada absolutně, pak konverguje. (Obrácené tvrzení neplatí.)
Věta 5.13 (Leibnizovo kritérium) : Nechť
(bn )∞ n=1
je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak řada
(tzv. alternující řada) konverguje právě tehdy, když
Poznámky : na
a) Je-li f : N → N prosté zobrazení, pak řadu
∞ X
(−1)n+1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . .
n=1
lim bn = 0.
n→∞
∞ X (−1)n+1 1 1 1 = 1 − + − + ... n 2 3 4 n=1
Příklad 5.10: řada
∞ X
konverguje neabsolutně
af (n) nazýváme přerovnáním řady
n=1
∞ X
an . Platí:
n=1
1) Jestliže řada konverguje absolutně, pak konverguje absolutně i každé její přerovnání a má stejný součet. 2) Jestliže reálná řada konverguje neabsolutně, pak každé reálné číslo je součtem některého přerovnání této řady. Totéž platí pro ±∞. Řadu lze přerovnat v tomto případě i tak, že nová řada bude oscilovat. ∞ X
b) Cauchyovým součinem řad
an ,
n=0
cn = a0 bn + a1 bn−1 + . . . + an b0 = Platí: Jestliže řady Cauchyův součin
∞ X
n=0 ∞ X
an ,
∞ X
n X
∞ X
bn nazýváme řadu
n=0
∞ X
cn , kde c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 , . . . ,
n=0
ak bn−k
(motivace – výpočet koeficientů při násobení dvou polynomů).
k=0
bn konvergují a alespoň jedna z nich konverguje absolutně, pak konverguje i jejich
n=0
cn a platí
∞ ¡X
n=0
n=0
an
∞ ¢¡ X n=0
∞ ¢ X bn = cn . Konvergují-li absolutně obě řady, pak konverguje n=0
absolutně i jejich Cauchyův součin. Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
