4. SOROK ´ , konvergencia, divergencia, o ¨ sszeg 4.1 Defin´ıcio ´ . Egy (an ) (sz´am)sorozat elemeit az ¨osszead´as jel´evel ¨osszekapcsolva kapott Defin´ıcio ∞ X P a1 + a2 + . . . vagy an (r¨oviden an ) n=1
¨osszeget (sz´am)sornak (vagy numerikus sornak) nevezz¨ uk. an a sor n-edik (vagy ´altal´anos) tagja, sn := a1 + a2 + · · · + an =
n X
ak
(n ∈ N)
k=1
pedig a sor n-edik r´eszlet¨ osszege. P A an sort konvergensnek nevezz¨ uk, ha r´eszlet¨ osszegeinek (sn ) sorozata konvergens, a lim sn = s
n→∞
∞ P
hat´ar´ert´eket a sor ¨ osszeg´enek nevezz¨ uk ´es azt irjuk, hogy
n=1 ∞ X
A
P
k X
an := lim
n=1
k→∞
an = s, azaz an .
n=1
an sort divergensnek nevezz¨ uk, ha nem konvergens.
¤
´sek. 1. Az ¨osszegez´es kezd˝odhet n = 0-val is. Kiss´e zavar´o, hogy a sort ´es (konvergens sor Megjegyze P eset´en) az ¨osszeg´et is ugyanazzal a szimb´olummal jel¨olt¨ uk. Ezt elker¨ ulend˝o a sorokra ink´abb a an (ill. ha az ∞ P P ¨osszegz´es n = 0-val kezd˝odik a an ) jel¨ol´est haszn´aljuk, a sor ¨osszeg´et pedig ink´abb an -nel jel¨olj¨ uk majd. 0
n=1
2. Ha egy sorban v´eges sok tagot megv´ altoztatunk, a sorb´ ol v´eges sok tagot elhagyunk, vagy v´eges sok tagot a sorhoz hozz´ avesz¨ unk, akkor a sor konvergenci´ aja/divergenci´ aja nem v´ altozik, az ¨ osszege viszont v´ altozhat! Ez abb´ol k¨ovetkezik, hogy ha az eredeti sor r´eszlet¨osszegeinek sorozata (sn ), akkor a fenti v´altoztat´asok ut´an kapott sor (Sn ) r´eszlet¨ osszegeire Sn = sn + A ha n > n0 teljes¨ ul, valamilyen A ∈ R ´es n0 ∈ N mellett, ahol A az u ´j (megv´altoztatott) tagok ´es a r´egiek k¨ ul¨onbs´ege. Innen l´athat´o, hogy (sn ) ´es (Sn ) vagy mindketten konvergensek vagy divergensek, konvergencia eset´en viszont lim Sn = lim sn + A
n→∞
n→∞
azaz az ¨osszegek elt´er´ese A. Divergens sornak term´eszetesen nincs ¨ osszege (b´ar, ha sn → ∞(−∞) akkor szok´as azt mondani, hogy a sor ¨osszege ∞(−∞). ´lda ´ k. 1. Geometriai sor. A Pe
X
aq n−1 = a + aq + aq 2 + . . .
sort, ahol a 6= 0, a ∈ R, q ∈ R geometriai sor nak nevezz¨ uk. a a sor els˝ o tagja, q a sor h´ anyadosa, vagy kvociense. Vizsg´aljuk meg e sor konvergenci´aj´at. A r´eszlet¨osszegek sorozata sn = a + aq + · · · + aq n−1 1
(n ∈ N)
2
amit q-val megszorozva sn q = aq + · · · + aq n−1 + aq n , ´ıgy kivon´assal sn − sn q = a − aq n
vagy sn (1 − q) = a(1 − q n ),
amib˝ol (a q 6= 1 ´es q = 1 eseteket sz´etv´alasztva kapjuk, hogy a(1 − q n ) , ha q 6= 1, sn = 1−q na, ha q = 1. Figyelembev´eve a (q n ) sorozat viselked´es´et kapjuk, hogy a , ha |q| < 1, 1−q sn → divergens, ha q > 1, vagy q ≤ −1, divergens, ha q = 1. Ezzel igazol´ast nyert a k¨ovetkez˝o ´ ıt´ All´ as. [geometriai sor konvergenci´aja] A X aq n−1 = a + aq + aq 2 + . . . , (a 6= 0, a, q ∈ R) geometiai sor akkor ´es csakis akkor konvergens, ha |q| < 1 ´es akkor a sor ¨ osszege a els˝o tag = . 1−q 1 − kvociens
s=
P1 1 1 1 2. Harm´ onikus sor. A = + + + . . . sort harm´ onikus sornak nevezz¨ uk. n 1 2 3 ´ ıt´ All´ as. [harm´onikus sor divergenci´aja] A harm´ onikus sor divergens. Bizony´ıt´ as. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a sor s2n alak´ u r´eszlet¨osszegeire s2
=
1 1
+
1 2
=
¡1
s2 2
= s2 +
s2 3
= s2 2 +
s2 4
= s2 3 +
3
3 2
+
¡1 5
¡1 9
1 4
¢
>
3 2
+ 2 14 =
+
1 7
+
+
1 6
+
1 10
1 8
¢
+ ··· +
>
1 16
¢
4 2 4 2
+ 22 18 =
>
5 2
5 2
1 + 23 16 =
6 2
´all fenn, ´es indukci´oval k¨onnyen igazolhat´o, hogy n+2 s2n > (n = 2, 3, . . . ) 2 ´ıgy s2n → ∞ (n → ∞) amib˝ol (sn ) szigor´ u monoton n¨oveked´ese miatt sn → ∞ (n → ∞), igazolva ´all´ıt´asunkat.¤ T´ etel. [sorP konvergenci´aj´anak sz¨ uks´eges felt´etele] Konvergens sor ´ altal´ anos tagja null´ ahoz konverg´ al. Azaz, ha a an sor konvergens, akkor lim an = 0. n→∞ ´Igy, ha (an ) divergens, vagy ha (an ) konvergens, de hat´ar´ert´eke nem 0, akkor a P an sor divergens. Bizony´ıt´ as. Vil´agos, hogy an = sn − sn−1 ´ıgy konvergens sor eset´en sn → s, sn−1 → s miatt an → s − s = 0 amint ´all´ıtottuk. ¤ P Ha an → 0 akkor a an sor lehet konvergens is ´es divergens is, ut´obbira p´elda a harm´onikus sor. A tov´abbiakban a sorokat tagjaik el˝ ojele szerint oszt´ alyozzuk, ´es vizsg´aljuk.
3
´ k. Egy sort altern´ Defin´ıcio al´ o sornak nevezz¨ unk, ha tagjainak el˝ojele v´altakozik (pozit´ıv tagot negat´ıv tag k¨ovet vagy ford´ıtva). Egy sort pozit´ıv (negat´ıv) tag´ u sornak nevezz¨ unk, ha tagjai pozit´ıvok (negat´ıvok). ¤ Tetsz˝oleges el˝ojel˝ u tagok eset´en a sor tagjainak az abszol´ ut ´ert´ekeib˝ol alkotott sort vizsg´aljuk. Altern´al´ o sorokra vonatkozik Leibniz t´ etele. [elegend˝o felt´etel altern´al´ o sorok konvergenci´aj´ara] A X (−1)n+1 an (an ≥ 0, n ∈ N) altern´ al´ o sor konvergens, ha (an ) monoton cs¨ okken˝ oen tart null´ ahoz, ´es ekkor a sor s ¨ osszeg´ere, ´es r´eszlet¨ osszegeinek (sn ) sorozat´ ara ´erv´enyes az |s − sn | ≤ an+1 (n ∈ N) becsl´es. Bizony´ıt´ as. (an ) monoton cs¨okken´ese miatt s2n+1
= s2n−1 + (−1)2n+1 a2n + (−1)2n+2 a2n+1 = s2n−1 + (−a2n + a2n+1 ) ≤ s2n−1
s2n+2
= s2n + (−1)2n+2 a2n+1 + (−1)2n+3 a2n+2 = s2n + (a2n+1 − a2n+2 ) ≥ s2n
s2n
= s2n−1 + (−1)2n+1 a2n = s2n−1 − a2n ≤ s2n−1
azaz (s2n−1 ) monoton cs¨okken˝o, (s2n ) monoton n¨ovekv˝o, ´es s2n ≤ s2n−1 , amib˝ol egy [s2 , s1 ] ⊂ [s4 , s3 ] ⊂ [s6 , s5 ] . . . intervallumskatuly´az´ast kapunk, ahol az intervallumok (Cantor t´etele szerint nem¨ ures) metszete csak egy pontb´ol ´allhat, mert az intervallumok s2n−1 − s2n = −(−1)2n+1 a2n = a2n → 0 (n → ∞) hossza null´ahoz tart. Legyen s a fenti intervallumok egyetlen k¨oz¨os pontja, akkor s2n → s, s2n−1 → s (n → ∞) ez´ert sn → s (n → ∞) igazolva a konvergenci´ara vonatkoz´o ´all´ıt´ ast. A becsl´es igazol´asa: |s − sn |
= |(−1)n+2 an+1 + (−1)n+3 an+2 + (−1)n+4 an+3 + (−1)n+5 an+4 + (−1)n+6 an+5 . . . | = |(an+1 − an+2 ) + (an+3 − an+4 ) + (an+5 − an+6 ) + . . . | = (an+1 − an+2 ) + (an+3 − an+4 ) + (an+5 − an+6 ) + . . . = an+1 − [(an+2 − an+3 ) + (an+4 − an+5 ) + . . . ] ≤ an+1 .
Itt a m´asodik sorban az abszol´ ut ´ert´ek elhagyhat´o, mivel a tagok ¨osszege nemnegat´ıv, az utols´o sorban lev˝o egyenl˝otlens´eg pedig az´ert igaz, mert a sz¨ogletes z´ar´ojelben lev˝o ¨osszeg nemnegat´ıv. ¤ ´lda. A Pe
sor konvergens, mert an =
1 n
X 1 1 1 1 1 (−1)n+1 = − + − + . . . n 1 2 3 4 ´ & 0 (n → ∞) (cs¨okken˝oen). Erdekes megjegyezni, hogy e sor ¨osszege ln 2. ´ sorok 4.2 Pozit´ıv tagu
A
P
an sort akkor nevezt¨ uk pozit´ıv tag´ unak, ha an > 0 (n ∈ N) teljes¨ ul. Ilyen sorok r´eszlet¨osszegeire sn+1 = sn + an+1 > sn
(n ∈ N),
azaz a r´eszlet¨osszegek sorozata monoton n¨ovekv˝o, ez´ert (sn ) akkor ´es csakis akkor konvergens ha fel¨ ulr˝ ol korl´ atos. Ez´ert pozit´ıv tag´ u sor akkor ´es csakis akkor konvergens ha r´eszlet¨ osszegeinek a sorozata fel¨ ulr˝ ol korl´ atos. Ez a meg´allap´ıt´as az alapja a konvergenciakrit´eriumok (vagy konvergenciatesztek) bizony´ıt´as´anak.
4
T´ etel. [major´ans- minor´ans teszt] Ha 0 < an ≤ bn (k ∈ N) ´es X
(1) (2)
bn sor konvergens, akkor a
ha a
P
P
an sor divergens, akkor a
an sor is konvergens, P
bn sor is divergens.
P P P ´s. Azt mondjuk, hogy a bn sor major´ Megjegyze alja a an sort (vagy ami ugyanaz, a an sor minor´ alja P a bn sort) ha an ≤ bn (n ∈ N). P P Bizony´ıt´ as. Jel¨olje (sn (a)) a an sor r´eszlet¨osszegeinek sorozat´at, (sn (b)) pedig a bn sor r´eszlet¨osszegeinek sorozat´at, akkor (3)
sn (a) ≤ sn (b) (n ∈ N).
P
Az (1) esetben a bn sor konvergens, ´ıgy (sn (b)) fel¨ ulr˝ol korl´atos, (3) miatt (sn (a)) is fel¨ ulr˝ol korl´atos, ez´ert P an sor konvergens. P A (2) an sor divergens, ´ıgy (sn (a)) fel¨ ulr˝ol nem korl´atos, (3) miatt (sn (b)) sem korl´atos fel¨ ulr˝ol, P esetben a ez´ert bn sor divergens. ¤ P T´ etel. [h´anyados vagy D’Alembert teszt] Legyen an pozit´ıv tag´ u sor.
(4)
Ha
(5)
X an+1 ≤ q < 1 (n ∈ N) akkor a an sor konvergens, an X an+1 ha ≥ 1 (n ∈ N) akkor a an sor divergens. an
Ezt a t´etelt egy m´asik alakban (limeszes alak) is kimondjuk. P Legyen an pozit´ıv tag´ u sor ´es tegy¨ uk fel, hogy an+1 lim = L (L ∈ Rb ). k→∞ an (i) Ha L < 1 akkor a (ii) ha L > 1 akkor a
P
an sor konvergens,
P
an sor divergens, P (iii) ha L = 1 akkor a an sor lehet konvergens, ´es lehet divergens is. Bizony´ıt´ as. Ha (4) teljes¨ ul, akkor az a3 a4 an a2 ≤ q, ≤ q, ≤ q, . . . , ≤q a1 a2 a3 an−1 an egyenl˝oltlens´egeket ¨osszeszorozva kapjuk, hogy ≤ q n−1 , amib˝ol an ≤ a1 q n−1 (n ∈ N). Ez azt jelenti, hogy a 1 P P a an sort a Pa1 q n−1 konvergens (mert 0 ≤ q < 1 miatt |q| < 1) geometriai sor major´alja, ´ıgy a major´ans teszt alapj´an a an sor konvergens. Ha (5) teljes¨ ul, akkor an+1 ≥ an miatt a konvergencia sz¨ uks´eges felt´etele, az an → 0 (n → ∞) felt´etel nem teljes¨ ul, a sor divergens.
5
1−L A limeszes alak bizony´ıt´ asa. Ha (i) teljes¨ ul akkor legyen r = > 0. Az L hat´ar´ert´ek r sugar´ u k¨ornyezete ¶2 µ an+1 sorozatnak csak v´eges sok eleme van, ´ıgy 1-n´el kisebb ´ert´ekeket tartalmaz, e k¨ornyezet´en k´ıv¨ ul az an an+1 ≤ q (:= L + r < 1) ha n ≥ n0 an valamely n0 mellett, ´ıgy (4) v´eges sok index kiv´etel´evel teljes¨ ul, a 4.1 szakasz 2. megjegyz´ese alapj´an k¨ovetkezik ´all´ıt´asunk. (ii) mellett hasonl´o gondolatmenettel kapjuk, hogy (5) v´eges sok index kiv´etel´evel teljes¨ ul, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy (an ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. P 1 (iii) V´eg¨ ul, a harm´onikus sorn´al L = 1 ´es e sor divergens, a sor konvergens, ´es e sorn´al szint´en L = 1. n2 Ut´obbi sor konvergenci´aja pl. abb´ol k¨ovetkezik, hogy 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ··· + 2 ≤ 1 + + + ··· + 12 2 3 n 1·2 2·3 (n − 1) · n µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 =1+ − + − + ··· + − =2− <2 1 2 2 3 n−1 n n ´ıgy a r´eszlet¨osszegek sorozata korl´atos, a sor konvergens.
¤
T´ etel. [gy¨ok vagy Cauchy teszt] Tegy¨ uk fel, hogy an ≥ 0 (n ∈ N). X √ (6) Ha n an ≤ q < 1 (n ∈ N) akkor a an sor konvergens, (7)
ha
√ n
an ≥ 1 (n ∈ N) akkor a
X
an sor divergens.
Ezt a t´etelt is kimondjuk limeszes alakban. Legyen an ≥ 0 (n ∈ N), ´es tegy¨ uk fel, hogy lim
n→∞
(j) Ha L < 1 akkor a (jj) ha L > 1 akkor a
P
√ n
an = L (L ∈ Rb ).
an sor konvergens,
P
an sor divergens, P (jjj) ha L = 1 akkor a an sor lehet konvergens, ´es lehet divergens is. P P n Bizony´ıt´ as. Ha (6) teljes¨ ul, akkor az an ≤ q n , (n ∈ N)Pami azt jelenti, hogy a an sort a q konvergens geometriai sor major´alja, ´ıgy a major´ans teszt alapj´an a an sor konvergens. Ha (7) teljes¨ ul, akkor an ≥ 1 miatt a konvergencia sz¨ uks´eges felt´etele, az an → 0 (n → ∞) felt´etel, nem teljes¨ ul, a sor divergens. 1−L A limeszes alak bizony´ıt´ asa. Ha (j) teljes¨ ul akkor legyen r = > 0. Az L hat´ar´ert´ek r sugar´ u k¨ornyezete 2 √ 1-n´el kisebb ´ert´ekeket tartalmaz, e k¨ornyezet´en ´ıv¨ ul az ( n an ) sorozatnak csak v´eges sok eleme van, ´ıgy √ n an ≤ q (:= L + r < 1) ha n ≥ n0 valamely n0 mellett, ´ıgy (6) v´eges sok index kiv´etel´evel teljes¨ ul, a 4.1 szakasz 2. megjegyz´ese alapj´an ad´odik ´all´ıt´asunk. (jj) mellett hasonl´o gondolatmenettel kapjuk, hogy (7) v´eges sok index kiv´etel´evel teljes¨ ul, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy (an ) nem tarthat 0-hoz, a sor divergens. P 1 (jjj) V´eg¨ ul, a harm´onikus sorn´al L = 1 ´es e sor divergens, a sor konvergens, ´es e sorn´al szint´en L = 1.¤ n2
6
Igazolhat´ o, hogy a gy¨ ok teszt er˝ osebb, mint a h´anyados teszt (azaz, ha a h´anyados teszt eld¨onti a konvergenci´at/divergenci´at akkor ugyanezt teszi a gy¨ok teszt is), a h´ anyados teszt alkalmaz´ asa viszont ´ altal´ aban egyszer˝ ubb. ´lda ´k. 1. A Pe
P 2n sor konvergens, mert a h´anyados teszt limeszes alakj´at alkalmazva n! an+1 2n+1 n! 2 = · n = → 0 = L < 1. an (n + 1)! 2 n+1
P 1 2. A ahol p ∈ R (hiperharmonikus) sor divergens, ha p ≤ 0, mert ekkor az ´altal´anos tag nem tart 0-hoz. np p > 0 mellett mind a h´anyados, mind a gy¨ok teszt limeszes alakja L = 1-et ad, seg´ıts´eg¨ ukkel a konvergencia nem d¨onthet˝o el. A Cauchy-f´ele kondenz´ aci´ os teszt seg´ıts´eg´evel (ld. pl Lajk´o jegyzet) kaphatjuk, hogy P 1 A (p ∈ R) sor akkor ´es csakis akkor konvergens, ha p > 1. np Ugyancsak ezzel a teszttel ad´odik, hogy P 1 A (p ∈ R) sor akkor ´es csakis akkor konvergens, ha p > 1. Itt az ¨osszegez´est n = 2-n´el kell p 2 n(ln n) kezden¨ unk, mivel ln 1 = 0. ´ t konvergencia, mu ˝ veletek sorokkal 4.3 Abszolu P P ´ ´ Defin an sort abszol´ ut konvergensnek nevezz¨ uk, ha a |an | sor konvergens. P ıciok. A A an sort felt´etelesen konvergensnek nevezz¨ uk, ha a sor konvergens de nem abszol´ ut konvergens.
¤
Igazolhat´ o, hogy abszol´ ut konvergens sor konvergens, a ford´ıtott ´all´ıt´as viszont nem igaz, amint ezt a P (−1)n+1 sor mutatja. Ut´obbi sor felt´etelesen konvergens. n Az abszol´ ut konvergencia eld¨ont´esere alkalmazhat´ok az el˝o z˝o szakaszban t´argyalt tesztek. Ha an 6= 0 (n ∈ N) ´es
¯ ¯ X ¯ an+1 ¯ ¯ ¯ < 1 akkor a lim ¯ an sor abszol´ ut konvergens, ha n→∞ an ¯ ¯ ¯ X ¯ an+1 ¯ ¯ ≥ 1 akkor a lim ¯¯ an sor divergens. ¯ n→∞ an X p n |an | < 1 akkor a an sor abszol´ ut konvergens, ha n→∞ X p ha lim n |an | ≥ 1 akkor a an sor divergens.
Ha lim
n→∞
P P an egy adott sor ´es ϕ : N → N egy bijekt´ıv lek´epez´ese N-nek ¨onmag´ara, akkor a aϕ(n) sort a P Legyen an sor (ϕ) bijekci´ohoz tartoz´o) ´ atrendez´es´enek nevezz¨ uk. P´eld´aul a
1 1 1 1 1 1 − + − + − + ... 1 2 3 4 5 6
7
sor egy ´atrendez´ese a
1 1 1 1 1 1 + − + + − + ... 1 3 2 5 7 4 sor, ahol k´et pozit´ıv tagot egy negat´ıv tag k¨ovet. Az abszol´ ut konvergens sorok fontos tulajdons´ aga, az, hogy b´ armely ´ atrendez´es¨ uk is konvergens, ´es az ´ atrendezett sor ¨ osszege megegyezik az eredeti sor ¨ osszeg´evel. Felt´etelesen konvergens sorokra ez nem igaz, s˝ot, felt´etelesen konvergens sornak van olyan ´ atrendez´ese, mely divergens, vagy melynek ¨ osszege egy tetsz˝ olegesen el˝ o´ırt sz´ am. K¨onny˝ u bel´atni, hogy konvergens sor tetsz˝olegesen z´ar´ojelezhet˝o, ´es a z´ar´ojelezett sor ¨osszege egyenl˝o az eredeti sor ¨osszeg´evel. Tov´abb´a (a sorozatokra vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agok miatt) konvergens sorok ¨osszegsora (a tagok ¨osszead´as´aval keletkez˝o sor) ´es konvergens sor sz´amszorosa is konvergens ´es ¨osszeg¨ uk a kiindul´o sorok ¨osszege ´es sz´amszorosa, azaz, P P P P ha an , bn konvergensek, c ∈ R akkor a (an + bn ), (can ) is konvergensek ´es ∞ X
(an + bn ) =
n=1
∞ X
an +
n=1
∞ X
∞ X
bn ,
n=1
(can ) = c
n=1
∞ X
an .
n=1
A sorok szorz´asa P l´enyegesen P komplik´altabb. P ´. A Defin´ıcio an ´es bn sorok Cauchy-f´ele szorzatsora a cn sor, melynek tagjai 0
0
0
cn := a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 =
n X
ak bn−k .
k=0
¤ Abszol´ ut konvergens sorok Cauchy-f´ele szorzatsora is abszol´ ut konvergens, ´es ¨ osszege a t´enyez˝ osorok ¨ osszeg´enek szorzata. ¨ ggve ´nysorok, hatva ´ nysorok 4.4 Fu ´ k. Ha egy sor tagjai (azonos halmazon ´ertelmezett) f¨ Defin´ıcio uggv´enyek, akkor a sort f¨ uggv´enysornak nevezz¨ uk. P Legyenek fn : D ⊂ R → R (n ∈ N) a val´os sz´amok D r´eszhalmaz´an ´ertelmezett f¨ uggv´enyek. A fn (x) f¨ uggv´enysor konvergenciahalmaz´ at/divergenciahalmaz´ at azon x ∈ D pontok alkotj´ak melyekre a sor konvergens/divergens. A konvergenciahalmaz pontjaiban ´ertelmezhet˝o a sor ¨ osszegf¨ uggv´enye (mint a r´eszlet¨osszegek hat´ar´ert´eke). ¤ P ´. A Defin´ıcio an (x − a)n alak´ u f¨ uggv´enysort hatv´ anysor nak nevezz¨ uk. an az n-edik egy¨ utthat´ o, a pedig 0
a sorfejt´es k¨ oz´eppontja. Vizsg´aljuk meg a
¤ X
an (x − a)n
0
hatv´anysor abszol´ ut konvergenci´aj´at a gy¨okteszttel. Ha p p (n→∞) n |an (x − a)n | = |x − a| n |an | −→ |x − a| · L
<1 >1
a hatv´anysor abszol´ ut konvergens, a hatv´anysor divergens,
p ahol felt´etelezt¨ uk, hogy az ( n |an |) sorozatnak l´etezik az L hat´ar´ert´eke, 0 ≤ L ≤ ∞.
8
1. L = 0 eset´en |x − a| · L = 0(< 1,) ´ıgy a hatv´anysor minden x ∈ R mellett abszol´ ¡ut konvergens. ¢ 2. 0 < L < ∞ eset´en |x − a| · L < 1(> 1) akkor ´es csakis akkor, ha |x − a| < L1 > L1 , ez´ert |x − a| < L1 eset´en a sor abszol´ ut konvergens, m´ıg |x − a| > L1 mellett a sor divergens. 3. L = ∞ eset´en |x − a| · L = ∞ > 1 ha x 6= a, ´ıgy ekkor a sor divergens, m´ıg x = a eset´en a sor nyilv´an konvergens (ugyanis a nulladik tag kiv´etel´evel az ¨osszes tag nulla). ´ . Az Defin´ıcio r := b˝ov´ıtett val´ os sz´amot a
P 0
1 1 p = L lim n |an | n→∞
µ
¶ 1 1 := ∞, := 0 0 ∞
an (x − a)n hatv´anysor konvergenciasugar´ a nak nevezz¨ uk.
Az el˝obbiek alapj´an ´all´ıthatjuk: Ha |x − a| < r, akkor hatv´ anysorunk abszol´ ut konvergens, ha |x − a| > r, akkor hatv´ anysorunk divergens. ´lda. A geometriai sor eset´en Pe 1 + x + x2 + · · · = a konvergenciasug´ar r = 1.
1 1−x
ha |x| < 1
¤
