I(ornbinatorika. Je to oblast matematiky, kter6 se zabyvil metodami vyb6ru skupin (k-tice) z ndjak6 konedn6 mnoZiny M s n prvky (matematick6 i nematematick6 povahy) a urdenim jejich podtu. k - podet prvkri, kter6 vybir6me n - podet prvkri., z nichi, vybir6me Plati: lc e AI; ?z€ A/ + {0} ; k 1n N6zev a oznaleni
(k < n)
V(k,n)
V ( k . n \' -
n!
n : 3
(n-k)l
atd.
Kombinace k-t6 tiidy z zz prvkri (0 < k < n)
zS,Iedina poiadi, prvky se mohou libovoln6 opakovat
Permutace z n prvkri s opakov5,nim, z toho n1 je L druhu, n2 je 2. druhu, atd., piitom u+"'-lrlk:n'
C ( k . n \'
(n - k)tkl
P L r , . . . , n t " ( ' ): n!
:-
z n prvkri Vt(k,n)
Kombinace k-t6 tiidy nez6,lehi na poiadi, prvky se z n p r v k r i s o p a k o v 6 n i m Ct(k,n) mohou libovoln6 opakovat
( ? ) : "( ; ) : ' ( ; ): G ? r ) ( l ): ' ( ; ) : ' (T): (;?)
(;) :'
n1!...npl
(:) :'
V'(k,n) : nk
c ' (k ,n 1:
La2 L2ab + Lb2 l a 3 * 3 a 2 b + 3 a b 2+ b 3
kornbinadnich iisel Zdkladni vlastnosti Pro kaZd6 n,k €,^/ + {0} a k 1, n plati:
Plrr,...,n*(n) Variace k-t6 tiidy s opakov6.nim
(a Lb)2 : (o * b)3 :
nl
C(k,n)
(;) "^-r,*
k:o (soudet md n I 1 dlenri, v soudtu je vztah pro k-tjr dlen). eisla v jednom i6dku Pascalova trojrihelniku jsou koeficienty pro piisludn6 n.
Napi.: rt :2
nezi,leli na poiadi (a,b) : (b,a) bez opakov6ni
(n) o'+...+( .t ) o"-*+16k-'+ \0/ \k-L/
:
P(n) : nr P(n)
Binomick6 v6ta. Pro libovolnf a,b € R a pro kadd6 n € -A/ plati: (a * b)" :
trojfrhelnik:
(3) ( ; ) ( 1 ) . (:) u':i (3) (1)G) (;)(i)(;)(:)
ft:0
Podet
zdIeLi na poiadi Permutace z n prvku (k : n) (a,b)I Q,a) Variacie k-t6 tiidy bez opakov6ni z n prvki
Pascahiv
( ; ). G i ) :( ; i i )G i ) :( ; ) ( T.)( T:)( T ) ( : ) : ( ; )
n - k
k+1
(*tr-')
5!;i; : ? :20; l2OV ; ( 2 , 5' ) : ; ; (5-2)t 6 p! ( L \:- - ---::4! n h nt Pl,J,r(4) : tZ z prvkri a,a,b,c
5-3 3+1
P f i k l a d yP : ( 5 ): 5 ! : 5 ' 4 ' 3 ' 2 ' i _ : ( 1( r t r \ -
5! -ry : I0; Jl2l l;-
Pravddpodobnost. kladri:
Pii definovAni pravddpodobnosti
vychilzime z piedpo- f
1. sledovany jev n6hodn6ho charakteru m6 konedny podet moi'nych vysledkri {*tr*2,,,.,r7-} : {l 2. vysledky jsou stejn6 pravd6podobn6. 3, kd" rL podet v5ech molnydn vj'sledkri pokusu (prvky mnoZiny Q). n rn - potet piiznivlch vysledkri - nastane jev A (prvky rnnoLiny A). Hrajeme klasickou kostkou. Jak6 jevy mohou nastat: 1. Jev A: Pii hodu kostkou padne dislo ( 6. Jev jistf , rrl: rL) P(A) : rn:
1.
2 3
vy5ka podet
167 168
169 170
2
5
6. Hizime kostkou dvakr5t. Jak6. je pravd6podobnost, Ze poprv6 padne dislo tj. P(A n B) : 3 a podruh6 ne? Uveden6 jevy jsou nez6visl6,
u : P ( A ) . P ( BP ) ,( A n B ): I ' : : 6 6 3 6
7. Jakh je pravddpodobnost, Le na kostce padne lich6 dislo fiev A), kdyZ virn, de padlo prvodislo (jev B)? Podmin6n6 pravddpodobnost: PTANB) ( B )
; 1 3 6
vy5ka podet
171 172
5 7
znaku - re5ln6 dislo Nam6ien6 irdaje - hodnota prrim6r - charakteristika polohy Prrim6rnS. vj'dka - aritrneticky
znaku r.; - podil absolutni
YDdeny prrirnEr
'
hodnot x)r,...,n,je
Modus - nejdastdji se vyskytujici podetnosti na
iislo
piikladu:
rL
15-r > n L
tr;:
t 6 5 .2 + 1 6 6 3. + . . . + 7 7 1 5. + r 7 2 '7 : 169,3 31
;-1
Mod(z) :172;
SmdrodatnS
Rozptyl I{oreladni
Med(r) : 170 (vyska 16. chlapce) odchylka
- dislo s:
*f
@-n)2
(disperze) koeficient
-,
:
f
, kde sr, s, jsou sm6rodatn6 n
2 odchylky hodnot znaku n, a & t : !|f"
i:I
r TL,i
ni rL
*ono f i':r
- prostledni hodnota mezi 14 (vjrSka chlapcri). Pii Medi6n sud6m podtu jsou prostledni hodnoty dv6, vypoditSme z nich aritmetickjr prrim6r
r:-
rL ei
T7u
hodnota, hodnota s nejvySSi
sa, SA
P
3 5
soubor - konedn6" neprfndni" Chlapci ve tiid6 - statistickf mnoZina Podet chlapcri - rozsah souboru -podet prvkri mnoZiny M Vj'5ka chlapcri - znak - spoledn6 vlastnost prvkri
Z naieho
6 6 5. Jevy E: pii hodu kostkou padne dislo 6 a F: Pii hodu kostkou padne lich6 dislo. E, F - disjunktni jevy, En F : A; P(EUF) : P(E) + P(F) -
P ( A / B )'
vy5ka podet
2 4
0, P(B) : 0.
- Q ; P ( D ) + P ( D ' ) : 1 * f: t
:;.;
podet
165 166
podetnost (pom6rn5) Relativni podetnosti a rozsahu souboru
0 I rn I n, 3. Jev C: Pii hodu kostkou padne dislo 1. Jev n6hodnj', 1 P(C) : :. 0 4. Jev D: Pii hodu kostkou padne dislo 3. Jev D/: Pii hodu kostkou nepadne dislo 3. D, D', opadn6 jevy (doplikov6), t.j. D f-l D/ : 0, D u D' :
- P ( E n F ) ; P ( E n F ): 0 + P ( E u F )
vy5ka
podetnost Podet chlapcri napi. 170 cm vysokj'ch * absolutni - vyjadiuje, kolikr6t se v souboru vyskytuje znak 16
Pravd6podobnost n6hodn6ho jevu A je potom dislo P(A) :
2. Jev B: Pii hodu kostkou padne dislo 10. Jev nernoilny,
Pii m6ieni vj'Sky 31 chlapcri byly zji5tdny tyto ridaje:
Statistika.
1) : ro vt(2,J):J2:g; ct(2,4): (n+2\ 2 / Symbol n.! dtemejako rr.faktori6l. nt. : L'2 '3' ' ' ' 'rL. DefinujemeO! : ,
- -d@ - a)
Mod(r) Med(r)
Yztahy
iisly
mezi
(vfrazy),
intervaly,
absolutni
Absolutni hodnotou re6,ln6hodisla Vlastnosti. Ya,b e R : lal ) 0, a,nazyvdme dislolol, pro kter6plati: lal : l-ol, la.bl : l"l . lbl,
hodnota
Pro kaZd6 a,b € R plati: o : b pr6,vd tehdy, kdyL a - b - 0 * rovnost a ) b pr5,v6 tehdy, kdyd a - b > 0 * nerovnost a I b prd,v6 tehdy, kdyil a - b <0 - nerovnost
1 'j e - l i a ' ) 0 , p a k:l a l
i i
l 3 :l 3
l g l : H r' u " -+v0/ ) t, sl o + b l< l o l+ l b l , g l l O:l O l a l 2 . j e - l i a : A , p a k :l a lbl i a ( : : 3 l , 3 .j e - l ia 0 , p a kl o l b l > l o l* l b l l-31 i
grafickf'
Geometrick!
obtaz
symbol
r 1 b
'.........o-
(-"";b)
otevienfi
n 3 b
€-
(--;b)
zpt av a tzavl eny, zleva neohranidenjr
l " l: 3 , I
a ,1 n 1 b
---O<-
(";b)
otevieny
l r l> 3 : l
a l r l b
--a€-
(";b)
zleva uzavieny, zprava otevleny
a l r 1 b
*{€*
(";b)
uzavreny
2. eislo l" * bl se rovn6 vzd5,lenosti bodri, kter6 jsou obrazem disel o,b na diseln6 ose. Napiiklad ieienim rovnice l* - 2l: 3 je podle nSdrtku {-1; 5}:
---o...-...{-
a l r 1 b
(o; b)
_---€------*
o ,1 n a l r
n6zev
vfznam absolutni hodnoty: i t. eislo lol ud6,v6 vzdSlenost obrazu disla a od obrazu disla 0 na diseln6 ose. I Napiiklad:
zaprs
intervalu zleva neohranideny
otevieny,
(o;oo)
zlev a uzavl eny, zpr av a neohranideny
Line6rni funkce f , A: rovnob6Zn5 s osou y.
Piiklad: / je grafem funkcev Olx,y:
Pro funkce se v6t5inou por1iv6" oznadeni: f , g, h, . . . Oznateni speci6,lnich funkci: sin, cos, 1og, . . . Funkce mfiZe byt zadan6,: piedpisem, tabulkou uspoi6danych dvojic, slovnim popisem, vyjmenov5nim prvkri., grafem. ,,Nulovjr bod" je r-ovdsouiadnice bodu O, v n6mZ graf piislu5n6 funkce protin6 osu x: Olrs;O], Definidni obor D(/) - mnoZina v5ech n € R pro k t e r 6 3 3 r€ R t a k o v 6 , d e y : f ( r ) . Obor hodnot H(f) - mnoZina viech y € R pro kter6 fr € R tak6, Le g: f(r).
o ( 0
O : 0
D(f) : R H(f): R prost6 rostouci
D@): n H@): A prost6
D(h): R H(h) : {b} neni prost5, ros-
klesajici
touci, ani klesajici
nejsou ohraniden6
<
klesajici na 1 <+ Vr1,r2 + f("t)> f(rz) Vrr tr2 € D(f)
€ I
: rr
1
+
tuz
v kaZd6m bodd m6 maximum
funkce
i minimum
D(f) :
(-oo;oo) Necht f ,9,h,p jsou grafy funkci v O; x,y: f : U:2r
H(f):
kde o € RKvadratick6 funkce f, A: ar2 +brlc, Grafem je parabola s osou rovnob6Znou s osou y.
(-*;
-rt)
(-rr;
rt)
a ) 0
f (rt) *
zdola ohraniden6<+ 1d e R, Le pro Vz e D(f) plati: f(r) > d shora ohranidenS, + =h € R, Le pro Vr € D(f) plati: f(r) < h ohraniden6 <+ je ohraniden6 shora i zdola s u d d . < +Y r e D ( f ) i - n € D ( f ) A f ( - " ) (body grafu jsou soumdrn6 podle osy g)
:
f(r)
r
-
t:
{ O } ; a ,c € R .
D@):n n-
neni prost6 (piimka p protin6 graf ve vic neL jednom bod6)
.,
^ ; o o ) H(s):
H(f\:(c-
(-*;
7't2
"-
4"r)
4A'
je ohranidenS. zdola, f@)>-at je ohranidenS,shora,
f(*) < sr
neni prost6
neni prostS.
h r o s t o u c i (' - 2- : a o,o )'
r o s t o u c i (' - -;, - a 2) a '
k l e s a i i c i ( o o', - 3 ) 2a' ohraniien6, zdola
klesaiici (- 3: oo) 2a' ohraniden6 shora
je ohraniden6
neexistuje
inve zni funkce
neni sud6
: lich6 <+ Yr € D(f) i -r € nU) n f (-") : -f (a) (body jsou soum6rn6 podle pod6tku O)
je lich6
periodickd, e )p ) 0, de pro kaZd6 k e Z plati: r € D(f) + (r -t k. p) € D(f)" f(" + kp) : f(") Cislo p nazyvhrne perioda.
neni periodick6
f rn6z
maximum v bod6 a #
Yr € D(f)
plati /(r)
<
maximum v bod6 -rr
Yr € D(f)
plati /(r)
>
minimum v bod6 11
,kden€N
3f@) minimum
y" : :
a ( 0 t )
12 +
't'.
a ("r;-)
D(f): R , 11 f
+7; f
Fat;st)
/ je: € I : rt I rz 4 f("t)
ohranidenS,
existuje inverzni
. 7@z)
F\rnkce
kde a,b € R. Grafem je piimka, kter6 neni
o,rlb,
o,)0
f@o):o
7 yl rz)
3
Speci6lni piipad: piim6 irmdrnost f, A : o,
Funkce jako mnoZina uspoi6danych dvojic re6lnych disel:{l*;f(*)l}.
prost5 €
0
zpr aYa neohranideny
tak,heA:f@).
rostouci na I +Yr1,r2
3
zprava uzavieny, zleva otevieny
(o;oo)
i F\rnkce re6ln6 prom6nn6 r je piedpis /, ktery lkaZd6mu r e R piiiazuje nejvyde jedno A € R
F\rnkce
lrl < 3: -
v bod6 b e
n
>f(b) Inverzni funkce. Necht / je prost6 na D(/). Pak existuje inverzni funkce,.f-1, pro kterou plati: -r): D(f) H(f) a H(f r. Dff-L):
f neni prost6, a proto neexistuje /-1
2. je-Li / rostouci (klesajici), pak i /-1je rostouci (ktesajici) 3. Grafy jsou soum6rn6 podle piimky
neni prost6
rostouci
rostouci (0; oo)
lichS
klesajici Coo;0) sud6 zdola ohraniden6
9 : r
nG) a Vr plati f (r):
H(s): n;-
prostS,
neni ohranidenS
g(r),
Nechli f, g jsou grafy funkci vO; x,y. J - y - t
9:A:t-
A
rr aU: 1 2 jsme uZ zavedli v obecn6m tvaru (piimdr, : u m e r nost a kvadratickS, funkce)
! Speci 6 l n i t y p y A :
i
iRovnost funkci: f : g e D(f):
lich6
D(f) : s H(f) : s
n - sud6 D(g) : R
i .1-x, i
: I
frm6rnost /:
iNepiim6
k u : -,
kde k € R- {0}. Grafem je rovnoosd hyperbola.
&
k > 0
k < 0
D(f):R-{o} H(f):R-{o}
D( s ) : , 8 - { o } H(s):R-{o}
klesajici na
rostouci na
(-*;0)
a (0;oo) (-*;0)
ft y : r!+,-t cr
cl,
lornen6
funkce
kde a, b,c,d,e R; c * 0; bc - ad,I 0.
Grafemje rovnoos6hyperbolase stiedem O' l-!r!1 Stied O' je podStkem posunut6 hi fl hz : O'.
L C CJ soustavy souiadnic,
h1
ll *, hz
-. r -
1. Piedpis funkce upravime d6lenim k
Ao +
_ _1+
$-fro 2. Z upraven6ho piedpisu vypodteme souiadnice nov6ho pod5tku O'lro;Aol 3. Nadrtneme graf.
2 . O t l L ;* k:2 3. graf:
,
2+{i+3:\/r+4 /' 4+4{r+3*r-13:r*4
Zkou5ka:
4\/r+3--3 16(z*3):9 39 16
L:2-l
f
- obor pravdivosti
(koien) se zachov6:
- obor pravdivosti (koien) se nemusi zachovat:
U nerovnic musime rozli5it, jakym dislem (vyrazern) je n5sobime (d6lime). Je-li z|porn6, m6ni se znak nerovnosti na opadny. Spriivnost iebeni ov6iujeme zkouikou. V piipad6 pouZiti DU je zkou5ka nutn5. s jednolu
Linedrni rovnice (nerovnice) nezndrnou.Kai;d6 se d6 upravit na tvar ar *b:0. Pokud a : b: O, ka1d6 r € R je koienem rovnice. Pokud a : O, b + O, neexistuje r € R, kter6 by bylo jejim koienem. a,b e R, rovnice m6 pr6v6 jeden koien * :
or*b)O a)o
""
::i ""::;' "'::;o
-!. 0,
Necht:2113:5 /-3 (EU) 2r:5-3/:2(EU) r:l-koien nerovnlce
resenl
*'-;
zrrazotrreflr
b
o , -! > ' < -! ,<-!
-F
Z k o u i k aL:: 2 . I * 3 : 5 P :5 L:P zaprs
(-:'"")
.......F (- "") :' -{(-""'-:) <--
r ( 5 r - 1 3 ): O I
o
2. ryze kvadratickd rovnice
2br2 -
a r 2+ c : o
2512 :16
3. irpln6 kvadratick6 -4ac* disloD:b2
16:0
rovnice o,r2 + br * c : diskriminant:
- pokud D ) 0, pak r1,2 : N e c h t :1 2 * r - 2 - 0
i
rr - 0; ,2:
o a)(Er *4):
alebo (5r 4 1
-
-?
4
-
-
5'
gi
4
-
5
-7+J0
N e c h t : 3 - 2
(-*'-:)
- 1 0 1 z € (-1;oo)
- pokud D : 0 ,
p a kr :
0. O podtu koienri rozhoduje
-b + \/D
+ D -
2
1. Umocndni obou stran rovnice.
Pokud e 10,
i6dku postupu.
o
lrl: :
1. Piidteni (odedteni) stejn6ho disla (vyrazu) k ob6ma stran6m rovnice. 2. Vyn6sobeni (d6leni) obou stran stejnym nenulovym dislem (vj,razern). ripravy
L + P
.
znilrn6, ripravy mnohodlenri
DU - drisledkov6
I1
T
4
Rovnice a nerovnice Pokud v uvedenych funkcich zvolime a : 0, resp. znak ,,:" nahradime znaky ), ), (, <, dostaneme rovnice (nerovnice). Vyieiit je znamen6 najit v dan6m diseln6m oboru dislo (mnoZinu disel), po jehoZ fiejichz) dosazeni dostaneme pravdivy vyrok. Pii jejich ieieni pouZiv6me:
ripravy
/'
>
0 , r 2+ b r :
- EU - ekvivalentni
+ +
i Kvadratick6 rovnice (nerovnice): ar2 +br*c: 0, kde a * 0; a,b,c € R , i or2 * kvadraticky dlen, br - i.lrneilrni dlen, c * absolutni dien l Ptozezndvhrne ReBeni: 1. rovnice bez absolutniho dlenu 5r2 + r :0
Z grafi zjistime vlastnosti funkce: D(f): R*{1}, H(f): R-{-1}, k l e s 5 .n a ( - * ; 1 ) a (1;oo), neni ohranidenS, neni ani sud5, ani lich6, r',y' jsou asymptoty hyperboly.
- viechny
+ +
: Rovnice nem6 ie5eni, coi, je vid6t uZ ve tietim
2 r*1
+ +
r-3
2. Reieni dvojn6sobnym umocndnim:
ll y,
Postup:
na tvar: A:
-z) (*z;1) (t;3) (3;oo)
(--;
s
i Rovnice s nezn6rnou pod odmocninou. Pii jejich ieieni pouZiv5me DU i , - zkou5ka je nutn6. Nejdastdji pouZiv6me postupy: spr6vnosti 1. Re5eni osamostatndnim odmocninv a umocndnim: Zkou5ka: \/r-0-4:o - 4:0 L: y6:3 7/r* 9:4 l' r-9:16 P:0 r :25 L : P
Jakj' bude jeji graf a vlastnosti?
r
- t . , & - T L
i";"k;;.
> 0
r*2 + 2. rozdllirne R na podmnoZiny 3. tabulkou hled6me ieieni + Reieni: r e (-2;1) u (3; oo) i Timto zprisobem ie5ime i rovnice (nerovnice) s absolutni hodnotou.
? _ -
Necht ft a :
( r - 3 )"( r - 1 ) .
1. urdime nulov6 body (a disla, pro ndZ zlomek neni definovany): 3 ; L ;- 2
Osy x, y jsou asymptotami hyperboly se stiedem,S[0,0], h1: gr: g, h 2 :r : 0
Nepiim6 ri.mdrnost je speci6lnim piipadem lineSrni
Necht:
L
a (0;oo)
nejsou ohraniden6 jsou lich6
;;t
I Nejjednodu55i je ieieni metodou ,,nulovych"
Necht f, g, jsou grafy funkci 1 1 v O 1x , y .f t y : 1 ; g, y: --
2a 1 - 4. I. (-2\ : 9
)rt-7;12:-2 ' --
t)
2u - pokud D 10, pak rovnice nem6 ieSeni v R. Ndkdy je vyhodn6 rovnici ie5it rozkladem kvadratick6hotrojdlenu: 12 + r - 2 -0 + (z - 1)(" + 2) : 0 + rr : L ; r z - - 2 Pro grafick6 ieSeni je drlleZit6 riprava rovnice doplndnim na riplnj, dtverec (a *b\2 : a2 *2ab * b2
^--(r"lr*'!\-2 \\ \ \ *)-o,2b>I+U:t a najdeme souiadnice vrcholu paraboly ...
1 2l r - 2 : o
(*' + r) -2:
o
(;)'] l"'."-' (" .;)'_ 1:o -2-
1 -0
; 4
" [-;,-i]
Pokud rovnice vyd6lime dislem a + A, dostaneme normovanjr tvar 12+pr*g:0 Yztahy mezi koieny a koeficienty rovnice jsou: rt I rZ: -p; rL'.x2: q Nejjednodu5Si zprisob iebeni kvadratickfch nerovnic je grafickf'. Postup: 1. vypodit6me koieny rovnice rt;x:2 (tj. nulov6 body) 2. poloha paraboly zitvisi na parametru a (viz funkce) 3. nadrtneme graf (souiadnice vrcholu nejsou drileZit6) a na ose x hled6me !1 iedeni N e c h t :r 2 * r - 2 < 0 ; V i m e , 2 , e1 1 : I ; r z - - 2 ; f e S e n ir € ( - 2 ; 7 ) Speci6lni piipad: pokud cel6 parabolaledi nad (pod) osou x, pak koieny neexistuji a ie5enim je bud R
nebo 0. N a p i i k t a d1: 2 * r + 5 > 0 + ( r * 1 ) 2+ 4 > 0 . . . plati pro v5echny r € R. 1 2* n + 5 < o + ( z + 1 ) 2+ 4 < a . . . neexistuje r € R, kter6 by vyhovovalo,r eA.
Soustavy
line6rnich
a kvadratickych
stavy rovnic: a) r-y:3 -2r*2y:-4/:2
Re5te sou- j
Exponenci6lni funkcez f: A: a*, kde a € € R+ - {1}. Grafem je exponenci6lni kiivka. Logaritmick6 funkce se zSkladem o € p+ -{t} j" funkce inverzni k exponenci6lni funkci. Je urdenS, piedpisem r, : au, coZ zapisujeme a : Iogo z. Grafem je logaritmick6 funkce.
b) n-g:3 -2rl2A: -6 I t2
r-a:3 -r+A- -2
r-a:3 -r+A - -3
o+r
piimky jsou
ieieni : 0
c)
(nerovnic).
rovnic
2r*y-5 n*3A:6+
2(6-3a)-a:5 -7Y:-7
N e c h df t y :
0:0 nekonednd mnoho ie5eni jsou totoZn6
rovnoDezne
piimky
r:6-3A r:6-3'1 r-3
Pak /-t:
jSou rriznobd1ne
Utotry a) a b) jsme ie5ili sditaci metodou, rilohu c) dosazovaci metodou. Viech-i ny jsou fe5en6 i graficky.
a : I ieEeni:{[g; t]] Soustavu line6rni a kvadratick6 rovnice ieSimedosazovacimetodou. Necht 12+ a2 :74 r-A:2+r:2-fA dosadime: Q + il2 * y2 :74 rt-2-7:-5 u2+2y-35:0 (u+27'(g-5):0 12:2*5:7 ieieni: AL: -7, Az:5
p: -r
p
{u {-1} R - {+1}
p++l
1
r:
p+1
I i ,
0,5 -0,25
(-2"-3)+3./a+T 2a t
\.)
'>7O
-
95.12_ 93
4.a':&s-er-s b*01 5. (o ' b)' : a,' .b' 6.(a:b)':ar:br lb+0] 7.ao:I lalO)
(2'3)' :22 '32 1 2 : 3 ) 2: 2 2 : 3 2
8.a-n:+ b*o)
,t-2 -
9. aT : \/a'n [" > 0] Poiit5ni s odmocninami: l.kftttW:(/c+I)VA
2i : {22
2. W
W:
U,ub
1 22
o
o)0
n
-
3fle- ila:2&G \/r. ,/3: \/6
log3 9 5 5
2
b)rog2(2r-r7):4 bt-il 2) L
g-3r
:log22a
log2(2r+1)
2r I L:24 2r:L5 r:7,5
5-3e
substituce: log4r:y Vr6time se
ia- +ira--;: t
il:o;t!Ii';, : o
az : L : r; 12: 4 Vr6time se k substituci: b;;" 2':2 2":Il2 ieieni:{a;aa} rr : L rz : -I; ie5eni: {-1; 1} 3. Pokud se exponenci6lni rovnice ned6 t6mito metodami ie5it, nezn6mou zlogaritmujeme. -
ut :4
r; V;
3. (a: Vu:
t;
l b> o l
t/2:{3:,tl\/3 (W)t : {/zs
4 . ( V O ": W 5. (W)^
lc5l2
l ovrg n 3 : P g t : : 1 2glog25
yL: 2 uz: rl2
2 a 3+ 3 a 3 : 5 a 3 25.22 - 27
R
klesa.jici
3: -3r -1 2. ripravou na formu kvadratick6 rovnice: : S a) 2. +* - 5.-2*l2:0 b) logar t #4":(2")2; u+4:;i:, ' " a substituce:2r :lJ a " - 5 uI 4 : 0 2 a 2 b y* 2 : O
a
n - odmocnitel (exponent) a - zilklad odmocniny Ao :b e bn : a) a) 0, b ) 0, n € ly'
H(s-t ) : prost5
/(1):oa/(o):r
\r25/
: 53 -
resenl
n - mocnitel (exponent) a - zilklad mocniny an : a. a.a.. .a (n dinitehi) Poiit6ni s mocninami: L kan X.Ian : (k *l)a* 2. ar . &s - &r+s 3. (o')" : q"rs
R
a logaritrnick6 rovnice - nezn6m6 je v exponentu, re- j i Exponenci6lni spektive v argumentu logaritmu. NejpouZivan6jii metody ie5eni: i f . itpravou mocnin na spoledny zilklad nebo na rovnost logaritmfi. (Nezapo- i meite, Ze logaritmovan6 dislo musi bj't kladn6.)
Koieny vypodit6me dosazenim do vzorce:
(-1,0) U (0,oo)
-':a(1
D(s-r) : (0;oo)
neni ohraniden6
5. aroson : x; lr e R)
{#} -1
I (0;oo)
rostouci
'f I o""g . b l 0 )
gr .5-r-t3
D < 0 a (--L
0
klesajici zdola ohraniden6
\5/
D:9(a*1)
(-oo, - 1) -1
H(g): (0;oo) prostS,
(0;oo)
D(f-'): H(f-T\: prostS,
u' ,b)" . ( : ) ' - ' : f + ) "
D:0
&
H(f) : prostd;
logo b
a
3r*0,75:0 r: -Or25 Shrnuti:
D@): n
4. log6r:l:9"A
i
R
A:
-L:a>7
q:a<-7
D(.f): R
existuie inverzni funkce Funkdni hodnoty logaritmick6 funkce nazyvixne logaritmy. Urdit logarit- i mus kladn6ho disla aapii kladn6rn zakladu a + t znarrren6. najit takov6 eislo ; gt na n61,je tieba umocnit zilklad, abychom dostali iislo r. Plati: as : n, pak logo fr: A, napiiklad: 34 : 81, pak log3 81 :4. Pokud a,:10, ide o dekadickj'logaritmus (z6klad 10 nepi5eme) logr. Pokud e,: e (Eulerovo dislo, e :2,7L8), ide o piirozenf logaritmus piSeme lne. Poditdni s logaritmy.Ya,b e R+, a * 7,Vr,s € R+ plati: 1. Iogo rs : logo r f logo s logo 3z : logo3 * Iogo z : ro*" z - logo3 2. logol : tor, r - logo s logo 1 3 . l o g or " : s . l o g o r Iog.- z3 : S\ogo z
resenl
2. V oboru R ie5te: o.r2 + (2a *3)r * a* 0,75 : 0 (line6rni rovnice) a+0 (kvadratick6 rovnice) a:0
D > 0 a) -7
(;)"
g-\t A:log1-r.
/(0):raf(L):o,
5r-I>.6-2r r(-4 r ) 1
p:7. r(p2*1):p*1 Dosadime zpS,tky do rovnice: r . 0. 2 : 0 r(-2) .0: -2 0:0 0+-2
y:log2r,
f : a ) I
rostouci
Soustava nerovnic: ieBime kaZ; dou nerovnici zvl651i. ReBenim i je prrinik diselnych mnoZin, ktery hledS,me na diseln6 ose. Necht: i 2r-L1rl3
s pararretrem. Krom6 nezn6,m6 se v nich objevuje dalSi proiRovnice mdnn5, - parametr. KaLd,6 parametrick6 rovnice piedstavuje mnoZinu rovnic. Re5eni spodiv6 v urdeni koienri v z6vislosti na piipustnych hodnot6ch parametru. UkS.zka postupu jejich iebeni: 1. Redte v oboru R: p2r* 1 : p I r,p - parameter, r * neznfurnl, p2r-r:P-L p-l:0 pf1:0 p*Ll0
:
2 ' r ,g i ,
:
(l/i73 : z
\/oP : a
n{a
6. \/ w, - V tc:
z [
-
l/ VZ:
A-
V2
w:w
7. "
Pii ieieni riloh jsou drileZit6 dvd ripravy odmocnin: 1. d6stedn6 odmocndni:
ilta + 2trm : VB. 2 + 2lM-
V ndkterj'ch
: 2l/2 + bW : Tt2
je vyhodn6
piipadech
pouZit tak6 opadny postup:
5l/2
iF2. odstrandni odmocniny z jmenovatele:
\ 0o
o'l/F
W b)
1
W.i/F
\h-J2
:
".W
a. va'
t/a 1
'h-t/t
. '/5+J,
ytr+'/2
:
'/5 + '/i jsme vzorec
(a -
b)(a + b) :
a2 -
la )
Ul
Jj + '/2 ('/J)2- (,/r)2
:vJ-tyz VyuZili
\/ao
b2
Js + '/, 3-2
:
(r:
Grafick6
Necht
iGoniometrie.
1) v O; x,y.
prrib6hu
zn5;zorn6ni
a vlastnosti
funkci
cosr
/ / : q l n T
U:
D(f): R H(f) : (-1; 1)
D(f): R H(f): (-1;1)
je rostouci na kaZd6m z intervahi
je rostouci na kaZd6m z intervahi
Definqieme:
str}n
:
f
sinc
. AM tr$r:-:rM . coLg'c:
rM
cosr:
AM
-
l
lr*:*krl L 2 )
COSr
rM -
COS,'
UUt
slnr
lr t' k.r)
-!, *ztcn;!, l2kr
t g r . c o t gr : 7
sin2r*cos2r:L
'tf
0
r
sln r9
0
cos r
1
tgr
0
cotg z
+
;r) 1
5 '/Z 2
3tr
^
5
t
7l
\/t
\/3 2
I
0
0
*1
a*
2
a
I
2
,
I
\/3
'/5 3
rt
T - L
0
0
3
*
! + z n n t l+ z n " 2tr
0
je sudS je ohraniden6
je periodick6, nejmenii perioda je 2ui'
je periodickS,, nejmenii perioda je 2z-
'!/:7gr
y:
I
I
L ;tr
0
T
srn ir COS Z
tgn
-r
cotg z
f
I
("'
3-\
T)
D(f):R-u ltzn+l|
(T'^)
D(f):
R-u{kr}
H(f): R
H(f):
R
Je rosloucr na kaZd6m
je klesajici na kaZd6m z intervahi
7 f
+ +
1. soudtov6, vzorcez sin(r * U): sinr 'cosgr*cosr'singt, cos(r t g) : cosr'cosgasin
je lich6
nenl onranlcena
nenr onranlcena
je periodickS, nejmenbi perioda je zr
je periodickS, nejmen5i perioda je zr
rovnic a trerovtric pouiiv6me i ndsledujici vzorce.
f tUg6r e. tu' g6av + L
3. vzorce pro polovidni rihel: r'sing
1]
rihel: 2. vzorce pro dvojn6sobny cos2r : cos2 r - sin2 r sin2r : 2 sinr. cos r;
tg2r:?+L "
L-18'r
(kr;r -t kr)
, ,
je lich5,
+
t+t'r.tSA
z intervahi J 7 f
,+Klt;jtrcr
+
Lsrtt93
n
l
Pii 6prav6ch vjrMri obsaftujicich hodnoty eoniometdckich funtci, ieieni goriometrickich Vc,y, kter6 patii do definidtrich oboni goniometrickjch tunkci, plati:
tg(rrA) :
0
I
a periodidnost argument Zilporn! sin(-r) : - sin r; tg(-r) : - tgr c o s ( - r ) : c o sr ; c o t g ( * r ) : - c o t g r s i n ui t g ( r * k ' t r ) : 1 g a sin(r* 2'k'r): c o sr ; c o t g ( r * k ' r ) : c o t g r , cos(r { 2 .k .r): kde k je cel6 dislo a r € D(f)
(;,")
cotgJ
l
x - nedefinovan6
('' ;) + +
(2ktr;r * 2ktr)
je lich6 je ohraniden6
0
0
,/J
f
je klesajici na kaZd6m z intervahi
je klesajici na kaZd6m z intervahi
vzta}ry
Zd.kladni
(-zr * 2kn;2ktr)
tg2rlr
l.
rl
|
2l
lsln-l:
{/
ll-cosr
2
v
:
I
rl
|
2l
1*cosz
lcos-l:
2
i
4. vzorce pro soudet a rozdil hodnot goniometrickych funkci:
r-a i cosc o s r f c o sa : 2 " o " ' * a i 2 l 2 r - u" i i r + a 2 s i n c o s r - c o s g r: sin ' Nl 2 2
sinr*sin9: zsin!.ro"|; sinr -singr- z"or!
.sn|;
I
,***-***,J
* nezn6,m6 je v argumentu. Jednorovnice (nerovnice) Goniometrick6 duch6 rovncie (nerovnice) ieiime graficky. Napiiklad: R e 5 t e p r o n e ( 0 , 2 t r ) : 2sinr-1>0
2.2coszr-7cosr*3:0 (pouZijeme substituci a formu kvadratick6 rovnice) 2a2 * 7a * 3:
0; at : 3, a'2: I Srrbrrituce: cosf,): a ?
1. nakreslime graf funkce 2. hleddlme vSechna r € R, pro kter5, je
7t 5r [r2: g' T - | | ( 7r'.2kr:Y c o s z ': 3 - n e m d , i e ' s e n ,r r; r [ J t 5 * *r*n\
V r 6 t i m e s e k s u b s t i t u c i : c o s* : !
f(*)-1)0,tedy/(r)>1 / r\ 3. tS (22 * n)
Pii leieni sloZitdj5ich rovnic vyuZivS.me: znilm6 fpravy rovnic, vztahy m.ezi goniometrickymi funkcemi, vhodnou substituci, rozklad na soudin atd. Ukdzka rovnic: ieieni n6kterych typri goniometrickj'ch
tga:1;
rt 5n : s i n z : 1 . r u d ,-, , ,= I | { ! *+ z kt tnT; Y t ; * r -* "n \ 6, 6tn2: 6i*, y"lO 2,.--" )
*,
l:
3
1r€Z
lr u^) R e S e n i : r (a. O ' ? Z
1. 6 sin n : 3 (iebime jako line6rni rovnici)
z
:
rt
substituce: 2r *
1T a:4*ler
2r: + ; V rsti mesek substi t' rci
:f,
zr n:
+ n* ,
)
a;
* : f;;
ne
U {- ; }
k€z L * cos2 z)
(nahradime sin2 r : 4. sin2 z * cos r * 7:0 1-cos2r*cosr*1:0 c o s 2r - c o s n - 2 - 0 . . . d 6 l e i e i i m e j a k o p i i k l a d ( ) . 2 .
Zcos2r:
5.
cos?r: , . ) cos-r - sln- *: 1 - s i n 2r -
s i n 2* :
4 1 ;I : 1 I
. slnz:
sinr: 2 * ^r : ! 6 * 2 k r t r-e -
u" 6
*2kr
(= + t " " a 4+kr,kdekeZ; 6 6
'. U {;. **,7+k"} k€z
1 1 !...cos 2r: c o s 2r - s i n 2r 2 !... "or2r : L- sin2z 2
*:2'in'' 1 :'in" 2 r "' 4 \:o,
Ulohu mriZeme leiit i takto: 2cos2r : L pouZijeme substituci 2r : a, 2cosa: 1 I coso: 2
_.. pou1ijeme substituci sin & : a
a ^r : T 3 * 2 k r a -t -
2*:!
-- 1 2
2!
3
*2kr2r:5n
3
*2kr
* r : t * k r r r z : T * k r , k ez
trs:-;i2ktr o ITtr fid: *2kn r)
r / 2abs in1* a:
u" 3 *2kn
Vr5time se k substituci
lol .. . vr6time se k substituci
R e d e n i :U ,.
kez
Tbigonometrie. Reiit trojrihelnik znarrten| urdit d6lky vdech jeho stran, i piipadn6 dalSi prvky. (Viz Geometrie - trojrihelniky.) rihhi, viech velikosti i vdtu pouZivSme, po: Sinovou v6tu pouZivdme, kdyZ m6me Kosinovou kud m6me d5,no: id6no, 1. velikosti dvou stran a irhlu mezi 1. velikost strany a dvou irhhi nimi 2. velikost dvou stran a irhlu proti jedn6 z nich 2. velikosti tiech stran 1087 cm2' Vypoditejte crr,fY:72o30t, S: Necht je d6n A,ABC: a:40 d6lky ostatnich stran. Re5eni: S :
m&Zeme zapsat jako:
trt)rzrrytr4
L 1
:
:5 7 c m
= -2 :7 !40 . sin 72" 30' a . sin'y Zndrne d6lku dvou stran a rihel mezi nimi * kosinov6 vdta: c 2 : a 2 + b 2 - 2 a b c o s J - 4 0 2+ 5 7 2 - 2 . 4 0 . 5 7 . c o s 7 2 " 3 0 t ; c : 5 9 D6lky stran L A B C j s o u : a : 4 0 c r n , b : 5 7 c r r \ c : 5 9 c m .
*^,T+k*}
{;.
DrileZit6 vztahy pro oba typy posloupnost AritmetickS,
Geometrick6
posloupnost
posloupnost
en:ar*(n-l)d
an :
vztah libovolnych dvou dlenri
ar:as-l(r-s)d
Ar :
soucet prvnich n clenu
,.:t(atl_a,-)
q'"-L sn:ar-.preefl o - r
vztah rnezi
Q , n : -
n-ty (len posloupnosti
An-L
-
t
2
m - 1 &1 'Q'"
&s'Q
anlL
lanl:
!/a-*t
. arr+l
An-lrAnrAnal
cm
aritmeticky prrimdr geometricky prfim6r
pron)1
Pokud mezi dleny nekonedn6 posloupnosti d5,me znam6nko ,,*", dostaneme
- speci6lni piipad funkci s D(/) : l/. Zapisuji se: {a'. Posloupnosti : H(f), an - f(^\. : a r t e , 2 t. . . , e t r , . . . M a j i s v o u s y m b o l i k u : { " - } 7 t an - n-ty dlen posloupnosti, ap * k-ty dlen posloupnosti, &nt&n+r . . . s o u sedni dleny posloupnosl, sn : at -l az + " ' + or, - soudet prvnich rz dlenri posloupnosti. rnriZe bft zadan6: Posloupnost 1. vyjmenov6,nim prvkri, napiiklad: {1;3;5; .. .} 2. vzorcem pro n-ty dlen, napiiklad: {2n}fl t : 2;4;6; . . . 3 . r e k u r e n t n d : o r " 1 1 : 2 Q , nI 1 , a t : I ; a z - 2 a t * 1 : 3 , a t d . 4. graficky: mnoZina izolovanjrch bodri - viz funkce Vlastnosti Piiklad: ( n - l - -1} ) rostouci? Je{ )n.:r I n Piedpoklad: an*!-an)0 n|_l nl2 rL nlL -1 > 0 * neni rostouci fie klesajici) - rozdil dvou sousednich dlenri je konstantni posloupnost Aritrnetick6 dislo c,p1r - e,y,: d. Oznaduje se d a nazyv{ se diference. Napiiklad: 2;4;. . .;2n - podil dvou sousednich dlenri je konstantni posloupnost Geometrick6 a'*1 q. Ozna(uje se q a nazyv| se kvocient. dislo Q'n
Ir{apiiklad: 2; 4; 8; . . . ;2n Piiklad: Necht v aritmetick6 posloupnosti plati (viz tabulka): a 2 O: a t I l 9 d : 2 2 a 8 : - 2 ; a g : 0 ; s 2 O: ? ; 20, d : c l g- a 8 : 2 s2o: ,@t+a2o) as:at*8d s z o: 6 0 aI:ag-8d:-16
nekonednou
iadu: at I az + "' + an :
l,,en. - m5 soudet, nebo divergentni
NekonednS iada mriZe byt konvergentni - nem6 soudet. Radu, jejiZ dleny tvoii prvky geometrick6 posloupnosti, nazyvilme georretrickou iadou. Tato iada je konvergentni pro lql < 1 a jeji soudet s : -a r - q oo
oo
\ - - - - r l r - 1 -:- -: ** ) " :- ?: \ 1. Nechf je dan6 iada i, L2L2n'n:l
1 1 + ^ : + : + t4-T"'
n:l
I konvergentni
s:
-3
;
1-
:
I^
L
2
2. Reiterovnici:1 - I + + -'l * .. : --q: r*70 r x;z rr Levou stranu rovnice tvoii
nekonedn6 geometrick6 iada, kter6, m6 soudet, 3 . r
pokud je spln6n5,podminka konvergence lql < 1. Vidime, Ze a1 - 1, e: Podminka: l-ql
l " l . R a d a j e k o n v e r g e n t n ip r o k a z d , 6
< 1+3<
.1+:
I rl l"l -3) u (3; oo). Potom soudet, : JL: r € (-oo; r-q
-- -:-. rt3
-+ ,+: &
Vr5time se k rovnic i,
'
B
-
3*n r*10 Po irprav6 dostaneme i 12 + 2r - 24 : 0; r + - 10
@-a)@f6):s trL:4,
12:
-6
i OUa koieny vyhovuji podmince pro konvergenci iady. Redeni: { - 6 ; a } "..',' -,.***
2003 SestaviliRNDr.A. Sivo5ovd,S. Michalovidovd, Lektor:RNDr.M. Maxian,pieloZilKarelKuna. Fragment,Humpolecke1503,Havlidk0vBrod, Vydalonakladatelstvi jako svou825.publikaci. 1. vyd6nf,2003. Priroda,s. r. o., CeskevydAnf@ Fragment,2003 @ Vydavatefstvo SazbaR&Dprint,VytisklDecibelproduction,s.r.o. V5echna preva vyhrazena. Zadna ddsi t6to publikace nesmi b:it roz5ifovenabez pisemn6hosouhlasumajitelitpr6v.
I
i,J.
, Kontaktnie Kd cENA,{9,00 eE2ruA e-mail:frac@'J--_-lt.cz
-,--tivai
.:'
B A R V I a& N o v o T [ J Vr n o l s r o P E 3 8 0 6 e / 0 8 3 6 0, s 6 k 5 DalSistrur 2 5 0 8 0 S - 1 9 f i 2 0 1 0 6 0 2
42584 gramatika, 'fzobobzT4b 3/10 p i e h l e d S t r u i n f A l g e b r a sk6 gramat Fyzika,Ge
UO L/Pilrodn i vddv/[tfaternatika
couzrtika,
-**---".*-*,
i
i *!
FI?€IVENT rsBN 80-7200-836-6
,illJli
