1
1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), a ¯ = (a1 , a2 , ..., an ). Čísla a1 , a2 , ..., an se nazývají složky vektoru a ¯. Množina Vn všech aritmetických vektorů a ¯= (a1 , a2 , ..., an ) se nazývá aritmetický vektorový prostor. Vektor, jehož všechny složky jsou rovny nule, se nazývá nulový vektor (¯ o = (0, 0, ..., 0)). Operace s vektory Dva n-složkové vektory jsou si rovny, rovnají-li se jejich odpovídající složky. Sčítání aritmetických vektorů: dva (či více) vektory o stejném počtu složek sečteme tak, že sečteme odpovídající slož Násobení vektoru reálným číslem: každou
2
složku vynásobíme tímto reálným číslem: k·a ¯ = k(a1 , a2 , ..., an ) = (ka1 , ka2 , ..., kan ). Vlastnosti operací s vektory Platí: (1) (2) (3) (4) (5)
a ¯, ¯b, c¯ - vektory, k, l - čísla a ¯ + ¯b = ¯b + a ¯, (¯ a + ¯b) + c¯ = a ¯ + (¯b + c¯), k(¯ a + ¯b) = k¯ a + k¯b, (k + l)¯ a = k¯ a + l¯ a, k(l¯ a) = (kl)¯ a.
Lineární kombinace Lineární kombinací vektorů a ¯1 , ..., a ¯p je vektor k1 a ¯1 + ... + kp a ¯p , (k1 , ..., kp ∈ R ). Čísla k1 , ..., kp jsou koeficienty lineární kombinace. Pokud jsou všechny koeficienty lineární kombinace nulové, je výsledkem lineární kombinace libovolných vektorů nulový vektor: taková lineární kombinace se nazývá triviální, každá jiná se nazývá netriviální lin. kombinace.
3
Lineární závislost a nezávislost vektorů, báze, dimenze prostoru Skupina vektorů se nazývá lineárně závislá (vektory se nazývají lineárně závislé), jestliže aspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé. Jeden vektor (skupina tvořená pouze jedním vektorem) je lineárně závislý, právě když je nulový. Platí: Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineárně závislá. Skupina vektorů se nazývá báze prostoru Vn jestliže je lineárně nezávislá a každý vektor z Vn je její lineární kombinací. Počet vektorů v bázi se nazývá dimenze (hodnost) prostoru Vn . Platí: Skupina vektorů je báze Vn , je-li lineárně nezávislá a obsahuje právě n vektorů. Matice Matice typu m × n je schéma m × n prvků (reálných čísel) uspořádaných do m řádků a
4
n sloupců.
a11 a A = 21 ... am1
a12 a22 ... am2
... a1n ... a2n , ... ... amn
stručně zapisujeme A = (aij )m×n nebo jen A = (aij ). Matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule, se nazývá nulová matice. Matice typu n × n se nazývá čtvercová (řádu n). Prvky a11 , a22 , a33 ... se nazývají diagonální prvky, tvoří tzv. diagonálu matice. Čtvercová matice, která má na diagonále jedničky a všude jinde nuly, se nazývá jednotková; budeme ji značit J, případně s vyznačením řádu, např. J3×3 . Matice, která má pod diagonálou všechny prvky rovny nule a nemá víc řádků než sloupců, se nazývá trojúhelníková. Zaměníme-li v matici A řádky za sloupce, dostaneme tzv. matici transponovanou k matici A
5
(ozn. AT ). (Matice A a AT jsou navzájem transponované.) Hodnost matice Hodnost matice je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice A budeme značit h(A) nebo jen h. Platí: Hodnost nulové matice je 0. Počet lineárně nezávislých řádků matice je roven počtu jejích lineárně nezávislých sloupců, neboli h(A) = h(AT ). Z toho plyne, že pro hodnost h matice typu m × n platí: h ≤min{m, n}. Výpočet hodnosti matice Řekneme, že matice je odstupňovaná, má-li v prvním řádku aspoň jeden nenulový prvek a každý další řádek má zleva aspoň o jednu nulu víc než řádek předchozí. Platí: Matice, která má na diagonále nenulová čísla, je odstupňovaná, právě když je trojúhelníková. Platí: Hodnost odstupňované matice je rovna počtu jejích nenulových řádků (nenulový řádek je řádek obsahující aspoň jeden nenulový prvek).
6
Platí: Hodnost trojúhelníkové matice, která má na diagonále nenulová čísla, je rovna počtu jejích řádků. Úpravy, které nemění hodnost matice: (1) záměna pořadí řádků, (2) vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem, (3) přičtení násobku řádku k jinému řádku, (4) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních. Tytéž úpravy je možno provádět na sloupcích matice. Platí: Mějme p aritmetických vektorů. Tyto vektory jsou lineárně nezávislé, právě když hodnost matice tvořené těmito vektory jakožto řádky (nebo sloupci) je h = p. Vektory jsou lineárně závislé, právě když h < p. Platí: Je-li počet vektorů větší než počet složek každého z vektorů, jsou tyto vektory lineárně závislé.
