O řešení diferenční rovnice y(n+2)−1, 25y(n+1)+0, 78125y(n) = x(n + 2) − x(n) Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. a Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. Abstrakt V příspěvku je řešena rovnice y(n + 2) − 1, 25y(n + 1) + 0, 78125y(n) = x(n + 2) − x(n) pomocí dvou různých metod - jednak metodou transformace Z a jednak metodou konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Získané výsledky jsou vzájemně porovnávány. Při výpočtech předpokládáme, že posloupnost {x(n)} je posloupností charakterizující jednotkový impuls, tj. x(n) = δ(n), kde δ(0) = 1 a δ(n) = 0 pro n 6= 0.
1
Úvod
V tomto příspěvku budeme analyzovat dva způsoby řešení diferenční rovnice y(n + 2) − 1, 25y(n + 1) + 0, 78125y(n) = x(n + 2) − x(n).
(1)
Řešení rovnice (1) bude nalezeno pomocí transformace Z a dále užitím teoretické metody konstrukce řešení pomocí součtu vhodného řešení odpovídající homogenní rovnice a některého partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Tato diferenční rovnice (1) může popisovat vlastnosti lineárního časově invariantního (Linear Time Invariant–LTI) diskrétního systému 2.řádu, který s uvedenými koeficienty má kmitočtové vlastnosti číslicového filtru IIR typu pásmové zádrže. Číslicový filtr je získán po kvantování a převodu diskrétních signálů na číslicové signály pomocí vhodného kódování. Diferenční rovnice tvaru (1) mají velký význam při implementaci LTI diskrétních systémů v mikroprocesorech a signálových procesorech zvláště s aritmetikou s pevnou řádovou čárkou.
1
2
Některé komplexní vztahy
Při obou způsobech řešení budeme využívat některé vlastnosti kořenů kvadratické rovnice z 2 − 1, 25z + 0, 78125 = 0.
(2)
Rovnice (2) má komplexně sdružené kořeny z1,2 , které budeme též značit jako p1,2 , určené vzorcem z1,2 = p1,2 =
1, 25 ±
q
1, 25 ± 1, 252 − 4 · 0, 78125 = q 2
1, 25 ±
q
1, 5625 − 3, 125 = 2
−1, 5625 1, 25 ± j · 1, 25 = = 0, 625 ± j0, 625. (3) 2 2
Platí tedy p1 = 0, 625 + j0, 625, p2 = 0, 625 − j0, 625. Při úpravách budeme užívat tyto vztahy: p2 − p1 = −2j · 0, 625 = −1, 25j, p1 − p2 = 2j · 0, 625 = 1, 25j, ρ = |p1 | = |p2 | =
q
0, 6252
+
0, 6252
q
2 · 0, 390625 =
q
2 · 0, 6252 =
=
q
. 0, 78125 = 0, 883883476,
p1 · p2 = 0, 6252 + 0, 6252 = 2 · 0, 6252 = 0, 78125 = ρ2 , p1 + p2 = 2 · 0, 625 = 1, 25.
(4) (5)
V dalším textu předpokládáme, že posloupnost {x(n)} je posloupností, charakterizující jednotkový impuls, tedy, že x(n) = δ(n), kde δ(0) = 1 a δ(n) = 0 pro n 6= 0. V takovém případě platí x(0) = δ(0) = 1, x(1) = δ(1) = 0.
3
Řešení metodou transformace Z
Připomeňme, že transformací Z dané posloupnosti {f (n)} nazýváme funkci F (z) =
∞ X f (n) n=0
2
zn
,
kde z ∈ C, za předpokladu, že nekonečná řada je konvergentní pro některé z 6= 0. Označme transformaci Z hledané posloupnosti {y(n)} jako funkci Y (z), tj. Z{y(n)} = Y (z) a transformaci Z posloupnosti {x(n)} jako funkci X(z). Vzhledem k výše uvedené poznámce o vlastnostech posloupnosti {x(n)} snadno přímo z definice určíme, že Z{x(n)} = X(z) = 1. Některé části dalšího výkladu jsou převzaty z knihy [2] nebo jsou úvahami zde provedenými motivovány. Provedeme transformaci Z rovnice (1). Přitom využijeme známý vztah pro translaci vlevo Z{f (n + k)} = z
k
k−1 X
!
f (m) , F (z) − m m=0 z
kde k > 0 je pevné celé číslo. Podle tohoto vzorce je 2
Z{y(n + 2)} = z Y (z) − z
2
y(0) y(1) + 1 z0 z
Z{y(n + 1)} = zY (z) − z
!
= z 2 Y (z) − z 2 y(0) − zy(1),
y(0) = zY (z) − zy(0) z0
a 2
Z{x(n + 2)} = z X(z) − z
2
x(0) x(1) + 1 z0 z
!
= z 2 X(z) − z 2 .
Po transformaci Z rovnice (1) dostáváme z 2 Y (z) − z 2 y(0) − zy(1) − 1, 25zY (z) + 1, 25zy(0) + 0, 78125Y (z) = z 2 X(z) − z 2 − X(z), odkud po úpravě Y (z) =
z2 − 1 X(z) + z 2 − 1, 25z + 0, 78125 h i 1 2 2 (z − 1, 25z)y(0) + zy(1) − z . z 2 − 1, 25z + 0, 78125
Přenosová funkce H(z) je rovna z2 − 1 A2 (z) H(z) = 2 = , z − 1, 25z + 0, 78125 B2 (z) kde A2 (z) = z 2 − 1, B2 (z) = z 2 − 1, 25z + 0, 78125, 3
a platí pro ni (viz (2), (3)) H(z) =
(z − 1)(z + 1) = (z − 0, 625 − j0, 625)(z − 0, 625 + j0, 625) (z − 1)(z + 1) . (6) (z − p1 )(z − p2 )
3.1
Impulsní charakteristika
Impulsní charakteristika je definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za předpokladu, že systém byl pro n < 0 v klidu, tj. při nulové přirozené odezvě. Přenosová funkce H(z) a impulsní charakteristika h(n) tvoří pár transformace Z, tj. Z{h(n)} = H(z), Z −1 {H(z)} = h(n). Impulsní charakteristiku můžeme vypočítat pomocí vztahu 1 I H(z)z n−1 dz, h(n) = 2πj C
(7)
kde C je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka, obsahující uvnitř oblasti, kterou ohraničuje všechny konečné singulární body integrandu. Výpočet je nutné rozdělit na dvě části, a to na výpočet pro n = 0, kdy existují tři singulární body integrandu uvnitř křivky C a na výpočet pro n ≥ 1, kdy existují dva singulární body integrandu uvnitř křivky C. Před výpočtem ještě připomeňme reziduovou větu, která umožňuje vypočítat integrály tvaru I g(z) dz, `
kde ` je jednoduchá, uzavřená, kladně orientovaná a po částech hladká křivka a g(z) je komplexní funkce, holomorfní uvnitř oblasti D ohraničené křivkou ` a na hranici oblasti D vyjma konečného počtu singulárních bodů z1 , z2 , . . . , zs , ležících uvnitř oblasti D: I `
g(z) dz = 2πj rez g(z)|z=z1 + rez g(z)|z=z2 + · · · + rez g(z)|z=zs .
V tomto vzorci je symbolem “rez” značeno tzv. reziduum funkce. V případě, že je singulární bod z = z0 pólem prvního řádu funkce g(z), je výpočet jejího rezidua v tomto bodě snadný. Lze užít například vztah, který je použit v dalších výpočtech, rez g(z)|z=z0 = z→z lim (z − z0 )g(z). 0
4
(8)
3.1.1
Výpočet pro n = 0
V tomto případě má integrand tři singulární body z1 = 0, z2 = p1 a z3 = p2 . Proto podle (6), (7), reziduové věty a vztahu (8) dostáváme h(0) =
1 I H(z)z −1 dz = 2πj C H(z) H(z) H(z) + rez + rez = rez z z=0 z z=p1 z z=p2
z(z − 1)(z + 1) (z − p1 )(z − 1)(z + 1) + lim + z→p1 z→0 (z − p1 )(z − p2 )z (z − p1 )(z − p2 )z (z − p2 )(z − 1)(z + 1) −1 p21 − 1 p22 − 1 lim = + + = z→p2 (z − p1 )(z − p2 )z p1 p2 p1 (p1 − p2 ) p2 (p2 − p1 ) −(p1 − p2 ) + p2 (p21 − 1) − p1 (p22 − 1) = p1 p2 (p1 − p2 ) p1 p2 (p1 − p2 ) = 1. p1 p2 (p1 − p2 ) lim
3.1.2
Výpočet pro n ≥ 1
V tomto případě má integrand jen dva singulární body z1 = p1 a z2 = p2 . Podle (6), (7), reziduové věty a vztahu (8) dostáváme h(n) =
1 I H(z)z n−1 dz = 2πj C
rez H(z)z n−1 lim z→p
1
z=p1 n−1
+ rez H(z)z n−1
z=p2
=
(z − p2 )(z − 1)(z + 1)z n−1 (z − p1 )(z − 1)(z + 1)z + z→p lim = 2 (z − p1 )(z − p2 ) (z − p1 )(z − p2 ) (p1 − 1)(p1 + 1)pn−1 (p2 − 1)(p2 + 1)pn−1 1 2 + = p1 − p2 p2 − p1 (p21 − 1)p1n−1 (p22 − 1)p2n−1 + . p1 − p2 p2 − p1
Dále budeme upravovat výraz (p21 − 1)p1n−1 (p22 − 1)p2n−1 h(n) = + . p1 − p2 p2 − p1 Vyjádřeme komplexní čísla p1 , p2 v exponenciálním tvaru: p1 = 0, 625 + j0, 625 = ρ e(πj)/4 , p2 = 0, 625 − j0, 625 = ρ e(−πj)/4 , 5
(9)
. kde dle (4) ρ = 0, 883883476. Pak podle Moivreovy věty platí !
pk1 = ρk e(kπj)/4
= ρk
pk2 = ρk e−(kπj)/4 = ρk
kπ kπ cos + j sin , 4 4 ! kπ kπ − j sin . cos 4 4
Upravme ještě výraz 1 1 j = = p2 − p1 −1, 25j 1, 25 a
1 j =− . p1 − p2 1, 25
Potom úprava výrazu (9) dává (p22 − 1)pn−1 (p21 − 1)p1n−1 2 h(n) = + = p2 − p1 p1 − p2 j n+1 n−1 p2 − p2n−1 − pn+1 + p = 1 1 1, 25 j n+1 −j(n+1)π/4 ρ e − ρn−1 e−j(n−1)π/4 − ρn+1 ej(n+1)π/4 + ρn−1 ej(n−1)π/4 . 1, 25
6
Rozepsáním (dle Moivreovy věty) dostáváme h(n) = i jρn jρn h −j(n+1)π/4 · ρe − ρ−1 e−j(n−1)π/4 − ρ ej(n+1)π/4 + ρ−1 ej(n−1)π/4 = 1, 25 1, 25 " π π 1 π π ρ cos(n + 1) − j sin(n + 1) − cos(n − 1) − j sin(n − 1) − 4 4 ρ 4 4 # π π π 1 π = ρ cos(n + 1) + j sin(n + 1) + cos(n − 1) + j sin(n − 1) 4 4 ρ 4 4 " # jρn π 1 π −2jρ sin(n + 1) + 2j sin(n − 1) = 1, 25 4 ρ 4 " # 2ρn π 1 π ρ sin(n + 1) − sin(n − 1) = 1, 25 4 ρ 4 " # nπ π nπ π 1 nπ π nπ π 2ρn ρ sin cos + cos sin − sin cos − cos sin = 1, 25 4 4 4 4 ρ 4 4 4 4 √ n" ! ! # 1 nπ 1 nπ 2ρ ρ− sin + ρ+ cos = 1, 25 ρ 4 ρ 4 √ nv !2 !2 u 2ρ u 1 1 t ρ− + ρ+ · 1, 25 ρ ρ
1 1 ρ − ρ + nπ nπ ρ ρ v u !2 !2 sin 4 + v !2 !2 cos 4 . u u u 1 1 1 t t ρ− 1 ρ− + ρ+ + ρ+ ρ
ρ
ρ
ρ
Najdeme číselná vyjádření ρ−
1 ρ
v !2 u u 1 t ρ− +
ρ
−0, 247487395
ρ+
!2 = √0, 2474873952 + 2, 0152543292 = 1
ρ −0, 247487373 √ = −0, 121891301, 4, 1225
ρ+
1 ρ
v !2 u u 1 t ρ− +
ρ
2, 015254329
ρ+
!2 = √0, 2474873952 + 2, 0152543292 = 0, 992543454. 1
ρ 7
a
√ v √ q !2 !2 u 1 2u 1 2 t ρ− + ρ+ = 4, 1225 = 2, 297128648. 1, 25 ρ ρ 1, 25
Potom nπ nπ h(n) = 2, 297128648·0, 883883476 · −0, 121891301 sin + 0, 992543454 cos . 4 4 n
Najdeme úhel α ∈ (0, π/2) takový, aby sin α = 0, 121891301, cos α = 0, 992543454. Tomuto požadavku vyhovuje úhel α = 0, 122195181 [rad]. Proto s použitím známého součtového vzorce cos x cos y − sin x sin y = cos(x + y) bude nπ nπ + cos α cos = h(n) = 2, 297128648 · 0, 883883476 − sin α sin 4 4 nπ n 2, 297128648 · 0, 883883476 cos +α . 4 Pro n ≥ 1 je tedy impulsní charakteristika dána vztahem nπ h(n) = 2, 297128648 · 0, 883883476n cos + 0, 122195181 . 4 Uveďme několik prvních členů posloupnosti impulsní charakteristiky: n
h(0) = 1, π 2, 297128648 · 0, 88388347 cos + 0, 122195181 = 1, 249999977, 4 π 2 2, 297128648 · 0, 88388347 cos + 0, 122195181 = −0, 218750015, 2 3π 3 + 0, 122195181 = −1, 249999986, 2, 297128648 · 0, 88388347 cos 4 2, 297128648 · 0, 883883474 cos (π + 0, 122195181) = −1, 391601523, 5π 2, 297128648 · 0, 883883475 cos + 0, 122195181 = −0, 762939416, 4 3π 6 2, 297128648 · 0, 88388347 cos + 0, 122195181 = 0, 13351441, 2 7π 7 2, 297128648 · 0, 88388347 cos + 0, 122195181 = 0, 762939421 4
h(1) = h(2) = h(3) = h(4) = h(5) = h(6) = h(7) =
8
a (po zaokrouhlení na pět desetinných míst) {h(n)} = {1; 1, 25000; −0, 21875; −1, 25000; − 1, 39160; −0, 76294; 0, 13351; 0, 76294; . . . }.
4
Řešení metodou teorie diferenčních rovnic
Při řešení rovnice (1) užijeme postup, popsaný například v knize [1]. Tento postup stanoví řešení nehomogenní diferenční rovnice jako součet obecného řešení přidružené homogenní rovnice a některého (partikulárního) řešení nehomogenní rovnice. Jde-li nám o konkrétní řešení, určené počátečními podmínkami, pak pomocí nich stanovíme konkrétní volbu libovolných konstant ve výše citovaném součtu.
4.1
Stanovení počátečních podmínek
Najdeme impulsní charakteristiku jako některé partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice (1). Protože se jedná o některé konkrétní řešení této rovnice, je pro jeho vyčlenění z množiny všech řešení nutné stanovit odpovídající počáteční podmínky. Protože je impulsní charakteristika definována jako vynucená odezva systému na vstupní signál ve tvaru jednotkového impulsu za podmínky, že systém byl pro n < 0 v klidu (kauzální systém), tj. při nulové přirozené odezvě, je zřejmé, že platí y(n) = 0,
n = −1, −2, −3, . . . .
Rovnice (1) je diferenční rovnicí druhého řádu. V souladu s teorií lineárních diferenčních rovnic je každé partikulární řešení jednoznačně určeno dvěma počátečními podmínkami. Postup vedoucí ke zjištění dvojice počátečních hodnot y(0) a y(1) je následující. Dosazením n = −2 do rovnice (1) dostáváme y(0) − 1, 25y(−1) + 0, 78125y(−2) = x(0) − x(−2).
(10)
Protože jsou známy hodnoty y(−1) = 0, y(−2) = 0, x(−2) = 0 a x(0) = 1 dostáváme ze vztahu (10) hodnotu y(0) = 1. Dále dosazením n = −1 do rovnice (1) dostáváme y(1) − 1, 25y(0) + 0, 78125y(−1) = x(1) − x(−1).
(11)
Protože jsou známy hodnoty y(−1) = 0, x(1) = 0, x(−1) = 0 a právě určená hodnota y(0) = 1, nalézáme ze vztahu (11) hodnotu y(1) = 1, 25y(0) = 1, 25. Dvě počáteční podmínky tedy jsou y(0) = 1, y(1) = 1, 25. 9
(12)
4.2
Obecné řešení příslušné homogenní rovnice
Stanovme obecné řešení homogenní rovnice odpovídající rovnici (1), tj. rovnice y(n + 2) − 1, 25y(n + 1) + 0, 78125y(n) = 0.
(13)
Jak již bylo uvedeno výše, popis užité metody lze nalézt, například v knize [1]. Nejprve je nutné vyřešit odpovídající charakteristickou rovnici λ2 − 1, 25λ + 0, 78125 = 0. Její kořeny jsou λ1 = p1 = 0, 625 + j0, 625, λ2 = p2 = 0, 625 − j0, 625. Pak má homogenní rovnice (13) dvojici lineárně nezávislých řešení y1 (n) = pn1 , y2 (n) = pn2 .
(14)
Obecné řešení homogenní rovnice je y(n) = C1 y1 (n) + C2 y2 (n) = C1 pn1 + C2 pn2 , kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty a n = 0, 1, 2, . . . .
4.3
Partikulární řešení nehomogenní rovnice
Nyní najděme partikulární řešení výchozí rovnice (1), tj. rovnice y(n + 2) − 1, 25y(n + 1) + 0, 78125y(n) = g(n), kde jsme označili g(n) = x(n + 2) − x(n). Toto řešení budeme hledat metodou variace konstant (přitom použijeme některé vztahy uvedené v knize [1, str.76, 77]). Partikulární řešení yp (n) rovnice (1) hledáme ve tvaru yp (n) = u1 (n)y1 (n) + u2 (n)y2 (n), kde y1 (n) a y2 (n) je dvojice lineárně nezávislých řešení (14) příslušné homogenní rovnice (13), tj. yp (n) = u1 (n)pn1 + u2 (n)pn2
10
(15)
a u1 (n), u2 (n) jsou neznámé funkce, pro které platí (viz vzorce (2.4.21) a (2.4.22) citované knihy) u1 (n) = −
n−1 X r=0
u2 (n) =
n−1 X r=0
g(r)y2 (r + 1) , W (r + 1)
g(r)y1 (r + 1) . W (r + 1)
(16)
(17)
Výraz W (r + 1) je determinantem (nazývaný “Casoratián”) sestaveným z lir+1 neárně nezávislých řešení y1 (r + 1) = pr+1 1 , y2 (r + 1) = p2 , tj. pr+1 1 W (r + 1) = r+2 p1
4.3.1
pr+1 r+1 2 = pr+1 1 p2 (p2 − p1 ). pr+2 2
Nalezení posloupností funkcí u1 (n), u2 (n)
Nyní se zaměříme na nalezení posloupností u1 (n) a u2 (n), definovaných vzorci (16) a (17). Předem uveďme, že v teorii diferenčních rovnic platí tato úmluva (která často umožňuje zapisovat vzorce obsahující součty nebo součiny v pohodlném tvaru). Máme-li součet nebo součin s2 X
s2 Y
as ,
as ,
s=s1
s=s1
kde {as } je daná posloupnost a s2 < s1 (horní index je menší než dolní), potom deklarujeme, že s2 X
s2 Y
as = 0,
s=s1
as = 1.
s=s1
Poznamenejme, že posloupnost {ap } v této úmluvě nehraje žádnou roli a nebylo zapotřebí ji vůbec zapisovat. Vraťme se k uvažované rovnici. Je-li n = 0, pak podle přijaté úmluvy je n−1 X r=0
··· =
−1 X
· · · = 0,
r=0
a proto vzorce (16), (17) vedou k hodnotám u1 (0) = u2 (0) = 0. Snadno určíme (dle definice jednotkového impulsu), že g(0) = −1 a g(r) = 0, je-li r ≥ 1. Hodnota Casoratiánu pro r = 0 je W (1) = p1 p2 (p2 − p1 ). 11
Potom je pro každé n ≥ 1 u1 (n) = − a u2 (n) = 4.3.2
p2 1 g(0)y2 (1) = = W (1) p1 p2 (p2 − p1 ) p1 (p2 − p1 )
g(0)y1 (1) p1 1 =− =− . W (1) p1 p2 (p2 − p1 ) p2 (p2 − p1 )
Tvar partikulárního řešení
Dosazením za u1 (n) a u2 (n) do (15) dostáváme partikulární řešení yp (n) =
0
4.3.3
pro n = 0,
pn2 pn−1 − pn−1 pn1 1 − =− 2 pro n ≥ 1. p1 (p2 − p1 ) p2 (p2 − p1 ) p2 − p1
Obecné řešení nehomogenní rovnice (1)
Obecné řešení rovnice (1) má tvar y(n) = C1 pn1 + C2 pn2 + yp (n),
(18)
kde yp (n) je partikulární řešení nalezené v předchozí části a C1 , C2 jsou libovolné konstanty. 4.3.4
Řešení nehomogenní rovnice (1) s počátečními podmínkami (12)
Na závěr nalezneme v množině všech řešení (18) to, které vyhovuje počátečním podmínkám (12). Pro n = 0 dostáváme y(0) = C1 p01 + C2 p02 + yp (0) = C1 + C2 = 1. Pro n = 1 dostáváme y(1) = C1 p11 + C2 p12 + yp (1) = C1 p1 + C2 p2 −
p02 − p01 = C1 p1 + C2 p2 = 1, 25. p2 − p1
Konstanty C1 a C2 určíme jako řešení systému dvou rovnic o dvou neznámých: C1 + C2 = 1, C1 p1 + C2 p2 = 1, 25. Jeho řešením dostáváme C1 (p1 − p2 ) = 1, 25 − p2 , C2 (p2 − p1 ) = 1, 25 − p1 , 12
odkud s užitím (5) C1 =
1, 25 − p2 p1 = p1 − p2 p1 − p2
C2 =
p2 1, 25 − p1 = . p2 − p1 p2 − p1
a
Hledané řešení má tvar y(n) = C1 pn1 + C2 pn2 + yp (n) =
pn+1 pn+1 1 + 2 + yp (n). p1 − p2 p2 − p1
(19)
Ze vztahu (19) snadno nalézáme, že y(0) = C1 p01 + C2 p02 + yp (0) =
p11 p12 + =1 p1 − p2 p2 − p1
a pro n ≥ 1 y(n) = C1 pn1 + C2 pn2 + yp (n) =
pn+1 pn+1 pn−1 − pn−1 1 1 + 2 − 2 . p1 − p2 p2 − p1 p2 − p1
Impulsní charakteristika je nalezena. 4.3.5
Srovnání výsledků
Porovnáním se vztahem (9) se přesvědčujeme, že opravdu platí {h(n)} ≡ {y(n)}, protože h(0) = y(0) = 1 a pro n ≥ 1 (p21 − 1)pn−1 (p22 − 1)p2n−1 1 + = h(n) = p1 − p2 p2 − p1 pn+1 pn+1 pn−1 − p1n−1 1 + 2 − 2 = y(n). p1 − p2 p2 − p1 p2 − p1
5
Závěr
Při praktické implementaci algoritmů diskrétních systémů v mikroprocesorech se z hlediska malé citlivosti na kvantovací vlivy LTI systémy vyššího řádu realizují jako kaskádní nebo paralelní spojení dílčích sekcí 1. a 2. řádu [2]. Pro 13
testování správnosti algoritmů například v jazyce signálového procesoru (asembleru) je vhodné znát impulsní charakteristiku a tu lze výhodně vyřešit například pomocí transformace Z. Ovšem při stálém zvyšování rychlosti zpracování (zvyšování kmitočtu hodinových impulsů) a využívání stále více paralelismu v architektuře signálových procesorů (architektura typu VLIW (Very Long Instruction Word) a princip SIMD (Single Instruction Multiple Data)) nám nestačí pouze znalost dílčích charakteristik diskrétního systému, ale potřebujeme znát úplné řešení diferenčních rovnic, které vlastně představují rekurzivní algoritmus pro výpočet. To vede zvláště k tomu, abychom byli schopni ošetřit přechodné děje vznikající při náhlých časových změnách vstupních signálů.
Poděkování Tento článek byl připraven v rámci řešení grantových projektů GAČR No 102/04/1097 a GAČR No 201/04/0580.
Reference [1] Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Second Edition, Springer, 1999. [2] Vích, R., Smékal, Z., Číslicové filtry, Academia, 2000.
Autoři Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc., ústav matematiky, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 54114 3155, email:
[email protected] Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc., ústav telekomunikací, fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Vysoké učení technické v Brně, tel.: 54114 9171, email:
[email protected]
14
