Z´ akladn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti Diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti 1. Pojem N´ ahodn´ a veliˇcina s Binomick´ ym rozdˇ elen´ım Bi(n, p), kde n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo, p je re´aln´e ˇc´ıslo, 0 < p < 1 m´ a pravdˇepodobnostn´ı funkci n x p(x) = p (1 − p)n−x , x = 0, 1, . . ., n x
ˇ ıseln´e charakteristiky binomick´eho rozdˇelen´ı jsou 2. Vlastnosti C´ E(X) = np D(X) = np(1 − p) 1 − 2p A3 (X) = p np(1 − p) (n + 1)p − 1 ≤ x ˆ ≤ (n + 1)p. Toto rozdˇelen´ı m´ a n´ ahodn´ a veliˇcina X ud´avaj´ıc´ı poˇcet nastoupen´ı sledovan´eho n´ahodn´eho jevu v posloupnosti n vz´ajemnˇe nez´ avisl´ ych pokus˚ u. Jedn´a se tak´e o popis tzv. n´ ahodn´ eho v´ ybˇ eru s vracen´ım, kdy napˇr. postupnˇe vyb´ır´ ame z dod´ avky n v´ yrobk˚ u ke kontrole, X je poˇcet zmetk˚ u mezi nimi, p je pravdˇepodobnost v´ yroby zmetku, a kaˇzd´ y vybran´ y v´ yrobek vrac´ıme zpˇet do dod´avky (to znamen´a, ˇze m˚ uˇze b´ yt znovu kontrolov´ an). 3. Pozn´ amka Na Obr´ azku 1 jsou uvedeny pˇr´ıklady pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı binomick´eho rozdˇelen´ı. Pro p = 0.5 je binomick´e rozdˇelen´ı symetrick´e a pro p > 0.5, resp. p < 0.5, je z´apornˇe, resp. kladnˇe, asymetrick´e. p = 0.3 p = 0.7 p = 0.5
Bi(10,p)
p(x) 0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Obr´azek 1: Grafy pravdˇepodobnostn´ı funkce binomick´eho rozdˇelen´ı pro n = 10 a r˚ uzn´e hodnoty parametru p. Pˇreruˇsovan´a ˇc´ara je pouˇzita pouze pro odliˇsen´ı jednotliv´ ych pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı. 4. Pojem Rozdˇelen´ı Bi(1, p), tedy pro n = 1, se naz´ yv´a alternativn´ı rozdˇ elen´ı a znaˇc´ı se A(p). 5. Vlastnosti N´ ahodn´ a veliˇcina X = X1 + · · · + Xk , kde n´ahodn´e veliˇciny Xj , j = 1, . . ., k jsou nez´avisl´e a maj´ı binomick´ a rozdˇelen´ı Bi(nj , p) se stejn´ ym parametrem p, m´a binomick´e rozdˇelen´ı Bi(n, p), kde n = n1 + . . . + nk . Speci´alnˇe souˇcet n nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇcin s alternativn´ım rozdˇelen´ım A(p) m´a binomick´e rozdˇelen´ı Bi(n, p). Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
6. Pˇ r´ıklad V dod´ avce 50 v´ yrobk˚ u je 5 zmetk˚ u. Z dod´avky jsou n´ahodnˇe vybr´any 3 v´ yrobky. Poˇcet zmetk˚ u mezi vybran´ ymi v´ yrobky je n´ ahodn´a veliˇcina X. Urˇcete typ jej´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x), stˇredn´ı hodnotu E(X), rozptyl D(X), smˇerodatnou odchylku σ(X), koeficient ˇsikmosti A3 (X), medi´ an x0.5 , modus x ˆ a P (1 < X ≤ 3). Pˇredpokl´adejte, ˇze kaˇzd´ y vybran´ y v´ yrobek se vr´ at´ı nazpˇet do dod´ avky, takˇze jde o n´ahodn´ y v´ ybˇer s vracen´ım. ˇ sen´ı N´ Reˇ ahodn´ a veliˇcina X m´ a rozdˇelen´ı Bi(n, p), kde n = 3 a p = 5/50 = 0.1. N´ahodn´a veliˇcina X nab´ yv´a hodnot x = 0, 1, 2, 3 a jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce je 3 p(x) = 0.1x · 0.93−x pro x = 0, 1, 2, 3. x Ze vzorc˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst n´ asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky. Stˇredn´ı hodnota E(X) = np = 3 · 0.1 = 0.3, Rozptyl D(X) = p np(1 − p) = √3 · 0.1 · 0.9 = 0.27, Smˇerodatn´ a odchylka σ(X) = D(X) = 0.27 ≈ 0.51962, √ Koeficient ˇsikmosti A3 (X) = √ 1−2p = 1−2·0.1 ≈ 2.7245, 0.27 np(1−p) Medi´an x0.5 = 0, nebot’ F (x) = p(0) = 30 0.10 · 0.93−0 = 0.729 > 0.5 pro x ∈ (0; 1i, Modus x ˆ = 0, nebot’ (n + 1)p − 1 = −0.6 a (n + 1)p = 0.4, Z pravdˇepodobnostn´ı funkce pak lze pˇr´ımo vypoˇc´ıst pravdˇepodobnost. P (1 < X ≤ 3) = p(2) + p(3) = 0.027 + 0.001 = 0.028. 7. Pojem N´ ahodn´ a veliˇcina s Hypergeometrick´ ym rozdˇ elen´ım H(N, M, n), kde N , M a n jsou pˇrirozen´a ˇc´ısla, 1 ≤ n ≤ N , 1 ≤ M ≤ N m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci M N −M p(x) =
x
n−x N n
,
x = max{0, M − N + n}, . . . , min{M, N }.
8. Vlastnosti N´ ahodn´ a veliˇcina s Hypergeometrick´ ym rozdˇelen´ım m´a n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky M , N M M N −n D(X) = n 1− , N N N −1 (M + 1)(n + 1) a−1≤ x ˆ ≤ a, kde a = N +2 E(X) = n
Hypergeometrick´e rozdˇelen´ı popisuje tzv. n´ ahodn´ y v´ ybˇ er bez vracen´ı, kdy napˇr. N je celkov´ y poˇcet v´ yrobk˚ u, M je poˇcet zmetk˚ u mezi tˇemito v´ yrobky a vybereme n´ahodnˇe (bez vracen´ı jednotliv´ ych v´ yrobk˚ u nebo jejich skupin) celkem n v´ yrobk˚ u, mezi nimiˇz je x zmetk˚ u. 9. Pozn´ amka Na Obr´ azku 2 jsou uvedeny pˇr´ıklady pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı hypergeometrick´eho rozdˇelen´ı. 10. Pˇ r´ıklad V dod´ avce 50 v´ yrobk˚ u je 5 zmetk˚ u. Z dod´avky jsou n´ahodnˇe vybr´any 3 v´ yrobky. Poˇcet zmetk˚ u mezi vybran´ ymi v´ yrobky je n´ ahodn´a veliˇcina X. Urˇcete typ jej´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x), stˇredn´ı hodnotu E(X), rozptyl D(X), smˇerodatnou odchylku σ(X), medi´an x0,5 , modus x ˆ a P(1 < X ≤ 3). Pˇredpokl´adejte (na rozd´ıl od ˇreˇsen´eho pˇr´ıkladu 6), ˇze se vybran´ y v´ yrobek nevrac´ı nazpˇet do dod´ avky, takˇze jde o n´ahodn´ y v´ ybˇer bez vracen´ı. ˇ sen´ı N´ Reˇ ahodn´ a veliˇcina X m´ a rozdˇelen´ı H(N, M, n), kde N = 50, M = 5 a n = 3. N´ahodn´a veliˇcina
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
X nab´ yv´a hodnot x = 0, 1, 2, 3 a jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce je 5 45 x 3−x pro x = 0, 1, 2, 3. p(x) = 50 3 Ze vzorc˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst n´ asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky. Stˇredn´ı hodnota E(X) = n M N = 3 · 0.1 = 0.3, . M N −n Rozptyl D(X) = n M N 1− N N −1 = 3 · 0.1 · 0.9 · (47/49) = 0.25898, p . √ . Smˇerodatn´ a odchylka σ(X) = D(X) = 0.25898 = 0.50890, 5
45
( )( ) . x0.5 = 0, nebot’ F (x) = p(0) = 0 503−0 = 0.72398 > 0.5, pro x ∈ (0, 1i (3) . . x ˆ = 0, nebot’ a = (M +1)(n+1) = 0.46154, takˇze a − 1 = −0.53846, N +2
Medi´an Modus
Z pravdˇepodobnostn´ı funkce pak lze pˇr´ımo vypoˇc´ıst pravdˇepodobnost . P (1 < X ≤ 3) = p(2) + p(3) = 0.02296 + 0.00051 = 0.02347. 11. Pojem N´ ahodn´ a veliˇcina s Poissonov´ ym rozdˇ elen´ım Po(λ), kde λ je re´aln´e ˇc´ıslo, λ > 0, m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci λx −λ p(x) = e , x = 0, 1, . . . x! 12. Vlastnosti N´ ahodn´ a veliˇcina s Poissonov´ ym rozdˇelen´ım m´a n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky E(X) D(X)
= λ, = λ, 1 A3 (X) = √ λ λ−1≤ x ˆ ≤λ Poissonovo rozdˇelen´ı se obvykle uˇz´ıv´ a pro vyj´adˇren´ı pravdˇepodobnosti poˇctu nastoupen´ı sledovan´eho jevu v urˇcit´em ˇcasov´em intervalu (poˇcet poruch, nehod, katastrof, zmetk˚ u apod.) s malou pravdˇepodobnost´ı v´ yskytu. p(x) M = 30 M = 50 M = 70
H(100,M ,10) 0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Obr´azek 2: Grafy pravdˇepodobnostn´ı funkce hypergeometrick´eho rozdˇelen´ı pro N = 100, n = 10 a r˚ uzn´e hodnoty M . Pˇreruˇsovan´ a ˇc´ ara je pouˇzita pouze pro odliˇsen´ı jednotliv´ ych pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı. Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
13. Pozn´ amka Na Obr´ azku 3 jsou uvedeny pˇr´ıklady pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı Poissonova rozdˇelen´ı. p(x) λ = 0.9 λ = 2.5 λ=5
Po(λ)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Obr´azek 3: Grafy pravdˇepodobnostn´ı funkce Poissonova rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´e hodnoty λ. Pˇreruˇsovan´a ˇc´ara je pouˇzita pouze pro odliˇsen´ı jednotliv´ ych pravdˇepodobnostn´ıch funkc´ı. 14. Pˇ r´ıklad Statistick´ ym pr˚ uzkumem bylo zjiˇstˇeno, ˇze bˇehem jedn´e minuty navˇst´ıv´ı prodejnu pr˚ umˇernˇe 3 z´akazn´ıci. Najdˇete vhodn´ y typ rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti n´ahodn´e veliˇciny X vyjadˇruj´ıc´ı poˇcet z´akazn´ık˚ u, kteˇr´ı navˇst´ıv´ı prodejnu bˇehem jedn´e minuty. Urˇcete jej´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x), stˇredn´ı poˇcet z´akazn´ık˚ u E(X), rozptyl D(X) a smˇerodatnou odchylku σ(X) poˇctu z´akazn´ık˚ u, koeficient ˇsikmosti A3 (X) a nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı poˇcet z´ akazn´ık˚ u za jednu minutu. Urˇcete d´ale pravdˇepodobnost, ˇze bˇehem jedn´e minuty pˇrijde a) pr´ avˇe 1 z´ akazn´ık, b) aspoˇ n 1 z´akazn´ık, c) medi´an x0.5 poˇctu z´akazn´ık˚ u. ˇ sen´ı Nahrad´ıme stˇredn´ı poˇcet z´ Reˇ akazn´ık˚ u, kteˇr´ı navˇst´ıv´ı prodejnu bˇehem jedn´e minuty, jejich pr˚ umˇern´ ym poˇctem, tj. poloˇz´ıme E(X) = x ¯. Vzhledem k tomu, ˇze nem´ame dalˇs´ı informace o rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti n´ ahodn´e veliˇciny X (napˇr. o rozptylu D(X) a koeficientu ˇsikmosti A3 (X)), pouˇzijeme Poissonovo rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti Po(λ) s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı 3x −3 e , x = 0, 1, . . . x! Ze vzorc˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst n´ asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky. Stˇredn´ı hodnota E(X) = λ = 3, p(x) =
Rozptyl
Koeficient ˇsikmosti
D(X) = λ = 3, p √ . σ(X) = D(X) = 3 = 1.73205, √ √ . A3 (X) = 1/ λ = 1/ 3 = 0.57735,
Modus (nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı poˇcet z´ akazn´ık˚ u)
x ˆ = 2 a 3, nebot’ λ − 1 ≤ x ˆ ≤ λ,
Smˇerodatn´ a odchylka
Z pravdˇepodobnostn´ı funkce pak lze pˇr´ımo vypoˇc´ıst pravdˇepodobnosti 1 . a) P (X = 1) = p(1) = 31! e−3 = 0.14936, 0 . b) P (X ≥ 1) = p(1) + p(2) + . . . = 1 − p(0) = 1 − 30! e−3 = 1 − 0.04979 = 0.95021, . . c) Medi´an je x0.5 = 3, nebot’ p(0) + p(1) + p(2) = 0.42319 < 0.5 a p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0.64723 > 0.5.
Spojit´ a rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti 15. Pojem N´ ahodn´ a veliˇcina s Rovnomˇ ern´ ym rozdˇ elen´ım R(a, b), kde a, b jsou re´aln´a ˇc´ısla, a < b, m´a hustotu ( 1 pro x ∈ ha, bi f (x) = b−a 0 pro x ∈ / ha, bi
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
16. Vlastnosti N´ ahodn´ a veliˇcina s Rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım m´a distribuˇcn´ı funkci pro x ∈ / (−∞, a) 0 F (x) = x−a pro x ∈ ha, bi b−a 1 pro x ∈ / (b, ∞) a n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky E(X)
= x0.5 =
D(X)
=
A3 (X)
=
a+b , 2
(b − 2)2 , 12 0
Rovnomˇern´e rozdˇelen´ı slouˇz´ı pˇredevˇs´ım k simulaci re´aln´ ych proces˚ u nebo numerick´ ym v´ ypoˇct˚ um tzv. metodou Monte Carlo na poˇc´ıtaˇci pomoc´ı gener´ator˚ u tzv. pseudon´ ahodn´ ych ˇ c´ısel. 17. Pozn´ amka Na Obr´ azku 4 jsou grafy hustot pravdˇepodobnosti a na Obr´azku 5 grafy odpov´ıdaj´ıc´ıch distribuˇcn´ıch funkc´ı rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´e hodnoty parametr˚ u aa b. 1
a = 0, b = 1 a = −2, b = 2
0.5
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Obr´azek 4: Grafy hustot rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´e hodnoty parametr˚ u a a b. 1
a = 0, b = 1 a = −2, b = 2 0.5
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Obr´azek 5: Grafy distribuˇcn´ıch funkc´ı rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´e hodnoty parametr˚ u a a b. 18. Pˇ r´ıklad
K pˇreruˇsen´ı optick´eho kabelu v d´elce 500 m m˚ uˇze doj´ıt v libovoln´e vzd´alenosti od jeho
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
poˇc´atku, pˇriˇcemˇz pravdˇepodobnost n´ ahodn´eho jevu, ˇze dojde k pˇreruˇsen´ı v nˇejak´em u ´seku je pˇr´ımo u ´mˇern´a d´elce u ´seku a nez´ avis´ı na jeho poloze. Urˇcete rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti n´ahodn´e veliˇciny X vyjadˇruj´ıc´ı vzd´ alenost m´ısta pˇreruˇsen´ı od poˇc´atku, jej´ı hustotu pravdˇepodobnosti a z´akladn´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky a pravdˇepodobnost, ˇze k pˇreruˇsen´ı kabelu dojde v u ´seku od 300 m do 400 m. ˇ sen´ı N´ Reˇ ahodn´ a veliˇcina X m´ a rozdˇelen´ı R(a, b), kde a = 0 a b=500 s hustotou pravdˇepodobnosti ( 1 pro x ∈ h0, 500i f (x) = 500 0 pro x ∈ / h0, 500i Ze vzorc˚ u m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst n´ asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky. Stˇredn´ı hodnota a medi´ an E(X) = x0.5 = 0+500 = 250m, 2 2 . Rozptyl D(X) = (500−0) = 20833.33m2 , 12 p . √ . Smˇerodatn´ a odchylka σ(X) = D(X) = 20833.3 = 144.34m, Koeficient ˇsikmosti
A3 (X) = 0.
Z pravdˇepodobnostn´ı funkce pak lze pˇr´ımo vypoˇc´ıst pravdˇepodobnost P(300 ≤ X ≤ 400) = F (400) − F (300) =
400 300 − = 0.2. 500 500
19. Pojem N´ ahodn´ a veliˇcina s Norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım N(µ, σ 2 ), kde µ, σ 2 jsou re´aln´a ˇc´ısla, a σ 2 > 0, m´a hustotu ( ) 2 1 (x − µ) f (x) = √ exp − , x ∈ (−∞, ∞) 2σ 2 σ 2π
20. Vlastnosti N´ ahodn´ a veliˇcina s Norm´aln´ım rozdˇelen´ım m´a n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e charakteristiky E(X) = x0.5 = x ˆ = µ, D(X) = σ 2 , A3 (X) = 0 Norm´aln´ı rozdˇelen´ı, kter´e je nejˇcastˇeji uˇz´ıvan´ ym rozdˇelen´ım, je tak´e naz´ yv´ano Gaussovo rozdˇ elen´ı. M´a ˇradu v´ yznamn´ ych teoretick´ ych vlastnost´ı a z hlediska aplikac´ı b´ yv´a vhodn´e k vyj´adˇren´ı n´ahodn´ ych veliˇcin, kter´e lze interpretovat jako aditivn´ı v´ ysledek mnoha nez´avisl´ ych vliv˚ u (napˇr. chyba mˇeˇren´ı, odchylka rozmˇeru v´ yrobku od poˇzadovan´e hodnoty apod.). 21. Pozn´ amka Na Obr´ azku 6 jsou grafy hustot pravdˇepodobnosti a na Obr´azku 7 grafy odpov´ıdaj´ıc´ıch distribuˇcn´ıch funkc´ı norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı pro r˚ uzn´e hodnoty parametr˚ u µ a σ. 22. Vlastnosti Jestliˇze n´ ahodn´ a veliˇcina X m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı N(µ, σ 2 ), pak n´ahodn´a veliˇcina Y = aX + b, kde a, b jsou re´ aln´ a ˇc´ısla, a 6= 0, m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı N(aµ + b, a2 σ 2 ). 23. Pojem Transformac´ı n´ ahodn´e veliˇciny X s norm´aln´ım rozdˇelen´ım N(µ, σ 2 ) na n´ahodnou veliˇcinu U=
X −µ σ
dostaneme n´ ahodnou veliˇcinu s normovan´ ym (z´ akladn´ım) norm´ aln´ım rozdˇ elen´ım N(0,1) s distribuˇcn´ı funkc´ı Φ(u).
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
µ = 0, σ = 0.5 µ = 0, σ = 1 µ = 0, σ = 2 µ = 1, σ = 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
Obr´azek 6: Grafy hustot Norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ ymi hodnotami parametr˚ u µ, σ 2 1
µ = 0, σ = 0.5 µ = 0, σ = 1 µ = 0, σ = 2 µ = 1, σ = 1
0.5
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
Obr´azek 7: Grafy distribuˇcn´ıch funkc´ı Norm´aln´ıho rozdˇelen´ı s r˚ uzn´ ymi hodnotami parametr˚ u µ, σ 2
24. Vlastnosti Pro hodnoty Φ(u) distribuˇcn´ı funkce normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı plat´ı Φ(−u) = 1 − Φ(u). Pro kvantily normovan´eho norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı je u1−P = −uP ,
0 < P < 1.
Jestliˇze n´ ahodn´ a veliˇcin X m´ a norm´ aln´ı rozdˇelen´ı N(µ, σ 2 ), potom lze jej´ı distribuˇcn´ı funkci vyj´ adˇrit jako x−µ F (x) = Φ σ a jej´ı kvantily jsou xP = µ + σuP ,
0 < P < 1.
Hodnoty distribuˇcn´ı funkce Φ(u) normovan´e n´ahodn´e veliˇciny U jsou tabelov´any v tabulce T1. K v´ ypoˇctu hodnot Φ(u) a kvantil˚ u uP na PC lze tak´e pouˇz´ıt vhodn´ y software (napˇr. Statistica, Statgraphics, Excel aj.). 25. Pˇ r´ıklad Urˇcete pravdˇepodobnost, ˇze n´ahodn´a veliˇcina X s norm´aln´ım rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti N(20;16), nabude hodnotu Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
1. menˇs´ı neˇz 16, 2. vˇetˇs´ı neˇz 20, 3. v mez´ıch od 12 do 28, 4. menˇs´ı neˇz 12 nebo vˇetˇs´ı neˇz 28. ˇ sen´ı Ze vztahu F (x) = Φ Reˇ
x−20 4
a tabulky T1 dostaneme:
1. P (X < 16) = F (16) = Φ((16 − 20)/4) = Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0.84135 = 0.15865, 2. P (X > 20) = 1 − P (X ≤ 20) = 1 − F (20) = 1 − Φ((20 − 20)/4) = 1 − Φ(0) = 1 − 0.5 = 0.5, 3. P (12 ≤ X ≤ 28) = F (28) − F (12) = Φ((28 − 20)/4) − Φ((12 − 20)/4) = Φ(2) − Φ(−2) = = Φ(2) − (1 − Φ(2)) = 2Φ(2) − 1 = 2 · 0.97725 − 1 = 0.95450, 4. P ((X < 12) ∨ (X > 28)) = 1 − P (12 ≤ X ≤ 28) = 1 − 0.9545 = 0.0455.
26. Pˇ r´ıklad Mˇeˇren´ı d´elkov´eho rozmˇeru je zat´ıˇzeno systematickou chybou 0.5 mm a n´ahodnou chybou s norm´aln´ım rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti s rozptylem 0.09 mm2 . Urˇcete, pro jakou hodnotu δ bude celkov´a chyba jednoho mˇeˇren´ı v mez´ıch 0.5 − δ aˇz 0, 5 + δ s pravdˇepodobnost´ı 0.95. ˇ sen´ı Chyba jednoho mˇeˇren´ı X m´ Reˇ a norm´aln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ = 0, 5 a σ 2 = 0.09, nebot’ u n´ahodn´e chyby pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze m´ a nulovou stˇredn´ı hodnotu, takˇze P (0.5 − δ ≤ X ≤ 0.5 + δ)
= F (0.5 + δ) − F (0.5 − δ) = δ δ δ −Φ − = 2Φ − 1 = 0.95. = Φ 0.3 0.3 0.3
δ δ ) = 0.975, takˇze 0.3 = u0.975 . Protoˇze z tabulky T1 je u0.975 = 1.960, je δ = 0.3 · 1.960 = Odtud je Φ( 0.3 0.588. S pravdˇepodobnost´ı 0.95 bude celkov´a chyba jednoho mˇeˇren´ı v intervalu h−0.088; 1.088imm.
Mgr. Zuzana Hrdliˇckov´ a, Ph.D.
´ FSI v Brnˇe, 7. u UM ´nora 2007
