2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení 1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot 0 a 1 a pro její pravděpodobnostní funkci platí: p(0) = P (X = 0) = 1 − p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. q
D(X) = p(1 − p), σ(X) = p(1 − p), 1 − 2p 1 − 6p(1 − p) α(X) = q , ε(X) = p(1 − p) p(1 − p
E(X) = p,
Rozptyl je maximální pro p = 0, 5, pak E(X) = 0, 25 a σ(X) = 0, 5. Rozdělení se používá v situacích, kdy má náhodný proces pouze dva možné výsledky AN O a N E. 2. Binomické rozdělení Bi(n,p) (Binomial) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0, 1, 2, . . . , n, s pravděpodobnostmi
p(k) = P (X = k) =
n k
pk (1
− p)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n, 0 < p < 1. q
Je pak E(X) = np, D(X) = np(1 − p) a σ(X) = np(1 − p). Pro šikmost a špičatost dostaneme α(X) = √ 1−2p a ε(X) = 1−6p(1−p) np(1−p) . V přínp(1−p)
padě symetrického rozdělení pro p = 1/2 je E(X) = n/2, D(X) = n/4, α(X) = 0 a ε(X) = −2/n. Pro n ≥ 30 a p ≤ 0, 1 je možné binomické rozdělení Bi(n, p) nahradit Poissonovým rozdělením s parametrem λ = np. Jestliže mají náhodné veličiny Xi , 1 ≤ i ≤ n rozdělení A(p) a jsou n P f nezávislé, má pak výběrový úhrn X = Xi binomické rozdělení Bi(n, p). i=1
3. Poissonovo rozdělení Po(λ) (Poisson) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0, 1, 2, . . . s pravděpodobnostmi λk −λ e , k = 0, 1, 2, . . . , λ > 0. k! Jestliže mají náhodné veličiny Xi , 1 ≤ i ≤ n Poissonovo rozdělení n P f P o(λ) a jsou nezávislé, má pak výběrový úhrn X = Xi Poissonovo p(k) = P (X = k) =
i=1
11
rozdělení P o(nλ). Pro tuto vlastnost se Poissonovo rozdělení vyskytuje v problémech z hromadné obsluhy, kde doby mezi příchody zákazníků mají Poissonovo rozdělení Spojitá rozdělení 4. Rovnoměrné rozdělení v intervalu (a, b) (uniform) je rozdělení určené hustotou f s distribuční funkci F, kde *
f (x) =
1 b−a ,
a < x < b, jinde.
0,
*
F (x) =
0, x−a b−a ,
1,
x < a, a ≤ x ≤ b, x > b.
Toto rozdělení má náhodná veličina X, která nabývá hodnot z intervalu (a, b) a všechny hodnoty mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Bývá také charakterizováno svou střední hodnotou E(X) = µ = 12 (a + b) a hodnotou h = 12 (b − a). Je pak a = µ − h, b = µ + h, h > 0. Rozptyl této náhodné veličiny je roven D(X) = 13 h2 . Pro kvantily xp tohoto rozdělení dostaneme F (xp ) =
1 (x − µ + h) = p ⇔ xp = µ + (2p − 1)h. 2h
Je tedy x˜ = x0,5 = E(X) = µ a x1−p + xp = 2µ. Na obrázku Obr. 4a je znázorněn průběh distribuční funkce F spojitého rovnoměrného rozdělení v intervalu (0, 1) a na obrázku Obr. 4b je průběh hustoty f tohoto rozdělení. y 1−
0
y 1−
F (x)
1
x
0
f (x)
1
x
Obr. 4a Obr 4b 5. Normální (Gaussovo) rozdělení. 5.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N (µ, σ 2 ) (normal) s parametry µ a σ > 0 je rozdělení určené hustotou (♠)
(x−µ)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 , σ 2π
12
x ∈ (−∞, ∞).
Rozdělení N (0; 1) s parametry µ = 0 a σ = 1 se nazývá normované normální rozdělení. V dalším textu budeme náhodnou veličinu, která má rozdělení N (0; 1) obvykle označovat písmenem U. Její hustota je pak x2 1 ϕ(x) = √ e− 2 , 2π
(♠♠)
x ∈ (−∞, ∞).
Distribuční funkci rozdělení N (0; 1), která je definovaná vztahem 1 Z x − t2 e 2 dt Φ(x) = √ 2π −∞
(♣)
budeme vždy označovat symbolem Φ. Graf hustoty ϕ normovaného normálního rozdělení N (0; 1) znázorníme na obrázku Obr. 5.1 a graf distribuční funkce Φ je znázorněn na obrázku Obr. 5.2. √1 2π 1 ϕ(x) Φ(x)
−3 −2 −1
0
1
2
3 x
−3 −2 −1
0
1
2
3 x
Obr. 5.1. Obr. 5.2. Poznámka: Normované normální rozdělení N (0; 1) je symetrické, ϕ(x) = ϕ(−x). Je tedy E(X) = 0 a dále je D(X) = 1. Odtud plyne, že pro distribuční funkci Φ platí: Φ(x) + Φ(−x) = 1 ⇒ Φ(−x) = 1 − Φ(x) a Φ(0) = 0, 5. Obecné normální rozdělení N (µ; σ 2 ) je posunuté o hodnotu µ, je tedy symetrické vzhledem k této hodnotě. Je tedy E(X) = µ a dále je D(X) = σ 2 . Směrodatná odchylka σ(X) = σ. Rozdělení je koncentrováno ke střední hodnotě. I když nabývá náhodná veličina s tímto rozdělením teoreticky všech reálných hodnot je P (|X − µ| < 3σ) = 0, 999 a P (|X − µ| < 3, 5σ) = 0, 9999.
Poznámka: Normální rozdělení si zachovává svůj charakter při lineární transformaci. Platí totiž následující tvrzení. 13
5.2. Věta: Jestliže má náhodná veličina X rozdělení N (µ, σ 2 ), má pak náhodná veličina Y = αX + β rozdělení N (αµ + β, α2 σ 2 ). Speciálně platí, že náhodná veličina X −µ U= σ má normované normální rozdělení N (0, 1). Důkaz: Je-li X náhodná veličina, která má rozdělení N (µ, σ 2 ) a je-li f její hustota a F je její distribuční funkce, pak pro hustotu g a distribuční funkci G náhodné veličiny Y platí: G(y) = P (Y ≤ y) = P (αX + β ≤ y) = P (αX ≤ y − β) = *
=
P (X ≤ P (X ≥
y−β α ) y−β α )
= F ( y−β α>0 α ) y−β = 1 − F ( α ), α < 0.
Potom pro hustotu g rozdělení náhodné veličiny Y dostaneme: g(y) = G0 (y) =
* d + y−β F ( ) = α1 f ( y−β ) dy α α y−β y−β d 1 − F ( ) = −1 dy α α f( α )
=
1 y−β f( )= |α| α
2 y−β ( −µ)2 1 1 − (y−(αµ+β)) − α2σ2 2 2(ασ) √ e √ e = = . |α|σ 2π |α|σ 2π
To je ovšem hustota normálního rozdělení N (αµ + β; (ασ)2 ). Jestliže zvolíme α = σ1 a β = − σµ dostaneme αµ + β = 0 a ασ = 1. Náhodná veličina U má tudíž normované normální rozdělení N (0; 1). Poznámka: Transformace na normované rozdělení. Jestliže má náhodná veličina X normální rozdělení N (µ; σ 2 ), pak má náhodná veličina U=
X −µ ⇔ X = σU + µ σ
normované normální rozdělení N (0; 1). Pro její distribuční funkci F a hustotu f platí: x−µ F (x) = Φ ⇔ F (σu + µ) = Φ(u) σ !
a
1 x−µ f (x) = ϕ ⇔ σf (σu + µ) = ϕ(u). σ σ !
14
Je tedy a−µ b−µ −Φ , P (a < X < b) = F (b) − F (a) = Φ σ σ !
!
kde hodnoty funkce Φ odečteme z tabulek hodnot distribuční funkce Φ. 5.3. Kvantily normálního rozdělení. Pro kvantily up normovaného normálního rozdělení N (0; 1) platí, že: Φ(up ) = p, 0 < p < 1 ⇔ up = Φ−1 (p) a jejich hodnoty nalezneme v tabulkách kvantilů. Všimneme si, že platí: u0,5 = 0 a u1−p = −up . Pro kvantily xp obecného normálního rozdělení N (µ; σ 2 ) platí: xp − µ xp − µ =p⇔ = up ⇔ xp = up σ + µ. F (xp ) = p ⇔ Φ σ σ !
Odtud plyne, že x˜ = x0,5 = xˆ = E(X) = µ. Význam kvantilů si znázorníme na obrázku hustoty ϕ a distribuční funkce Φ normovaného normálního rozdělení. Obsah obrazce vyznačeného šrafováním je roven p. √1 1 2π p @ ϕ(x) @@ Φ(x) @@ @ @@@ @ @@ @@@ @ @@@@ @@ @ @ @ @@@@ @@ @ @@@@@@@ @ @ @@@@@@@ @@
−3 −2 −1
0
1up 2
0, 5
3 x
−3 −2 −1
Obr. 5.3.
0
1up 2
3 x
Obr. 5.4.
Výpočet distribuční a kvantilové funkce normálního rozdělení. I. Přímý výpočet hustota normovaného rozdělení N (0; 1): 1 − x2 √ ϕ(x) = e 2, 2π 15
x ∈ R;
pro rozdělení N (µ; σ 2 ) s parametry µ, σ je : x−µ 1 , f (x) = ϕ σ σ !
x ∈ R;
distribuční funkce normovaného rozdělení N (0; 1): 1 Φ(x) = √ 2π
Z x
t2
−∞
e− 2 dt,
x ∈ R;
pro rozdělení N (µ; σ 2 ) s parametry µ, σ je : x−µ F (x) = Φ , σ !
x ∈ R;
kvantilovou funkci Q dostaneme jako řešení rovnice: Φ(up ) = p, ⇔ up = Q(p) xp = µ + up σ,
0 < p < 1.
II. Pomocí aproximací distribuční funkce normovaného rozdělení: ! 1 x a) Φ(x) = 1 + erf( √ ) , x ∈ R, 2 2 2 Z x −t2 e dt, x ∈ R. kde erf(x) = √ π 0 b) pro x ≥ 0 je: 5 X . Φ(x) = 1 − ϕ(x) ak w k , k=1
kde
1 , 1 + a0 x a0 = 0, 231 641 9, a1 = 0, 319 381 5, a2 = −0, 356 563 8, a3 = 1, 781 478, a4 = −1, 821 256, a5 = 1, 330 274 w=
Pro x ≤ 0 je Φ(x) = 1 − Φ(−x). Pro x ≥ 6 je Φ(x) = 1 a pro x < −6 je Φ(x) = 0. Maximální chyba aproximace je menší než 10−6 . kvantilová funkce Q: pro 0 < p ≤ 21 je 2 X
. −w + Q(p) = Φ−1 (p) = up =
k=0 3 X k=0
16
ak w k , bk w
k
kde
√ w = −2 ln p, a0 = 2, 515 517, a1 = 0, 802 853, a2 = 0, 010 328 b0 = 1, b1 = 1, 432 788, b2 = 0, 189 269, b3 = 0, 001 308
Pro 21 < p < 1 je up = −u1−p . Přesnost aproximace je 0, 000 45 pro −0, 999 < p < 0, 999. Odvození: √ 1 Z x − t2 t = z 2, 0 → 0 √ √ = Φ(x) = Φ(0) + √ e 2 dt = dt = 2dz, x → x/ 2 2π 0 1 1 = +√ 2 2π
Z x/√2 0
−z 2
e
√
1 1 2dz = + √ 2 π
Z x/√2 0
2
e−z dz =
√ 1 1 + erf(x/ 2). 2 2
V programu MAPLE with(stats) : ϕ(x) = statevalf [pdf, normald](x); f (x) = statevalf [pdf, normald[µ, σ]](x); Φ(x) = statevalf [cdf, normald](x); F (x) = statevalf [cdf, normald[µ, σ]](x); up = Φ−1 (p) = statevalf [icdf, normald](p); xp = F −1 (p) = statevalf [icdf, normald[µ, σ]](p). 5.4. Intervaly spolehlivosti. Ve statistice se setkáváme s úlohou, kdy potřebujeme k dané pravděpodobnosti určit interval, ve kterém se hodnota náhodné veličiny vyskytuje. Vyřešíme tuto úlohu pro normované normální rozdělení. Pro jiná rozdělení se princip řešení zachová, jenom hraniční hodnoty hledaného intervalu se určí z kvantilů odpovídajícího rozdělení. 5.5. Příklad: K danému číslu α, 0 < α < 1, určete interval tak, aby pro náhodnou veličinu U, která má normované normální rozdělení N (0; 1) platilo: a) (♣) P (|U | < a) = 1 − α; b) (♣♣) P (U < a) = 1 − α; c) (♣♣♣) P (U > a) = 1 − α. Řešení: a) Z podmínky vyplývá 1−α = P (−a < U < a) = Φ(a)−Φ(−a) = Φ(a)−(1−Φ(a)) = 2Φ(a)−1 ⇒ Φ(a) = 1 − α2 . Odtud plyne, že a = u1− α2 kvantil. Je tedy 17
−a < U < a ⇔ −u1− α2 < U < u1− α2 . Viz obr. 5.5. b) Obdobně jako v a) dostaneme 1 − α = P (U < a) = Φ(a) ⇒ a = u1−α . Je tedy U < a ⇔ U < u1−α . Viz obr. 5.6. c) Z podmínky pro interval plyne 1 − α = P (U > a) = 1 − Φ(a) ⇒ Φ(a) = α ⇒ a = uα . Je tedy U > a ⇔ U > uα . Viz obr. 5.7. Poznámka: Číslo α volíme malé, obvykle 0 < α ≤ 0, 1 a číslo 1 − α se nazývá koeficient spolehlivosti (konfidenční koeficient). Získaný interval nazýváme 100(1 − α) procentním intervalem spolehlivosti. Interval (♣) je oboustranný interval, intervaly (♣♣) a (♣♣♣) jsou jednostranné.První je pravostranný a druhý levostranný. Jsou to intervaly, ve kterých se hodnota náhodné veličiny bude vyskytovat s pravděpodobností (1 − α), tedy ve 100(1 − α)% případech. √1 2π
−3 −2 −1α −u1− 2
√1 2π
ϕ(x)
0
1u1−2α 2
3 x
−3 −2 −1
Obr. 5.5. √1 2π
−3 −2 −1 −u1−α
ϕ(x)
0
1 u1−α 2 3 x
Obr. 5.6. ϕ(x)
0
1
2
3 x
Obr. 5.7. 5.6. Sčítání náhodných veličin. Důležitou vlastnost má normální rozdělení při sčítaní náhodných veličin. Pro nezávislé náhodné veličiny platí, že i po sčítaní mají normální rozdělení. Tvrzení se odvodí pomocí charakteristické funkce. Uvedeme tuto vlastnost ve formě věty.
18
5.7. Věta: Jsou-li X, resp. Y nezávislé náhodné veličiny s normálními rozděleními N (µ1 , σ12 ), resp. N (µ2 , σ22 ), pak má náhodná veličina X + Y normální rozdělení s parametry N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ). 5.8. Náhodný výběr. Ve statistice zpracováváme data, která jsou souborem výsledků náhodného pokusu. Jeho náhodnost se projeví v tom, že při jeho opakování se objeví různé výsledky. Je-li charakter náhody popsán tím, že výsledky náhodného pokusu odpovídají hodnotám náhodné veličiny s daným rozdělením, pak soubor dat je realizací uspořádané n−tice náhodných veličin {X1 , X2 , . . . , Xn }. Všechny náhodné veličiny mají shodné rozdělení a jsou na sobě nezávislé. Takovou uspořádanou n−tici náhodných veličin nazýváme prostým náhodným výběrem z daného rozdělení. Z vět 8.6 a 8.2 vyplývá toto tvrzení. 5.9. Věta: Jestliže mají nezávislé náhodné veličiny Xi , 1 ≤ i ≤ n normální rozdělení N (µ, σ 2 ) (náhodný výběr z normálního rozdělení), má pak n P f výběrový úhrn X = Xi normální rozdělení N (nµ, nσ 2 ) i=1 a n 2 P Xi normální rozdělení N (µ, σn ). výběrový průměr X = n1 i=1
Poznámka: O náhodné veličině, která je funkcí náhodného výběru mluvíme jako o statistice. Častou úlohou je nalezení vhodné statistiky, z jejíchž hodnot můžeme odvodit vlastnosti sledovaného rozdělení. Z vlastností normálního rozdělení vidíme, že statistika X, výběrový průměr je dobrým odhadem střední hodnoty µ, neboť při dostatečně rozsáhlém výběru, velké hodnotě n, se bude hodnota X jen velmi málo lišit od střední hodnoty µ. 6. Exponenciální rozdělení Exp(A, δ) (exponential) je rozdělení náhodné veličiny s hustotou f a distribuční funkcí F, kde *
f (x) =
0, 1 − x−A δ , δ e
x < A, x ≥ A;
*
F (x) =
0, x−A 1 − e− δ ,
x ≤ A, x ≥ A,
kde A ∈ R a δ > 0 . Je pak E(X) = A + δ a D(X) = δ 2 . Pro kvantily dostaneme vyjádření xp = A − δ ln (1 − p). Je-li A = 0, pak rozdělení označujeme symbolem Exp(δ) a je to rozdělení, které se objevuje v úlohách kde sledujeme spolehlivost práce zařízení v čase. Je to tzv. rozdělení bez paměti. Je totiž P (X ≥ a + b|X ≥ a) = P (X ≥ b), a, b > 0. 19
Poznamenejme, že má-li náhodná veličina X exponenciální rozdělení Exp(A; δ), pak má náhodná veličina X − A rozdělení Exp(0; δ) a námá rozdělení Exp(0; 1), kterému se někdy říká hodná veličina Y = X−A δ normované exponenciální rozdělení. Podobně jako pro normální rozdělení se linearní transformací zachovává charakter exponenciálního rozdělení. Jestliže má náhodná veličina X rozdělení Exp(A; δ), pak má náhodná veličina V = (X − A)/δ normované exponenciální rozdělení Exp(0; 1). 7. Rozdělení chí kvadrát χ2 (n) o n stupních volnosti (chi square) je n P rozdělení, které má náhodná veličina X = Ui2 , kde Ui , 1 ≤ i ≤ n jsou i=1
nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením N (0, 1). Pro toto rozdělení je E(X) = n a D(X) = 2n. Hustota f tohoto rozdělení je dána předpisem *
f (x) =
0, √ 1 n 2n Γ( 2 )
x
n 2 −1
− x2
e
,
x ≤ 0, x > 0.
Rozdělení je výrazně asymetrické, kvantily jsou kladné a jsou tabelovány. Až pro výrazně veliké hodnoty parametru n je možné toto rozdělení nahradit rozdělením normálním N (n, 2n). Pro velké hodnoty n má náhodná veličina X −n U= √ 2n přibližně normované normální rozdělení N (0, 1). Pro kvantily pak platí přibližný vzorec . n + u √2n. xp = p Průběh hustoty rozdělení pravděpodobnosti je pro hodnoty parametru n = 3 a n = 5 znázorněn na obrázku Obr. 7.1. n > 30 y n=3 n=5 n<5 −3 −2 −1
0
1
2
3
x
Obr.8.1.
x Obr. 7.1.
20
8. Studentovo rozdělení (t- rozdělení) t(n) o n stupních volnosti (students) má náhodná veličina √ U n T = √ , Z kde náhodná veličina U má normované normální rozdělení N (0, 1) a náhodná veličina Z má rozdělení χ2 (n). Rozdělení je symetrické vzhledem n , n > 2 a pro hodnoty n > 30 k počátku, je E(T ) = 0, D(T ) = n−2 jej nahrazujeme normovanýn normálním rozdělením N (0, 1). Pro kvantily platí tp = −t1−p . Hustota f Studentova rozdělení je dána vzorcem Γ( n+1 2 ) f (x) = n √ Γ( 2 ) πn
− n+1 2
x2 1 + n
, x ∈ R.
Průběh hustoty pro některé hodnoty stupňů volnosti je znázorněn na obrázku 8.1. 9. Fischerovo-Snedecorovo rozdělení (F −rozdělení) Fm,n o m a n stupních volnosti (ratio) má náhodná veličina F =
Xn , Ym
kde náhodná veličina X má rozdělení χ2 (m) a náhodná veličina Y má rozdělení χ2 (n). Náhodná veličina F nabývá pouze kladných hodnot a je 2n2 (n + m − 2) n , n > 2 a D(F ) = , n > 4. Hustota f E(F ) = n−2 m(n − 2)2 (n − 4) náhodné veličiny F je dána vzorcem 1
m f (x) = m n B( 2 , 2 ) n
!m 2
x
m 2 −1
!− m+n 2
m 1+ x n
, x > 0.
Poznamenejme, že pokud má náhodná veličina F rozdělení F (m, n), pak má náhodná veličina F1 rozdělení F (n, m). Tato skutečnost plyne bezprostředně, z definice F rozdělení a jejím důsledkem je následující vlastnost kvantilů: Pro kvantily Fp (m, n) rozdělení F (m, n) platí, že Fp (m, n) =
1 , 0 < p < 1. F1−p (n, m) 21
p−kvantil Fp náhodné veličiny s rozdělením F (m, n) je totiž určen podmínkou Xn ≤ Fp = p. P (F (m, n) ≤ Fp ) = p ⇔ P Ym Odtud plyne, že !
1 Y m Ym 1 P ≤ =1−P ≤ =p⇒ Fp Xn Xn Fp
Ym 1 1 P ≤ = P F (n, m) ≤ = 1 − p, Xn Fp Fp což je podmínka pro 1 − pkvantil náhodné veličiny s rozdělením F (n, m). 1 . Je tedy F1−p (n, m) = Fp (m,n) Pro modus xˆ náhodné veličiny s rozdělením F (m, n) platí vyjádření n(m − 2) xˆ = , m > 2. m(n + 2) 10. Beta rozdělení B(p, q), p, q > 0 (beta) je spojité rozdělení určené hustotou 1 f (x) = xp−1 (1 − x)q−1 , x ∈ (0, 1). B(p, q) p Náhodná veličina X s tímto rozdělením má střední hodnotu E(X) = p+q a rozptyl D(X) = (p+q)2pq (p+q+1) . Pro p, q > 1 je rozdělení jednomodální a p−1 . Pro tuto vlastnost se používá v ekonomických pro jeho modus je xˆ = p+q−2 modelech. Takové rozdělení mají souřadnice a rozpětí uspořádaného výběru z rovnoměrného rozdělení. Lineární transformací Y = a + (b − a)X = µ − h + 2hX dostaneme zobecněné rozdělení beta, které má hodnoty z intervalu (a; b) = (µ − h; µ + h). Střední hodnotu a ostatní charakteristiky snadno odvodíme z předchozích. Poznámka. Funkce Γ a B jsou tzv. Eulerovy funkce a je: Γ(z) = B(p, q) =
Z 1 0
Z ∞ 0
xz−1 e−x dx pro z > 0,
xp−1 (1 − x)q−1 dx,
p > 0, q > 0.
Je Γ(1) = Γ(2) = 1, Γ(n + 1) = n! a Γ(z + 1) = zΓ(z), z > 0 a Γ(p)Γ(q) B(p, q) = . Γ(p + q) 22
Dále platí: B(p, q) = B(q, p), B(1, n) = B(n, 1) =
(m − 1)!(n − 1)! 1 , B(m, n) = . n (m + n − 1)!
p B(p + 1, q) = B(p, q + 1). q Poznámka: Generování náhodné veličiny s danným rozdělením Nechť je funkce F : (a, b) → R, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, distribuční funkcí spojitého rozdělení. Platí tedy a) F je spojitá a rostoucí v intervalu (a, b); b) F (a+) = 0, F (b−) = 1. Potom má funkce F funkci inverzní F −1 , která zobrazuje interval (0, 1) na interval (a, b). Věta: Jestliže má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1), pak má náhodná veličina Y = F −1 (X) rozdělení určené distribuční funkcí F. Je-li X ∈ (0, 1), pak je Y = F −1 (X) ∈ (a, b). Pro distribuční funkci G náhodné veličiny Y dostaneme: a < y < b : G(y) = P (Y ≤ y) = P (F −1 (X) ≤ y) = P (X ≤ F (y)) = H(F (y)), kde H je distribuční funkce rovnoměrného rozdělení v intervalu (0, 1). ta je ovšem identitou, t.j. H(z) = z, 0 < z < 1. Je tedy G(y) = F (y), y ∈ (a, b). Označme si nyní hodnotu náhodné veličiny X = p, 0 < p < 1. Pak je Y = F −1 (X) = F −1 (p) ⇒ Y = y, F (y) = p ⇒ Y = yp , kde yp je p−kvantil rozdělení náhodné veličiny, které má rozdělení určené distribuční funkcí F. To znamená, že generujeme-li posloupnost náhodných čísel {pk } z intervalu (0, 1), pak posloupnost kvantilů {xpk } je náhodná posloupnost z rozdělení s distribuční funkcí F.
23
