Reálná čísla N . . . přirozená čísla: {1, 2, 3, . . . } Z . . . celá čísla: {0, ±1,±2, ±3, . . . } Q . . . racionální čísla: ab : a ∈ Z, b ∈ N R . . . reálná č.: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des. rozvoj: a0 ,a1 a2 . . . , a0 ∈√Z, an ∈ {0, . . . , 9} pro n ∈ N R \ Q . . . iracionální čísla ( 2, π, e, . . . ) C . . . komplexní čísla: {x + jy : x, y ∈ R}, j 2 = −1 reálná osa Tvrzení. Číslo
√
Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (−∞, 0) = {x ∈ R : −∞ < x < 0} = {x ∈ R : x < 0}, (−∞, +∞) = R (otevřené i s ±∞). Definice. Nechť M ⊂ R. Číslo k ∈ R se nazývá: horní mez množiny M , pokud x ≤ k pro každé x ∈ M ; dolní mez množiny M , pokud x ≥ k pro každé x ∈ M . Množina M se nazývá: shora omezená, pokud má horní mez; zdola omezená, pokud má dolní mez; omezená, pokud má horní i dolní mez.
2 je iracionální. √ Důkaz: Sporem, předpokládejme 2 = ab , a, b ∈ N nesoudělná. Pak 2b2 = a2 ; a je dělitelné 2; existuje c ∈ N tak, že a = 2c; b2 = 2c2 ; b je dělitelné 2; a, b soudělná – spor.
Příklady. 1) N je zdola omezená, není shora omezená. 2) Z není omezená ani zdola, ani shora. 3) (0, 1) je omezená.
Tvrzení. Racionální čísla jsou právě ta, která mají konečný nebo periodický desetinný rozvoj.
Definice. Nechť M ⊂ R je neprázdná. Supremum množiny M (sup M ) je nejmenší horní mez množiny M (+∞ pro shora neomezenou), infimum množiny M (inf M ) je největší dolní mez množiny M (−∞ pro zdola neomezenou).
Důkaz: ⇒: Při použití algoritmu dělení celých čísel a/b jsou možné zbytky jen 0, 1, . . . , b − 1, po přechodu přes desetinnou čárku se připisují jen 0, takže se po nejvýše (b − 1) krocích vše opakuje. ⇐: Přenásobením číslem 10délka periody a odečtením dostaneme, že celočíselný násobek má konečný desetinný rozvoj. Tvrzení. Nenulová čísla s konečným desetinným rozvoje mají dva desetinné rozvoje. Příklady. 1/7 = 0,142857, 1/3 = 0,3, 1/6 = 0,16; 2704 2,7 = 27 10 ; x = 2,731, (100 − 1)x = 270,4, x = 990 ; 2,3 = 2,29. Definice. Reálné číslo x se nazývá: kladné, pokud x > 0; záporné, pokud x < 0; nezáporné, pokud x ≥ 0; nekladné, pokud x ≤ 0. Definice. Pro každé a, b ∈ R, a < b, rozeznáváme tyto typy intervalů s krajními body a, b: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (otevřený); ha, bi = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} pro a, b ∈ R (uzavřený); (a, bi = {x ∈ R : a < x ≤ b} pro b ∈ R (zleva otevřený, zprava uzavřený); ha, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} pro a ∈ R (zleva uzavřený, zprava otevřený). Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní. Tvrzení. V každém intervalu existuje nekonečně mnoho racionálních i iracionálních čísel (hustota Q, R \ Q v R). Definice. Rozšířená množina reálných čísel je R = R ∪ ∪ {−∞, +∞}, kde −∞ a +∞ se nazývají nevlastní čísla. Pro každé x ∈ R pokládáme: 1) −∞ < x < +∞ 2) |−∞| = |+∞| = +∞ 3) x + ∞ = ∞ , ∞ + ∞ = ∞, x − ∞ = −∞ , ( +∞ , x·∞= −∞ , x ∞
x > 0, x < 0,
= 0.
Nedefinujeme: ∞ − ∞, 0 · ∞,
∞ ∞.
Příklady. sup N = +∞, suph0, 1i = minh1, +∞) = 1, sup(0, 1) = minh1, +∞) = 1. Poznámka. Jestliže existuje maximum (minimum) množiny, pak je zároveň supremem (infimem) této množiny. Věta. Každá neprázdná množina reálných čísel má supremum i infimum. Řez (A|B): A, B ⊂ Q neprázdné, A ∪ B = Q, A < B. Řezy s max A = q nebo min B = q, q ∈ Q (ztotožňujeme) odpovídají q, řezy, pro které max A ani min B neexistují, odpovídají iracionálním číslům. (A1 |B1 ) ≤ (A2 |B2 ) pro A1 ⊂ A2 S supα∈M (Aα |Bα ) = (A|B), kde A = α∈M Aα , B = Q \ A, pokud přidáme (Q, ∅) ∼ +∞. Věta (princip vnořených intervalů). Jsou-li T In (n ∈ N) uzavřené intervaly a I1 ⊃ I2 ⊃ · · · , pak n∈N In 6= ∅. Jestliže navíc délky intervalů In klesají k nule, pak je tento průnik jednobodový. Důkaz: Označme In = han , bn i pro každé n ∈ N. Z předpokladů vyplývá, že a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 . Množina {an : n ∈ N} je neprázdná, shora omezená každým číslem bn , má tedy v R supremum, označme ho a. Protože a ≤ bn pro každé n ∈ N, má množina {bT n : n ∈ N} v R infimum, označme ho b. Protože a ≤ b, je n∈N In = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} 6= ∅. Jestliže délky intervalů In klesají k nule, pak a = b. Poznámka. Podmínka uzavřenosti intervalů ve výše uve1 dené větě je podstatná: je-li T In = (0, n ) pro každé n ∈ N, pak I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · a n∈N In = ∅.
−∞ − ∞ = −∞ ,
Funkce
∞ · ∞ = ∞,
Definice. (Reálná) funkce (reálné proměnné) f je zobrazení A → R, kde A ⊂ R je neprázdná. Množina A je definiční obor funkce f (D(f )), množina f (A) = {f (x) : x ∈ A} je obor hodnot funkce f (R(f )). Graf funkce f je množina {[x, f (x)] : x ∈ D(f )}.
Poznámka. Pokud není zadán definiční obor, bereme maximální možný. Definice. Funkce f : A → B je: prostá, pokud různým vzorům odpovídají různé obrazy; na na B, pokud její obor hodnot je B (f : A −→ B); vzájemně jednoznačná (bijekce), pokud je prostá na B. Příklady. 1) x2 není prostá (f (1) = f (−1)), je na h0, +∞). 2) x3 je prostá na R. Poznámka. Neostré uspořádání f ≤ g a operace sčítání, odčítání, násobení a dělení funkcí definujeme „bodově“. Definice. Složení funkcí f : A → B a g : B → C je funkce g ◦ f : A → C definovaná předpisem (g ◦ f )(x) = g f (x) . Příklad. f (x) = 2x, g(x) = x2 : 2 (g ◦ f )(x) = g f (x) = f (x) = (2x)2 = 4x2 , (f ◦ g)(x) = f g(x) = 2g(x) = 2x2 . Definice. Funkce g : R(f ) → A je inverzní k funkci f : A → B, pokud (g ◦ f )(x) = x pro každé x ∈ A. Značíme g = f−1 . Věta. Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá. Pak D(f−1 ) = R(f ), R(f−1 ) = D(f ), f je inverzní funkce k f−1 a graf f−1 je symetrický s grafem f podle osy prvního a třetího kvadrantu (přímky o rovnici y = x). na
Příklad. f (x) = ex : R −→ (0, +∞) je prostá, má inverzní na f−1 (x) = ln x : (0, +∞) −→ R; f−1 ◦ f 6= f ◦ f−1 . Definice. Funkce f je (zdola, shora) omezená na A ⊂ ⊂ D(f ), pokud je (zdola, shora) omezená množina f (A).
Příklady. 1) x2 je sudá. 2) x3 je lichá. Poznámka. Graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, graf liché funkce je středově symetrický podle počátku. Definice. Funkce f je periodická s periodou p > 0, pokud f (x + p) = f (x − p) = f (x) pro každé x ∈ D(f ). Poznámka. Má-li funkce periodu p, má i periody np (n ∈ N). Nejmenší perioda (pokud existuje) se nazývá základní. Příklad. Funkce sin x má základní periodu 2π. Lineární transformace a graf funkce: 1) Graf f (x) + c je posunutý o c ve směru osy y. 2) Graf f (x + c) je posunutý o −c ve směru osy x. 3) Graf c f (x) je c-krát roztažený od osy x (pro c < 0 včetně překlopení). 4) Graf f (cx) (c 6= 0) je c-krát stažený k ose x (pro c < 0 včetně překlopení). Definice. Množiny A, B mají stejnou mohutnost (kardinana litu), pokud existuje bijekce A −→ B. Množiny které jsou konečné nebo mají mohutnost N, se nazývají spočetné. Tvrzení. Q je spočetná, R je nespočetná. Důkaz: 1) Racionální čísla v základním tvaru ab přiřazujeme postupně přirozeným číslům: primárně vzestupně podle |a| + b, pak vzestupně podle b, pak podle znaménka. 2) Pro f : N → R najdeme desetinný rozvoj čísla, které nebude v f (N): jako n-tou cifru desetinného rozvoje vybereme cifu různou od n-té cifry desetinného rozvoje f (n) a od 9. Elementární funkce
Poznámka. Pokud neurčujeme A, myslíme D(f ). Příklady. 1) x2 je zdola omezená (x2 ≥ 0), není shora omezená. 2) arctg x je omezená. 3) x3 není omezená zdola ani shora. Definice. Funkce f je rostoucí (klesající, neklesající, nerostoucí ) na množině A ⊂ D(f ), pokud f (x) < f (y) (f (x) > f (y), f (x) ≤ f (y), f (x) ≥ f (y)) pro všechna x, y ∈ A taková, že x < y. Takové funkce se nazývají monotónní, rostoucí a klesající funkce se nazývají ryze monotónní. Příklady. 1) x2 je klesající na (−∞, 0i, rostoucí na h0, +∞). 2) sign x je neklesající. 3) sin x není monotónní.
mocniny xa x0 = 1 i pro x = 0 racionální a = pq , p ∈ Z \ {0}, q ∈ N, p, q nesoudělné:
p>0 p < 0 (x 6= 0)
q liché R R \ {0}
q sudé (x ≥ 0) h0, +∞) (0, +∞)
pro a ∈ R \ Q pokládáme xa = e a ln x , tedy D(f ) = (0, +∞) exponenciální o základu a ∈ (0, ∞) \ {1}: ax (implicitně ex ) inverzní: logaritmus o základu a > 0: loga x (log x = log10 x dekadický, ln x = loge x přirozený) Pro každé x, y ∈ R a každé a > 0 platí ax+y = ax · ay ,
(ax )y = axy .
Pro každé a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) platí Věta. Rostoucí (klesající ) funkce je prostá a má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí (klesající ).
loga (xy) = loga x + loga y , y
loga x = y loga x , Definice. Funkce f je: sudá, pokud f (−x) = f (x) pro každé x ∈ D(f ); lichá, pokud f (−x) = −f (x) pro každé x ∈ D(f ).
x, y > 0 , x > 0.
sin x goniometrické: sin x, cos x, tg x = cos x , cotg x = inverzní: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x
cos x sin x
sin2 x + cos2 x = 1 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y 1 − cos 2x sin2 x = 2 1 + cos 2x 2 cos x = 2 hyperbolické:
e x − e −x , 2 e x + e −x cosh x = , 2 sinh x =
sinh x , cosh x cosh x cotgh x = . sinh x tgh x =
inverzní: argsinh x, argcosh x, argtgh x, argcotgh x cosh2 x − sinh2 x = 1
Věta (o jednoznačnosti). Každá funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu. Důkaz: Pokud má v a limitu b, tak jiné číslo c ∈ R není limitou: existují disjunktní okolí Ub , Uc bodů b, c, f −1 (Uc ) je disjunktní s f −1 (Ub ) a neobsahuje tedy prstencové okolí a. Věta (o monotonii). Je-li f ≤ g na prstencovém okolí bodu a, limx→a f (x) = b, limx→a g(x) = c, pak b ≤ c. Důkaz (sporem): Pro b > c existují disjunktní okolí Ub , Uc bodů b, c a prstencová okolí Pf ⊂ f −1 (Ub ), Pg ⊂ g −1 (Uc ) bodu a, pro x ∈ Pf ∩ Pg je f (x) > g(x) – spor. Příklad. Ne pro <: 0 <
1 x
na (0, +∞), v +∞ stejná limita.
Věta. Funkce s vlastní limitou v bodě a je omezená na prstencovém okolí bodu a. Důkaz: Existuje omezené okolí U limity, k němu Pa .
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
Věta. Funkce s kladnou (zápornou) limitou v bodě a je na prstencovém okolí bodu a kladná (záporná).
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
Důkaz: Existuje okolí U limity neobsahující 0, k němu Pa . Věta. limx→a = 0 právě tehdy, když limx→a |f (x)| = 0.
Limity funkcí Definice. Okolí bodu a ∈ R o poloměru r > 0 je U (a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r). Prstencové okolí bodu a ∈ R o poloměru r > 0 je P (a, r) = U (a, r) \ {a} = (a − r, a) ∪ (a, a + r). Okolí bodů ±∞ jsou (r je reálné číslo): U (−∞, r) = P (−∞, r) = {x ∈ R : x < r} = (−∞, r), U (+∞, r) = P (+∞, r) = {x ∈ R : x > r} = (r, +∞). Definice. Funkce f definovaná v prstencovém okolí bodu a ∈ R má v bodě a limitu b ∈ R (limx→a f (x) = b, x→a f (x) −−−→ b), jestliže platí: Ke každému okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že f (P ) ⊂ U . Poznámka. Obecněji se definuje limita v hromadném bodě definičního oboru. Tvrzení. Pro každé a ∈ R platí: 1) limx→a c = c pro každé c ∈ R. 2) limx→a x = a. Důkaz: 1) f −1 (U ) = R pro každé U , např. P = P (a, 1). 2) f −1 (U ) = U pro každé U , např. P = U \ {a}. Příklad. limx→+∞ sin x neexistuje: pro b ∈ R existuje Ub 6⊃ h−1, 1i, f −1 (Ub ) neobsahuje prstencové okolí +∞.
Důkaz: f (x) ∈ U (0, ε) právě tehdy, když |f (x)| ∈ U (0, ε). Věta. Monotonní funkce na intervalu má v jeho krajních bodech příslušné jednostranné limity (supremum a infimum funkčních hodnot). Důkaz (pro f neklesající na I = (a, b)): c = sup f (I), okolí U bodu c má levý krajní bod d, existuje e ∈ (d, c) ∩ f (I), f −1 (U ) ⊃ (f−1 (e), b) – levé prstencové okolí b. na
Příklad. ex : R −→ (0, +∞) je rostoucí, tedy limx→−∞ ex = inf(0, +∞) = 0, limx→+∞ ex = sup(0, +∞) = +∞. Příklad.
+∞ , lim xa = 1 , x→+∞ 0,
Příklad. limx→0− sign x = −1, limx→0+ sign x = +1. Věta. Pro funkci f definovanou v prstencovém okolí bodu a ∈ R je limx→a f (x) = b právě tehdy, když limx→a− f (x) = = limx→a+ f (x) = b. Poznámka. Věty lze formulovat i pro jednostranné limity.
0 , lim xa = 1 , x→0+ +∞ ,
a > 0, a = 0, a < 0.
Věta (limita součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí). Limita součtu (rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet (rozdíl, součin, podíl) limit, pokud je definován (včetně operací s nevlastními čísly). Důkaz (pro součet vlastních limit): Pro U (b+c, ε) uvažujme f (Pf ) ⊂ U (b, 2ε ) a f (Pg ) ⊂ U (c, 2ε ), pak (f + g)(Pf ∩ Pg ) ⊂ ⊂ U (b + c, ε). Příklady. 1)
Jednostranné limity zleva/zprava pro levá/pravá prstencová okolí a (body prstencového okolí nalevo/napravo od a).
a > 0, a = 0, a < 0,
lim (2x2 − 3x + 1) = |∞ − ∞ + 1| nedefinováno
x→+∞
= lim x2 (2 − 3x−1 + x−2 ) = (+∞) · 2 = +∞ , x→+∞ 2x − 1 −∞ 2) lim = nedefinováno x→−∞ x2 + 1 +∞ 0−0 2x−1 − x−2 = lim = = 0, −2 x→−∞ 1+0 1 + x 0 x−1 3) lim 2 = nedefinováno x→1 x − 1 0 = lim
x→1
x−1 1 1 = lim = . (x − 1)(x + 1) x→1 x + 1 2
Věta. Je-li limx→a f (x) > 0, limx→a g(x) = 0 a g > 0 na prstencovém okolí bodu a, pak limx→a f (x)/g(x) = +∞. Poznámka.
Příklady. 1) 2) 3)
1 0± = ±∞
Důkaz: Uc g (2): existuje Pb : Pb − → Uc f
2 2 = ±∞ . lim = x→1± x − 1 0± −2 −2 = −∞ . lim = x→1 (x − 1)2 0+ ln(2 − x) −∞ lim = +∞ . = x→2− x2 − 4 0−
(1): existuje Pa : Pa − → Pb ∪ {b} g
f
Příklad. limx→+∞ e 1/x = limy→0 e y = 1 ( x1 6= 0).
sin x = 1. x→0 x stačí x → 0+ (sudá) a x ∈ (0, π2 ), věta o sevření: lim
1< 1>
x 2 x sin x sin x x
< <
g◦f
jinak existuje Pa0 : Pa0 − → Pb , Pa0 −−→ Uc
Příklad.
sin x <
g◦f
(3): pro g(b) = c je Pb ∪ {b} − → Uc , Pa −−→ Uc ,
Věta (o sevření). Je-lif ≤ h ≤ g na prstencovém okolí a, limx→a f (x) = limx→a g(x) = b, pak limx→a h(x) = b.
1 2
Věta (limita složené funkce). Nechť pro a, b, c ∈ R platí: (1) limx→a f (x) = b ∈ R, (2) limy→b g(y) = c ∈ R, (3) g(b) = c nebo f (x) 6= b na prstencovém okolí a. Pak limx→a (g ◦ f )(x) = c.
Příklad. f (x) = x sin x1 : limx→0 f (x) = 0 g(y) = 0 pro y 6= 0, g(0) = 1: limy→0 g(y) = 0 1 (g ◦ f )(x) = 1 pro x ∈ { kπ : k ∈ Z \ {0}}, jinak 0 limx→0 (g ◦ f )(x) neexistuje. Poznámka. Podmínka g(b) = c ve větě o limitě složené funkce znamená spojitost funkce g v bodě b.
1 sin x 2 cos x 1 cos x
Spojitost funkcí
> cos x
Věta. Je-li limx→a f (x) = 0, g je omezená na prstencovém okolí a, pak limx→a f (x) g(x) = 0.
Definice. Funkce f je spojitá v bodě a ∈ D(f ), pokud ke každému okolí U bodu f (a) existuje okolí V bodu a tak, že f V ∩ D(f ) ⊂ U . Funkce je spojitá, pokud je spojitá v každém bodě svého definičního oboru.
Důkaz: |g| ≤ M , 0 ≤ |f (x) g(x)| ≤ M |f (x)|, věta o sevření. Věta. Funkce f definovaná v okolí bodu a je v bodě a spojitá právě tehdy, když limx→a f (x) = f (a).
om. Poznámka. |0 · om.| = ±∞ = 0.
Poznámka. Funkce f je spojitá v izolovaných bodech D(f ) (pro které je D(f ) disjunktní s některým prst. okolím).
Příklad. limx→0 x sin x1 = |0 · om.| = 0. Věta. Je-li f ≤ g na prstencovém okolí a, limx→a f (x) = = +∞, (limx→a g(x) = −∞), pak limx→a g(x) = +∞ (limx→a f (x) = −∞). Věta. Je-li limx→a f (x) = b ∈ {±∞} a g je omezená na prstencovém okolí a, pak limx→a f (x) + g(x) = b. x→a
Důkaz: Pro +∞: g ≥ M , f (x)+g(x) ≥ f (x)+M −−−→ +∞. Poznámka. | ± ∞ + om.| = ±∞ . Příklad. limx→∞ (x + cos x) = |+∞ + om.| = +∞. Tvrzení. Jestliže limx→a f (x) neexistuje, pak platí: 1) Je-li limx→a g(x) vlastní, pak limx→a f (x) ± g(x) neexistuje. 2) Je-li limx→a g(x) vlastní a nenulová, pak neexistují limx→a f (x) · g(x) a limx→a f (x)/g(x) . Důkaz: Sporem, existovala by limx→a f (x) podle věty o limitě součtu, součinu, podílu. Příklad. limx→+∞
sin x 1−2−x
neexistuje. = neex. 1
Poznámka. Podobně spojitosti zleva/zprava. Příklady. 1) x je spojitá. 2) sign x je spojitá v bodech R \ {0}, není spojitá v bodě 0. 3) Charakteristická funkce h0, +∞) je spojitá v bodech R \ {0}, zprava spojitá v 0. 4) Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě (v žádném nemá limitu). ( 1, x ∈ Q, d(x) = 0, x ∈ / Q. Poznámka. Po částech spojitá funkce: v každém omezeném intervalu jen konečně mnoho bodů nespojitosti, v nich konečné jednostranné limity. Věta. 1) Jsou-li f, g spojité v a, pak f ± g, f · g, f /g (pokud je definována), |f | jsou spojité v a. 2) Je-li f spojitá v a, pak je omezená na okolí a. 3) Je-li f spojitá v a, f (a) > 0, pak f (x) > 0 na okolí a. 4) Je-li f spojitá v a, g v f (a), pak g ◦ f je spojitá v a. Věta. Polynomy a racionální funkce jsou spojité funkce. Důkaz: Spojitost konstant, identity, součtu, součinu a podílu.
Věta. Mocniny, exponenciální, goniometrické a hyperbolické funkce a funkce k nim inverzní jsou spojité. Věta. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá největší a nejmenší hodnoty. Věta (o mezihodnotě). Je-li funkce f spojitá na intervalu I a nabývá-li v něm hodnot m a M , m < M , pak v tomto intervalu nabývá všech hodnot z intervalu hm, M i. Věta. Inverzní funkce k ryze monotónní funkci na intervalu je spojitá. Důsledky. 1) Pro spojitou nekonstantní funkci je obrazem intervalu interval (uzavřeného uzavřený). 2) Spojitá funkce na intervalu je prostá (má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotónní. Inverzní funkce je pak spojitá.
Posloupnosti Definice. (Nekonečná) posloupnost (reálných čísel) je zobrazení N → R. Značíme (an )∞ n=1 , an je n-tý člen. nekonečněrozměrný aritmetický vektor
Věta. Limita posloupnosti je její hromadnou hodnotou. Hromadná hodnota posloupnosti je limitou některé její vybrané posloupnosti. Důkaz: 1. Zřemé. 2. Okolí Un hromadné hodnoty smršťující se k ní, akn ∈ Un tak, aby (kn )∞ n=1 byla rostoucí. Příklad. Posl. (−1)n
∞ n=1
má hromadné hodnoty ±1.
Věta. Každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu (omezená posloupnost vlastní ). Důkaz: −∞ nebo +∞, pokud není omezená. Pro omezenou sestrojíme posloupnost vnořených (poloviční délky) uzavřených intervalů obsahujících nekonečně mnoho členů posloupnosti, jejich průnik obsahuje hromadnou hodnotu. Věta. Supremum a infimum množiny hromadných hodnot posloupnosti jsou hromadné hodnoty této posloupnosti. Důkaz: Okolí U obsahuje hrom. hodnotu a její okolí U 0 ⊂ U . limes superior (lim supn→∞ an ) limes inferior (lim inf n→∞ an ) Věta. Pro posloupnost je ekvivalentní: 1) Má limitu. 2) Má jedinou hromadnou hodnotu. 3) Limes inferior a limes superior posloupnosti jsou stejné. 4) Každá vybraná posloupnost má stejnou limitu.
Příklady. 1) (2n )∞ n=1 = (2, 4, 8, . . . ) Derivace funkce
an = a1 q n−1 . . . geometrická s kvocientem q. 2) (1, 3, 5, 7, . . . ) an = a1 + (n − 1)d . . . aritmetická s diferencí d. 3) rekurentně a1 = a2 = 1, an+2 = an + an+1 :
„Okamžitá“ změna funkce jako limita průměrných změn. Definice. Derivace funkce f v bodě a je
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, . . . ) (Fibonacciho) Pojmy a věty jako pro funkce: omezená, monotónní (stačí vztahy mezi an , an+1 ), limita. Posloupnost s vlastní limitou je omezená (nejen lokálně). Věta. Posloupnost (an )∞ n=1 má limitu a ∈ R (limn→∞ an = n→∞ = a, an −−−−→ a), pokud pro každé okolí U bodu a existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n > n0 je an ∈ U . Definice. Posloupnost s vlastní limitou je konvergentní. Věta. limx→a f (x) = b právě tehdy, když limn→∞ f (an ) = = b pro každou posloupnost (an )∞ n=1 čísel z D(f ) \ {a} s limn→∞ an = a. Příklad. limx→+∞ sin x neexistuje: limn→∞ πn = +∞, limn→∞ sin πn = 0, limn→∞ ( π2 + 2πn) = +∞, limn→∞ sin( π2 + 2πn) = 1. Definice. Vybraná posloupnost (podposloupnost) z po∞ ∞ sloupnosti (an )∞ n=1 je posloupnost (akn )n=1 , kde (kn )n=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Poznámka. an = f (n), kn = g(n): akn = (f ◦ g)(n). Definice. Číslo a ∈ R je hromadná hodnota posloupnosti, pokud v každém okolí a leží nekonečně mnoho jejích členů.
df f (a + h) − f (a) (a) = f 0 (a) = lim . h→0 dx h Poznámky. 1)
f (x) − f (a) . x→a x−a
f 0 (a) = lim
2) Podobně jednostranné derivace. 3) Derivace funkce v bodě : f 0 (a) (číslo, i nevlastní). Derivace funkce: f 0 : a 7→ f 0 (a) (funkce, jen vlastní hod.). Derivace: 0 : f 7→ f 0 (operátor). 4) Funkce f má derivaci na intervalu I, pokud f 0 existuje na I (v případných krajních bodech I příslušná jednostranná). √ Příklad. Pro funkci f (x) = 3 x je √ √ 3 1 h− 3 0 1 0 = +∞ . f (0) = lim = lim √ = h→0 h→0 3 h2 h 0+ Věta. 0) 1)
(c)0 = 0
x ∈ R (c ∈ R je konstanta).
a 0
(x ) = ax
a−1
x ∈ R (pro a ∈ N), x 6= 0 (pro a ∈ Z), x > 0 (pro a 6∈ Q).
x 0
x
x ∈ R.
2)
(e ) = e
3)
0
x ∈ R.
0
x ∈ R.
(sin x) = cos x (cos x) = − sin x
Důkaz: 0) (c)0 = limh→0 n 0
1) pro a ∈ N: (x ) = limh→0
1 h
c−c h
= limh→0 0 = 0.
= limh→0 h1 n−1
(xn + nx
n
n
[(x + h) − x ] =
h + · · · + hn − xn ) =
= limh→0 (nxn−1 + · · · + hn−1 ) = nxn−1 . x+h
x
h
2) (e x )0 = limh→0 e h−e = e x ·limh→0 e h−1 = e x ·1 = e x . x = 3) pro sin x: (sin x)0 = limh→0 sin(x+h)−sin h = limh→0
2 cos(x+h/2) sin h/2 h
=
= limh→0 cos(x + h/2) · limh/2→0
sin h/2 h/2
= cos x · 1 = cos x.
Příklady. 1) (x3 )0 = 3x3−1 = 3x2 , x ∈ R. √ √ 3 2) ( 3 x )0 = (x1/3 )0 = 13 x1/3−1 = 1/ 3 x2 , x 6= 0. Věta. Funkce je spojitá v každém bodě, ve kterém má vlastní derivaci. x→a
(a) Důkaz: f (x) = f (a) + f (x)−f · (x − a) −−−→ x−a 0 f (a) + f (a) · 0 = f (a).
Příklady. 1) sign x je nespojitá v 0, 1 0 1 sign0 (0) = limh→0 sign h−sign = lim = 0+ = +∞. h→0 h |h| √ 2) f (x) = 3 x je spojitá v 0, f 0 (0) = +∞. 3) f (x) = |x| je spojitá v 0, f 0 (0) neexistuje: 0 f± (0) = limh→0±
|h|−|0| h
= limh→0± ±1 = ±1.
Věta (o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu). Mají-li funkce f, g vlastní derivace v bodě a, pak: 1) (f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a); 2) (f · g)0 (a) = f 0 (a) g(a) + f (a) g 0 (a); 3) je-li g(a) 6= 0, pak 0 f 0 (a) g(a) − f (a) g 0 (a) f . g (a) = g(a)2
Příklady. 1) (3x2 + 2x + 7)0 = 6x + 2. 2) (x2 e x sin x)0 = 2x e x sin x + x2 e x sin x + x2 e x cos x. 0 x−sin x (cos x)0 sin x 0 = 3) (tg x)0 = cos = (sin x) coscos 2x x =
cos2 x+sin2 x cos2 x
=
1 cos2 x .
Věta (o derivaci složené funkce). Má-li f vlastní derivaci v a, g vlastní derivaci v f (a) = b, pak g ◦ f má v a derivaci (g ◦ f )0 (a) = g 0 (b) · f 0 (a) . Důkaz: Označme f (x) = y. Funkce ( g(y)−g(b) , y 6= b , y−b t(y) = g 0 (b) , y = b, je spojitá v b, v okolí b je g(y) − g(b) = t(y) (y − b), platí g f (x) − g f (a) (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) = = x−a x−a g(y) − g(b) t(y) (y − b) = = = x−a x−a f (x) − f (a) x→a (⇒ y→b) 0 −−−−−−−−−→ g (b) f 0 (a) . = t(y) x−a Poznámky. 1) Schematicky pro f (x) = y, g(y) = z: 2) (fn ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 )0 = fn0 · · · f20 f10 .
dz dx
=
dz dy
·
dy dx .
Příklady. 1) (sin x2 )0 = cos x2 · 2x. 3
3
2) (e cos x )0 = e cos x · (− sin x3 ) · 3x2 . 0 3) f (ax) = f 0 (ax) · a. Poznámka. Obecnější vzorce pro a ∈ R (na R): (e ax )0 = a e ax , (sin ax)0 = a cos ax, (cos ax)0 = −a sin ax.
Důkaz: (f ± g)(x) − (f ± g)(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) = ± x−a x−a x−a x→a 0 0 −−−→ f (a) ± g (a) ; (f · g)(x) − (f · g)(a) = x−a f (x) − f (a) g(x) − g(a) = · g(x) + f (a) · x−a x−a x→a −−−→ f 0 (a) g(a) + f (a) g 0 (a) ; f f g (x) − g (a) = x−a 1 f (x) − f (a) g(x) − g(a) = · g(a) − f (a) · g(a) g(x) x−a x−a 1 0 x→a −−−→ f (a) g(a) − f (a) g 0 (a) . g(a)2 Poznámky. 1) Podobně pro derivace funkcí (nejen v bodě). 2) Pro c ∈ R je (cf )0 = (c)0 f +cf 0 = cf 0 ( „derivace násobku je násobek derivace“). 3) Zobrazení 0 : f → f 0 je lineární. 4) (f1 + f2 + · · · + fn )0 = f10 + f20 + · · · + fn0 , (f1 f2 · · · fn )0 = f10 f2 · · · fn + f1 f20 · · · fn + · · · + f1 f2 · · · fn0 .
0 Derivací (f−1 ◦ f )(x) = x dostaneme f−1 f (x) · f 0 (x) = 1. Věta (o derivaci inverzní funkce). Je-li funkce f spojitá a ryze monotónní na intervalu I a existuje-li nenulová derivace funkce f v a ∈ I, pak 1 0 . f−1 f (a) = 0 f (a) Důkaz: Označme y = f (x), b = f (a). f (I) je otevřený interval, existuje spojitá f−1 na f (I). f−1 (y) − f−1 (b) = y−b
1 f (x)−f (a) x−a
y→b (⇒ x→a)
−−−−−−−−−→
1 f 0 (a)
.
Poznámka. Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivaci chceme spočítat, takže podmínky monotonie a nenulovosti derivace ověřujeme pro inverzní funkci. Příklad. ln x je inverzní k e y , která je spojitá, rostoucí a má nenulovou derivaci. Pro x ∈ D(ln) = (0, +∞) je (ln x)0 =
1 1 1 1 = y = ln x = . (e y )0 e e x
Věta. 1 −1 , (arccotg x)0 = 2 , x∈R +1 x +1 1 −1 (arcsin x)0 = √ , (arccos x)0 = √ , x ∈ (−1, 1) 2 1−x 1 − x2 (arctg x)0 =
x2
Příklad. Důkaz o derivaci xa pro a 6∈ Q: vzorce a 0 a ln x 0 a ln x a (x ) = e =e · x = a xa−1 .
Věty o střední hodnotě
Definice. Derivaci řádu n (n-tou derivaci) funkce f znan číme f (n) nebo ddxf a definujeme rekurentně 0 f (0) = f , f (n) = f (n−1) pro n ∈ N . Příklad. Pro f (x) = 1/x = x−1 dostáváme 0
f (x) = (−1)x
−2
,
f 00 (x) = (−1)x−2
0
= (−1)(−2)x−3 , 0 f 000 (x) = (−1)(−2)x−3 = (−1)(−2)(−3)x−4 , .. . n! f (n) (x) = (−1)n n+1 . x Poznámky. 1) Derivace řádu n je lineární zobrazení, takže (n)
(f1 + f2 + · · · + fk )(n) = f1
(n)
+ f2
Příklad. Určete tečnu a normálu grafu funkce f (x) = e x v bodě [1,?]. f (1) = e, f 0 (x) = e x , f 0 (1) = e tečna: y = f (1) + f 0 (1) (x − 1) = e + e(x − 1) = ex normála: y = e + e(x − 1) = − 1e x + (e + e−1 )
(n)
+ · · · + fk .
2) Derivace součinu dvou funkcí se počítají následovně: (f g)0 = f 0 g + f g 0 , (f g)00 = (f 0 g + f g 0 )0 = f 00 g + 2f 0 g 0 + f g 00 , (f g)000 = f 000 g + 3f 00 g 0 + 3f 0 g 00 + f g 000 , .. . n X n (f g)(n) = f (n−k) g (k) . k
Věta (Rolleova). Nechť pro funkci f platí (1) je spojitá na intervalu ha, bi; (2) má derivaci v každém bodě intervalu (a, b); (3) f (a) = f (b). Pak f 0 (c) = 0 pro některý bod c ∈ (a, b). Důkaz: pro konstantní je f 0 = 0 na (a, b); nekonstantní nabývá minima nebo maxima uvnitř ha, bi; například pro maximum v bodě c ∈ (a, b): (c) 0 ≥ 0, f 0 (c) = f− (c) = limx→c− f (x)−f x−c 0 f 0 (c) = f+ (c) = limx→c+
f (x)−f (c) x−c
≤ 0.
Příklady. 1) Funkce f (x) = x na h0, 1), f (1) = 0 nesplňuje (1). 2) Funkce f (x) = |x| na h−1, 1i nesplňuje (2). 3) Funkce f (x) = x na h0, 1i nesplňuje (3). Věta (Lagrangeova, o přírůstku funkce). Nechť funkce f je spojitá na ha, bi a má derivaci v každém bodě (a, b). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f (b) − f (a) = f 0 (c) · (b − a) . (a) (x−a) splňuje Důkaz: funkce g(x) = f (x)−f (a)− f (b)−f b−a podmínky Rolleovy věty, existuje c ∈ (a, b): (a) . 0 = g 0 (c) = f 0 (c) − f (b)−f b−a
Tvrzení. Je-li funkce f spojitá v bodě a zprava a existuje-li f 0 (a+), pak 0 f+ (a) = f 0 (a+) .
k=0
Důkaz: podle Lagrangeovy věty pro x > a taková, že (a, x) ⊂ D(f ), existuje cx ∈ (a, x); pro x → a+ je cx → a+; (a) 0 f+ (a) = limx→a+ f (x)−f = limx→a+ f 0 (cx ) = f 0 (a+) x−a
Aplikace derivací
Poznámka. Podobně pro derivaci zleva, oboustrannou. Geometrické aplikace f (x)−f (a) x−a 0
. . . směrnice sečny body [a, f (a)], [x, f (x)]
Příklad. Pro f (x) = arcsin x je 1 1 0 f+ (−1) = limx→−1+ √1−x = 0+ = +∞. 2
f (a) . . . směrnice tečny v [a, f (a)] tečna:
y − f (a) = f 0 (a) (x − a) y = f (a) + f 0 (a) (x − a) = T1 (x)
směrový vektor tečny (kolmý k normále): 1, f 0 (a)
normála: x + f 0 (a) y = a + f 0 (a) f (a) pro f 0 (a) = 0 ,
x = a, y = f (a) −
1 (x − a) f 0 (a)
pro f 0 (a) 6= 0 .
Věta (Cauchyova). Nechť funkce f, g jsou spojité na intervalu ha, bi, mají vlastní derivaci na (a, b) a g 0 (x) 6= 0 na (a, b). Pak existuje c ∈ (a, b) tak, že f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c) Důkaz: funkce h(x) = f (b)−f (a) g(x)− g(b)−g(a) f (x) splňuje podmínky Rolleovy věty, existuje c ∈ (a, b): 0 = h0 (c) = f (b) − f (a) g 0 (c) − g(b) − g(a) f 0 (c), protože g 0 (x) 6= 0 na intervalu (a, b), je g 0 (c) 6= 0 a také g(b) 6= g(a)
l’Hospitalovo pravidlo Věta (l’Hospitalovo pravidlo). Nechť pro funkce f, g platí: (1) limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0 nebo limx→a+ |g(x)| = +∞, 0 (x) (2) existuje limx→a+ fg0 (x) ∈ R. Pak f (x) f 0 (x) lim = lim 0 . x→a+ g(x) x→a+ g (x)
Poznámky. 1) Podobně pro hx, ai. 2) n = 0: f (x) = f (a) + f 0 (c) (x − a) (Lagrange). 3) f (n+1) spojitá, x blízko a . . . c blízko a . . . f (n+1) (c) blízko f (n+1) (a) . . . Tn+1 přesnější Důkaz:
Tn (a) = Tn0 (a) = .. .
f (a) f 0 (a)
(n)
f (n) (a)
Tn (a)
Důkaz: pro limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0:
=
f 0 , g 0 existují a g 0 (x) 6= 0 na některém (a, bi, položme
f (x) = Tn (x) + M (x − a)n+1
f (a) = g(a) = 0 (pak f, g jsou spojité na ha, bi); podle
g(t) = f (t) − Tn (t) − M (t − a)n+1 ,
t ∈ ha, xi
Cauchyovy věty pro ha, xi (x ∈ (a, b)) existuje cx ∈ (a, x): f (x) g(x)
=
f (x)−f (a) g(x)−g(a)
=
f 0 (cx ) x→a+ −−−−→ g 0 (cx ) − cx →a+
limx→a+
Rolle (n + 1)-krát:
f 0 (x) g 0 (x)
Poznámky. 1) Podobně pro limitu zleva či oboustrannou. 2) L’Hospitalovo pravidlo lze použít opakovaně.
∃ cn ∈ (a, cn−1 ) : ∃ c ∈ (a, cn ) :
1) limx→0
0 lH = +∞ +∞ = limx→+∞
ex 2
=
= +∞.
5) limx→+∞ (1 + 1/x)x = exp[limx→+∞ x ln(1 + 1/x)] = = = exp limx→+∞ ln(1+1/x) 1/x l0 H 1/(1+1/x)·(−1)/x2 = exp limx→+∞ −1/x2 1 1+1/x ]
g (n) (cn ) = 0 g (n) (a) = 0 g (n+1) (c) = 0
f (n+1) (c) − 0 − M · (n + 1)! = 0
ln x 4) limx→0+ x ln x = |0 · (−∞)| = limx→0+ 1/x = 0 lH 1/x = −∞ +∞ = limx→0+ −1/x2 = limx→0+ (−x) = 0.
= exp[limx→+∞
g(a) = 0 g 0 (a) = 0 g 00 (a) = 0
.. .
Příklady. 1 0 l0 H ln(1+x) = limx→0 1+x = 1. = x 1 0 0 lH 1/x √ x = +∞ = limx→+∞ 2) limx→+∞ ln +∞ (1/2)x−1/2 x = limx→+∞ √2x = 0. x x +∞ l0 H 3) limx→+∞ ex2 = +∞ = limx→+∞ e2x =
g(x) = 0 g 0 (c1 ) = 0 g 00 (c2 ) = 0
∃ c1 ∈ (a, x) : ∃ c2 ∈ (a, c1 ) :
= exp 1 = e.
6) limx→+∞ (ln x − x) = |∞ − ∞| = limx→+∞ ln exx = −∞. Poznámka. Pokud limita podílu derivací neexistuje, nelze l’Hospitalovo pravidlo použít. To neznamená, že limita po sin x dílu funkcí neexistuje: limx→+∞ x = omez. +∞ = 0, ale limita podílu derivací limx→+∞ cos1 x neexistuje. Poznámka. L’Hospitalovo pravidlo lze použít i pro výpočet limit posloupností, pokud najdeme vhodnou funkci. Například limn→∞ e n/n = limx→+∞ e x/x = +∞. Taylorův polynom Věta (Taylorova). Nechť funkce f má spojité derivace do řádu n ≥ 0 na ha, xi, f (n+1) existuje v každém bodě (a, x). Pak existuje c ∈ (a, x) tak, že f 0 (a) f 00 (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + 1! 2! f (n) (a) f (n+1) (c) + (x − a)n + (x − a)n+1 . n! (n + 1)!
f (x) = f (a) +
Taylorův polynom funkce f v bodě a řádu n . . . Tn (x), zbytek v Lagrangeově tvaru.
M=
f (n+1) (c) (n + 1)!
Příklady.
1 1 1 n x + x2 + · · · + x 1! 2! n! 1 1 1 cos x ∼ 1 − x2 + x4 − x6 + · · · 2! 4! 6! 1 1 1 sin x ∼ x − x3 + x5 − x7 + · · · 3! 5! 7! ex ∼ 1 +
Poznámka. Taylorův polynom sudé (liché) funkce v 0 je funkce sudá (lichá). Příklad. Spočtěte číslo e s přesností 10−3 , víte-li, že e < 3. f (x) = e x , a = 0, e = f (1) ≈ Tn (1) ec 3 1n+1 ≤ (n+1)! < 10−3 pro n ≥ 6 chyba (n+1)! T6 (1) = 2,718 05, chyba 0,000 226 . . . , odhad 0,000 595 . . . Asymptotické chování funkcí a posloupností Definice. Nechť funkce g je definována v prstencovém okolí bodu a ∈ R. 1) Funkce f je třídy O(g) (f = O(g), f ∈ O(g)) pro x → a, pokud existuje číslo M a prstencové okolí P bodu a tak, že |f (x)| ≤ M |g(x)| pro každé x ∈ P . 2) Nechť g je navíc nezáporná v prstencovém okolí bodu a. Funkce f je třídy Θ(g) (f = Θ(g), f ∈ Θ(g)) pro x → a, pokud existují kladná čísla m, M a prstencové okolí P bodu a tak, že m · g(x) ≤ f (x) ≤ M · g(x) pro každé x ∈ P . Poznámka. Podobně pro jednostranné limity (a okolí) a pro limity posloupností, obvykle x → 0, x → 0+, n → ∞. Věta. 1) Je-li limx→a
f (x) g(x) (x) limx→a fg(x)
∈ R, pak f = O(g) pro x → a.
2) Je-li ∈ (0, +∞) a g je kladná na prstencovém okolí bodu a, pak f = Θ(g) pro x → a.
Důkaz: 1) Existence vlastní limity znamená omezenost ně číslem M na prstencovém okolí P bodu a, tj. kterým f (x) g(x) ≤ M na P .
Věta. Je-li f 0 (a) > 0, pak existuje okolí U bodu a tak, že pro x, y ∈ U , x < a < y, je f (x) < f (a) < f (y) (f je rostoucí v bodě a).
2) Označíme-li danou limitu b, pak existuje m ∈ (0, b), M ∈ (x) ∈ (b, 0) a prstencové okolí P bodu a tak, že m ≤ fg(x) ≤M a g(x) > 0 na P .
Důkaz:
Příklad. f (x) = 2x2 + 5x
Poznámky. 1) f 0 (a) < 0 . . . f je klesající v bodě a. 2) Pro f 0 (a) = 0 se nic netvrdí.
limx→+∞ fx(x) 2 limx→0 f (x) x =
2
= 2 ∈ (0, +∞), f = Θ(x ) pro x → +∞ 5 ∈ (0, +∞), f = Θ(x) pro x → 0
Věta. Uvažujme x → a pro a ∈ R, g, g1 , g2 funkce na prstencovém okolí a. 1) Třída O(g) tvoří lineární prostor (je uzavřena na násobek a součet). 2) Je-li f1 = O(g1 ) a f2 = O(g2 ), pak f1 f2 = O(g1 g2 ). Důkaz: 1) f1 , f2 = O(g), c1 , c2 ∈ R; pro i ∈ {1, 2} existuje číslo Mi a prstencové okolí Pi bodu a tak, že |fi (x)| ≤ Mi |g(x)| na Pi ; |c1 f1 (x) + c2 f2 (x)| ≤ |c1 | |f1 (x)| + |c2 | |f2 (x)| ≤ ≤ (|c1 |M1 + |c2 | M2 ) |g(x)| na P1 ∩ P2 . 2) Pro i ∈ {1, 2} existuje číslo Mi a prstencové okolí Pi bodu a tak, že |fi (x)| ≤ Mi |gi (x)| na Pi ; |f1 (x) f2 (x)| ≤ ≤ M1 M2 |g1 (x) g2 (x)| na P1 ∩ P2 . Příklad. limx→0
1 x2
= limx→0
(1−cos x) = limx→0 x12 1−(1− 21 x2 +O(x3 )) = 1 1 2 1 1 3 x2 2 x + O(x ) = limx→0 2 + O(x) = 2 .
Průběh funkce Monotonie a extrémy Věta (o monotonii). Je-li funkce f spojitá na intervalu I a má-li v každém vnitřním bodě I derivaci, pak: 1) Je-li f 0 (x) > 0 uvnitř I, pak f je rostoucí v I. 2) Je-li f 0 (x) < 0 uvnitř I, pak f je klesající v I. 3) Je-li f 0 (x) ≥ 0 uvnitř I, pak f je neklesající v I. 4) Je-li f 0 (x) ≤ 0 uvnitř I, pak f je nerostoucí v I. Důkaz: x, y ∈ I, x < y Lagrange: f (x) − f (y) = f 0 (c) (x − y), c ∈ (x, y) 1) f (x) − f (y) < 0 . . . f (x) < f (y) . . . rostoucí 2)–4) podobně Poznámky. 1) Je-li f 0 = 0 na intervalu, pak f je konstantní. 2) Je-li f 0 = g 0 na intervalu, pak f, g se liší o konstantu. 3
Příklad. f (x) = x − 3x + 1 f 0 (x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1) f 0 > 0 na (−∞, −1) ∪ (1, +∞) . . . f rostoucí na (−∞, −1i, h1, +∞) f 0 < 0 na (−1, 1) . . . f klesající na h−1, 1i Příklad. f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 f 0 > 0 na (−∞, 0), (0, +∞) . . . f rostoucí na (−∞, 0i, h0, +∞) . . . rostoucí na R
0
0 < f (a) =
(
limx→a− limy→a+
f (x)−f (a) x−a f (y)−f (a) y−a
, ,
f (x) < f (a) vlevo f (y) > f (a) vpravo
Definice. Funkce f má v bodě a lokální minimum (lokální maximum), jestliže f (x) ≥ f (a) (f (x) ≤ f (a)) na některém prstencovém okolí bodu a. Poznámky. 1) Lokální extrém: lok. minimum nebo lok. maximum. 2) Ostrý lokální extrém: ostrá nerovnost. Věta. Má-li funkce f v bodě a lokální extrém, pak buď f 0 (a) neexistuje nebo f 0 (a) = 0 (a je stacionární bod f ). Důkaz: f 0 (a) > 0 . . . f rostoucí v a . . . není lokální extrém f 0 (a) < 0 . . . f klesající v a . . . není lokální extrém Příklad. f (x) = x3 − 3x + 1 (viz dříve) f 0 (x) = 3x2 − 3, existuje všude, nulová v ±1 f (−1) = 3 . . . ostré lokální maximum f (1) = −1 . . . ostré lokální minimum Příklad. f (x) = |x| f 0 (x) = sign x pro x 6= 0, f 0 (0) neexistuje f (0) = 0 ostré lokální minimum Příklad. f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 existuje všude, nulová v 0 f (0) = 0 není lokální extrém Věta. Nechť f 0 (a) = 0. 1) Je-li f 00 (a) > 0, pak f má v a ostré lokální minimum. 2) Je-li f 00 (a) < 0, pak f má v a ostré lokální maximum. Důkaz: 1) f 00 (a) > 0 . . . f 0 rostoucí v a . . . f 0 (x) < f 0 (a) = = 0 < f 0 (y) pro x < a < y v některém okolí . . . f klesající vlevo, rostoucí vpravo . . . v a ostré lok. minimum 2) podobně nebo přechodem k −f Příklad. f (x) = x3 − 3x + 1 (viz dříve) f 0 (x) = 3x2 − 3, x1,2 = ±1, f 00 (x) = 6x f 00 (−1) = −6 < 0 . . . ostré lokální maximum f 00 (1) = 6 > 0 . . . ostré lokální minimum Příklad. f (x) = x3 f 0 (x) = 3x2 , x1,2 = 0, f 00 (x) = 6x f 00 (0) = 0 . . . kritérium nerozhodne, není l. e. Příklad. f (x) = x4 f 0 (x) = 4x3 , x1,2,3 = 0, f (0) = 0 ostré lok. minimum f 00 (x) = 12x2 , f 00 (0) = 0 . . . kritérium nerozhodne, je l. e. f (3) (x) = 24x, f (3) (0) = 0 f (4) (x) = 24, f (4) (0) = 24 > 0
Poznámka. Pro f 0 (a) = · · · = f (2n−1) (a) = 0: 1) f (2n) (a) > 0 . . . ostré lokální minimum, 2) f (2n) (a) < 0 . . . ostré lokální maximum. Věta. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá maxima (minima) buď v bodě, ve kterém má lokální maximum (minimum), nebo v některém krajním bodě intervalu. Důkaz: Extrém ve vnitřním bodě je lokální. Poznámka. Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivace není nebo je nulová, v krajních bodech intervalu, které do něj patří. Ověříme limity v nepatřících krajních bodech. Příklad. f (x) = x2 + 2x na h−2, +∞). f 0 (x) = 2x + 2, nemá derivaci: ∅, stacionární body: −1, f (−1) = −1, patřící krajní body: −2, f (−2) = 0, nepatřící krajní body: +∞, limx→+∞ f (x) = +∞, min f = f (−1) = −1, max f neexistuje. Konvexita, konkavita, inflexní body Konvexita: 1) spojnice grafu nad grafem, 2) tečna pod grafem, 3) směrnice sečen rostou. Definice. Funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže pro každé x, y, z ∈ I, x < y < z, platí f (z) − f (y) f (y) − f (x) ≤ y−x z−y (konkávní pro ≥, ryze konv. pro <, ryze konk. pro >). Věta. Je-li f spojitá na intervalu I a má-li v každém vnitřním bodě I druhou derivaci, pak: 1) Je-li f 00 (x) ≥ 0 uvnitř I, pak f je konvexní. 2) Je-li f 00 (x) ≤ 0 uvnitř I, pak f je konkávní. Důkaz: 1) x < y < z: f 0 je neklesající, Lagrange . . . existují c ∈ (x, y), d ∈ (y, z): f (y) − f (x) f (z) − f (y) = f 0 (c) ≤ f 0 (d) = y−x z−y Poznámka. Podobně pro ostré nerovnosti s „ryze“. Definice. Bod [a, f (a)] je inflexním bodem grafu funkce f (funkce f má v bodě a inflexi), pokud je funkce f spojitá v bodě a, existuje f 0 (a) a funkce f je na některém jednostranném okolí a ryze konvexní a na některém jednostranném okolí a ryze konkávní.
Asymptoty f (x) ∼ px + q Definice. Má-li funkce f v bodě a ∈ R alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, nazýváme přímku o rovnici x = a asymptotou grafu funkce f v bodě a. Asymptota grafu funkce f v bodě a ∈ {±∞} je přímka o rovnici y = px + q taková, že: lim f (x) − px − q = 0 . x→a
Příklad. f (x) =
1 x−1
+ 12 x, D(f ) = R \ {1}
limx→1± f (x) = ±∞ . . . x = 1 je asymptota v 1 limx→±∞ f (x) − 12 x = 0 . . . y = 21 x je asymptota v ±∞ Věta. Graf funkce f má v a ∈ {±∞} asymptotu o rovnici y = px + q právě tehdy, když f (x) = p , lim f (x) − px = q . lim x→a x→a x Příklad. f (x) = x sin x limx→∞ f (x)/x = limx→∞ sin x neex. . . . as. v +∞ neex. Příklad. f (x) = x2 limx→∞ f (x)/x = limx→∞ x = +∞ . . . as. v +∞ neex. Příklad. f (x) = ln x limx→∞ (ln x)/x = limx→∞ x1 = 0 (l’H) limx→∞ (ln x − 0 · x) = +∞ . . . as. v +∞ neex. 1 Příklad. f (x) = x + |x| + 1 + x−1 , D(f ) = R \ {1} limx→1± = ±∞ . . . asymptota x = 1 limx→+∞ f (x) x = 2, limx→+∞ f (x) − 2x = 1 . . . asymptota y = 2x + 1 v +∞ limx→−∞ f (x) x = 0, limx→−∞ f (x) = 1 . . . asymptota y = 1 v −∞
Poznámky. 1) Je-li limx→a f (x) = b ∈ R pro a ∈ {±∞}, pak asymptota v a má rovnici y = b. 2) Existují-li asymptota v a ∈ {±∞} o rovnici y = px + q a limx→a f 0 (x), pak p = limx→a f 0 (x). Příklad. f (x) = x1 sin x2 limx→±∞ f (x) = 0 . . . asymptota y = 0 v ±∞ limx→±∞ f 0 (x) = limx→±∞ − x12 sin x2 +2 cos x2 . . . neex. Shrnutí vyšetřování průběhu funkce
Věta. 1) Má-li f v a inflexi, pak f 00 (a) neexistuje nebo f 00 (a) = 0. 2) Je-li f 00 (a) = 0, f 000 (a) 6= 0, pak f má v a inflexi. Poznámka. f 00 (a) = · · · = f (2n) (a) = 0, f (2n+1) (a) 6= 0 . . . inflexe v a. Příklad. f (x) = x3 − 3x + 1 f 0 (x) = 3x2 − 3, f 00 (x) = 6x, x1 = 0 f 000 (x) = 6, f 000 (0) 6= 0 . . . 0 je inflexní bod nebo: f 00 < 0 pro x < 0, f 00 > 0 pro x > 0
f : definiční obor, sudost, lichost, perioda, spojitost, limity v hraničních bodech D(f ), v bodech nespojitosti, asymptoty. f 0 : monotonie, (lokální) extrémy, obor hodnot, tečny grafu v hraničních bodech D(f ), D(f 0 ). f 00 : konvexita/konkavita, inflexní body (včetně tečen). Graf. Příklad. f (x) = x3 − 3x2 + 3|x| Příklad. f (x) =
x2 (x+1)2
Neurčitý integrál Definice. Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na intervalu I, jestliže F 0 = f na I. Poznámky. 1) V krajních bodech jednostranné derivace. 2) Lze zobecnit: na sjednocení intervalů; F 0 = f až na konečnou (či jinou) množinu. 3) Ne všechny funkce mají primitivní. Věta (vlastnost mezihodnoty pro derivaci). Nechť f je derivací F na intervalu I, a, b ∈ I, f (a) < d < f (b). Pak existuje c mezi a, b takové, že f (c) = d. Důkaz: G(x) = F (x) − dx má vlastní derivaci . . . je spojitá . . . nabývá minima v c . . . G0(±) (a) < 0 < G0(±) (b), tj. c mezi a, b . . . G0 (c) = 0 . . . f (c) = d. Příklad. sign x není derivací žádné funkce. Věta. Spojitá funkce na intervalu má primitivní funkci. 2
Poznámka. Primitivní funkce k e −x existuje, ale nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Věta. 1) Je-li F primitivní funkce k f na I, c ∈ R, pak F + c je primitivní funkce k f na I. 2) Jsou-li F1 , F2 primitivní funkce k f na I, pak F1 − F2 je konstantní na I. Důkaz: 1) (F + c)0 = F 0 + 0 = F 0 = f 2) (F1 − F2 )0 = F10 − F20 = f − f = 0 . . . F1 − F2 konst. na I Příklad. Na disjunktních intervalech mohou být konstanty různé, např. pro f (x) = sign x, x 6= 0: ( −x + c1 , x < 0 , F (x) = x + c2 , x > 0 .
Příklady. R 1) x6 dx = 71 x7 + c, x ∈ R. R −1 2) dx 3 = 2x2 + c, x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, +∞). R x√ √ 3) 4 x dx = 45 x 4 x + c, x ∈ h0, +∞). R √ √ 4) 5 x dx = 56 x 5 x + c, x ∈ R. Věta (linearita). Jsou-li F1 , . . . , Fn primitivní funkce k f1 , . . . , fn na I, c1 , . . . , cn ∈ R, pak c1 F1 + · · · + cn Fn je primitivní funkce k c1 f1 + · · · + cn fn na I. Důkaz: (c1 F1 + · · · + cn Fn )0 = c1 F10 + · · · + cn Fn0 = c1 f1 + · · · + cn fn Příklad. R (x+3)2 = x
1 2
x2 +6x+9 ln |x|+c, x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, +∞)
Věta (integrace per partes). Nechť na intervalu I existují R u0 , v 0 , u0 v. Pak R 0 R uv = uv − u0 v na I . R Důkaz: (uv − u0 v)0 = u0 v + uv 0 − u0 v = uv 0 . u = x + 1 v 0 = sin x = Příklad. (x + 1) sin x dx = 0 u =1 v = − cos x R = −(x + 1) cos x − − cos x dx = −(x + 1) cos x + sin x + c, x∈R R
Příklad.
R
1 2
x2 e 2x dx =
x2 −
1 2
x+
1 4
e 2x + c, x ∈ R
Poznámka. Podobně P (x) e ax , P (x) sin ax, P (x) cos ax (P polynom, a 6= 0). u = e x v 0 = sin x = e x sin x dx = 0 x u = e x v 0= − cos x R u=e v = cos x = = − e x cos x + e x cos x dx = 0 u = e x v = sin x x x = − e cos x + e sin x − I I = 21 e x (sin x − cos x) + c, x ∈ R
Příklad. I =
R
Poznámka. Podobně e ax sin bx, e ax cos bx (a, b 6= 0). Definice. Množinu všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I nazýváme neurčitým integrálem f na I (pokud je neprázdná). Z Z f=
f (x) dx = {F + c : c ∈ R} = F + c .
Tabulkové integrály: Z xa+1 + c, intervaly D(xa ) (a 6= −1) xa dx = a+1 Z dx = ln |x| + c , x ∈ (−∞, 0), x ∈ (0, +∞) x Z x ∈ R (a 6= 0) e ax dx = a1 e ax + c , Z sin ax dx = − a1 cos ax + c , x ∈ R (a 6= 0) Z x ∈ R (a 6= 0) cos ax dx = a1 sin ax + c , Z dx = arctg x + c , x∈R x2 + 1 Z dx √ = arcsin x + c , x ∈ (−1, 1) 1 − x2
1 x
1 2
ln2 x + c, x ∈ (0, +∞)
Příklad.
R
Příklad.
R
ln x dx =
= x ln x −
R
1 dx = x(ln x − 1) + c, x ∈ (0, ∞)
ln x dx = R
u = ln x ln x · 1 dx = 0 u = 1 x
v 0 = 1 = v = x
Poznámka. Podobně xa ln x (a 6= −1). ϕ
f
Věta (substituce). Nechť (α, β) − → (a, b) − → R, ϕ0 existuje na (α, β), F (x) je primitivní funkce k f (x) na (a, b). R 1) f ϕ(t) ϕ0 (t) dt = F ϕ(t) + c na (α, β). na
2) Je-li ϕ : (α, β) −→ (a, b) prostá a G je primitivní funkce k f ϕ(t) ϕ0 (t) na (α, β), pak R f (x) dx = G ϕ−1 (x) + c na (a, b). d Důkaz: 1) dt F ϕ(t) = F 0 ϕ(t) · ϕ0 (t) =f ϕ(t) · ϕ0 (t). 2) G(t) i F ϕ(t) jsou primitivní k f ϕ(t) ·ϕ0 (t) . . . G(t) = = F ϕ(t) + c; existuje ϕ−1 (x) . . . G ϕ−1 (x) = F (x) + c je primitivní k f .
Používáme (v obou směrech) zápis: Z Z x = ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ0 (t) dt f (x) dx = dx = ϕ0 (t) dt Příklady. R 3 1) sin t·cos t dt =
sin t = x R 3 = x dx = cos t dt = dx
1 4
Důkaz: (částečný) Dělením polynomů dostaneme součet polynomu a ryze lomené funkce P1 +L1 . Pro jiný zápis P2 +L2 je P1 − P2 = L2 − L1 polynom i ryze lomená funkce, tj. nulová funkce a tedy P2 = P1 , L2 = L1 . Pro ryze lomenou funkci P/Q a k-násobný kořen a polynomu Q (k > 0) je Q(x) = (x−a)k Q2 (x) pro některý polynom Q2 s Q2 (a) 6= 0.
x4 +c =
1 4
sin4 t + c, x ∈ R −x2 = t 2 = · · · = − 1 e t + c, x ∈ R 2) x e −x dx = 1 2 x dx = − dt 2 R ln x = t 1 2 3) x1 ln x dx = 1 = 2 ln x + c, x ∈ (0, +∞) x dx = dt =
R
Příklady. x = et 1 2 R 1 = ln x + c, x ∈ (0, +∞) 1) x ln x dx = t 2 dx = e dt x = sin t R R 1 = dt = t + c = arcsin x + c, = 2) √1−x 2 dx = cos t dt x ∈ (−1, 1), t ∈ (− π2 , π2 ) Poznámky. ax + b = t 1 R = F (ax+b)+c (a 6= 0). 1) f (ax+b) dx = a a dx = dt R f 0 (x) f (x) = t = ln |f (x)| + c. 2) f (x) dx = 0 f (x) dx = dt Příklady. R 1) (x + 1)4 dx = 51 (x + 1)5 + c, x ∈ R R 1 −1 1 1 2) (3x−1) 2 dx = 3(3x−1) , x ∈ (−∞, 3 ), x ∈ ( 3 , +∞) R 3) tg x dx = − ln |cos x| + c, x ∈ (− π2 , π2 ) + kπ, k ∈ Z R x−2 4) x2 −4x+5 dx = 12 ln(x2 − 4x + 5) + c, x ∈ R R 5) arctg x dx = x arctg x − 12 ln(x2 + 1) + c, x ∈ R
P (a) P (a) P (x) − Q(a) Q2 (x) P (x) Q(a) = − . k k Q(x) (x − a) (x − a) Q2 (x) Čitatel má za kořen a, je tedy roven (x − a)P2 (x), P (a)
P2 (x) P (x) Q(a) = − . k Q(x) (x − a) (x − a)k−1 Q2 (x) Snížili jsme stupeň jmenovatele, pokračujeme dokud je a kořen jmenovatele a pak pro další kořeny. Postup: 1) Dělení (polynom + ryze lomená funkce). 2) Rozklad jmenovatele na součin kořenových činitelů a ireducibilních kvadratických polynomů. 3) Rozpis na parciální zlomky s „neurčitými koeficienty“. 4) Určení koeficientů (soustava lineárních rovnic, zakrývací pravidlo). Příklad.
2x2 +x−24 x2 −2x−8
Příklad.
−2x+5 (x−1)2 (x+2)
2 x−4
+
3 x+2 .
1 (x−1)2
+
−1 x−1
=2+ =
+
1 x+2 .
Integrace parciálních zlomků 1) Mocnina lineárního polynomu ve jmenovateli: Z Z x − a = t dt dx = = dx = dt (x − a)n tn 2) Mocnina kvadratického polynomu ve jmenovateli: Z Z A Ap Ax + B 2 (2x + p) + B − 2 dx = dx (x2 + px + q)n (x2 + px + q)n
Integrace racionálních funkcí Rozklad racionální funkce Definice. Racionální (lomená) funkce je podíl dvou polyP nomů Q , kde Q je nenulový. Ryze lomená funkce je podíl P dvou polynomů Q , kde st P < st Q (st 0 = −1). Parciální zlomky jsou funkce ve tvaru A Ax + B , , A, B, a, p, q ∈ R, n ∈ N, (x − a)n (x2 + px + q)n kde (x2 + px + q) nemá reálný kořen, tj. p2 − 4q < 0. Poznámka. V C jen první typ parciálních zlomků. Věta. Nenulový polynom lze (jednoznačně ) napsat ve tvaru k1
a(x−a1 )
kr
2
l1
2
ls
· · · (x−ar ) (x +p1 x+q1 ) · · · (x +ps x+qs ) ,
2a) V čitateli derivace kvadratického polynomu: 2 Z Z x + px + q = t dt 2x + p = dx = 2 n (2x + p) dx = dt (x + px + q) tn R dt 2b) V čitateli konstanta: převedeme na (t2 +1) n = In . Pro n > 1 upravíme Z Z 2 Z dt t + 1 − t2 −t2 dt In = = dt = I + n−1 2 n 2 n (t + 1) (t + 1) (t2 + 1)n u = t v 0 = −t (t2 +1)n = 0 = u = 1 v = 2(n−1)(t12 +1)n−1 = In−1 +
t 1 − In−1 , 2(n − 1)(t2 + 1)n−1 2(n − 1)
kde r, s ∈ N ∪ {0}, k1 , . . . , kr , l1 , . . . , ls ∈ N, a, a1 , . . . , ar , p1 , . . . , ps , q1 , . . . , qs ∈ R, a1 , . . . , ar jsou různé reálné kořeny, x2 +pi x+qi (i = 1, . . . , s) jsou různé a nemají reálné kořeny.
dostaneme rekurentní vzorec: t 2n − 3 + In−1 , In = 2 n−1 2(n − 1)(t + 1) 2n − 2 I1 = arctg t + c .
Věta. Racionální funkce se dá (jednoznačně ) rozložit na součet polynomu a parciálních zlomků. Jmenovatelé těchto zlomků dělí jmenovatel dané racionální funkce.
R R 5 Příklad. x2 −2x+5 dx = 5 5 R dt = x−1 2 =t = 2 t2 +1 .
dx (x−1)2 +4
=
n ∈ N \ {1} ,
5 4
R
dx
x−1 4
=
2
+1
R R 2 2 2 dx = Příklad. (x2 −6x+10) 2 dx = (x−3)2 +1 t t = x − 3 = t = 2I2 = t2 +1 + I1 = t2 +1 + arctg t + c = x−3 = x2 −6x+10 + arctg(x − 3) + c, x ∈ R.
R 3c) sinn x · cosm x dx: pro liché m či n viz 3b); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému argumentu sin2 x = 12 (1 − cos 2x) , Příklad.
Integrace dalších typů funkcí
Z 1)
ax e = t Z 1 1 ax R(e ) dx = x = a ln t = R(t) dt at dx = 1 dt at x ∈ R ↔ t ∈ (0, +∞)
(a 6= 0)
R t2 +2t+3 R 4x e 2x +3 dx = e 2x = t = 2t(t Příklad. e e+2 4x −1 2 −1) dt, R t4 +2t2 +3 x R e 4x +2 e 2x +3 dx = e = t = e 4x −1 t(t4 −1) dt. Z ln x = t R(ln x) = R(t) dt dx = 1 x x dx = dt
Z 2) Příklad.
R
Z 3)
2 x(ln2 +4)
R dx = ln x = t =
2 t2 +4
dt.
x tg = t 2 R(sin x, cos x) dx = x = 2 arctg t dx = 22 dt t +1 x ∈ (−π, π) ↔ t ∈ R
sin x =
2 tg x2 2 sin x2 cos x2 2t = = 2 x 2 x t +1 sin 2 + cos2 2 tg2 x2 + 1
cos x =
cos2 x2 − sin2 sin2 x2 + cos2
x 2 x 2
=
1 − tg2 x2 1 − t2 = 2 2 x t +1 tg 2 + 1
Někdy nutno spojovat přes sousední intervaly. R
2 5−3 cos x
R
x 2)
2 4t2 +1
Příklad. dx = = arctg(2 tg + c + kπ pro x ∈ (−π, π) + 2kπ (k ∈ Z), limity v π + 2kπ. 3a) „sudé mocniny“ (R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)): tg x = y Z R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x) dx = x = arctg t dx = 21 dt
R
cos2 x = 21 (1 + cos 2x) .
R sin3 x · cos4 x dx = cos x = t = (t6 − t4 ) dt.
R R 4 Příklad. = 41 − 12 cos 2x + R 3 1 sin x dx 1 = 8 − 2 cos 2x + 8 cos 4x dx.
1 4
cos2 2x dx =
4) n > 1, ad − bc 6= 0: q n ax+b Z r = t cx+d n ax + b R x, dx = x = R1 (t) cx + d dx = R10 (t) dt R
√ √ √x+1−√x−1 x+1+ x−1
Příklad. q R = x−1 = t = x+1
1−t 1+t
dx = ·
R
4t (t2 −1)2
p x−1 x+1 p x−1 dx =
1− 1+
x+1
dt.
√ R 5) R(x, ax2 + bx + c) dx, a 6= 0: vytknutím a, doplněním naR čtverec √ a lineární substitucí upravíme na integrál ve tvaru R(x, ±x2 ± a2 ), a > 0. Lze použít goniometrické, Eulerovy nebo hyperbolické substituce. R
√
a2 − x2 ) dx, x ∈ (−a, a): √ • x = a sin t, t ∈ (− π2 , π2 ), a2 − x2 = a cos t; p √ • upravíme a2 − x2 = (a + x) (a − x)/(a + x) a použijeme substituci pro typ 4 (Eulerova substituce).
5a)
R(x,
R√ R Příklad. 4 − x2 dx = x = 2 sin t = 4 cos2 t dt = √ = 2 arcsin x2 + x2 4 − x2 + c, x ∈ h−2, 2i. 5b)
R
R(x,
√
x2 − a2 ) dx, x ∈ (−∞, −a), x ∈ (a, +∞):
• x = a/(sin t); √ • x2 − a2 + x = t (Eulerova substituce); √ • x = a cosh t, x2 + a2 = a|sinh t|. Příklad.
R
√ dx x2 −1
√ R = x2 − 1 + x = t =
dt t .
t +1
x ∈ (− π2 , π2 ) ↔ t ∈ R sin2 x tg2 x t2 = 2 = 2 2 t +1 sin x + cos x tg x + 1 2 cos x 1 1 cos2 x = = 2 = 2 2 2 t +1 sin x + cos x tg x + 1 sin x cos x tg x t sin x cos x = = 2 = 2 t +1 sin2 x + cos2 x tg x + 1 sin2 x =
2
3b) „lichá“ v sin nebo v cos: Z cos x = t 2 R(sin x, cos x) sin x dx = − sin x dx = dt 2 2 sin x = 1 − t Z sin x = t 2 R(sin x, cos x) cos x dx = cos x dx = dt cos2 x = 1 − t2 Příklad.
R
dx cos3 x
R = sin x = t =
dt (1−t2 )2 .
5c)
R
R(x,
√
x2 + a2 ) dx, x ∈ R:
• x = a tg t; √ • x2 + a2 + x = t, (Eulerova substituce); √ • x = a sinh t, x2 + a2 = a cosh t. Příklad. R dx √
x2 +2x+5
=
R
√
dx (x+1)2 +4
R = x + 1 = 2 sinh t = dt.
Určitý integrál Definice. Dělení intervalu ha, bi je konečná množina D ⊂ ⊂ ha, bi obsahující a, b. Značíme D = {x0 , . . . , xn }, a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Definice. Pro omezenou funkci f na ha, bi a dělení D intervalu ha, bi zavádíme dolní a horní integrální součet: n X S(f, D) = inf f (hxi−1 , xi i) · (xi − xi−1 ) i=1
S(f, D) =
n X
sup f (hxi−1 , xi i) · (xi − xi−1 )
i=1
Přidáme-li k dělení další bod, dolní součet se nezmenší a horní se nezvětší. Pro libovolná dělení D1 , D2 dostaneme: (b − a) inf f = S(f, {a, b}) ≤ S(f, D1 ) ≤ S(f, D1 ∪ D2 ) ≤ ≤ S(f, D1 ∪ D2 ) ≤ S(f, D2 ) ≤ S(f, {a, b}) = (b − a) sup f. Každý dolní součet je menší nebo roven každému hornímu součtu, supremum dolních integrálních součtů je menší nebo rovno infimu horních integrálních součtů. Definice. Je-li pro omezenou funkci f na ha, bi supremum dolních integrálních součtů rovno infimu horních integrálních součtů, nazýváme tuto hodnotu určitý (Riemannův) integrál funkce f na ha, bi. Čísla a, b se nazývají dolní a horní mez integrálu. Značení:
Rb a
f,
Rb a
f (x) dx, (R)–
Rb a
f , (R)–
Rb a
f (x) dx.
Poznámka. Pro n(D) = max{xi − xi−1 : i ∈ {1, . . . , n}} n X lim f (ci ) · (xi − xi−1 ) , ci ∈ hxi−1 , xi i . n(D)→0
Věta. Monotónní funkce na uzavřeném intervalu má určitý integrál. Důkaz: Dn = {a, a + b−a na n částí), n , . . . , b} (ekvidistantní n→∞ f (b) − f (a) − S(f, Dn ) − S(f, Dn ) = b−a · − − − → 0 n Věta. Z každého pokrytí uzavřeného intervalu otevřenými lze vybrat konečné pokrytí. Důkaz: Sporem. Střed intervalu je pokryt některým otevřeným intervalem, zůstanou nejvýše 2 nepokryté uzavřené intervaly, alespoň jeden se nedá pokrýt konečně mnoha danými intervaly, ten vezmeme a postup opakujeme. Dostaneme posloupnost (In )∞ uzavřených intervalů, n=1 vnořených T∞ jejichž délky klesají k nule. n=1 In = {c}, c je pokryto některým otevřeným intervalem, který ale pokrývá všechny dostatečně krátké In – spor. Definice. Funkce f je stejnoměrně spojitá, pokud pro každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že |f (y) − f (z)| < ε pro y, z ∈ D(f ) taková, že |y − z| < δ. Poznámka. Funkce na intervalu s omezenou derivací je stejnoměrně spojitá (důsledek Lagrangeovy věty).
i=1
Rb Věta. Pro omezenou funkci f na ha, bi existuje a f právě tehdy, když existuje posloupnost (Dn )∞ n=1 dělení ha, bi taková, že lim S(f, Dn ) = lim S(f, Dn ) . n→∞
n→∞
V takovém případě je integrál roven těmto limitám. 00 ∞ Důkaz: ⇒: existují (Dn0 )∞ n=1 , (Dn )n=1 :R n→∞ R b b 0 00 n→∞ S(f, Dn ) −−−−→ a f , S(f, Dn ) −−−−→ a f , 00 0 0 0 S(f, Dn ) ≤ S(f, Dn ∪ Dn ) ≤ S(f, Dn ∪ Dn00 ) ≤ S(f, Dn00 ), (Dn0 ∪ Dn00 )∞ n=1 je hledaná posloupnost dělení; ⇐: supD S(f, D) ≥ limn→∞ S(f, Dn ) = = limn→∞ S(f, Dn ) ≥ inf D S(f, D) ≥ supD S(f, D), . . . všude rovnosti
Rb Příklad. a c dx = c(b − a) Pn S(c, Dn ) = S(c, Dn ) = i=1 c(xi − xi−1 ) = c(b − a) R1
Příklad. d(x) = 1 pro x ∈ Q, jinak 0 R1 (R)– 0 d(x) dx neex.: S(f, D) = 0, S(f, D) = 1 R1 R1 (L)– 0 d(x) dx = (L)– 0 0 dx = 0, nebo 0 · λ(h0, 1i \ Q) + 1 · λ(h0, 1i ∩ Q) = 0 (λ(Q) = 0)
1 2:
Příklad. 0 x dx = Dn = {0, n1 , n2 , . . . , 1} Pn 2 n→∞ S(f, Dn ) = i=1 i−1 · 1 = n2n−n −−−−→ 2 Pn in 1 n n2 +n n→∞ S(f, Dn ) = i=1 n · n = 2n2 −−−−→ 12 R2 Příklad. 0 sign x dx = 2: Dn = {0, n1 , 2}, S(f, Dn ) = 2 −
1 n→∞ −−−→ n −
1 2
2, S(f, Dn ) = 2
Poznámka. Hodnota integrálu nezávisí na hodnotách funkce v konečně mnoha bodech. Poznámka. Lebesqueův integrál – dělení v oboru hodnot: X di · λ f −1 (hyi−1 , yi )) , di ∈ hyi−1 , yi ) . i
Nezávisí na hodnotách funkce ve spočetně mnoha bodech.
Věta. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá. Důkaz: f na I, ε > 0; pro x ∈ I ex. δx > 0: |f (y) − f (x)| < 2ε pro y ∈ U (x, δx ) ∩ I; |f (y) − f (z)| < ε pro y, z ∈ U (x, δx ) ∩ I; {U (x, δx ) : x ∈ I} je pokrytí I, vezmeme konečné; označme δ nejmenší vzdálenost krajních bodů (v I); pro y, z ∈ I, |y − z| < δ ex. U (x, δx ) 3 y, z. Věta. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má určitý integrál. Důkaz: f na ha, bi; pro n1 ex. δn : |f (y)−f (z)| < n1 pro |y −z| < δn , y, z ∈ ha, bi; ex. Dn s intervaly kratšími než δn ; n→∞ 0 ≤ S(f, Dn ) − S(f, Dn ) < n1 (b − a) −−−−→ 0. Věta. Nechť f, g jsou omezené na ha, bi, c ∈RR. Pak: Rb Rb b 1) a (f + g) = a f + a g, Rb Rb 2) a cf = c a f , Rb Rb 3) je-li f ≤ g na ha, bi, pak a f ≤ a g, R b R b 4) a f ≤ a |f |.
Rb a
f,
Rb a
g existují,
Důkaz: 1) inf(f + g)(I) ≥ inf f (I) + inf g(I), S(f + g, D) ≥ S(f, D) + S(g, D), Rb Rb supD S(f + g, D) ≥ a f + a g, Rb Rb inf D S(f + g, D) ≤ a f + a g podobně protože supD S(f + g, D) ≤ inf D S(f + g, D), jsou rovnosti.
2) c ≥ 0: Rb sup S(cf, D) = sup cS(f, D) = c sup S(f, D) = c a f , Rb inf S(cf, D) = inf cS(f, D) = c inf S(f, d) = c a f ; c < 0: Rb sup S(cf, D) = sup cS(f, D) = c inf S(f, D) = c a f , Rb inf S(cf, D) = inf cS(f, D) = c sup S(f, d) = c a f . 3) S(f, D) ≤ S(g, D) . . . sup S(f, D) ≤ sup S(g, D). 4) f+ (x) = max{f (x), 0}, f− (x) = max{−f (x), 0}, Rb ex. (Dn )∞ n=1 : S(f, Dn ), S(f, Dn ) → a f , n→∞ 0 ≤ S(f+ , Dn )−S(f+ , Dn ) ≤ S(f, Dn )−S(f, Dn ) −−−−→ 0, Rb Rb Rb Rb Rb f ex., a f− = a (f+ − f ) ex., a |f | = a (f+ + f− ) ex., a + Rb Rb Rb −|f | ≤ f ≤ |f | . . . − a |f | ≤ a f ≤ a |f | Poznámka. Omezené integrovatelné fnkce na ha, bi tvoří Rb Rb lineární prostor, zobrazení a : f 7→ a f je lineární. Rc Věta. Nechť a < b < c, f je omezená na ha, bi. Pak a f Rb Rc existuje právě tehdy, když existují a f a b f . V takovém případě Rc Rb Rc f = af+ b f. a Důkaz: D0 dělení ha, bi, D00 dělení hb, ci, D = D0 ∪ D00 je dělení ha, ci obsahující b, S(f, D0 ) + S(f, D00 ) = S(f, D), S(f, D0 ) + S(f, D00 ) = S(f, D), suprema a infima dostaneme jako vhodné limity: sup S(f, D0 ) + sup S(f, D00 ) = sup S(f, D) D0 D 00 D ≤ ≤ ≤ 0 00 inf0 S(f, D ) + inf00 S(f, D ) = inf S(f, D) D
D
Ra a
Rx a
f (t) dt (případně +F (a)).
Poznámka. RDerivace integrálu podle horní meze (pro f x d f (t) dt = f (x). spojitou): dx a Poznámka. Po částech spojitá f : jednostranné derivace F jsou rovny příslušným jednostranným limitám f . Příklad. f (x) = sign x: Rx Z x 1 dt = x , x≥0 0 R = |x| , F (x) = f (t) dt = x −1 dt = −x , x ≤ 0 0 0 F−0 (0) = −1 = f (0−), F+0 (0) = 1 = f (0+). Věta (Newtonova–Leibnizova formule). Nechť f je omeRb zená na ha, bi, a f existuje a F je primitivní funkce k f na (a, b). Pak Z b b f (x) dx = F (x) a = F (b−) − F (a+) . a
Důkaz: |f | ≤ M na ha, bi, an = a + n1 ∈ ha, bi pro n ≥ n0 , pro x ∈ (a, an ) (Lagrange): |F (x) − F (an )| = |f (cx,n ) · (x − an )) ≤ M n , M M F (a, an ) ⊂ hF (an ) − n , F (an ) + n i = In , 2M n→∞ ∞ (I Tn∞)n=n0 uzavřené vnořené intervaly délek n −−−−→ 0, n=n0 In = {F (a+)}, F (a+) existuje (podobně F (b−)); D = {x0 , x1 , . . . , xnP }, n F (b+) − F (a−) = i ) − F (xi−1 ) = (Lagrange) i=1 F (x Pn P n = i=1 F 0 (ci )(xi − xi−1 ) = i=1 f (ci )(xi − xi−1 ) S(f, D) ≤ F (b+) − F (a−) ≤ S(f, D) supD S(f, D) ≤ F (b+) − F (a−) ≤ inf D S(f, D)
D
stejné sčítance pod sebou právě tehdy, když stejné součty Definice. Definujeme
Důkaz: a ∈ I, F (x) =
f = 0,
Ra b
f =−
Rb a
f pro a < b.
Poznámka. Rovnost v předešlé větě pro libovolná a, b, c. Poznámka. Po částech spojité funkce (konečně mnoho bodů nespojitosti s konečnými jednostrannými limitami) i po částech monotónní funkce jsou integrovatelné. Rb Věta. Nechť f je omezená na ha, bi, a f existuje, F (x) = Rx = a f (t) dt pro x ∈ ha, bi. Pak 1) F je spojitá. 2) F 0 (x) = f (x) v bodech spojitosti funkce f . Důkaz: F je definována (aditivita na definičním oboru) R a+h Rx R x+h F (x+h)−F (x) = a f (t) dt− a f (t) dt = x f (t) dt, 1) |f | ≤ M na ha, bi, R x+h R x+h |F (x+h)−F (x)| = x f (t) dt ≤ sign h x |f (t)| dt ≤ R x+h h→0(±) ≤ sign h x M dt = M · |h| −−−−−→ 0. 1 2) h F (x + h) − F (x) − f (x) = R x+h R x+h = h1 x f (t) dt − h1 x f (x) dt = 1 R x+h 1 R x+h = h x f (t) − f (x) dt ≤ h x |f (t) − f (x)| dt ≤ (f spoj. v x: pro ε > 0 je |f (t) − f (x)| < ε na okolí x) R x+h ≤ h1 x ε dt = h1 · hε = ε. Důsledek. Funkce spojitá na intervalu má na tomto intervalu primitivní funkci.
Příklady. 1 R1 1) 0 x dx = 21 x2 0 = 21 − 0 = 12 . u = x v 0 = sin x Rπ = 2) 0 x sin x dx = 0 u = 1 v = − cos x π R π π = −x cos x 0 + 0 cos x dx = π−0+ sin x 0 = π+(0−0) = = π. 2 √ x + 1 = t R2 √ R1 √ 2 = 3) 0 x x + 1 dx = t dt = 8−1 1 3 . 1 x dx = dt 2 Rπ sin x = t R 0 = 0 t dt = 0. 4) 0 sin x cos x dx = cos x dx = dt Rb Poznámka. Newtonův int.: (N)– a f (x) = F (b−)−F (a+). Existuje-li Riemannův i Newtonův integrál, jsou stejné. Příklady. 1) r(x) = 1b pro x = ab , a ∈ Z, b ∈ N nesoudělná, jinak 0, R1 R1 (N)– −1 r(x) dx neex., (R)– −1 r(x) dx = 0. R1 R1 2 2 2) (N)– 0 e −x dx ex., (R)– 0 e −x dx ex., F nelze „dobře“ vyjádřit. R1 R1 3) (N)– 0 x−1/2 dx = 2, (R)– 0 x−1/2 dx neex. R ∞ −2 R ∞ −2 4) (N)– 1 x dx = 1, (R)– 1 x dx neex.
Nevlastní integrál I neomezené funkce či intervaly, nevlastní hodnoty.
Definice. Nechť f : (a, b) → R (a, b ∈ R)) není omezená Rd nebo (a, b) není omezený, c f existuje pro každý hc, di ⊂ ⊂ (a, b). Definujeme nevlastní integrál: Z e Z d Z b f (x) dx + lim f (x) dx , f (x) dx = lim a
c→a+
c
d→b−
e
pokud je výraz vpravo definován pro některé e ∈ (a, b). Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje. Poznámka. Výběr e není podstatný, pro e0 je: R e0 Re R e0 limc→a+ c f = limc→a+ c f + e f , Rd Rd R e0 limd→b− e0 f = limd→b− e f − e f .
Poznámka. Základní vlastnosti (linearita, monotonie, odhad absolutní hodnoty integrálem z absolutní hodnoty) platí i pokud připustíme nevlastní integrály (pokud existují výrazy s případnými nevlastními hodnotami). Příklady. u = x v 0 = e −x R +∞ −x = ··· = 1) 0 x e dx = 0 u = 1 v = − e −x +∞ −x−1 = e −x (−x − 1) 0 = limx→+∞ ex − (−1) = 0 + 1 = 1. −1 R0 R +∞ −2 −1/x −x = t = −1 e t dt = 2) 1 x e dx = −2 x dx = dt 0 = et −1 = 1 − 1e . R +∞ dx R +∞ 1 1 x +∞ 3) 1 = ln 2, x2 +x = 1 x − x+1 dx = ln x+1 0 R +∞ 1 R +∞ 1 nelze 1 x dx − 1 x+1 dx = ∞ − ∞. Poznámka. Nevlastní integrál alternativně: (a, b) = S∞ = i=1 hai , bi i skoro disjunktní, f+ (x) = max{f (x), 0}, Rb P R bi P R bi f− (x) = max{−f (x), 0}, a f = i ai f+ − i ai f− . Konvergence integrálu funkce pak znamená konvergenci integrálu její absolutní což pro Newtonův integrál R +∞hodnoty, sin x neplatí, např. pro 0 dx. x Rb Věta. 1) Jestliže |f | ≤ g na (a, b), a g konverguje a f je Rb po částech spojitá, pak a f konvergje. Rb 2) Jestliže f ≤ g na (a, b), a f = +∞ a g je po částech Rb spojitá, pak a g = +∞. 1 [ln x]0 = 0 − ( (−∞) = ∞ , a h i ∞ 1 1 x dx = xa+1 a+1 − a+1 = ∞ , 0 a+1 0 = 1 1 a+1 − 0 = a+1 , ∞ Z ∞ [ln x]1 = ∞(− 0 = ∞ , 1 xa dx = h xa+1 i∞ ∞ − a+1 = ∞, 1 a+1 1 = 1 −1 0 − a+1 = a+1 , 1
P (x) Q(x) xn
= A ∈ R \ {0}, např. A > 0 P (x) 1 3 existuje b > a, 0 tak, že Q(x) xn ∈ 2 A, 2 A pro x > b limx→∞
P (x) 3 1 n n P n 2 Ax < Q(x) < 2 Ax ( Q = Θ(x )) R∞ 3 n R∞ Ax konv. pro n < −1, b 12 Axn = ∞ pro n b 2 R∞ P R∞ P a a Q konv. právě pro n < −1, tj. n ≤ −2 b Q
Příklady.
Příklady. R +∞ dx π π ∞ 1) −∞ 1+x 2 = [arctg x]−∞ = 2 − (− 2 ) = π, konverguje. R +∞ dx ∞ 2) 1 x = [ln x]1 = ∞ − 0 = ∞, existuje, nekonverguje. ∞ R +∞ x 3) −∞ 1+x2 dx = 12 ln(1 + x2 ) −∞ = ∞ − ∞, neexistuje.
Z
Důkaz: n = st P − st Q ∈ Z
a = −1
R∞ 0
x2 +4x+5 x4 +1
dx konv.,
R∞ 0
x2 +4x+5 x3 +1
≥ −1
dx = +∞.
Tvrzení. Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, c ∈ ha, bi je jediný kořen polynomu Q násobnosti větší než polynomu Rb P P . Pak a Q ∈ {±∞} pro n sudé nebo c ∈ {a, b}, jinak neexistuje. Důkaz:
P Q
se v okolí c chová jako
Příklady.
R0 −2
x2 +4x+5 x3 +1
dx neex.,
±1 (x−c)n .
R0 −2
x2 +4x+5 (x+1)3
dx = +∞.
Příklad (Laplaceova transformace). Nechť funkce f : (0, +∞) → R je po částech spojitá a má omezený exponenciální růst, tj. existují konstanty M, a ∈ R tak, že |f (t)| ≤ M e at (f = O(e at )). Laplaceovým obrazem funkce f je funkce F daná předpisem Z +∞ F (p) = f (t) e −pt dt . 0
Je definována pro p > a (Re p > a v C): |f (t) e −pt | ≤ M e (a−p)t , M (a−p)t ∞ R∞ M e (a−p)t dt = a−p e =0− 0 0 Příklad.
M a−p
konverguje.
+∞
Z
tx−1 e −t dt .
Γ(x) = 0
Konverguje pro x > 0: R1 |tx−1 e −t | ≤ tx−1 , 0 tx−1 dt konverguje pro x > 0; R∞ pro n ≥ x − 1 je |tx−1 e −t | ≤ tn e −t , 1 tn e −t dt = −1 = (per partes) = [Pn (t) e −t ]∞ konverguje. 1 = 0 − Pn (1) e R ∞ −t −t ∞ Γ(1) = 0 e dt = [− e ]0 = 0 − (−1) = 1. u = tx R ∞ x −t v 0 = e−t Γ(x + 1) = 0 t e dt = 0 = u = xtx−1 v = − e −t x −t ∞ R ∞ x−1 −t = −t e 0 + 0 xt e dt = x Γ(x).
Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = · · · = (n − 1)! Γ(1) = (n − 1)!
Aplikace určitého integrálu
a < −1 a > −1
Definice. Střední hodnota funkce f na intervalu ha, bi je Z b 1 f (x) dx , b−a a
a = −1
pokud integrál konverguje.
a > −1 a < −1
Příklad. Střídavé napětí u(t) = U0 sin 2πt T má na odporu R
Tvrzení. Nechť P, QRjsou nenulové polynomy, Q nemá v +∞ P ha, +∞) kořeny. Pak a Q konverguje právě tehdy, když st Q ≥ st P + 2.
okamžitý výkon p(t) =
1 R
u2 (t) =
U02 R
sin2
2πt T . Jeho střední U02 2R což pro stejno-
hodnota (například na intervalu h0, T i) je √ směrný proud odpovídá napětí Ue = 22 U0 (efektivní napětí střídavého proudu).
Věta (o střední hodnotě). Spojitá spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá své střední hodnoty. Důkaz: f na ha, bi má primitivní F , podle Lagrangeovy věty (a) = F 0 (c) = f (c) pro některé c ∈ (a, b). je F (b)−F b−a Věta. Nechť funkce f ≤ g jsou po částech spojité na (a, b), a, b ∈ R. Obsah {[x, y] : a < x < b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} je Z b g(x) − f (x) dx . a
Důkaz: hc, di ⊂ (a, b): n→∞ R d ex. (Df,n )∞ −−−→ c f , n=1 : S(f, Df,n ), S(f, Df,n ) − n→∞ R d ∞ ex. (Dg,n )n=1 : S(g, Dg,n ), S(g, Dg,n ) −−−−→ c g, pro Dn = Df,n ∪ Dg,n : S(g, Dn ) − S(f, Dn ) ≤ P ≤ S(g, Dn ) − S(f, Dn ) , Rd Rd (g − f ) ≤ P ≤ c (g − f ) ; c limity c → a+, d → b−.
Důkaz (náznak pro uzavřený interval): supremum pro po částech lineární interpolace f , 2 obsah pláště komolého kužele: 2π r1 +r s, 2 p Pn 2 2π f (ci ) (xi − xi−1 ) + [f (xi ) − f (xi−1 )]2 = p Pi=1 n f (ci ) 1 + [f 0 (c0i )]2 (xi − xi−1 ) ∼ i=1 2π p Rb p ∼ S(2πf 1 + (f 0 )2 , D) → 2π a f 1 + (f 0 )2 √ Příklad. Obsahqsféry (f (x) = r2 − x2 na h−r, ri) je 2 Rr √ 2π −r r2 − x2 · 1 + 12 (r2 − x2 )−1/2 (−2x) dx = 4πr2 . Souřadnice těžiště v rovině: My xT = , m
a
Důkaz: Pro uzavřený interval (pak případně limity): délka = supremum délek po částech lineárních interpolací, Pn p l(D) = i=1 (xi − xi−1 )2 + [f (xi ) − f (xi−1 )]2 = Pn p = i=1 (xi − xi−1 )2 + [f 0 (ci ) (xi − xi−1 )]2 = Pn p = i=1 1 + [f 0 (ci )]2 (xi − xi−1 ), ci ∈ (xi−1 , xi ), p p S( 1 + (f 0 )2 , D) ≤ l(D) ≤ S( 1 + (f 0 )2 , D),
a
Z Mx = λ
Věta. Nechť funkce f je po částech spojitá na (a, b), a, b ∈ ∈ R. Objem {[x, y, z] : a < b < a, y 2 + z 2 ≤ f 2 (x)} je Z b π f 2 (x) dx . a
Důkaz: Pro uzavřený interval (pak případně limity): pro dělení D uvažujeme vepsané/opsané válce: S(πf 2 , D) ≤ V ≤ S(πf 2 , D) Rb Rb π a f2 ≤ V ≤ π a f2 Příklad. Objem kužele (f (x) = Rv π 0 r2 x2 /v 2 dx = 31 πr2 v. Příklad. Objem koule (f (x) = Rr 2π 0 (r2 − x2 ) dx = 43 πr3 .
√
r v
x na h0, vi) je
r2 − x2 na h−r, ri) je
Věta. Nechť funkce f má po částech spojitou derivaci na (a, b). Obsah plochy vzniklé rotací grafu f kolem osy x je Z b p 2π f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx . a
b
f (x)
p 1 + [f 0 (x)]2 dx .
a
Příklad. Těžiště čtvrtkružnice (f (x) = má souřadnice xT = yT = π2 r.
√
r2 − x2 na h0, ri)
Momenty plošných útvarů (f ≥ 0, σ je plošná hustota): Z b Z σ b 2 My = σ x f (x) dx , Mx = f (x) dx . 2 a a Příklad. Těžiště plochy pod obloukem kosinusoidy (f (x) = = cos x na h− π2 , π2 i) má souřadnice xT = 0, yT = π8 .
Numerická integrace
integrál i supremum délek interpolací jako limity Příklad. Délka astroidy (x/r)2/3 + (y/r)2/3 = 1 je Rrp 4 0 1 + [((r2/3 − x2/3 )3/2 )0 ]2 dx = 6r.
Mx . m
Momenty lineárních útvarů (λ je lineární hustota): Z b p x 1 + [f 0 (x)]2 dx , My = λ
2 2 Příklad. R a pObsah plochy uvnitř elipsy (x/a) + (y/b) = 1 je 4 0 b 1 − (x/a)2 dx = πab.
Věta. Nechť funkce f má po částech spojitou derivaci na (a, b). Délka grafu funkce f je Z bp 1 + [f 0 (x)]2 dx .
yT =
Chyby: metody, výpočtu. Metody: na 1 pokus, iterační (posloupnost konv. k řešení). Řád: popisuje rychlost konv. při zlepšování parametru. Z b I= f (x) dx ≈ (b − a) w1 f (x1 ) + · · · + wk f (xk ) . a
Aproximujeme střední hodnotu funkce váženým průměrem hodnot v uzlech xi ∈ ha, bi s váhami wi (w1 + · · · + wk = 1). Uzly dle metody, váhy pro největší řád, integrují se přesně polynomy menšího stupně. Mn = maxx∈ha,bi |f (n) (x)|. Gaussova metoda Optimální volba uzlů, řád je dvojnásobek jejich počtu. Řešíme soustavu rovnic pro střední hodnoty mocnin. Pro k = 1 je w1 = 1, x1 = a+b M (b − a)3/24. 2 , odhad chyby p 2 1 Pro k = 2 na h−1, 1i je w1,2 = 2 , x1,2 = ± 1/3 řešením x0 :
1 = w1
+ w2
1
0 = w1 x1 + w2 x2
2
x :
1 3
x3 :
0 = w1 x31 + w2 x32
x :
= w1 x21 + w2 x22
Odhad chyby je M4 (b − a)5/4320.
Newtonovy–Cotesovy metody Uzly z ekvidistantního dělení ha, bi, včetně (uzavřená metoda) nebo bez (otevřená metoda) krajních bodů a, b. Řád metody je počet uzlů zaokrouhlený na sudé číslo nahoru. Poznámka. Někdy nekonvergují (pro rostoucí počet uzlů).
Poznámka. Je-li P polynomiální interpolace funkce f se spojitou derivací řádu n + 1 na intervalu ha, bi pro různé body x0 , . . . , xn ∈ ha, bi, pak pro x ∈ ha, bi je |f (x) − P (x)| ≤
Mn+1 (n+1)!
|(x − x0 ) . . . (x − xn )| .
Věta. Má-li f na ha, bi spojitou druhou derivaci, pak |I − T (h)| ≤
M2 12
M2 = max |f 00 (x)| .
(b − a)h2 ,
x∈ha,bi
Složené metody Interval ha, bi rozdělíme na n částí délek (b − a)/n = h s krajními body a = x0 < x1 < · · · < xn = b, na každé použijeme vybranou metodu. Zlepšujeme zvětšováním n. Obdélníková metoda používá otevřenou Newtonovu– Cotesovu metodu pro jeden uzel (uprostřed, váha je 1): 1 + · · · + f xn−12+xn . R(h) = h f x0 +x 2 Věta. Má-li f na ha, bi spojitou druhou derivaci, pak |I − R(h)| ≤
M2 24
M2 = max |f 00 (x)| .
(b − a)h2 ,
Důkaz: hx0 , x1 i, s1 = (x0 + x1 )/2. Chyba integrace je Z x1 Z x1 f (x) − P (x) dx ≤ f (x) − P (x) dx x0 x0 Z x − s1 = t M2 x 1 ≤ |(x − x0 )(x − x1 )| dx = dx = dt 2 x0 Z h/2 M2 h/2 h2 2 = −t dt = M2 41 h2 t − 13 t3 0 2 −h/2 4 3 1 2 = M2 18 h3 − 24 h3 = M 12 h . Stejný odhad je na ostatních podintervalech:
x∈ha,bi
|I − T (h)| ≤
Důkaz: hx0 , x1 i, s1 = (x0 + x1 )/2. Taylorova věta: f (x) = f (s1 ) + f 0 (s1 ) (x − s1 ) +
f 00 (cx ) 2
(x − s1 )2
pro některý bod cx ∈ (x0 , x1 ). Chyba integrace je Z x1 Z x1 f (x) − f (s1 ) dx f (x) dx − h f (s1 ) = x0 x0 Z x1 Z 0 1 x1 00 2 = f (s1 ) (x − s1 ) dx + f (cx ) (x − s1 ) dx 2 x x0 | 0 {z } =0 Z Z M2 x 1 1 x1 00 |f (cx )| (x − s1 )2 dx ≤ (x − s1 )2 dx ≤ 2 x0 2 x0 Z h/2 x − s1 = t 3 h/2 3 2 = M2 = t2 dt = M2 t3 0 = M 24 h . dx = dt 0 M2 24
h3 n =
M2 24
(b − a)h2 .
Poznámka. Pokud bychom použili hodnotu (např.) v levém krajním bodě (pro funkci danou tabulkou), dostali bychom metodu řádu 1 s odhadem chyby M21 (b − a)h. Lichoběžníková metoda používá uzavřenou Newtonovu– Cotesovu metodu pro 2 uzly (váhy jsou 1/2): T (h) = h 12 f (a) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 ) + 12 f (b) .
|f (x) − P (x)| ≤
M2 2
(t − x0 )(t − x1 ) . g(t) = f (t) − P (t) − f (x) − P (x) (x − x0 )(x − x1 ) tři nulové body x0 , x1 , x. Podle Rolleovy věty má g 0 dva nulové body v (x0 , x1 ) a g 00 nulový bod cx ∈ (x0 , x1 ): 2 0 = g 00 (cx ) = f 00 (cx ) − f (x) − P (x) (x−x0 )(x−x 1) |f (x) − P (x)| ≤
(b − a)h2 .
−1 1
Z =h
−1
(t−0)(t−1) (t+1)(t−1) f (x0 ) (−1−0)(−1−1) + f (x1 ) (0+1)(0−1) +
(t+1)(t−0) + f (x2 ) (1+1)(1−0) dt
= h [ 31 f (x0 ) +
4 3
f (x1 ) +
1 3
f (x2 )] .
Sečtením přes dvojice podintervalů dostaneme S(h) =
h 3
[f (x0 )+4 f (x1 )+2 f (x2 )+· · ·+4 f (xn−1 )+f (xn )] .
Věta. Má-li f na ha, bi spojitou čtvrtou derivaci, pak M4 180
(b − a)h4 ,
M4 = max |f (4) (x)| . x∈ha,bi
Poznámka. Simpsonova metoda je řádu 4 a je tedy přesná i pro polynomy stupně 3.
|(x − x0 )(x − x1 )| .
Důkaz: Pro x ∈ (x0 , x1 ) má funkce
f (x) − P (x) =
M2 12
Simpsonova metoda používá uzavřenou Newtonovu– Cotesovu metodu pro 3 uzly. Rozděluje tedy každý podinterval na dva. Pro lepší srovnání označme n (sudý) počet všech takto vzniklých podintervalů. Hodnoty vah získáme integrací kvadratické interpolace, kterou dostaneme lineární kombinací Lagrangeových polynomů Pi , Pi (xj ) = δi,j : Z 1 Z x2 (x − x1 ) = ht =h P˜ (t) dt P (x) dx = dx = h dt −1 x0 Z 1 =h f (x0 ) P0 (t) + f (x1 ) P1 (t) + f (x2 ) P2 (t) dt
|I − S(h)| ≤ Věta. Je-li P lineární interpolace funkce f se spojitou druhou derivací na intervalu hx0 , x1 i (tj. P je lineární funkce, P (x0 ) = f (x0 ), P (x1 ) = f (x1 )), pak pro x ∈ hx0 , x1 i je
h3 n =
Poznámka. Odhad chyby obdélníkové metody je lepší než u lichoběžníkové, přestože se používá horší polynom. Využití středu intervalu odpovídá totiž aproximaci tečnou.
Stejný odhad je na ostatních podintervalech: |I − R(h)| ≤
M2 12
f 00 (cx ) (x − x0 )(x − x1 ) , 2 M2 2 |(x − x0 )(x − x1 )| .
Richardsonova extrapolace Pro metodu F řádu p konvergující k F (0) je F (h) = F (0) + ahp + O(hq ) , kde a ∈ R, q ∈ N, q > p. Uvažujme h > 0 a proložme body [hp , F (h)] a [(2h)p , F (2h)] přímku: P (x) = F (h) +
F (2h) − F (h) (x − hp ) . (2p − 1)hp
Stačilo by: metoda R dělení 101 hodnot 101
Richardsonova extrapolace je P (0) = F (h) +
F (h) − F (2h) = F1 (h) ≈ F (0) . 2p − 1
Věta. Nechť F (h) = F (0) + ahp + O(hq ), p, q ∈ N, p < q. Pak F1 (h) = F (0) + O(hq ). q
Důkaz: O(h ) je uzavřeno na lineární kombinace: F (2h) = F (0) + a2p hp + O(hq )
T S Romberg 143 8 4 144 9 5
Iterační proces by skončil: R metoda dělení 128 hodnot 255
a(1 − 2p )hp + O(hq ) = 2p − 1 = F (0) + O(hq ) .
Gauss 1 3
T S 256 8 257 9
F1 (h) = F (0) + ahp +
Číselné řady
Příklady. Uvedené metody mají chyby jen sudých řádů: T1 (h) = T (h) + 13 T (h) − T (2h) = S(h) řádu 4 , 1 řádu 6 . S1 (h) = S(h) + 15 S(h) − S(2h) Poznámky. Odstraníme chybu nejnižšího řádu. 1) Dostaneme přesnější metodu. 2) Přičítaná hodnota dobře odhaduje chybu (nemusí to být horní odhad), což můžeme použít v iteračním postupu: Spočteme pro h, opakovaně počítáme pro poloviční krok a odhadujeme chybu, dokud nedosáhneme požadované přesnosti. Pro lichoběžníkovou a Simpsonovu metodu stačí dopočítat hodnoty jen v nových bodech (můžeme mít dokonce uloženy součty pro předcházející krok).
Začneme s lichoběžníkovou metodou, při přechodu k polovičnímu kroku dopočítáme všechny dostupné Richardsonovy extrapolace (v k-tém sloupci je metoda řádu 2k), odhadujeme chyby hodnot pod diagonálou: T1 (h/2) T1 (h/4) T2 (h/4) T1 (h/8) T2 (h/8) .. .. . .
Příklad. Spočtěte
R1 0
√1 2π
P∞ Definice. (Nekonečná číselná) řada je výraz k=1 ak , kdeP(ak )∞ k=1 je posloupnost čísel. Číslo ak je k-tý člen, sn = n = k=1 ak je n-tý částečný součet, s = limn→∞ sn je součet P∞ (pokud existuje, píšeme k=1 ak = s). Řekneme, že řada konverguje, je-li s ∈ C; diverguje, je-li s ∈ {±∞, ∞}; osciluje, pokud limn→∞ sn neexistuje. Příklady. P∞ 1) k=1 1 diverguje: sn = n, limn→∞ sn = +∞. P∞ 2) k=1 (−1)k−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · osciluje: sn = 1 pro n liché, sn = 0 pro n sudé. P∞ k−1 osciluje v R, diverguje v C. k=1 (−2)
3)
Definice. Geometrická řada s kvocientem q je řada P ∞ k−1 a q = a1 + a1 q + a1 q 2 + · · · . k=1 1
Rombergova metoda
T (h) T (h/2) T (h/4) T (h/8) .. .
R ∪ {−∞, +∞}, C ∪ {∞}
P∞ k Věta. k=1 a1 q = řada nekonverguje. Důkaz:
a1 1−q
pro |q| < 1, pro |q| ≥ 1 a a1 6= 0
sn = a1 (1 + q + · · · + q n−1 ) qsn = a1 (
q + · · · + q n−1 + q n )
(1 − q)sn = a1 (1 − q n ) T3 (h/8) .. .
..
sn =
.
2
e −x /2 dx s přesností ε = 10−6 .
Pro uvedené složené metody (R, T, S) můžeme využít odhady chyb, ve kterých přepíšeme h = (b − a)/n. 2 M2 = max √12π e −x /2 (x2 − 1) = √12π , x∈h0,1i 2 M4 = max √12π e −x /2 (x4 − 6x2 + 3) = √32π .
a1 (1 − q n ) , 1−q
(q 6= 1)
P∞ ak konverguje právě tehdy, P∞k=1 P∞ když konvergují řady Re ak a k=1 k=1 Im ak . Pak P∞ P∞ P∞ k=1 ak = k=1 Re ak + j k=1 Im ak . Věta. Komplexní řada
P∞ P∞ Věta. Jestliže k=1 ak , k=1 bk konvergují, c ∈ C, pak P∞ P∞ P∞ 1) k=1 (ak + bk ) = k=1 ak + k=1 bk . P∞ P∞ 2) k=1 c · ak = c k=1 ak .
x∈h0,1i
M2 (b − a)3 ε> 24n2R M2 (b − a)3 ε> 12n2T ε>
M4 (b − a)5 180n4S
r nR >
M2 (b − a)3 . = 128,9 24ε
nR ≥ 129
Věta (nutná podmínka konvergence). konverguje, pak limk→∞ ak = 0.
nT ≥ 183
Důkaz: limk→∞ ak = limk→∞ (sk − sk−1 ) = = limk→∞ sk − limk→∞ sk−1 = s − s = 0.
r
M2 (b − a)3 . nT > = 182,3 12ε r 5 . 4 M4 (b − a) nS > = 7,2 180ε
Skutečné chyby jsou o něco menší: metoda R T S 6 10 · chyba −0,606 0,602 −0,660
Jestliže
P∞
k=1
ak
Věta. Řada s nezápornými členy má součet. nS ≥
8
Důkaz: (sn )∞ n=1 je neklesající, tj. limn→∞ sn existuje. Věta (srovnávací kr.). Nechť 0 ≤ ak ≤ bk pro každé k ∈ N. P∞ P∞ 1) Konverguje-li k=1 bk , pak i k=1 ak konverguje. P∞ P∞ 2) Diverguje-li k=1 ak , pak i k=1 bk diverguje.
Důkaz: Důsledek věty o monotonii pro limity.
Věta (odmocninové kritérium). p P∞ 1) Je-li k |ak | ≤ q < 1 pro každé k ∈ N, pak k=1 ak
Příklady. 1) Harmonická řada: ∞ X 1 1 k =1+ 2 +
konverguje (absolutně); p P∞ 2) Je-li k |ak | ≥ 1 pro každé k ∈ N, pak k=1 ak nekonv. 1 3
+
1 4
1 5
+
+
1 6
+
1 7
+
1 8
+ ···
Důkaz:
k=1
≥1+
1 2 1 2
+
1 4
+
1 4
+
1 8
+
1 8
+
1 8
1
+
8
+ ···
= 1 + + 12 + 21 + · · · = +∞ . P∞ P∞ 2) Pro a ≤ 1: k=1 1/k a ≥ k=1 1/k diverguje. P∞ Definice. Řada k=1 ak konverguje absolutně, pokud konP∞ verguje k=1 |ak |. Věta. Absolutně konvergentní řada konverguje. Důkaz: 1) ak ∈ R: a+ = max{a, 0}, a− = max{−a, 0} a = a+ − a− , |a| = a+ + a− , 0 ≤ a+ , a− ≤ |a| P∞ k=1 |ak | konverguje . . . P∞ − + P∞ k=1 ak , k=1 ak konvergují (srovnávací kritérium) . . . P∞ P P∞ + P∞ − ∞ − + k=1 ak = k=1 (ak − ak ) = k=1 ak − k=1 ak konv. 2) ak ∈ C: 0 ≤ |Re ak | , |Im ak | ≤ |ak | P∞ k=1 |ak | konverguje . . . P∞ P∞ |Im ak | konvergují (srovnávací kr.) . . . k=1 |Re ak |, P∞ P∞k=1 Re ak , k=1 Im ak konvergují podle 1) . . . Pk=1 P∞ P∞ ∞ k=1 ak = k=1 Re ak + j k=1 Im ak konverguje Poznámky. 1) reálná konverguje neabsolutně, pak je P∞Jestliže P∞ řada − + a = a = +∞, každé číslo z R ∪ {±∞} je k=1 k k=1 k součtem vhodného přerovnání řady. 2) Absolutně konvergentní řadu můžeme bez změny součtu libovolně přerovnat i rozdělit na součet řad. 3) Geometrická řada konverguje absolutně (když konv.). Věta (podílové kritérium). Nechť ak 6= 0 pro každé k ∈ N. P∞ ≤ q < 1 pro každé k ∈ N, pak 1) Je-li aak+1 k=1 ak k konverguje (absolutně). P∞ 2) Je-li ak+1 ≥ 1 pro každé k ∈ N, pak ak nekonv. k=1
ak
Důkaz: 1) |ak | ≤ ak−1 |q| ≤ · · · ≤ |a1 |q
k−1
,
P∞
k=1 |a1 |q
k−1
konv.
2) |ak | ≥ |ak−1 | ≥ · · · ≥ |a1 |, ak 6→ 0 Poznámka. Stačí, aby byly nerovnosti splněny pro dostatečně velká k, tj. počínaje některým k0 . Věta (limitní tvar podílového kritéria). P < 1, pak ∞ ak konv. (abs.). 1) Je-li limk→∞ aak+1 k ak+1 Pk=1 ∞ 2) Je-li limk→∞ ak > 1, pak k=1 ak nekonverguje. Příklady. P∞ 1 = 1 → 0. konverguje: aak+1 1) k=1 k! k+1 k ak+1 P∞ 1 k 2) k=1 k – kr. nerozhodne: ak = k+1 % 1 (diverguje – nestačí, aby podíly byly menší než 1).
1) |ak | ≤ q k ,
P∞
k=1
q k konverguje
2) |ak | ≥ 1, ak 6→ 0 Věta (limitní tvar odmocninového kritéria). p P∞ 1) Je-li limk→∞ k |ak | < 1, pak k=1 ak konv. (abs.). p P∞ 2) Je-li limk→∞ k |ak | > 1, pak k=1 ak nekonverguje. k k k=1 k+1
P∞
p k nerozhodne: k |ak | = k+1 % 1; 1 k −1 = e−1 6= 0 – diverguje. limk→∞ ak = limk→∞ 1 + k Příklad.
Poznámka. V limitních tvarech podílového a odmocninového kritéria stačí lim sup < 1 nebo lim inf > 1. Příklad. a2k−1 = 2−k , a2k = 21−k : P∞ 1 1 1 1 1 k=1 ak = 2 + 1 + 4 + 2 + 8 + 4 + · · · = 3, ak+1 ∈ {2, 1 } – podílové kritérium nerozhodne, ak 4 p k |ak | → 2−1/2 < 1 – konverguje podle odmocninového kr. Věta (integrální kritérium). Nechť P∞ f je nezáporná nerostoucí funkce na h1, +∞). Pak k=1 f (k) konverguje právě R +∞ tehdy, když konverguje 1 f (x) dx. R k+1 Důkaz: f (k) ≥ k f (x) dx ≥ f (k + 1), R +∞ P∞ P∞ f (x) dx ≥ k=1 f (k) − f (1) k=1 f (k) ≥ 1 Příklad.
P∞
1 k=1 ka
konv. pro a > 1:
R +∞ 1
x−a dx =
1 a−1 .
Věta (Leibnizovo kritérium). Je-li (akP )∞ k=1 nerostoucí ∞ k−1 posloupnost čísel s limk→∞ ak = 0, pak ak k=1 (−1) konverguje. Důkaz: s1 ≥ s3 ≥ · · · & s0 , s2 ≤ s4 ≤ · · · % s00 ≤ s0 , s0 − s00 = limk→∞ ak . Poznámka. Jiná formulace: Alternující řada (střídají se znaménka) s |ak | & 0 konverguje. Příklad.
P∞
k=1 (−1)
k−1 1 k
= 1− 12 + 13 − 14 +· · · (= ln 2) kon-
verguje: střídají se znaménka, |ak | = k1 & 0. Ne absolutně: P∞ P∞ 1 k=1 |ak | = k=1 k = +∞ (podle integrálního kritéria). k Příklad. a2k−1 = 1/k, a2k = −1/2 P∞ . Střídají se znaménka, |ak | → 0, ale ne monotónně. k=1 ak = +∞ − 21 = +∞ (rozdíl harmonické a geometrické řady).
Diferenciální rovnice 1. řádu (Obyčejná) diferenciální rovnice řádu 1 : F (t, x, x0 ) = 0. Řešitelná pro derivaci: x0 = f (t, x). Řešení na intervalu I: funkce x : I → R taková, že pro každé t ∈ I je x0 (t) = f t, x(t)). Maximální řešení : neexistuje řešení na větším intervalu. Cauchyova úloha: navíc počáteční podmínka x(t0 ) = x0 .
x0 = f (t, x) ,
2
x(t0 ) = x0
Věta. Je-li f spojitá funkce na I × J (I, J otevřené intervaly), t0 ∈ I, x0 ∈ J, pak x0 = f (t, x), x(t0 ) = x0 , má řešení na intervalu I 0 ⊂ I obsahujícím t0 . Je-li navíc ∂f ∂y lokálně omezená na I × J, pak je toto řešení jednoznačné. Poznámka. Postačují podmínky pro vybrané případy: f (t, x) g(t) h(x) a(t) x + b(t)
f spojitá
∂f ∂x
∂f ∂x
g, h spojité a, b spojité
g(t) h0 (x) a(t)
g, h0 spojité a spojitá
lok. om.
Separovatelné diferenciální rovnice 1. řádu x0 = g(t) h(x) Věta. Nechť g je spojitá funkce na intervalu I 3 t0 , h je spojitá funkce na intervalu J 3 x0 . Pak x0 = g(t) h(x), x(t0 ) = x0 , má řešení na intervalu I 0 ⊂ I obsahujícím t0 . Je-li navíc h0 spojitá na J, pak je toto řešení jednoznačné. Předpoklady: g spojitá na intervalu I, h spojitá na intervalu J. 1) h(x1 ) = 0 . . . x(t) = x1 , t ∈ I je stacionární řešení 2) h(x) = 6 0 x0 (t) = g(t) h x(t) Z Z x0 (t) dt = g(t) dt h x(t) Z Z dx = g(t) dt h(x) H1 (x) = G(t) + c x(t) = . . . 3) počáteční podmínka: dopočítat c nebo Z t Z x(t) dy = g(u) du h(y) t0 x0 Obecný postup: 1) Maximální intervaly spojitosti g (I). 2) Stacionární řešení x(t) = x1 , t ∈ I pro h(x1 ) = 0. 3) Maximální intervaly spojitosti a nenulovosti h (J). 4) Pro (t0 , x0 ) ∈ I × J, existuje řešení uvnitř I × J. Příklad. x0 = −λx, x(0) = x0 . g(t) = −λ, h(x) = x, h0 (x) = 1 spoj. na R . . . ex. a jedn.; stacionární řešení: x(t) = 0, t ∈ R (nevyhovuje); nestacionární řešení: dx = −λx Z dt Z dx = −λ dt x ln |x| = −λt + ln |c| (c > 0) |x| = |c| e −λt x(t) = c e −λt
(c 6= 0)
pro počáteční podmínku: x0 = c e −λ0 , tj. c = x0 , x(t) = x0 e −λt , t ∈ R.
Příklad. x0 = x 2t−1 . 2 g(t) = 1t , spojitá na (−∞, 0), (0, +∞), h(x) = x 2−1 , 0 h (x) = x spojité na R, . . . existence a jednoznačnost; stacionární řešení: x1,3 (t) = ±1, t ∈ (−∞, 0), x2,4 (t) = ±1, t ∈ (0, +∞); nestacionární řešení: x2 − 1 dx = dt Z Z 2t 2 dt dx = x2 − 1 t x − 1 = ln |t| + ln |c| (c > 0) ln x + 1 x − 1 x + 1 = |ct| x−1 = ct (c 6= 0) x+1 1 + ct x(t) = 1 − ct pro počáteční podmínky: a) x(0) = 2: nelze (t 6= 0); b) x(1) = −1: stac. x(t) = −1, t ∈ (0, +∞); c) x(1) = 0: c = −1, x(t) = 1−t 1+t , t ∈ (0, +∞); 1 d) x(− 2 ) = 3: c = −1, x(t) = 1−t 1+t , t ∈ (−1, 0); 1+3t e) x(1) = −1: c = 3, x(t) = 1−3t , t ∈ ( 31 , 0). Příklad. x0 = 3x2/3 . g(t) = 1, h(x) = 3x2/3 spojité na R . . . existence, navíc h0 (x) = 2x−1/3 spojitá na R \ {0} . . . jedn. pro x 6= 0; stacionární řešení: x(t) = 0, t ∈ R; nestacionární řešení: dx = 3x2/3 dt Z Z 1 3
x−2/3 dx =
dt
x1/3 = t − c x(t) = (t − c)3 ,
t ∈ (−∞, c) , t ∈ (c, +∞)
Řešení se v bodech nejednoznačnosti dají spojovat, obecné řešení je 3 (t − c) , t ≤ c , xc,d (t) = 0 , t ∈ (c, d) , − ∞ ≤ c ≤ d ≤ +∞ . (t − d)3 , t ≥ d , Příklad. x0 = separace:
1 ln x
·
x ex .
dx 1 x = · x Zln x e Z x dt 1 e dx = dt x ln t integrály nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí
x+1 Příklad. x0 = 1t · x−1 , x(1) = 0. 1 x+1 g(t) = t , spojitá na (−∞, 0), (0, +∞), h(x) = x−1 , h0 (x) = −2 = (x−1)2 spojité (−∞, 1), (1, +∞), . . . ex. a jedn.; stacionární řešení: x1,2 (t) = −1, t ∈ (−∞, 0), t ∈ (0, +∞) (nevyhovují); nestacionární řešení:
dx 1 x+1 = · dt Z Zt x − 1 x−1 dt dx = x+1 t x − 2 ln |x + 1| = ln t + c
LDR lze pak přepsat do tvaru D(x) = b. Speciálně množina řešení homogenní rovnice je jádro tohoto zobrazení, takže tvoří lineární prostor. Věta. Množina řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu 1 tvoří lineární prostor dimenze 1. Homogenní rovnice je separovatelná. Stacionární řešení je x(t) = 0, t ∈ I. Nestacionární řešení najdeme separací:
pro poč. podmínku: 0 − 0 = 0 + c, tj. c = 0 (t > 0, |x| < 1), x(t) − 2 ln x(t) + 1 = ln t, je dána implicitně ; lze počítat derivace v 1: 1 x(t) + 1 · t x(t) − 1 1 x(t) + 1 1 −2x0 (t) x00 (t) = − · + · t x(t) − 1 t x(t) − 1 2
Poznámka. Předcházející věta je důsledkem linearity zobrazení D : x(t) 7→ x0 (t) − a(t) x(t) .
x0 (t) =
x0 (1) = −1
Z
x0 (t) = a(t) x(t) Z x0 (t) dt = a(t) dt x(t)
Označme A primitivní funkci k a, integrační konstantu vyjádříme ve tvaru ln |c| pro c 6= 0:
x00 (1) = 3 ln |x(t)| = A(t) + ln |c| |x(t)| = |c| eA(t)
Lineární diferenciální rovnice 1. řádu x(t) nemění znaménko (jednoznačnost stacionárního řešení), znaménko může být zahrnuto v konstantě c:
0
x = a(t) x + b(t) Věta. Nechť a, b jsou spojité funkce na intervalu I 3 t0 , x0 ∈ R. Pak x0 = a(t) x + b(t), x(t0 ) = x0 , má právě jedno řešení na intervalu I. Předpoklady: a, b spojité na intervalu I.
x(t) = c eA(t) Stacionární řešení dostaneme, pokud připustíme c = 0. Obecné řešení je x(t) = c eA(t) ,
t ∈ I,
(c ∈ R) .
(Přidružená) homogenní rovnice: x0 = a(t) x.
Množina řešení tedy tvoří lineární prostor dimenze 1.
Věta. 1) Jsou-li x1 , x2 řešení LDR, pak x1 − x2 je řešení přidružené homogenní DR. 2) Je-li x ˆ řešení LDR a x ˜ řešení přidružené homogenní DR, pak x ˆ+x ˜ je řešení dané LDR. 3) Jsou-li x1 , x2 řešení pro funkce b1 , b2 , pak x1 + x2 je řešení pro funkci b1 + b2 (princip superpozice).
Příklad. x0 = − 1t x, x(1) = 2. a(t) = − 1t spojitá na (−∞, 0) a (0, +∞) . . . ex. a jedn.;
Důkaz: x1 (t) − x2 (t)
0
= x01 (t) − x02 (t) = a(t) x1 (t) + b(t) − a(t) x2 (t) + b(t) = a(t) x1 (t) − x2 (t)
x ˆ(t) + x ˜(t)
0
0
0
=x ˆ (t) + x ˜ (t)
= x01 (t) + x02 (t) = a(t) x1 (t) + b1 (t) + a(t) x2 (t) + b2 (t) = a(t) x1 (t) + x2 (t) + b1 (t) + b2 (t)
Z x0 (t) dt dt = − x(t) t ln |x(t)| = − ln |t| + ln |c| c |x(t)| = t c x(t) = t
pro počáteční podmínku: 2 = 1c , tj. c = 2, x(t) = 2t , t ∈ (0, +∞).
0
= a(t) x ˆ(t) + b(t) + a(t) x ˜(t) = a(t) x ˆ(t) + x ˜(t) + b(t) x1 (t) + x2 (t)
Z
Partikulární řešení nehomogenní rovnice najdeme metodou variace konstanty: obecné řešení přidružené homogenní rovnice má tvar x ˜(t) = c eA(t) , partikulární řešení hledáme ve tvaru x ˆ(t) = c(t) eA(t) . Dosadíme do LDR a vyjádříme c(t): c0 (t) eA(t) + c(t) e A(t) a(t) = a(t) c(t) e A(t) + b(t) c0 (t) = b(t) e −A(t)
Obecné řešení: x(t) = x ˜(t) + x ˆ(t), kde x ˜ je obecné řešení přidružené homogenní rovnice a x ˆ je jedno (partikulární ) řešení původní rovnice.
Stačí spočítat jednu primitivní funkci, například tu, která ná v t0 hodnotu 0: Z t c(t) = b(u) e −A(u) du
Příklad. x0 = tx + t, x(0) = 1. a(t) = t, b(t) = t spojité na R . . . ex. a jedn. na R; řešení přidružené homogenní rovnice: x ˜0 (t) = t x ˜(t) Z 0 Z x ˜ (t) dt = t dt x ˜(t) t2 + ln |c| ln |˜ x(t)| = 2 2 |˜ x(t)| = |c| e t /2
t0
x ˆ(t) = e A(t) x(t) = e A(t)
Z
t
b(u) e −A(u) du
t0 Z t
b(u) e −A(u) du + c e A(t)
t0
pro počáteční podmínku x(t0 ) = x0 :
x ˜(t) = c e t
x0 = e A(t0 ) · 0 + c e A(t0 ) c = x0 e x(t) = e |
2
/2
partikulární řešení ve tvaru x ˆ(t) = c(t) e t
2
/2
:
−A(t0 )
A(t)
Z
c0 (t) e t
t
t0
b(u) e {z
−A(u)
pro b(t), x(t0 )=0
du + }
2
/2
+ c(t) e t
2
/2
A(t)−A(t0 )
x0 e | {z
0
2
, t = t c(t) e t
c (t) = t e }
pro b(t)=0, x(t0 )=x0
Snadno ověříme, že to je řešení na celém intervalu I.
/2
+t
2
t /2 2
c(t) = − e t
/2
x ˆ(t) = c(t) e t
2
/2
= −1
x(t) = x ˆ(t) + x ˜(t) = −1 + c e t
2
/2
Poznámka. Řešení LDR 1. řádu lze vyjádřit ve tvaru součtu partikulárního řešení pro nulovou počáteční podmínku a řešení přidružené homogenní DR pro danou počáteční podmínku.
pro počáteční podmínku: 1 = −1 + ce0 , tj. c = 2,
Příklad. x0 = − 1t x + 1, x(1) = 2. a(t) = − 1t spojitá na (−∞, 0) a (0, +∞), b(t) = 1 spojitá na R . . . existence a jednoznačnost na (−∞, 0) a (0, +∞); řešení přidružené homogenní rovnice: x ˜(t) = ct (viz výše); partikulární řešení ve tvaru x ˆ(t) = c(t) t−1 :
Poznámka. Výše uvedená rovnice je také separovatelná: x0 = t (x+1). Řešení separací by bylo jednodušší – nemuseli 2 bychom počítat primitivní funkci k funkci t e −t /2 (tu jsme mohli spočítat pomocí substituce za −t2 /2).
c0 (t) = t t2 2
x ˆ(t) = c(t) t−1 =
t 2
x(t) = x ˆ(t) + x ˜(t) = pro počáteční podmínku: 2 = x(t) =
1 2
c t + 2 t
+ 1c , tj. c = 32 ,
t 3 + , 2 2t
/2
,
t ∈ R.
t t t Příklad. x0 = − t+1 x + t+1 = t+1 (1 − x), x(0) = 0 je diferenciální rovnice 1. řádu, která je lineární i separovatelná. Pokud ji budeme řešit jako LDR, dostaneme ve variaci kont t stanty integrál z funkce (t+1) 2 e , který bychom hledali dost komplikovaně. Řešení separací je podstatně jednodušší.
c0 (t) t−1 + c(t) (−t−2 ) = −c(t) t−2 + 1
c(t) =
2
x(t) = −1 + 2 e t
t ∈ (0, +∞) .
Obecný postup: 1) Obecné řešení přidružené homogenní rovnice separací proměnných: x ˜(t) = c x1 (t). 2) Partikulární řešení metodou variace konstanty: x ˆ(t) = = c(t) x1 (t), obecné řešení je pak x(t) = x ˆ(t) + x ˜(t). 3) Určení konstanty dosazením (případné) počáteční podmínky.
Numerické řešení diferenciálních rovnic 1. řádu x0 = f (t, x) ,
x(a) = x0 ,
t ∈ ha, bi
n∈N h = (b − a)/n . . . krok diskretizace ti = t0 + ih, i ∈ {0, 1, . . . , n} xi . . . numerické řešení v ti , i ∈ {0, 1, . . . , n} k-kroková metoda: xi se spočte z k předcházejících hodnot (začíná od výpočtu xk , předcházející hodnoty xi se spočtou vhodnou nejvýše i-krokovou metodou) (globální diskretizační ) chyba v ti : x(ti ) − xi lokální diskretizační chyba v ti : x ˜i−1 (ti ) − xi , kde x ˜i−1 je řešení pro počáteční podmínku x(ti−1 ) = xi−1 (i > 0) Metoda je řádu (alespoň) p: chyba je O(hp ) (pro jednokrokové metody to znamená, že lokální diskretizační chyba je O(hp+1 )). Poznámka. Zaokrouhlovací chyby mohou pro velmi malá h výsledek znehodnotit.
Odhad chyby metodou polovičního kroku: spočítáme yi pro krok h/2 (i ∈ {0, 1, . . . , 2n}), chyba y2i je přibližně ci = = (y2i − xi )/(2p − 1). Postupujeme iteračně (půlíme krok diskretizace), dokud nedosáhneme požadované přesnosti.
Heunova metoda (je 2. řádu): použijeme aritmetický průměr hodnot f v bodě (ti , xi ) a v bodě, který bychom dostali Eulerovou metodou. xi+1 = xi + 21 h f (ti , xi ) + f ti + h, xi + h f (ti , xi ) .
Richardsonova extrapolace: zi = y2i + ci . Aktivní Richardsonova extrapolace: používáme průběžně.
xi+1
Jednokrokové metody Eulerova metoda vychází z aproximace derivace (dopředným) diferenčním podílem
xi ti
x(t + h) − x(t) ≈ x0 (t) = f t, x(t) . h
ti + h
ti + 2h
Klasická Rungeova–Kuttova metoda 4. řádu:
Dosazením t = ti , i ∈ {0, . . . , n − 1}, dostaneme k1 = f (ti , xi ) ,
xi+1 − xi = f (ti , xi ) , h xi+1 = xi + h f (ti , xi ) .
k2 = f (ti + h2 , xi + h2 k1 ) , k3 = f (ti + h2 , xi + h2 k2 ) , k4 = f (ti + h, xi + hk3 ) ,
Geometricky to odpovídá nalezení xi+1 na tečně grafu řešení procházejícího bodem (ti , xi ).
xi+1 = xi +
1 6
h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) .
xi+1 xi ti
ti + h xi
Lokální diskretizační chyba se odvodí z Taylorovy věty: x ˜i (ti+1 ) = xi +
hx ˜0i (ti )
ti
2
+ O(h )
ti +
h 2
ti + h
= xi + h f (ti , xi ) + O(h2 ) = xi+1 + O(h2 ) . Vícekrokové metody
Eulerova metoda je tedy 1. řádu. Poznámka. Eulerova metoda je speciálním případem obecné Rungeovy–Kuttovy metody. Podle Lagrangeovy věty pro některé ci ∈ (ti , ti+1 ) platí x(ti+1 ) = x(ti ) + h x0 (ci ) = x(ti ) + h f ci , x(ci ) . Hodnotu f ci , x(ci ) aproximujeme váženým aritmetickým průměrem hodnot funkce f v některých bodech. U Eulerovy metody hodnotou f (ti , xi ), u následujících metod jinak. Metoda středního bodu (je 2. řádu): použijeme hodnotu f v bodě, který bychom dostali Eulerovou metodou s polovičním krokem. xi+1 = xi + h f ti + h2 , xi + h2 f (ti , xi ) . xi+1
xi ti
ti +
h 2
ti + h
Nyströmova metoda (je 2. řádu) vychází z aproximace derivace symetrickým diferenčním podílem x(t + h) − x(t − h) ≈ x0 (t) = f t, x(t) . 2h Dosazením t = ti , i ∈ {1, . . . , n − 1}, dostaneme xi+1 − xi−1 = f (ti , xi ) , 2h xi+1 = xi−1 + 2h f (ti , xi ) .
