10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
10. Posloupnosti a řady funkcí Bodová konvergence posloupnosti funkcí Definice 10.1 (bodová konvergence) Nechť fn je posloupnost funkcí fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S . Říkáme, že posloupnost funkcí fn konverguje k funkci f na A bodově a zapisujeme některým z navzájem ekvivalentních symbolů fn → f na A,
lim fn ( x) = f ( x) na A,
lim fn = f na A,
n →+∞
fn ( x) → f ( x) na A,
n → +∞
právě když ∀x ∈ A konverguje číselná posloupnost n fn ( x) k číslu f ( x) ∈ , tj. platí-li některý z dále uvedených, vzájemně ekvivalentních výroků (platí-li jeden, platí i všechny ostatní).
(
)
∀x ∈ A lim fn ( x) = f ( x) ,
(
n → +∞
(10.1)
)
∀x ∈ A lim fn ( x) − f ( x) = 0 , ∀x ∈ A ∀ε ∈
+
n → +∞
∃n0 ∈
∀x ∈ A ∀ε ∈
+
∀n ∈
(n ≥ n
0
( f ( x) − f ( x) < ε n
(10.2)
fn ( x) − f ( x) < ε ) , pro s. v. n ∈
).
(10.3) (10.4)
Funkce f se nazývá limitní funkce posloupnosti fn na množině A. Množina A se nazývá obor konvergence posloupnosti fn , je-li tvořena všemi body x ∈ S , pro které je číselná posloupnost fn ( x) konvergentní. Symbol fn → na A užíváme ve smyslu „posloupnost fn je na A (bodově) konvergentní“, tj. jako zkratku za výrok ∃ f : A → ( fn → f na A) . K označení posloupnosti fn se používají i jiné symboly, např. n
fn , { fn }n =1 , { fn } apod. +∞
Bodová konvergence posloupnosti funkcí je dána konvergencí číselných posloupností fn ( x) , které jsou určeny výběrem bodů x ∈ S . Pro vyšetřování bodové konvergence posloupnosti funkcí je tudíž možné použít vše, co lze použít pro vyšetřování konvergence číselné posloupnosti. Příklad 10.1 Je dána posloupnost funkcí fn ( x) = x n . Funkce nechť jsou definovány na s hodnotami v . Vyšetřeme obor konvergence posloupnosti funkcí a stanovme limitní funkci f. [1]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Klademe si otázku, pro jaká čísla x ∈ má číselná posloupnost n x n konečnou limitu. Podobnou otázku jsme již řešili v příkladu 9.2 při vyšetřování geometrické řady, můžeme převzít výsledky. n Jestliže x < 1 , je lim x = lim x n = 0 , tj. lim x n = 0 . Interval (−1,1) tedy patří do oboru n → +∞
n →+∞
n →+∞
x , limitní funkce má na intervalu (−1,1) hodnotu 0. n
konvergence posloupnosti n n
Jestliže x > 1 , je lim x = lim x n = + ∞ , tj. čísla x > 1 nepatří do oboru konvergence n → +∞
n → +∞
posloupnosti fn , neboť lim x n nemůže být konečná. n → +∞
Je-li x = −1 , je fn (−1) = (−1)n a lim (−1) n neexistuje, číslo –1 nepatří do oboru konvergence n →+∞
posloupnosti fn . Je-li x = 1 , je fn (1) = 1n = 1 a lim 1 = 1 . Číslo 1 tedy patří do oboru konvergence posloupnosti n →+∞
fn , limitní funkce f má v bodě 1 hodnotu 1. Oborem konvergence posloupnosti fn je tedy interval (−1,1 , pro limitní funkci f platí x ∈ (−1,1) f ( x) = 0 , f (1) = 1 . Na dále uvedeném obrázku jsou nakresleny grafy několika členů posloupnosti fn a modře je vyznačen graf limitní funkce f.
Všimněme si, že všechny členy posloupnosti fn jsou spojité funkce fn ( x) = x n , zatímco limitní funkce spojitá není, je definována v bodě 1 ale není v bodě 1 spojitá. Příklad 10.2 Uvažujme posloupnost reálných funkcí fn , funkce fn jsou definovány vztahy
[2]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
n fn ( x) =
n pro x ∈ (0, ), 0 jinde v . 1 n
0
x
1 n
Pak posloupnost fn konverguje bodově na celé množině , limitní funkce f je nulová. Je-li totiž x ≤ 0 , pak fn ( x) = 0 a tudíž lim fn ( x) = lim 0 = 0 . n → +∞
Je-li 0 < x , pak existuje n0 ∈
takové, že
1 n0
n → +∞
< x , pak pro n ≥ n0 je fn ( x) = 0 a tudíž opět
lim fn ( x) = 0 .
n → +∞
Všimněme si, že lim
n → +∞
1 0
fn ≠
1
1 0
fn = 1 a tudíž lim
n → +∞
1 0
fn = 1 , zatímco
1
lim fn =
0 n → +∞
1 0
0 = 0 , je tedy
lim fn .
0 n → +∞
Z uvedených příkladů vyplývá, že nemůžeme říci mnoho o vlastnostech limitní funkce na základě vlastností funkcí fn . V příkladu 10.1, ač všechny funkce fn ( x) = x n jsou spojité, limitní funkce spojitá není. V příkladu 10.2, ač všechny funkce fn měly integrály rovny jedné,
1 0
fn = 1 , limitní funkce měla integrál nulový. Tato „nepřenositelnost“ vlastností
z členů fn na limitní funkci f ( x) = lim fn ( x) je typickou vlastností bodové konvergence. Je n → +∞
proto užitečné studovat jiné typy konvergence, které by dovolovaly říci více o vlastnostech limitní funkce na základě vlastností členů posloupnosti fn. Konvergence je závislá na tom, jak jsou definovány metrické či topologické vlastnosti prostoru funkcí, tj. na tom, jak je v něm definována vzdálenost, jak jsou definovány systémy okolí. U bodové konvergence, ač se jedná o posloupnosti funkcí, je problém převeden na konvergenci číselné posloupnosti fn(x). Spojitost funkce v bodě x je ovšem určována chováním funkce v jistém okolí bodu x a nikoliv jen hodnotou fn(x). Nemůže být proto překvapením, že se spojitost právě u bodové konvergence nepřenáší na limitní funkci. V následujícím odstavci zavedeme jiný druh konvergence, který více bere v úvahu chování funkce jako celku.
Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice 10.2 (stejnoměrná konvergence) Nechť fn je posloupnost funkcí fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S . Říkáme, že posloupnost funkcí fn konverguje k funkci f na A stejnoměrně, budeme používat symbolický zápis
fn
f na A,
platí-li jeden z dále uvedených vzájemně ekvivalentních výroků (platí-li jeden, platí i druhý).
[3]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
∀ε ∈
+
∃n0 ∈
∀x ∈ A ( n ≥ n0
∀n ∈
lim fn − f
n → +∞
kde h
A
A
fn ( x) − f ( x) < ε ) ,
(10.5)
= 0,
(10.6)
= sup h( x) je tzv. suprémová norma funkce h na A, A ⊆ D(h) . x∈ A
Symbol fn na A užíváme ve smyslu „posloupnost fn konverguje stejnoměrně na A“, tj. jako zkratku za výrok ∃ f : A → ( fn f na A) . Ukažme, že výroky (10.5), (10.6) jsou ekvivalentní. Nechť platí (10.5). Zvolme ε ∈ + , podle (10.5) existuje n0 takové, že pro n ≥ n0 je fn ( x) − f ( x) < ε ∀x ∈ A , odtud sup fn ( x) − f ( x) = fn − f x∈A +
Nechť platí (10.6). Zvolme ε ∈ fn − f
A
A
≤ ε , tj. lim fn − f n→+∞
A
=0.
, podle (10.6) existuje n0 takové, že pro n ≥ n0 je
< ε . Protože ∀x ∈ A fn ( x) − f ( x) ≤ sup fn ( x) − f ( x) = fn − f x∈ A
A
, máme
∀x ∈ A fn ( x) − f ( x) < ε , tj. platí (10.5). Porovnejme definice bodové a stejnoměrné konvergence. Hodí se k tomu formule (10.3) a (10.5), které se liší „jen“ přesunem kvantifikátoru ∀x ∈ A , jak je vyznačeno níže: ∀x ∈ A ∀ε ∈ ∀ε ∈
+
∃n0 ∈
+
(n ≥ n
∃n0 ∈
∀n ∈
∀n ∈
∀x ∈ A ( n ≥ n0
0
fn ( x) − f ( x) < ε ) , fn ( x) − f ( x) < ε ) .
U bodové konvergence číslo n0, krom závislosti na ε , může být závislé i na volbě bodu x, zatímco u stejnoměrné konvergence je závislé pouze na ε. Tento „jemný rozdíl“ mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí má však zásadní důsledky. Jestliže je u stejnoměrné konvergence výrok ∀n ∈ ( n ≥ n0 fn ( x) − f ( x) < ε ) splněn pro všechny body x ∈ A a číslo n0 je závislé pouze na ε a nezávislé na x, mohli jsme přejít k suprémové normě v (10.6), která lépe vystihuje podstatu věci.
Suprémová norma na množině A umožňuje definovat vzdálenost ρ dvou funkcí běžným způsobem ρ ( f , g ) = f − g A a dovoluje chápat funkce jako nějaké body prostoru na kterém je definována vzdálenost (metrický prostor). Máme-li definovánu vzdálenost dvou funkcí na množině A, podívejme se, co znamená okolí funkce f o poloměru ε. Je to množina funkcí U( f, ε ), pro kterou platí U ( f , ε ) = {g | f − g A < ε } . Jak ukazuje dále uvedený obrázek, grafy
funkcí, které patří do „ε-okolí“ funkce f, leží v pásu šířky 2ε jehož středová čára je graf funkce f.
[4]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
g ∈U ( f , ε )
g f
ε ε A Poznámka 10.1 (vlastnosti suprémové normy) Nechť f , g : S → , ∅ ≠ A ⊆ S , λ ∈ . Pak platí:
f
A
= 0 ⇔ f = 0 na A,
f +g f Re( f )
(10.7). Jestliže f
A
A
≤ f
A
A
A
≤ f
A
< +∞∨ λ ≠ 0
, Im( f )
A
≤ f
+ g A,
λf A
(10.7)
, f
A
A
(10.8)
= λ f
,
A
(10.9)
≤ Re( f ) A + Im( f ) A .
= 0 , potom 0 ≤ f ( x) ≤ sup f ( x) = 0 ∀x ∈ A . Odtud f = 0 na A. x∈A
(10.8). ∀x ∈ A platí f ( x) + g ( x) ≤ f ( x) + g ( x) ≤ sup f ( x) + sup g ( x) = x∈A
Odtud sup f ( x) + g ( x) ≤ f
A
(10.9). Jestliže λ ∈
< + ∞ nebo λ ≠ 0 , pak platí λ f
x∈A
a f
A
x∈A
f
A
+ g A.
+ g A , tj. platí (10.8).
sup λ f ( x) = λ sup f ( x) = λ f x∈A
(10.10)
x∈A
A
A
= sup λ f ( x) = x∈A
. . Potom u ( x) ≤ u ( x) + jv( x) = f ( x) , v( x) ≤
(10.10). Nechť f = u + jv , u , v : S →
u ( x) + jv( x) = f ( x) pro všechna x ∈ A , odtud sup u ( x) ≤ sup f ( x) , sup v( x) ≤ x∈A
sup f ( x) , tj. u x∈A
u + jv
A
≤
A
≤ f
u A+ j v
A A
, v
A
≤ f
A
x∈A
x∈A
. Kombinací (10.8), (10.9) dostaneme f
A
=
= u A + v A.
Důsledek 10.1 Ze stejnoměrné konvergence vyplývá konvergence bodová. Přesněji, mějme posloupnost funkcí fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S . Potom platí: fn f na A fn → f na A. (10.11)
Nechť x ∈ A . Jelikož fn ( x) − f ( x) ≤ fn − f
A
a lim fn − f n→+∞
A
= 0 , je nutně
lim fn ( x) − f ( x) = 0 , tj. ∀x ∈ A ( lim fn ( x) − f ( x) = 0) , tj. podle (10.2) fn → f na A.
n→+∞
n →+ ∞
[5]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Příklad 10.3 Vyšetřeme stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí fn ( x) = x n .
Podle důsledku 10.1, pokud posloupnost fn : S → konverguje na A stejnoměrně k nějaké funkci f, konverguje k téže funkci f bodově. Podle příkladu 10.1 konverguje posloupnost fn ( x) = x n bodově na intervalu (−1,1 k funkci f, pro kterou platí x ∈ (−1,1) f ( x) = 0 , f (1) = 1 . (a) Nejprve ukažme, že posloupnost fn ( x) = x n konverguje stejnoměrně k funkci f na každém neprázdném uzavřeném intervalu, který leží v intervalu (–1,1). Nechť tedy ∅ ≠ a, b ⊆ (−1,1) . Na intervalu (−1,1) je limitní funkce nulová, počítejme fn − 0 a ,b = n
n
n
n
sup fn ( x) = sup x n = max{ a , b } . Protože a < 1 , b < 1 , je lim max{ a , b } = 0 a
x∈ a ,b
n→+∞
x∈ a ,b
tedy lim fn − 0
a ,b
n→+∞
0 na a, b ⊆ (−1,1) .
= 0 , tudíž x n
(b) Na neprázdných intervalech (−1, b ⊆ (−1,1) , a,1) , a,1 už posloupnost funkcí fn ( x) = x n stejnoměrně nekonverguje. Platí totiž fn − f
takže lim fn − f n→+∞
lim fn − f
n→+∞
a ,1)
≠ 0 . Obdobně fn − f
( −1,b
≠ 0 , lim fn − f n→+∞
a ,1
a ,1
( −1,b
≥ fn − f
=
a ,1)
sup x n − 0 = lim x n = 1 , x → −1
x∈( −1,b
= sup x n = 1 , tj. opět x∈ a ,1)
≠0.
Věta 10.1 (stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá funkce) Nechť fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S ⊆ ( ) . Jestliže funkce fn jsou spojité na A a fn f na A, potom f je spojitá na A.
Nechť x, x0 ∈ A a n ∈
, pak platí:
f ( x) − f ( x0 ) = f ( x) − fn ( x) + fn ( x) − fn ( x0 ) + fn ( x0 ) − f ( x0 ) ≤ f ( x) − fn ( x) + fn ( x) − fn ( x0 ) + fn ( x0 ) − f ( x0 ) ≤
f − fn
A
+ fn ( x) − fn ( x0 ) +
fn − f
A
= 2 f − fn
A
+
fn ( x) − fn ( x0 ) . f ( x) − f ( x0 ) ≤ 2 f − fn
Máme tedy Zvolme libovolně ε ∈
+
. Protože fn
A
+ fn ( x) − fn ( x0 ) .
f na A, existuje n0 ∈
takové, že f − fn0
(i)
A
< ε4 .
Protože fn0 je spojitá v bodě x0, existuje okolí U(x0) takové, že x ∈ U ( x0 )
fn 0 ( x) − fn0 ( x0 ) < ε2 . Podle (i) pak dostáváme pro x ∈U ( x0 ) nerovnost
f ( x) − f ( x0 ) ≤ 2 f − fn 0
A
+ fn0 ( x) − fn 0 ( x0 ) < 2 ε4 +
Odtud plyne spojitost funkce f na A.
[6]
ε
2
= ε , tj. f je spojitá v bodě x0.
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Definice 10.3 (BC podmínka stejnoměrné konvergence) Posloupnost funkcí fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S splňuje na A Bolzanovu Cauchyovu podmínku stejnoměrné konvergence (krátce BC podmínku stejnoměrné konvergence) právě když je posloupnost funkcí fn : S → cauchyovská vzhledem k suprémová normě , tj. platí-li A alespoň jedna z dále uvedených vzájemně ekvivalentních podmínek (platí-li jedna, platí i druhá): ∀ε ∈
+
∃n0 ∈
∀m ∈
∀ε ∈
+
(m ≥ n
∀n ∈
∃n0 ∈
0
(f
∀p ∈
+
− fn0
n0 + p
fm − fn
A
A
< ε ),
(10.12)
)
<ε .
(10.13)
, m := n0 + p , n := n0 , dostaneme (10.13).
Platí-li (10.12) a položíme-li pro libovolné p ∈ Platí-li (10.13) a je-li ε ∈
& n ≥ n0
libovolné, existuje n0 ∈
(f
takové, že ∀p ∈
n0 + p
− fn0
Pak ovšem pro libovolná čísla m, n ∈ , taková, že m ≥ n0 , n ≥ n0 , existují p1 , p2 ∈ taková, že m = n0 + p1 , n = n0 + p2 . Odtud plyne podle (10.13) a poznámky 10.1 fm − fn ε
2
A
=
fn0 + p1 − fn0 + p2
+ ε2 = ε .
A
=
fn0 + p1 − fn0 + fn 0 − fn0 + p2
A
≤
fn0 + p1 − fn0
A
,
+ fn 0 − fn0 + p2
A
)
< ε2 .
<
A
Věta 10.2 (BC kritérium stejnoměrné konvergence) Posloupnost funkcí fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S konverguje stejnoměrně na A právě když splňuje BC podmínku stejnoměrné konvergence na A.
f na A. Zvolme ε ∈
Nechť fn n ≥ n0
fn − f
A
+
. Podle (10.6) existuje n0 ∈
< ε2 . Odtud pro libovolné p ∈
fn0 + p − f + f − fn0
A
≤
fn0 + p − f
A
+ f − fn0
A
<
takové, že
platí fn0 + p − fn0 ε
2
A
=
+ ε2 = ε , tj. platí (10.13).
Nechť platí BC podmínka. Pak podle (10.13), vzhledem k nerovnosti fn0 + p ( x) − fn 0 ( x) ≤ fn 0 + p − fn 0
∀x ∈ A , splňuje číselná posloupnost fn ( x) BC podmínku konvergence číselné
A
posloupnosti pro každé x ∈ A , existuje proto limita lim fn ( x) pro každé x ∈ A , označme ji n →+∞
f ( x) := lim fn ( x) . Nyní ukažme, že fn n → +∞
Podle (10.12) existuje n0 ∈ ∀m, n ∈
( m, n ≥ n
0
Odtud ∀n ∈
(n ≥ n0
f na A, tj. lim fn − f n → +∞
takové, že ∀m, n ∈
∀x ∈ A fm ( x ) − fn ( x ) < ε ) .
( m, n ≥ n
lim fn − f
A
fm − fn
0
A
+
.
< ε ) , tj.
m → +∞
m → +∞
lim fm ( x) − fn ( x) = f ( x) − fn ( x) , tj. platí ∀n ∈ (n ≥ n0
n → +∞
= 0 . Zvolme ε ∈
∀x ∈ A lim fm ( x) − fn ( x) ≤ ε ) , avšak lim fm ( x) − fn ( x) =
m → +∞
ovšem ∀n ∈ (n ≥ n0
A
∀x ∈ A f ( x) − fn ( x) ≤ ε ) , pak
sup f ( x) − fn ( x) ≤ ε ) , tj. ∀n ∈ (n ≥ n0 x∈A
= 0.
[7]
f − fn
A
≤ ε ) , tj.
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Řady funkcí V tomto odstavci uvedeme definice a některé obecné vlastnosti nekonečných řad funkcí. Můžeme postupovat stručněji, základní myšlenky byly již formulovány u nekonečných číselných posloupností a řad a v předchozích odstavcích pro posloupnosti funkcí. Definice 10.4 (nekonečné řady funkcí) Nechť fn , sn jsou posloupnosti funkcí, fn , sn : S → nebo ekvivalentně f1 = s1 , fn +1 = sn+1 − sn . Pak platí:
a jsou svázány vztahy sn = f1 +
+ fn ,
• Nekonečná řada funkcí (funkční řada) je symbol ∞ k =1
fk ,
(10.14)
který lze zapsat v mnoha ekvivalentních formách, podobně jako u řad číselných. • Posloupnost funkcí sn se nazývá posloupnost částečných součtů řady (10.14), hodnota sn se nazývá n–tý částečný součet řady (10.14). • Funkce f : A →
, A ⊆ S se nazývá součet řady (10.14) na A právě když sn → f na A ∞
(bodová konvergence). Používáme zápis
k =1
f k → f na A, nebo
∞ k =1
f k = f na A. Má-li řada
(10.14) součet (konečný) na A, říkáme, že na A konverguje (bodově). • Množina A se nazývá obor konvergence řady (10.14), je-li tvořena všemi body x ∈ S , pro které je číselná posloupnost sn ( x) konvergentní, tj. pro které posloupnost funkcí sn konverguje bodově na A. Je-li f součet řady (10.14) na jejím oboru konvergence,
definujeme
∞ k =1
f k := f .
• Říkáme, že řada (10.14) konverguje stejnoměrně ke svému součtu f na A právě když sn
f na A. V tom případě píšeme
∞
k =1
fk
f na A.
• Říkáme, že řada (10.14) konverguje absolutně na A právě když řada
∞ k =1
f k konverguje na
A (bodově). • Říkáme, že řada (10.14) konverguje absolutně stejnoměrně na A právě když řada
∞ k =1
konverguje stejnoměrně na A.
[8]
fk
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Příklad 10.4
Vyšetřete obor konvergence řady
∞ k =1
xk k
, předpokládáme, že f k ( x) =
xk k
jsou reálné funkce
x n
= x . Podle tohoto
reálné proměnné. Podle Cauchyova limitního kritéria dostaneme lim
n
n → +∞
= lim
xn n
n → +∞
n
kritéria je řada konvergentní (absolutně) pro čísla x, pro která je x < 1 a divergentní pro čísla x, pro která x > 1 . Zbývá vyšetřit řadu v krajních bodech intervalu (–1,1). Je-li x = 1, jedná se o známou divergentní harmonickou řadu. Je-li x = –1, jedná se o konvergentní (neabsolutně) alternující řadu, jak plyne z Leibnizova kritéria konvergence. Oborem konvergence dané řady je tedy interval −1,1) . Definice 10.5 (BC podmínka stejnoměrné konvergence pro řady funkcí)
Nechť fn : S →
, ∅ ≠ A ⊆ S . Řada
∞
k =1
f k , sn = f1 +
+ fn , splňuje BC podmínku
stejnoměrné konvergence na A právě když platí alespoň jeden z dále uvedených vzájemně ekvivalentních výroků (platí-li jeden, platí i druhý) ∀ε ∈
+
∃n0 ∈
∀m ∈
∀ε ∈
+
∀n ∈
∃n0 ∈
(m ≥ n0 & n ≥ n0 ∀p ∈
n0 + p k = n0 +1
sm − sn
A
< ε),
<ε .
fk
(10.15) (10.16)
A
Ekvivalence podmínek (10.15), (10.16) se dokazuje stejně jako v definici 10.3. Věta 10.3 (BC kritérium stejnoměrné konvergence pro řady funkcí)
Nechť fn : S →
, ∅ ≠ A ⊆ S . Řada
∞
k =1
f k konverguje stejnoměrně k svému součtu na A
právě když na A splňuje BC podmínku stejnoměrné konvergence pro řady funkcí. Řada
∞ k =1
f k splňuje BC podmínku (10.16) na A právě když posloupnost částečných součtů
sn = f1 + + fn splňuje BC podmínku (10.13) pro posloupnosti, tj. podmínku (10.15), kterážto je podle věty 10.2 ekvivalentní stejnoměrné konvergenci posloupnosti sn = f1 + + fn na A, což podle definice 10.4 je ekvivalentní stejnoměrné konvergenci řady na A.
[9]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Věta 10.4 (vlastnosti konvergence bodové, absolutní, stejnoměrné, absolutně stejnoměrné) Nechť fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S .
(a) Jestliže řada
∞
f k konverguje absolutně na A pak konverguje na A.
k =1
(b) Jestliže řada
∞
f k konverguje absolutně stejnoměrně na A pak konverguje absolutně i
k =1
stejnoměrně na A. (c) Konvergence řady komplexních funkcí (bodová i stejnoměrná) je konvergencí „po složkách“. ∞
Platí tedy
k =1 ∞ k =1
f k → na A ⇔
∞
∞ k =1 ∞ k =1 ∞ k =1
∞
fk
k =1
∞
fk =
k =1
∞ k =1
Re( f k ) + ∞
fk
na A
fk
na A
k =1 ∞ k =1 ∞
na A ⇔
f k → na A,
Re( f k ) → na A &
k =1
f k → na A
k =1
∞
f k → na A
k =1
Re( f k )
∞ k =1
j
(10.17)
Im( f k ) → na A,
∞ k =1
(10.18)
Im( f k ) na A,
(10.19)
f k → na A,
(10.20)
fk
(10.21)
na A &
na A, ∞ k =1
Im( f k )
na A.
(10.22)
•
Pro zvolené x ∈ A tvrzení (10.17), (10.18) a (10.19) plynou z podobných tvrzení věty 9.7 pro číselné řady.
•
Tvrzení (10.20) plyne z tvrzení (10.11) důsledku 10.1 formulovaného pro posloupnost částečných součtů.
•
∞
K důkazu (10.21) stačí ověřit, že z platnosti BC podmínky (10.16) pro řadu
k =1
platnost BC podmínky (10.16) pro řadu
∞ k =1
libovolné x ∈ A :
n0 + p k = n0 +1
plyne sup
n0 + p
x∈A k = n +1 0
n0 + p k = n0 +1
f k ( x) =
<ε
f k ( x) A
f k ( x) ≤ n0 + p k = n0 +1 n0 + p k = n0 +1
n0 + p k = n0 +1
≤
fk A
f k . Platí následující nerovnosti pro
f k ( x) ≤ sup
n0 + p
x∈A k = n +1 0
n0 + p k = n0 +1
f k ( x) =
n0 + p k = n0 +1
. Dále odtud
fk A
, pak ovšem platí
fk A
< ε , z čehož plyne dokazované tvrzení.
f k ( x)
f k plyne
A
[ 10 ]
10
•
3.5.2007
Protože
11:33
n0 + p k = n0 +1
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
n0 + p
f k ( x) =
k = n0 +1
Re( f k ( x)) + j
n0 + p
dostáváme nerovnosti
k = n0 +1 n0 + p k = n0 +1
n0 + p
≤
fk
k = n0 +1
A
k = n0 +1
A
Re( f k ) + A
n0 + p k = n0 +1
k = n0 +1
n0 + p
≤
Re( f k )
n0 + p
Im( f k ( x)) , podle (10.10) poznámky 10.1
fk , A
n0 + p k = n0 +1
n0 + p
≤
Im( f k )
Im( f k ) , ze kterých vyplývá, že řada A
a
fk
k = n0 +1
A
A ∞ k =1
f k splňuje
BC podmínku stejnoměrné konvergence právě když tuto podmínku splňují obě řady ∞ k =1
Re( f k ) ,
∞ k =1
Im( f k ) .
Věta 10.5 (Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť fn : S → , ∅ ≠ A ⊆ S . →
Jestliže existuje posloupnost a :
taková, že
(a) ∀x ∈ A fn ( x) ≤ an pro s. v. n ∈ (b) řada
∞ n =1
potom
(c)
∞ n =1
,
an konverguje,
na A.
fn
Poznámka. Podle (c) tedy řada
∞ n=1
fn konverguje absolutně stejnoměrně, tj. podle věty 10.4
konverguje absolutně i stejnoměrně. Pro dostatečně velké n0 a libovolné x ∈ A platí pro k > n0 f k ( x) ≤ ak , a tedy pro libovolné p∈
máme
n0 + p k = n0 +1
f k ( x) ≤
n0 + p k = n0 +1
ak , odtud sup
n0 + p
x∈A k = n +1 0
Jestliže číselná řada s nezápornými členy
∞ n =1
f k ( x) =
n0 + p k = n0 +1
n0 + p k = n0 +1
∞ n =1
A
k = n0 +1
ak .
an podle předpokladu (b) konverguje, splňuje
BC podmínku pro číselné řady. Na základě odvozené nerovnosti splňuje BC podmínku (10.16) řada
n0 + p
≤
fk
fn , tedy podle věty 10.3 platí (c).
[ 11 ]
≤
fk A
n0 + p k = n0 +1
ak
10
3.5.2007
11:33
Příklad 10.5
Ukažte, že řada
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
∞
cos( k x )
konverguje absolutně stejnoměrně na , tedy i absolutně a
k2
k =1
stejnoměrně. Je zřejmé, že
cos( k x ) k
2
≤
1 k2
pro všechna x ∈
a číselná řada
∞ k =1
1 k2
konverguje, například
podle integrálního kritéria konvergence. Podle věty 10.5 odtud plyne
∞ k =1
jak
∞
cos( k x )
k =1
k2
na
∞
podle (10.21), tak
cos( k x ) k2
k =1
→ na
cos( k x ) k2
na
a tedy
podle (10.20).
Význam stejnoměrné konvergence vyniká nejlépe v dále formulovaných větách. Věta 10.6 (integrace „člen po členu“ řady funkcí reálné proměnné) Nechť fn : I → je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I ⊆ Jestliže
(a)
∞ n =1
(b) potom
(c) (d)
b a
b a b a
, a, b ∈ I .
f na I,
fn
fn existují ∀n ∈
,
f existuje, f =
∞
b a
n =1
fn =
∞
b a
n =1
fn .
Protože řady komplexních funkcí jsou podle (10.18), (resp. (10.22)) konvergentní, (resp. stejnoměrně konvergentní) na I právě když jsou konvergentní, (resp. stejnoměrně konvergentní) na I řady, jejich členy jsou reálné a imaginární části posloupnosti fn , podobně existence integrálu komplexní funkce reálné proměnné je ekvivalentní existenci integrálů z reálné a imaginární části dotyčné funkce, můžeme bez ztráty obecnosti předpokládat, že funkce fn jsou reálné. Dokázaná tvrzení pak automaticky platí pro obě složky komplexních funkcí a tedy pro samotné komplexní funkce. Stručně řečeno, integrály a sumace v (a), (b), (c), (d) jsou integrály a sumace „po složkách“. Mějme tedy fn : I → . Nejprve ukažme, že platí (c). Nechť sn = f1 + Dále f ( x) − sn ( x) ≤ f − sn
I
+ fn , podle předpokladu (a) f − sn
I
→ 0.
∀x ∈ I , odtud plyne
sn ( x ) − f − sn
I
≤ f ( x ) ≤ sn ( x ) + f − sn
I
∀x ∈ I .
(i)
Bez újmy na obecnosti předpokládejme a < b. Jak by se postupovalo v případě a ≥ b je totiž zřejmé. Nechť n ∈ , D = {x0 , x1 , , xm } je nějaké dělení intervalu a, b , uvažujme nějaký interval I k = xk −1 , xk dělení D. Pak podle (i) platí inf sn ( I k ) − f − sn
I
≤ inf f ( I k ) ≤ sup f ( I k ) ≤ sup sn ( I k ) + f − sn I . [ 12 ]
(ii)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Z předpokladu (b) vyplývá omezenost funkcí sn na I a podle (i) i omezenost funkce f, tj. supréma a infima v (ii) jsou konečná čísla. Násobíme-li nerovnosti (ii) délkou intervalu I k a vzniklé nerovnosti sečteme pro k = 1, , m , dostaneme nerovnosti pro dolní a horní Riemannovy integrální součty S ( sn , D) − f − sn I (b − a ) ≤ S ( f , D ) ≤ S ( f , D) ≤ S ( sn , D) + f − sn I (b − a) . Odtud plyne 0 ≤ S ( f , D) − S ( f , D) ≤ S ( sn , D) − S ( sn , D) + 2 f − sn I (b − a) . Zvolme nyní ε ∈
+
. Protože f − sn
I
→ 0 , existuje index n0 takový, že
2 f − sn0 (b − a) < ε2 . Protože podle (b) integrál I
b a
sn0 existuje, existuje tudíž takové dělení
D, pro které je 0 ≤ S ( sn0 , D) − S ( sn0 , D) < ε2 . Z nerovností (iii) pak vyplývá, že pro každé kladné ε existuje dělení D takové, že 0 ≤ S ( f , D) − S ( f , D) < ε , tj. platí (c). b
Víme-li, že
a b a
f existuje, z nerovností (i) dostaneme integrací
sn ( x) dx − f − sn I (b − a ) ≤ b
odtud plyne Jelikož f − sn lim
n→+∞
b a
a
I
f ( x) dx −
b a
→ 0 , plyne odtud lim
n→+∞
sn ( x) dx =
b a
b
b
f ( x) dx ≤
a
a
sn ( x) dx + f − sn I (b − a ) ,
sn ( x) dx ≤ f − sn I (b − a) . b a
f ( x) dx −
b a
sn ( x) dx = 0 , tj.
f ( x) dx , což se mělo dokázat.
Věta 10.7 (derivace podle reálné proměnné řady funkcí „člen po členu“) Nechť fn : I → je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I ⊆ . Jestliže
(a) fn jsou spojitě diferencovatelné na I, (b) ∃ x0 ∈ I takové, že (c)
∞ n =1
potom
(d)
∞ n =1
(e)
∞ n =1
(f )
fn ′
∞ n =1
fn ( x0 ) konverguje,
na každém omezeném intervalu J, J ⊆ I ,
fn → na I, na každém omezeném intervalu J, J ⊆ I ,
fn
∞ n =1
fn
′
=
∞ n =1
(iii)
fn ′ na I.
[ 13 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Protože řady komplexních funkcí jsou podle (10.18), (resp. (10.22)) konvergentní, (resp. stejnoměrně konvergentní) na I právě když jsou konvergentní, (resp. stejnoměrně konvergentní) na I řady, jejich členy jsou reálné a imaginární části posloupností fn , fn′ , podobně spojitost a existence derivace komplexní funkce reálné proměnné je ekvivalentní spojitosti a existenci derivace z reálné a imaginární části dotyčné funkce, můžeme bez ztráty obecnosti předpokládat, že funkce fn jsou reálné. Dokázaná tvrzení pak automaticky platí pro obě složky komplexních funkcí a tedy pro samotnou komplexní funkci. Stručně řečeno, spojitost, derivace, konvergence a sumace v (a), (b), (c), (d), (e), (f) je spojitost, derivace, konvergence a sumace „po složkách“. Mějme tedy fn : I → . Označme g (t ) =
∞ n =1
f k ′ (t ) .
•
Funkce g je definována na intervalu I, každý bod t ∈ I zároveň patří do nějakého omezeného intervalu J, například J = I ∩ U (t ) , na kterém podle (c) řada derivací konverguje stejnoměrně a tedy konverguje bodově.
•
Funkce g je spojitá v každém bodě t ∈ I . Nechť t ∈ I , podle (c)
∞
fn ′
n =1
•
na I ∩ U (t ) ,
tj. podle věty 10.1 je funkce g spojitá na I ∩ U (t ) , tj. v každém bodě množiny I ∩ U (t ) , tj. v bodě t, který do I ∩ U (t ) patří. Nyní ukážeme, že platí (f ). Nechť x, x0 ∈ I , kde bod x0 vyhovuje podmínce (b). Pak existuje omezený interval J takový, že x, x0 ∈ J . Protože g je spojitá funkce na I, existuje integrál
x x0
x
g (t ) dt =
x0
∞ n =1
fn ′ (t ) dt . Na poslední integrál aplikujme větu 10.6, ∞
předpoklady jsou splněny na intervalu J, neboť
n =1 x
existují, protože fn ′ jsou spojité. Dostaneme ∞ n =1
fn ( x) − fn ( x0 ) =
∞ n =1
fn ( x) −
∞ n =1
x0
fn ′
∞ n =1
na J a integrály
fn ′ (t ) dt =
∞ n =1
x x0
x x0
fn ′ (t ) dt
fn ′ (t ) dt =
fn ( x0 ) , poslední krok je možný, protože
∞ n =1
fn ( x0 )
konverguje podle (b). Máme tedy x x0
Řada
∞ n =1
g (t ) dt =
∞ n =1
fn ( x) −
∞ n =1
fn ( x0 ) , kde x ∈ I je libovolné.
fn ( x) tedy konverguje pro všechna x ∈ I a rovnici (i) můžeme derivovat podle x, ∞
protože g je spojitá na I. Dostaneme g ( x) =
n =1
′
fn ( x) , to je však dokazovaná
rovnost (f ). •
(i)
Zbývá ověřit stejnoměrnou konvergenci
∞ n =1
fn
na každém omezeném intervalu J,
J ⊆ I . Podle věty 10.2 a definice 10.4 stačí ukázat, že posloupnost částečných součtů
[ 14 ]
10
3.5.2007
sn =
n k =1
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
f k je cauchyovská vzhledem k normě
J
. Nechť J je omezený interval,
x ∈ J ⊆ I . Pak existuje omezený interval K takový, že J ⊆ K ⊆ I a x0 ∈ K . Platí
| sm ( x) − sn ( x) | = | ( sm − sn )( x) − ( sm − sn )( x0 ) + ( sm − sn )( x0 ) | ≤ | ( sm − sn )( x) − ( sm − sn )( x0 ) | + | ( sm − sn )( x0 ) | = | ( s′m − s′n )(ξ ) | ⋅ | x − x0 | + | ( sm − sn )( x0 ) | , kde ξ leží podle Lagrangeovy věty mezi x a x0. Protože x, x0 ∈ K a K je interval, leží body x, x0, a ξ pro každé x ∈ J v intervalu K a tedy platí | ( s′m − s′n )(ξ ) | ⋅ | x − x0 | ≤ sup | ( s′m − s′n )(ξ ) | ⋅ sup | x − x0 | ≤ s′m − s′n ξ ∈K
K
x∈K
⋅ diam( K ) , kde diam( K ) = sup | x − y | je tzv. x , y∈K
průměr množiny K, v našem případě je to konečné číslo rovné délce intervalu K. Pro každé x ∈ J platí tedy nerovnost | sm ( x) − sn ( x) | ≤ sm′ − sn′ K ⋅ diam( K ) + | ( sm − sn )( x0 ) | , tj. sm − sn
≤ s′m − s′n
J
K
⋅ diam( K ) + | sm ( x0 ) − sn ( x0 ) | .
(ii)
Protože číselná posloupnost sn(x0) je podle (b) cauchyovská vzhledem k normě dané absolutní hodnotou | | a s′n je podle (c) cauchyovská vzhledem k suprémové normě k danému ε ∈ s′m − s′n
K
+
,
lze najít takové n0, že pro m, n ≥ n0 platí | sm ( x0 ) − sn ( x0 ) |< ε2 a
⋅ diam( K ) < ε2 , tj. podle (ii) ∀ε ∈
m, n ≥ n0
K
sm − sn
J
+
∃n0 ∈
∀m, n ∈ N
< ε , tj. sn je cauchyovská vzhledem k normě
což se mělo
J
ukázat. Příklad 10.6
∞
Stanovte součet řady f ( x) =
(n + 1) x n = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x3 +
pro x ∈
.
(i)
n =0
Hlavní idea – integrováním přeměníme zadanou řadu na řadu geometrickou, jejíž součet je znám. Formálně provedený výpočet vypadá takto: (1)
t 0
t ∞
f ( x) dx =
0
(2)
(n + 1) x n dx =
n=0
∞
n =0
t 0
(n + 1) x n dx =
∞
(n + 1)
n =0
t 0
∞
x n dx =
n =0
( n +1)
x n +1 n +1
t 0
=
(3) ∞
t n+1 = t
n =0
∞
tn =
n=0
t 1−t
, pro | t | < 1 . Potom f (t ) =
d dt
t 0
f ( x) dx =
d t dt 1−t
=
1 (1−t ) 2
.
Aby výpočet měl smysl, je potřeba prověřit jednotlivé kroky výpočtu. •
Je třeba prověřit, zda je rovnicí f ( x) =
∞
(n + 1) x n definována vůbec nějaká funkce
n =0
v okolí bodu 0. Podle d’Alembertova kritéria absolutní konvergence platí pro x ≠ 0 lim
n → +∞
f n+ 1 ( x ) fn ( x )
( n + 2) x n+1 n n → +∞ ( n +1) x
= lim
= lim
n → +∞
( n + 2) ( n +1)
| x | = | x | . Řada tedy konverguje pro | x | < 1 a
diverguje pro | x | > 1 (konvergenci v 0, kterou jsme vyloučili, je snadné ověřit zvlášť ).
[ 15 ]
(ii)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Jestliže | x | = 1 , potom lim (n + 1) | x |n ≠ 0 , tudíž není splněna nutná podmínka n → +∞
konvergence, řada je tedy divergentní pro | x | ≥ 1 . Oborem konvergence řady a tedy i definičním oborem funkce f je proto interval (–1,1). •
Dále je třeba prověřit, zda existuje integrál z funkce f na nějakém okolí 0 v kroku (1) a zda je možná záměna integrace a sumace v kroku (2). Ukážeme, že jsou splněny předpoklady věty 10.6 na každém uzavřeném intervalu J = −b, b ⊆ (−1,1) . Pro libovolné x ∈ J platí | (n + 1) x n | ≤ sup | (n + 1) x n | = (n + 1) | b |n . Jelikož číselná řada x∈J
∞
(n + 1) | b |n je
n =1 ∞
například podle d’Alembertova kritéria konvergentní, je řada funkcí
(n + 1) x n
n =0
stejnoměrně konvergentní na J podle Weierstrassova kritéria. Jelikož pro každé t ∈ (−1,1) existuje b takové, že t ,0 ∈ J = −b, b ⊆ (−1,1) , jsou splněny předpoklady věty 10.6, integrál v (1) existuje a záměna integrace a sumace v (2) je možná. •
Zbývá ukázat, že existuje derivace integrálu podle horní meze v kroku (3). Taková derivace existuje v každém bodě spojitosti funkce f. Ukažme, že funkce f je spojitá na intervalu (–1,1). Protože členy řady (i) jsou spojité funkce fn ( x) = (n + 1) x n a řada (i) stejnoměrně konverguje na každém intervalu J = −b, b ⊆ (−1,1) , je součet řady f spojitá funkce na intervalu J podle věty 10.1 aplikované na posloupnost částečných součtů řady (i). Jelikož pro každé t ∈ (−1,1) existuje b takové, že t ,0 ∈ J = −b, b ⊆ (−1,1) , je funkce f spojitá v každém bodě t intervalu (–1,1).
V předchozím příkladu byl výpočet poměrně složitě zdůvodňován. Bylo to dáno tím, že jsme se na uvedenou řadu dívali jako na řadu s obecnými členy a nijak jsme nevyužívali faktu, že členy řady byly jednoduché mocninné funkce f n ( x) = (n + 1) x n . V následující kapitole ukážeme, že v případě řad tohoto typu lze postupovat daleko jednodušeji.
Mocninné řady Definice 10.6 (mocninná řada) Nechť a : → ; x, c ∈ . Potom funkční řada ∞
n =0
an ( x − c) n = a0 + a1 ( x − c) + a2 ( x − c) 2 +
(10.23)
se nazývá mocninná řada. Je to nekonečná řada funkcí se členy fn ( x) = an ( x − c)n , členy posloupnosti an jsou tzv. koeficienty mocninné řady, číslo c se nazývá střed řady. V mocninných řadách vždy klademe f 0 ( x) = a0 ( x − c)0 = a0 , tj. vždy 00 = 1 . Věta 10.8 (základní poznatky o konvergenci mocninné řady)
Nechť a :
→
; x, c ∈
. Pak pro mocninnou řadu
∞
n =0
an ( x − c) n platí:
(1) Řada vždy konverguje ve svém středu, tj. v bodě x = c. [ 16 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
(2) Jestliže řada konverguje v bodě x1 ∈ , pak konverguje absolutně v každém bodě x ∈ pro který platí | x − c | < | x1 − c | . (3) Jestliže řada diverguje v bodě x2 ∈ , pak diverguje v každém bodě x ∈ pro který platí | x − c | > | x2 − c | .
x2 x1 c
c konverguje
diverguje
(1) Je-li x = c, pak
∞
n =0
an ( x − c) n =
∞
n =0
an (c − c) n = a0 + 0 + 0 +
, řada tedy konverguje.
(2) Nechť řada konverguje v bodě x1 ∈ . Jestliže x1 = c , pak množina všech x ∈ pro které | x − c | < | x1 − c | je prázdná a tedy tvrzení (2) platí. Jestliže x1 ≠ c , pak řada v bodě x1 splňuje nutnou podmínku konvergence, tj. lim an ( x1 − c)n = 0 , odtud plyne n → +∞
| an ( x1 − c) | < 1 pro s. v. n ∈
. Vezměme nyní x ∈
n
psát | an ( x − c) | = | an ( x1 − c) | ⋅ | n
řada
∞
n =0
n
| ≤ |
x −c n x1 −c
takové, že | x − c | < | x1 − c | . Pat lze
| pro s. v. n ∈
x −c n x1 −c
. Protože geometrická
| xx1−−cc |n je konvergentní, neboť | xx1−−cc | < 1 , je konvergentní i řada
∞
n =0
| an ( x − c)n |
podle srovnávacího kritéria pro číselné řady, věta 9.8. (3) Jestliže řada diverguje v bodě x2 ∈ a | x − c | > | x2 − c | potom nutně diverguje i v bodě x. Kdyby v bodě x konvergovala, musela by konvergovat i v x2 podle bodu (2). Věta 10.9 (poloměr konvergence mocninné řady) Nechť c, x, an ∈ , r ∈ 0, + ∞ . Označme:
K ( c, r ) = { x ∈ K ( c, r ) = { x ∈
| x − c | ≤ r} – uzavřený kruh v
se středem v bodě c a poloměrem r,
| x − c | < r} – vnitřek kruhu K (c, r ) ,
A – obor konvergence mocninné řady, tj. x ∈ A ⇔
∞
n=0
an ( x − c) n konverguje.
Pak existuje číslo r ∈ 0, + ∞ takové, že platí K (c, r ) ⊆ A ⊆ K (c, r ) .
[ 17 ]
(10.24)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Číslo r ∈ 0, + ∞ se nazývá poloměr konvergence mocninné řady
∞
n =0
an ( x − c) n .
Položme r = sup{| x − c | x ∈ A} , ukažme, že takto definované číslo r je poloměrem konvergence mocninné řady, tj. že platí (10.24). Nejprve ověřme platnost levé inkluze v (10.24). Vezměme y ∈ K (c, r ) = {x ∈ | x − c | < r} , potom | y − c | < r . Z vlastnosti supréma vyplývá existence čísla x1 ∈ A takového, že | y − c | < | x1 − c | , podle věty 10.6 tvrzení (2) mocninná řada konverguje v bodě y, odtud plyne y ∈ A , tj. K (c, r ) ⊆ A . Ukažme sporem platnost pravé inkluze (10.24). Nechť A ⊆ K (c, r ) , pak existuje y ∈ A takové, že y ∉ K (c, r ) , tj. | y − c | > r . Jelikož y ∈ A a r = sup{| x − c | x ∈ A} platí | y − c | ≤ r . Podtržené nerovnosti dávají spor. Poznámka 10.2 Nechť r je poloměr konvergence mocninné řady (10.23). Pak platí: r = 0 právě když řada konverguje pouze ve svém středu, obor konvergence je množina {c}. r = + ∞ právě když řada konverguje absolutně v celém , obor konvergence je tedy . r ∈ (0, + ∞) právě když řada v bodech | x − c | < r konverguje absolutně a v bodech | x − c | > r diverguje.
Příklad 10.7
Stanovte střed a poloměr konvergence mocninné řady
∞
n =1
(3 x − 4) n n
.
Pomocí například d’Alembertova kritéria pro 3 x − 4 ≠ 0 dostaneme lim
n→+∞
lim
n →+ ∞
(3 x −4) n+1 n +1
⋅ (3 x−n 4)n = 3x − 4 lim
n→+∞
n n +1
f n+1 ( x ) fn ( x )
=
= | 3 x − 4 | . Podle tohoto kritéria řada konverguje
absolutně pro ta x ∈ , pro něž 0 < | 3 x − 4 | < 1 a diverguje v těch bodech x ∈ , v nichž | 3 x − 4 | > 1 . Nerovnosti je možné vyjádřit ekvivalentně ve tvaru 0 < | x − c | < r a | x − c | > r ze kterého snadno zjistíme střed a poloměr konvergence řady. Tedy 0 < | 3 x − 4 | < 1 ⇔ 0 < | x − 43 | < 13 . Odtud plyne: Střed konvergence řady je číslo c = 43 , poloměr konvergence řady je číslo r = 13 . (Mocninná řada vždy konverguje ve svém středu, tj. obor konvergence jistě obsahuje všechny body pro něž | x − 43 | < 13 .) ∞
Zkoumanou řadu je možné hned zpočátku upravit do tvaru
n =0
konvergence c ihned zřejmý, tedy
∞
n =1
(3 x −4) n n
=
∞
n =1
3n n
( x − 43 ) n .
Příklad 10.8
Stanovte střed a poloměr konvergence mocninné řady
∞
n =0
[ 18 ]
xn n!
.
an ( x − c) n , ze kterého je střed
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Pomocí d’Alembertova kritéria pro x ≠ 0 dostaneme lim
n→+∞
lim
n→+∞
x n +1
f n+1 ( x ) fn ( x )
= lim
n→+∞
x n+1 ( n +1)!
⋅ xnn! =
= 0 < 1 . Řada tedy podle d’Alembertova kritéria konverguje absolutně v každém
bodě x ∈ − {0} , zde pro poloměr konvergence klademe r = + ∞ . Z tvaru řady ∞
n =0
xn n!
=
∞
n =0
1 n!
( x − 0) n vidíme, že středem konvergence je číslo 0. (Protože 0 je střed
konvergence, řada konverguje absolutně v celé komplexní rovině .) Příklad 10.9
Stanovte střed a poloměr konvergence mocninné řady
∞
n! x n .
n =0
Pomocí d’Alembertova kritéria dostaneme lim
n→+∞
f n+1 ( x ) fn ( x )
= lim
n→+∞
x n+1 n!
⋅ ( nx+n1)! =
lim (n + 1) | x | = + ∞ . D’Alembertovo limitní kritérium můžeme použít v případě, kdy existuje
n→+∞
limita lim
n→+∞
n∈
f n +1 ( x ) fn ( x )
, tj. jistě jen v těch bodech x, ve kterých je zlomek
f n +1 ( x ) fn ( x )
definován pro s. v.
. Proto lim (n + 1) | x | = + ∞ , neboť jsme museli předpokládat, že x ≠ 0 . Jestliže tedy n→+∞
x ≠ 0 , pak lim
n→+∞
f n+1 ( x ) fn ( x )
= + ∞ > 1 a tedy řada diverguje v každém nenulovém bodě x. V bodě
x = 0 ovšem řada konverguje, protože 0 je střed konvergence. V tomto případě klademe pro poloměr konvergence r = 0. Následující věta sumarizuje způsoby konvergence mocninné řady. Věta 10.10 (způsoby konvergence mocninné řady) Nechť c, an , x ∈ . Nechť r ∈ (0, + ∞ je poloměr konvergence mocninné řady (10.23). Označme: K (c, r ) = {x ∈ | x − c | ≤ r} – uzavřený kruh v se středem v bodě c a poloměrem r,
K ( c, r ) = { x ∈
| x − c | < r} – vnitřek kruhu K (c, r ) ,
platí tedy speciálně K (c, + ∞) = K (c, + ∞) = ∞
Pak pro mocninnou řadu
n =0 ∞
platí:
n =0
(10.25)
an ( x − c)n → na K (c, r ) ,
(10.26)
n =0
n =0
| an ( x − c) n |
∞
n =0
an ( x − c) n ,
| an ( x − c) n | → na K (c, r ) ,
∞
∞
.
an ( x − c) n
na K (c, r0 ) ∀r0 ∈ (0, r ) , na K (c, r0 ) ∀r0 ∈ (0, r ) .
[ 19 ]
(10.27) (10.28)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Podle (10.17) z absolutní konvergence plyne konvergence, tj. z (10.25) plyne (10.26) a podle (10.21) z absolutně stejnoměrné konvergence plyne stejnoměrná konvergence, tj. z (10.27) plyne (10.28). Dále ukažme, že z (10.27) plyne (10.25) a z (10.28) plyne (10.26). Nechť platí (10.27). Vezměme libovolný prvek x0 ∈ K (c, r ) . Pak existuje r0 ∈ (0, r ) takové, ∞
že x0 ∈ K (c, r0 ) . Protože K (c, r0 ) a tedy
∞
n =0
n =0
| an ( x − c) n |
na K (c, r0 ) , podle (10.20)
∞
n =0
| an ( x − c) n | → na
| an ( x0 − c) n | → , tj. platí (10.25). Obdobně se dokáže, že z (10.28) plyne
(10.26). Máme tedy dokázány dále uvedené implikace: (10.27) (10.28) .
(10.25) (10.26)
Stačí dokázat (10.27) a máme tím dokázána všechna ostatní tvrzení. Nechť r0 ∈ (0, r ) . Jestliže r0 ∈ (0, r ) , pak pro každé x ∈ K (c, r0 ) můžeme psát: | an ( x − c)n | = | an r0n |
( x −c ) r0
n
≤ | an r0n | .
(i)
Jelikož r je poloměr konvergence a x0 = c + r0 ∈ K (c, r ) , řada, podle poznámky 10.2, konverguje absolutně v bodě x0, tj. řada
∞
n =0
| an ( x0 − c)n | =
∞
n =0
| an (c + r0 − c)n | =
∞
n =0
| an r0 n |
konverguje. Ze vztahu (i) a z Weierstrassova kritéria, věta 10.5, máme ∞
n =0
| an ( x − c) n |
na K (c, r0 ) .
Poznámka 10.3 Nechť an , pn , c, x ∈
a lim
n → +∞
∞
n =0
pn+1 pn
= 1 , potom mocninné řady ∞
an ( x − c) n ,
n =0
an pn ( x − c) n ,
mají stejný poloměr konvergence. Nechť r ∈ (0, + ∞ je poloměr konvergence řady vlevo. Vezměme x ∈ K (c, r ) = {z ∈ | | z − c | < r} , potom existuje r0 ∈ (0, + ∞) takové, že | x − c | < r0 < r. Pak ovšem x0 = c + r0 ∈ K (c, r ) a řada vlevo (podle poznámky 10.2) absolutně konverguje v bodě x0, tj.
[ 20 ]
10
3.5.2007
∞
řada
n =0
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
∞
| an ( x0 − c)n | =
n =0
n =0
| a r | je omezená, tj. existuje M ∈
n =0 +
| an r0n |
takové, že
(| an r0n | ≤ M ) . Pak pro členy řady vpravo lze psát | an pn ( x − c) n | = | an pn r0n |
Avšak řada s členy M | pn |
( x −c ) r0
n
∞
, tj. řada
n =1
n → +∞
lim pn +1 pn
x −c r0
=
( x −c ) r0
n
( x −c ) r0
≤ M | pn |
( x −c ) r0
M | pn |
limitního d’Alembertova kritéria, lim M | pn +1 | n → +∞
∞
| an r0n | konverguje. Jestliže řada
n n 0
konverguje, potom nutně posloupnost n ∀n ∈
∞
| an (c + r0 − c)n | =
n +1
n
( x −c ) r0
n
.
(i)
, konverguje, například podle
M | pn |
( x −c ) r0
n
=
< 1 . Ze srovnávacího kritéria a nerovností (i) vyplývá konvergence
x −c r0
(absolutní) řady vpravo. Dokázali jsme tedy tvrzení ∞
x ∈ K (c , r )
n=0
an pn ( x − c) n konverguje .
(ii)
Jestliže poloměr konvergence řady vpravo je r ′ , pak podle (ii) a (10.24) máme r ≤ r ′ . Avšak řada vlevo se dá zapsat ve tvaru
∞
n =0
splňují podmínku lim
n → +∞
qn+1 qn
an ( x − c) n =
∞
n =0
an pn qn ( x − c)n , kde čísla qn = 1 pn
= 1 , potom ovšem stejným způsobem ukážeme, že r ′ ≤ r , platí
tedy rovnost r = r ′ . Je zřejmé, že má-li jedna řada nulový poloměr konvergence, nemůže mít druhá řada poloměr konvergence kladný. Věta 10.11 (derivování a integrování mocninné řady) Nechť an , x, c ∈ , a r ∈ (0, + ∞ je poloměr konvergence mocninné řady
f ( x) =
∞
n =0
an ( x − c) n .
Pak pro každé x ∈ K (c, r ) platí: f ′( x) =
∞
an ( x − c) ′ = n
n=0
x c
f (t ) dt =
∞
n =0
x c
∞
n =1
an n( x − c)
n −1
an (t − c) n dt =
=
∞
n =0 ∞
n=0
an n +1
an +1 (n + 1)( x − c)n ,
(10.29)
( x − c) n+1 .
(10.30)
Poloměr konvergence mocninné řady se derivováním a integrováním nemění.
[ 21 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
(a) Uvažme nejprve variantu reálné proměnné, tj. nechť x, c ∈ a derivaci chápejme ve smyslu derivace podle reálné proměnné. Za těchto předpokladů můžeme využít již dokázaná tvrzení, tj. větu 10.6 a větu 10.7. Dokažme (10.29). Protože fn ( x) = an ( x − c)n jsou spojitě diferencovatelné na (c − r , c + r ) , ∞
mocninná řada vždy konverguje ve svém středu a podle věty 10.10
n =0
(n + 1)an +1 ( x − c) n
na
kruhu konvergence K (c, r0 ) o konečném poloměru r0 < r , tj na každém konečném intervalu J ⊆ (c − r , c + r ) , (konečný interval J ⊆ (c − r , c + r ) vždy leží v nějakém kruhu K (c, r0 ) ), jsou tím splněny předpoklady věty 10.7 a tvrzení (10.29) z ní ihned vyplývá. Dokažme (10.30). Podle věty 10.10
∞
n =0
an ( x − c)n
na kruhu konvergence K (c, r0 ) o
konečném poloměru r0 < r , tj. na nějakém konečném intervalu I ⊆ (c − r , c + r ) který obsahuje body t , c ∈ I . Z věty 10.6 pak ihned vyplývá (10.30) . (b) Tvrzení (10.29), (10.30) mohou být dokázána přímo pro komplexní proměnnou x ∈ Nechť tedy an , x, c ∈ . Nejprve ukažme, že f (c) = a0 , f ′(c) = a1 . Platí f (c) = f ( x) =
Dále
∞
n =0
odtud
f ( x )− f ( c ) x −c
= a1 +
∞
n=2
∞
n =0
an ( x − c)n = a0 + a1 ( x − c) + ( x − c) ∞
an ( x − c) n −1 . Protože řada
n=2
∞
an (c − c)n = ∞
n=2
n =0
an 0n = a0 .
an ( x − c)n −1 , ∞
an ( x − c) n −1 =
n =0
.
(i)
an + 2 ( x − c) n +1
konverguje podle (i) pro každé x ∈ K (c, r ) , funkce fn ( x) = an + 2 ( x − c)n +1 jsou spojité na a každé x ∈ K (c, r ) je zároveň prvkem K (c, r0 ) pro nějaké 0 < r0 < r , přičemž ∞
n =0
an + 2 ( x − c)n +1
na K (c, r0 ) , je podle věty 10.1 funkce g ( x) =
K (c, r0 ) , tj. je spojitá v bodě c. Pak platí lim x→c
∞
n =0
∞
n=0
x→c
a1 + lim x→c
n=0
n=0
an +2 ( x − c) n +1 spojitá na
an +2 ( x − c) n +1 = lim g ( x) = g (c) =
an + 2 (c − c) n +1 = 0 . Odtud konečně f ′(c) = lim ∞
∞
x→c
f ( x )− f ( c ) x −c
= lim a1 + x→c
∞ n=0
an + 2 ( x − c) n +1 =
an +2 ( x − c) n +1 = a1 + g (c) = a1 . Platí tedy (10.29) v bodě c.
Ukažme dále, že (10.29) platí i v libovolném bodě y ∈ K (c, r ) , y ≠ c . Jestliže y ∈ K (c, r ) , existuje okolí U( y) takové, že U ( y ) ⊆ K (c, r ) . Vezměme libovolné x ∈U ( y ) , pak platí ∞ ∞ ∞ n n an ( x − y ) k ( y − c)n −k . Ve výpočtu byla f ( x) = an ( x − c)n = an ( x − y + y − c)n = k n =0 k =0 n =0 n =0
[ 22 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
použita binomická věta. Dodefinujeme-li kombinační číslo tak, že n < k ∞
f ( x) =
n =0 ∞
∞
k =0 n =0
an
n ( x − y ) k ( y − c)n −k = k
∞ k =0
n ( x − y ) k ( y − c) n −k = k
an
∞
∞
∞
n =0 k =0
( x − y)k
k =0
an
1 ( y − c )k
n = 0 , lze psát k
(1) n ( x − y ) k ( y − c ) n −k = k ∞ ∞ n an ( y − c) n = bk ( x − y ) k . Funkci f k k =0 n=0
bk
se tedy podařilo zapsat jako mocninnou řadu se středem v bodě y, podle předchozího výpočtu ∞ ∞ ∞ n je f ′( y ) = b1 = ( y1−c ) an ( y − c) n = ( y1−c ) an n( y − c) n = an n( y − c)n −1 . 1 n =1 n =1 n =0 Ve zbytku důkazu se budeme věnovat zdůvodnění, proč v kroku (1) výpočtu je možná záměna n an sumačních symbolů. Uvažujme zobecněnou řadu ( x − y ) k ( y − c)n −k , podle k ( n ,k )∈ × věty 9.16 ukážeme, že je konvergentní. Protože y ∈ K (c, r ) , y ≠ c , U ( y ) ⊆ K (c, r ) , x ∈U ( y ) , bod x1 = c + | y − c | + | x − y | leží v K (c, r ) , viz dále uvedený obrázek.
U( y) y
x x1 = c +| y–c|+|x–y|
c r
K (c, r )
Protože řada
∞ n =0
∞ n =0
| an || x1 − c |n konverguje. Označme M :=
Nyní nechť J ⊆ J ⊆ {0,1,
n =0
| an |
n k =0
| an |
∞ n =0
| an || x1 − c |n =
∞ n =0
| an | (| y − c | + | x − y |) n .
, J je konečná množina. Pak existuje číslo n0 ∈
×
, n0 } × {0,1,
( n ,k )∈{0, ,n0 }×{0, ,n0 } n0
an ( x − c) n je podle věty 10.10 absolutně konvergentní na K (c, r ) , řada
n k
, n0 } . Platí
( n ,k )∈ J
an
| x − y |k | y − c |n − k =
n | x − y |k | y − c |n −k = k
n ( x − y ) k ( y − c ) n −k ≤ k n0
n0
n =0 k =0 n0 n =0
takové, že
| an |
n | x − y |k | y − c |n −k = k
| an | (| x − y | + | y − c |)n ≤
[ 23 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
n ( x − y ) k ( y − c)n −k je tedy k n =0 ( n ,k )∈ × podle věty 9.16 konvergentní (absolutně), podle věty 9.17 (sčítání řady po blocích) můžeme indexovou množinu × libovolně rozložit. Rozložme nejprve × = An , kde ∞
| an | (| x − y | + | y − c |) n = M . Zobecněná řada
an
n∈
An = {(n, k ) | k ∈ } , pak dostaneme
n∈ ( m ,k )∈An
am
m k
( n ,k )∈ ×
( x − y ) k ( y − c ) m −k = n∈ k ∈
n ( x − y ) k ( y − c)n −k = k n an ( x − y ) k ( y − c) n −k = k
an
n ( x − y ) k ( y − c) n −k , což je výraz před rovností (1). Dále rozložme k n =0 k =0 n an kde Bk = {(n, k ) | n ∈ } , nyní dostaneme ( x − y ) k ( y − c)n −k = k ( n ,k )∈ × n n an ( x − y ) k ( y − c) n −k = an ( x − y ) m ( y − c)n −m = m k k ∈ n∈ k ∈ ( n ,m )∈Bk ∞
∞
an
×
=
k∈
Bk ,
n ( x − y ) k ( y − c) n −k , což je výraz za rovností (1). Oba výrazy jsou ale součtem k k =0 n =0 jedné a téže konvergentní zobecněné řady, jsou si tedy rovny. ∞
∞
an
Důkaz vztahu (10.30) v komplexním oboru vyžaduje nejprve definovat integrál, což je předmětem pozdějších kurzů matematiky. Nyní si jeden z možných způsobů pouze naznačíme. Integrál
x c
f (t ) dt v komplexním oboru je integrál křivkový, ve výraze (10.30)
stačí, chápeme-li jej jako integrál přes úsečku spojující body c a x ve směru od c do x. Tvoří-li body D = {x0 , , xn } , dělení úsečky cx a jsou-li na úsečce cx vybrány body ξi tak, že ξi leží mezi xi -1 a xi , viz obrázek, je integrál definován jako limita integrálních součtů pro stále se zjemňující dělení (tj. pro ν ( D) = max | xi − xi−1 | ,ν ( D ) → 0 ), pokud tato limita nezávisí na i ∈{1, ,n}
výběru bodů dělení xi a na výběru bodů ξi , v tom případě píšeme x c
f (t ) dt = lim
ν ( D)→0
n i=0
f (ξi )( xi − xi−1 ) .
ξn xn −1
ξ2 ξ1
x1
c = x0
[ 24 ]
x = xn
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
x
Stejně jako v reálné analýze dá se dokázat, že funkce F ( x) =
c
f (t ) dt je primitivní funkcí
ke spojité funkci f, v našem případě na kruhu konvergence K (c, r ) , tj. F ′( x) = f ( x) ∀x ∈ K (c, r ) , navíc F (c) = 0 . Podle již dokázaného vztahu (10.29) pro funkci G ( x) =
∞ n =0
∞ n =0
an n +1
( x − c) n+1 platí G′( x) =
∞ n=0
(
an n +1
( x − c)n+1
′
)
=
∞ n =0
an n +1
(n + 1)( x − c) n =
an ( x − c)n = f ( x) , opět G (c) = 0 . Odtud plyne rovnost G = F, tj. platí (10.30).
Důsledek 10.2
Nechť an , c, x ∈
∞
a mocninná řada f ( x) =
n =0
an ( x − c) n má kladný poloměr konvergence
r ∈ (0, + ∞ .
(a) Pak na kruhu K (c, r ) má funkce f všechny derivace a platí
f ( k ) ( x) =
∞ n =0
an+k
( n + k )! n!
( x − c) n .
(10.31)
(b) Z rovnice (10.31) vyplývá f ( k ) (c) = ak k ! , tj. koeficienty mocninné řady (10.23) s kladným poloměrem konvergence jsou jednoznačně určeny jejím součtem, neboť
ak =
f ( k ) (c ) k!
.
(10.32)
(c) Jestliže tedy pro dvě mocninné řady s kladnými poloměry konvergence platí
f ( x) =
∞
n =0
an ( x − c) n , g ( x) =
an = bn ∀n ∈
∞
n =0
bn ( x − c) n a f = g na nějakém okolí U (c ) , pak
a f = g na společném oboru konvergence.
(d) Mocninná řada s koeficienty (10.32) se nazývá Taylorova řada funkce f se středem v bodě c. Členy posloupnosti částečných součtů Taylorovy řady jsou známé Taylorovy polynomy. (e) Z obecné teorie funkcí komplexní proměnné vyplývá, že má-li nějaká komplexní funkce komplexní proměnné derivaci (podle komplexní proměnné) na nějakém okolí bodu c, má tam pak derivace (podle komplexní proměnné) všech řádů a je součtem své Taylorovy řady (na svém oboru konvergence). (e) Má-li nějaká reálná funkce f reálné proměnné všechny derivace v bodě c, pak pro tuto funkci lze sestavit Taylorovu řadu. Tato řada ovšem nemusí konvergovat k funkci f. Je vidět, že v reálném oboru je situace poněkud složitější. Platí následující tvrzení.
[ 25 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Věta 10.12 (Taylorova řada reálné funkce) Nechť funkce f ⊆ × má všechny derivace na nějakém okolí U (c, r ) ⊆ , bodu c ∈ r ∈ + . Nechť a : → je taková posloupnost, že ∀n ∈ ∀x ∈ U (c, r ) | f ( n ) ( x) | ≤ an . Jestliže lim an n→+∞
rn n!
∞
= 0 pak f ( x) =
n =0
f ( n ) (c) n!
,
( x − c) n ∀x ∈ U (c, r ) .
Stačí ukázat, že lim | f ( x) − sn ( x) | = 0 pro všechna x ∈ U (c, r ) . Pro každé x ∈ U (c, r ) n→+∞
funkce f splňuje na intervalu c, x , případně x, c , předpoklady Taylorovy věty pro libovolné n ∈
, sn ( x) =
n k =0
f ( k ) (c) k!
( x − c) k je Taylorův polynom, rozdíl f ( x) − sn ( x) je tzv.
zbytek po n-tém členu Taylorovy řady. Podle Taylorovy věty se tento zbytek dá vyjádřit ve ( n +1) tvaru f ( x) − sn ( x) = f ( n+1)!(ξ ) ( x − c)n +1 , kde číslo ξ leží mezi čísly x, c, tj. leží v okolí U (c, r ) . Pak platí pro libovolné x ∈ U (c, r ) nerovnosti | f ( x) − sn ( x) | = | | f ( n +1) (ξ )| ( n +1)!
r n +1 ≤
an +1 ( n +1)!
r n +1 . Jestliže nyní lim an
rn n!
n→+∞
f ( n +1) (ξ ) ( n +1)!
= 0 , pak ovšem lim
n→+∞
( x − c) n +1 | ≤
an +1 ( n +1)!
r n +1 = 0 , a tedy
lim | f ( x) − sn ( x) | = 0 .
n→+∞
Poznámka 10.4 (1) Posloupnost a : → ve větě 10.12 splňující podmínku ∀n ∈ ∀x ∈ U (c, r ) | f ( n ) ( x) | ≤ an existuje právě když f ( n )
pro všechna n ∈
. Pak můžeme volit f
(n) U ( c ,r )
U ( c ,r )
= sup | f ( n ) ( x) | ∈ x∈U ( c ,r )
≤ an .
(2) Jestliže existuje konstanta M taková, že ∀n ∈ ∀x ∈ U (c, r ) | f ( n ) ( x) | ≤ M , je funkce f ve větě 10.12 součtem své Taylorovy řady. V tomto případě konstantní posloupnost an = M splňuje předpoklady věty 10.12 a lim an n→+∞
∞
například podle toho, že řada
n =0
rn n!
rn n!
= lim M
rn n!
n→+∞
= 0 . Poslední limita je nulová
je podle d’Alembertova kritéria konvergentní a tudíž
splňuje nutnou podmínku konvergence, lim
n→+∞
rn n!
= 0.
Příklad 10.10 Příkladem funkcí majících omezené derivace všech řádů společnou konstantou a splňujících tak podmínku (2) poznámky 10.4 v libovolném okolí nuly jsou elementární funkce exp( x) = e x , sin, cos, sinh, cosh. Pro jejich derivace dostáváme ∀n ∈ exp ( n ) (0) = 1 , sin (2 n ) (0) = 0 , sin (2 n+1) (0) = (−1) n , cos (2 n ) (0) = (−1) n , cos (2 n+1) (0) = 0 , sinh (2 n ) (0) = 0 , sinh (2 n+1) (0) = 1 , cosh (2 n ) (0) = 1 , cosh (2 n+1) (0) = 0 . Platí tedy
ex =
∞ n =0
xn n!
x = 1 + x + x2 + x6 + 24 + 2
[ 26 ]
3
4
,
(10.33)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
sin( x) =
∞
2 n+1
n =0
cos( x) =
x x − 5040 + (−1) n (2xn +1)! = x − x6 + 120
∞
5
7
,
x x − 720 + (−1) n (2x n )! = 1 − x2 + 24 2n
n =0
sinh( x) =
3
∞ n =0
x 2 n+1 (2 n +1)!
∞
cosh( x) =
n =0
x2 n (2 n )!
2
4
6
,
x x = x + x6 + 120 + 5040 + 3
5
7
x x = 1 + x2 + 24 + 720 + 2
4
6
(10.34) (10.35)
,
(10.36)
.
(10.37)
Řady uvedené v příkladu 10.10 slouží k mnoha účelům, zejména je účelné považovat je přímo za definice jednotlivých elementárních funkcí, nejen v reálném ale i v komplexním oboru. Přestože jsme se již setkali s odvozováním různých vlastností uvedených elementárních funkcí, například s tím, že jsou spojité, mají všechny derivace ap., odvození těchto vlastností bylo často založeno na intuici, nějakém geometrickém názoru (například některé vlastnosti goniometrických funkcí byly „odvozeny“ z vlastností kružnice), nebo byly vlastnosti funkcí postulovány bez důkazů. V příkladu 9.12 již byla vzpomenuta Moivrova formule, dále odtud vyplývá existence derivací a základní vztahy, například
(
x x sin′( x) = x − x6 + 120 − 5040 + 3
5
7
)′ = 1 −
3 x2 6
5x 7x + 120 − 5040 + 4
x x = 1 − x2 + 24 − 720 +
6
2
4
= cos(x),
6
obdobně lze odvodit cos′( x) = − sin( x) , sinh′( x) = cosh( x) , cosh′( x) = sinh( x) ,
(
x x lim sinx( x ) = lim 1x x − x6 + 120 − 5040 + x→0
x→0
3
5
7
)=
(
) = 1−
x x lim 1 − x6 + 120 − 5040 + x→0
2
4
6
02 6
0 0 + 120 − 5040 + 4
= 1,
6
neboť každá mocninná řada je spojitou funkcí na vnitřku svého kruhu konvergence. Uvedené řady mohou sloužit k výpočtu hodnot funkcí s libovolnou přesností. Příklad 10.11 Stanovme ze vztahu (10.33) hodnotu čísla e s chybou menší než 10 −20 . Abychom mohli chybu snáze odhadnout, přejděme k reciproké hodnotě. Číslo 1/e je pak dáno alternující řadou 1 e
=
∞
k =0
( −1)k k!
pro níž platí jednoduchý odhad chyby | s − sn | ≤ an +1 , kde sn =
případě dostáváme | 1e − sn | ≤
1 ( n +1)!
n k =0
( −1)k k!
. V tomto
. Z vlastností alternující řady dále víme, že posloupnost
s2 m +1 je neklesající a s2n je nerostoucí, proto s2 m +1 ≤ 1e ≤ s2 n . Z poslední nerovnosti volbou m = n = 1 dostáváme odhad s3 = 1 − 1 + 12 − 16 ≤ 1e ≤ 1 − 1 + 12 = s2 , tj.
≤ 1e ≤ 12 , tedy 2 ≤ e ≤ 3 . Rovněž pro k ≥ 3 z monotonie posloupností s2 m +1 , s2n , vyplývá 13 ≤ sk ≤ 12 . Z nerovnosti | 1e − sn | ≤
1 ( n +1)!
odhadneme, kolik bude potřeba sečíst členů řady, abychom dosáhli
požadované přesnosti aproximace. Označme ε n = ekvivalentně do tvaru sn − ε n ≤ 1e ≤ sn + ε n , odtud 1 sn +ε n
1 3
− s1n ≤ e − s1n ≤
1 sn −ε n
1 ( n +1)! 1 sn +ε n
, nerovnost | 1e − sn | ≤ ε n přepišme
≤e≤
1 sn −ε n
, tj.
− s1n . Chyba aproximace tedy nebude větší než
[ 27 ]
1 sn −ε n
− sn +1ε n =
2ε n
sn2 −ε n2
≤
10
3.5.2007
2ε n
() 1 3
2
−ε n2
2 ε 22
() 1 3
2
2 −ε 22
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
. Požadujeme tedy
dostaneme 1 s22
11:33
2ε n
() 1 3
2
−ε n2
≤ 10−20 . Pro n = 21 vychází
2 ε 21
() 1 3
2
2 −ε 21
≈ 2 ×10−20 , Pro n = 22
≈ 6.96 × 10−22 . Sečtěme tedy 22 členů řady, tj. s22 =
22 k =0
( −1)k k!
, potom hodnota
bude hledaná aproximace čísla e s chybou menší než 7 ×10−22 . Numerický výpočet dává
s22 = 0.3678794411714423215955609 ,
1 s22
= 2.718281828459045235360013 . Pro porovnání
uveď me hodnotu e s přesností na 25 míst, e 2.718281828459045235360287 . Odtud vypočtená chyba aproximace činí ≈ 3 ⋅10 −22 .
(k )
Při sestavování Taylorových řad postupujeme podle vzorce ak = f k !( c ) jen výjimečně. Taylorovy řady bývají pro mnoho elementárních funkcí tabelovány, můžeme k jejich sestavování využívat integrování a derivování a rovněž operací součtu, rozdílu a součinu mocninných řad. Definice 10.7 (operace s mocninnými řadami) Nechť an , bn , x, c, λ ∈ , nechť
f ( x) =
∞
n =0
g ( x) =
∞
n =0
an ( x − c) n ,
(f)
bn ( x − c) n
(g)
jsou mocninné řady s poloměry konvergence po řadě rf , rg ∈ 0, +∞ . Říkáme, že řada: ∞
n =0 ∞
n =0 ∞
n =0 ∞
n =0
(an + bn )( x − c) n je součtem mocninných řad ( f ) a ( g ), (an − bn )( x − c) n je rozdílem mocninných řad ( f ) a ( g ),
cn ( x − c) n je součinem mocninných řad ( f ) a ( g ), pokud cn =
n k =0
ak bn−k ,
λ an ( x − c)n je λ-násobek mocninné řady ( f ).
Pro poloměry konvergence těchto řad platí (značení je zřejmé): min{rf , rg } ≤ rf + g , rf − g , rf ⋅g , rf ≤ rλ f , λ ≠ 0
Dále platí
∞
n =0 ∞
n =0
rλ f = rf .
(an + bn )( x − c)n = f ( x) + g ( x) ,
(10.38)
(an − bn )( x − c)n = f ( x) − g ( x) ,
(10.39)
[ 28 ]
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
∞
λ an ( x − c)n = λ f ( x) ,
(10.40)
cn ( x − c)n = f ( x) g ( x) .
(10.41)
n =0 ∞
n =0
Každá z těchto rovností platí v těch bodech x, pro které je definována její pravá strana. U poslední rovnice (10.41) je potřeba navíc předpokládat, že alespoň jedna z řad ( f ), ( g ) v bodě x konverguje absolutně (což je ovšem uvnitř kruhu konvergence řady splněno, viz věta 10.10). Jestliže A f resp. Ag označuje obor konvergence řady ( f ) resp. ( g ), pak pravá strana rovnice pro součet a rozdíl je definována v každém bodě průniku A f ∩ Ag . Je-li x ∈ A f ∩ Ag , pak odpovídající posloupnosti částečných součtů konvergují, tj. snf ( x) → f ( x) , sng ( x) → g ( x) a tedy konvergují posloupnosti snf ( x) + sng ( x) → f ( x) + g ( x) , snf ( x) − sng ( x) → f ( x) − g ( x) , viz důsledek 9.2. Platí snf ( x) ± sng ( x) = f ±g n
n k =0
ak ( x − c)k ±
n k =0
bk ( x − c)k =
n k =0
(ak ± bk )( x − c)k =
f ±g n
( x) → f ( x) ± g ( x) . Platí tedy rovnice (10.38) a (10.39). Zároveň odtud plyne inkluze pro obory konvergence A f ∩ Ag ⊆ Af ± g . Uvážíme-li, že podle věty 10.9 platí s
( x) , tedy s
K (c, rf ) ⊆ Af ⊆ K (c, rf ) , K (c, rg ) ⊆ Ag ⊆ K (c, rg ) , máme K (c, rf ) ∩ K (c, rg ) ⊆ A f ∩ Ag ⊆ A f ± g ⊆ K (c, rf ± g ) , kde K (c, rf ) ∩ K (c, rg ) = K (c, min{rf , rg }) . Odtud plyne
K (c, min{rf , rg }) ⊆ K (c, rf ± g ) , tj. min{rf , rg } ≤ rf + g , rf − g . Jestliže λ = 0 , pak řada (10.40) má nulové členy a tedy konverguje v celém oboru , proto rλ f = + ∞ , a tedy nutně rf ≤ rλ f . Jestliže λ ≠ 0 , pak z rovností | snλ f ( x) − λ f ( x) | =
| λ snf ( x) − λ f ( x) | = | λ || snf ( x) − f ( x) | vyplývá, že | snλ f ( x) − λ f ( x) | → 0 právě když | snf ( x) − f ( x) | → 0 , tj. Aλ f = A f , tedy rf = rλ f .
Nechť Af resp. Ag označuje obor absolutní konvergence řady ( f ) resp. ( g ). Podle věty 9.7 pro platnost rovnice (10.41) je nutné, aby alespoň jedna z řad ( f ), ( g ) konvergovala absolutně, tj. rovnice (10.41) platí v bodech Af ∩ Ag , nebo Af ∩ Ag . Podle (10.25) i v tomto případě K (c, rf ) ⊆ Af , K (c, rg ) ⊆ Ag , tj. opět K (c, rf ) ∩ K (c, rg ) ⊆ ( Af ∩ Ag ) ∪ ( Af ∩ Ag ) ⊆ A f ⋅g ⊆ K (c, rf ⋅g ) , kde K (c, rf ) ∩ K (c, rg ) = K (c, min{rf , rg }) . Odtud plyne K (c, min{rf , rg }) ⊆ K (c, rf ⋅g ) , tj. min{rf , rg } ≤ rf ⋅g . Příklad 10.12 Uveď me některé další Taylorovy řady.
arctg( x) =
∞
n=0
( −1)n 2 n +1
x 2 n+1 = x − x3 + x5 − x7 + 3
[ 29 ]
5
7
, pro | x | < 1 .
(10.42)
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
x
Stačí uvážit, že arctg( x) =
dt a stanovit Taylorovu řadu funkce
1 2 0 1+t
vztahu pro součet geometrické řady 1 1+t 2 ∞
=
∞
1 1− q
(−1) n
n=0
(−1) n t 2 n pro | t | < 1 . Máme tedy podle (10.30) arctg( x) = x 0
∞
t 2 n dt =
(−1) n
n =0
x 2 n +1 2 n +1
(−1) n
n =0 x
Protože ln(1 + x) = dostaneme x ∞
1 1+t
=
∞
1 0 1+t
x
x n+1 n +1
= x − x2 + x3 − x4 + 2
dt , opět využijme vztahu
3
1 1− q
, pro | x | < 1 .
4
∞
=
n=0
n=0 ∞
n=0
x
(−1) n
0
n =0
∞
t n dt =
(−1) n
n =0
ln( 11+− xx ) = 2
∞
n=0
x 2 n+1 2 n +1
x n +1 n +1
x
dt =
1 0 1+t
pro | x | < 1 .
= 2( x + x3 + x5 + x7 + 3
(10.43)
q n , pro | q | < 1 , dosazením q = −t
(−1) n t n pro | t | < 1 . Opět podle (10.30) ln(1 + x) =
(−1) n t n dt =
dt =
1 2 0 1+t
.
∞
ln(1 + x) =
. Vyjdeme-li ze
q n , pro | q | < 1 , dosazením q = −t 2 dostaneme
n =0
n =0
0
∞
=
1 1+t 2
5
) , pro | x | < 1 .
7
(10.44) ∞
Podle předchozího výsledku a (10.39) máme ln( 11+− xx ) = ln(1 + x) − ln(1 − x) = ∞
n =0
n +1
(−1) n ( −nx+)1 =
∞
n =0
x n+1 n +1
+
∞
(−1) n
n =0
x n+1 n +1
=
∞
(1 + (−1) ) n
n =0
x n+1 n +1
∞
=
(1 + (−1) ) 2n
n =0
x n+1 n +1
(−1) n
n =0 x 2 n+1 2 n +1
= 2
∞
n=0
−
x 2 n+1 2 n +1
.
Příklad 10.13 Při hledání Taylorovy řady racionální funkce využíváme faktu, že ryze lomenou racionální funkci můžeme rozložit na součet parciálních zlomků z nichž pro každý lze stanovit Taylorovu řadu pomocí formule pro součet geometrické řady a derivování.
Ukažme, že pro Taylorovu řadu se středem c, c ≠ a , funkce f ( x) = 1 ( x − a )k +1
Nejprve stanovme řadu pro ∞
n =0
( −1)n ( c − a )n+1
1 x−a
=
∞
n =0
. Platí
1 x−a
( −1)n ( c − a )n+ k +1
=
derivovat. Dostaneme
dk 1 dx k x − a
=
n =0
n
( −1) dk ( c − a )n+1 dx k
1 x −c + c −a
=
1 c−a
( x − c) n . Platí
[ 30 ]
platí:
n+k ( x − c) n . k
( x − c) n , pro | x − c | < 1 . Dále je potřeba rovnici ∞
1 ( x −a )k +1
1
x −c +1 c −a
1 x−a
=
dk 1 dx k x − a
= ∞
n =0
=
(10.45)
1 1 c − a 1−( − x−c ) c −a ( −1)n ( c − a )n+1
=
1 c−a
∞
n=0
(− cx−−ac ) n =
( x − c)n k-krát
( −1)k k ! ( x − a )k +1
,
dk dx k
( x − c) n =
10
3.5.2007
n! ( n −k )! ∞
n=k
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
( x − c) n−k pro k ≤ n , potom
( −1)n−k n! ( c − a )n+1 ( n −k )!k !
( x − c) n−k =
∞
n=k
( −1)k k ! ( x − a )k +1
( −1)n−k ( c − a )n+1
∞
=
n=k
( −1)n n! ( c − a )n+1 ( n −k )!
n ( x − c) n−k = k
Příklad 10.14 Stanovte vzorec pro n-tou derivaci funkce f ( x) =
( x − c) n−k , odtud
∞
n =0
( −1)n ( c − a )n+ k +1
=
1 ( x − a )k +1
n+k ( x − c) n . k
v bodě 1. Podle vztahu (10.32) stačí
5 x 2 + x −6
sestavit Taylorovu řadu se středem v bodě c = 1 . Nejprve funkci f rozložíme na součet parciálních zlomků. Dostaneme x2 +5x−6 = ( x+3)(5 x−2) = x−+13 + x−1 2 . Jednotlivé zlomky vyjádříme řadou postupem z předchozího příkladu. Mohli bychom rovnou použít tam odvozený vzorec (10.45), odvození je však tak jednoduché, že ho raději zopakujeme. Dostaneme x−+13 = x−−11+ 4 = 1 4
−1 x −1 +1 4
−1 1−( x −1)
= − 14 1−( −1 x−1 ) = − 14 4
= −
∞
∞
n =0
(−1) n ( x4−1 )n =
( x − 1) n . Potom
n =0
5 ( x +3)( x − 2)
=
∞
n =0 ∞
n =0
( −1)n+1 4n +1
( −1)n+1 4n +1
( x − 1)n . Obdobně
( x − 1)n –
n+1
Odtud dostáváme výsledek f ( n ) (1) = ( ( −41)n+1 − 1)n ! , tedy
∞
1 x−2
( x − 1) n =
n =0
(
)
= ∞
n =0 (n)
5 x 2 + x −6 x =1
=
1 x −1−1
−1 1+1− x
=
n+1
( ( −41)n+1 − 1)( x − 1) n .
n+1
= ( ( −41)n+1 − 1)n! .
Z Taylorových řad můžeme získávat součty číselných řad vhodným výběrem argumentu x, nebo vyšetřováním hodnot na hranici konvergenčního kruhu. K tomu účelu se hodí dále formulovaná věta. Věta 10.13 (Abelova věta)
Nechť an , x, c ∈ , nechť řada
r∈
+
. Nechť pro nějaké α ∈
c + re jα . Pak řada
∞
n =0
součet f ( x) =
∞
n =0
f (c + re jα ) =
n =0
an ( x − c) n má kladný a konečný poloměr konvergence
řada konverguje i v hraničním bodě kruhu konvergence
an ( x − c) n konverguje stejnoměrně na úsečce {c + te jα | t ∈ 0, r } a její
an ( x − c) n je na této úsečce spojitou funkcí, tj. zejména lim f (c + te jα ) =
∞
n =0
Příklad 10.15 Platí
∞
t → r−
an r n e jα n .
1 − 13 + 15 − 17 + 19 − 111 +
[ 31 ]
= π4 .
10
3.5.2007
11:33
Posloupnosti a řady funkcí
Josef Hekrdla
Podle (10.42) je na kruhu konvergence | x | < 1 arctg( x) =
∞
n=0
( −1)n 2 n +1
x 2 n+1 = x − x3 + x5 − x7 + 3
Podle Leibnizova kritéria řada konverguje i v hraničním bodě 1. Potom
∞
n =0
1 − 13 + 15 − 17 +
(1)
= lim
x →1−
∞
n=0
( −1)n 2 n +1
(2)
5
7
( −1)n 2 n +1 2 n +1
1
.
=
(3)
x 2 n+1 = lim arctg( x) = arctg(1) = π4 . x →1−
(1) – Použita Abelova věta, (2) – použit vztah (10.42), (3) – použita spojitost funkce arctg.
Poznámka. K výpočtu čísla π se řada nehodí, konverguje příliš pomalu. Příklad 10.16 Platí
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − 16 +
= ln(2) .
Podle (10.43) je na kruhu konvergence | x | < 1 ln(1 + x) =
∞
(−1) n
n =0
(10.46) x n+1 n +1
= x − x2 + x3 − x4 +
Podle Leibnizova kritéria řada konverguje i v hraničním bodě 1. Potom
2
∞ n =0
1 − 12 + 13 − 14 +
(1)
= lim
x →1−
∞ n=0
(−1) n
x n +1 n +1
(2)
3
4
.
n+1
(−1) n 1n+1 =
(3)
= lim ln(1 + x) = ln(2) . x →1−
(1) – Použita Abelova věta, (2) – použit vztah (10.43), (3) – použita spojitost funkce ln. Příklad 10.17 Platí
2 ( 13 + 13 ( 13 )3 + 15 ( 13 )5 + 17 ( 13 )7 + 19 ( 13 )9 +
) = ln(2) .
(10.47)
Tuto rovnost dostaneme přímým dosazení do vztahu (10.44) za x = 13 . Řada (10.47) ovšem konverguje daleko rychleji, než (10.46).
[ 32 ]
