HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id

HALAMAN 36 – 37 5. Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : a. lim→

=0

PENYELESAIAN : 1 lim =0 → 2 + 3

∀ > 0 ∃ !" #$ℎ&& ∀ ≥ |) − +| = , = ≤

1 +3

1 − 0, +3

2

2

1 1 1 ≤ ≤ < 2 2 2

jadi terbukti bahwa lim→∞ = 0

b. lim→

5 6

=5

PENYELESAIAN : + → +, artinya ∀ > 0, ∃

∈"∋≥

berlaku

Akan ditunjukkan 6 → 2 5

|+ − +| <

Karena + → +, maka untuk ∀ > 0, ∃ ∈ " ∋ ≥ ;

berlaku

2 − 1 2 − 1 − 2 − 10 − 2 = ; ; ; + 5 + 5 =< =

5

6

<

6

Presented By Ririez-EkaHely-Kartini

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id ≤ ≤

=

≤

<,

5

jadi terbukti bahwa lim→∞ 6 = 5

8. Misalkan ( ) dan (+ ) barisan bilangan real sehingga |+ − +| ≤ @| | untuk semua ∈ " untuk suatu @ > 0 dan + ∈ A. Jika lim→∞(+ ) = +

PENYELESAIAN : Diketahui |+ − +| ≤ @| | ≥ B ( ) → 0

∀ > 0

∃C ∈ " sehingga ≥ C berlaku F G

|+ − +| ≤ @| | < D . = ∃B ∈ " sehingga ≥ B

| − 0| = | | <

F

G

, Untuk ≥ B F G

F G

|+ − +| ≤ @| | + @| | < D . + D . = 2

Sehingga terbukti bahwa lim→ (+ ) = +.

9. Tunjukkan bahwa : H

a. lim→ D I = 1, D > 0 PENYELESAIAN : Akan dibuktikan bahwa

→0

∀ > 0, ∃ !" sehingga ∀ ≥

,

J

< , berlaku |) − +| <



1 1 1 , − 0, = ≤ < C Terbukti bahwa

H

→ 0, C lim→∞ D I = lim→∞ (D K ) = 1

H

b. lim→ I = 1 PENYELESAIAN : Akan dibuktikan lim→

Ambil sembarang > 0 ∃ <

L

− 1< ≤ <

L <

+1≤

Terbukti bahwa lim→

L

= 1.

< ∈ ℕ akibatnya ∀ ≥ L

L

+1≤+1≤

berlaku,

+1<+1=

=1

HALAMAN 43 – 45 6. Misalkan (+ ) barisan bilangan real tak nol dan N = 0, tunjukkan bahwa (+ ) konvergen. Hitung limitnya!

OI 5O

OI 5O P

, + ∈ A. Jika (N ) konvergen ke

PENYELESAIAN : Diketahui : (yn) konvergen ke 0 berarti lim ( yn ) = 0 n →∞

Akan dibuktikan bahwa (xn) konvergen.

yn =

xn − x ⇔ yn ( xn + x ) = xn − x xn + x

⇔ yn xn + yn x = xn − x ⇔ x + yn x = xn − yn xn ⇔ x(1 + yn ) = xn (1 − yn ) ⇔ xn =

x(1 + yn ) (1 − yn )

Diberikan sembarang ε > 0, terdapat K ∈ N dan untuk setiap n ≥ K berlaku



yn ) x(1 + 0 ) x(1 + yn ) x(1 + nlim →∞ = = =x n → ∞ (1 − y ) (1 − 0) (1 − lim yn ) n

lim xn = lim

n →∞

n→∞

Karena lim (xn ) = x maka xn − x < ε atau (xn) konvergen. n →∞

O 5O

Misalkan (+ ) barisan bilangan real tak nol dan N = O I5OP , + ∈ A

Diketahui (N ) → 0, akan ditunjukkan (+ ) konvergen N =

I

+ − + + − + Q

N + + N + Q = + − +

N + − + = −+−N + Q |+ − +| < Sehingga terbukti bahwa (+ ) konvergen

9. Jika (+ ) konvergen ke 0 dan (N ) terbatas, tunjukkan bahwa (+ N ) konvergen ke 0. PENYELESAIAN : (N ) terbatas,

|N | ≤ B, ∀!ℕ

Diketahui + → 0

∀ > 0, ∃

∈"∋>

Akan ditunjukkan + → 0

berlaku

|+ − +| <

Karena + → +, maka untuk ∀ > 0, ∃ ∈ " ∋ >

berlaku

|+ − 0| = |+ | < LB Presented By Ririez-EkaHely-Kartini


Untuk ≥

maka

R+ N − 0R = |+ ||N | < LB . B =

Jadi,terbukti + N konvergen ke 0

O

10. Berikan contoh barisan (+ ) yang tidak terbatas tetapi lim→ ( I ) = 0

PENYELESAIAN : + = √ −

1 =1−1 =0 1 1 + = √2 − = 0.914 … 2 1 + = √3 − = 1.398 … 3

+ = √1 −

Sehingga + tidak terbatas di atas. O

lim→ ( I ) = 0 , lim→ (

H

√5I

O

1

√

) = lim→ − = 0 − 0 = 0

11. Jika lim→ ( I ) = + ≠ 0, buktikan bahwa (+ ) tidak terbatas! PENYELESAIAN :

O

Diketahui : lim→ ( I ) = + ≠ 0

Akan dibuktikan (+ ) tidak terbatas Dengan kontradiksi :

O

Misalkan (+ ) terbatas maka terdapat > 0, sehingga |+ | ≤ dan karena lim→ ( I )

OI

ada maka ( ) terbatas. O

< I< = <

OI

O

− + + +<

OI 5O

≤ < I − +< + |+| = < ≤ |+ − +| + |+|

< + |+|

≤ |+ |+|+| + |+| = |+ | + |+| + |+| = |+ |+( + 1)|+| ≤ + ( + 1)|+|



Adanya ( + 1)|+| menyebabkan ( I) tidak terbatas. Hal ini kontradiksi dengan yang O

OI

diketahui bahwa ( ) terbatas.

Jadi (+ ) seharusnya tidak terbatas. 15. Misalkan + = √ + 1 − √ untuk ∈ ". Tunjukkan bahwa (+ ) dan (√+ ) konvergen PENYELESAIAN : + = √ + 1 − √ untuk ∀ ∈ " •

+ = √ + 1 − √

= √ + 1 − √ .

lim→

•

√√

√√ √√

=

()5

√√

= 0 , jadi + → 0

Y+ = √(√ + 1 − √) = √ + − .

√

√

lim→ Y+ = lim→

=

H I

=

√√

= Y + −

5

√

[Z \

=

=

=

√

H ]

[Z \

= ^

H Z () I

OI`H OI

=

H I

[Z \

= , jadi Y+ → _

√K

21. Jika (+ ) barisan bilangan real positif sehingga lim→ (+ ) tidak terbatas dan sehingga tidak konvergen.

= a > 1. Tunjukkan bahwa

PENYELESAIAN : Akan dibuktikan bahwa (+ ) tidak terbatas, Ambil b ∈ ℝ, sehingga 1 < b < a. Untuk = a − b > 0. Karena lim→

a, ∃

∈ ℕ ∋ ∀ ≥

OI`H OI

=

berlaku


Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id OI`H

<

OI

OI`H OI

− a< < oleh karena itu, ∀ ≥

berlaku

< − a = a − b − a = −b atau,

+ < + . −b < +5 . b > +5 . −b Terbukti bahwa (+ ) tidak terbatas, Karena (+ ) tidak terbatas maka (+ ) tidak konvergen . Terbukti.

24. Misalkan (+ ) barisan konvergen dari (N ) sehingga untuk sembarang > 0 terdapat d

sehingga |+ − N | < untuk semua ≥ d. Apakah ini menyimpulkan bahwa (N )

konvergen? PENYELESAIAN : Diketahui (+ ) barisan yang konvergen misalkan ke +. Diberikan sembarang > 0 terdapat F

bilangan asli C sehingga untuk ≥ C berlaku |+ − +| < . Dengan yang diketahui untuk F

> 0 diatas terdapat B sehingga untuk ≥ B, |+ − +| < . Akibatnya untuk ≥ C = C# (C, B) berlaku :

|N − +| = |N − + + + − +| ≤ |N − + | + |+ − +| < Sehingga barisan (N ) konvergen ke +.

+ = 2 2

HALAMAN 51 - 53 2. Misalkan barisan (+ ) didefinisikan secara rekursif sebagai : + = 0, + = + +

1 , ∈ " 4

a) Dengan induksi tunjukkan bahwa 0 ≤ + ≤ untuk semua ∈ " PENYELESAIAN : 1) = 1, 2 + = 0;



+ = 0 + = f

f

0 ≤ + = 0 < + = ≤ terbukti benar untuk = 1, 2 f

2) Dianggap benar untuk = C. += = += + 0 ≤ += ≤

f

3) Akan dibuktikan benar untuk = C + 1

+= = += +

1 4

0 ≤ += < += ≤

1 2

1 1 1 < += < += ≤ + 4 2 4 1 1 0 ≤ < += < += ≤ 4 2 1 0 ≤ += ≤ 2

0 ≤ 0 +

Terbukti benar untuk = C + 1

Jadi, dengan induksi terbukti bahwa 0 ≤ + ≤

b) Tunjukkan bahwa (+ ) naik

PENYELESAIAN : Akan dibuktikan + − + > 0 maka + naik. Bukti :

+ − + = + + f − + = + − + + f

= + − + − > 0

+ − = 0

+ =



Diketahui 0 ≤ + ≤ maka terbukti + − + > 0 sehingga (+ ) naik.

c) Simpulkan bahwa (+ ) konvergen dan tentukan limitnya. PENYELESAIAN :

1) Dari a) terbukti bahwa 0 ≤ + ≤ , ∀ ∈ ", artinya (+ ) terbatas.

2) Dari b) terbukti bahwa + − + > 0 , ∀ ∈ ", artinya (+ ) monoton naik. Kesimpulan :

Karena (+ ) terbatas dan monoton naik maka (+ ) konvergen. Misalkan :

lim→ (+ ) = + , maka lim→ (+ ) = +

lim→ (+ ) = lim→ + + f = +

+ + = + f

+ − + + = 0

f

+ − + − = 0

Jadi, lim→ (+ ) =

+=

, bgN (+ ) →

5. Misalkan > 0 dan h > 0. Didefinisikan h = Y + h untuk ∈ ". Tunjukkan bahwa (h ) konvergen dan tentukan limitnya!

PENYELESAIAN : 8. Misalkan ( ) barisan naik dan (i ) barisan turun sehingga ( ) ≤ (i ) untuk semua ∈ ". Tunjukkan bahwa lim→ ( ) ≤ lim→ (i ). PENYELESAIAN :



9. Misalkan j himpunan tak hingga di dalam A yang terbatas di atas dengan k = sup {+= |C ≥ }. Tunjukkan ada barisan naik (+ ) dengan + ∈ j untuk semua ∈ " sehingga k = lim→ (+ ).

PENYELESAIAN : (+ ) naik , + ∈ r, ∀ ∈ " , k = lim (+ ) k = sup r ↔ ∀ > 0, ∃#F ∈ " ∋ k − < #F •

•

•

= 1 , ∃+ ∈ " ∋ k − 1 < + = ⋮

=

, ∃+ ∈ " ∋ k − < + ,

, ∃+ ∈ " ∋ k − < + , +5 < +

+ < +

Jadi, terbukti bahwa (+ ) naik. + − k < k − < + k − + < 0 < k − + < ↓

↓

0

+ =

↓

0

1 , ∈ "

+= =

1

0

1 , ∈ " 2

(+ )Cvw$b&$ → ∀(+= )konvegen ke limit yang sama.

11. Misalkan + = + + ⋯ + untuk semua ∈ ". Buktikan bahwa (+ ) barisan naik dan terbatas oleh karena itu (+ ) konvergen.



PENYELESAIAN : Akan dibuktikan (+ ) barisan naik, + − + =

+

+⋯+

+

− +

+ ⋯+

= > 0 Karena + − + > 0 maka + > + Sehingga terbukti (+ ) barisan naik,

Akan dibuktikan (+ ) terbatas,

< +

+ ⋯+

< ≤ , Artinya ∃B = > 0 ∋ |+ | ≤ B. Sehingga terbukti (+ ) terbatas.

Berdasarkan Teori Kekonvergenan Monoton, Barisan bilangan real monoton konvergen, jika

dan hanya jika terbatas Karena (+ ) terbatas maka menurut Teori Kekonvergenan Monoton (+ ) konvergen. Terbukti.

15. Tunjukkan bahwa jika (+ ) konvergen, maka + − + → 0. Tunjukkan dengan contoh bahwa sebaliknya tidak benar! {YANG SEBALIKNYA BLOMAN!!}

PENYELESAIAN : Tunjukkan (+ ) konvergen ⇒ + − + → 0

Diketahui (+ ) konvergen, missal (+ ) → + ∀ > 0∃

=

( ) ∈ " ∋ ≥

i$b~Ck |+ − +| <

Dari theorema diketahui bahwa jika (+ ) → + maka

2

+ → +

∀ > 0∃

=

() ∈ " ∋ ≥

i$b~Ck |+ − +| <

2

|(+ − + ) − 0| = |+ − + − + + + − 0| = |(+ − +) − (+ − +) + 0| ≤ |+ − +| + |+ − +| + 0


Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id F

F

< + =

Jadi terbukti jika (+ ) konvergen, maka + − + → 0 17. Misalkan (+ ) barisan terbatas dan untuk setiap ∈ ", # didefinisikan seperti pada nomor 5 dan # = inf{# | ∈ "}. Tunjukkan bahwa ada subbarisan dari (+ ) yang konvergen ke #. PENYELESAIAN : 18. Jika + > 0 untuk semua ∈ " dan lim→ ((−1) + ) ada, tunjukkan bahwa (+ ) konvergen, PENYELESAIAN : Diketahui + > 0 untuk semua !ℕ dan lim→∞ ((−1) + ) ada, Akan ditunjukkan (+ ) konvergen

Jika lim→∞((−1) + ) dianggap ada berarti ambil sembarang > 0, ∃ |(−1) + − +| <

Untuk ≥ C maka,

∈"∋≥

berlaku

|(−1) + − +| ≤ |(−1) + | + |+ | = |+ | + |+| < |+ | = |+ − + + +| ≤ |+ − +| + |+|

Karena dari yang diketahui + ≥ 0 diperoleh

+ ≤ |+ − +| + |+| + ≤ |+ − +| + +

+ − + ≤ |+ − +| ≤ |+ | + |+|

Sehingga |+ − +| ≤ |+ | + |+| < Jadi, benar bahwa (+ ) konvergen

21. Jika (+ ) barisan terbatas dan # = sup {+= | ∈ "} sehingga #∉{+= | ∈ "}. Tunjukkan bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke #. PENYELESAIAN : Misal (+ ) terbatas


Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id # = sup{+= ; ∈ " } # ∈ {+= ; ∈ " }.

Akan ditunjukkan bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke s. Diambil sembarang > 0, terdapat # ∈ {# ; ∈ " } #$ℎ&& # < # + Dimana # = sup{+ ; ∈ " }

Untuk ≥ d C # ≤ # ≤ # # − < # ≤ # ≤ # < # + # − < # − ≤ # ≤ # < # +

Sehingga jika diambil sembarang > 0 , ∃= ∈ ", ≥ d #$ℎ&& # − ≤ + # − ≤ + # − < # − ≤ + < # + # − < + < # + − < + < # + R+ − #R <

Jadi terdapat subbaris ^+ _ (+ ) yang konvergen ke s

HALAMAN 59 – 60 3. Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa barisan berikut bukan barisan Cauchy + = +

(−1)

PENYELESAIAN : Misalkan + = +

(5)I

, + = +

(5)

sehingga untuk >



|+ − + | = | +

= < +

(5)

(5)

=−+

•

=

− ( + −−

(5)

−

(5)I

(5)I

(5)I

)|

<

(5)(5) 5(5)I

Untuk ganjil dan genap

( − ) + (−1) − (−1) ( − ) + + = ( − )( + 1) + 1 1 > > =1+ > 4. Tunjukkan secara langsung bahwa jika (+ ) dan (N ) barisan Cauchy, maka (+ + N ) dan |+ − + | =

(+ N ) juga barisan Cauchy. PENYELESAIAN : •

•

barisan Cauchy

∀ > 0∃d = d () ∈ " ∋ ∀, > d berlaku |+ − + | <

barisan Cauchy

F

F

∀ > 0∃d = d () ∈ " ∋ ∀, > d berlaku |N − N | <

1. Akan dibuktikan bahwa (+ + N ) barisan Cauchy ∀ > 0∃d = d() ∈ " ∋ ∀, > d berlaku

|(+ + N ) − (+ + N )| = |+ + N − + − N |

= |(+ − + ) + (N − N )|

≤ |(+ − + )| + |(N − N )| F

F

< + =

Jadi terbukti bahwa (+ + N ) merupakan barisan Cauchy

2. Akan dibuktikan bahwa (+ N ) barisan Cauchy ∀ > 0∃d = d () ∈ " ∋ ∀, > d berlaku



|(+ . N ) − (+ . N )| <

|(+ . N ) − (+ . N )| = |+ . N − + N + + N − + . N |

= |(+ . N − + N ) + (+ N − + N )| = |+ (N − N ) + N (+ − + )|

≤ |+ (N − N )| + |N (+ − + )|

= |+ ||(N − N )| + |N ||(+ − + )|

Diberikan sembarang > 0∃d = d () ∈ " ∋ ∀, > d |+ − + | < , 2|N | |N − N | < 2|+ | Akibatnya

|(+ . N ) − (+ . N )| = |+ (N − N ) + N (+ − + )|

≤ |+ (N − N )| + |N (+ − + )|

= |+ ||(N − N )| + |N ||+ − + |

< |+ |

F

|O |

+ |N |

Jadi terbukti bahwa (+ . N ) merupakan barisan Cauchy

F

|I |

F

F

= + =

6. Tunjukkan secara langsung bahwa barisan monoton adalah barisan Cauchy! PENYELESAIAN : Menurut TKM, barisan monoton jika hanya jika terbatas. (+ ) terbatas jika ∃B > 0 Sehingga berlaku |+ | ≤ B

(+ ) Cauchy, ∀ > 0, ∃d ∈ " ∀, ≥ d berlaku |+ − + | <

misal ambil = 1, ∃d ∈ " ∀, ≥ d berlaku


Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id |+ − + | < 1

|+ | < |+ | + 1 ;

Pilih B = C# {|+ |, |+ |, |+ |, |+f |, … , |+ | + 1} Maka terbukti bahwa barisan monoton adalah Cauchy.

11. Misalkan (+ ) sembarang barisan bilangan real dari :

=

=

# = += , g = |+= |

Tunjukkan jika g barisan Cauchy, maka (# ) juga barisan Cauchy. Apakah berlaku sebaliknya?

PENYELESAIAN: Misal g = ∑C=1|+C| , g = ∑C=1RNC R , # = ∑C=1 +C , # = ∑C=1 NC " ⟹ ": (g ) Barisan Cauchy, artinya F ∀ > 0, ∃d ∈ " ∋ kgkC , ≥ d berlaku

C=1

C=1

C=1

C=1

|g − g | = |+C | − RNC R ≤ RNC R + |+C | <

Maka ∀ > 0, ∃d ∈ " ∋ kgkC , ≥ d berlaku F

C=1

C=1

C=1

C=1

+ = 2 2

|# − # | = +C − NC ≤ +C + NC

= |+ + + + ⋯ + + | + |N + N + ⋯ + N | ≤ |+ | + |+ | + ⋯ + |+ | + |N | + |N | + ⋯ + |N |

=

=

= |+= | + |N= |

Jadi, (# ) juga barisan Chaucy

≤ + = 2 2

" ⟸ ": (# ) barisan Cauchy, artinya F ∀ > 0, ∃d ∈ " ∋ kgkC , ≥ d berlaku



C=1

C=1

C=1

C=1

|# − # | = +C − NC ≤ +C + NC <

Akan ditunjukkan (g ) juga barisan Cauchy F

∀ > 0, ∃d ∈ " ∋ kgkC , ≥ d berlaku

C=1

C=1

C=1

C=1

+ = 2 2

|g − g | = |+C | − RNC R ≤ |+C | + RNC R

= R|+ | + |+ | + ⋯ + |+ |R + R|N | + |N | + ⋯ + |N |R

≤ |+ | + |+ | + ⋯ + |+ | + |N | + |N | + ⋯ + |N | F

F

= ∑=|+= | + ∑=|N= | < + =

(g ) barisan Cauchy.

Jadi, berlaku pernyataan jika (# ) barisan Cauchy maka (g ) juga barisan Cauchy.

14. Polinomial + − 9+ + 2 mempunyai akar b dengan 0 < b < 1. Gunakan pendekatan barisan susut untuk menhitung b dengan error kurang 105f .

PENYELESAIAN : (+ ) = + − 9+ + 2

(0) = 2, (1) = −6

untuk + = 0 ; tinggi = 2

untuk + = 1 ; tinggi = −6

hal ini dikarenakan akar dari persamaan + − 9+ + 2 = 0 terletak diantara 0 < b < 1.

Didefinisikan barisan (+ ) dengan 0 < + < 1 dan + − 9+ + 2 = 0 →

+ + 2 = 9+

+=

Sehingga + = (+ + 2), ∈ ℕ

1 (+ + 2) 9

Karena 0 < + < 1 maka 0 < + < 1, ∀ ∈ ℕ. Presented By Ririez-EkaHely-Kartini


|+ − + | ≤ < (+ + 2) − (+ + 2)<

≤ < (+ − + )<

= |+ + + + + + ||+ − + |

≤ |+ − + |

Karena 0 < D < 1 , berarti (+ ) barisan susut, terdapat b sehingga

b = lim→ (+ ). Jika diambil limit kedua ruas barisan + = (+ + 2) diperoleh

b = (b + 2). Sehingga b − 9b + 2 = 0 dihampiri b dengan memilih + = 0.5

diperoleh,

+ = (+ + 2) = 0.236111

+ = (+ + 2) = 0.223685

+f = (+ + 2) = 0.223466

+6 = (+f + 2) = 0.223462 Menurut akibat 2.4.8 a) |b − + | ≤

H IH H 5

Jika = 5 maka |b − +6 | ≤

.

|+ − + | =

. I

0.263889

0.263889 = 0.004887

b) |b − + | ≤ |+ − +5 | Jika = 5 maka

|b − +6 | ≤ |+6 − +f | = . 4. 105f = 2. 105¡ < 105f

Jadi +6 merupakan hampiran dari b.



HALAMAN 63 O

7. Misalkan (+ ) dan (N ) dua barisan bilangan positif sehingga lim→ (I ) = 0 I

a. Tunjukkan bahwa jika lim→(+ ) = +∞ , maka lim→ (N ) = +∞. PENYELESAIAN :

lim

i.

n→∞

xn = 0 , berarti ∀ε > 0, ∃ K1 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku yn

xn x −0 = n <ε yn yn ii.

lim ( xn ) = +∞ , berarti untuk sembarang α ∈ R, ∃ K (α ) ∈ N sehingga n→∞

untuk n ≥ K(α) berlaku xn > εα . Akan dibuktikan bahwa lim ( yn ) = +∞ n→∞

∀ε > 0 , untuk sembarang α ∈ R, pilih K = maks(K1, K(α)) sehingga untuk n ≥ K berlaku : xn <ε yn

⇔

xn

ε

(dari i)

< yn

⇔ yn >

xn

ε

>

εα =α ε

(dari ii)

Jadi, terbukti lim ( yn ) = +∞ n→∞

b. Tunjukkan bahwa jika (N ) terbatas, makalim→ (+ ) = 0 PENYELESAIAN :



i.

lim

n→∞

xn = 0 , berarti ∀ε > 0, ∃ K1 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku yn

xn x ε −0 = n < yn yn M ii. (yn) terbatas, berarti terdapat M ∈ R dengan M > 0 sehingga untuk semua n ≥ K berlaku yn ≤ M atau − M ≤ yn ≤ M Akan dibuktikan bahwa lim ( xn ) = 0 n→∞

∀ε > 0 , pilih K = maks(K1, M) sehingga untuk n ≥ K berlaku : xn ε < yn M

⇔ xn <

(dari i)

ε yn

≤

M

ε M M

=ε

(dari ii)

⇔ xn − 0 < ε

Jadi, terbukti lim ( xn ) = 0 n→∞

∀ > 0 , + < . N , ≥ Ambil > 0 , ∃ ;

∈"∋≥

− 0; <

→|

|N | ≤ B, ∀ ∈ "

− 0| = |

|≤

|

|≤

B = , O

8. Misalkan (+ ) dan (N ) dua barisan bilangan positif sehingga lim→ (I ) = +∞

→0

I

a. Tunjukkan bahwa jika lim→(N ) = +∞ , maka lim→ (+ ) = +∞. PENYELESAIAN : Akan ditunjukkan bahwa lim→∞ (N ) = +∞ maka lim→∞(+ ) = +∞ Misal lim→∞(N ) = +∞

Ambil sembarang ¢!ℝ , ∃

∈"∋≥

Karena lim→∞ I = +∞ maka untuk ≥ O

I

maka berlaku N > ¢

berlaku I > ¢ sehingga + > ¢N O

I



Karena ¢ > 0 maka lim→∞(+ ) = +∞

Terbukti lim→∞(N ) = +∞ maka lim→∞(+ ) = +∞ b. Tunjukkan bahwa jika (+ ) terbatas, makalim→ (N ) = 0 PENYELESAIAN : Akan ditunjukkan bahwa jika (+ ) terbatas maka lim→∞ (N ) = 0 Jika terdapat |+ | ≤ B untuk !"

Ambil sembarang > 0

+ < B + >¢ N

+ > ¢N

N <

Diambil ¢ = Terdapat

+ B < ¢ ¢

B < ¢

£ F

∈"∋≥

O

berlaku I > ¢ I

Sehingga untuk ≥

|+ − 0| = + <

+ < maka lim→∞ (N ) = 0

+ B < = ¢ ¢

O

9. Tunjukkan bahwa jika lim→( I ) = a , a > 0 , maka lim→ (+ ) = +∞. PENYELESAIAN : Misalkan (+ ⁄) adalah sebuah barisan (+ ⁄N ) dengan N = .

Karena (N ) divergen, sehingga lim→ (N ) = +∞.



Berdasarkan Teorema Perbandingan Limit, dua barisan bilangan real dengan

lim→ (+ ⁄N ) = a, a > 0 maka ~→ (+ ) = +∞ jika dan hanya jika ~→ (N ) = +∞. Karena lim→ (N ) = +∞ Terbukti bahwa lim→ (+ ) = +∞.


HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b

Recommend Documents